LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO SIÊU MẶT P-ADIC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN NGỌC HUY LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO SIÊU MẶT P-ADIC Chun ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh - 2007 LỜI CÁM ƠN Lời đầu tiên, luận văn này, tơi xin gởi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang, người thầy hướng dẫn tận tình hết lòng giúp đỡ tơi suốt q trình học tập làm luận văn, lòng biết ơn chân thành sâu sắc Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn q thầy PGS.TS Bùi Tường Trí, PGS.TS Bùi Xn Hải, TS Trần Hun, q thầy trực tiếp giảng dạy, trang bị cho tơi kiến thức làm tảng cho q trình học tập, nghiên cứu Tơi vơ cảm ơn Ban Giám Hiệu, q Thầy Cơ khoa Tốn – Tin, q Thầy Cơ phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư Phạm Thành phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi cho tơi học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè động viên, giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập hồn thành luận văn Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 09 năm 2007 Nguyễn Ngọc Huy MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích p-adic chun ngành Tốn học phát triển có nhiều ứng dụng, đặc biệt, Lý thuyết số đại Lý thuyết Nevanlinna cho hàm phân hình p-adic biến nghiên cứu tác Hà Huy Khối, Mỵ Vinh Quang, Butabaa … Năm 1988, [3], Hà Huy Khối Mỵ Vinh Quang lần xây dựng cơng thức Poisson – Jensen cho hàm chỉnh hình p-adic lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt hàm phân hình Sau đó, nhiều tác giả tiếp tục phát triển lý thuyết theo nhiều hướng khác Trong [4], Hà Huy Khối mở rộng vấn đề nghiên cứu cho hàm chỉnh hình nhiều biến Tuy nhiên, Hà Huy Khối nêu tóm tắt ý tưởng, kết dạng hình học Chính chúng tơi chọn đề tài “Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt p-adic” để tiếp tục nghiên cứu cách đầy đủ, chi tiết độ cao hàm chỉnh hình p-adic nhiều biến áp dụng để nghiên cứu lý thuyết phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic Mục đích nghiên cứu Xây dựng cơng thức đầy đủ hồn chỉnh với chứng minh đầy đủ, chi tiết cho độ cao hàm Chỉnh hình p-adic xây dựng định lí cho Lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt p-adic Đối tượng phạm vi nghiên cứu Chúng tơi nghiên cứu độ cao hàm Chỉnh hình p-adic biến nhiều biến, lý thuyết phân phối giá trị cho siêu mặt p-adic Cấu trúc luận văn Do mục đích nói trên, tồn luận văn bao gồm chương Chương 1: Những kiến thức Trong chương này, trình bày số kiến thức chẳng hạn chuẩn trường, chuẩn phi Archimede đầy đủ, xây dựng trường số p-adic p , p số tính chất cần thiết cho hai chương sau Chương 2: Độ cao hàm chỉnh hình p-adic Trong chương này, chúng tơi nêu khái niệm hàm chỉnh hình p-adic, đưa khái niệm độ cao hàm chỉnh hình p-adic Đặc biệt, nêu lên số tính chất lí thú độ cao hàm chỉnh hình p-adic mà mở rộng lên cho hàm nhiều biến chương Chương 3: Độ cao hàm chỉnh hình nhiều biến lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt Trong chương này, chúng tơi xây dựng cơng thức Poisson – Jensen p-adic cho hàm nhiều biến mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt Tuy có nhiều cố gắng, lực có hạn nên luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu xót, tơi mong thơng cảm góp ý sâu sắc q Thầy Cơ Chương NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Trong chương này, trình bày số kiến thức chẳng hạn chuẩn trường, chuẩn phi Archimede đầy đủ, xây dựng trường số p-adic p , p số tính chất cần thiết cho hai chương sau Đa số chứng minh chương bỏ qua người đọc dễ dàng tìm thấy chúng tài liệu tham khảo 1.1 Một số khái niệm 1.1.1 Đònh nghóa