Chương II. §1. Mặt cầu, khối cầu

Quy tr×nh t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp §Æc biÖt: *Nếu tất cả các đỉnh của hình chóp nhìn một đoạn thẳng cố định dới một góc vuông => hình chóp nội tiếp mặt cầu đờ[r]

KÝnh chµo c¸c thÇy gi¸o, c« gi¸o vÒ dù giê th¨m líp KiÓm tra bµi cò Khái niệm đường tròn mặt phẳng? Vị trí tương đối điểm và đường tròn mặt phẳng? Đường tròn là tập hợp tất điểm mặt phẳng cách điểm O cố định cho trước khoảng không đổi M là điểm trên đường tròn đó OM gọi là bán kính đường tròn (bằng r) O r M Cho M là điểm mặt phẳng Khi đó M và đường tròn có vị trí tương đối xảy : Nếu OM = r thì M nằm trên đường tròn Nếu OM > r thì M nằm ngoài đường tròn Nếu OM < r thì M nằm đường tròn O M1 M2 r M Chúng ta quan sát số hình ảnh sau : Hình ảnh trái đất Hình ảnh mặt trăng Hình ảnh bóng Một số hình ảnh hình cầu: MÆt cÇu, mÆt trô, mÆt nãn ChươngưII:ư §1 MÆt cÇu – khèi cÇu Định nghĩa mặt cầu (s) M R Trong không gian cho điểm I cố định và số thực dương R không đổi .I Mặt cầu S có tâm I bán kính R là Tập hợp tất điểm M không gian cách điểm I cố định khoảng R không đổi I : Tâm mặt cầu (S) R : Bán kính mặt cầu (S) Kí hiệu : S ( I ; R) Ta có: S(I ; R) = { M / IM = R} D C A * Các thuật ngữ - Nếu hai điểm C, D nằm M O B trên mặt cầu S(O ; R) thì đoạn thẳng CD gọi là dây cung mặt cầu đó Dây Dâycung cungAB ABđi điqua quatâm tâm OOcủa củamặt mặtcầu cầuđược đượcgọi gọilàlà đường đườngkính kínhcủa củamặt mặtcầu cầu (bằng (bằng2R) 2R) Cho mặt cầu S(O ; R) và A là điểm bất kì không gian Giữa điểm A và mặt cầu có vị trí tương đối xảy ? Nếu OA = R thì điểm A thuộc mặt cầu Khi đó OA là bán kính mặt cầu Nếu OA < R thì điểm A nằm mặt cầu Nếu OA > R thì điểm A A nằm ngoài mặt cầu M A2 O A1 Nói khác, S(OS(O ; R); R) Tậpcách hợp các điểm khối thuộc cầu mặt cầu là tập hợp các điểm Mmặt saocầu cho cùng với các điểm nằm đó gọi là khối OM cầu S(O ≤ R.; R) hình cầu S(O ; R) A M O B Ví dụ 1:Cho tam giác ABC cạnh a.Tìm tập hợp các điểm M không gian cho: MA2 + MB2 + MC2 = 2a2 Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD cạnh a Tìm tập hợp các điểm M cho: MA2 + MB2 + MC2 + MD2 = 2a2 Ví dụ 1:Cho tam giác ABC cạnh a.Tìm tập hợp các điểm M không gian cho: MA2 + MB2 + MC2 = 2a2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có MA  MB  MC 3MG  GA  GB  GC 2a Mà GA GB GC  a 3 a  3MG a  MG  2 Vậy tập hợp các điểm M là mặt cầu có tâm G , bán kính R= a 3 Ví dụ 2:Cho tứ diện ABCD cạnh a Tìm tập hợp các điểm M cho: MA2 + MB2 + MC2+ MD2 = 2a2 Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Ta có MA  MB  MC  MD 4MG  GA  GB  GC  GD a GA GB GC GD  a a 2  4MG   MG  a Vậy tập hợp hợp điểm M là mặt cầu tâm G ,bán kính R= Vị trí tương đối mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S(O ; R) và mặt phẳng (P) Gọi H là hình chiếu vuông góc tâm O trên mp( P ) Khi đó d = OH là khoảng cách từ O tới mặt phẳng (P) R .O H P Hãy cho biết mặt cầu và mặt phẳng có thể có vị trí tương đối nào xảy ? R .O H P Nếu M là điểm thuộc (P) thì OM > OH OM > R Vậy điểm M trên mặt phẳng nằm ngoài mặt cầu Do đó mặt phẳng và mặt cầu không có điểm chung R M P O .H R M P O .H R M P O .H R P O H R O .H P H Mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có bao nhiêu điểm chung ? (S) R O O HH P H Mp(P) và mặt cầu có điểm H Điềuđókiện cầnmặt và phẳng đủ để (P) Khi ta nói R O O mặt xúc phẳng tiếp với(P) mặttiếp cầuxúc H H H