Giải thuật tìm kiếm minimax và ứng dụng trong các trò chơi có tổng bằng không

Giải thuật tìm kiếm minimax và ứng dụng trong các trò chơi có tổng bằng không.

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN----------------NGUYỄN THỊ LỆGIẢI THUẬT TÌM KIẾM MINIMAX VÀ ỨNG DỤNG TRONG CÁC TRÒ CHƠI CÓ TỔNG BẰNG KHÔNG Chuyên ngành: Bảo đảm toán học cho máy tính và hệ thống tính toán Mã số: 60.46.35LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS. NGUYỄN THỊ HỒNG MINHHà Nội - 2009 Mục lụcLỜI NÓI ĐẦU . 4 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CÁC VẤN ĐỀ TÌM KIẾM . 6 1.1 Bài toán tìm kiếm và không gian trạng thái 6 1.1.1 Bài toán tìm kiếm . 6 1.1.2 Không gian tìm kiếm 8 1.2 Các kỹ thuật tìm kiếm cơ bản 11 1.2.1 Tìm kiếm không có thông tin . 12 1.2.2 Tìm kiếm có thông tin 15 1.2.3 Tìm kiếm đối kháng . 16 CHƯƠNG 2: GIẢI THUẬT TÌM KIẾM MINIMAX 20 2.1 Giới thiệu 20 2.1.1 Trò chơi có tổng bằng không (Zero-sum-game) . 21 2.1.2Định lý Minimax . 26 2.2 Giải thuật Minimax . 27 2.2.1 Ý tưởng 27 2.2.2 Áp dụng giải thuật Minimax đến độ sâu lớp cố định 31 2.2.3 Thủ tục Minimax 33 2.2.4 Đánh giá . 38 2.3 Giải thuật cải tiến Alpha-beta 38 2.3.1 Ý tưởng 40 2.3.2 Giải thuật 41 2.3.3 Đánh giá . 44 2.4 So sánh giải thuật Minimax và giải thuật Alpha-beta. 47 CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG 50 3.1 Phân tích bài toán 50 3.1.1 Trò chơi . 50 3.1.2 Cơ sở lý thuyết . 52 3.2 Cài đặt chương trình 52 3.2.1 Cấu trúc chương trình và mối quan hệ giữa các lớp chính . 52 3.2.2 Lớp Form1 . 54 2 3.2.3 Lớp CBoard 54 3.2.4 Lớp gameAI . 55 3.3 Một số giao diện và kết quả chạy chương trình 66 KẾT LUẬN 70 Tài liệu tham khảo 72 3 LỜI NÓI ĐẦULý thuyết trò chơi (game theory) thường được coi là một nhánh của toán học ứng dụng và kinh tế học ứng dụng nhằm nghiên cứu về các tình huống trong đó các bên tham gia trò chơi áp dụng những chiến lược ra quyết định nhằm tối ưu hóa kết quả mình nhận được. Ban đầu Lý thuyết trò chơi được phát triển như một công cụ để nghiên cứu hành vi kinh tế học, ngày nay Lý thuyết này được sử dụng trong nhiều ngành khoa học như Sinh học, Triết học, Chính trị học… Đặc biệt Lý thuyết trò chơi đã thu hút được sự chú ý của các nhà Khoa học máy tính do ứng dụng của nó trong Trí tuệ nhân tạo và Điều khiển học.Trí tuệ nhân tạo đã vận dụng Lý thuyết trò chơi để nghiên cứu về các trò chơi đối kháng và thiết kế chương trình chơi cờ giữa Người và Máy tính. Do bùng nổ tổ hợp quá lớn của cây trò chơi mà cả người và máy không thể (và không bao giờ) có thể tìm kiếm vét cạn (hết mọi khả năng). Do đó phương pháp tìm kiếm duy nhất là chỉ tìm kiếm đến một độ sâu giới hạn nào đó và chọn nước đi dẫn đến một thế cờ có lợi nhất cho mình. Do phải tính cả khả năng chống trả của đối phương nên ta không dùng được các thuật toán tìm kiếm thông thường mà phải dùng một thuật toán tìm kiếm riêng cho cây trò chơi, đó là thuật toán theo chiến lược Minimax. Đây cũng là chiến lược hiệu quả áp dụng trong các trò chơi có tổng bằng không. Chúng ta đều biết, nhiều tình huống