Giải thuyết ABC và siêu mặt phẳng hypebolic brody p adic

Trờng đại học vinh khoa toán ---------------- Phan Đức tuấn giả thuyết "abc" và siêu mặt hyperbolic brody p- adic khóa luận tốt nghiệp vinh - 2002 1 mở đầu Sự phát triển của số học, đặc biệt là trong những thập niên gần đây, chịu sự ảnh hởng rất lớn của sự tơng tự giữa số nguyên và đa thức. Nói cách khác, khi có giả thuyết nào đó cha chứng minh đợc đối với các số nguyên, ngời ta cố gắng chứng minh sự kiện tơng tự cho các đa thức. Vào năm 1983, R.C.Mason đã phát hiện ra một định lý rất đẹp về các đa thức, từ đó ông đã đa ra một chứng minh đơn giản của định lý Fermat cho đa thức. Định lý Mason và sự tơng tự giữa số nguyên và đa thức đã gợi ý cho giả thuyết sau đây Giả thuyết "abc". Giả sử a,b,c là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau và thỏa mãn hệ thức a+b = c. Khi đó, với mọi 0 > , tồn tại hằng số C sao cho + < 1 ),,(max NCcba trong đó = abcp pN / là tích các ớc nguyên tố phân biệt của abc. Tơng tự nh định lý Mason, từ giả thuyết "abc" có thể suy ra định lý Fermat tiệm cận: với n đủ lớn, phơng trình Fermat không có nghiệm nguyên. Nh vậy, sự tơng tự giữa số nguyên và đa thức đã mở ra một con đờng có nhiều hy vọng đi đến chứng minh định lý Fermat. Tuy nhiên chứng minh giả thuyết "abc" là một công việc không đơn giản. Do đó, trớc hết ngời ta cố gắng nghiên cứu sự thể hiện của giả thuyết "abc" trên trờng hàm. Vào năm 2001, hai nhà toán học Hu và Yang đã chứng minh giả thuyết "abc" cho các hàm chỉnh hình p-adic. Gần đây, Vũ Hoài An và Đoàn Quang Mạnh đã phát biểu và chứng minh giả thuyết "abc" đối với các hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến nh là một sự mở rộng của định lý Hu -Yang. Tiếp tục hớng nghiên cứu trên, trong khoá luận này, chúng tôi nghiên cứu đề tài "Giả thuyết "abc" và siêu mặt hyperbolic Brody p-adic " . Khoá luận đợc chia làm hai chơng cùng với phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo. 2 Trong chơng 1, ở phần đầu chơng chúng tôi giới thiệu định lý Mason và ứng dụng của nó trong việc tìm ra các tơng tự số học của một số giả thuyết nổi tiếng. Kết quả chính của chơng 1 đó là định lý Mason suy rộng. Chơng 2 dành cho việc nghiên cứu định lý kiểu Hu - Yang và ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu không gian hyperbolic Brody p-adic . Kết quả chính của chơng 2 là định lý kiểu Hu - Yang. Từ định lý kiểu Hu - Yang chúng tôi mở rộng đợc bổ đề Borel p-adic và bổ đề Masuda- Noguchi p-adic. Cũng từ định lý kiểu Hu- Yang chúng tôi đa ra đợc một tiêu chuẩn về tính suy biến của đờng cong chỉnh hình và xây dựng một số siêu mặt hyperbolic Brody p-adic. Có thể nói định lý kiểu Hu - Yang mở ra một hớng nghiên cứu mới về tính suy biến của đờng cong chỉnh hình và không gian hyperbolic Brody p-adic. Theo h- ớng nghiên cứu này, trong chơng 2 chúng tôi đã chỉ ra một số lớp các siêu mặt hyperbolic đợc xây dựng bởi các nhà toán học Mai Văn T, Hà Huy Khoái, Masuda và Noguchi với số mũ nhỏ hơn. Khoá luận đợc