(Sáng kiến kinh nghiệm) phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp 9 tại trường THCS quang trung, TP thanh hóa

MỤC LỤC Trang 1.MỞ ĐẦU…………………………………………………………… 1.1.Lí chọn đề tài………………………………………………… 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm 2.NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2 2 2.1.Cơ sở lí luận SKKN………………………………………… 2.2.Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN 2.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình khơng mẫu mực 2.3.1 Phương pháp 2.3.2 Phương pháp cộng đại số 2.3.3 Phương pháp đưa phương trình dạng tích 2.3.4 Phương pháp đặt ẩn phụ 2.3.5 Phương pháp dùng bất đẳng thức Một số câu hệ phương trình khơng mẫu mực đề thi HSG tốn tỉnh Thanh Hóa …………………………… 2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục với thân, đồng nghiệp nhà trường 3.KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1.Kết luận 3.2 Kiến nghị 5 10 12 13 15 15 15 16 Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài Phương trình, hệ phương trình là mợt nợi dung rất quan trọng bậc học phổ thông đặc biệt cấp THCS, vì nó là nền tảng để giúp học sinh tiếp cận đến các nội dung khác chương trình toán học, vật lí học, hoá học của bậc học này Trong chương trình toán của bậc học phổ thông, từ lớp học sinh được học về hệ phương trình, bắt đầu là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Cùng với đó học sinh được học hai quy tắc biến đổi tương đương một hệ phương trình là “Quy tắc thế”, “Quy tắc cộng đại số” Lớp và lớp học sinh được học khá đầy đủ về phương trình một ẩn như: phương trình bậc nhất một ẩn, phương trình tích, phương trình chứa ẩn ở mẫu, phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối, phương trình bậc hai, phương trình vô tỷ Thông qua việc học các dạng phương trình học sinh được trang bị tương đối đầy đủ về các phương pháp giải các phương trình đại số, điều này đồng nghĩa với việc học sinh được trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không phải là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Các hệ phương trình mà cách giải tuỳ thuộc vào đặc điểm riêng của hệ, không có một đường lối chung cho việc giải các hệ đó, ta gọi các hệ dạng này là hệ phương trình không mẫu mực Việc giải các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải nắm rất vững các phương pháp biến đổi tương đương một hệ phương trình, các phép biến đổi tương đương một phương trình, đặc biệt học sinh phải rất tinh ý phát hiện những đặc điểm rất riêng của từng hệ từ đó có cách biến đổi hợp lí nhờ đó mới có thể giải được hệ Trong nội dung chương trình toán lớp và lớp đã trang bị cho học sinh khá đầy đủ kiến thức về phương trình và hệ phương trình đại số cùng các phương pháp giải Nhưng việc trang bị các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực hầu không được đề cập tới sách giáo khoa, kể cả hệ thống sách tham khảo hiện có dành cho học sinh trung học sở Việc giải được các hệ phương trình không mẫu mực đòi hỏi học sinh phải vận dụng rất khéo léo các kiến thức đã học để có được cách biến đổi hợp lí đối với riêng từng hệ phương trình đã cho, điều này đánh giá được trình độ kiến thức tư linh hoạt của học sinh Chính vì vậy, nội dung các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán 9, đề thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Lam Sơn tỉnh Thanh Hóa, thường xuất hiện các câu hỏi yêu cầu học sinh phải giải các hệ phương trình không mẫu mực, với mục đích phân loại đới tượng học sinh Khơng Thanh Hóa mà