ĐỀ TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH 2 HUST ,TẬP 1: GIỮA KỲ

Hiện nay, với hình thức thi đổi mới từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, chính vì vậy nhiều bạn sinh viên sẽ gặp khó khăn trong việc ôn tập. Trong tình hình đó, nhóm BK ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI đã biên soạn “BỘ ĐỀ TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH 2” để giúp các bạn thuận tiện hơn trong việc ôn tập. Tập 2 (phần cuối kỳ) của bộ đề sẽ tiếp tục được update trong vài ngày tới mong các bạn chú ý theo dõi trên group BK Đại Cương Môn Phái.

BK – ĐẠI CƯƠNG MÔN PHÁI ĐỀ TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH NHĨM NGÀNH + TẬP 1: GIỮA KỲ THỰC HIỆN: TEAM GIẢI TÍCH MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU PHẦN I: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM I HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.2 KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN 1.4 ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP 1.5 ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN 1.6 TÍNH GẦN ĐÚNG NHỜ VI PHÂN 1.7 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 1.8 KHAI TRIỂN TAYLOR 10 1.9 TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 10 II ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN 11 III TÍCH PHÂN BỘI & ỨNG DỤNG 11 3.1 TÍCH PHÂN KÉP 12 3.2 TÍCH PHÂN BỘI BA 14 3.3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 15 IV TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ: 16 4.1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ 16 4.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ 17 PHẦN II: LỜI GIẢI VÀ ĐÁP ÁN 19 I HÀM NHIỀU BIẾN 19 1.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 19 1.2 KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC: 23 1.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN 25 1.4 ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN 27 1.5 TÍNH GẦN ĐÚNG NHỜ VI PHÂN 29 1.6 CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 30 1.7 KHAI TRIỂN TAYLOR 35 1.8 TÌM GTLN, GTNN CỦA HÀM SỐ 35 II ỨNG DỤNG CỦA PHÉP TÍNH VI PHÂN: 40 III TÍCH PHÂN BỘI & ỨNG DỤNG 44 3.1 TÍCH PHÂN KÉP 44 3.2 TÍCH PHÂN BỘI BA 49 3.3 ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN BỘI 55 IV TÍCH PHÂN PHỤ THUỘC THAM SỐ 59 4.1 TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH PHỤ THUỘC THAM SỐ 59 4.2 TÍCH PHÂN SUY RỘNG PHỤ THUỘC THAM SỐ 64 LỜI NÓI ĐẦU Hiện nay, với hình thức thi đổi từ thi tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm, nhiều bạn sinh viên gặp khó khăn việc ơn tập Trong tình hình đó, nhóm “BK – ĐẠI CƯƠNG MƠN PHÁI” biên