thực hiện và hoàn thành tại khoa Toán trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của thầy giáo Tiến sĩ Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này tác giả xin đợc bày tỏ lòng biết ơn và kính trọng sâu sắc tới các thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy, Tiến sĩ Ngô Sĩ Tùng, Tiến sĩ Mai Văn T, Tiến sĩ Lê Quốc Hán và các thầy cô giáo trong Tổ bộ môn Đại số, đặc biệt là Tiến sĩ Nguyễn Thành Quang, đã dành rất nhiều thời gian và lòng nhiệt tình giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. 3 Chơng 1 Định lý Mason suy rộng 1.1. Định lý mason và các giả thuyết số học Trong mục này, chúng tôi sử dụng định lý Mason để tìm một số tính chất số học của đa thức. Trớc hết, ta thấy rõ giữa tập các số nguyên và tập các đa thức có những tính chất rất giống nhau. Ta để ý đến sự tơng tự giữa phân tích ra thừa số nguyên tố và phân tích đa thức bất khả quy. Nếu giả thiết k là trờng đóng đại số thì mỗi đa thức )(xf k [ x ] có thể phân tích dới dạng. )(xf = n n ppp . 21 21 trong đó kaaxxp ii = ,)( 1 . Nh vậy, có thể thấy rằng, trong sự phân tích bất khả quy và phân tích ra thừa số nguyên tố, các nghiệm của đa thức tơng ứng với các ớc nguyên tố của số nguyên. Do đó số các nghiệm phân biệt của đa thức có vai trò tơng tự nh số các ớc nguyên tố phân biệt của số nguyên. Từ nhận xét đó ngời ta đi đến định nghĩa sau 1.1.1. Định nghĩa. Cho a số nguyên. Định nghĩa căn của a, ký hiệu )( 0 aN , là tích các ớc nguyên tố phân biệt của a : )( 0 aN = ap p / Ta sẽ thấy rằng, sự tơng tự trên đây cùng với tính chất của đa thức gợi ý một con đờng nhiều hy vọng để đi đến chứng minh định lý Fermat. Năm 1983, R.C. Mason đã chứng minh một định lý rất đẹp sau đây về các đa thức. 1.1.2. Định lý Mason. Giả sử )(),(),( tctbta là các đa thức với hệ số phức không đồng thời là hằng số, nguyên tố với nhau từng cặp và thỏa mãn hệ thức )()()( tctbta =+ . Khi đó, nếu ký hiệu n 0 (f) là số nghiệm phân biệt của đa thức f, thì ta có max { } 1)(deg,deg,deg 0 abcncba . 4 Định lý Mason cho ta một chứng minh đơn giản của định lý Fermat trên các đa thức hệ số phức. 1.1.3. Định lý Fermat trên các đa thức. Không tồn tại các đa thức cba ,, khác hằng số, hệ số phức, nguyên tố cùng nhau, thỏa mãn phơng trình nnn cba =+ với n 3. Chứng minh. Giả sử các đa thức a,b,c thỏa mãn phơng trình nói trên. Rõ ràng số nghiệm phân biệt của đa thức nnn cba không vợt quá cba degdegdeg ++ . áp dụng định lý Mason, ta có : 1degdegdegdeg ++ cbaan . Viết bất đẳng thức trên với cb, rồi cộng từng vế ba bất đẳng thức, ta đợc : 3)degdeg(deg3)degdeg(deg ++++ cbacban . Ta có mâu thuẫn nếu .3 n Định lý Mason và sự tơng tự giữa số nguyên và đa thức đã gợi ý cho 1.1.4. Giả thuyết "abc" ( esterle, 1986) . Giả sử cba ,, là các số nguyên, nguyên tố cùng nhau, và thỏa mãn hệ thức cba =+ . Khi đó, với mọi 0 > , tồn tại hằng số C sao cho max ( cba ,, ) + 1 CN trong đó N = abcp p / là căn của abc Hoàn toàn tơng tự nh trên, từ giả thuyết ""abc ngời ta có thể suy ra định lý