(Sáng kiến kinh nghiệm) một số GIẢI PHÁP GIÚP học SINH PHÁT TRIỂN NĂNG lực GIẢI các bài TOÁN về đa THỨC với sự hỗ TRỢ của máy TÍNH cầm TAY

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ PHỊNG GD&ĐT NGỌC LẶC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ GIẢI PHÁP GIÚP HỌC SINH PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐA THỨC VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CẦM TAY Người thực hiện: Lê Thị Ny Chức vụ : Giáo viên Đơn vị công tác: Trường THCS Thị Trấn SKKN thuộc lĩnh vực: Tốn học THANH HĨA, NĂM 2017 Tài liệu tham khảo Hướng dẫn giải tốn máy tính casio fx - 570VN Plus – TS Nguyễn Thái Sơn Sách giáo khoa Toán Tập - NXB Giáo Dục Sách giáo khoa Toán Tập - NXB Giáo Dục Kinh nghiệm giải tốn máy tính Casio II – Hồng Hồ Nam Một số đề thi giải tốn máy tính cầm tay Tỉnh Một số đề thi giải tốn máy tính cầm tay cấp Quốc gia Chuyên đề bồi dưỡng thường xuyên Đa Thức – Phân Thức đại số - Phương trình_ Nhà xuất Giáo dục Một số tài liệu cần thiết có liên quan mạng Internet - Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán - Bồi dưỡng học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay chuyên đề đa thức MỤC LỤC Trang Mở đầu 1.1.Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu 1.4 Phương pháp nghiên cứu 2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận 2.2 Thực trạng lực giải toán chuyên đề đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay học sinh khối - Trường Trung học sơ sở Thị Trấn Ngọc Lặc trước áp dụng đề tài 2.3 Các giải pháp sử dụng giúp học sinh nâng cao lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay 2.3.1 Kiến thức cần nắm vững 2.3.2 Phát triển lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay qua dạng cụ thể 2.3.3 Kiểm tra lực học sinh trước sau thực đề tài 16 2.4 Kết đạt Kết luận 17 18 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC XẾP LOẠI Tên đề tài Sáng kiến Đổi phương pháp dạy học định lí hình học theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập học sinh Sử dụng phiếu học tập cho học sinh yếu dạy học phân hóa đối tượng học sinh theo lực Năm cấp 2012 2013 Sử dụng tập tích hợp dạy học đại số nhằm nâng cao lực giải 2015 toán cho học sinh trường THCS Số, ngày, tháng, năm Xếp định công loại nhận, quan ban hành QĐ Số 57/QĐ- GD&ĐT, ngày 22 tháng 05 năm B 2012, Trưởng phòng GD&ĐT Ngọc Lặc B A Số 66/QĐ- GD&ĐT, ngày 16 tháng 05 năm 2013, Trưởng phòng GD&ĐT Ngọc Lặc Số 201/QĐ- GD&ĐT, ngày 20 tháng 05 năm 2015, Trưởng phòng GD&ĐT Ngọc Lặc Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Đa thức phép toán đa thức mảng kiến thức quan trọng chương trình đại số cấp THCS Thực thành thục phép toán đa thức như: Tính giá trị đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử, xác định nghiệm đa thức, tìm thương dư phép chia đa thức biến… chuẩn kiến thức - kĩ chương trình đại số lớp 8, tốn đa thức cịn chủ đề phong phú khai thác sử dụng nhiều kì thi thi học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay cấp trung học sở Máy tính cầm tay trở thành công cụ hỗ trợ học tập cần thiết em học sinh từ cấp Trung học sở Đại học Đối với nước có giáo dục tiên tiến, tài liệu sách giáo khoa chuyên mục sử dụng máy tính để giải tốn trọng từ sớm Ở Việt Nam từ sau năm 2000 máy tính cầm tay bắt đầu sử dụng rộng rãi dần thay bảng tính, bảng lượng giác cồng kềnh Tuy nhiên trường thuộc huyện miền núi nói chung huyện Ngọc Lặc nói riêng điều kiện kinh tế khó khăn, khả tiếp cận ứng dụng thiết bị hỗ trọ học tập cịn chậm máy tính cầm tay sử dụng phổ biến dạy học kể từ sau năm 2010 Khoa học kĩ thuật phát triển nhanh, loại máy tính Bộ Giáo dục cho phép sử dụng kì thi Quốc gia kì thi học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay nâng cấp cập nhật chức liên tục, tài liệu hướng dẫn chuyên đề giải toán máy tính cầm tay biên soạn xuất thống Chính nhiều giáo viên cịn lúng túng gặp khơng khó khăn hướng dẫn học sinh thực hành giải toán máy tính cầm tay Đối với học sinh, số lượng sử dụng máy tính ngày tăng, song khơng hướng dẫn bổ trợ kĩ cần thiết nên hầu hết máy tính dùng để thực phép tốn thơng thường, chức máy tính chưa khai thác sử dụng hiệu dạy học Xuất phát từ thực tiễn