trong thực tế đặc biệt là trong lĩnh vực Kinh tế, Chính trị có thể nhìn nhận như một trò chơi có tổng bằng không. Do đó việc nghiên cứu chiến lược tìm kiếm nước đi cho dạng trò chơi này có thể mang lại những ý nghĩa thực tiễn nhất định. Nội dung của luận văn tìm hiểu và nghiên cứu về thuật toán tìm kiếm đối kháng Minimax, các cải tiến của nó và ứng dụng trong trò chơi có tổng bằng không. Nội dung bản luận văn được chia làm 3 chương: Chương 1 trình bày một cách tổng quan về các vấn đề tìm kiếm : bài toán tìm kiếm, biểu diễn vấn đề bằng không gian trạng thái và các kỹ thuật tìm kiếm cơ bản. 4  Chương 2 trình bày giải thuật tìm kiếm Minimax và giải thuật cải tiến Alpha-beta áp dụng cho các trò chơi với tổng bằng không. Mỗi giải thuật được trình bày gồm các nội dung: ý tưởng, thủ tục thực hiện giải thuật và đánh giá. Chương 3 trình bày một ứng dụng của thuật toán tìm kiếm Minimax áp dụng cho trò chơi xếp các quân hậu lên bàn cờ có chướng ngại vật.Trong thời gian học tập và nghiên cứu để hoàn thành luận văn này, tác giả đã nhận được sự quan tâm, hướng dẫn, đóng góp của các thầy cô, các bạn bè và người thân.Trước hết, tác giả xin được dành lời cảm ơn chân thành và lòng biết ơn sâu sắc nhất tới giáo viên hướng dẫn của mình là Tiến sĩ Nguyễn Thị Hồng Minh, người đã định hướng, gợi mở những ý tưởng sâu sắc và hiệu quả, đã tận tình chỉ bảo giúp đỡ tác giả về mọi mặt để có thể hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu.Luận văn được thực hiện bằng những kiến thức mà tác giả được trang bị trong suốt 2 năm học tại Khoa Toán - Cơ - Tin, Trường Đại Học Khoa học tự nhiên với sự giảng dạy nhiệt tình của các giảng viên và sự hăng say học tập của các học viên. Lời cảm ơn chân thành xin được gửi tới các thầy, cô trong khoa Toán-Cơ-Tin học, đặc biệt các thầy cô trong bộ môn Tin học, các anh, chị và bạn bè trong cùng lớp cao học chuyên ngành Bảo đảm toán học cho máy tính và hệ thống tính toán khóa 2007-2009.Lời cảm ơn cuối cùng xin được dành cho gia đình và những bạn bè thân thiết, những người đã dành sự quan tâm và động viên hết mực để tác giả hoàn thành tốt bản luận văn này.Hà nội, tháng 10 năm 20095 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ CÁC VẤN ĐỀ TÌM KIẾM1.1 Bài toán tìm kiếm và không gian trạng thái1.1.1 Bài toán tìm kiếmTìm kiếm luôn là thao tác nền móng cho rất nhiều tác vụ tính toán. Các bài toán tìm kiếm bao gồm việc tìm cách tốt nhất để thu được thông tin cần cho một quyết định. Mỗi bài toán bất kỳ đều chứa trong đó một bài toán con tìm kiếm theo một chiều hướng nào đó, các tình huống tồn tại ở đó việc tìm kiếm cần phải xử lý là: kiểm tra các tài khoản, thanh tra và điều khiển chất lượng…Một cách tổng quát, tìm kiếm có thể hiểu là tìm một hoặc một số đối tượng thỏa mãn những đòi hỏi nào đó trong tập hợp rộng lớn các đối tượng. Chúng ta có thể kể ra rất nhiều vấn đề mà việc giải quyết nó được quy về vấn đề tìm kiếm. Trong các trò chơi, chẳng hạn cờ vua, cờ caro vấn đề tìm kiếm được thể hiện ở chỗ trong số rất nhiều nước đi được phép thực