Bài giảng giải tích 2 (đh bách khoa tp HCM) chương 7 chuỗi số, chuỗi lũy thừa

Chuỗi không âmĐịnh nghĩa chuỗi không âm Chuỗi số không âm là chuỗi Nhận xét Với chuỗi không âm, dãy tổng Vậy chuỗi không âm hội tụ khi II.. Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi số Điều kiệ

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 2 Chương 7 Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa

• Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

Bộ môn Toán Ứng dụng -

Giải tích 2 Chương 7 Chuỗi số, chuỗi luỹ thừa

Giảng viên Ts Đặng Văn Vinh (11/2008)

dangvvinh@hcmut.edu.vn

Nội dung

-I – Khái niệm chuỗi số

III- Chuỗi có dấu tuỳ ý Hội

II – Chuỗi không âm

IV- Chuỗi đan dấu Tiêu chuẩn

V- Chuỗi luỹ thừa Bán kính

II Chuỗi không âm

Định nghĩa chuỗi không âm

Chuỗi số không âm là chuỗi

Nhận xét

Với chuỗi không âm, dãy tổng

Vậy chuỗi không âm hội tụ khi

II Chuỗi không âm

khi và chỉ khi bị chặn trên

n S

điều kiện 0  a n  b n, n n0

1

n n

a







nên dãy tổng riêng S n bị chặn trên

bị chặn trên, vậy chuỗi hộitụ

1

n n

a







tụ, thì chuỗi (1) hội tụ

và (2) cùng HT hoặc cùng PK

HT, thì chuỗi (2) HT

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

Ví dụ Tìm  để chuỗi HT

ln(1 1/ )

11



2

/ 24



   



và chỉ khi 2   1  1

Tiêu chuẩn d'Alembert

1) D 1:chuỗi hội tụ

) D 1: không kết luận được,

1

n n

Tiêu chuẩn Cô si

1) C 1: chuỗi hội tụ

3) C  1: không kết luận được,

1

n n

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

))

n

n n





3(1 1/ ) n n

chuẩn d'Alembert.

1 1

11

chuẩn d'Alembert

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

n



  

Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

n n

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

n

n

n a

Chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Cô

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

1

3

n n

n n n

n n

23

3

n n

n

n n

13

II Chuỗi có dấu tuỳ ý Hội tụ tuyệt đối.

Định nghĩa hội tụ tuyệt đối

1

n n

a





Định lý

1

n n

a







Theo định lý: chuỗi hội tụ tuyệt

Mệnh đề ngược lại không đúng

tuy nhiên chuỗi của trị tuyệt đối

II Chuỗi có dấu tuỳ ý Hội tụ tuyệt đối

1

n n

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

Chuỗi có dấu tuỳ ý Xét chuỗi

n a

II Chuỗi đan dấu Tiêu chuẫn Leibnitz.

Định nghĩa chuỗi đan dấu

Định nghĩa chuỗi Leibnitz

II Chuỗi đan dấu Tiêu chuẫn Leibnitz

gọi là chuỗi đan dấu

II Chuỗi đan dấu Tiêu chuẫn Leibnitz.

Định lý (Leibnitz)

Chuỗi Leibnitz hội tụ Tổng của

II Chuỗi đan dấu Tiêu chuẫn Leibnitz

của chuỗi này thoả 0 | S | a1

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

Chuỗi không hội tụ tuyệt đối

Ví dụ Khảo sát sự hội tụ của

ln

n a

n

    ln

n

n n

n

n n

a n

n

a n





  dãy giảm (có thể k/s đạo hàm)

(theo tiêu chuẩn Leibnitz)

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

Điều kiện cần khoâng

Đ/nghĩa, các

t/chuẩn khác

Sơ đồ khảo sát sự hội tụ của chuỗi số

khoâng Phân kỳ thô

Sử dụng các tiêu chuẩnhội tụ của chuỗi dương





II Chuỗi luỹ thừa.