soạn “BỘ ĐỀ TRẮC NGHIỆM GIẢI TÍCH 2” để giúp bạn thuận tiện việc ôn tập Do thời gian cấp bách nên việc biên soạn tài liệu khơng thể tránh sai sót Mọi ý kiến đóng góp bạn đọc xin gửi fanpage “BÁCH KHOA LEARNING” Nhóm tác giả: Team GIẢI TÍCH nhóm BK – ĐẠI CƯƠNG MƠN PHÁI (Admin: Đỗ Tuấn Cường, Đinh Tiến Long, Phạm Thanh Tùng, Trần Trung Dũng, Đỗ Ngọc Hiếu, Nguyễn Thu Hiền, Nguyễn Minh Hiếu) TEAM GIẢI TÍCH PHẦN I: CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM I HÀM NHIỀU BIẾN 1.1 GIỚI HẠN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN Câu Tính 𝒙𝟐 𝒚 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 A.0 B.1 Câu Tính 𝐥𝐢𝐦 A.0 Câu Tính A Câu Tính A 𝜋 Câu Tính A Câu Tính A √2 C.2 D Không tồn giới hạn 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 B.1 Câu Tính D Khơng tồn giới hạn 𝒙𝒚 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) A.0 C.2 𝐥𝐢𝐦 𝒙𝒚 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) √𝒙𝟐 +𝒚𝟐 C −∞ B.+∞ D −1 𝒙𝟐 −𝒚𝟐 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 B −1 C.0 D Không tồn giới hạn 𝒙𝟑 −𝒚𝟑 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 𝜋 B C.0 D Không tồn giới hạn 𝒙𝟐 𝒚−𝒙𝒚𝟐 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒙𝟑 +𝒚𝟑 B −1 C.0 𝒚.(𝒆𝟑𝒙 −𝟏)−𝟑𝒙.(𝒆𝒚 −𝟏) 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) B TEAM GIẢI TÍCH D Không tồn giới hạn −√2 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 C.0 D Khơng tồn giới hạn Câu Tính 𝟐 𝒚𝟐 (𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 )𝒙 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) A.1 B C.0 𝑒 D Không tồn giới hạn 𝟏 Câu Tính A.1 Câu 10.Tính A.1 𝐥𝐢𝐦 𝟐 𝟐 )𝐱𝟐 +𝐲𝟐  (𝟏 + 𝐱 𝐲 (𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎) B C.0 𝑒 D Không tồn giới hạn 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 𝐥𝐢𝐦 (𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎) 𝒆𝒙+𝒚 B −1 C.0 𝐥𝐢𝐦 𝟐 )𝐱𝟐 +𝐲𝟐 D Khơng tồn giới hạn 𝟏 Câu 11.Tính A.1 Câu 12.Tính A.1  (𝟏 + 𝟑𝐱 (𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎) B 𝐥𝐢𝐦 (𝐱,𝐲)→(𝟎,𝟎) B C.0 𝑒   D Không tồn giới hạn 𝐜𝐨𝐬⁡(𝐱 𝟐 +𝐲 𝟐 )−𝟏 𝐱 𝟐 +𝐲 𝟐 𝑒 C.0 D Không tồn giới hạn 1.2 KHẢO SÁT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 𝒚 𝟐 𝒙 ⋅ 𝐚𝐫𝐜𝐭𝐚𝐧 ( ) , 𝒙 ≠ 𝟎 𝒙 Câu 1: Cho hàm số 𝒇(𝒙, 𝒚) = { 𝟎, 𝒙 = 𝟎 Xét tính liên tục 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝑩(𝟎, 𝟏) A 𝑓 (𝑥, 𝑦)⁡liên⁡tục 𝐵(0,1) B 𝑓 (𝑥, 𝑦)⁡không⁡liên⁡tục⁡ 𝐵(0,1) 𝟐𝒙𝟐 𝒚−𝒚𝟐 𝒙 Câu Cho hàm số 𝒇(𝒙, 𝒚) = { , 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ≠ 𝟎 Tìm a để hàm số liên 𝟐 𝟐 𝒂⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡,nếu 𝒙 + 𝒚 = 𝟎 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 tục (0; 