hiện, ta phải tìm ra các nước đi dẫn tới tình thế có ưu thế thắng. Chứng minh định lý cũng có thể xem như vấn đề tìm kiếm. Có nhiều phát biểu bài toán tìm kiếm khác nhau. Trong phần này chúng ta xem xét một số phát biểu của bài toán tìm kiếm như sau:Trong lý thuyết tính toán, một bài toán tìm kiếm là một loại bài toán tính toán được biểu diễn bởi một quan hệ nhị phân. Nếu R là một quan hệ nhị phân sao cho field(R) ⊆ Γ+ và T là một máy Turing, thì T tính f nếu:- Nếu mỗi x có một số giá trị y mà R(x,y) thì T truy nhập vào với đầu ra z mà R(x,z) ( có thể có nhiều y, và T chỉ cần một trong số chúng)- Nếu với giá trị x mà không có giá trị y thỏa mãn R(x,y) thì T loại bỏ x.Chú ý rằng đồ thị của hàm bộ phận là một quan hệ nhị phân, và nếu T tính một hàm bộ phận thì hầu hết mọi giá trị có thể cho đầu ra.6 Một quan hệ R có thể được biểu diễn như một bài toán tìm kiếm, và một máy Turing tính R còn được gọi để giải quyết nó. Mọi bài toán tìm kiếm đều tương ứng với bài toán quyết định, cụ thể là:L(R) = { x | ∃yR(x,y)}. Tìm kiếm nghĩa là tìm một hay nhiều mẩu thông tin đã được lưu trữ. Thông thường, thông tin được chia thành các mẩu tin (record), mỗi mẩu tin đều có một KHÓA (key) dùng cho việc tìm kiếm. Ta sẽ luôn có một khoá cho trước giống như khoá của các mẩu tin mà ta cần tìm. Mỗi mẩu tin được tìm thấy sẽ chứa toàn bộ thông tin để cung cấp cho một quá trình xử lý nào đó. Việc tìm kiếm được áp dụng rất đa dạng và rộng rãi.Ví dụ: Một Ngân hàng nắm giữ tất cả thông tin của rất nhiều tài khoản khách hàng và cần tìm kiếm để kiểm tra các biến động. Một hãng Bảo hiểm hay một hệ thống trợ giúp bán vé xe, vé máy bay….Việc tìm kiếm thông tin để đáp ứng việc sắp đặt ghế và các yêu cầu tương tự như vậy là thực sự cần thiết. Một phát biểu Bài toán tìm kiếm thường được sử dụng nhất là: “Cho một bảng gồm n bản ghi R1, R2, …., Rn. Mỗi bản ghi Ri (1≤i≤n) tương ứng với 1 khóa ki. Hãy tìm bản ghi có giá trị khóa tương ứng bằng X cho trước. X được gọi là khóa tìm kiếm hay đối trị tìm kiếm. Công việc tìm kiếm sẽ hoàn thành khi có một trong hai tình huống sau đây xảy ra.1. Tìm được bản ghi có giá trị khóa tương ứng bằng X, lúc đó ta nói: phép tìm kiếm được thỏa (Successful).2. Không tìm được bản ghi nào có khóa bằng X cả: phép tìm kiếm không thỏa. (unsuccessful).Thuật ngữ thường được dùng trong việc mô tả cấu trúc dữ liệu của việc tìm kiếm là TỪ ĐIỂN và BẢNG KÝ HIỆU. Một ví dụ điển hình như ta muốn xây dựng hệ thống tra từ điển Tiếng Anh chẳng hạn. Ở đây, “khoá” là từ và “mẩu tin” là diễn giải cho từ đó, mỗi mẩu tin chứa định nghĩa, cách phát âm và các thông tin khác. BẢNG KÝ 7 HIỆU chính là từ điển cho chương trình và các mẩu tin chứa thông tin mô tả đối tượng được đặt tên.Một cách tổng quát, bài toán tìm kiếm có thể được phát biểu dựa vào không gian trạng thái với bộ 4 (S, To, Op, TG) hoặc bộ 5: (S, T0, Op, TG,, Pcost).Trong đó: S là tập các trạng thái, T0 là trạng thái ban đầu, Op là tập các toán tử hay tập các phép chuyển trạng thái mà có thể chuyển một trạng thái này sang trạng thái