Định nghĩa chuỗi luỹ thừa

Chuỗi luỹ thừa là chuỗi

Định nghĩa miền hội tụ chuỗi

Tập hợp các giá trị của x, khi

được chuỗi số hội tụ, gọi là miền

II Chuỗi luỹ thừa

0 0

a 





chuỗi luỹ thừa

khi thay vào chuỗi (1) hoặc (miền hội tụ của (1) hoặc (2)

Bổ đề Abel

0

n n n

a x





1) Chuỗi hội tụ x x,  R

tồn tại duy nhất 0  R   thoả

2) Chuỗi phân kỳ x x,  R

Định nghĩa

Số R trong định lý gọi là bán

Định lý (dấu hiệu d'Alembert để

0

n n n

Định lý (dấu hiệu Côsi- Hadamard

0

n n n

R





x n

x n

n n

x n

n n

Ví dụ Tìm miền hội tụ của

a X n

Ví dụ Tìm miền hội tụ của

Tính chất của chuỗi luỹ thừa

1) Tổng của chuỗi luỹ thừa

miền hội tụ của nó

2) Trong khoảng hội tụ: Đạo

Tính chất của chuỗi luỹ thừa

thừa là một hàm liên tục trên

Ví dụ Tính tổng của

2

1 1

25

n

n n

1

1

n n

x

n x x

n n

n





1 2

1

n n

nx x

5

n

n n

n

n n

n n

n x x

1

1

n n

x

n x x

P n a







Ví dụ Tính tổng của

4 ( 4 3) 3

n I

III Chuỗi Taylor Maclaurint.

Định nghĩa chuỗi Taylor

( )

0 0

của hàm y  f x( ) tại lân cận

Chuỗi Taylor trong lân cận của

III Chuỗi Taylor Maclaurint

vô hạn lần trong lân cận của

III Chuỗi Taylor Maclaurint.

Định lý

Nếu hàm y  f x( ) cùng các đạo

chặn trong lân cận của điểm

trong lân cận của x0 ta có

thì

( )

0 0

III Chuỗi Taylor Maclaurint

đạo hàm mọi cấp của nó bị

Chuỗi Maclaurint của một số

n

x e

n

1

( 1)2) ln(1 )

n

x x

n

x x

16)

n

x x

Ví dụ Tìm chuỗi luỹ thừa của

trong lân cận của x 0 1

3 / 5

n n

n

X f

5

n n

n

n n

x n

Ví dụ Tìm chuỗi luỹ thừa của

trong lân cận của x 0 2

Ví dụ Tìm chuỗi Maclaurint của

Ta có

0

11

n n

x x

1

11

n n

nx x

Ví dụ Tính tích phân

1 0

n

x n

0

n

x dx n

Ví dụ Tính tích phân

1 0

1

n n

1ln

x dx n

n n

x dx n

Ví dụ Tính tổng của  

n I

( 1)

2

Nội dung ôn tập

-I) Đạo hàm riêng và vi phân cấp 1

của hàm f = f(x,y), hàm hợp, hàm

Ứng dụng đạo hàm riêng: Cực trị

nhất, giá trị nhỏ nhất; công thức Taylor,

II) Tích phân: 1) Tích phân kép: toạ

dụng hình học của tích phân kép

mặt cong)

2) Tích phân bội ba: toạ độ Đềcác,

dụng hình học: tính thể tích vật thể

3) Tích phân đường: Tích phân đường

và trong không gian Ứng dụng hình

Đềcác, toạ độ trụ, toạ độ cầu Ứng

thể.

đường loại một trong mặt phẳng hình học: tính độ dài cung, diện

Nội dung ôn tập

-Tích phân đường loại hai trong mặt

cách tính, công thức Green, tích phân

4) Tích phân mặt loại một: cách tính

diện tích mặt cong.

Tích phân mặt loại hai: cách tính

công thức Stoke dùng tính tích phân

III) Chuỗi: 1) Chuỗi số: khảo sát

dương, chuỗi đan dấu Tính tổng của

2) Chuỗi luỹ thừa: bán kính hội

thừa để tính tổng của chuỗi số.

3) Chuỗi Taylor, Maclaurint: tìm

sát sự hội tụ của chuỗi tuỳ ý, chuỗi của chuỗi số.

tụ, miền hội tụ Dùng chuỗi luỹ

chuỗi Taylor, Maclaurint của hàm của chuỗi số, tính tích phân.

Cuối kỳ thi TỰ LUẬN (trình bày cẩn

Câu 5 Sử dụng tích phân bội ba, tính

Câu 7 Tìm miền hội tụ của chuỗi

Câu 8 Tìm tổng của chuỗi

0

2 (n 1)

n

n n

n

n n