giảng dạy mơn tốn bồi dưỡng đội tuyển giải tốn máy tính cầm tay, với mong muốn giúp học sinh có nhìn tổng qt, cách giải cụ thể kĩ thực hành máy thành thạo để giải dạng toán đa thức, tơi mạnh dạn sưu tầm, tìm tịi đưa sáng kiến “Một số giải pháp giúp học sinh phát triển lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay ” cho học sinh lớp đội tuyển học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay lớp 8, lớp trường THCS Thị trấn Ngọc Lặc 1.2 Mục đích nghiên cứu: - Củng cố, mở rộng, khắc sâu kiến thức đa thức - Trang bị cho học sinh số phương pháp giải dạng toán đa thức - Nâng cao lực giải tốn máy tính cầm tay cho học sinh lớp đội tuyển học sinh giỏi giải toán máy tính cầm tay lớp 8, lớp trường THCS Thị trấn Ngọc Lặc - Xây dựng chuyên đề dạy học, làm tài liệu tham khảo cho thân đồng nghiệp công tác giảng dạy bồi dưỡng chuyên môn nghiệp vụ - Nâng cao chất lượng giáo dục đại trà, đặc biệt chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải toán máy tính cầm tay trường THCS Thị trấn Ngọc Lặc - Phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo, lực tự học, lực tự giải vấn đề học sinh, tạo điều kiện cho em có tài liệu tự học tham khảo 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các giải pháp giúp học sinh lớp đội tuyển học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay lớp 8, lớp 9- Trường THCS Thị trấn Ngọc Lặc, phát triển lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay Phạm vi nghiên cứu: Các dạng toán đa thức đề tài giải với hỗ trợ máy tính casio fx - 570VN PLUS, áp dụng cho học sinh khối 8, đội tuyển học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay lớp 8, lớp trường THCS Thị trấn Ngọc Lặc Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu chương trình, xây dựng sở lí thuyết - Nghiên cứu thực tiễn - Phân tích điều tra, khảo sát thực tế - Kiểm nghiệm kết trước sau tác động Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận Đa thức chuyên đề chương trình đại số Các dạng tốn tính giá trị đa thức, phân tích đa thức thành nhân tử …có nhiều ứng dụng quan trọng chương trình tốn phổ thơng Tuy nhiên ngồi kiến thức chương trình, thiếu kĩ sử dụng máy tính cầm tay em gặp nhiều khó khăn việc giải tốn đa thức Thực tế cho thấy, máy tính cầm tay khơng phát huy tác dụng kì thi học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay mà trở thành cơng cụ hữu ích nhờ khả xử lí liệu phức tạp với tốc độ nhanh, xác giúp tiết kiệm nhiều thời gian công sức cho người học Trong năm gần đây, hình thức kiểm tra, đánh giá trắc nghiệm ngày sử dụng nhiều nhà trường hầu hết cấp học Đặc biệt theo định Bộ Giáo dục tất mơn học thi theo hình thức trắc nghiệm kì thi Tốt nghiệp Quốc gia từ năm học 2016 – 2017 Đối với mơn tốn học việc tổ chức thi, kiểm tra theo hình thức trắc nghiệm địi hỏi học sinh ngồi việc rèn luyện khả tư nhạy bén, em cần kĩ tính tốn nhanh xác, hành trang đến trường em thiếu “người bạn đồng hành” máy tính cầm tay Việc khai thác sử dụng tốt chức máy tính cầm tay hỗ trợ đắc lực cho học sinh học tập thi cử môn khoa học tự nhiên, đặc biệt mơn tốn với hình thức thi trắc nghiệm 2.2 Thực trạng lực giải toán chuyên đề đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay học sinh khối - Trường Trung học sơ sở Thị Trấn Ngọc Lặc trước áp dụng sáng kiến Thị trấn Ngọc lặc có điều kiện kinh tế tương đối phát triển, số học sinh sử dụng máy tính cầm tay học tập chiếm khoảng 70% tổng số học sinh toàn trường Tuy nhiên áp lực mặt kiến thức hạn chế mặt thời gian tiết học, nên giáo viên có thời gian hướng dẫn học sinh khai thác hết chức máy Bên cạnh tài liệu hướng dẫn chun đề giải tốn máy tính cầm tay biên soạn xuất thống nên giáo viên học sinh gặp khó khăn việc tìm tài liệu tham khảo Đó nguyên nhân dẫn tới thực trạng học sinh thiếu kĩ thực hành tính tốn máy tính cầm tay, số lượng học sinh tham dự kì thi học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay chất lượng giải thấp Kết thực trạng trước áp dụng sáng kiến vào dạy học Năm học 2015 - 2016 Lớp Tổng số 8A1 26 8A2 30 Năm học 2016 - 2017 Giỏi SL % 0 0 42 Giỏi SL 44 Lớp Tổng số 8A1 8A2 Khá SL % 15,4 10 % 4,8 Khá SL Trung bình SL % 10 38,5 12 40 Yếu, SL % 12 46,1 15 