khác, TG là trạng thái đích. Pcost là chi phí đường đi. Mục đích của bài toán là tìm ra cách chuyển từ trạng thái ban đầu sang trạng thái đích, nếu theo bộ 5 có thêm Pcost thì bài toán cần tìm nghiệm tốt nhất nghĩa là tìm cách chuyển từ trạng thái ban đầu đến trạng thái đích với chi phí nhỏ nhất (hoặc lớn nhất).Phát biểu chi tiết hơn của cách biểu diễn này chúng ta sẽ xét trong mục không gian tìm kiếm dưới đây.1.1.2 Không gian tìm kiếm1.1.2.1 Không gian tìm kiếmKhi muốn giải quyết một vấn đề nào đó bằng tìm kiếm, trước hết ta phải xác định không gian tìm kiếm. Không gian tìm kiếm bao gồm tất cả các đối tượng mà ta cần quan tâm để tìm ra trong đó đối tượng yêu cầu. Đó có thể là không gian liên tục, chẳng hạn không gian các véctơ thực n chiều; hoặc cũng có thể là không gian các đối tượng rời rạc như tập các nút của đồ thị hay tập các lời giải của bài toán []. Một cách chung nhất, nhiều bài toán phức tạp đều có dạng "tìm đường đi trong đồ thị" hay nói một cách hình thức hơn là "xuất phát từ một đỉnh của một đồ thị, tìm đường đi hiệu quả nhất đến một đỉnh nào đó". Một phát biểu khác thường gặp của dạng bài toán này là :Cho trước hai trạng thái T0 và TG hãy xây dựng chuỗi trạng thái T0, T1, T2, ., Tn-1, Tn = TG sao cho : ∑−ni1iTPcost(T1), thỏa mãn một điều kiện cho trước (thường là nhỏ nhất). 8 Trong đó, Ti thuộc tập hợp S (gọi là không gian trạng thái – state space) bao gồm tất cả các trạng thái có thể có của bài toán và Pcost(Ti-1,Ti) là chi phí để biến đổi từ trạng thái Ti-1 sang trạng thái Ti. Tuy nhiên, từ một trạng thái Ti-1 ta có nhiều cách để biến đổi sang trạng thái Ti. Khi nói đến một biến đổi cụ thể từ Ti-1 sang Ti ta sẽ dùng thuật ngữ hướng đi (với ngụ ý nói về sự lựa chọn). Hình 1.1: Mô hình chung của các vấn đề-bài toán phải giải quyết bằng phương pháp tìm kiếm lời giải. Không gian tìm kiếm là một tập hợp trạng thái - tập các nút của đồ thị. Chi phí cần thiết để chuyển từ trạng thái này sang trạng thái khác được biểu diễn dưới dạng các con số nằm trên cung nối giữa hai nút tượng trưng cho hai trạng thái. 1.1.2.2 Biểu diễn vấn đề trong không gian trạng thái Ta sẽ xét việc biểu diễn một vấn đề trong không gian trạng thái sao cho việc giải quyết vấn đề được quy về việc tìm kiếm trong không gian trạng thái. Một phạm vi rộng lớn các vấn đề, đặc biệt các câu đố, các trò chơi, có thể mô tả bằng cách sử dụng khái niệm trạng thái và phép chuyển trạng thái hay là phép chuyển (phép biến đổi trạng thái).Ví dụ: Trong trò chơi cờ vua, mỗi cách bố trí các quân trên bàn cờ là một trạng thái. Trạng thái ban đầu là sự sắp xếp các quân lúc đầu cuộc chơi. Mỗi nước đi hợp lệ là một phép chuyển trạng thái, nó biến đổi một trạng thái trên bàn cờ thành một trạng thái khác.T0TG9 Như vậy muốn biểu diễn một vấn đề trong không gian trạng thái, ta cần xác định các yếu tố sau:- Trạng thái ban đầu- Tập hợp các phép chuyển trạng thái. Trong đó mỗi toán tử hay phép chuyển mô tả một hành động hoặc một phép biến đổi có thể đưa một trạng thái tới một trạng thái khác.Tập hợp tất cả các trạng thái có thể đạt tới từ trạng thái ban đầu bằng cách áp dụng một dãy phép chuyển trạng thái, lập thành không gian trạng thái của bài toán.Ta sẽ ký hiệu không gian trạng thái là S, trạng thái ban đầu là T0 (T0∈S). Mỗi phép chuyển R có thể xem như một ánh xạ R: S→S. Nói chung R là một ánh xạ không xác định khắp nơi trên S.