Cho K trường Chuẩn K ánh xạ :K → + thỏa mãn điều kiện sau: C1: x = ⇔ x = C2 : x.y = x y , ∀x, y ∈ K C3 : x + y ≤ x + y , ∀x, y ∈ K Nếu e đơn vò K theo C2: e = ee = e e ⇔ e ( e − 1) = ⇔ e = Cũng từ C2 suy x1.x x m = x1 x x m , đặc biệt x m = x m Ví dụ Ví dụ Trường số hữu tỉ đònh nghóa với giá trò tuyệt đối thông thường thỏa mãn điều kiện Ví dụ ⎧ x = ⎩1 x ≠ Giả sử K trường tùy ý Ánh xạ x = ⎨ gọi chuẩn tầm thường 1.1.2 Mệnh đề Cho K trường với chuẩn Xét d : KxK → ( x, y ) + d ( x, y ) = x − y chuẩn K Khi d mêtric K, nghóa d thoả: i d ( x, y ) ≥ 0; d ( x, y ) = ⇔ x = y ii d ( x, y ) = d ( y, x ) ∀x, y ∈ K iii d ( x, y ) ≤ d ( x, z ) + d ( z, y ) ∀x, y, z ∈ K 1.1.3 Đònh nghóa Dãy {x n } ⊂ K gọi dãy Cauchy d ( x m , x n ) → m, n → ∞ Tức ∀ε > 0, ∃n ∈ : m, n ≥ n ⇒ x n − x m < ε 1.1.4 Đònh nghóa Nếu chuẩn trường K thỏa mãn điều kiện C3/ mạnh C3 là: C3/: x + y ≤ max { x , y } gọi chuẩn phi Archimede 1.1.5 Các ví dụ chuẩn phi Archimede Ví dụ Chuẩn tầm thường trường K phi Archimede Thật vậy, x + y = x + y = ≤ max { x , y } Nếu x + y ≠ x ≠ y ≠ , x + y = ≤ max { x , y } Ví dụ Xét K trường số hữu hạn có q phần tử với phần tử đơn vò e Nếu x = x = Nếu x ≠ , : x q −1 = e ⇒ x Vậy q −1 = x q −1 = e = ⇒ x = tầm thường phi Archimede Ví dụ - Đònh nghóa Giả sử p ∈ {2,3,5, 7, } số nguyên tố Với a ∈ , a ≠ 0, ta gọi Ord P ( a ) số mũ p phân tích a thành thừa số nguyên tố Nếu a = Ord P ( a ) = ∞ - Đònh nghóa Giả sử p ∈ {2,3,5, 7, } số nguyên tố a b Với x ∈ x = ;a, b ∈ , b ≠ 0, ( a, b ) = Định nghĩa: Ord p ( x ) = Ord p ( a ) − Ord p ( b ) , ta xét ánh xạ - Trên trường ⎧ ⎛ ⎞Ordp x ⎪ x p = ⎨ ⎜⎝ p ⎟⎠ ⎪ ⎩0 x ≠ p p : chuẩn phi Archimede x ≠ Ta dễ dàng kiểm tra Ord p ( x ) = − log p x p 1.1.6 Đònh lý Cho chuẩn trường K Kí hiệu đơn vò K ∀n ∈ đồng n = + + + (n lần) Các mệnh đề sau tương đương: chuẩn phi Archimede i ii ≤ iii n ≤ 1, ∀n ∈ N iv Tập hợp = {0,1, 2, } bò chặn, nghóa tồn a ∈ cho n ≤ a, ∀n ∈ Chứng minh i ⇒ ii = + ≤ max { ; 1} = ii ⇒ iii Với n ∈ , n > 0; ∀n ∈ n biểu diễn dạng : n = a + a1n + + a s n s0 với ≤ a i < n , a s ≠ 0, a i ∈ Độ dài s hồn tồn xác định n s0 ≤ n ≤ ( n − 1) + ( n − 1) n + + ( n − 1) n s0 ( ≤ n − 1) ⇒ n s0 ≤ n < + ( n − 1) + ( n − 1) n + + ( n − 1) n s0 ⇒ n s0 ≤ n < n s0+1 ⇒ s ≤ log n0 n < s + ⇒ s = ⎡⎣ log n0 n ⎤⎦ Áp dụng kết với n = ta có : ∀n ∈ :n = a + a1 + + a s 2s với ≤ a i ≤ 1, a s = 1, a i ∈ ,s = [ log n ] ⇒ 2s ≤ n < 2s +1 ⇒ ∀k ∈ * : n k < 2k (s +1) Ta lại viết n k = b0 + b1 + + b t 2t với ≤ bi ≤ 1, b t = 1, bi ∈ , t = ⎡⎣log n k ⎤⎦ ⇒ n k ≤ b0 + b1 + + b t 2t ( b ≤ + + + i ≤ 1, ≤ 1) = t +1 Do n < 2k ( s+1) ⇒ t = ⎡⎣log n k ⎤⎦ < log 2k ( s +1) = k ( s + 1) k ⇒ t + ≤ k ( s + 1) ( ⇒ n k ≤ k ( s + 1) ⇒ n ≤ k k k s + ∀k ∈ * ) Cho k → ∞ ta n ≤ iii ⇒ iv Với n ∈ : n ≤ Vậy tập số tự nhiên bị chặn iv ⇒ i ∀x, y ∈ K , ta cần chứng minh x + y ≤ max { x , y } Đặt M = max { x , y } ∀k ∈ : ( x + y) = k k k i =0 i =0 ∑ Cik x i yk −i ≤ ∑ Cik x i yk −i k ⇒ x + y ≤ ∑ aM i M k −i = ( k + 1) aM k ⇒ x + y ≤ k k + k aM k i =0 Cho k → ∞ ta x + y ≤ M = max { x , y } Định lí chứng minh □ 1.1.7 Mệnh đề (Nguyên lý tam giác cân) Cho chuẩn phi Archimede trường K Nếu x ≠ y x + y = max { x , y } 1.1.8 Mệnh đề Cho chuẩn phi Archimede trường K n →∞ Nếu dãy {x n } ⎯⎯⎯ → x ≠ ∃n ∈ , ∀n > n ⇒ x n = x Nghóa là, dãy hội tụ phần tử khác không dãy chuẩn tương ứng dãy dừng 1.1.9 Đònh lí Oxtropxki tương đương với chuẩn giá trò tuyệt đối Mọi chuẩn không tầm thường thông thường tương đương với chuẩn p (p số nguyên tố đó) Chứng minh Ta xét trường hợp: a ∃n ∈ : n > Gọi n = {n ∈ / n > 1} *Vì n > nên n = n α0 ∀k ∈ * ( α = log n0 n0 > ) , ta viết số nk hệ đếm n : a i ∈ , ≤ a i < n ;a s ≠ 0,s = ⎡⎣log n n k ⎤⎦ n k = a + a1n + a n 