Đang tải... (xem toàn văn)
Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng a.. Giải.[r]
(1)Một số cơng thức tính bán kính mặt cầu
25–04–2017 Nhận xét Xét hình chóp S.ABC, đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O bán kính Rd GọiR bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC, ta có trường hợp
sau:
(1) Nếu SA⊥(ABC)
R =
r
SA2 +R
2
d (1)
(2) Nếu SA=SB =SC
R= SA
2SO (2)
(3) Nếu (SAB)⊥(ABC) bán kính đường trịn ngoại tiếp 4SAB Rb
R =
q
d(O, AB)2+R2b (3)
Chứng minh (1) (2) đơn giản (3) Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB Ta có IO⊥(ABC)và IK⊥(SAB) Xét tam giác IAK, ta có
IA=pIK2+AK2 =
q
d(O, AB)2+Rb2
Để ý OI k(SAB) nênIK =d(O,(SAB)) = d(O, AB)
Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, BC = 2a Cạnh bên SA vng góc với mặt đáy SA=a√3 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Giải Để áp dụng (1), cần tính bán kính đáyRd Vì đáy tam giác vuông B nên
Rd = BC2 = a
√
5
2 Vậy bán kính cần tìm
q
SA2
4 +R2d =a
√
2
Ví dụ Cho lăng trụ tam giác ABC.A0B0C0 có tất cạnh 2a Tính diện tích S mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho
(2)Giải Mặt cầu cho mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A0.ABC, nên với A0A⊥(ABC) ta áp dụng
R=
r
A0A2
4 +R
2 d =
s
a2+
2a √
3
2
= a
√
21
Diện tích mặt cầu 4πR2= 28πa
Ví dụ Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đơi vng góc Biết OA = a, OB =
b, OC =c, tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC Giải Ta có AO⊥(OBC) nên có áp dụng (1),
R =
r
OA2 +R
2 d =
1
p
OA2+OB2+OC2.
Công thức cho phép xây dựng số toán thú vị liên quan đến tứ diện vuông Chẳng hạn
BT Cho tứ diện OABC có A, B, C thay đổi ln thỏa mãn OA, OB, OC đơi vng góc 2OA+OB+OC = Giá trị nhỏ bán kính mặt cầu ngoại tiếpOABC
A √
6
4 B
√
2
2 C
3√3
8 D
3
BT Cho ba tia Ox, Oy, Oz đơi vng góc với Gọi C điểm cố định Oz, đặt OC = 1; điểm AB, thay đổi OxOy, cho OA+OB = OC Tìm giá trị bé bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC
A √
6
3 B
√
6 C
√
6
4 D
√
6
Ví dụ Cho hình chóp tam giác đềuS.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA= √2a
3
Gọi D điểm đối xứng A qua BC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD
Giải Gọi H trọng tâm tam giác ABC, ta có SH⊥(ABC) Bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD AH = √a
3
Trong ta có DH = 2AH, nên H thuộc đường trịn ngoại tiếp tam giác BCD Vậy áp dụng (1),
R=
r
SH2 +R
2 d =
a√21
(3)‘rơi’ đường tròn ngoại tiếp đáy
Ví dụ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp tứ giác có tất cạnh a
Giải Xét hình chóp tứ giác S.ABCD có tất cạnh a Vì hình chópS.ABCD vàS.ABC có mặt cầu ngoại tiếp nên với SA=SB =SC ta áp dụng (2) để có
R = SA 2SO Ta có SO = √SA2−OA2 = qa2− a2
2 = a
√
2 suy R = a
√
2 Vậy
thể tích khối cầu
3πR3= πa3√2
3
Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh Hình chiếu đỉnh S lên mặt đáy trùng với tâm O đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC Biết bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC 23 Tính thể tích khối chóp
Giải Vì S cách A, B, C nên áp dụng (2) Ta có liên hệ
SA2=SO+1
SA2
2SO =
2
Giải hệ thu SO = 1, thể tích khối chóp cho √
3 12
Ví dụ Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A, AB = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Đường thẳng BC tạo với(SAC)một góc 30◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Giải Áp dụng (3), ta cần tính bán kính Rb đường trịn ngoại tiếp
4SAB d(O, AB) với O trung điểm BC Vì 4SAB nên có Rb= √13 (cho a= 1)
Gọi H trung điểm cạnh AB, theo giả thiết ta có SH⊥(ABC) Dễ có d(B,(SAC)) = 2d(H,(SAC)) =
√
3
d(B; (SAC)) = BCsin 30◦⇒BC =√3 Từ suy AC =√2 d(O;AB) = AC2 = √1
2 Vậy bán kính
cần tìm
R=
q
R2b +d(O, AB)2 =
r
5
(4)của cạnh BC E điểm đối xứng D qua A Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE
A a √
21
6 B
a √
3 C
2a √
3 D
a
2
Giải Gọi H trung điểm cạnh AB, (SAB)⊥(ABC) nên ta có SH⊥(ABC) Đối với hình chóp S.ABE, ta áp dụng (3),
R =
q
R2b +d(O,(AB))2.