50 % 17,7 Trung bình SL % 18 42,8 Yếu, SL % 15 37,5 21 19 48 43 2.3 Các giải pháp sử dụng giúp học sinh nâng cao lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay 2.3.1 Kiến thức cần nắm vững Để học sinh giải toán đa thức, trước tiên giáo viên phải giúp học sinh nắm vững kiến thức số kiến thức nâng cao chuyên đề đa thức, bao gồm: Nghiệm đa thức biến Nếu x = a, đa thức P(x) có giá trị ta nói a ( x = a) nghiệm đa thức (1) Phép chia đa thức Với đa thức tùy ý A B biến (B  0), tồn cặp đa thức Q R cho A = B.Q + R, R = bậc R (1) Định nghĩa nghiệm đa thức biến – Sách giáo khoa Toán Tập nhỏ bậc B ( R gọi dư phép chia A cho B) Khi R = phép chia A cho B phép chia hết.(1) Định lý Bezout (2) Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x - a f(a) Hệ quả: - Nếu a nghiệm f(x) f(x) chia hết cho x - a b a - Dư phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) f(- ) - Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + ….+ a1x + a0 có n nghiệm x1 , x2 …,xn đa thức P(x) phân tích thành nhân tử : P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn) Sơ đồ Hoocne (3) Dùng sơ đồ Hoocne để tìm thương số dư phép chia đa thức P(x)  a0xn  a1xn1   an cho x – a x a0 a1 … an-1 an a b0 = a0 b1 = b0.a+ a1 bn-1 = bn-2.a+ an-1 r =bn = bn-1.a+ an Khi đó: P(x)  a0xn  a1xn1   an = (x - a)( b0xn-1 + b1xn-2 ….+ bn-2x + bn-1) + r Chú ý: - Bậc đa thức thương luôn nhỏ bậc đa thức P(x) 1 đơn vị đa thức chia x - a có bậc - Nếu r = 0 thì đa thức P(x) chia hết cho (x – a) và  x= a sẽ nghiệm đa thức P(x) Các đẳng thức (4) (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 a2 - b2 = (a+b)(a – b) (a+ b)3 = a3 + 3a2b+3ab2+b3 = a3 + b3 + 3ab(a+ b) (a - b)3 = a3 - 3a2b+3ab2 - b3 = = a3 - b3 - 3ab(a- b) a3 + b3 = (a+b)(a 2- ab + b2) a3 - b3 = (a - b)(a 2+ ab + b2) (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) *Ghi chú: Tổng hệ số khai triển đa thức giá trị đa thức x = 1.(5) (1) Phần ý – Trang 31_ Sách giáo khoa Toán Tập (2), (3) Thao khảo từ: Chuyên đề bồi dưỡng thường xuyên Đa Thức – Phân Thức đại số Phương trình_ Nhà xuất Giáo dục (4) Từ đẳng thức thứ đến thứ – Sách giáo khoa Toán Tập Hằng đẳng thức - Chyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán _ Nguồn Internet (5) Chyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán – Nguồn Internet 2.3.2 Phát triển lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay qua dạng cụ thể Dạng 1: Tính giá trị biểu thức Dạng 1.1: Các toán rèn luyện kĩ tính tốn Bài tốn 1: Cho đa thức P(x)  17x5  5x4  8x3  13x2  11x  357 Tính P(1,25); P(2,18567); P(-5,1289) Phương pháp: - Nhập đa thức P(x) vào máy tính: 17 ALPHA X x n 5-5 ALPHA X x n 4+8 ALPHA X SHIFT x +13 ALPHA X x - 11 ALPHA X - 357  - Sử sụng phím CALC để tính giá trị đa thức P(x) giá trị biến, ghi kết CALC X? 1,25 = CALC X? 2,18567 = CALC X? () -5,1289 = - Kết P(1,25) = -295,139648 P(2,18567) = 498,438088 P(-5,1289) = - 64832,99289 Bài tập phát triển kĩ Bài 1.1: Cho biểu thức: C= x y  xy z  x z  2314 x y  x yz  yz  4718 Tính giá trị biểu thức C tại: x = 0,53 ; y = 1,34; z = 2,18 Hướng dẫn Giải: - Nhập biểu thức C vào máy tính: - Sử sụng phím CALC để tính giá trị biểu thức C giá trị biến, ghi kết Bài 1.2: ( Đề thi Quốc gia giải tốn máy tính cầm tay lớp – Năm 2013) Cho biểu thức: x5  x  x  y  y  y  y z  z  3z  M= + + 4 x  x3  x  x y  y  y  z  3z  z  z Tính M x = ; y = 26; z = 2013 Hướng dẫn Giải: - Nhập biểu thức: 5x5 + 4x4 + 3x3 +2 Sử sụng phím biểu thức giá trị biến x = ; y = 26; z = giá trị tìm vào ô nhớ A, D, E - Nhập biểu thức: 4x4 + 3x3 + 2x2 +x Sử sụng phím biểu thức giá trị biến x = ; y = 26; z = giá trị tìm vào nhớ B, C, F CALC để tính giá trị 2013 đưa CALC để tính giá trị 2013 đưa A B - Nhập vào máy  C E  = D F Kết quả: M = 2518, 1750 Bài 1.3: Tính tổng hệ số đa thức: f(x) = ( 3x2 - 4x +1)2016 + ( 3x2 - 4x +2)2017 Hướng dẫn Giải: Tổng hệ số đa thức giá trị đa thức x = Gọi tổng hệ số đa thức f(x) A, ta có: A = f(1) = ( 3- +1)2016 + ( - +2)2017 = + 12017= Bài tập tự luyện Bài tập 1.1.1 a) Cho đa thức P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - Tính P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P( ) b) Cho đa thức Q(x) = x7 -7x6 + 35x5 - x4 - 5x3 - 9x2 +39 x – Tính Q(2) + 2Q(5) – Q(3) Bài tập 1.1.2 Tính giá trị biểu thức A 3x5  2x4  3x2  x x = 1,8165; x = - 0,235678; x = 865,321 4x3  x2  3x  Bài tập 1.1.3 Tính giá trị biểu thức sau: E= F= 3x5 y  x3 y  3x y  x x3 y3  x2 y  x y  7x y-x y3 +3x y+10xy -9 5x -8x y +y3 tại: x = 1,23456 ; y = 3,121235 x=2,1835 ; y= -7,0216 Bài tập 1.1.4 a) Tính tổng hệ số đa thức : (5x3 - 4x2 + 8x -7)20 b) (Đề thi Quốc gia giải toán máy tính cầm tay lớp – Năm 2016) Cho đa thức Q(x) = ( 3x2 + 2x -7)64 Tính tổng hệ số đa thức xác đến đơn vị Bài tập 1.1.5 a) Cho f ( x)  ( x  x  1) 20  a0  a1 x  a2 x   a40 x 40 Tính tổng: S1 = a1 + a3 + a5 + + a39 S2 = a0 + a2 + a4 + + a40 b) Cho P(x) = ( + x + 3x2 )10 = a0 + a1x + a2x2 + + a29x29 + a30x30 Tính tổng: S = a1 + a2 + + a30 Dạng 1.2: Kết hợp kĩ tính tốn với vận dụng đẳng thức Bài toán 2: Tính giá trị biểu thức sau: P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 x = 0,53241 Phương pháp Áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) 10 Ta có: ( x  1)(1  x  x   x9 ) x10   P(x) = + x + x + x + + x + x = x 1 x 1 Từ tính P(0,53241) = Bài tốn 3: Cho x1006 + y1006 = 1,006 x2012 + y2012 = 2,012 Tãy tính gần giá trị biểu thức: A = x3018 + y3018.(Kết làm tròn đến chữ số thập phân) Phương pháp Bước Đặt a = x1006 ; b= y1006 Ta có : a + b = 1,006  (gán vào A: 1,006  SHIFT STO A ) a2 + b2 = 2,012 (gán vào B: 1,006  SHIFT STO B )  (a+b)2 = 1,006 2  a2 + b2 + 2ab = 1,0062  ab = (1,0062 - 2,012) : (Để tính ab máy thực dịng lệnh: (A2 – B):2 ấn  SHIFT STO C ) Bước ( Có thể thực theo cách sau) Cách 1: Từ đẳng thức (a+ b)3 = a3 + b3 + 3ab(a+ b) Ta suy đẳng thức a3 + b3 = (a+ b)3 - 3ab(a+ b) Khi đó : A = x3018 + y3018 = a3 + b3 = (a+b)3 - 3ab(a+b) (Để tính A máy thực dòng lệnh: A3 – 3.C.A ấn  ) Cách 2: Áp dụng đẳng thức: a3 + b3 = (a+b)(a 2- ab + b2) Khi đó : A = x3018 + y3018 = a3 + b3 = (a+b)[(a + b2) - ab] (Để tính A máy thực dòng lệnh: A.(B-C) ấn  ) Kết quả : A = 2,52705 Bài tập phát triển kĩ Bài 1.4( Đề thi Tỉnh Bình Thuận giải tốn MTCT lớp – Năm 2014) 1 Cho C = x  y  z 1 Tính C biết x, y, z khác thỏa mãn x+y+z = xyz x  y  z = 1,63205 Hướng dẫn Giải: - Áp dụng đẳng thức: (a+b+c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 1 Đặt a = x  y  z 1  1  1 1      =   + 2    x y z  xy yz zx  x y z x yz  a2 = C + =C+2 xyz  C = a2 - = 0,663587202 11 Bài 1.5( Đề thi Tỉnh Gia Lai giải tốn máy tính cầm tay lớp – Năm 2015) Tính giá trị biểu thức x 32  x 31  x30   A x = x10  x  x8  Hướng dẫn Giải: - Áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có:  x  1 x32  x31  x30   x33  x11  x 22  x11  22 11 A    x  x 1 x11   x  1 x10  x9  x8   x11     - Thay x = 2, Bài 1.6     A  222  211  = 4196353 2k  Cho số a1 , a2, a3 , , a2013 Biết ak  (k  k ) với k  1; 2;3; ; 2013 Tính S  a1  a2  a3   a2013 (viết kết dạng phân số tối giản) Hướng dẫn Giải: k2 +2k +1 - k2  k +1 - k2  2k  1 = = 2Ta có : ak = (k  k )2  2 2  k +1 k  k +1 k k  k +1 Do đó:  1 1 1  1  1  a1 + a2 + a3 + + a2013 =  -    -     2  1     2013 2014  4056195  2014 4056196 Bài tập tự luyện Bài tập 1.2.1: Tính giá trị biểu thức sau: f(x) = x2 + x3 + x4 + …+ x16 + x17 x = -2,1345 Bài tập 1.2.2: Tính giá trị biểu thức sau: x 40  x 36   x  x = 1,20122013 x 42  x 40   x  ( x  1)( x  1) (1  x 20 ) b) A  38 36 Tại x = 0,2017 x  x   x  x 40  x 35  x30   x  C  c) x = 2,315; y = 3,428 y 24  y 21  y18   x  a) A  Bài tập 1.2.3: a) Cho số a1 , a2, a3 , , a2013 Biết ak  3k  3k  với k  1; 2;3; ; 2013 (k  k )3 Tính S  a1  a2  a3   a2013 (viết kết dạng phân số tối giản) 2n  b) Cho Sk= (1.2)2  (2.3)  (3.4)  (4.5)   n(n  1) ( k = 1,2,3….)   Tính S2017 12 Bài tập 1.2.4: Tính giá trị biểu thức sau: a) P = (10+1) (102+1) (104+1)… (1016+1) b) Q = (1  ).(1  ).(1  1 ) (1  ) 16 65536 Bài tập 1.2.5: a) Cho x1000 + y1000 = 6,12 x2000 + y2000 = 33,76244 Tính x3000 + y3000 b) Cho x100 + y100 = 12,18 x200 + y200 = 74,945 Tính x400 + y400 Dạng 1.3: Tính giá trị đa thức mà hệ số đa thức chưa xác định Bài toán 4: Cho đa thức P  x   x11  a0 x10   a1 x  m Biết P  i   i, i  1, 2,3, 4, ,11;   Nêu tóm tắt cách tính tính xác P(12) Phương pháp Xét đa thức: f  x   P  x   x Vì P(i )  i,  i  1, ,11 nên f(i)  0,  i  1, ,11 chứng tỏ 1, 2, …, 11 nghiệm f(x) Mặt khác P(x) đa thức bậc 11 có hệ số bậc cao nên: f  x    x  1  x    x  11 Suy ra:  x  1  x    x  11  P  x   x Hay P  x    x  1  x    x  11  x Vậy P  12   1110  1  12  11! 