SKKN một số giải pháp rèn luyện kỹ năng giải các bài toán về ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng và thể tích của vật thể tròn xoay trong ôn thi TN THPT ở trường THPT triệu sơn 2

1 MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Qua thực tế dạy học nội dung ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay chương trình Giải tích lớp 12 trường THPT Triệu Sơn tơi thấy học sinh gặp nhiều khó khăn Năng lực tính tốn vận dụng cơng thức tính cịn hạn chế, khả vẽ hình đọc đồ thị hàm số yếu Các em thường vận dụng cơng thức cách máy móc chưa có phân tích, tư thực tế trực quan nên hay bị nhầm lẫn Trong sách giáo khoa sách tham khảo viết ví dụ minh hoạ cách chi tiết để giúp học sinh học tập khắc phục sai lầm giải tốn ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích khối trịn xoay Bài tập tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay chương trình Giải tích 12 dạng toán nội dung quan trọng ôn thi TN THPT Tuy nhiên em học sinh thường chưa có phân tích tư thực tế dẫn tới mắc sai lầm đưa lời giải sai, chưa xác Việc hệ thống hoá phương pháp giải, số sai lầm giải toán cho phép nhìn nhận tốn theo hệ thống quán từ giúp em học sinh thấy thuật toán chung tránh sai lầm giải tốn tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay Xuất phát từ thực tế giảng dạy nội dung “Nguyên hàm, tích phân ứng dụng ” dạy học giải tốn liên quan đến ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng thể tích khối tròn xoay cho học sinh lớp 12 Để giúp cho học sinh lớp 12 trường THPT Triệu Sơn khắc phục khó khăn, sai lầm gặp tốn thực tế tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay, giúp cho q trình giải toán dễ dàng, thuận lợi đạt hiệu cao Đồng thời phát triển tư duy, lực sáng tạo học sinh học tập mơn Tốn Đó lí tơi chọn đề tài “ Một số giải pháp rèn luyện kỹ giải toán ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể trịn xoay ôn thi TN THPT trường THPT Triệu Sơn 2” 1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Trên sở nghiên cứu lí luận thực tiễn học sinh biết vận dụng số kiến thức toán vào giải tình thực tế Cung cấp hệ thống kiến thức lý thuyết liên quan đến nguyên hàm, tích phân, đặc biệt kiến thức ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng thể tích khối trịn xoay mà học sinh học Đưa ví dụ minh họa (có hình vẽ minh họa cho ví dụ cụ thể) có phân tích, kèm hướng dẫn giải chi tiết trình bày theo cách khác nhau, rèn luyện cho học sinh kỹ vận dụng linh hoạt quy trình giải tốn, phát huy tính sáng tạo học sinh 1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI Đưa giải pháp để giải toán ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng tính thể tích khối trịn xoay Từ áp dụng giải số toán thực tế 1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI - Phương pháp nghiên cứu xây dựng sở lý thuyết: Trình bày kiến thức liên quan đến vấn đề nghiên cứu (Các kiến thức liên quan đến nội dung nguyên hàm, tích phân đặc biệt ý tới cơng thức sử dụng tích phân để tính diện tích, thể tích) - Trình bày ví dụ minh hoạ, phân tích, hướng dẫn giải, đồ thị minh hoạ ví dụ (Đưa hệ thống tập tương tự có hình vẽ kèm theo khơng có hình vẽ để học sinh luyện tập từ dễ tới khó) - Phân tích, nhận xét, hướng dẫn giải (tìm cách giải có) (Hướng dẫn giải, rèn luyện kỹ khử dấu giá trị tuyệt đối, phương pháp đổi biến số, tích phân phần cách linh hoạt tùy thuộc