Fermat tiệm cận: với n đủ lớn, phơng trình Fermat không có nghiệm nguyên. Trớc khi phát biểu và chứng minh các tơng tự số học của một số giả thuyết khác trên các đa thức, ta chứng minh bổ đề sau 1.1.5. Bổ đề. Giả sử cba ,, là các đa thức nguyên tố cùng nhau, không đồng thời là hằng số và thỏa mãn hệ thức )()()( tctbta =+ . Khi đó 5 1 1 d + 2 1 d + 3 1 d > 1 trong đó 321 ,, ddd lần lợt là bội nhỏ nhất của các nghiệm của các đa thức a, b, c. Chứng minh. Vì 321 ,, ddd lần lợt là bội nhỏ nhất của các nghiệm của các đa thức a, b, c , nên ta có adeg )( 01 and , bdeg )( 02 bnd , cdeg )( 03 cnd . Suy ra 1 1 d + 2 1 d + 3 1 d )deg,deg,(degmax )()()( 000 cba cnbnan ++ hay 1 1 d + 2 1 d + 3 1 d )deg,deg,(degmax )( 0 cba abcn . Theo định lý Mason ta có )()degdeg(degmax 0 abcncba <++ . Do đó 1 1 d + 2 1 d + 3 1 d > 1 . Trong trờng hợp có một đa thức là hằng số, chẳng hạn a là hằng số, ta quy ớc = 1 d . Lúc này bổ đề 1.5 vẫn đúng. 1.1.6. Nhận xét. Nếu a , b , c là các đa thức hệ số phức nguyên tố cùng nhau sao cho )()()( tctbta =+ , và bất đẳng thức sau đợc thực hiện 1 1 d + 2 1 d + 3 1 d 1, thì a, b, c đều là hằng số. 1.1.7. Tơng tự số học của giả thuyết Erdos - Mollon - Walsh. Ta nói số nguyên n là số lũy thừa nếu nó thỏa mãn điều kiện: Nếu p là - ớc nguyên tố của n thì 2 p cũng là ớc của n . 1.1.7.1. Giả thuyết 1 (Erdos - Mollon - Walsh). Không tồn tại một bộ ba số lũy thừa liên tiếp. 6 Cho đến nay, giả thuyết này đã đợc kiểm tra với mọi bộ ba số nguyên liên tiếp nhỏ hơn 2 60 . Đối với các đa thức, một giả thuyết tơng tự nh vậy đợc khẳng định bởi định lý 1.1.7.2. Định lý (tơng tự giả thuyết1). Nếu mỗi nghiệm của các đa thức hệ số phức f(x) và f(x) +1 có bội nhỏ nhất là 2, thì f(x) là hằng số . Chứng minh. áp dụng nhận xét 1.1.6 với a= f , b = - ( f +1), c = 1 và d 1 = 2 , d 2 = 2 , d 3 = , ta có f là hằng số. Tổng quát, một số nguyên n đợc gọi là số k- lũy thừa nếu p là ớc nguyên tố của n thì p k cũng là ớc của n. 1.1.7.3. Giả thuyết 2 (Erdos). Phơng trình Siegel zyx =+ chỉ có hữu hạn nghiệm trong các số nguyên dơng 4- lữy thừa nguyên tố cùng nhau. Đối với các đa thức hệ số phức giả thuyết tơng tự đợc khẳng định bởi định lý sau 1.1.7.4. Định lý (tơng tự giả thuyết 2). Phơng trình zyx =+ chỉ có nghiệm tầm thờng trong tập hợp các đa thức hệ số phức, nguyên tố cùng nhau và mọi nghiệm của nó có bội ít nhất là 3. Chứng minh. áp dụng nhận xét 1.1.6 với zcybxa === ,, và 1 d = 2 d = 3 d = 3 ta có zyx ,, là hằng số. 1.1.8. Tơng tự số học của giả thuyết Fermat suy rộng. 1.1.8.1. Giả thuyết Fermat suy rộng. Với các số nguyên dơng nm,, thỏa mãn 1 + m 1 + n 1 1 thì phơng trình nm CzByAx =+ với C B, A, là các số nguyên dơng cố định không có nghiệm trong tập các số nguyên dơng zyx ,, nguyên tố cùng nhau. Nh là một kết quả tơng tự , ta có 1.1.8.2. Định lý. Phơng trình nm CzByAx =+ không có nghiệm trong tập hợp các đa thức hệ số phức, khác hằng số, nguyên tố cùng nhau, nếu 1 + m 1 + n 1 1. 