12  39916812 Bài tập phát triển kĩ Bài 1.6( Đề thi Tỉnh Sóc Trăng giải tốn MTCT lớp – 2015) 11 10 Cho đa thức: P  x   x  ax  bx  cx   mx  n P(1) = 3; P(2) = 7; P(3) = 13; P(4) =21 ; P(5) = 31; P(6) = 43; P(7) = 57; P(8) = 73; P(9) =91; P(10) = 111; P(11) = 133 Tính P(12) Hướng dẫn Giải: Xét f(x) = x2 +x + Đặt Q(x) = P(x) – f(x) Q(1) = P(1) – f(1) = Q(2) = P(2) – f(2) = Q(3) = P(3) – f(3) = ………………… Q(11) = P(11) – f(11) = Vậy ta có 1, 2, 3, 4, …, 11 nghiệm Q(x) Mặt khác P(x) đa thức bậc 11 có hệ số bậc cao nên: Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)……(x-11) Do P(x) = Q(x) +f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)……(x-11) + x2 +x +  P  12   11 10    122  12   11! 157  39916957 Bài 1.7 Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16 Tính P(17) 13 Hướng dẫn Giải: Cách 1: Đồng thức Đặt P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)+ m(x -1)(x - 2)(x - 3)+ n(x -1)(x - 2)+ p(x-1) + q Với x = P(1) = q = Với x =2 P(2) = p+ q =  p= Với x = P(3) = 2n +2p+q =  n = Với x = P(4) =6m+6n+3p+ q = 16  m = Vậy P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)+ (x -1)(x - 2) +3(x-1) +1  P(17) = 43969 Cách 2: Xác định hệ số a, b, c, d đa thức, sau tính giá trị đa thức theo toán Do P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16 Nên hệ số a, b, c, d đa thức nghiệm hệ phương trình:  P(1)   P(2)     P(3)   P(4)  16  1  a  b  c  d  16  8a  4b  2c  d    81  27a  9b  3c  d   256  64a  16b  4c  d  16   a  b  c  d  0(1) 8a  4b  2c  d  12(2)    27 a  9b  3c  d  72(3) 64a  16b  4c  d  240(4) Giải hệ phương trình: Ta lấy (2) trừ (1); lấy (3) trừ (2); lấy (4) trừ (3) Thực giải phương trình máy tính MODE         -12   27         -72  -12  64  27  16       -240  -72   a = -10  b= 36  c = -50 Tính d = -(a+b+c) = 24 Hay P(x) = x4 -10x3 + 36x2 - 50x + 24 Vậy: P(17) = 43969 Cách 3: Tìm quy luật đa thức dư Dễ thấy P(1) = = 12 P(2) = = 22 P(3) = = 32 P(4) = 16 = 42 Xét f(x) = x2 Đặt Q(x) = P(x) – f(x) Q(1) = P(1) – f(1) = Q(2) = P(2) – f(2) = Q(3) = P(3) – f(3) = Q(4) = P(4) – f(4) = Vậy ta có 1, 2, 3, nghiệm Q(x) 14 Mặt khác P(x) đa thức bậc có hệ số bậc cao nên: Q(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) Do P(x) = Q(x) +f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4) + x2  P  17   16  15  14  13  17  43969 Cách 4: Xác định đa thức dư Bước 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Do bậc H(x) phải nhỏ bậc P(x), nên bậc H(x) nhỏ 4, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x3 + b1x2 + c1x + d1 Bước 2: Tìm hệ số a1, b1, c1, d1 Do Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = nên a 1, b1, c1, d1 nghiệm hệ phương  a1  b1  c1  d1   8a  4b  2c  d    1 1 trình:   27 a1  9b1  3c1  d1   64a1  16b1  4c1  d1  16  Giải hệ phương trình ta được: a1 = c1 = d1 = 0; b1 = -1 Vậy ta có: Q(x) = P(x) - x2 Vì x = 1, x = 2, x = 3, x = nghiệm Q(x), mà bậc P(x) có hệ số bậc cao nên: Q(x) = P(x) - x2 = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)  P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)+ x2  P  17   16  15  14  13  17  43969 Nhận xét: Thực chất cách cách trình bày phương pháp, nhiên dễ dàng phân tích để tìm quy luật đa thức dư cách trình bày Do để giải khơng thể nhận dạng đa thức dư ta phải thực cách Bài tập tự luyện Bài tập 1.3.1: Cho P(x) =ax17 + bx16 + cx15 + mx+ n biết: P(1) = 1; P(2) = 2; ; P(17) = 17 Tính P(18) Bài tập 1.3.2: ( Đề thi Tỉnh Thừa Thiên Huế giải toán MTCT lớp – 2015) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, biết P(1) = 8; P(2) = 18; P(3) = 32; P(4) =50 ; P(5) = 72 Tính giá trị P(6), P(11), P(2014), P(2015) Bài tập 1.3.3: ( Đề thi Huyện Ngọc lặc giải tốn máy tính cầm tay lớp 9) Năm học 2016 - 2017) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e, biết P(1) = 3; P(2) = 9; P(3) = 1; P(4) =33 ; P(5) = 51 a) Xác định hệ số a, b, c, d, e b) Tính xác P(2010) Bài tập 1.3.4: ( Đề thi Tỉnh Bình Thuận giải tốn MTCT lớp – 2014) Cho đa thức f(x) có