vào tập cụ thể) - Một số tốn ứng dụng thực tế tích phân (Các tập vận dụng ứng dụng tích phân giải toán thực tế đời sống thường ngày) - Phương pháp thực nghiệm: Khảo sát, tổng hợp NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 CƠ SỞ LÍ LUẬN Thực Nghị số 29NQ/TW ngày 04/11/2013 Ban Chấp Hành Trung ương Đảng, Nghị số 44NQ/CP ngày 09/06/2014 Đổi toàn diện giáo dục, đào tạo Chỉ thị số 16/CT/TTg ngày 18/6/2018 Thủ tướng Chính phủ đổi chương trình, nội dung, phương pháp dạy học, phương pháp thi, kiểm tra theo hướng đại, nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện, đặc biệt coi trọng giáo dục lý tưởng, lối sống, lực sáng tạo, tác phong công nghiệp, ý thức trách nhiệm xã hội Qua thực tế giảng dạy trường THPT Triệu Sơn thân nhận thấy HS cần tiếp cận giải pháp để rèn luyện lực vận dụng toán học vào ứng dụng thực tiễn Chương III “Nguyên hàm, tích phân ứng dụng ” lớp 12 chương vô quan trọng có nhiều tốn có ứng dụng thực tế hay mà học sinh cịn lúng túng việc tìm hướng giải Vì sáng kiến thực nhằm rèn luyện kỹ giải tốn ứng dụng tích phân hình học Hơn nữa, dạy cho học sinh kiến thức chưa đủ Cần cho học sinh thấy tình thực tế áp dụng phần kiến thức mà học sinh học hướng dẫn học sinh giải vấn đề Để câu trả lời học sinh câu hỏi: “Học Tốn để làm ” khơng đơn giản là: “Học để biết”, “Học để thi” mà thấy việc học toán gần gũi với đời sống hàng ngày, tạo hứng thú, sáng tạo học tập cho học sinh 2.2 THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ Chủ đề ứng dụng tích phân hình học nội dung kiến thức có nhiều ứng dụng thực tế thuộc nội dung chương “Nguyên hàm, tích phân ứng dụng” - chương trình Giải tích lớp 12 Đã có nhiều sáng kiến làm ứng dụng tích phân hình học, sáng kiến đơn nêu kiến thức chung, sau lấy ví dụ minh hoạ mà chưa đưa giải pháp cụ thể để khắc phục khó khăn, hạn chế học sinh Hoặc có sáng kiến đề cập đến rèn luyện kỹ giải tốn ngun hàm tích phân đưa hai phương pháp tính tích phân phương pháp đổi biến số phương pháp tính tích phân phần Khi vận dụng ứng dụng tích phân vào giải tốn thực tế hình học, đa số học sinh (kể học sinh giỏi) thường gặp khó khăn có sai lầm định chẳng hạn: Nếu khơng có hình vẽ học sinh thường khơng hình dung hình phẳng (hay vật thể trịn xoay) dẫn đến khơng tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể Vì học sinh có cảm giác “xa lạ” so với học diện tích hình phẳng học trước (diện tích đa giác, thể tích khối đa diện) Ngồi hình vẽ minh họa sách giáo khoa sách tập cịn “chưa đủ” để giúp học sinh trực quan Các em thường nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng lớp với hình quen thuộc như: diện tích tam giác, tứ giác, ngũ giác, lục giác… Các cơng thức tính thể tích khối như: khối chóp, khối hộp chữ nhật, khối lập phương, khối lăng trụ học chương hình học 12 Vì việc học nội dung ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trịn xoay làm học sinh gặp khó khăn, khơng phát huy tính linh hoạt sáng tạo, đặc biệt khả đọc đồ thị để xét dấu biểu thức, kỹ “ chia nhỏ” hình phẳng để tính, kỹ cộng, trừ diện tích, cộng, trừ thể tích Học sinh thường gặp khó khăn bị mắc sai lầm việc xây dựng công thức tính từ giả thiết tốn tính tích phân có chứa dấu giá trị tuyệt b S = ∫ f ( x) d x = a b ∫ f ( x) d x a đối Chẳng hạn, thường áp dụng sai công thức Học sinh công thức trường hợp biểu [ a; b] f ( x ) thức không đổi dấu đoạn Trên sở lý thuyết ngun