Một tích phân đường trong giải tích vecto có thể được xem như là một cách đo tổng ảnh hưởng của một trường cho trước dọc theo một đường cong cho trước. Cụ thể hơn, tích phân đường của một trường vô hướng có thể được diễn tả như là diện tích bên dưới trường đó được tạo ra bởi một đường cong nào đó. Điều này có thể tưởng tượng bằng cách xem mặt cong tạo ra bởi z = f(x,y) và một đường cong C trên mặt phẳng xy. Tích phân đường của f sẽ là diện tích của bức màn tạo ra khi một điểm chuyển động ngay bên trên mặt của C tạo ra.
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI VIỆN TOÁN ỨNG DỤNG VÀ TIN HỌC TS BÙI XUÂN DIỆU Bài Giảng GIẢI TÍCH II (lưu hành nội bộ) CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN BỘI, TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ , T ÍCH PHÂN ĐƯỜNG , T ÍCH PHÂN MẶT, LÝ THUYẾT TRƯỜNG Tóm tắt lý thuyết, ví dụ, tập lời giải Hà Nội- 2018 (bản cập nhật Ngày tháng năm 2018) Tập Bài giảng q trình hồn thiện chứa lỗi đánh máy, lỗi kí hiệu chỗ sai chưa kiểm tra hết Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến để tập Bài giảng hoàn thiện Mọi ý kiến đóng góp xin vui lịng gửi địa “dieu.buixuan@hust.edu.vn” Warning: This lecture notes have not been reviewed and may contain errors or typos Use at your own risk! Hà Nội, Ngày tháng năm 2018 MỤC Mục lục LỤC Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phẳng 1.1 Đường cong mặt phẳng R2 1.2 Hình bao họ đường cong phụ thuộc tham số 1.3 Bài tập Các ứng dụng phép tính vi phân hình học khơng gian 2.1 Hàm véctơ 2.2 Đường cong Rn 2.3 Chuyển động vật thể không gian 2.4 Độ dài đường cong 2.5 Độ cong đường cong 2.6 Đường cong không gian R3 2.7 Mặt cong không gian R3 2.8 Đường cong cho dạng giao hai mặt cong 2.9 Bài tập Chương Tích phân bội Tích phân kép 1.1 Định nghĩa 1.2 Tính tích phân kép hệ toạ độ Descartes 1.3 Phép đổi biến số tích phân kép 1.4 Bài tập ôn tập Tích phân bội ba 2.1 Định nghĩa tính chất 2.2 Tính tích phân bội ba hệ toạ độ Descartes 2.3 Đổi biến số tích phân bội ba 2.4 Bài tập ôn tập 5 9 12 12 13 14 16 16 18 19 22 24 27 27 27 32 44 56 59 59 61 64 80 MỤC LỤC Các ứng dụng tích phân bội 3.1 Tính diện tích hình phẳng 3.2 Tính thể tích vật thể 3.3 Tính diện tích mặt cong 3.4 Bài tập ôn tập Chương Tích phân phụ thuộc tham số 83 83 89 96 97 99 Tích phân xác định phụ thuộc tham số 1.1 Giới thiệu 1.2 Các tính chất tích phân xác định phụ thuộc tham số 1.3 Các tính chất tích phân phụ thuộc tham số với cận biến đổi 1.4 Bài tập Tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 2.1 Các tính chất tích phân suy rộng phụ thuộc tham số 2.2 Bài tập 2.3 Một số tích phân quan trọng 2.4 Bài tập ôn tập Tích phân Euler 3.1 Hàm Gamma 3.2 Hàm Beta 3.3 Bài tập 3.4 Đọc thêm: Tích phân Euler Phép tính vi tích phân cấp phân số Chương Tích phân đường 99 99 99 103 104 107 107 117 122 122 126 126 127 130 132 139 Tích phân đường loại I 1.1 Định nghĩa tính chất 1.