nội dung đề thi tuyển sinh vào khối THPT chuyên của trường Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm Hà Nội ở môn toán vòng 1, vòng xuất hiện các câu hỏi giải hệ phương trình tḥc kiểu hệ phương trình khơng mẫu mực Tài liệu tham khảo đối với các giáo viên phụ trách bồi dưỡng học sinh giỏi viết riêng cho chuyên đề giải hệ phương trình không mẫu mực không có, giáo viên dạy gặp rất nhiều khó khăn và lúng túng dạy đến chuyên đề này Vì vậy, dạy đến nội dung này giáo viên thường dạy lướt qua bằng một số ví dụ minh hoạ, chưa làm rõ được những đường lối chung để giải các hệ phương trình không mẫu mực Chính vì những lí mang tính lí luận và thực tiễn mà chọn “Phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán lớp trường THCS Quang Trung – Thành phố Thanh Hóa” làm đề tài sáng kiến kinh nghiệm của mình 1.2 Mục đích nghiên cứu Sáng kiến kinh nghiệm này nhằm mục đích tập hợp, sắp xếp hệ thống các phương pháp thường được sử dụng để giải hệ phương trình không mẫu mực dùng bồi dưỡng học sinh giỏi lớp của cấp trung học sở Nhiệm vụ cần đạt: - Chỉ được kiến thức về hệ phương trình có liên quan mà học sinh cần nắm vững trước tiếp cận với các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực - Đưa hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư kiến thức bộ môn - Xây dựng được hệ thống các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh theo từng phương pháp cụ thể, nhằm giúp học sinh có được bài tập luyện tập khắc sâu kiến thức, giáo viên giảng dạy có được hệ thống bài tập minh hoạ phong phú cho phương pháp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của sáng kiến kinh nghiệm này là hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực, những điểm học sinh cần lưu ý tiến hành giải các hệ phương trình loại này 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp vật biện chứng và vật lịch sử - Phương pháp phân tích tổng hợp - Phương pháp so sánh, đối chiếu, thống kê - Phương pháp số liệu, hệ thống hoá … phỏng vấn, điều tra, khảo sát điều tra thực tế 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Đưa hệ thống các phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực có sự sắp xếp hợp lôgíc về mặt tư kiến thức bộ môn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận kiến kinh nghiệm Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn Định nghĩa: (SGK – Toán Tập 2) (1) ax  by  c Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn là hệ có dạng:  a ' x  b ' y  c ' (2) đó a, b, c, a’, b’, c’ là các số cho trước,trong đó: a '2  b '2  a  b  và Nghiệm của hệ phương trình là cặp sớ  x; y  thoả mãn đồng thời hai phương trình (1) và (2) của hệ Giải hệ phương trình tức là tìm tất cả các nghiệm của hệ Cách giải: Trong chương trình toán trung học sở để giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ta thường sử dụng hai phương pháp: - Phương pháp thế nhờ sử dụng quy tắc thế; - Phương pháp cộng đại số nhờ sử dụng quy tắc cộng đại số Để minh hoạ cho hai phương pháp này ta xét ví dụ sau: x  y  Ví dụ: Giải hệ phương trình:   x  y  3 Lời giải: Cách 1: (Sử dụng phương pháp thế) x   y x  y  x   y  x  1      x  y  3 y 1 2   y   y  3 5 y  Vậy hệ có nghiệm nhất  x; y    1;1 Cách 2: (Sử dụng phương pháp cộng đại sớ) Hệ phương trình cho tương đương với: x  y   x  y   x  1    2 x  y  3 2 x  y  3  y  Vậy hệ có nghiệm nhất:  x; y    1;1 Hệ phương trình đối xứng loại một Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại một nếu mỗi phương trình của hệ đã cho đối xứng