7 Chứng minh. Giả sử tồn tại các đa thức thỏa mãn các giả thiết định lý. áp dụng bổ đề 1.1.5 với nm CzcBybAxa === ,, và 1 d = , 2 d = m , 3 d = n Suy ra 1 + m 1 + n 1 > 1 . Điều này mâu thuẫn với giả thiết định lý. 1. 2. Định lý mason suy rộng 1.2.1. Bậc của một phân thức và tính chất. 1.2.1.1. Định nghĩa. Bậc của một phân thức 0 )( )( )( = xg xf x , với f (x), g(x) là các đa thức hệ số phức nguyên tố cùng nhau, ký hiệu deg đợc định nghĩa là gf degdegdeg = . Từ định nghĩa 1.2.1.1 và các tính chất của đa thức ta suy ra 1.2.1.2. Mệnh đề. Nếu 1 , 2 là các phân thức thì (i) )(deg 21 = 1 deg + 2 deg . (ii) ) 1 (deg 1 = - 1 deg . (iii) { } 2121 deg,degmax)(deg + . Giả sử )(x là một phân thức ,với mỗi a , viết )(x dới dạng )(x = k ax )( )( )( 1 1 xg xf trong đó )( 1 xf và )( 1 xg là các đa thức nguyên tố cùng nhau và không nhận a làm nghiệm 1.2.1.3. Định nghĩa. Số k xác định nh trên gọi là bậc của tại a , ký hiệu là a rd . Từ định nghĩa 1.2.1.3, ta có 1.2.1.4. Mệnh đề. Nếu 1 , 2 là các phân thức, a . Khi đó (i) a rd )( 21 = 1 a rd + 2 a rd . (ii) a rd 1 1 = - 1 a rd . 8 (iii) a rd ( 2 1 ) = 1 a rd - 2 a rd . 1.2.1.5. Định nghĩa. Giả sử n n xaxaaxff +++== 10 )( là một đa thức trên trờng số phức . Ta gọi đạo hàm của f , ký hiệu là f' , là đa thức sau .2 1 21 +++= n n xnaxaaf Ta dễ thấy phép lấy đạo hàm các đa thức có các tính chất sau, trong đó f và g là các đa thức của x trên : gfgfi + = + )()( , fggffgii + = )()( , ffnfiii nn = 1 )()( . Ta nói )(k f là đạo hàm cấp k của đa thức f, với ( ) = )1()( kk ff . 1.2. 1.6 Mệnh đề. Giả sử là đa thức hệ số phức, a . Khi đó nếu )(k o thì a rd k k )( )( . Chứng minh. Giả sử )(x = m ax )( )( )( xg xf với )(xf , )(xg không có nghiệm chung và không nhận a làm nghiệm . Ta có = )(' x 1 )( m ax ( )( ) ( ) ( ) ) ( ) 2 )( )(')()(')(( xg xgxfaxxgxfaxxmf + . Do 0))(( = xgrd a và a rd ( ) 0)(')()()())(')()(( + xgxfaxxgxfaxxmf , nên a rd ( ) 1)(' mx . Do đó a rd = ' a rd ( ' ) - a rd ( ) .11 = mm Vì vậy a rd )(K = a rd )1( )( ' ''' k k = = a rd + ' a rd ++ ' '' a rd )1( )( k k k . 9 1.2.1.7. Mệnh đề. Giả sử gf , là các phân thức , a .Khi đó ),(min)( grdfrdgfrd aaa + . Chứng minh . Giả sử )( )( )()( 2 1 1 xf xf axxf k = , )(xg = 2 )( k ax )( )( 2 1 xg xg trong đó 2121 ,,, ggff không nhận a làm nghiệm . Đặt ),(min 21 kkk = . Ta có [ ] )()( )()()()()()()( )()( 22 1221 21 xgxf xgxfaxxgxfaxax xgxf kkkk k + =+ . Do 22 gf không nhận a làm nghiệm nên a rd ),min()( grdfrdkgf aa =+ 1.2.1.8. Định nghĩa. Giả sử n fff .,,, 21 là các hàm phân thức a) Ta gọi Wronskian của chúng là )1( )1( 2 )1( 1 21 21 1 . ' .'' . , .,)( == n n nn n n n fff fff fff ffWfW b) Giả sử rằng i f 0 với mọi i, và 1 21 =+++ n fff . Lấy đạo hàm )1( n lần, thu đợc một hệ phơng trình tuyến tính: 10 . ---------------- Phan Đức tuấn giả thuyết " ;abc& quot; và siêu mặt hyperbolic brody p- adic khóa luận tốt nghi p vinh - 2002 1 mở đầu Sự phát triển của. -Yang. Ti p tục hớng nghiên cứu trên, trong khoá luận này, chúng tôi nghiên cứu đề tài "Giả thuyết " ;abc& quot; và siêu mặt hyperbolic Brody p- adic