02 + + a s n so Khi đó: n k ≤ a + a1 n + + a s n s0 = a + a1 n α0 + + a s n s0α Do a i < n 0∀i nên a i ≤ (theo cách chọn n ) ⎛ 1 ⎞ k ⇒ n ≤ + n 0α + + n s0α = n s0α ⎜1 + α + + αs ⎟ n0 ⎠ ⎝ n0 1 + c số ( c tổng CSN lùi vơ hạn) Đặt: c = + α + + s n0 nα ( ) Khi đó: n ≤ n c ≤ c.n kα ( a s ≠ nên n k ≥ n s0 ) k sα ⇒ n ≤ k c.n α (1) Cho k → ∞ n ≤ n α *Ta có: n s0 ≤ n k < n s0+1 n s0+1 = n k + n s0+1 − n k ≤ n k + n s0+1 − n k ⇒ n k ≥ n s0+1 − n s0+1 − n k ⎧ n = n 0α ⇒ n s0+1 = n α0 ( s +1) ⎪ Theo phần ta có: ⎨ ⎪⎩ n ≤ n α ( ∀n ) ⇒ n so+1 − n k ≤ n s0+1 − n k Vì n ≥ n α0 (s +1) − ( n s0+1 − n k ) ≥ n α0 ( s +1) − ( n s0+1 − n s0 α k ⎡ ⎛ ⎞ k ⇒ n ≥ n α0 (s +1) ⎢1 − ⎜1 − ⎟ ⎢⎣ ⎝ n ⎠ α ( ) ( n α s ) ≤ nk α ) ⎤ ⎥ ⎥⎦ α ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ k Đặt c = ⎜1 − ⎜1 − ⎟ ⎟ thì: n ≥ n α0 ( s+1) c > c.n kα n k < n s0+1 ⎜ ⎝ n0 ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ ( ) ⇒ n > k c.n α ( 2) Cho k → ∞ n ≥ n α Từ (1)( ) ⇒ n = n α m Do đó: ∀ ∈ ; m ∈ , n ∈ n * m m m ta có: − m = m = m , n = n ⇒ = = n n n α α α Vậy chuẩn xét tương đương với giá trị tuyệt đối thơng thường b Xét trường hợp n ≤ 1, ∀n ∈ Gọi p số tự nhiên lớn 0, bé thỏa p < • Giả sử p khơng số ngun tố thì: p = n1.n ; n1 , n < p (do cách chọn p) ⇒ n1 = n = (vơ lý) ⇒ p = n1 n = Vậy p số ngun tố • Ta rằng: q = với số ngun tố q ≠ p Giả sử ∃q ∈ : q < (q: ngun tố) 1 N , qN = q < 2 = nên tìm số m, n ∈ cho mp M + nq N = Khi với số tự nhiên M, N đủ lớn: p M = p Do ( p M , q N ) M < Khi đó: = = mp M + nq N ≤ mp M + nq N = m p M + n q M ≤ p M + q M ( m ≤ 1, n ≤ 1) < ⇒ < ( vơ lý ) 1 + =1 2 Vậy: q = m với ( m, p ) = 1; ( n, p ) = n Do m, n phân tích dạng tích số ngun tố khác p chuẩn số ngun tố nên m = n = • ∀x ∈ : x = pα Đặt p = ρ < Ta có: x = ρα m n = ρα = ρ ord p x Vậy chuẩn tương đương với p Định lí chứng minh.º 1.2 Các trường số p-adic 1.2.1 Xây dựng trường p Vì f ( u ) ≤ max a γ r γ = f ≤ γ > t n > t tất điểm tới hạn hàm chỉnh hình f ( z ) Khi H +f ( t ) − H +f ( t ) = h −f ( t ) − h +f ( t ) + ∑ h (s) t >s > t f (*) Với số thực x > 0, kí hiệu nf(x) số nghiệm f(z) có trị tuyệt đối nhỏ x Ta có: (*) ⇔ H +f ( t ) − H +f ( t ) = h −f ( t ) − h +f ( t ) + ∑ h (s) = n ( t ) t t >s > t − f f 0 − n −f ( t ) t1 + + n −f ( t n ) t n − n −f ( t n ) t = n ( t )( log r1 − log r0 ) + + n −f ( t n )( log r − log rn ) − f 1 nf ( x ) nf ( x ) nf ( x ) = dx + + dx = dx ∫ ∫ ln p r0 x ln p rn x ln p r∫0 x r r r Từ kết cho hàm chỉnh hình biến, ta xem xét vấn đề trường hợp hàm nhiều biến ( ) Lấy f hàm chỉnh hình D r( ) Kí hiệu n i,f 0, r( m ) số nghiệm hàm m biến fi,u ( z ) có giá trò tuyệt đối ≤ ri ( ) ( ) Theo bổ đề 3.2.5 n i,f 0, r( m ) = n i,f− t ( m ) Với a ∈ p ( ) ( ) \ {a} , ta đònh nghóa f ∈ H D r( ( m) ) n i,f a, r( m ) = n i,f −a 0, r( m ) , n i,f ( a, ) = n i,f −a ( 0, ) , ∀i = 1, , m Cố đònh số thực ρ1 , , ρm với < ρi ≤ ri i = 1, , m Với x ∈ R đặt A i ( x ) = ( ρ1 , , ρi −1 , x, ri +1 , , rm ) , ∀i = 1, , m ( ( ) Đònh nghóa hàm đếm nghiệm Nf a, t ( m ) N f a, t ( m ) 38 ) r m k n k,f ( a, A k ( x ) ) dx = ∑ ln p k =1 p∫k x ( ) ( Nếu a = đặt N f t ( m ) = N f 0, t ( m ) ) Với t ∈ R , đặt Ti ( t ) = ( c1 , , ci −1 , t, t i +1 , , t m ) Với ci = − log ρi ,i = 1, , m 3.3.2 Công thức Poisson – Jensen p-adic cho hàm nhiều biến Giả sử f hàm chỉnh hình D r( ) Khi H f+ t ( m ) − H f+ c( m ) = N f t ( m ) ( ) m ( ) ( ) Chứng minh ∞ Viết f = ∑ f1,k ( z1 )z1k k =0 Đặt l = n1,f ( 0, ) , a = log f1,l ( z1 ) M (r) = { r1 r n1,f ( 0, A1 ( x ) ) − l dx + l.log r ( r ≤ r1 ) ln p ∫0 x ( − + Γ = T1 ( t ) : n1,f oT1 ( t ) − n1,f oT1 ( t ) ≠ 0, t ≥ t1 )} Để phần trình bày đơn giản, rõ ràng, ta chứng minh bổ đề sau 3.3.3 Bổ đề Khi l = , với r0 ≤ r1 , đặt t = − log r0 ⇔ r0 = p − t Nếu T1 ( t ) ∉ T ∀t ≥ t : i H f+ oT1 ( t ) = a ii ∀0 < x < r0 n1,f ( 0, A, ( x ) ) = iii M ( r0 ) = Chứng minh r n1,f ( 0, A1 , ( x ) ) dx Khi l = n1,f ( 0, ) = 0, a = log f1,0 ( z1 ) , M ( r0 ) = r1 ln p ∫0 x − + oT1 ( t ) − n1,f oT1 ( t ) = ⇒ số nghiệm f1,u D< p Nếu T1 ( t ) ∉ T n1,f Vì điều với t ≥ t nên số nghiệm f1,u D< p −t > −t > 0∀t ≥ t − ⇒ số nghiệm f1,u D r0 ⇒ n1,f oT1 ( t ) = ⇒ n1,f ( 0, A1 ( r0 ) ) = − − i Vì n1,f ° T1 ( t o ) = ⇒ n f 1,u ( ) ( to ) = ⇒ f1,u r1 = f1,0 ( u1 ) r10 = f1,0 ( u1 ) Mà l = nên f z( m ) = f1,0 ( z1 ) f ( u ) = f 39 r( m ) (1) ( ) ( ) Từ f1,0 ( z1 ) = f z( m ) ⇒ f1,0 ( u1 ) = f u ( m ) = f Từ (1)( ) ⇒ f1,u r1 = f1,0 ( z1 ) = f1,0 ( z1 ) r( m ) = f1,0 ( z1 ) r( m ) r1 ( 2) r1 ⇒ H f+ oT1 ( t ) = H f+1,u ( t ) = log f1,u r0 = log f1,0 ( z1 ) = a r1 ii ∀0 < x < r0 ta có số nghiệm f1,u D< x > (vì số nghiệm f1,u D r0 0) ⇒ n1,f ( 0, A1 ( x ) ) = iii M ( r0 ) = r r n1,f ( 0, A, ( x ) ) dx 0dx = = ln p ∫0 ln p ∫0 x Bổ đề chứng minh º Bây ta chứng minh cơng thức Poisson – Jensen p-adic cho hàm nhiều biến Trước tiên ta chứng minh H f+ oT1 ( t1 ) − a = M ( r1 ) Trường hợp 1: l = i Nếu Γ = ∅ T1 ( t ) ∉ Γ ∀t ≥ t1 , theo bổ đề 3.3.3 ⇒ H f+ oT1 ( t1 ) = a M ( r1 ) = ⇒ H f+ oT1 ( t1 ) − a = = M ( r1 ) ii Nếu Γ ≠ ∅ Γ tập hữu hạn Giả sử Γ có n phần tử y(1) = T1 t (1) , , y( n ) = T1 t ( n ) với t1 ≤ t (1) < < t ( n ) ( ) ( ) (i ) Đặt bi = p − t < b n < < b1 ≤ r1 ( ) ( ) − t ( m ) ,s1 = x1,f ( 0, A1 ( b ) ) , a1 = f1,s ( z1 ) Đặt s = n1,f 0, r( m ) = n1,f ( ) ( ) r1 a = H f+ oT1 t (1) , a = H f+ oT1 t ( 2) , a = f1,s1 ( z1 )r1 Ta chứng minh mệnh đề qui nạp theo n Khi n = *Nếu b1 = r1 ⇔ t (1) = t1 ∀t > t1 T1 ( s ) ∉ T, ∀s ≥ t ⇒ H f+ T1 ( t ) = a ( tính liên tục H f+ T1 ( t ) ) ⇒ a = lim H f+ T1 ( t ) = H f+ T1 ( t1 ) t →11 ⇒ H f+ T1 ( t1 ) − a = (1) ∀ < x < r1 ⇒ t x = − log x > − log r1 = t1 ⇒ T1 ( s ) ∉ T, ∀s ≥ t x r 1 ⇒ n1,f ( 0, A1 ( x ) ) = ⇒ M ( r1 ) = 0dx = ln p ∫0 40 ( 2) Từ (1)( ) ⇒ H f+ T1 ( t1 ) − a = M ( r1 ) *Nếu b1 < r1 b r1 n1,f ( 0, A1 ( x ) ) ⎤ ⎡ n1,f ( 0, A1 ( x ) ) M ( r1 ) = dx + ∫ dx ⎥ ⎢∫ ln p ⎢⎣ x x ⎥⎦ b1 ∀ < x < b1 , chứng minh tương tự ta n1,0 ( 0, A1 ( x ) ) = ⇒ b1 ∫ n1,f ( 0, A1 ( x ) ) x dx = r r1 ⎤ 1 s ⎡ ⇒ M ( r1 ) = dx = ⎢s.ln x ⎥ = s ( log r1 − log b1 ) ∫ b1 ⎦ ln p b1 x ln p ⎣ r1s ar1s = log r − log b = log s = log s = log a1 r1s − log a1 b1s b1 ab1 s Ta viết f1,s ( z1 ) = ∑ ≤γ1 t (1) : T1 ( t ) ∉ T ⇒ H f+ T1 ( t ) = a ⇒ a = lim(1) H f+ T1 ( t ) = H f+ T1 ( t ) ( H f+ T1 ( t ) liên tục) t→t = ( 5) Từ ( 3) , ( ) , ( ) ⇒ H f+ oT1 ( t1 ) − a = M ( r1 ) log a1 b1s Giả sử mệnh đề tới n = k − Ta chứng minh mệnh đề n = k *Nếu b1 = r1 ta có: < b k < < b < b1 = r1 t1 = t (1) < < t ( k ) ( ) theo giả thiết qui nạp: M ( b ) = H f+ T1 t ( 2) − a ⇔ ln p b2 ∫ n1,f ( 0, A1 ( x ) ) x dx = a − a b 1 n1,f ( 0, A1 ( x ) ) dx Do M ( b1 ) = M ( b ) + ln p b∫2 x b 1 n1,f ( 0, A1 ( x ) ) dx = a3 − a + ln p b∫2 x (6) Với b < x < b1 ⇔ t ( 2) > t x > b1 = t1 ⇒ T1 ( t x ) ∈ T − ⇒ n1,f T ( t x ) = ⇒ số nghiệm f i,u D< x > 41 ( )= log a1 p − t (1) s ⇒ số nghiệm f i,u D b1 số nghiệm f i,u D b2 s1 b b 1 n1,f ( 0, A1 ( x ) ) 1 s1 ⇒ dx = dx = s1 ( log b1 − log b ) = log a b1s1 − log a bs21 ∫ ∫ ln p b2 x ln p b2 x ( ) ( − t1 = t (1) < t < t ( 2) ⇒ b < b t < b1 ⇒ x1,f T ( t ) = n1,f 0, A1 ( b1 ) = n1,f ( 0, A1 ( b ) ) = s1 ⇒ H f+ T ( t ) = max log bst1 a γ r2γ rmγ m = log bst1 + log ⎡⎣ max a γ r2γ rmγ m ⎤⎦ = log bst1 + log f1,s1 ( z1 ) r1 = log bst1 log a = log a bst1 ⇒ lim(1) H f+ T ( t ) = lim(1) log a bst1 t→t t →t ( t ( ) ) = log a b (8) n T ( t ( ) ) = n ( a, A ( b ) ) = s ⇒ a = H T ( t ( ) ) = max log a b r ⇔H + f − 1,f