Đang tải... (xem toàn văn)
Trường hợp 1: Xét các số có 8 chữ số, trong đó có hai chữ số lẻ khác nhau và ba chữ số chẵn khác nhau mà mỗi chữ số chẵn có mặt đúng hai lần, coi chữ số 0 có thể đứng đầu.. Trường hợp 2:[r]
(1)ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Môn: Toán - Lớp 11 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi có 02 trang) Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y x (2 m )x có đồ thị là P và điểm A(5; 5) Tìm m để đường thẳng (d ) : y x m cắt đồ thị P hai điểm phân biệt M và N cho tứ giác OAMN là hình bình hành (O là gốc tọa độ) Câu (2,5 điểm) Cho phương trình cos3 x cos 2x m 3 cos x Giải phương trình m = Tìm giá trị nguyên tham số m để phương trình có đúng bốn nghiệm khác thuộc khoảng ; 2 x − x + x= − x3 (2 − y ) − y Câu (2,5 điểm) Giải hệ phương trình x − y + + x −1 x 3− 2y + − x )( ( ) = Câu (4,5 điểm) x 3x x 1 với m là tham số Tìm m Cho hàm số y g(x ) , x mx x 1 để hàm số g(x ) liên tục trên u Cho dãy số un thoả mãn Tìm công thức số hạng tổng quát un 2un un 1 , n un dãy số đã cho Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đó có hai chữ số lẻ khác và ba chữ số chẵn khác nhau, mà chữ số chẵn có mặt đúng hai lần Câu (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I (1; 4) , đỉnh A nằm trên đường thẳng có phương trình 2x y , đỉnh C nằm trên đường thẳng có phương trình x y Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông đã cho Câu (5,0 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tất các cạnh bên a Gọi điểm M thuộc cạnh SD cho SD = 3SM , điểm G là trọng tâm tam giác BCD ( ) a) Chứng minh MG song song với mp SBC ( ) là mặt phẳng chứa MG và song với CD Xác định và tính diện tích thiết diện hình chóp với mp (α ) b) Gọi α (2) c) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD cho PQ song song với SC Tính PQ theo a Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi vuông góc;= SA a= , SB b= , SC c Lấy điểm M nằm tam giác ABC Gọi d1 , d , d3 là khoảng cách từ M đến các đường thẳng SA, SB, SC ( abc ) Chứng minh rằng: d + d + d ≥ 2 a b + b2c + c a 2 2 2 Câu (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = a −b + b −c + c −a + ab + bc + ac Trong đó a, b, c là các số thực thỏa mãn hai điều kiện a + b + c= 1, ab + bc + ca > n 1 Với số nguyên dương n ta kí hiệu bn là hệ số x khai triển x x thành đa thức Đặt un b1 b2 b3 bn , n * Tìm số hạng tổng quát dãy số un và tính giới hạn lim un =====Hết===== Họ và tên thí sinh: Số báo danh (3) UBND TỈNH BẮC NINH SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Môn: Toán - Lớp 11 Câu Lời giải sơ lược Điểm (2,0 điểm) Cho hàm số y x (2 m )x có đồ thị là P và điểm A(5; 5) Tìm m để đường thẳng (d ) : y x m cắt đồ thị P hai điểm phân biệt M và N cho tứ giác OAMN là hình bình hành (O là gốc tọa độ) Hoành độ M và N là nghiệm pt: x (2 m )x x m x (3 m )x (m 4) (1) Vì m 2m 