hàm tích phân, tơi đề xuất số giải pháp rèn luyện kỹ tính diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trịn xoay có ứng dụng tích phân 2.3 CÁC GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.3.1 Giải pháp 1: Tăng cường rèn luyện kỹ giải tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành 2.3.1.1 Rèn luyện kỹ tính diện tích phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hồnh Cơng thức tính diện tích hình phẳng (H) Cho hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số liên tục y = f ( x) đoạn [ a; b ] , trục hoành hai đường thẳng , x = a x = b ( a < b) b (H) S = ∫ f ( x) d x a Diện tích hình phẳng : Để tính diện tích S ta phải tính tích phân chứa dấu giá trị tuyệt đối, muốn ta phải “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối - Nếu - Nếu f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] b b a a S = ∫ f ( x) d x = ∫ f ( x) d x b b a a S = ∫ f ( x) d x = ∫ − f ( x) d x f ( x) Muốn “ khử ” dấu giá trị tuyệt đối ta phải xét dấu biểu thức ta thường sử dụng hai cách làm sau : Cách 1: Dùng định lí “dấu nhị thức bậc nhất”, định lí “dấu tam thức bậc hai” để xét dấu biểu thức f ( x ) , phải giải bất phương trình , đoạn f ( x) ≥ f ( x) ≤ [ a; b ] Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( x ) đoạn [ a ; b ] để suy dấu đoạn f ( x) - Nếu đoạn [ a; b ] f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a; b ] đồ thị hàm số y = f ( x ) nằm phía “trên” trục hoành - Nếu đoạn [ a; b ] đồ thị hàm số y = f ( x) nằm phía “dưới” trục hồnh f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ a; b ] Rèn luyện kỹ phân tích, tổng hợp giải số ví dụ tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số với trục hồnh Ví dụ 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + 4, trục hoành, đường thẳng x = −2, x = Phân tích: Ở ví dụ em cần nhớ cơng thức tính diện tích hình phẳng b S = ∫ f ( x) d x a tính diện tích Hoặc sử dụng cơng thức tính diện [ a; b ] f ( x ) tích tam giác vng Cần ý: Nếu khơng đổi dấu ta có : b S = ∫ f ( x) d x = a Bài giải: Cách 1: Xét dấu Nhận xét: f ( x) = x + b ∫ f ( x) d x a để bỏ dấu giá trị tuyệt đối x + ≥ ;∀x ∈ [ −2;0] Gọi S diện tích cần tìm : S= 0 −2 −2 ∫ 2x + d x = ∫ ( 2x + 4) d x = ( x + 4x ) −2 (đvdt) =4 Cách 2: (Không dựa vào đồ thị) S= Gọi S diện tích cần tìm : 0 −2 −2 ∫ 2x + d x = ∫ ( 2x + 4) d x = ( x + 4x) −2 (đvdt) = − ( − 8) = S= ∫ 2x + d x = −2 Cách 3: Sử dụng máy tính bỏ túi tính tích phân ( đvdt) Ví dụ 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành hai đường thẳng x = 0, x = y = −x + 2x − Phân tích: Bài em cần áp dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng b S = ∫ f ( x) d x a ,và để khử dấu trị tuyệt đối có hai cách : Dùng đồ thị xét dấu [ 0;3] − x2 + x − đoạn Bài giải: Cách 1: Vẽ đồ thị hàm số ta thấy hình phẳng phần bôi y = −x + 2x − đen y -2 -1 A O B x f(x ) = (-x 2+2 ⋅ x )-2 -4 (C) Nhận xét: − x + x − ≤ ;∀x ∈ [ 0;3] ; 3 S = ∫ − x + x − d x = −∫ ( − x2 + 2x − ) d x Gọi S diện tích cần tìm : 0 (đvdt) x  27 =  − x2 + 2x ÷ = −9+6=6  0 3 Cách 2: (Không dựa vào đồ thị) Nhận xét: không đổi dấu đoạn y = − x2 + 2x − [ 0;3] S = ∫ −x + 2x − d x = Gọi S diện tích cần tìm: ∫( −x + 2x − 2) d x (đvdt)  x3  27 =  − + x2 − 2x ÷ = − + − =  0 S = ∫ − x2 + x − d x = Cách 3: Sử dụng máy tính Casio tính Chú ý: Nếu phương trình ( với f ( x) x1 < x2 < < xn f ( x) = (đvdt) [ a; b] có nghiệm thuộc