với hai ẩn x và y (nghĩa là mỗi phương trình của hệ không thay đổi ta đổi vai trò của x và y cho nhau) Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ Cách giải thường dùng: Đặt S  x  y và P  xy , với điều kiện S2  4P  đưa hệ đã cho về hệ đơn giản đã biết cách giải Ví dụ:  x  xy  y  Giải hệ phương trình:   x  xy   Lời giải: Đặt: S  x  y P  xy , đó hệ đã cho có dạng:  S  P   S  S    S  3   Hoặc  S  P  P   S P    S   P  S  Ta nhận  thỏa mãn điều kiện S2  4P  ta P  x  x  hay  nghiệm hệ phương trình là:  y  y  Hệ phương trình đối xứng loại hai Định nghĩa: Một hệ phương trình hai ẩn x, y được gọi là hệ phương trình đối xứng loại hai nếu hệ phương trình, đổi vai trò của x và y cho thì phương trình này trở thành phương trình Tính chất: Nếu (x0; y0) là một nghiệm của hệ thì (y0; x0) cũng là nghiệm của hệ Cách giải thường dùng: Trừ các vế tương ứng của hai phương trình thì x  y  nhận được phương trình tích dạng  x  y  f  x, y      f  x, y   Từ đó hệ đã cho tương đương với hai hệ đơn giản có thể giải được  x  y   x2 Ví dụ Giải hệ phương trình:  2 y  x  32 y  2 x  x y  ĐK: x, y  0.Hệ phương trình cho   2 y  xy  Trừ vế với vế hai phương trình ta được: 2(x3 – y3) + xy(x - y) =  2(x - y)(x2 + xy + y2) + xy(x - y) =  (x - y)(2x2 + 3xy + 2y2) = (*)   2 Vì 2x + 3xy +y =  x  y   y > với  x, y    Nên (*)  x – y =  x = y Thay x = y vào phương trình đầu ta 3x3 =  x3 =  x = (TM ĐK) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x ;y) = (1 ;1) Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai hệ phương trình có dạng: ax  bxy  cy  d  , , , , a x  b xy  c y  d Để giải hệ phương trình ta phải xét hai trường hợp: - Tìm xem hệ PT có nghiệm x = y = hay không cách kiểm tra nghiệm - Xét trường hợp hệ có nghiệm x khác y khác đăt x = ky ( hay y=kx), thay vào hệ để tìm cách loại y (hoặc x) đưa đến phương trình bậc hai theo k, từ suy nghiệm x, y 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Để có kết quả đối chứng trước tiến hành áp dụng sáng kiến học sinh đối với học sinh, đã tiến hành cho 30 học sinh đội tuyển Toán lớp trường THCS Quang Trung năm học 2017-2018 làm bài kiểm tra tiền thực nghiệm với nội dung đề bài sau: ĐỀ BÀI: Giải các hệ phương trình sau: 2 2  x  y  xy   y ( x  y )( x  y )  45  2  2 ( x  1)( x  y  2)  y ( x  y )( x  y )  85 xy  2  x  3x  y x  y   16   x y   y  y  z  x  12  x  y  x  x   z  3z   x   BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ TIỀN THỰC NGHIỆM Điểm 0–2 3-4 5–6 7–8 – 10 Số lượng Tỉ lệ % 16 53% 27% 13% 7% 0% Dưới trung bình 24 80% Trên trung bình 20% 2.3 Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực 2.3.1 Phương pháp Ví dụ 2 x  y  xy  y  x   Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  x  y   Lời giải: 2 2 x  xy  y  x  y   (1) Giải hệ:  2 (2)  x  y  x  y   2 Từ (1) Û 2x + (y - 5)x - y + y + =  x  ( y  5)  8( y  y  2)  9( y  1)  y  3( y  1)  x  2 y    x   y  3( y  1)  y   * Với: x = - y, ta có hệ : x   y x   y   x  y 1   2 x  y  x  y   y  y     y 1 *Với x  , ta có hệ: x  y 1  y 1   x    y  2x 1 x       5 x  x     x2  y2  x  y     13   y      13  Vậy hệ phương trình có nghiệm: (1;1)   ;    5 Nhận xét: - Ta xem phương trình (1) hệ phương trình bậc ẩn x ẩn y tham số tiến hành giải -Ngồi Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử biến đổi phương trình (1) dạng tích.Việc phân tích đa thức vế trái của phương trình thứ nhất của hệ, giáo viên dạy nên hướng dẫn học sinh sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để tiến hành biến đổi vì là