• VớiOlà tâm đường tròn ngoại tiếp tam giácEAB, nhiên khơng cần thiết xác định vị trí O, ta có
d(O, AB)2 =R2d−AB
2
4 =
a√5
!2
− a
4 =a
• Rb bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB, tức
Rb = √a3
Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE √2a
Như tình khó xác định vị trí tâm O, ta dùng (2) dạng (2’) sau:
R =
r
Rb2+R2 c −
AB2
Ví dụ Cho tứ diện ABCD có ABD tam giác cạnh a, CD = a (ABC)⊥(ABD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a
A a √
3
6 B
a
2 C
2a √
3 D
a √
3
Giải Vì (ABC)⊥(ABD) nên ta có DH⊥(ABC) với H trung điểm cạnhAB VìDcách đềuA, B, C nênH trùng với tâmO đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tức d(O, AB) = Như trường hợp này, (3) trở thành R =Rb= √a3
Nhận xét Cho hình chóp S.ABC, đường trịn nội tiếp đáy ABC có tâm I, bán kính rd, SI⊥(ABC) SI =h Khi đó, bán kính r mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC thỏa
mãn 0< r < h
2 đồng thời
(5)Chứng minh Gọi J tâm mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Kẻ IM⊥AB M ta có AB⊥(SIM) Kẻ tiếp J H⊥SM H, kết hợp với AB⊥J H ta J H⊥(SAB) Vậy J H bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABC Đặt J H = J I = r MSHJ ∼MSIM nên
SH SI =
J H IM ⇔
q
(h−r)2−r2
h =
r rd
⇔
hr2+ 2rd2r−rd2h= 0< r < h2
Ví dụ 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ABC[ = 60◦ Hình chiếu S lên mặt đáy trùng với giao điểm O củaAC BD Cho biết SO = a4, tính theo a bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD
A √
3−1
4 a B
2−√3
2 a C
2√3 +
4 a D
2√3−3
4 a
Giải Vì O tâm đường trịn nội tiếp hình thoi ABCD SO⊥(ABCD) nên áp dụng nhận xét Vậy cần tính thêm rd, ta có
rd =d(O, AB) =
a√3
Bán kính r mặt cầu thỏa phương trình
hr2+ 2r2dr−hrd2= 0, thử phương án chọn D
Ví dụ 11 Cho mặt cầu có bán kính Xét hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu Hỏi thể tích nhỏ chúng
A 4√3 B 8√3 C 9√3 D 16√3
Giải Đặt x, h độ dài cạnh đáy chiều cao hình chóp tam giác ngoại tiếp mặt cầu bán kính Khi đó, bán kính đường trịn nội tiếp đáy x√3
6 Ta có theo (4),
h.12+ x
√
3
!2
.1− x √
3
!2
h= 0⇒h= 2x
x2−12
Thể tích khối chóp
V =
x2√3
(6)Khảo sát hàm số √12; +∞
cho thấy V ≥8√3 Chọn B Sau số tập
BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật AB = 2a, AD = 5a, SA⊥(ABCD) SA = a Trên BC lấy điểm E cho CE = a Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SADE
A a √
26
2 B
a√26
3 C
2a√26
3 D
a√26
BT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân B, AB = BC = 2a
[
ABC = 1200 Cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy vàSA=a Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
A a √
17
5 B
a√17
2 C
a√17
3 D
a√17
BT Cho hình lăng trụ đứng ABC.A0B0C0 có đáy tam giác vng A, AB = 2a√3 Đường chéo BC0 tạo với mặt phẳngAA0C0C góc 60◦ Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ cho
A a
2 B a C 3a D 2a
BT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng B, AC = 4a Hình chiếu vng góc đỉnh S mặt phẳng (ABC) trung điểm H đoạn AC Góc cạnh bên SA mặt phẳng (ABC) 60◦ Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
A 11 √
3
6 B
4√3
6 C
4√3
3 D
11√3
BT Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân tạiA, AB =a Tam giác SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