đoạn ),thì khoảng ( a; x1 ) , ( x1; x2 ) , , ( xk ; b ) x1; x2 ; xn biểu thức khơng đổi dấu Khi x1 x2 x3 b a x1 x2 xn x1 x2 x3 b a x1 x2 xn I = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx + + ∫ f ( x) dx ⇒I = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + + ∫ f ( x)dx Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số , trục hoành , trục tung đường thẳng x = y = x − 3x + Phân tích: Cho y = ⇔ x − 3x + = có nghiệm x = 1∈ [ 0;2] nên tính tích phân ta phải chia trường hợp Cách 1: Dùng đồ thị (Hình phẳng phần bơi đen) y f( x ) = (x 3-3 ⋅ x 2)+2 -2 -1 A O1 x B (C) Nhận xét: x − 3x + ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] ; x3 − x + ≤ 0, ∀x ∈ [ 1;2] Gọi S diện tích cần tìm: 2 S = ∫ x − 3x + d x = ∫ ( x − 3x + ) d x − ∫ ( x − 3x + ) d x 3 1 (đvdt)  x4   x4  =  − x3 + x ÷ −  − x3 + x ÷ =  0  1 Cách 2: (Không dựa vào đồ thị) x3 − 3x + = ⇔ ( x − 1) x − x − = ( ) x =  ⇔ x = 1+ x = 1−  Gọi S diện tích cần tìm: S = ∫ x − 3x + d x = ∫( x − 3x + ) d x + 2 ∫( x − 3x + ) d x (đvdt)  x4   x4  5 =  − x3 + x ÷ +  − x3 + x ÷ = + − =  0  1 S = ∫ x − 3x + d x = Cách 3: Sử dụng máy tính Casio tính (đvdt) Nhận xét: Đối với tập học sinh thường gặp sai lầm xây dựng công S = ∫ x − 3x + d x = 2 ∫( x − 3x + ) d x = thức tính sai: Khắc phục: Học sinh phải nắm rõ: Nếu f ( x ) không đổi dấu b S = ∫ f ( x) d x = a : [ a; b ] ta có b ∫ f ( x) d x a Ví dụ 4: Tính diện tích hình phẳng giới hạnbởi đồ thị (C): y = − x4 + 5x2 − trục hồnh Phân tích: Xác định hồnh độ giao điểm đồ thị (C) với trục hoành nghiệm phương trình  x = −1 x =1  x2 = − x + 5x − = ⇔  ⇔ x = x =   x = −2 Hướng dẫn giải: Dùng đồ thị ta thấy hình phẳng phần bôi đen y -2 A f(x) = -1 O B x (-x4+5⋅x2)-4 (C) -4 − x + x − ≥ ;∀x ∈ [ −2; −1] ∪ [ 1;2 ] , − x + x − ≤ ;∀x ∈ [ −1;1] Gọi S diện tích cần tìm : S= ∫ −x + 5x2 − d x −2 = −1 ∫ ( −x −2 + 5x − 4) d x + ∫ ( x − 5x + 4) d x + ∫ ( − x4 + 5x2 − ) d x −1 −1  x5 x3   x5 x3   x5 x3  = − + − 4x ÷ +  − + 4x ÷ +  − + − 4x ÷ 3   −2   −1  1 22 76 22 = + + =8 15 15 15 2.3.1.2 Một số tập rèn luyện kỹ xây dựng công thức tính diện tích hình phẳng tích phân từ đồ thị hàm số cho trước Ví dụ 5: Cho hàm số liên tục đoạn Gọi hình phẳng D a ; b y = f ( x) [ ] giới hạn đồ thị ( C ) : y = f ( x) , trục hoành, hai đường thẳng x=a , x=b (như hình vẽ đây) Giả sử án SD diện tích hình phẳng A, B, C , D D Chọn công thức phương cho đây? b a SD = ∫ f ( x ) d x + ∫ f ( x ) d x A b a Trên đoạn Trên đoạn [ a;0] [ 0;b] , đồ thị , đồ thị (C ) ( C) a 0 b a SD = −∫ f ( x ) d x − ∫ f ( x ) d x SD = ∫ f ( x ) d x − ∫ f ( x ) d x D (C ) b SD = −∫ f ( x ) d x + ∫ f ( x ) d x B C Lời giải: Chọn B Nhìn đồ thị ta thấy: Đồ thị cắt trục hoành trục hoành nên trục hoành nên O ( 0;0 ) f ( x) = − f ( x) f ( x) = f ( x) 10 b b a a SD = ∫ f ( x ) d x = −∫ f ( x ) d x + ∫ f ( x ) d x Do đó: Ví dụ 6: Cho đồ thị hàm số y = f ( x) đoạn [ −2; 2] hình vẽ bên có ∫ f ( x) d x I= diện tích A 32 I= 15 22 76 S1 = S = , S3 = 15 15 Lời giải: Chọn A Ta có I= B I =8 C 18 I= −1 −2 −2 −1 D 32 I =− 15 ∫ f ( x) d x = ∫ f ( x) d x + ∫ f ( x) d x + ∫ f ( x) d x = − S1 + S3 − S = − Ví dụ 7: Cho hàm số ( C) −2 Tính tích phân Biết đồ thị âm đồ thị hàm số 22 76 22 32 + − = 15 15 15 15 y = f ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c ∈ ¡ , a ≠ ) ( C) tiếp xúc với đường thẳng y = f ′( x) y=4 có đồ thị điểm có hồnh độ cho hình vẽ đây: 11 Tính diện