Luận văn Thạc sĩ Toán học Góc định hướng và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN THANH GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN THANH GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI Thái Nguyên - 2015 i Mục lục Lời cam đoan iii Lời cảm ơn iv Danh sách hình vẽ Mở đầu Xây dựng mặt phẳng định hướng 1.1 Định hướng mặt phẳng 1.1.1 Định hướng mặt phẳng theo hình học phổ thơng 1.1.2 Định hướng mặt phẳng công cụ tọa độ 1.1.3 Định hướng mặt phẳng theo hệ tiên đề Choquet 1.2 Đường thẳng định hướng Độ dài đại số 13 1.3 Góc định hướng 15 1.4 1.3.1 Góc định hướng hai vector 15 1.3.2 Góc định hướng hai tia 16 1.3.3 Góc định hướng hai đường thẳng 21 Một số kiện hình học theo ngơn ngữ góc định hướng 26 1.4.1 Xét góc định hướng tạo hai tia 26 1.4.2 Xét góc định hướng hai đường thẳng 30 Kết luận Chương 34 Giải tốn hình học mặt phẳng định hướng 2.1 35 Các toán ứng dụng đường thẳng định hướng 35 ii 2.2 2.1.1 Hàng điểm điều hòa 35 2.1.2 Định lý Stewart 36 2.1.3 Một số ứng dụng 38 Ứng dụng góc định hướng giải toán chứng minh 42 2.2.1 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song ba điểm thẳng hàng 42 2.2.2 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vng góc 45 2.2.3 Phương pháp chứng minh điểm đồng viên 49 2.3 Ứng dụng góc định hướng giải tốn quỹ tích 54 2.4 Các ứng dụng khác 60 2.5 Một số toán 65 Kết luận Chương 69 Kết luận Đề nghị 70 Tài liệu tham khảo 71 iii Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình tơi tổng hợp nghiên cứu Trong luận văn tơi có sử dụng số tài liệu tham khảo nêu phần "Tài liệu tham khảo" Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Văn Thanh iv Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành với hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Việt Hải, nguyên giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới thầy cô giáo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Toán K7B - Trường Đại học Khoa học động viên giúp đỡ trình học tập làm luận văn Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo Thành phố Hải Phòng, Ban Giám hiệu đồng nghiệp Trường THPT An Dương, huyện An Dương, Thành phố Hải Phòng tạo điều kiện mặt để tác giả tham gia học tập hồn thành chương trình đào tạo Thạc sĩ Toán, chuyên ngành "Phương pháp Toán sơ cấp" Tác giả Nguyễn Văn Thanh v Danh sách hình vẽ Hình vẽ Trang 1.1 1.2 11 1.3 13 1.4 14 1.5 16 1.6 17 1.7 17 1.8 18 1.9 19 1.10 19 1.11 20 1.12 20 1.13 21 1.14 22 1.15 22 1.16 23 1.17 23 1.18 24 1.19 24 1.20 24 1.21 25 1.22 28 1.23 31 1.24 31 2.1 37 2.2 39 2.3 40 2.4 42 2.5 43 2.6 44 2.7 45 2.8 46 2.9 46 2.10 47 2.11 48 2.12 50 2.13 51 2.14 51 2.15 53 2.16 54 2.17 55 2.18 55 2.19 57 2.20 58 2.21 59 2.22 61 2.23 62 2.24 63 Mở đầu Trong giáo trình hình học sơ cấp trường đại học sư phạm mà đọc tác giả có đề cập đến đường thẳng định hướng mặt phẳng định hướng; chẳng hạn xem giáo trình “Hình học sơ cấp” [5, 6, 7] Trong giáo trình đó, tác giả đơn giản hóa chứng minh liên quan đến mặt phẳng định hướng góc định hướng, khn khổ giáo trình khơng cho phép tác giả sâu vào ứng dụng công cụ việc giải loại tốn hình học Để nghiên cứu sâu thêm tính chất bổ sung thêm toán ứng dụng đường thẳng định hướng góc định hướng vào việc giải tốn phổ thơng, coi công cụ mạnh, hữu hiệu giải tốn hình học Chúng tơi muốn sâu vào đề tài "Góc định hướng ứng dụng" Đó lý nghiên cứu tác giả luận văn Luận văn chia làm hai chương • Chương Xây dựng mặt phẳng định hướng Sau nêu cách định hướng mặt phẳng dựa từ công cụ khác nhau, nhắc lại bổ sung thêm đường thẳng định hướng, độ dài đại số, góc định hướng hai tia góc định hướng hai đường thẳng, nội dung chương kiến thức chuẩn bị cho chương sau Kết bật chứng minh chặt chẽ hệ thức Chales trường hợp Tiếp theo kiện hình học chuyển sang ngơn ngữ độ dài đại số hay góc định hướng • Chương Giải tốn hình học mặt phẳng định hướng Chương trọng tâm luận văn Chúng bắt đầu ứng dụng độ dài đại số góc định hướng để trình bày phương pháp giải tốn hình học: Chứng minh tính song song, tính thẳng hàng, tính vng góc, tính đồng viên điểm, giải tốn quỹ tích, ứng dụng khác Các toán đưa luận văn tốn khó, điển hình cho loại hay gặp kỳ thi học sinh giỏi tồn quốc, chí kỳ thi quốc tế Việc sử dụng góc định hướng giúp lời giải ngắn gọn, rõ ràng không phụ thuộc vào hình vẽ Hơn nữa, góc định hướng giúp định nghĩa phép biến hình, từ mở ứng dụng khác Dù nghiêm túc thực luận văn, nhiều lý khác nhau, luận văn chắn cịn nhiều thiếu sót Kính mong Thầy Cơ anh chị em đồng nghiệp góp ý để luận văn hoàn thiện Tác giả xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015 Tác giả Nguyễn Văn Thanh ...ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN VĂN THANH GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC... sung thêm toán ứng dụng đường thẳng định hướng góc định hướng vào việc giải tốn phổ thông, coi công cụ mạnh, hữu hiệu giải tốn hình học Chúng tơi muốn sâu vào đề tài "Góc định hướng ứng dụng" Đó... hay góc định hướng • Chương Giải tốn hình học mặt phẳng định hướng Chương trọng tâm luận văn Chúng bắt đầu ứng dụng độ dài đại số góc định hướng để trình bày phương pháp giải tốn hình học: Chứng