s1 m 1,f + f 2 γ s1 γ 2 .rmγ m = log bs21 + log ⎡⎣ max a γ r2γ rmγ m ⎤⎦ = log bs2 + log f1,s ( z1 ) = log bs2 + log a = log a bs2 1 r1 (9) Từ ( )( )( )( ) ⇒ H f+ T1 ( t1 ) − a = M ( b1 ) *Nếu b1 < r1 Ta có: < b n < < b1 < r1 t1 < t (1) < < t ( n ) Theo giả thiết qui nạp, ta có: M ( b1 ) = H f+ T ( t1 ) − a = a − a r r 1 n1,f ( 0, A1 ( x ) ) 1 n1,f ( 0, A1 ( x ) ) ⇒ M ( r1 ) = M ( b1 ) + dx = a − a + dx ln p b∫1 x ln p b∫1 x ∀b1 ≤ x < r1 ⇔ t (1) > t x > t1 ( ) ⇒ n1,f ( 0, A1 ( x ) ) = n1,f 0, r( m ) = s ⇒ r r 1 n1,f ( 0, A1 ( x ) ) 1 s dx = dx = s ( log r1 − log b1 ) ln p b∫1 x ln p b∫1 x ( ) ( = log r1s − log b1s = log a1 r1s − log a1 b1s ( ( )) = n ( 0, r ) = s − 0, T1 t (1) n1,f ( ) 1,f ) (11) (m) ⇒ a = H f+ T t (1) = max log a γ b1s r2γ rmγ m 42 (10 ) ) (7) = log b1s + log ⎡⎣ max a γ r2γ rmγ m ⎤⎦ = log b1s + log f1,s ( z1 ) = log b1s + log a1 ( ) r1 (12 ) = log a b s 1 ( ) − t ( m ) = s ⇒ H f+ t ( m ) = max log a γ r1s r2γ rmγ n1,f m = log r1s + log f1,s ( z1 ) r1 = log r + log a1 = log a1 r1s s (13) Từ (10 ) , (11) , (12 ) , (13) ⇒ H f+ T1 ( t1 ) − a = M ( r1 ) Trường hợp 2: l ≠ Ta viết f = f1f với f1 = z1l Và ta có: n1,f ( 0, ) = 0, n1,f ( 0, ) = l n1,f ( 0, A1 ( x ) ) = n1,f1 ( 0, A1 ( x ) ) + n1,f2 ( 0, A1 ( x ) ) = l + n1,f ( 0, A1 ( x ) ) H + f ( t( ) ) = H ( t( ) ) + H ( t( ) ) = log r + H ( t ( ) ) = l.log r + H ( t ( ) ) + f1 m m l 1 + f2 m + f2 m + f2 m Áp dụng trường hợp l = cho f ta có r 1 n1,f2 ( 0, A1 ( x ) ) dx = H f+2 t ( m ) − a ∫ ln p x ( ) ⇒ M ( r1 ) = = = r 1 n1,f ( 0, A1 ( x ) ) − l dx + l.log r1 ln p ∫0 x r 1 n1,f1 ( 0, A1 ( x ) ) + n1,f ( 0, A1 ( x ) ) − l dx + l.log r1 ln p ∫0 x 1 n1,f1 ( 0, A1 ( x ) ) dx + l.log r1 = H f+2 t ( m ) − a + l.log r1 ∫ ln p x r ( ) ( ) ( ) = H f+ t ( m ) + l.log r1 − a = H f+ t ( m ) − a = H f+ oT1 ( t1 ) − a Chứng minh tương tự ta M ( ρ1 ) = H f+ T1 ( c1 ) − a Ta có: 43 1 n1,f ( 0, A1 , ( x ) ) dx = M ( r1 ) − M ( ρ1 ) = H f+ ln p ρ∫1 x r = H f+ Tương tự, ta có: H m Ti −1 ( ci −1 ) − H + f ( ) = H ( t( ) ) − H ( t( ) ) − H + f ( t( ) ) − a − ⎡⎣H ( t ( ) ) − a ⎤⎦ + f m m T1 ( c1 ) i n1,f ( 0, A, ( x ) ) Ti ( ci ) = dx với i = 2, , m ln p ρ∫i x r + f Suy H f+ t ( m ) − H f+ T1 ( c1 ) + f m + f T1 ( c1 ) + H f+ T1 ( c1 ) − + H f+ Tm −1 ( c m −1 ) − H f+ Tm ( c m ) r r 1 n1,f ( 0, A1 , ( x ) ) m n1,f ( 0, A1 , ( x ) ) dx + + dx = N f t ( m ) = ln p ρ∫1 x ln p ρ∫m x ( ) Đònh lí chứng minh º 3.4 Lí thuyết Nevanlinna cho siêu mặt p-adic 3.4.1 Đònh nghóa Hàm nguyên g gọi ước hàm nguyên f có hàm nguyên h thỏa f = g.h Hàm nguyên g gọi ước chung lớn n hàm nguyên f1 , , f n với hàm nguyên h ước f i h ước chung g Các hàm nguyên f1 , f , , f n gọi nhân tử chung ước chung lớn Trong vành hàm nguyên m p ước chung lớn tồn 3.4.2 Đònh nghóa Ta kí hiệu H*n +1 ( mp ) = {f = ( f1 , f2 , , fn +1 ) ∈ H n +1 ( ) cho f1, f2, … , fn+1 khơng có nhân tử chung vành hàm ngun } Trên H ( ) ta định nghĩa quan hệ tương sau: m p m p n +1 * m p f = ( f1 , f2 , , fn +1 ) ∼ g = ( g1 ,g , ,g n +1 ) ⇔ ∃c : fi = cg i ( i = 1, , n ) Mỗi lớp tương đương f gọi ánh xạ chỉnh hình f : m p → Pn ( p )=P n Ánh xạ chỉnh hình f gọi không suy biến ảnh không chứa không gian tuyến tính P n ( p ) với số chiều nhỏ n Để trình bày đơn giản, ta đồng f với f 44 3.4.3 Đònh nghóa Chiều cao ánh xạ chỉnh hình f đònh nghóa H f ( t m ) = H f t ( m ) ( ) 1≤ i ≤ n +1 ( ) i ( ) Ta đònh nghóa H f+ t ( m ) = − H f t ( m ) ( ) ( ) ( ) Ta có H f+ t ( m ) = − H f t ( m ) = max H + t ( m ) 1≤i ≤ n +1 i 1≤ i ≤ n +1 fi 3.4.4 Đònh nghóa Họ Q1 , , Qq ( q ≥ n + 1) đa thức ( n + 1) biến với hệ số p gọi chấp nhận tập ( n + 1) đa thức họ nghiệm chung \ {0} n +1 p 3.4.5 Đònh nghóa Siêu mặt X P n đònh nghóa