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại I 1.3 Tích phân đường không gian 1.4 Bài tập 1.5 Bài tập ôn tập Tích phân đường loại II 2.1 Định nghĩa tính chất 2.2 Các cơng thức tính tích phân đường loại II 2.3 Tích phân đường khơng gian 2.4 Bài tập 2.5 Công thức Green 2.6 Ứng dụng tích phân đường loại II 2.7 Điều kiện để tích phân đường khơng phụ thuộc đường lấy tích phân 2.8 Tích phân đường (trong không gian) không phụ thuộc đường 139 139 142 143 144 146 148 148 150 150 151 153 159 161 163 1 2 MỤC LỤC 2.9 Tích phân đường khơng phụ thuộc đường định luật bảo tồn lượng164 Chương Tích phân mặt 167 Tích phân mặt loại I 1.1 Diện tích mặt cong 1.2 Bài tốn dẫn đến tích phân mặt loại I 1.3 Các cơng thức tính tích phân mặt loại I 1.4 Bài tập Tích phân mặt loại II 2.1 Định hướng mặt cong 2.2 Bài tốn dẫn đến tích phân mặt loại II 2.3 Các cơng thức tính tích phân mặt loại II 2.4 Công thức Ostrogradsky 2.5 Dạng véctơ công thức Green 2.6 Công thức Stokes 2.7 Công thức liên hệ tích phân mặt loại I loại II Chương Lý thuyết trường 167 167 169 170 171 175 175 176 177 182 185 186 188 191 Trường vô hướng 1.1 Định nghĩa 1.2 Đạo hàm theo hướng 1.3 Gradient 1.4 Bài tập Trường véctơ 2.1 Định nghĩa 2.2 Thông lượng, trường ống 2.3 Hồn lưu, véctơ xốy 2.4 Trường - hàm vị 2.5 Tích phân đường (trong khơng gian) khơng phụ thuộc đường 2.6 Bài tập 191 191 191 192 193 195 195 195 196 197 197 198 MỤC LỤC CHƯƠNG CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC §1 CÁC ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 1.1 Đường cong mặt phẳng R2 Ở chương trình học phổ thơng, làm quen với khái niệm đường cong cho phương trình y = f ( x ), chẳng hạn đường parabol y = x2 , đường cong bậc ba y = x3 Tuy nhiên, lúc "may mắn" biểu diễn đường cong dạng y = f ( x ), với giá trị x = x0 , ứng với có hai nhiều giá trị y tương ứng Chẳng hạn như, tưởng tượng có hạt chuyển động dọc theo đường cong C hình vẽ Đường cong C biểu diễn dạng y = f ( x ) Tuy nhiên, tọa độ x y hạt hàm số phụ thuộc thời gian t Chính Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học x = x ( t ), thuận lợi ta biểu diễn đường cong C dạng y = y ( t ) Đây phương trình đường cong cho dạng tham số giới thiệu học phần Giải tích I Ví dụ 1.1 (Đường Cycloid) Giả sử có bánh xe hình trịn cố định điểm P bánh xe Cho bánh xe lăn khơng trượt đường thẳng Quỹ tích điểm P gọi đường Cycloid Hãy viết phương trình tham số đường cong y (πa, 2a) a y θ x 2πa aθ x [Lời giải] Giả sử bánh xe có bán kính r điểm xuất phát P gốc tọa độ, đồng thời cho bánh xe lăn không trượt trục Ox Gọi θ góc quay bánh xe (θ = P gốc tọa độ) Khi đó, bánh xe lăn khơng trượt, nên OT = độ dài cung PT = rθ Do đó, x = |OT | − | PQ| = rθ − r sin θ = r (θ − sin θ ) y = | TC | − | QC | = r − r cos θ = r (1 − cos θ ) Một số điều thú vị đường Cycloid Các ứng dụng phép tính vi phân hình học phẳng • Một người nghiên cứu đường cong Cycloid Galileo Ông đề xuất cầu nên xây theo đường cong Cycloid người tìm diện tích miền nằm phía cung Cycloid • Đường cong Cycloid sau xuất toán "Brachistochrone" sau Cho hai điểm A B cho điểm A cao điểm B Hãy tìm đường cong nối A với B cho ta thả viên bi từ A, viên bi chạy theo đường cong (dưới tác dụng lực hấp dẫn) từ A đến B với thời gian ngắn Nhà toán học người Thụy Sĩ, John Bernoulli rằng, số tất đường cong nối A với B viên bi thời gian để lăn từ A đến B theo đường Cycloid • Nhà vật lý người Hà Lan, Huyghens, đường cong Cycloid lời giải