tích A S =9 hình phẳng giới hạn đồ thị S B S= 27 ( C) C 21 trục hoành D Lời giải: Chọn B Từ đồ thị suy f ′ ( x ) = 3x − f ( x ) = ∫ f ′ ( x ) d x = ∫ ( 3x − 3) d x = x3 − x + C Do ( C) tiếp xúc với đường thẳng f ′ ( x0 ) = ⇔ 3x − = ⇔ x0 = −1 Suy điểm có hồnh độ y=4 x0 âm nên f ( −1) = ⇔ C = ⇒ ( C ) : y = x − 3x + Xét phương trình  x = −2 x3 − 3x + = ⇔  x =1 S= ∫ −2 x − 3x + d x = 27 Diện tích hình phẳng cần tìm là: ( đvdt) Kết luận: Để làm tốt dạng tốn địi hỏi học sinh phải nhớ tính chất, hiểu rõ cách xây dựng cơng thức tính diện tích từ hình vẽ, địi hỏi học sinh phải biết đọc nhận xét dấu hàm số từ đồ thị cho trước 2.3.2 Giải pháp 2: Tăng cường rèn luyện kỹ giải tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số 12 2.3.2.1 Rèn lực tổng hợp kiến thức tìm hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số Cho hai hàm số có đồ thị (C1), có đồ thị (C2) Nếu y = f ( x) y = g ( x) hai đồ thị (C1) (C2) có điểm chung điểm nghiệm hệ phương trình - Hồnh độ x0  y = f ( x)   y = g ( x) cặp số M( x0 ; y0 ) ( x0 ; y0 ) (1) điểm M nghiệm phương trình + Giải phương tình (*) ta hồnh độ x0 f ( x) = g ( x) (*) giao điểm hai đồ thị + Phương trình (*) gọi PT hoành độ giao điểm hai đồ thị Thay vào hai phương trình hệ (1) ta tìm tung độ x = x0 giao điểm Ví dụ 8: Tìm toạ độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = x − 3x y = x−3 Hướng dẫn: Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hai hàm số:  x = ⇒ y = −2 x − 3x = x − ⇔ x − x + = ⇔  x = ⇒ y = Vậy hai đồ thị cắt hai điểm phân biệt ; M ( 1; −2 ) N ( 3;0 ) 2.3.2.2 Rèn lực tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ hàm số cần rèn luyện cho em biến đổi theo bước +) Bước 1: Tìm hồnh độ giao điển hai đồ thị (bước thực để tìm cận tích phân) +) Bước 2: Sử dụng cơng thức tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: b S = ∫ f ( x) − g ( x) d x y = f ( x) y = g ( x) đường , : x = a; x = b (a < b) a 13 Ví dụ 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số đường thẳng y = x −1 y = x − 3x + 2 Hướng dẫn: Vẽ đồ thị hai hàm số ta thấy hình phẳng giới hạn hai dồ thị phần bôi đen y (C) x -3 -2 -1 O -1 -2 d -3 Hoành độ giao điểm hai đồ thị nghiệm phương trình: x =1 x − 3x + = x − ⇔ x2 − x + = ⇔  x = 3 S = ∫ ( x − x + ) − ( x − 1) d x = ∫ x − x + d x Gọi S diện tích cần tìm: Cách ( Dựa vào đồ thị ): 1 x − 3x + ≤ x − ⇔ x − x + ≤ 0; ∀x ∈ [ 1;3] S = ∫ ( − x + x − 3) d x = (đvdt) Cách ( Không dựa vào đồ thị ) 3 (đvdt) S = ∫ x − x + d x = ∫ ( x − x + 3)d x =  x − x + 3x  = − =  ÷ 1 3  1 Ví dụ 10 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = −x − 2x hai đường thẳng y = x − 4, x = −3, x = −2 Lời giải: 14 Cách 1: Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng ( phần gạch sọc) cần tìm là: S= −2 ∫ (x −3 −2 − ) − ( − x − x ) d x = ∫  x − − ( − x − x )  d x = 2 −3 −2 ∫ ( 2x −3 + 2x − 4) d x  x3  −2 11 x2 =  + − 4x ÷ =   −3 Cách 2: Sử dụng máy tính để nhận kết tích phân so sánh với đáp án Ví dụ 11: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục tung đường thẳng x = y = x − x + 4, y = x , Lời giải: Cách 1: Từ hình vẽ ta có diện tích hình phẳng cần tìm (phần gạch sọc) là: 1 S = ∫ x − x + − x d x = ∫ x − 5x + d x Vì 2 x − x + = ( x − 1) ( x − ) ≥ ∀x ∈ [ 0;1] 15 Nên  x5 x3 1 38 S = ∫ ( x − 5x + 4) d x =  − + 4x ÷ = − + = 15 5 0 Cách 2: Sử dụng máy tính để tính ∫x − 5x2 + d x = 38 15 Ví dụ 12[Mã đề 101-THPTQG 