phương trình Q = 0, với Q đa thức bậc d, gọi siêu mặt bậc d Lấy X i siêu mặt bậc di P n đònh nghóa phương trình Qi = 0, ∀i = 1, , q X1 , , X q , q ≥ n + gọi vò trí tổng quát họ Q1 , , Qq chấp nhận Lấy X siêu mặt bậc d P n cho ảnh f không chứa X X đònh nghóa phương trình Q = Đặt ( ) ( ) m ( X, t ( ) ) = max ( H ( t ( ) ) − H ( t ( ) ) ) T ( X, t ( ) ) = N ( X, t ( ) ) + m ( X, t ( ) ) H ( X, t ( ) ) = H ( t ( ) ) H ( X, t ( ) ) = −H ( X, t ( ) ) = −H ( t ( ) ) = H ( t ( ) ) N f X, t ( m ) = N Qof t ( m ) f f m m + fid 1≤i ≤ n +1 f f m f m Qof + f m f + Qof m m m m + m Q f m Q f m 3.4.6 Đònh lí thứ Lấy f : mp → P n ánh xạ chỉnh hình Giả sử X siêu mặt bậc d P n cho ảnh f không chứa X 45 ( ) ( ) Khi Tf X, t ( m ) = dH + t ( m ) + (1) với (1) bò chặn T = max t i → −∞ 1≤i ≤ m Chứng minh Lấy f = ( f1 , f n +1 ) Ta có: Tf X, t ( m ) = N f X, t ( m ) + m f X, t ( m ) ( ) ( ) ( ) = N ( t ( ) ) + max ( H ( t ( ) ) − H ( t ( ) ) ) = N ( t ( ) ) + d max H ( t ( ) ) − H ( t ( ) ) = dH ( t ( ) ) + ( N ( t ( ) ) − H ( t ( ) ) ) Theo cơng thức Poisson – Jensen: H ( t ( ) ) − H ( c( ) ) = N ( t ( ) ) ⇒ N ( t ( ) ) − H ( t ( ) ) = − H ( c( ) ) = H ( c( ) ) Từ ta N ( t ( ) ) − H ( t ( ) ) = H ( c( ) ) = (1) ( 2) Từ (1) ( ) ⇒ T ( X, t ( ) ) = dH ( t ( ) ) + (1) + f + Q f m f + f Qo f m 1≤i ≤ n +1 + f m Qo f 1≤i ≤ n +1 + f m + fid m + Qo f m + fi m + Qo f m + Qo f m f m + f m Q f m m m m f Q f Qo f m (1) m + f m f m m m Đònh lí chứng minh º 3.4.7 Đònh lí thứ hai Lấy f : mp → P n hàm chỉnh hình khác hàm hằng, X i siêu mặt vò trí tổng quát P n cho ảnh f không chứa X i ,i = 1, , q ( ) ( q Nf Xi , t ( m) i =1 di Khi ( q − n ) H f+ t ( m ) ≤ ∑ ) + (1) Với (1) bò chặn T = max t i → −∞ 1≤i ≤ n +1 Chứng minh Để chứng minh đònh lí 3.4.7 ta nhắc lại kết bổ đề Hilbert’s Nullstellensatz tính chất nghiệm đa thức 3.4.8 Bổ đề Hilbert’s Nullstellensatz Giả sử f, Q1, …, Qn ∈ K [ x1 , , x m ] mà f = nghiệm chung Q1, …, Qn ∃ρ ∈ m để f ρ = ∑ a i ( x1 , , x m ).Qi ( x1 , , x m ) i =1 Bây ta chứng minh đònh lí 3.4.7 46 Trước tiên, giả sử d1 = d = = d q = d X i siêu mặt biểu diễn phương trình Qi ( x1 , , x n +1 ) = với i = 1, , q Cố đònh t ( m ) thỏa bất đẳng thức H Q p °f ( t( ) ) ≤ H m Qq −1° f ( t ( ) ) ≤ ≤ H ( t ( ) ) Q1° f m m (1) Vì X i siêu mặt vò trí tổng quát P n nên theo đònh lí Hilbert’s Nullstellensatz, với số nguyên k, ≤ k ≤ n + , có số nguyên m k ≥ d cho n +1 x mkk = ∑ a ik ( x1 , , x n +1 ) Qi ( x1 , , x n +1 ) , với a ik ( x1 , , x n +1 ) , ≤ i ≤ n + 1, ≤ k ≤ n + i =1 đa thức bậc m k − d lấy hệ số p Thay vai trò x i fi , ≤ i ≤ n + ta : n +1 f kmk = ∑ a ik ( f1 , , f n +1 ) Qi ( f1 , , f n +1 ) ∀k = 1, , n + i =1 ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒ m k H fk t ( m ) = H f mk t ( m ) ≥ ( m k − d ) H f t ( m ) + H Qi °f t ( m ) + (1) k ( ) ( ) 1≤ i ≤ n +1 ( ) ( ) = ( m k − d ) H f t ( m ) + H Qn +1°f t ( m ) + (1) ≥ ( m k − d ) H fk t ( m ) + H Qn +1°f t ( m ) + (1) ( ) ( ) ( t ( ) ) ≥ H ( t( ) ) + (1) với i = n + 1, , q (do lấy H ( t ( ) ) giảm) ⇒ dH f k t ( m ) ≥ H Qn +1°f t ( m ) + (1) ⇒ dH f k Qi ° f m Qi ° f m m ( 2) Ở (1) bò chặn T = max t i → −∞ 1≤i ≤ m Nếu Qi f không hàm H Q i f ( t ( ) ) → −∞ T → −∞ ∀i = 1, , q m Do đó, từ (1) ( ) ta ( ) ( ) q d ( q − n ) H f t ( m ) ≥ ∑ H Qi °f t ( m ) + (1) ⇒ d (q − n ) H + f ⇒ d (q − n ) H + f i =1 ( t ( ) ) ≤ ∑ H ( t ( ) ) + (1) q m i =1 + Qi f m ( t( ) ) ≤ ∑ N ( X , t ( ) ) + (1) ( H ( t( ) ) = N ( t( ) ) + (1) = N ( X , t( ) ) + (1)) q m ( ) i =1 q ⇒ ( q − n ) H f+ t ( m ) ≤ ∑ i =1 f i ( Nf Xi , t ( m) d + Qi ° f m ) + (1) Vậy mệnh đề d1 = = d q = d 47 ( 3) m Qi ° f m f i m Bây ta chứng minh đònh lí d1, …, dq tùy ý Đặt d = d1 d q viết d = d i k i ∀i = 1, , q Lấy Yi siêu mặt P n đònh nghóa phương trình Qik = 0∀i = 1, , q Khi i Yi siêu mặt bậc d ví trí tổng quát P n , Qiki f khác không Áp dụng ( 3) ta ( ) ( q ) d ( q − n ) H f+ t ( m ) ≤ ∑ N f Yi , t ( m ) + (1) ( q i =1 ) ( dN f X i , t ( m ) q = ∑ k i N f X i , t ( m ) + (1) = ∑ i =1 ( ) di i =1 ( q Nf Xi , t ( m) i =1 di ⇒ ( q − n ) H f+ t ( m ) ≤ ∑ ) + (1) ) + (1) Đònh lí chứng minh º 3.5 Một số hệ Lí thuyết Nevanlinna p-adic cho siêu mặt 3.5.1 Đònh nghóa Giả sử f : mp → P n ánh xạ chỉnh hình X siêu mặt bậc d P n cho ảnh f không bò chứa X Số khuyết δf ( X ) f với siêu mặt X định ( ) ⎫⎪ ⎬ ( ) ⎪⎭ ⎧ N X, t f ( m) ⎪ inf ⎨1 − nghĩa δf ( X ) = Tlim + →−∞ dH f t ( m ) ⎪⎩ 3.5.2 Đònh lí (về mối quan hệ số khuyết) Lấy f : mp → P n ánh xạ chỉnh hình khác ánh xạ X i siêu mặt bậc d i vò trí tổng quát P n cho ảnh f không chứa X i ,i = 1, , q Khi q ∑ δ (X ) ≤ n i =1 f i Chứng minh { + Ta có H f = − − log a γ r j j γj } nên lim H T →−∞ + fj = +∞ ∀j = 1, 2, , n + ⇒ H f+ → +∞ Không tính tổng quát ta xét H f+ > ( q N f Xi , t ( m) i =1 di + Theo đònh lý 3.4.7 ( q − n ) H f ( t ( m ) ) ≤ ∑ 48 ) + (1) ( ) + (1) d H ( t( ) ) H ( t( ) ) N ( X , t( ) ) (1) ⇒ q−∑ ≤n+ d H ( t( ) ) H ( t( ) ) ⎧ N (X , t ) ⎫ (1) ( ) ⎪ ⎪ ⇒ ∑ ⎨1 − ⎬≤n+ d H ( t( ) ) ⎪ H ( t( ) ) ⎪⎩ ⎭ ⎧ N (X , t ) ⎫ ( ) ⎪ ⎪ ⇒ ∑ lim inf ⎨1 − ⎬ ≤ n ⇒ ∑ δ (X ) ≤ n d H ( t( ) ) ⎪ ⎪⎩ ⎭ N f Xi , t ( m) q ⇒ (q − n ) ≤ ∑ i =1 q f i =1 i q f i =1 + f q i =1 + f m i i m m m + f m f T →−∞ + f m m + f i + f i i q m + f i m i =1 m f i Đònh lí chứng minh º Như kết trực tiếp đònh lí 3.5.2 ta có 3.5.3 Đònh lí m n Lấy f : p → P ánh xạ giải tích X i siêu mặt bậc d i vò trí tổng quát P n cho ảnh f khơng có giao với Xi , i=1, …, q f phải hàm Chứng minh Giả sử f khác ánh xạ Với i = 1, , q ta có f ( đònh lí 3.5.2 m p )∩X i = ∅ nên f không chứa Xi Theo ( ) Mặt khác, với i N f X i , t ( m ) = N Q Vì f ( ⇒ N Qi m p f )∩X i ( i f ( t( ) ) m = ∅ ⇒ Qi f vô nghiệm ⇒ n k,Qi f ( t( ) ) = ⇒ N ( X , t( ) ) = m ) ⎫⎪ ≤ n (*) ⎬ ( ) ⎪⎭ ⎧ N X ,t q f i (m) ⎪ lim inf 1− δ X ≤ n ⇔ ( ) ⎨ ∑ ∑ f i T →−∞ i =1 i =1 d i H f+ t ( m ) ⎪⎩ q f Thay vào (*), ta i m q ∑ {1} ≤ n ⇔ q ≤ n (vô lí) i =1 Vậy f phải ánh xạ Đònh lí chứng minh º 49 ( 0, A ( x ) ) = ( ∀k = 1, m ) k TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh Ha Huy Khoai (1991), La hauteur des fonctions holomorphes p-adiques de plusieurs variables C R Acad Sci Paris Ser I Math 312 751 – 754 Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p-adic Nevanlinna - Cartan theorem International J.of Math 6, 719 – 731 Ha Huy Khoai and My Vinh Quang (1988), On p-adic Nevanlinna theory Lecture Notes in Math 1351, 146-158, Springer – Verlag Hayman W.K (1964), Meromorphic functions Oxford: Clarendon Press Hu P.C and Yang C.C (1997), Value distribution theory of p-adic moromorphic functions Izvestiya Natsionalnoi Academii Nauk Armenii (National Academy of Sciences of Armenia) 32 (3), 46 – 67 Hu P.C and Yang C.C (2000), Moromorphic Functions over Non – Archimede Fields Kluwer academis publishers Koblitz N (1980), p-adic analysis: a short course on recent work Cambridge Univ Ha Huy Khoai and Vu Hoai An, Value distribution for p-adic hypersurfaces 50 [...]