cho toán "Tautochrone" sau Cho dù đặt viên bi đâu cung Cycloid ngược khoảng thời gian để lăn đáy Điều ứng dụng ông phát minh đồng hồ lắc Ông đề xuất lắc nên lắc theo cung Cycloid, lắc khoảng thời gian để hồn thành chu kì dao động, cho dù lắc theo cung dài ngắn Mỗi đường cong mặt phẳng cho dạng sau: x = x ( t ), • Dạng tham số y = y ( t ) • Dạng hàm y = f ( x ) Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học • Dạng hàm ẩn f ( x, y) = Điểm quy • Cho đường cong ( L) xác định phương trình f ( x, y) = Điểm M ( x0 , y0 ) gọi điểm quy đường cong ( L) tồn đạo hàm riêng ′ ′ f x ( M ) , f y ( M ) không đồng thời x = x (t) • Cho đường cong ( L) xác định phương trình tham số y = y (t) Điểm M ( x (t0 ) , y (t0 )) gọi điểm quy đường cong ( L) tồn đạo hàm x ′ (t0 ) , y′ (t0 ) khơng đồng thời • Một điểm khơng phải điểm quy gọi điểm kì dị Phương trình tiếp tuyến pháp tuyến đường cong • Chúng ta biết hệ số góc k tiếp tuyến đường cong C điểm M y′x ( M ) Do đó, đường cong cho phương trình f ( x, y) = xác định hàm ẩn y = y( x ) đạo hàm tính theo công thức k = y′x = − f x′ f y′ Vậy – Phương trình tiếp tuyến M ( d ) : y − y0 = − ′ f x′ ( M ) ( x − x0 ) f y′ ( M ) (1.1) ′ ⇔ f x ( M) ( x − x0 ) + f y ( M) (y − y0 ) = – Phương trình pháp tuyến M y − y0 x − x0 = ′ d′ : ′ f x ( M) f y ( M) Chú ý: Trường hợp đặc biệt, đường cong cho phương trình y = f ( x ) phương trình tiếp tuyến đường cong điểm M ( x0 , y0 ) quy y − y0 = f ′ ( x0 )( x − x0 ) Đây công thức mà học sinh biết chương trình phổ thơng x = x (t) • Nếu đường cong (C ) cho phương trình tham số y = y (t) k = y′x = Do đó, y′ dy/dt dy = = t′ dx dx/dt xt CHƯƠNG LÝ §1 TRƯỜNG THUYẾT TRƯỜNG VÔ HƯỚNG 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 6.17 Cho Ω tập mở R3 (hoặc R2 ) Một hàm số u:Ω→R ( x, y, z) → u = u( x, y, z) gọi trường vô hướng xác định Ω Cho c ∈ R, mặt S = {( x, y, z) ∈ Ω|u( x, y, z) = c} gọi mặt mức ứng với giá trị c (đẳng trị) 1.2 Đạo hàm theo hướng Định nghĩa 6.18 Cho u = u( x, y, z) trường vô hướng xác định Ω M0 ( x0 , y0 , z0 ) ∈ − → Ω Giả thiết l = ( a, b, c) véctơ đơn vị R3 Giới hạn (nếu có) tỉ số u( M0 + tl ) u( x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) − u( x0 , y0 , z0 ) = lim t →0 t →0 t t lim (6.1) − → gọi đạo hàm theo hướng l M0 trường vô hướng u kí hiệu ∂u − → ( M0 ) ∂ l Chú ý: 191 192 Chương Lý thuyết trường • Nếu l khơng phải véc tơ đơn vị giới hạn cơng thức 6.1 thay u( x0 + t cos α, y0 + t cos β, z0 + t cos γ) − u( x0 , y0 , z0 ) , lim t →0 t − → cos α, cos β, cosγ cosin phương l − → ∂u • Nếu l ↑↑ Ox ∂u − → ( M0 ) = ∂x ( M0 ) ∂ l − → • Đạo hàm theo hướng l điểm M0 trường vô hướng u thể tốc độ biến − → thiên trường vô hướng u M0 theo hướng l Định lý 6.21 Nếu u = u( x, y, z) khả vi M ( x0 , y0 , z0 ) có đạo hàm theo hướng − → l = M0 ∂u ∂u ∂u ∂u − → ( M0 ) = ∂x ( M0 ) cos α + ∂y ( M0 ) cos β + ∂z ( M0 ) cos γ, ∂ l − → cos α, cos β, cosγ cosin phương l (6.2) Lời giải Giả sử cos α = a, cos β = b, cos γ = c Xét hàm số biết số g(t) = u( x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) Khi đó, theo định nghĩa, g′ (0) = lim t →0 g ( t ) − g (0) u( x0 + ta, y0 + tb, z0 + tc) − u( x0 , y0 , z0 ) ∂u ( M0 ) = lim = t →0 t t ∂l Mặt khác, g(t) viết dạng g(t) = u( x, y, z), x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc Vì vậy, theo công thức đạo hàm hàm hợp, g′ ( h) = ∂u ∂x ∂u ∂y ∂u ∂z + + = u x ( x, y, z).a + uy ( x, y, z).b + uz ( x, y, z).c ∂x ∂h ∂y ∂h ∂z ∂h Thay t = vào phương trình trên, ta có x = x0 , y = y0 , z = z0 , ∂u ∂l ( M0 ) = u x ( M0 ).a + uy ( M0 ).b + uz ( M0 ).c 1.3 Gradient Định nghĩa 6.19 Cho u( x, y, z) trường vơ hướng có đạo hàm riêng M0 ( x0 , y0 , z0 ) Người ta gọi gradient u M0 véctơ ∂u ∂u ∂u ( M0 ), ( M0 ), ( M0 ) ∂x ∂y ∂z −−→ kí hiệu (1) gradu( M0 ) (1) Trong −−→ tài liệu tiếng Anh, véctơ gradient gradu trường vô hướng u thường kí hiệu ▽u 192 Trường vơ hướng 193 − → Định lý 6.22 Nếu trường vô hướng u( x, y, z) khả vi M0 l véctơ đơn vị ∂u ∂l Chú ý: ∂u ∂l −−→ ( M0 ) = gradu.l ( M0 ) thể tốc độ biến thiên trường vô hướng u M0 theo hướng l −−→ −−→ −−→ ∂u ∂u ( M0 ) = gradu.l = gradu l cos gradu, l ta có ( M0 ) đạt giá trị lớn Từ công thức ∂l ∂l −−−→ −−→ gradu l l có phương với grad u Cụ thể • Theo hướng l, trường vơ hướng u tăng nhanh M0 l có phương, −−−→ hướng với grad u • Theo hướng l, trường vô hướng u giảm nhanh M0 l có phương, −−−→ ngược hướng với grad u 1.4 Bài tập − → − → Bài tập 6.1 Tính đạo hàm theo hướng l u = x3 + 2y3 − 3z3 A(2, 0, 1), l = −→ AB, B(1, 2, −1) −→ Lời giải Ta có AB = (−1, 2, −2) nên −1 −1 cos α = −→ = , | AB| 2 cos β = −→ = , | AB| −2 −2 , cos γ = −→ = | AB| ∂u ∂u = 3x2 ⇒ ( A) = 12 ∂x ∂x ∂u ∂u = 6y2 ⇒ ( A) = ∂y ∂x ∂u ∂u = −9z2 ⇒ ( A ) = −9 ∂z ∂x Áp dụng công thức 6.2 ta có ∂u −1 −2 − → ( A) = 12 + + (−9) = ∂ l −−→ Bài tập 6.2 Tính mơnđun gradu với u = x3 + y3 + z3 − 3xyz A(2, 1, 1) Khi −−→ −−→ gradu⊥Oz, gradu = Lời giải Ta có −−→ gradu = ∂u ∂u ∂u , , ∂x ∂y ∂z = (3x2 = 3yz, 3y2 − 3zx, 3z2 − 3xy) √ √ −−→ −−→ nên gradu = (9, −3, −3) gradu = 92 + 32 + 32 = 11 193 194 Chương Lý thuyết trường −−→ − −−→ → • gradu⊥Oz ⇔ gradu, k = ⇔ −−→ • gradu = ⇔ x = yz y2 = zx z2 = xy ∂u ∂x = ⇔ z2 = xy ⇔x=y=z −−→ Bài tập 6.3 Tính gradu với u = r2 + 1r + ln r r = x + y2 + z2 Bài tập 6.4 Theo hướng biến thiên hàm số u = x sin z − y cos z từ gốc toạ độ O(0, 0) lớn nhất? −−→ −−→ −−→ ∂u ∂u Lời giải Từ công thức (O) = gradu.l = gradu l cos gradu, l ta có (O) đạt giá ∂l ∂l −−→ −−→ trị lớn gradu l l có phương với gradu(O) = (0, −1, 0) −−→ Bài tập 6.5 Tính góc hai véctơ gradz hàm z = M (3, 4) x2 + y2 , z = x − 3y + Lời giải Ta có −−→ • gradz1 = −−→ • gradz2 = √ x x + y2 1+ √ ,√ y x + y2 −−→ nên gradz1 ( M ) = √ 3y √ , −3 + √3x y x 5, −−→ nên gradz2 ( M ) = 2, − 94 Vậy −−→ −−→ gradz1 , gradz2 −12 cos α = −−→ = √ −−→ 145 gradz1 gradz2 194 3xy Trường véctơ 195 §2 TRƯỜNG VÉCTƠ 2.1 Định nghĩa Cho Ω miền mở R3 Một hàm véctơ F : Ω → R3 M → F = F ( M ), F = P( M )i + Q( M )j + R( M )k 2.2 Thông lượng, trường ống a) Thông lượng: Cho S mặt định hướng F trường véctơ Đại lượng φ= (6.3) Pdydz + Qdzdx + Rdxdy S gọi thông lượng F qua mặt cong S Ví dụ 2.1 (Cuối kì, K62) Cho trường vectơ F = ( xy2 + z)i + ( x2 y + z) j Tính thơng lượng F qua mặt paraboloid z = x2 + y2 với z ≤ hướng lên z = 1, Lời giải Thông lượng φ = ( xy2 + z)dydz + ( x2 y + z)dxdz Bổ sung mặt D : x + y2 ≤ S áp dụng công thức Ostrogradski