bậc hệ số cao Biết f(5) = 2029; 15 f(6) = 2044; f(7) = 2063; f(8) = 2086; f(9) = 2113; f(10) = 2144 Tính f(19) f(123) Bài tập 1.3.5: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d Biết P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10 Tính A  P (5)  P (6) ? P (7) Bài tập 1.3.6: ( Đề thi Quốc gia giải toán MTCT lớp – Năm 2005) Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005 Biết x nhận giá trị 1,2,3,4 giá trị tương ứng đa thức P(x) 8,11,14,17 Tính giá trị đa thức P(x) với x = 11,12,13,14,15 Dạng 2: Tìm thương số dư phép chia đa thức P(x) cho nhị thức ax+b Cơ sở lí thuyết Định lý Bezout Số dư phép chia đa thức f(x) cho nhị thức x – a f(a) Hệ định lý Bezout: - Nếu a nghiệm f(x) f(x) chia hết cho x – a b a - Dư phép chia đa thức f(x) cho (ax + b) f(- ) Để tìm hệ số đa thức thương chia đa thức f(x) cho (ax + b): dùng lược b a đồ Hoocner để tìm thương phép chia đa thức P(x) cho (x + ) sau nhân vào thương với ta đa thức thương cần tìm a Bài tốn a) Tìm số dư phép chia đa thức: P(x) = 205x + 8x5- 302x4 + 2x2–9x +234 cho nhị thức x + b) Tìm dư phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho 2x – Phương pháp a) Dư phép chia đa thức: P(x) = 205x + 8x5- 302x4 + 2x2–9x +234 cho nhị thức x + giá trị đa thức x = -5 Hay r = P(-5) = b) Dư phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho 2x – là: r = P( ) = Bài tốn Tìm thương dư phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho x + Phương pháp - Sử dụng lược đồ Hoocner để tìm thương số dư: -2 -3 0 -1 -5 -5.1+0 = -5 -5.(-5)+(-2) = 23 -5.23+(-3) -5.(-118) +0 = -118 =590 -5.590+0 =2950 -5.(-2950)+1 = 14751 -5.14751+(-1) = -73756 x7 - 2x5 - 3x4 + x - = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756 16 Vậy: Thương phép chia là: x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751 Số dư là: - 73756 Bài tập phát triển kĩ Bài 1.8 Tìm giá trị m để đa thức P(x) =2x3 + 3x2 - 4x +5 + m chia hết cho 3x +2 Hướng dẫn Giải: - Đa thức P(x) chia hết cho 3x +2 dư phép chia P(x) cho 3x +2 2 ) = ( Dùng máy tính giá trị 2x3 + 3x2 - 4x +5 x =  ) 3 227 227  +m=0  m= 27 27  P(  Bài 1.9 Cho hai đa thức P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n Tìm m, n để P(x), Q(x) có nghiệm chung x = Hướng dẫn Giải: x = nghiệm đa thức P(x)  P(2) =  m = - 46 x = nghiệm đa thức Q(x)  Q(2) =  n = - 40 Vậy với m = - 46 , n = - 40 P(x), Q(x) có nghiệm chung x = Bài tập tự luyện Bài tập 2.1: a) Tím số dư phép chia đa thức f(x) = x14-x9-x5+x4+x2+x-723 cho 125x-203 x -6,723x +1,658x -9,134 b) Tìm số dư phép chia: x-3,281 c) Tìm m để đa thức 4x5  9x4  11x2  29x  4 3m chia hết cho 6x + Bài tập 2.2: Cho P(x) = x5 + 2x4 – 3x3 + 4x2 – 5x + m a) Tìm số dư phép chia P(x) cho 2x – m = 2003 b) Tìm giá trị m để P(x) chia hết cho 2x - c) P(x) có nghiệm x = Tìm m? Bài tập 2.3: a) Cho biết f(x) = x5 + 4x4+ 3x3 + 2x2 – mx + chia cho x +5 có dư 2009 Tìm m? b) Biết đa thức P(x) = x + mx3 – 55x2 + nx – 156 chia hết cho x - chia hết cho x-3 Hãy tìm giá trị m, n tìm tất nghiệm đa thức Bài tập 2.4: Cho đa thức f(x) = ax3 + bx2 + cx + d Biết f(0) = - 7; f(1) = - 4; f(2) = 7; f(-1) = - 17 a) Tìm hệ số đa thức tính f(1,2345) b) Tìm số dư chia f (x) cho 3x – tìm hệ số bậc hai thương phép chia 17 Bài tập 2.5: 4 Cho P x  x  5x  4x  3x  50 Tìm số dư r1, r2 chia P(x) cho x - x - Tìm BCNN(r1,r2)? Dạng 3: Phân tích đa thức thành nhân tử Phân tích đa thức thành nhân tử tốn chương trình đại số lớp 8, kĩ phân tích đa thức thành nhân tử đóng vai trị quan trọng nhiều ứng dụng cộng, trừ, nhân, chia, rút gọn phân thức, giải dạng phương trình đưa phương trình tích Ngồi phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử học chương trình khóa, ta sử dụng chức giải phương trình máy tính bỏ túi và sơ đồ Hoocne để tìm nghiệm, sau sử dụng hệ định lý Bezout để viết đa thức thành nhân tử - Nếu tam thức bậc hai ax2 + bx + c có nghiệm x1, x2 viết dạng ax2 + bx + c = a(x-x1)(x-x2) - Nếu đa thức P(x) = anxn + an-1xn-1 + ….+ a1x + a0 có n nghiệm x1, x2 …,xn P(x) phân tích thành P(x) = a(x – x1)(x – x2) ….(x – xn-1)(x – xn) Bài toán 7: Phân tích đa thức thành nhân tử a) x2 + x - b) x3+3x2 -13x -15 Phương pháp a) x2 + x - - Dùng chức giải phương trình bậc hai máy tính cầm tay để tìm nghiệm đa thức MODE   ( )  ta x1 = 2; x2 = -3 - Vậy x2 + x - = 1.