2018] Cho hai hàm số f ( x ) = ax + bx + cx − và g ( x ) = dx + ex + ( a, b, c, d , e ∈ ¡ y = g ( x) ) Biết đồ thị hàm số cắt ba điểm có hồnh độ y = f ( x) ; ; (tham khảo −3 −1 hình vẽ) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị cho có diện tích A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Diện tích hình phẳng cần tìm S= ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x − dx −3 −3 Trong phương trình ax3 + ( b − d ) x + ( c − e ) x − hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y = f ( x) ( *) =0 y = g ( x) phương trình 16 Phương trình ( *) có a ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) = nghiệm −3 ; −1 ; S= nên (*) có dạng (**) Đồng hệ số phương trình (*) (**) ta Vậy − = a.3.a.( −1) ⇔ a = 2 ∫ ( x + 3) ( x + 1) ( x − 1) d x = −3 Kết luận: Giải theo phương pháp tự luận ta vẽ hình nhìn thấy rõ đoạn : đồ thị hàm số nằm đồ thị hàm số nên phá dấu giá trị tuyệt đối ngay; khơng vẽ hình, ta đẩy dấu giá trị tuyệt đối đoạn xét biểu thức dấu trị tuyệt đối không đổi dấu; trường hợp giải theo trắc nghiệm, ta cần bấm máy có dấu giá trị tuyệt đối 2.3.3 Giải pháp 3: Tăng cường rèn luyện kỹ giải tốn tính thể tích vật thể trịn xoay - Thể tích vật thể trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường: , trục hoành, hai đường thẳng y = f ( x) quanh trục x = a; x = b ( a < b ) Ox , tính theo công thức: b V = π ∫ f ( x) d x a - Thể tích khối trịn xoay sinh quay y = f ( x) hình phẳng giới hạn đường , y =g ( x) x =a x =b hai đường thẳng , quanh trục Ox: b V =pò f ( x) - g ( x) d x a 17 Ví dụ 13: Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường: quay quanh trục y = x − 4; y = x − 4; x = 0; x = hoành Hướng dẫn giải y (C) -3 -2 -1 x O -1 -2 -3 d -4 Cách 1: Gọi thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn V1 đường: y = x − 4; y = 0; x = 0; x = 2 quay quanh trục Ox V1 = π ∫ ( x − ) d x = π ∫ ( x − 16 x + 16 ) d x 0  x3  32π =π  − x + 16 x ÷ =  0 (đvtt) Gọi thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn V2 đường: y = x − 4; y = 0; x = 0; x = quay quanh trục Ox V2 = π ∫ ( x − ) d x = π ∫ ( x − x + 16 ) d x 2 0  x x3  256π =π  − + 16 x ÷ = 15  0 Gọi V thể tích cần tìm: (đvtt) 256π 32π 32π V = V2 − V1 = − = 15 (đvtt) 18 V = π ∫ ( x2 − 4) − ( 2x − 4) d x = 2 32π Cách 2:áp dụng trực tiếp công thức (đvtt) Ví dụ 14: Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đường: quay quanh trục Ox y = − x ; y = x + 2; x = −2; x = Hướng dẫn giải Cách 1: Dùng đồ thị y (C) d x -3 -2 -1 O -1 -2 Gọi thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn V1 đường: y = x + 2; y = 0; x = −2; x = 1 quay quanh trục Ox (đvtt) V1 = π ∫ ( x + ) d x = π ∫ ( x + x + ) d x = π  x + x + x  = 9π  ÷ −2 −2   −2 Gọi thể tích vật thể trịn xoay tạo quay hình phẳng giới hạn V2 đường: y = − x ; y = 0; x = −2; x = V2 = π ∫ ( − x ) dx = −2 Gọi V 153π thể tích cần tìm: quay quanh trục Ox 153π 108π V = V2 − V1 = − 9π = 5 (đvtt) 19 V = π ∫ ( − x2 ) − ( x + 2) d x = 2 108π Cách 2:áp dụng trực tiếp công thức (đvtt) 2.3.4 Một số tốn ứng dụng thực tế dùng tích phân để giải Bài toán Bác An làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác An phải trả là: A 33750000 đồng B 12750000 đồng C 6750000 đồng D 3750000 đồng Hướng dẫn giải Chọn đáp án C Gắn parabol P ( ) parbol : Theo đề ra, ( P) : ( P) Từ đó, suy hệ trục tọa độ cho O(0;0) Gọi phương trình y = ax + bx + c qua ba điểm ( P) : ( P) qua , , O(0;0) A(3;0) B (1,5;2,25) y = − x + 3x Diện tích phần bác An xây dựng: S = ∫ − x + x dx = Vậy số tiền bác An phải trả là: 1500000 = 6750000 (đồng) Bài tốn Một thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách hai đáy có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m (hình vẽ) Biết mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu ( đơn vị lít) ? 