với véc tơ pháp tuyến ta có I= + D S x = r cos ϕ, Đặt y = r sin ϕ, z = z 2π ⇒I=− dϕ ( x2 + y2 )dxdydz =− V dr r2 r3 dz = − π6 Ngoài ra, = nên D π φ=− b) Trường véctơ F xác định Ω gọi trường ống div F( M ) = với M ∈ Ω Tính chất: Nếu F trường ống thông lượng vào thông lượng 195 196 Chương Lý thuyết trường 2.3 Hoàn lưu, véctơ xoáy a) Toán tử vi phân "del" định nghĩa sau: ▽= ∂ ∂ ∂ i + j + k ∂x ∂y ∂z b) Dive: Cho F trường véctơ có thành phần P, Q, R hàm số có đạo hàm ∂Q ∂R riêng cấp tổng ∂P ∂x + ∂y + ∂z gọi dive trường véctơ F kí hiệu div F Nói cách khác, div F = ▽ · F c) Véctơ xoáy: Véctơ − → (2) rotF i ∂ := ∂x P j k ∂ ∂z ∂ ∂y Q R = ▽ ∧ F gọi véctơ xoáy (hay véctơ rota) trường véctơ F d) Hoàn lưu (hay lưu số): Cho C đường cong (có thể kín khơng kín) không gian Đại lượng Pdx + Qdy + Rdz (6.4) C gọi hoàn lưu F dọc theo đường cong C Ví dụ 2.2 (Cuối kì, K62) Tính lưu số trường vectơ F = yi + z j + x k dọc theo đường xoắn ốc x = cos t, y = sin t, z = t từ A(1, 0, 0) đến B(0, 1, π2 ) π Lời giải Lưu số φ = (sin t(− sin t) + t cos t + cos t) dt = π4 (ydx + zdy + xdz) = L e) Toán tử Laplace Cho f ( x, y, z) hàm số ba biến số Khi div(▽ f ) = (▽ · ▽) f = ∂2 f ∂2 f ∂2 f + + ∂x2 ∂y2 ∂z2 Toán tử viết gọn thành ▽2 = ▽ · ▽, gọi toán tử Laplace, có liên hệ với phương trình Laplace sau ▽2 f = (2) Trong ∂2 f ∂2 f ∂2 f + + = ∂x2 ∂y2 ∂z2 − → tài liệu tiếng Anh, véctơ xoáy rotF trường véctơ F thường kí hiệu curl F 196 Trường véctơ 197 Bài tập 6.6 Cho f ( x, y, z) hàm số ba biến số có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai Chứng minh (3) curl(▽ f ) = Bài tập 6.7 Cho F = Pi + Qj + Rk trường véctơ R3 , P, Q, R có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai Chứng minh (4) div curl F = 2.4 Trường - hàm vị Trường véctơ F gọi trường (5) (trên Ω) tồn trường vô hướng u −−→ cho gradu = F (trên Ω) Khi hàm u gọi hàm vị Định lý 6.23 Điều kiện cần đủ để trường véctơ F = F( M ) trường (trên Ω) − → rotF( M) = với M ∈ Ω Chú ý: Nếu F trường hàm vị u tính theo cơng thức y x x0 R( x, y, t)dt + C Q( x, t, z0 )dt + P(t, y0 , z0 )dt + u= z (6.5) z0 y0 2.5 Tích phân đường (trong khơng gian) không phụ thuộc đường Cho D ⊂ R3 miền đơn liên, liên thông, F = Pi + Qj + Rk trường véctơ thỏa mãn P, Q, R với đạo hàm riêng cấp chúng liên tục D Khi bốn mệnh đề sau tương đương: − → 1) rotF( M ) = với M ∈ D 2) Pdx + Qdy + Rdz = với đường cong đóng kín L nằm D L 3) Pdx + Qdy + Rdz không phụ thuộc vào đường từ A đến B, với đường cong AB AB nằm D − →−−→ kí hiệu mơn Giải tích đẳng thức viết rotgrad f = − → (4) Theo kí hiệu mơn Giải tích đẳng thức viết div rotF =0 (5) Như thảo luận mục 2.9, thuật ngữ trường véctơ bảo toàn sử dụng, có lẽ hợp lý để ám tính chất bảo tồn lượng (động + = số) trường véctơ (3) Theo 197 198 Chương Lý thuyết trường −−→ 4) F trường thế, nghĩa có hàm số u( x, y, z) cho gradu = F Hàm vị u tìm theo cơng thức: y x z (6.6) z0 y0 x0 R( x, y, t)dt + C Q( x, t, z0 )dt + P(t, y0 , z0 )dt + u= 2.6 Bài tập Bài tập 6.8 Trong trường sau, trường trường thế? a a = 5( x2 − 4xy)i + (3x2 − 2y)j + k b b = yzi + xzj + xyk c c = ( x + y)i + ( x + z)j + (z + x )k Lời giải a Ta có − → rota = ∂ ∂y ∂ ∂z Q R , ∂ ∂z ∂ ∂x R P , ∂ ∂x ∂ ∂y P Q = (0, 0, 26x ) = nên trường cho khơng phải trường − → b Ngồi cách tính rotb, sinh viên dễ dàng nhận thấy tồn hàm vị u = xyz + C nên b trường c Ta có − → rotc = ∂ ∂y ∂ ∂z Q R , ∂ ∂z ∂ ∂x R P , ∂ ∂x ∂ ∂y P Q = (0, 0, 0) nên c trường Hàm vị tính theo cơng thức 6.5: y x y x = tdt + = x2 z0 y0 x0 z ( x + 0)dt + + xy + Fz ( x, y, t)dt + C Fy ( x, t, z0 )dt + Fx (t, y0 , z0 )dt + u= z (t + y)dt + C z2 + yz + C Bài tập 6.9 Cho F = xz2 i + yx2 j + zy2 k Tính thơng lượng F qua mặt cầu S : x2 + y2 + z2 = hướng 198 Trường véctơ 199 Lời giải Theo cơng thức tính thơng lượng 6.3 ta có xz2 dydz + yx2 dxdz + zy2 dxdy φ= S Áp dụng cơng thức Ostrogradsky ta có ( x2 + y2 + z2 )dxdydz φ= V Thực phép đổi biến toạ độ cầu 0 ≤ ϕ ≤ 2π x = r sin θ cos ϕ y = r sin θ sin ϕ , ≤ θ ≤ π 0≤r≤1 z = r cos θ ta có π 2π φ= dϕ , J = −r2 sin θ r2 r2 sin θdr = dθ 0 4π Bài tập 6.10 Cho F = x (y + z)i + y(z + x )j + z( x + y)k L giao tuyến mặt trụ x2 + y2 + y = nửa mặt cầu x2 + y2 + z2 = 2, z ≥ Chứng minh lưu số F dọc theo L Lời giải Theo cơng thức tính lưu số 6.4 I= x (y + z)dx + y(z + x )dy + z( x + y)dz L Áp dụng cơng thức Stokes ta có I= S = S ∂ ∂y ∂ ∂z Q R dydz + ∂ ∂z ∂ ∂x R P dzdx + ∂ ∂x ∂ ∂y P Q dxdy (z − y)dydz + ( x − z)dzdx + (y − x )dxdy = (theo tập 5.11) 199 200 Chương Lý thuyết trường 200 MỘT VÀI CHÚ THÍCH VỀ MẶT KÍ HIỆU VÀ THUẬT NGỮ Để tránh hiểu nhầm giúp độc giả thuận lợi đọc sách tham khảo (đặc biệt sách tiếng Anh, theo hiểu biết tác giả), thống kí hiệu với đại lượng Vật lý, kí hiệu sau dùng đồng thời → − → − → − 1) Véctơ i, j, k, theo kí hiệu mơn Giải tích II i , j , k , tức có thêm dấu véctơ vào đại lượng Trong Bài giảng này, đại lượng có hướng (véctơ) viết in đậm, chẳng hạn i, j, k, r, F a, để phân biệt với đại lượng vô hướng a, b, c 2) Tích có hướng hai véctơ a b, theo kí hiệu mơn Giải tích II a ∧ b, tài liệu tham khảo khác thường kí hiệu a × b Tích vơ hướng có thống nhất, kí hiệu ab a · b (có dấu chấm giữa) Lý tiếng Anh, tích có hướng hai véctơ gọi the cross product tích vơ hướng gọi the dot product 3) Tích phân đường loại I, theo cách gọi mơn Giải tích II này, tài liệu tham khảo khác gọi tích phân đường trường vơ hướng 4) Tích phân đường loại II, theo cách gọi mơn Giải tích II này, tài liệu tham khảo khác gọi tích phân đường trường véctơ 5) Tích phân mặt loại I, theo cách gọi môn Giải tích II này, tài liệu tham khảo khác gọi tích phân mặt trường vơ hướng 6) Tích phân mặt loại II, theo cách gọi mơn Giải tích II này, tài liệu tham khảo khác gọi tích phân mặt trường véctơ 7) Tích phân đường loại II trường véctơ F = Pi + Qj, theo cách kí hiệu mơn Giải tích II P( x, y)dx + Q( x, y)dy, tài liệu khác kí hiệu C 201 202 Chương Lý thuyết trường C F · dr 8) Tích phân mặt loại II trường véctơ F = Pi + Qj + Rk, theo cách kí hiệu mơn Giải tích II Pdydz + Qdzdx + Rdxdy, tài liệu tham khảo khác S kí hiệu S F · dS, ý chữ S viết in đậm có dấu chấm F dS, để nhằm phân biệt với tích phân mặt loại f ( x, y, z)dS S 9) Các cách kí hiệu Chẳng hạn như, C F · dr, S F · ndS F · dS có thuận lợi định S i) công thức Stokes C F · dr = S curl F · dS, công thức Green C F · dr = D (curl F) · kdxdy viết dạng véctơ bạn đọc hình dung cơng thức