(x-2)(x+3) = (x-2)(x+3) b) x3+3x2 -13x -15 - Dùng chức giải phương trình bậc máy tính cầm tay để tìm nghiệm đa thức MODE   () 13  () 15  ta x1 = 3; x2 = -5; x3 = -1 - Vậy x3+3x2 -13 x -15 = (x-3)(x+5)(x+1) Bài tập phát triển kĩ Bài 1.10 Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) 105x2 + 514x – 304  b) 156x3 – 413x2 – 504x+ 1265 c) x5 - 8x4 + 21x3 –34x2 + 80x – 96 (1) (1) Sử dụng tập từ nguồn “Kinh nghiệm giải tốn máy tính CasioII–Hồng Hồ Nam” 18 Hướng dẫn Giải: a) Dùng chức giải phương trình bậc hai máy tính cầm tay để tìm 38 ; x2 =  15 38 Vậy: 105x2 + 514x – 304 = 105(x - )( x + ) = (15x- 8)(7x+38) 15 nghiệm đa thức, ta x1 = b) Dùng chức giải phương trình bậc hai máy tính cầm tay để tìm 23 11 ; x2 = ; x3 = 13 23 11 Vậy: 156x3 – 413x2 – 504x+ 1265 = 156(x + )( x - )( x - ) 13 23 11 = 13.4.3.(x + )( x - )( x - ) 13 nghiệm đa thức, ta x1 = - = (13x +23)( 4x - 11)( 3x - 5) c) Trong máy tính khơng có chức giải phương trình bậc Để tìm nghiệm đa thức ta sử dụng chức dị tìm nghiệm SHIFT SOLVE , kết hợp với sơ đồ Hoocne để hạ dần bậc đa thức - Nhập đa thức x5 -8x4 +21x3 –34x2 +80x - 96 vào máy, nhấn SHIFT SOLVE  , ta x = Do x = nghiệm đa thức, nên đa thức chia hết cho x – Sử dụng sơ đồ Hoocne hạ bậc đa thức ta được: -8 21 -34 80 -96 x=2 2.1+(-8) = -6 2.(-6)+21 =9 2.9+(-34) = -16 2.(-16)+80 = 48 r = 2.48+(-96) =0  x5 -8x4 +21x3 –34x2 +80x – 96 = (x – 2)( x4 -6x3 +9x2 -16x +48) - Nhập đa thức x4 -6x3 +9x2 -16x +48 vào máy, nhấn SHIFT SOLVE  , ta x = Tiếp tục dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc đa thức ta được: x4 -6x3 +9x2 -16x +48 = (x-4)( x3 - 2x2 +x -12) - Dùng chức giải phương trình bậc 3, ta phương trình x3 - 2x2 +x -12 có nghiệm x = Tiếp tục dùng sơ đồ Hoocne hạ bậc đa thức ta được: x3 - 2x2 +x -12 = (x – 3)( x2 +x +4) Sử dụng chức giải phương trình bậc 2, ta thấy đa thức x +x+4 vơ nghiệm nên khơng thể phân tích tiếp Vậy x5 -8x4 +21x3 –34x2 +80x – 96 = (x – 2)(x – 3)( (x – 4)( x2 +x +4) Bài tập tự luyện Bài tập 3.1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a) 299 x2 – 2004x + 3337  b) x3+3x2 -13 x -15 c) 4x3-16x2 + x +9 d) 2x4 – 3x3 –14 x2 - x + 10 e) x5 + 5x4 – 3x3 – x2 + 58x - 60 19 Bài tập 3.2: Biết đa thức f(x) = 2x3 - 4x2 + nx +12 có nghiệm x1 = -2 Hãy tìm nghiệm lại đa thức Bài tập 3.3: Cho đa thức P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m a) Tìm m để P(x) chia hết cho 2x + b) Với m tìm câu a ), phân tích đa thức P(x) thành tích thừa số bậc Bài tập 3.4: Cho đa thức P( x)  x  ax  bx3  619 x  cx  294 , biết đa thức P( x) chia hết cho nhị thức ( x  2); ( x  3); ( x  7) Hãy tìm giá trị a, b, c nghiệm đa thức Bài tập 3.5: Chứng minh rằng: P(a) = a5 – 8a4 + 21a3 –34a2 + 80a - 96 chia hết cho với a  Z 2.3.3 Kiểm tra lực học sinh trước sau thực đề tài Kiểm tra lực học sinh trước sau thực đề tài sở điều chỉnh trình dạy học, giúp giáo viên học sinh xác định rõ phương pháp cách thức tổ chức dạy học để đạt mục tiêu mong muốn, có số liệu kiểm nghiệm kết sau áp dụng đề tài Để thời gian kiểm tra ngắn không gây áp lực cho học sinh, đảm bảo khách quan, công kiểm tra tương đối hệ thống, toàn diện kiến thức kĩ học sinh trước sau thực nghiệm đề tài, tơi lựa chọn hình thức kiểm tra trắc nghiệm khách quan Dưới mã đề minh họa sử dụng Kiểm tra lực học sinh trước sau thực đề tài Đề kiểm tra 15 phút Đối tượng: Học sinh khối – Trường THCS thị trấn Ngọc lặc Đề Khoanh tròn vào chữ trước câu trả lời Câu 1: Giá trị đa thức f(x) =6x7-5x5+3x2+1 x = -3 là: A 11879 B 18179 C -11879 D 1879 x  y  z  xy Câu 2: Giá trị biểu thức A= 2 tại: x =  ; y =1,5; z= 13,4 là: x  y  z  xz A 253 223 B  253 223 Câu 3: Giá trị biểu thức B= C 223 253 D - 223 253 x 20  x16   x  x =1,20162017 (kết x 22  x 20   x  làm tròn đến chữ số thập phân) là: A 0,4091 B 0,4092 C 0,4093 D 0,4094 20 Câu 4: Số dư phép chia đa thức x5 - 7x3 + 3x2 +5x - cho đa thức x+3 là: A -46 B 46 C -92 D 92 Câu 5: Nếu cho x3 + y3 = 6,912; x6 + y6 = 33,76244, giá trị biểu thức x9 + y9 (làm tròn đến chữ số thập phân) là: A 184,93 B 330,22 C 330,23 D 184,94 Câu 6: Kết phân tích đa thức