25 0, m 1 nên 1 luôn có hai nghiệm phân biệt d luôn cắt 0.5 P hai điểm phân biệt Do các điểm O và A thuộc đường thẳng : y x nên để OAMN là hình bình hành = OA = thì MN Gọi M (x 1; x m ), N (x ; x m ) với x 1, x là nghiệm 1 0.5 x x m Ta có x 1x (m 4) MN 2(x x )2 (x x )2 4x 1x 2m 4m 50 m MN 2m 4m 50 50 m 0.5 + m thì O, A, M , N thẳng hàng nên không thỏa mãn + m thỏa mãn 0.5 (2,5 điểm) Cho phương trình cos3 x cos 2x m 3 cos x Giải phương trình m = Tìm giá trị nguyên tham số m để phương trình có đúng bốn nghiệm khác thuộc khoảng ; 2 2.1 điểm cos x Với m = ta có phương trình cos3 x cos2 x cos x 0.25 k cos x x k 2 0.5 cos x x Vậy phương trình có các họ nghiệm là x k , x k 2 0.25 (4) Ta có: cos3 x cos 2x m 3 cos x cos3 x cos2 x m 3 cos x cos x 4 cos x cos x m 0.5 k , k không có nghiệm thuộc khoảng cos x x 2.2 1,5 điểm 1 ; 2 Đặt t cos x , vì x ; nên t 0;1 2 Khi đó phương trình 1 4t 2t m 2 Ycbt phương trình 2 có nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn t1, t2 2 m 4t 0.5 2t g t Ta có bảng biến thiên g t trên t 0;1 0.5 Từ bảng biến thiên trên phương trình 2 có nghiệm phân biệt t1, t2 thỏa mãn t1, t2 thì m 13 Vì m nguyên nên không có giá trị nào x − x + x= − x3 (2 − y ) − y (2,5 điểm) Giải hệ phương trình x − y + + x −1 x 3− 2y + − x ( x ≥ Điều kiện: y ≤ )( ) = (5) Với điều kiện trên, từ PT đầu ta có: x − x + 3x − 1= x (2 − y ) − y ⇔ − 1 1 ⇔ 1 − + 1 − = x x ⇔ 1− = − 2y x ( 3− 2y Thế vào phương trình thứ hai ta có: Do x ≥ ⇒ (*) ⇔ ( ⇔ 2( ⇔2 ( ) + − = x x x3 ( 3− 2y ) 1.0 + 3− 2y + 3− 2y ( x +1 − x )( x +1 + x −1 ) = (*) x + − x > , phương trình x +1 − x )( x +1 + x −1 )( x + + x − 1) = x= ) ( x + − x − 1) x +1 − x x +1 − ) ⇔ x + + x − 1= 0.5 = 22 = ( x +1 + x −1 )( ) x +1 − x −1 2 0.5 x+x Bình phương hai vế dương ta có: 1− x = ⇔ x + x − = x x ⇔ ( x + 1)( x − 1) = x3 ⇔ 1+ x = 1+ Kết hợp điều kiện ta có: x = Thay vào trên ta có nghiệm hệ là: 1+ x = y = −1 0.5 (4.5 điểm) x 3x x 1 với m là tham số Tìm m Cho hàm số y g(x ) , x mx x 1 để hàm số g(x ) liên tục trên u Cho dãy số un thoả mãn Tìm công thức số hạng tổng quát un 2un un 1 , n un dãy số đã cho Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đó có hai chữ số lẻ khác và ba chữ số chẵn khác nhau, mà chữ số chẵn có mặt đúng hai lần (6) x 3x liên tục trên khoảng (1; ) x 1 Hàm g(x ) Hàm g(x ) mx liên tục trên khoảng (; 1) 0.5 Vì g(x ) liên tục trên và nó liên tục điểm x 1 Ta có 4.1 1.5 điểm x 3x x 1 lim g(x ) lim x x x 3x x 1 lim x 0.5 3(1 x ) lim x x 3x (3x 5)2 4 Và lim g(x ) lim (mx 2) m; g(1) m x x 0.25 Hàm số g(x ) liên tục trên điểm x 1 và lim g(x ) lim g(x ) g(1) m x x Vậy với m thì g(x ) liên tục trên m 4 0.25 Nhận xét un 0, n Ta có un 1 4.2 1.5 điểm Đặt 2un un un 1 1 1 un un 1 2 un 1 1 thì 1 2vn Suy vn là cấp số nhân với v1 và công un u1 bội q Do đó Vậy un 0.5 0.5 n 1 1 3.2n 1 3.2n 2 2 un 3.2n 1 0.5 , n (7) Trường hợp 1: Xét các số có chữ số, đó có hai chữ số lẻ khác và ba chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt đúng hai lần, coi chữ số có thể đứng đầu + Chọn chữ số lẻ khác và chữ số chẵn khác có C 52C 53 (cách) + Với cách chọn trên ta có: số có chữ số, đó có hai chữ số lẻ khác và ba chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt đúng hai lần là: Trường hợp này có: C 52 C 53 4.3 1.5 điểm 0.75 8! (số) 2!2!2! 