- Một tập hợp TG các trạng thái kết thúc (trạng thái đích). TG là tập con của không gian S. Trong nhiều vấn đề (chẳng hạn các loại cờ) có thể có nhiều trạng thái đích và ta không thể xác định trước được các trạng thái đích. Nói chung trong phần lớn các vấn đề hay, ta chỉ có thể mô tả các trạng thái thỏa mãn một số điều kiện nào đó. Khi biểu diễn một vấn đề thông qua các trạng thái và các phép chuyển, thì việc tìm nghiệm của bài toán được quy về việc tìm đường đi từ trạng thái ban đầu tới trạng thái đích. (Một đường đi trong không gian trạng thái là một dãy phép chuyển dẫn một trạng thái tới một trạng thái khác).Chúng ta có thể biểu diễn không gian trạng thái bằng đồ thị định hướng, trong đó mỗi đỉnh đồ thị tương ứng với một trạng thái. Nếu có phép chuyển R biến đổi trạng thái u thành trạng thái v, thì có cung gán nhãn R đi từ đỉnh u tới đỉnh v. Khi đó một đường đi trong không gian trạng thái sẽ là một đường đi trong đồ thị.Sau đây chúng ta sẽ xem xét một ví dụ về không gian trạng thái được xây dựng cho bài toán 8 số. Ví dụ : Bài toán 8 số. Cho bảng 3x3 ô và tám quân mang số hiệu từ 1 đến 8, còn lại một ô trống. Mỗi quân ở cạnh ô trống có thể được chuyển dịch tới ô trống đó. Yêu cầu của bài toán là tìm ra một dãy các chuyển dịch để biến đổi trạng thái ban đầu của 10 [...]... mà ta có thể lựa chọn và áp dụng kỹ thuật phù hợp và hiệu quả Chúng ta sẽ tìm hiểu về một số kỹ thuật tìm kiếm cơ bản trong các mục tiếp theo, bao gồm: Tìm kiếm không có thông tin, tìm kiếm có thông tin và tìm kiếm đối kháng Trong đó, tập trung vào kỹ thuật tìm kiếm đối kháng để làm cơ sở cho phát triển chương 2 của luận văn này 11 1.2.1 Tìm kiếm không có thông tin Một giải thuật tìm kiếm không có thông... người khác không thích nghe Việc ai đó không thích nghe chẳng có ảnh hưởng gì tới sở thích của bạn trong điều kiện bạn không phải nghe lời bình luận của người đó Trong luận văn này trò chơi có tổng bằng không, cụ thể là trò chơi có tổng bằng không với hai người chơi sẽ được quan tâm nghiên cứu kỹ hơn 2.1.1 Trò chơi có tổng bằng không (Zero-sum-game) Trò chơi có tổng bằng không là trò chơi có tổng giá... dần vào cây T các đỉnh kề “tốt nhất” trong số các đỉnh còn lại Thời gian thực hiện giải thuật Prim là O(n2) 14 1.2.2 Tìm kiếm có thông tin Các kỹ thuật tìm kiếm không có thông tin trong một số trường hợp rất kém hiệu quả và thậm chí không áp dụng được Để tăng tốc độ của các quá trình tìm kiếm ta có thể dùng các giải thuật tìm kiếm có thông tin Trong mục này chúng ta sẽ hệ thống một số chiến lược tìm kiếm. .. đáng kể cho các ví dụ nhỏ Sau đây ta sẽ giới thiệu một số dạng tìm kiếm không có thông tin tiêu biểu ứng với các cách tổ chức dữ liệu 1.2.1.1 Tìm kiếm trên