f(x) = x2 -7x +12 thành nhân tử là: A (x-3)(x+4) B (x-3)(x-4) C (x+3)(x+4) D (x+3)(x-4) Câu 7: Kết phân tích đa thức g ( x)  x3  18 x  x  thành nhân tử là: A (x-2)(2x+1)(4x-3) B (x+2)(2x-1)(4x+3) C (x-2)(x+2)(3x-4) D (x+2)(2x-1)(3x+4) Câu 8: Giá trị a để đa thức 2x - 3x2 - 4x +5+a chia hết cho đa thức 2x+3 là: A 5,7 B -5,7 C 2,5 D -2,5 Câu 9: Hệ số bậc hai thương phép chia đa thức x7- 2x5 - 3x4 + x - cho x + là: A -118 B 23 C D 590 Câu 10: Giá trị giá trị sau nghiệm đa thức 3x4 - 5x3 + 7x2 -8x – 465: A -3 B -2 C D Đáp án - Mỗi câu điểm Câu 10 Đáp án C B B A D C A C D A 2.4 Hiệu đạt Sau thực triển khai áp dụng sáng kiến “Một số giải pháp giúp học sinh phát triển lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay ” vào tiết dạy tự chọn, buổi dạy nâng cao chất lượng đại trà, bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay cho học sinh khối trường THCS Thị trấn Ngọc Lặc – Ngọc Lặc – Thanh hóa, tơi nhận thấy học sinh nâng cao kĩ sử dụng máy, mà kĩ vận dụng thuật toán, đẳng thức …để giải tập em vận dụng cách linh hoạt, tích cực, chủ động sáng tạo hơn, đặc biệt em tự tin học tập Các lực phân tích, tổng hợp, phân loại tập phát huy Kết quả sau triển khai SKKN cụ thể như sau: 21 Năm học 2015 – 2016 Lớp Tổng số 8A1 8A2 Giỏi Khá Trung bình Yếu, SL % SL % SL % SL % 26 15,4 12 46,1 30,8 7,7 30 10 18 60 26,7 3,3 Năm học 2016 – 2017 Lớp Tổng số 8A1 42 Giỏi Khá Trung bình Yếu, SL % SL % SL % SL % 10 23,8 26 61,9 14,3 0 8A2 44 9,1 31 70,5 15,9 4,5 Kết luận Đa thức chuyên đề có nhiều ứng dụng thi giải tốn máy tính cầm tay cấp trung học sở, có nhiều sáng kiến kinh nghiệm, chuyên đề nghiên cứu đa thức đưa lên mạng Internet, nhiên: Các dạng chưa xếp cách hệ thống, chưa phân dạng cụ thể; Phương pháp cách trình bày lời giải dạng khơng chi tiết; Trình bày quy trình bấm máy không quán thực nhiều loại máy tính khác nhau… Chính giáo viên học sinh gặp khó khăn việc tìm kiếm khai thác tài liệu học tập tham khảo Đây lí dẫn tới thực trạng học sinh trường trung học sở Thị Trấn thiếu lực sử dụng máy tính cầm tay giải toán đa thức Với kết đạt từ trình áp dụng thử nghiệm đề tài năm học 2015 -2016 2016 – 2017 cho thấy, sáng kiến kinh nghiệm mang lại hiệu thiết thực việc thực mục tiêu nâng cao chất lượng hiệu dạy học Trường Trung học sở Thị Trấn Ngọc Lặc Các nội dung đề tài “Một số giải pháp giúp học phát triển lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay” đưa vào giảng dạy trang bị cho học sinh lớp trường trung học sở Thị trấn Ngọc Lặc số phương pháp giải dạng toán đa thức, nâng cao lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay Từ giúp em tự tin, tích cực, chủ động sáng tạo học tập, biết phối hợp nhịp nhàng tư với kĩ tính tốn máy tính cầm tay để thực xác phép tính tiết kiệm thời gian giải tốn Vì chất lượng giáo dục đại trà, đặc biệt chất lượng bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi giải tốn máy tính cầm tay nâng lên rõ rệt Tuy nhiên yêu cầu mặt phạm vi, nên đề tài trình bày quy trình giải tốn với hỗ trợ máy tính CASIO FX- 570VN PLUS, q trình áp dụng giáo viên cần hướng dẫn để học sinh thực loại máy tính khác 22      Vì điều kiện thời gian nghiên cứu đề tài có hạn đề tài thực nghiệm phạm vi Trường Trung học sở Thị Trấn Ngọc lặc, chắn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Rất mong quan tâm, góp ý, bổ xung tất đồng nghiệp để đề tài ngày hoàn thiện hiệu Xin chân thành cảm ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 02 tháng năm 2017 Tôi xin cam kết SKKN tự viết, khơng chép người khác Người viết Lê Thị Ny 23 ... 2.3 Các giải pháp sử dụng giúp học sinh nâng cao lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay 2.3.1 Kiến thức cần nắm vững 2.3.2 Phát triển lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay. .. Các giải pháp sử dụng giúp học sinh nâng cao lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay 2.3.1 Kiến thức cần nắm vững Để học sinh giải toán đa thức, trước tiên giáo viên phải giúp học sinh. .. hành máy thành thạo để giải dạng tốn đa thức, tơi mạnh dạn sưu tầm, tìm tịi đưa sáng kiến ? ?Một số giải pháp giúp học sinh phát triển lực giải toán đa thức với hỗ trợ máy tính cầm tay ” cho học sinh