A a √
21
6 B
a√21
4 C
a√11
4 D
a√11
BT Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD tứ giác vớiBb=Db = 900, AB =AD=a
và CB =CD =a√2 Hai mặt bên (SAB) (SAD) vng góc với mặt đáy, mặt bên
(SBC) hợp với đáy góc 45◦ Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
A V = 20πa
3 B V =
4π√2a3
3 C V =
4πa3
3 D V =
4√3πa3
(7)BT Cho hình chóp S.ABC có SA= SB =AB = AC = a, SC = a
√
6
3 (SBC)⊥(ABC)
Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
A 6πa2 B 48πa
2
7 C
12πa2
7 D 24πa
2
BT 10 Cho tứ diện ABCD có AB = BC = AC = BD = 2a, AD = 3a (ACD)⊥(BCD) Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD
A 64a
2π
3 B
64a2π
9 C
64a2
3 D 64πa
2.
BT 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang cân(ABkCD) Biết AD=a, AC =a√3, AD⊥AC SA=SB =SC =SD = 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
BT 12 Cho tứ diện ABCD cạnh a, tính tỉ số thể tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD thể tích khối cầu tiếp xúc với tất cạnh tứ diện ABCD
BT 13 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh 1, ABC[ = 60◦ Hai mặt phẳng (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy Cạnh SB tạo với mặt đáy góc 60◦ Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABD
A 7π B 13π
3 C 13π D 10π
BT 14 Cho tứ diện ABCD có ABC ABD tam giác cạnh a nằm hai mặt phẳng vng góc với Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD theo a
A
3πa
2 B. 11
3 πa
2 C. 2πa2 D.
3πa
BT 15 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, mặt bên (SAB) tam giác nằm mặt phẳng vng góc với đáy Diện tích xung quanh mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
A 5πa
2
3 B
5πa2
6 C
πa2
3 D
5πa2
12
BT 16 Cho chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân C, CA = a, SA = a√3, SB =a√5 SC =a√2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC
A a √
11
6 B
a√11
2 C
a√11
3 D
(8)Giải Độ dài cạnh cho thấy tam giác SAC vuông C Kết hợp với giả thiết AC⊥BC ta có AC⊥(SBC) Vậy áp dụng (1)
BT 17 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình chữ nhật,AC = 7a, SA=a√7vàSA⊥(ABCD) Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
A a√56 B a√14 C a√7 D 7a
2
BT 18 Cho tứ diện S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB = 3a, AC = 4a Hình chiếu H S trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC Biết SA = 2a, bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
A √
118
4 B
√
118
2 C
√
118
8 D
√
118
BT 19 Cho tứ diệnS.ABC có tam giácABC vng tạiB, AB=a, BC =a√3vàSA=a√2, SB =a√2, SC =a√5 Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.ABC
A a √
259
7 B
a√259
14 C
a√259
2 D
a√37 14
BT 20 Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B với AB = 3, BC = Hai mặt bên (SAB)và (SAC) vng góc với mặt đáy BiếtSC hợp với ABC góc 45◦ Thể tích khối cầu ngoại tiếp S.ABC
A 5π √
3
2 B
25π√2
3 C
125π√3
3 D
125π√2
BT 21 Cho mặt cầu (S) tâm I có bán kính R khơng đổi Gọi điểm A, B, C, D thuộc mặt cầu (S) thỏa mãn DA =DB =DC, khoảng cách từ I đến mặt phẳng (ABC) R2 đồng thời D, I thuộc phía mặt phẳng (ABC) Giá trị lớn thể tích khối tứ diện ABCD
A 3R
3
8 B
R3
8 C
3R3√3
32 D
9R3√3 32
BT 22 Nghiệm dương phương trình x+ 21006
21008−e−x
= 22018
A 15.21006 B 2017 C D 21011