20 A 425, lít C 2125,81 lít Hướng dẫn giải Chọn đáp án A Gọi S ( 0;0,4 ) ( P ) : y = ax + bx + c B 4251, 62 lít D 212, lít parabol qua điểm A ( 0,5;0,3) có đỉnh (hình vẽ) Khi đó, thể tích thùng rượu thể tích khối trịn xoay ( P) x = ±0,5 cho hình phẳng giới hạn , trục hồnh hai đường thẳng quay Ox quanh trục ( P ) : y = − x + 0,4  Dễ dàng tìm  Thể tích thùng rượu là: 0,5 203π  2  V = π ∫  − x + 0,4 ÷ d x = ≈ 425,5 1500   −0,5 Bài tốn 3: Mặt sàn thang máy có dạng hình vng ABCD cạnh 2m lát gạch màu trắng trang trí hình cánh giống màu sẫm Khi đặt hệ trục tọa độ với tâm hình vng cho Oxy O A ( 1;1) 21 hình vẽ bên đường cong Tính giá trị a.b B Hướng dẫn giải Chọn đáp án D Đồ thị hàm số y = ax + bx y=x −3 y = ax + bx diện tích mặt sàn C D qua điểm A ( 1;1) ⇒ a + b = −2 Diện tích cánh hoa: S1 = S ABCD = 3 Diện tích cánh hoa: Mà: có phương trình biết diện tích trang trí màu sẫm chiếm A S ABCD = ( m ) OA S2 = = 3  x3 ax bx  1 S2 = ∫ ( x − ax − bx ) dx =  − − ÷ =  0 3 a b a b ⇔ − − = ⇔ + =0 4 22 Ta có hệ pt: a + b = a =  ⇔ ⇔ ab = −2 a b b = − + =   2.4 HIỆU QUẢ CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.4.1 Đối với hoạt động giáo dục thân Qua thực tế giảng dạy lớp 12B8 12B5 năm học 2020 – 2021 tơi trình bày nội dung chọn lọc sáng kiến kinh nghiệm Các tập giới thiệu tiết học tự chọn, tiết luyện tập, ôn tập chương Bước đầu tạo dựng hứng thú học tập cho em Thơng qua số giải pháp trình bày sáng kiến chúng tơi thấy có số ưu điểm rèn luyện kỹ sau cho học sinh: - Rèn luyện kỹ tính diện tích phẳng giới hạn đồ thị hàm số trục hoành - Rèn luyện kỹ tìm hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số Rèn lực tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số - Rèn luyện kỹ tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh trục hồnh - Giải số tốn ứng dụng thực tế tích phân Học sinh có hình vẽ trực quan tốn tính diện tích, thể tích Các em học sinh thấy phần gần gũi toán học sống Thấy muôn màu muôn vẻ mơn tốn khơng đơn cơng thức khơ khan, tốn rập khn cứng nhắc Các em hiểu phần để giải vấn đề thực tế phải đựa tảng tri thức khoa học có kết tốt mặt, giải theo cảm tính, đốn Giảm tình trạng học đối phó Hiểu “Học” phải “Hành” muốn “ Hành” phải “ Học’’ Nhìn lại việc kiểm tra đánh giá chất lượng học sinh trước sau dạy phần kết thu khả quan Tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi (đối với lớp D 12B5) học sinh đạt điểm khá, trung bình (đối với lớp C 12B8) tăng lên so với mặt chung so với lớp dạy theo chương trình bình thường Số học sinh yếu giảm Cụ thể sau: * Trước áp dụng phần kiến thức SKKN Lớp dạy Sỹ số 12 B5 46 12 50 Tỉ lệ HS đạt HS đạt HS đạt HS đạt HS đạt điểm điểm giỏi điểm điểm TB điểm yếu [8 – 10) [ 6,5 – 8) [5 – 6,5) [3,5 – 5) [0 – 3,5) 5% 0% 20% 35% 15% 30% 25% 35% 15% 20% 23 B8 * Sau áp dụng phần kiến thức SKKN Lớp dạy Sỹ số 12 B5 46 Tỉ lệ HS đạt HS đạt HS đạt HS đạt HS đạt điểm điểm giỏi điểm điểm TB điểm yếu [8 – 10) [ 6,5 – 8) [5 – 6,5) [3,5 – 5) [0 – 3,5) 20% 50% 25% 5% 0% 