8! 504000 (số) 2!2!2! Trường hợp 2: Xét các số có chữ số, đó có hai chữ số lẻ khác và ba chữ số chẳn khác mà chữ số chẵn có mặt đúng hai lần, mà chữ số đứng đầu + Chọn chữ số lẻ khác và chữ số chẵn khác có C 52C 42 (cách) + Với cách chọn trên ta có: số có chữ số, đó có hai chữ số lẻ khác 7! và hai chữ số chẵn khác mà chữ số chẵn có mặt đúng hai lần là: (số) 2!2! Trường hợp này có: C 52 C 42 0.5 7! 75600 (số) 2!2! Vậy có: 504000 75600 428400 (số) 0.25 (1,5 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I (1; 4) , đỉnh A nằm trên đường thẳng có phương trình 2x y , đỉnh C nằm trên đường thẳng có phương trình x y Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông đã cho Gọi C (t; t 2) thì A(2 t;6 t ) Vì A thuộc đường thẳng có phương trình 2x y nên 2(2 t ) (6 t ) t Dẫn tới A(1; 3), C (3;5) Ta thấy B, D là giao điểm đường tròn đường kính AC và đường trung trực AC Đường tròn đường kính AC có phương trình (x 1)2 (y 4)2 Đường trung trực AC có phương trình 2x y x 0; y (x 1)2 (y 4)2 Ta có 2x y x 2; y Do đó B(0;6), D(2;2) B(2;2), D(0;6) Vậy tọa độ các đỉnh hình vuông là A(1; 3), B(0;6),C (3;5), D(2;2) A(1; 3), B(2;2),C (3;5), D(0;6) (5,0 điểm) 0.5 0.5 0.5 (8) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, tất các cạnh bên a Gọi điểm M thuộc cạnh SD cho SD = 3SM , điểm G là trọng tâm tam giác BCD ( ) a) Chứng minh MG song song với mp SBC ( ) là mặt phẳng chứa MG hình chóp với mp (α ) b) Gọi α và song với CD Xác định và tính diện tích thiết diện c) Xác định điểm P thuộc MA và điểm Q thuộc BD cho PQ song song với SC Tính PQ theo a Cho tứ diện SABC có SA, SB, SC đôi vuông góc;= SA a= , SB b= , SC c Lấy điểm M nằm tam giác ABC Gọi d1 , d , d3 là khoảng cách từ M đến các đường thẳng SA, SB, SC ( abc ) Chứng minh rằng: d + d + d ≥ 2 a b + b2c + c a 2 2 2 S M H 0.25 E 6.1.a 1,0 điểm D C G A I F B a) Gọi I là trung điểm BC DG DM Ta có = = ⇒ MG / / SI mà SI ⊂ ( SBC ) nên MG / / ( SBC ) DI DS Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC E và F Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC H Thiết diện hình chóp với mp( α ) là tứ giác EFHM Ta có HM / / EF vì cùng song song với CD 2a a MD = HC = , DE = CF = , MDE = HCF = 600 nên tam giác DME tam 3 giác CHF suy ME = HF đó EFHM là hình thang cân 6.1.b 1,5 điểm Ta có EM = DM + DE − DM DE.cos600 = MH = h= EF − HM EM − = a2 a2 a − = 0.5 0.5 4a a 2a a a + −2 = 9 3 a , EF = a Gọi h là độ dài đường cao hình thang ta có 0.75 0.5 (9) 1 a 4a 2a 2 h.