danh sách Các giải thuật tìm kiếm trên danh sách là loại giải thuật tìm kiếm cơ bản nhất Mục đích là tìm trong một tập hợp một phần tử chứa một khóa nào đó Các giải thuật tìm kiếm tiêu biểu nhất trên danh sách là: Tìm kiếm tuần tự (hay tìm kiếm tuyến... nhất, tìm bao đóng bắc cầu,…Tuy nhiên ứng với mỗi dạng bài toán có một số giải thuật tìm kiếm thích hợp để giải quyết Chẳng hạn thuật toán Dijkstra, thuật toán Kruskal, giải thuật láng giềng gần nhất và giải thuật Prim [] Các thuật toán này có thể được coi là các mở rộng của các thuật toán tìm kiếm trên cây: tìm kiếm theo chiều sâu, tìm kiếm theo chiều rộng Thuật toán Dijkstra là một thuật toán giải. .. vấn đề tìm kiếm trong không gian trạng thái Sau đây chúng ta sẽ xem thế nào trò chơi đối kháng và chiến lược tìm kiếm nào sẽ được áp dụng 1.2.3.1 Trò chơi đối kháng Trong các trò chơi đấu trí như các trò chơi cờ Vua, cờ Tướng, cờ vây, cờ caro (go-moku), có một cây trò chơi bao gồm tất cả các nước đi có thể của cả hai đấu thủ và các cấu hình bàn cờ là kết quả của các nước đi đó Ta có thể tìm kiếm trên... tới thế cờ tốt nhất Do đó sẽ không cần phải tìm kiếm gì nữa Rất tiếc, các thủ tục như vậy không hề có Ta cần có chiến lược tìm kiếm trong trò chơi 1 d Th ời gi an b b*b=b2 Hàm mũ 18 bd Số đỉnh Hình 1.4: Cây tìm kiếm và sự bùng nổ tổ hợp 1.2.3.4 Chiến lược tìm kiếm trong trò chơi Trong Lý thuyết trò chơi đã nghiên cứu các tình huống chiến thuật trong đó các đối thủ lựa chọn các hành động khác nhau để... kiếm không có thông tin là giải thuật không tính đến bản chất cụ thể của bài toán Khi đó, các giải thuật dạng này có thể được cài đặt tổng quát, và cùng một cài đặt có thể được sử dụng trong một diện rộng các bài toán (do sử dụng trừu tượng hóa) Nhược điểm của các giải thuật này là phần lớn các không gian tìm kiếm có kích thước cực kì lớn, và một quá trình tìm kiếm (đặc biệt tìm kiếm theo cây) sẽ cần một... trạng thái có giá trị hàm đánh giá là nhỏ nhất, trạng thái này được xem là trạng thái có nhiều hứa hẹn nhất hướng tới đích Các kỹ thuật tìm kiếm sử dụng hàm đánh giá để hướng dẫn sự tìm kiếm được gọi chung là các kỹ thuật tìm kiếm có thông tin hay tìm kiếm kinh nghiệm (tìm kiếm heuristic) Các giai đoạn cơ bản để giải quyết vấn đề bằng tìm kiếm heuristic như sau: - Tìm biểu diễn thích hợp mô tả các trạng... trên cây này để có được một chiến lược chơi hiệu quả Các trò chơi này còn gọi là các trò chơi đối kháng, diễn ra giữa hai đấu thủ Nói chung, các trò chơi đó đều có thể chuyển về một dạng bài toán tìm kiếm đặc biệt: tìm đường đi đến các điểm cao nhất giữa hai đấu thủ Trong trò chơi này phải tính đến mọi nước đi mà đối thủ của ta có thể sử dụng Đặc điểm của các trò chơi trên như sau: - Có hai đấu thủ, . đa. Trong lý thuyết trò chơi có một cách phân loại các trò chơi thành hai loại: trò chơi có tổng bằng không và trò chơi có tổng khác không. Trong những trò. bày giải thuật tìm kiếm Minimax và giải thuật cải tiến Alpha-beta áp dụng cho các trò chơi với tổng bằng không. Mỗi giải thuật được trình bày gồm các nội