Stokes phiên công thức Green không gian ba chiều Tương tự mối liên hệ công thức Ostrogradsky S F · ndS = div Fdxdydz V dạng véctơ khác công thức Green C F · nds = div Fdxdy D Cũng ý thêm cơng thức Ostrogradsky cịn gọi công thức Gauss hay Ostrogradsky - Gauss tài liệu khác ii) Kí hiệu C F · dr = C F · Tds thường dùng vật lý, thể chất tích phân đường cơng lực biến đổi F dọc theo đường cong C 202 Trường véctơ 203 iii) Ngồi ra, kí hiệu C F · dr dùng để tích phân đường mà khơng cần phân biệt tích phân đường mặt phẳng Pdx + Qdy hay không gian C Pdx + Qdy + Rdz C 10) Véctơ gradient trường vô hướng f , theo kí hiệu mơn Giải tích II −−→ grad f , tài liệu tham khảo khác thường kí hiệu ▽ f để thể mối liên hệ với toán tử vi phân "del" ∂ ∂ ∂ ▽= i+ j+ k ∂x ∂y ∂z toán tử Laplace ▽2 = ▽ · ▽ = ∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x2 ∂y2 ∂z2 − → 11) Véctơ xốy trường véctơ F, theo kí hiệu mơn Giải tích II rotF, tài liệu tham khảo khác thường kí hiệu curl F Bởi tiếng Anh, curl nghĩa xoắn xoáy 12) Trường thế, theo cách gọi mơn Giải tích II này, tài liệu tham khảo khác gọi trường bảo tồn (conservative vector fields), để rõ tính chất bảo tồn (động + = số) trường véctơ 13) Về định nghĩa tích phân kép, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau Định nghĩa 6.20 Cho hàm số f ( x, y) xác định miền đóng, bị chặn D Chia miền D cách tuỳ ý thành n mảnh nhỏ Gọi mảnh diện tích chúng ∆S1 , ∆S2 , , ∆Sn Trong mảnh ∆Si lấy điểm tuỳ ý M ( xi , yi ) thành n lập tổng tích phân In = ∑ f ( xi , yi ) ∆Si Nếu n → ∞ cho max {∆Si → 0} mà i =1 In tiến tới giá trị hữu hạn I , không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn điểm M ( xi , yi ) giới hạn gọi tích phân kép hàm số f ( x, y) miền D, kí hiệu f ( x, y) dxdy D Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận khác, định nghĩa tích phân kép miền hình chữ nhật, sau mở rộng cho miền D bị chặn 14) Một cách tương tự, định nghĩa tích phân bội ba, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau 203 204 Chương Lý thuyết trường Định nghĩa 6.21 Cho hàm số f ( x, y, z) xác định miền đóng, bị chặn V R3 Chia miền V cách tuỳ ý thành n miền nhỏ Gọi miền thể tích chúng ∆V1 , ∆V2 , , ∆Vn Trong miền ∆i lấy điểm tuỳ ý M( xi , yi , zi ) n thành lập tổng tích phân In = ∑ f ( xi , yi , zi ) ∆Vi Nếu n → +∞ cho i =1 max {∆Vi → 0} mà In tiến tới giá trị hữu hạn I , không phụ thuộc vào cách chia miền V cách chọn điểm M( xi , yi , zi ) giới hạn gọi tích phân bội ba hàm số f ( x, y, z) miền V , kí hiệu f ( x, y, z) dV hay V f ( x, y, z) dxdydz V Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận khác, định nghĩa tích phân bội ba miền hình hộp chữ nhật, sau mở rộng cho miền V bị chặn 15) Về định nghĩa tích phân đường loại I, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau Định nghĩa 6.22 Cho hàm số f ( x, y) xác định cung phẳng AB Chia cung AB thành n cung nhỏ, gọi tên độ dài chúng ∆s1 , ∆s2 , , ∆sn Trên n cung ∆si lấy điểm Mi Giới hạn, có, ∑ f ( Mi ) ∆si n → ∞ i =1 cho max ∆si → không phụ thuộc vào cách chia cung AB cách chọn điểm Mi gọi tích phân đường loại hàm số f ( x, y) dọc theo cung AB, kí hiệu f ( x, y) ds AB Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận xuất phát từ toán thực tế tính khối lượng đường cong C cho phương trình véctơ r = r(t), a ≤ t ≤ b Khi ta chủ động chia [ a, b] thành n đoạn định nghĩa tích phân đường b giống cách làm với tích phân xác định f ( x )dx a 16) Về định nghĩa tích phân đường loại II, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau Định nghĩa 6.23 Chia cung AB thành n cung nhỏ ∆si điểm chia A0 = −−−−→ A, A1 , A2 , , An = B.Gọi toạ độ vectơ Ai−1 Ai = (∆xi , ∆yi ) lấy điểm Mi bất n kì cung ∆si Giới hạn, có, tổng ∑ [ P ( Mi ) ∆xi + Q ( Mi ) ∆yi ] cho i =1 max ∆xi → 0, không phụ thuộc vào cách chia cung AB cách chọn điểm Mi gọi tích phân đường loại hai hàm số P ( x, y) , Q ( x, y) dọc theo cung AB , kí P ( x, y) dx + Q ( x, y) dy hiệu AB 204 Trường véctơ 205 Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận xuất phát từ tốn Vật lý tính cơng lực biến đổi định nghĩa tích phân đường loại II thơng qua mối liên hệ với tích phân đường loại I 17) Về định nghĩa tích phân mặt loại I, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau Định nghĩa 6.24 Cho hàm số f ( x, y, z) xác định mặt cong S Chia mặt cong S thành n mặt nhỏ ∆S1 , ∆S2 , , ∆Sn Trên ∆Si lấy điểm Mi Giới hạn, n có, ∑ f ( Mi )∆Si n → ∞ max d(∆Si ) → không phụ thuộc vào cách 1≤ i ≤ n i =1 chia mặt cong S cách chọn điểm Mi gọi tích phân mặt loại I hàm số f ( M) mặt cong S, kí hiệu f ( x, y, z)dS S Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận xuất phát từ tốn tính khối lượng mặt cong S định nghĩa tích phân mặt loại I thơng qua tích phân kép cơng thức tính diện tích mặt 18) Về định nghĩa tích phân mặt loại II, nhiều tài liệu trình bày theo cách sau Định nghĩa 6.25 Cho mặt cong định hướng S miền V ⊂ R3 n = (cos α, cos β, cos γ) véctơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương chọn S − → điểm M( x, y, z) Giả trường vectơ F ( M) = ( P ( M) , Q ( M) , R ( M)) biến thiên liên tục V , nghĩa toạ độ P ( M) , Q ( M) , R ( M) hàm số liên tục V Chia mặt S thành n mặt cong nhỏ, gọi tên diện tích chúng ∆S1 , ∆S2 , , ∆Sn Trên ∆Si lấy điểm Mi gọi vectơ pháp tuyến đơn vị theo hướng dương chọn ni = (cos αi , cos β i , cos γi ) n Giới hạn, có, tổng ∑ [ P ( Mi ) cos αi + Q ( Mi ) cos β i + R ( Mi ) cos γi ]∆Si i =1 gọi tích phân mặt loại II hàm số P ( x, y, z) , Q ( x, y, z) , R ( x, y, z) mặt S, kí hiệu là: P( x, y, z)dydz + Q( x, y, z)dzdx + R( x, y, z)dxdy S Trong Bài giảng này, tác giả trình bày cách tiếp cận dựa tốn tính khối lượng chất lỏng chảy qua mặt S đơn vị thời gian định nghĩa tích phân mặt loại II thơng qua tích phân mặt loại I 205 ... đường: a x2 + y2 = 10 điểm A (1, 3, 4) y2 + z2 = 25 b 2x2 + 3y2 + z2 = 47 điểm B (? ?2, 6, 1) x2 + 2y2 = z f ( x, y, z) := x2 + y2 − 10 = nên g ( x, y, z) := y2 + z2 − 25 = Do n f ∧ n g = ( 12, −4,... pháp diện: ( P) : a = y−0 √ √ 2 x + 2 √x 2 23 x − 2a a −c = y− 2b z − 2c = √ ? ?2 2 z− z− √ = z− 2c −c = 2 = 23 24 Chương Các ứng dụng phép tính vi phân hình học 2. 9 Bài tập Bài tập 1.5 Tính độ... tập 2. 12 Tìm cận lấy tích phân toạ độ cực I = D miền xác định sau: a) a2 x + y2 f ( x, y) dxdy, D b2 y b a b a O x Hình 2. 12a Lời giải D: b) x2 + y2 0 a 4x, x2 + y2 ϕ 2? ? r b 8x, y b 2? ? ⇒I