(EF + HM )= = 2 3 Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD N Nối A với N cắt BD Q Diện tích thiết diện là S EFHM= S M 0.5 P D C N Q A 6.1.c 1,5 điểm B Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM P Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN Suy hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện bài toán AQ MN DM AQ AB = =⇒ = Ta có = = , AN SC DS QN DN PQ AQ PQ PQ MN 2 = = , = = = MN AN SC MN SC 5 2a Suy PQ = Dựng hình hộp chữ nhật MNPQ.I JSH hình vẽ ⇒ SP ⊥ ( MNPQ ) ⇒ SP ⊥ MP ⇒ MP = d1 0.5 0.5 A Tương tự ta có= MH d= d3 ; MJ K Q P S 0.25 M N B H J I D C Trong hình chữ nhật MNPQ có:= d12 MP = MN + MQ 6.2 1,0 điểm Tương tự:= d 22 MQ + MI ;= d32 MN + MI Ta có: SM = MP + SP = MQ + MN + MI ⇒ d12 + d 22 + d32 = SM (1) 0.25 (10) Dựng SD ⊥ BC , SK ⊥ AD ⇒ SK ⊥ ( ABC ) ⇒ SK ≤ SM (2) 1 Trong tam giác ASD có = + 2 SK SA SD 1 Trong tam giác SBC có = + 2 SD SB SC 1 1 1 Từ đó suy = + 2+ = 2+ 2+ 2 2 SK SA SB SC a b c ( abc ) (3) ⇒ SK = 2 a b + b2c + c a 0,25 ( abc ) (đpcm) 2 a b + b2c + c a 2 Từ (1), (2), (3) suy : d12 + d 22 + d32 ≥ (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ P = a −b + b −c + + c −a 0,25 ab + bc + ac Trong đó a, b, c là các số thực thỏa mãn hai điều kiện a + b + c= 1, ab + bc + ca > n 1 Với số nguyên dương n ta kí hiệu bn là hệ số x khai triển x x thành đa thức Đặt un b1 b2 b3 bn , n * Tìm số hạng tổng quát dãy số un và tính giới hạn lim un Không tính tổng quát giả sử a > b > c Khi đó P = 2 + + + a −b b −c a −c ab + bc + ac 0.25 Với số dương x , y ta có BĐT tổng quát sau 1 + ≥ ≥ x y x +y 2 x + y2 1 + + ≥ + + Ta có P= + ab + bc + ac a − c a − c ab + bc + ac a −b b − c a − c 10 10 20 = + ≥ 7.2 a − c ab + bc + ac a − c + ab + bc + ac điểm 20 20 = = a + c a + c + 4b − b + 3b ( ( )( ) ( ) )( ( ) ) 0.25 (11) − 3b + + 3b Lại có − b + 3b ≤ = ( Suy )( ) 0.25 (1 − b )(1 + 3b ) ≤ 3 Do đó P ≥ 10 2+ a = a − b = b − c Dấu xảy 3 − 3b =1 + 3b ⇔ b = a + b + c = 2− c = 0.25 2+ a = Vậy MinP = 10 b = 2− c = n k n n 1 1 Ta có x x C nk (x x )k k 0 n k 1 C C k 0 j 0 n k k n j k (1)k j x k j Số hạng chứa x ứng với k j 2, j k n , hay j 0, k j k n 2 1 Do đó bn C C n n 1 1 (1) C C n 1 (1)0 Xét hàm số f (x ) x x x n thì f (x ) Ta có 7.2 điểm f '(x ) 2x 3x (n 1)x n 2 nx n 1 0.25 n2 2n 1 x n 1 với x x 1 nx n 1 (n 1)x n (x 1)2 , x 1; 0.25 f ''(x ) 2.1 3.2x 4.3x n(n 1)x n 2 n(n 1)x n 1 2(n 1)(n 1)x n n(n 1)x n 1 (x 1)3 , x 1; f '(x ) xf ''(x ) 12 22 x 32 x n x n 1 2 2 2 n x n 2 (2n 2n 1)x n 1 (n 1)2 x n x n 2n 1 (x 1)3 2n 8n 12 12 2n , x 1; 0.25 (12) 2n 8n 12 , n * n Với số nguyên dương n ta thấy Vậy un 12 2n (1 1)n C n0 C n1 C n2 C n3 C nn C n3 Suy n(n 1)(n 2) 2n 8n 12 6(2n 8n 12) , n *, n n n(n 1)(n 2) 2 12 6( ) 6(2n 8n 12) n Hơn lim 0, lim lim n n n(n 1)(n 2) (1 )(1 ) n n 2n 8n 12 Dẫn tới lim 2n 2n 8n 12 12 Vậy lim un lim 12 2n 0 0.25 (13)