33% 50% 7% 0% 12 50 10% B8 2.4.2 Hiệu sáng kiến đồng nghiệp Nhà trường - Sáng kiến có giá trị thực tiễn, giúp học sinh lớp 12 có phương pháp tiếp cận khác giải toán ứng dụng tích phân với tốn thực tế hình học Làm tài liệu cho giáo viên, học sinh trường THPT Triệu Sơn ôn thi TN THPT ôn luyện học sinh giỏi - Kết nghiên cứu đề tài giá trị thiết thực từ đề tài mang lại, đem vào áp dụng thực tế giảng dạy giúp giáo viên môn: Khơng tốn nhiều thời gian, cơng sức tìm tài liệu KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1.KẾT LUẬN Qua vài kinh nghiệm nhỏ đưa trên, thấy việc giúp học sinh hiểu vấn đề vận dụng vào giải toán làm cho học sinh hứng thú với mơn học, thấy tốn học gần gũi với sống hàng ngày Qua thực nghiệm sư phạm thấy học sinh ngày nhạy bén vận dụng toán học vào thực tiễn Do nghĩ rằng, để 45 phút lên lớp giáo viên có hiệu thầy giáo cần có giải pháp để học sinh lĩnh hội kiến thức cho vấn đề liên hệ thực tế kiến thức cần truyền thụ cho học sinh, làm điều q trình tiếp thu tri thức học sinh tự nhiên dễ dàng Trên số kinh nghiệm nhỏ tơi, chắt lọc q trình giảng dạy Vài kinh nghiệm nhỏ với tập nêu, sách giáo khoa chưa đề cập tới, đề cập tài liệu tham khảo Tuy nhiên học sinh tôi, em chưa biết nên đưa vấn đề truyền thụ cho em mạnh dạn viết thành sáng kiến kinh nghiệm Trong q trình viết đề tài khơng tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Những vấn đề tơi đề cập đến khía cạnh nhỏ để đồng nghiệp tham khảo Rất mong nhận đóng góp ý kiến đồng nghiệp hội đồng khoa học cấp để sang kiến kinh nghiệm tơi hồn thiện hơn, để tơi tích luỹ thêm kinh nghiệm cho thân việc giảng dạy 24 Tôi xin trân trọng cảm ơn ! 3.2 KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT 3.2.1 Đối với giáo viên - Phải tích cực tìm tịi toán phù hợp với nội dung tiết học phù hợp với nội dung ôn thi TN THPT Xây dựng hệ thống câu hỏi, lựa chọn phương pháp dạy học phát huy tính chủ động tích cực học sinh Lồng ghép giáo dục ý thức, nhân cách, phẩm chất học sinh thông qua tốn thực tế Thường xun trao đổi chun mơn để có thêm vốn tập ứng dụng phong phú 3.2.2 Đối với học sinh - Phải nhận thức rõ chủ thể việc học Dưới hướng dẫn giáo viên phải tích cực, tự giác học tập Tư linh hoạt liên hệ tình đời sống với đơn vị kiến thức học để giải Phải nắm học kinh nghiệm, ý nghĩa giáo dục mà toán đem lại 3.2.3 Đối với nhà trường - Tăng cường thiết bị dạy học,tài liệu tham khảo phục vụ công tác giảng dạy - Tổ nhóm chun mơn thường xun trao đổi, đóng góp nhiều tốn thực tế dùng kiến thức Toán học để giải để tạo ngân hàng câu hỏi phục vụ cho trình dạy học giáo viên XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 18 tháng năm 2021 Tơi xin cam đoan SKKN tôi, không chép nội dung người khác Người viết đề tài Lê Thị Anh 25 ... diện tích hình phẳng, thể tích vật thể trịn xoay có ứng dụng tích phân 2. 3 CÁC GIẢI PHÁP ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2. 3.1 Giải pháp 1: Tăng cường rèn luyện kỹ giải tốn tính diện tích hình phẳng giới hạn... ÷ 3   ? ?2   −1  1 22 76 22 = + + =8 15 15 15 2. 3.1 .2 Một số tập rèn luyện kỹ xây dựng công thức tính diện tích hình phẳng tích phân từ đồ thị hàm số cho trước Ví dụ 5: Cho hàm số liên tục... khơng hình dung hình phẳng (hay vật thể trịn xoay) dẫn đến khơng tính diện tích hình phẳng thể tích vật thể Vì học sinh có cảm giác “xa lạ” so với học diện tích hình phẳng học trước (diện tích