với mặt cầu S(O ; R)M H Mp(P) mặt điểm Hlàlàtiếp (P)diện vuông cầu điểm H Điểm H gọi góc với bán kính OH là điểm tiếp xúc (hoặc tiếp tiếp điểm H đó điểm) (P) và mặt cầu P Mp(P) cắt mặt cầu S(O ; R) Điềugiao kiệntuyến cần và để theo là đủ đường mặtnằm phẳng (P)mp(P) tiếp xúc tròn trên có tâm mặtcócầu S(O ; R) làvới H và bán kính: điểm H là (P) vuông 2 r = R -d góc với bán kính OH tiếp điểm H đó R M P P M r .O H H Khi d = thì tâm mặt cầu thuộc mặt phẳng (P) Ta có giao tuyến (P) và mặt cầu là đường tròn tâm O bán kính r Đường tròn này gọi là đường tròn lớn mặt cầu Mặt phẳng (P) qua tâm O mặt cầu gọi là mặt phẳng kính mặt cầu đó O M r Bài 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với các cạnh là 3cm và 4cm Cạnh bên SA có độ dài 11 cm và vuông góc với đáy.Chứng minh tất các đỉnh hình chóp nằm trên mặt cầu đường kính SC Tìm tâm và tính bán kính mặt cầu đó Ta ph¶i chøng minh c¸c gãc nµo vu«ng? S,A,B,C,D cïng n»m trªn mặt cầu đờng kính SC, tâm là trung điểm SC, độ dµi b¸n kÝnh lµ: R = cm Khi đó ta nói mặt cầu đường kính SC ngoại tiếp hình chóp SABCD và hình chóp SABCD nội tiếp mặt cầu đường kính SC S  A B O  D C Bài : CMR tất các đỉnh hình hộp chữ nhật nằm trên mét mÆt cÇu Khi đó ta nói mặt cầu tâm O ngoại tiếp hình hộp chữ nhật hay hình hộp nội tiếp mặt cầu A B D C  O A’ D’ B’ C’ Mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình đa diện H và hình đa diện H gọi là nội tiếp mặt cầu mặt nào ?cầu qua đỉnh hình đa diện H • Bài toán (SGK trang 41) Chứng minh hình chóp nội tiếp mặt cầu và đáy nó là đa giác nội tiếp đường tròn Một hình chóp nội tiếp mặt cầu và nào ? Quy tr×nh t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp Ph¬ng ph¸p c¬ b¶n: B1)Kiểm tra điều kiện: Đáy hình chóp phải có đờng tròn ngoại tiếp B2) Tìm tâm đờng tròn ngoại tiếp đáy hình chãp B3) Dựng trục đờng tròn ngoại tiếp đáy h×nh chãp,gäi lµ d S  M  A B4)Dùng mÆt ph¼ng trung trùc cña mét c¹nh bªn gäi lµ mÆt ph¼ng (α) => O = d(α) B O  D  H C Quy tr×nh t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp Nhng th«ng thêng: *) Chän mét mÆt ph¼ng (P) thuËn lîi: Thoả mãn đồng thời chứa trục đờng tròn d chøa mét c¹nh bªn SA S  *) Trong (P) dựng đờng trung trực cña SA => c¾t d t¹i O lµ t©m mÆt cÇu ngoại tiếp hình chóp đã cho M  A B O  D  H C Quy tr×nh t×m t©m vµ b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp §Æc biÖt: *)Nếu tất các đỉnh hình chóp nhìn đoạn thẳng cố định dới góc vuông => hình chóp nội tiếp mặt cầu đờng kính là đoạn thẳng đó HoÆc: NÕu cã mét mÆt ph¼ng (P) chøa +)d: Trục đờng tròn đáy +): Trục đờng tròn mặt bên T©m mÆt cÇu ngo¹i tiÕp chop lµ O = d   S  M  A B O  D  H C Bài 1::Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, mặt bên hợp với mặt đáy góc  Xác định tâm và bán kính Tâm đáy? mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp §¸y Bµi gi¶i: S  VÏ h×nh? Gi¶ sö t©m lµ O => OA = OB = OC = OS Trong mÆt ph¼ng SAH: VÏ trung trùc c¹nh SA, c¾t trôc đờng tròn O A Mét mÆt ph¼ng §êngqua cao C¹nh bªn SA vµchãp trục đờng Cña chãp cña trßn M  O a a3 /2 C  H P   a a B  N S  S M  M O A  a3/3 A    a3/6 N H a a3 /3 P  SA2 R = SO = 2SH SM.SA = SO.SH C  H a tg SH = a3 ?  O  a  N B 1/2SA.SA = SO.SH Bài 2:Chóp tứ giác đều.Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp • S *T©m ph¶i n»m trªn mét trung trùc SA Mét mÆt ph¼ng chøa trôc ® êng trßn vµ mét c¹nh bªn *T©m ph¶i n»m trªn SH M O B C • H