đa thức bậc hai đối với hai ẩn x  y   Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  xy    x  y  x  y    Lời giải:Ta có:   2  x  y  xy    y  1  y  y  y  1   x  y 1 x  y 1  x  y   x  1 x     Hoặc  Hoặc   y 1  y  y 1 5 y  y  1   y  Vậy hệ phương trình cho có hai nghiệm:  1;  ;  1; 1 Nhận xét: Phương trình thứ nhất của hệ là phương trình bậc nhất hai ẩn nên ta có thể rút x theo y ( hoặc y theo x ) rồi thế vào phương trình còn lại của hệ, theo quy tắc thế ta nhận được một hệ mới tương đương Trong hệ mới nhận được có một phương trình là phương trình một ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ Trong lời giải trên, ta đã tính x theo y từ phương trình thứ nhất rồi thế vào phương trình thứ hai Ta cũng có thể tính y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai của hệ, nhiên việc biến đổi hệ tiếp theo sẽ trở nên phức tạp vì xuất hiện phân số  x  y  1  x  y  1  3x  x  Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:   xy  x   x Lời giải: (1) (2) Nhận thấy x  không thoả mãn phương trình (1) của hệ nên hệ không có nghiệm  0; y  x2  Khi x  từ phương trình (2) ta có y   thay vào phương trình (1) ta x   x   x2   2 x   x    x  x  ( x  1)(2 x  1)  ( x  1)(3 x  1) x  x     được:   x2  x 1  y 1  y   x   x 2 x( x  1) ( x  2)  x   x  2      x  Hoặc  x2  x2  y 1 y 1 x y 1  x   x  x   Hoặc  y  1  x  2   y    5  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là:  1;  1 ;  2;   2  Nhận xét: Phương trình (2) của hệ là phương trình bậc nhất đối với ẩn y nên ta tiến hành tính ẩn y theo ẩn x rồi thế vào phương trình (1) của hệ Tuy nhiên việc tính y theo x ta phải thực hiện phép chia cho x, nên cần nhận xét x2   0; y  không là nghiệm của hệ để từ đó với x  ta có thể tính y   và x hệ nhận được tương đương với hệ đã cho 2.3.2 Phương pháp cộng đại số:  x  y  10 x  Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  2  x  y  x  y  20  Lời giải: Lấy phương trình thứ trừ cho phương trình thứ hai ta y  x  10 Theo quy tắc cộng đại số, hệ đã cho tương đương với hệ phương trình sau:  x  y  10 x   x  (7 x  10)  10 x   x  3x        y  x  10  y  x  10  y  x  10  x  1  x  2 Hoặc    y  17  y  24 Vậy hệ đã cho có nghiệm:  1;  17  ;  2;  24  Nhận xét: Tuy ở cả hai phương trình của hệ đều không có phương trình nào là phương trình bậc nhất đối với một ẩn, bằng việc sử dụng quy tắc cộng đại số trừ vế với vế hai phương trình của hệ ta được một phương trình là phương trình bậc nhất hai ẩn, nhờ đó ta đã giải được hệ  x  y  xy  x  y   xy Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau   x  y  xy  3x  y   xy HD giải: Để giải hệ phương trình ta có thể biến đởi nhờ quy tắc cộng đại số sau:  x  y  xy (2 x  y )  xy ( x  y  xy (3x  y ))  ( x  y  xy (2 x  y )   xy    x  y  xy (3x  y )  xy  x  y  xy (3x  y )  xy  xy ( x  y  1)    x  y  xy (3x  y )  xy Nhận xét: Đến việc giải hệ ban đầu được đưa về việc giải hệ phương trình đơn giản Cách biến đổi này khá đơn giản nên học sinh khá dễ tiếp thu, đặc biệt là học sinh lớp 2.3.3 Phương pháp đưa phương trình dạng tích  x  xy  y  Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  2 2 x  y  Lời giải: 2 ( x  y )( x  y )   x  y x  3y  x  xy  y  Hoặc       2 2 2 x  y  2 x  y  9 y  19 y    2 19 19   x  x   x  x         3 9     y  y  1  y  19  y   19     3 9 Vậy hệ đã cho có nghiệm: 19   3 19  19     2 1   19 ; ; ;    ; ;  ; ;  3 3 19 19 19 19         Nhận xét: Trong hệ phương trình trên, phương trình thứ nhất chính là phương trình đẳng cấp bậc hai, nhiên đối với học