... h +f ( t ) + ∑ h (s) t 0 >s > t Cơng thức đã được chứng minh □ 30 f ) Chương 3 ĐỘ CAO CỦA HÀM CHỈNH HÌNH NHIỀU BIẾN VÀ LÝ THUYẾT NEVANLINNA CHO SIÊU MẶT Trong chương này, ta xây dựng cơng thức Poisson – Jensen p-adic cho hàm nhiều biến cũng như mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho siêu mặt Chúng ta dùng những kí hiệu sau: b( m ) = ( b1 , , b m ) ( bi ) = ( b1 , , bi−1 , bi+1 , , b m ) D r = {z ∈ p D < r... f(z) trên Dr thì f(z) là hàm liên tục trên Dr 16 Chương 2 ĐỘ CAO CỦA HÀM CHỈNH HÌNH P-ADIC Trong chương này chúng tơi nêu khái niệm hàm chỉnh hình p-adic, cũng như đưa ra khái niệm độ cao của hàm chỉnh hình p-adic Đặc biệt, nêu lên một số tính chất lí thú về độ cao của hàm chỉnh hình p-adic mà sẽ được mở rộng lên cho hàm nhiều biến ở chương 3 2.1 Chuẩn trên vành H(Dr) 2.1.1 Vành các chuỗi lũy thừa... b0 + b1z + + b k z k ∈ p [ z ] sao cho g r = bk r k Gọi Q(z), R(z) là thương và dư trong phép chia f(z) cho g(z): f(z) = g(z).Q(z) + R(z) ; deg R < k Khi đó: f r = max { g r Q r ; R r } Chứng minh 1 f r ≤ max { gQ r ; R r } = max { g r Q r ; R r } 2 Chứng minh f r ≥ max { g r Q r ; R r } i Khi r = 1 ta cần chứng minh f 1 ≥ max { g 1 Q 1 ; R 1} Cho g ( z ) sao cho b k = 1 Khi đó g 1 = 1 ⇒ max {... của định lí: i Theo (3): f − g i h i r ≤ δi f r Cho i → ∞ ta có: f − gh r ≤ 0 ⇒ f − gh r = 0 ⇒ f ( z ) = g ( z ) h ( z ) ii Theo (1): g i r = biν r ν Cho i → ∞ ta có: g r = bν r ν (do c) iii h = lim h i ⇒ h ∈ H ( D r ) (do H ( D r ) đầy đủ đối với i →∞ iv Do (2) f − g i r ≤ δ f r Cho i → ∞ ta có f − g r ≤ δ f r < f r v Do (2) h i − 1 r ≤ δ < 1 24 r ) (c) Cho i → ∞ ta có h − 1 r < 1 vi Chứng minh h khơng... mũ Ord p ( a ) = − log p a trên trường p p p , nó là mở rộng của Nếu z = 0 thì ta quy ước v ( 0 ) = ∞ Để thuận tiện cho việc trình bày, từ đây về sau, nếu không có gì nhầm lẫn, trong luận văn sẽ sử dụng thay cho p là chuẩn trên trường số phức p-adic p và cũng dùng kí hiệu log thay cho logp 1.2.3 Một số tính chất của trường Cũng như trường số phức , trường p p có các tính chất cơ bản sau: 1.2.3.1... 2.1.2.3 Đònh nghóa Hàm f : D r → p được gọi là hàm chỉnh hình (hay hàm giải tích) p-adic trên Dr nếu f(z) có thể biểu diễn được dưới dạng một chuỗi lũy thừa hội tụ trên Dr Nghóa là, f ( z ) = a0 + a1z + + an z n + hội tụ ∀z ∈ D r Nếu f biểu diễn được dưới dạng một chuỗi lũy thừa p-adic hội tụ trên được gọi là hàm nguyên p-adic Khi đó H(Dr) là tập các hàm chỉnh hình trên Dr Đặc biệt, do lim a n r n... trong + Vậy có {t i }i∈ sao cho lim p = r , đặt ri = p ⇒ lim ri = r ti { ti i →∞ Theo ii) : f r ≥ max g r Q r ; R r i i i i i →∞ } Cho i → ∞ ta được f r ≥ max { g r Q r ; R r } Từ (1) và (2) suy ra f r = max { g r Q r ; R r } Bổ đề được chứng minh.º 2.2.3 Bổ đề Với r > 0, f(z)∈ H ( D r ) , g(z) = b 0 + b1z + + b k z k ∈ Khi đó ∃Q(z) ∈ H ( D r ) , R(z) ∈ p [ z ] sao cho: i f(z) = g(z).Q(z) + R(z);... k r k ≤ max a k r k → 0 nên f n → f k >n k Suy ra Mệnh đề được chứng minh □ 2.2 Định lí chuẩn bị Weierstrass Trong mục này ta sẽ chứng minh một định lí có vai trò rất quan trọng trong lí thuyết các hàm chỉnh hình p-adic, đó là định lí chuẩn bị Weierstrass 2.2.1 Định lí chuẩn bị Weierstrass ∞ Với r > 0 , f = ∑ a n z n ∈ H ( D r ) , tồn tại g ( z ) = b0 + b1z + + bν z ν ∈ n =0 với ν = ν ( f , r ) =... Compact, suy ra mọi quả cầu đều khơng Compact Vậy p khơng Compact địa phương Mệnh đề được chứng minh □ 1.3 Chuỗi lũy thừa p-adic Trong phần này, chúng tôi đề cập đến các khái niệm cơ bản về dãy và chuỗi trên một trường p với chuẩn phi Archimede đầy đủ , đặc biệt là các dãy và chuỗi 14 số p-adic với các tính chất mạnh hơn hẳn so với tính chất của các dãy và chuỗi trong giải tích phức 1.3.1 Bổ đề Dãy {a n... } trong p là dãy Cauchy và do đó hội tụ ⇔ lim a n +1 − a n = 0 n →∞ Chứng minh ⇒) Dãy {a n } là dãy Cauchy thì ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ sao cho ∀n > n 0 , ∀k ∈ : a n+k − a n < ε Nói riêng, a n +1 − a n < ε ⇒ lim a n +1 − a n = 0 n →∞ ⇐)∀ε > 0 Do lim a n +1 − a n = 0 nên ∃n 0 ∈ sao cho ∀n > n 0 : a n +1 − a n < ε n →0 Khi đó: ∀n > n 0 , ∀k ∈ : a n + k − a n = a n + k − a n + k −1 + + a n +1 − a n ≤ max { a n