sinh lớp không nên giải bằng cách đặt x = ky vì với cách giải này học sinh rất khó hiểu tại lại nghĩ cách đặt đó Chính vì vậy, dạy giáo viên nên hướng dẫn học sinh hãy phân tích phương trình thứ nhất về dạng tích và biến đổi tiếp cách giải  x2  y  Ví dụ Giải hệ phương trình sau  4 xy  x  y  Lời giải: Cộng vế với vế hai phương trình hệ ta được: x  xy  y    x  y   12   x  y    x  y   12    x  2y  4  x  2y  3   x  2y  4 h c x  2y    x  y  4 (a)  xy  x  y   x2  y    Do ta có:   x  y  4 xy  x  y   (b)  4 xy  x  y  Giải hệ (a):  x  2 y   x  2 y   x  y  4      4 xy  x  y  4 y  2 y     2 y    y  8 y  16 y  11  Vì phương trình y  16 y  11  có  '  24  nên vô nghiệm Do vậy hệ (a) vô nghiệm x   y x  y    4 xy  x  y  4 y   y     y   y  x   y x  y  Giải hệ (b):   x   y  y  x2        2 y  y    y  y     2   1 Vậy hệ đã cho có nghiệm:  1; 1 ;  2;   2 Nhận xét: Trong hệ chưa có phương trình nào của hệ có thể đưa về dạng tích, nhiên bằng việc cộng vế với vế hai phương trình của hệ theo quy tắc cộng đại số ta nhận được một hệ mới, hệ mới này có một phương trình đưa được về dạng tích  x  xy  y  y  x (1) Ví dụ Giải hệ phương trình:  (2)  y x  y   x  Giải: ĐK: x  y   Ta biến đổi phương trình (1) làm xuất nhân tử chung (3) x  y (1)  x  y  xy  y  y  x   ( x  y )( x  y  2)     x   y (4)  y  0; x   x   y  Từ (3) & (2) ta có x=y=1 Từ (4) & (2) ta có   y   1; x   y  y  y 3  Kết luận : Hệ có nghiệm (1 ; 1) ; (2 ; 0) ; ( 8/3 ; -1/3) 2.3.4 Phương pháp đặt ẩn phụ * Điểm mấu chốt phương pháp phải phát ẩn phụ u  f  x; y  ; v  g  x; y  phương trình hệ sau số phép biến đổi hệ cho * Thông thường việc biến đổi hệ xoay quanh việc cộng, trừ phương trình hệ theo vế chia hai vế phương trình hay hai phương trình hệ cho đại lượng khác phương trình, nhờ nhận việc phải chọn ẩn phụ cho hợp lí  x( y  3)  y  Ví dụ 1:Giải hệ phương trình:  2 ( x  1) y  y  1 Giải 3x  Trường hợp 1: Xét y = 0, hệ cho trở thành  vô lý 0  1  x (1  )    y y Trường hợp 2: Xét y ≠ 0, HPT   ( x  1)     y y2  x  t  3xt  Đặt t   , ta có hệ phương trình :  2 y  x  t  2( x  t )  1 S  x  t ( S  P) , ta có hệ phương trình; Đặt   P  xt  S     S  3P   S  3P  S  3    (loại)  32  S  S  P  1 3S  S  15   P  P   x  S  x  t  x  x  x          P   xt  t  t   y  1  y   Hệ phương trình có hai nghiệm: (1;  );(2; 1)  x  x  y  y   Ví dụ Giải hệ phương trình sau:  x y  x  y  22   Lời giải: Hệ phương trình cho tương đương với 2 2 2 ( x  2)  ( y  3)  ( x  2)  ( y  3)    2 ( x  2) y  x  22   ( x   4)( y   3)  x   20  10  x2   u Đặt  y   v u  v  đó hệ phương trình trở thành:  u.v  4(u  v)  u  u  Giải hệ ta được   v  v  Thế vào cách đặt ta nghiệm hệ là:  x   x  2  x   x   ; ; ;   y   y   y   y  Nhận xét: Với hệ phương trình trên, việc biến đổi hệ để xuấn hiện bộ phận để đặt ẩn phụ khá dễ nhận việc phải sử dụng hằng đẳng thức nhờ phương trình thứ nhất của hệ  x    y  Ví dụ Giải hệ phương trình sau:   y    x  3 Lời giải: Đk:   x  4;   y  2 Đặt  y  u (u  0)  x  v(v  0) suy : y = 4- u2 x= 4-v2 thay vào hệ ta có :  11  2v  u  11  2v  (4  u ) =>   2 11  2u  (4  v)  11  2u  v  Trừ vế phương trình hệ ta : 2(u2- v2) = (8-u-v).(v-u)=> (u-v).(u+v+8) = => u= v u+v+8 >0 Khi đó: 11-2v2 = (4-v)2 => 3.v2 -8v + =0 Đưa dạng tích ta có v = v = (thoả mãn ) 11 +) Nếu v = x = y =3(TM) +) Nếu v = x = y = (TM) 11 11 Vậy nghiệm hệ (x ; y) = (3,3) (x ; y) = ( , ) 9 Ví dụ  x y   y x   xy Giải hệ phương trình sau:   x x   y y    x  y Lời giải: Dễ thấy x = y = nghiệm hệ Xét x ≠ y ≠ 0, hệ biến đổi dạng: 11  x2  y2   7   x2  y2  x y   7   x y    2  x x2   x  y y   y   y2    x  1 1  x y u  v   y2  x2  Đặt u  , ta hệ:  ; v= x y  u   v      15 30  ; Vậy hệ có nghiệm là: 1;  ;   15     15 2 (1)  x  y  xy   y Ví dụ Giải hệ phương trình:  2  y ( x  y )  x  y  (2)     Giải: Nhận thấy y=0 không thỏa mãn hệ Với y khác không, chia hai vế  x2  x y4 a  x  y   y  (1) (2) cho y ta được:  Đặt  x  ta ( x  y )  x   b  y   y   a  5, b  a  b  b   a b   a      a  3, b  a  2b  a  2(4  a)  a  2a-15=0 Từ ta tìm x y 2.3.5 Phương pháp dùng bất đẳng thức Ví dụ 1: Giải hệ phương trình sau:  x   y   z     x  y  z  Giải: Điều kiện: x, y, x  1 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki, ta có:   x   y   z   3. x  y  z  3  3.12  36  x 1  y   z   Dấu “=” xảy  x  y  z  (thỏa mãn phương trình 2) Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y; z) = (3; 3; 3) 12 Ví dụ 2: Giải hệ phương trình sau:  2x  x2   y   y3 z  y  y    4z x   z  z4  z2  HD giải: 2x Vì  y  nên xảy hai trường hợp sau: x 1 Với y = 0, x = y =z = Vậy (x; y; z) = (0; 0; 0) nghiệm hệ phương trình Với y > 0, x > 0, z > 2x 2x 2 x 1  2x nên  x hay y  x x 1 x 1 3y2 y Theo bất đẳng thức Cơsi ta có: y  y   y y  y  y  y2  hay z  y Tương tự từ phương trình thứ hệ  x  z Vậy x  y  z  x  x  y  z Thay vào phương trình đầu ta x = y = z =1 ( thỏa mãn) Vậy nghiệm hệ phương trình là: (0; 0; 0) ; (1; 1; 1) MỘT SỐ CÂU HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG MẪU MỰC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TỈNH THANH HÓA   x   y3 1) Giải hệ phương trình :  (Năm học 2012 – 2013) x    y 4 2 2  3x  z HD giải: Điều kiện y  0.Đặt z = ta hệ :  Trừ vế với vế y 2  3z  x hai phương trình ta đươc ( x  z )( x  xz  z  3)  z 3z  x  z  (vì x2 + xz + z2 +3 = (x + ) +  > với x, z) Thay x = z vào phương trình (1) hệ ta được : x3 – 3x – =  (x+1)2(x - 2) =  x = -1 x = Với x  z  1  y  2  nghiệm (x ; y ) hệ (1; 2) Với x  z   y   nghiệm (x ; y ) hệ (2;1) Vậy nghiệm (x ; y ) hệ (1; 2)  và (2;1) 13 x  y  z  2) Giải hệ phương trình  (Năm học 2013 – 2014) 4 x  y  z  xyz  HD giải: x4  y y  z z  x4 2 2 2 Ta có: x  y  z     x y y z z x = 2 2 2 2 2 2 2 x y y z y z z x z x x y =    xyyz  yzzx  zxxy 2 = xyz (x + y + z) = xyz ( x + y + z = 1) x  y  z x yz Dấu xảy   x  y  z  1 1  Vậy nghiệm hệ phương trình là:  x  ; y  ; z   3 3   x  y  x y 3) Giải hệ phương trình  (Năm học 2014 - 2015) 2 ( x  y )(1  xy )  x y HD giải: Với x = y = nghiệm hệ phương trình Nhận thấy x  y  ngược lại Xét x  ; y  hệ phương trình tương đương với 1 1 1 (1)     x y  x y    (2) 1 (  )(1  )  (  )(2  )   x y  x y xy xy 1  x  y  1  x  y  Thay (1) vào (2) ta (  )    x y  1  xy Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (0 ; 0) ; (1 ; 1) Bài tập: Giải hệ phương trình sau :  1 1  x2  x   x  x  1    y y y   a)  ( 2011 – 2012) b)  ( 2010 – 2011)  y  y   x3  x  x    x  y y y3  y (3x  y )  10 ( x  1)( y  1)  10 c)  ( 2009 – 2010) d)  ( 2008- 2009) 4 x   xy ( x  y )( xy  1)  14    2 x 1  3 x  y    f)  (2016 – 2017)   2 y   x  y  1     2.4 Hiệu SKKN hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Sau tiến hành triển khai nội dung của sáng kiến với chuyên đề “ Một số phương pháp giải hệ phương trình không mẫu mực” đối với 30 học sinh lớp nhóm thực nghiệm (Đội tuyển Toán) tại trường THCS Quang Trung năm học 2017-2018, tiến hành cho nhóm học sinh làm bài kiểm tra sau thực nghiệm với nội dung đề sau: 6( x  y )  xy  e) 12( y  z )  yz ( 2007- 2008) 4( z  x)  zx  Giải các hệ phương trình sau:  x  xy  y  3x  1)   xy  y  y    x3  x  y 2)   y  y  x  x3 (6  y )    x( y  6)  3) 3) 2 4)  x  xy  y    x  xy  x  y   BẢNG THỐNG KÊ KẾT QUẢ SAU THỰC NGHIỆM Điểm Số lượng 0-2 3-4 5–6 7–8 Dưới Trên – 10 trung trung bình bình 24 Tỉ lệ % 0% 20% 30% 27% 23% 20% 80% Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận Giải hệ phương trình không mẫu mực là một yêu cầu khó các đề thi, để kiểm tra Để giải được những hệ loại này đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức về phương trình và hệ phương trình, học sinh phải rất linh hoạt về cách giải cho từng hệ khác Với đặc điểm này mà ta có thể đánh giá được tính mềm dẻo, tính linh hoạt tư của học sinh, khả phát hiện tình huống có vấn đề tốt của người học Đây chính là lí mà nội dung các đề thi chọn học sinh giỏi của bậc THCS cũng của bậc THPT và đề thi tuyển sinh vào các trường Đại học, Cao đẳng hiện hầu không thể thiếu được yêu cầu này Sáng kiến kinh nghiệm này là kết quả của sau nhiều năm làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi dự thi cấp thành phố, cấp tỉnh và đặc biệt là ôn tập cho học sinh chuẩn bị thi vào các trường chuyên, lớp chọn và ngoài tỉnh Tôi 15 hy vọng sáng kiến kinh nghiệm của mình có thể là một tài liệu tham khảo hữu ích cho các đồng nghiệp giảng dạy toán, góp phần giúp cho nâng cao chất lượng giáo dục đại trà và đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi bậc trung học Sáng kiến kinh nghiệm này viết nhằm mục đích phục vụ công tác bồi dưỡng học sinh giỏi đối với học sinh lớp của cấp THCS và ôn tập thi vào các trường chuyên, lớp chọn của bậc THPT Những nội dung sáng kiến cũng có thể làm tài liệu cho học sinh lớp 12 chuẩn bị ôn tập thi vào các trường Đại học, Cao đẳng, làm tài liệu tham khảo cho các đồng nghiệp bộ môn Toán của bậc THCS và THPT 3.2 Kiến nghị Để có thể triển khai nội dung của sáng kiến này đạt kết quả tốt đối với học sinh, đòi hỏi giáo viên cần chuẩn bị cho học sinh các kiến thức về: các phương pháp giải phương trình đại số; phương pháp giải hệ phương trình đới xứng, hệ phương trình đẳng cấp; các kiến thức bản về bất đẳng thức, bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức Đối với học sinh lớp của bậc THCS, nên áp dụng sáng kiến này học sinh đã được học về công thức nghiệm của phương trình bậc hai, chuẩn bị ôn thi học sinh giỏi vào cuối năm, ôn thi vào các trường chuyên, lớp chọn của bậc THPT XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 02 tháng năm 2018 Người thực Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác Lê Vi Linh 16 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tạp chí Tốn học tuổi thơ; Tốn học tuổi trẻ Đề thi HSG mơn Tốn TP Thanh Hóa, tỉnh Thanh Hóa năm gần Giải đề thi tuyển sinh đại học chuyên đề đại số Đề thi HSG mơn tốn Thành phố Thanh Hóa Tốn nâng cao & chun đề đại số Các đề thi vào lớp 10 THPT chuyên Phương pháp giải toán Đại số Tuyển chọn đề thi học sinh giỏi THCS mơn tốn ... vào phương trình đầu ta 3x3 =  x3 =  x = (TM ĐK) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm (x ;y) = (1 ;1) Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai Định nghĩa: Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai hệ phương trình. .. KHƠNG MẪU MỰC TRONG ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỐN TỈNH THANH HÓA   x   y3 1) Giải hệ phương trình? ?:  (Năm học 2012 – 2013) x    y 4 2 2  3x  z HD giải: Điều kiện y  0.Đặt z = ta hệ? ?:...     3 9     y  y  1  y  19  y   19     3 9 Vậy hệ đã cho có nghiệm: 19   3 19  19     2 1   19 ; ; ;    ; ;  ; ;  3 3 19 19 19 19     