0) A.0 B.1 TEAM GIẢI TÍCH C.2 D ∀𝑎 ∈ 𝑅 Câu Cho hàm số 𝒇(𝒙, 𝒚) = { 𝒙𝒚+𝒚𝟐 ) , (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎) 𝟎⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡, (𝒙, 𝒚) = 𝟎 𝐬𝐢𝐧⁡( 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 Xét tính liên tục 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝑩(𝟎, 𝟎) A 𝑓 (𝑥, 𝑦)⁡liên⁡tục 𝐵(0,1) B 𝑓 (𝑥, 𝑦)⁡không⁡liên⁡tục⁡ 𝐵(0,1) 𝒙𝒚−𝒙𝟐 𝒙𝟐 +𝒚𝟐 Câu Cho hàm số 𝒇(𝒙, 𝒚) = { , (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎) 𝟎, (𝒙, 𝒚) = 𝟎 Khảo sát liên tục hàm số 𝒇(𝒙, 𝒚) 𝑩(𝟎, 𝟎) A 𝑓 (𝑥, 𝑦)⁡liên⁡tục 𝐵(0,1) B 𝑓 (𝑥, 𝑦)⁡không⁡liên⁡tục⁡ 𝐵(0,1) 1.3 ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN TOÀN PHẦN Câu Đạo hàm riêng theo biến x hàm z = ln( x + √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) A z’x = C z’x = B z’x = √𝑥 +𝑦 2 D z’x = √𝑥 +𝑦 𝑥 √𝑥 +𝑦2 2𝑥 √𝑥 +𝑦2 Câu Đạo hàm riêng theo biến y hàm z = ln( x + √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) A z’y = C z’y = 𝑦 B z’y = (𝑥+√𝑥 +𝑦 )√𝑥 +𝑦 𝑦2 D z’y = (𝑥+√𝑥 +𝑦 )√𝑥 +𝑦 √𝑥 +𝑦 (𝑥+√𝑥 +𝑦 )√𝑥 +𝑦2 2√𝑥 +𝑦 (𝑥+√𝑥 +𝑦 )√𝑥 +𝑦2 Câu Vi phân toàn phần hàm z = ln( x + √𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 ) A 𝑑𝑧 = B 𝑑𝑧 = C 𝑑𝑧 = D 𝑑𝑧 = √𝑥 +𝑦2 𝑥 √𝑥 +𝑦 √𝑥 +𝑦 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 + 𝑑𝑥 + 2𝑥 √𝑥 +𝑦 𝑑𝑥 + 𝑦 (𝑥+√𝑥 +𝑦2 )√𝑥 +𝑦2 √𝑥 +𝑦 (𝑥+√𝑥 +𝑦2 )√𝑥 +𝑦2 𝑦2 (𝑥+√𝑥 +𝑦2 )√𝑥 +𝑦2 2√𝑥 +𝑦 (𝑥+√𝑥 +𝑦2 )√𝑥 +𝑦2 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑦 Câu Đạo hàm riêng theo biến y hàm u = 𝒙𝒚 𝟐𝒛 A u’y = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑙𝑛𝑥𝑦𝑧 B u’y = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑙𝑛𝑥𝑦 𝑧 TEAM GIẢI TÍCH C u’y = 𝑥 𝑦 𝑧 𝑙𝑛𝑥2𝑦𝑧 D u’y = 𝑥 𝑦𝑧 𝑙𝑛𝑥𝑦𝑧 Câu Vi phân toàn phần hàm u = 𝒆(𝒙 A 𝑑𝑢(1; -1; 1) = B 𝑑𝑢(1; -1; 1) = dx + 𝑒 −4 16 −2 dx + 𝑒 −4 16 C 𝑑𝑢(1; -1; 1) = D 𝑑𝑢(1; -1; 1) = dx + dy - dy - 𝑒 −4 16 𝑒 −4 16 dx + 𝑒 −4 16 −4 𝑒 −4 16 (𝟏; -1; 1) dz 𝑒 −4 16 dz 𝑒 −4 16 dy + 𝑒 −4 16 −4 𝟐 +𝟐𝒚𝟐 +𝒛𝟐 )−𝟏 dy + 𝑒 −4 16 dz 𝑒 −4 16 dz 𝑒 −4 16 𝒙 𝒚   𝒕𝟐 𝐬𝐢𝐧⁡𝟐𝒕𝒅𝒕 Câu Tính 𝒛′𝒙 , 𝒛′𝒚 hàm số 𝒛 = ∫𝒙𝒚 𝑧𝑥′ = −1 𝑦 𝑥 2𝑥 𝑦 𝑦 ⋅ ( ) sin − 𝑦 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin⁡2𝑥𝑦 A.⁡{ −𝑥 𝑥 2𝑥 𝑧𝑦′ = ⋅ ( ) sin − 𝑥 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin⁡2𝑥𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥 2𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧𝑥′ = ⋅ ( ) sin + 𝑦 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin⁡2𝑥𝑦 B { −𝑥 𝑥 2𝑥 𝑧𝑦′ = ⋅ ( ) sin + 𝑥 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin⁡2𝑥𝑦 𝑦 𝑦 𝑥 2𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥 𝑥 2𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑥 2𝑥 𝑦 𝑦 𝑦 𝑧𝑥′ = ⋅ ( ) sin C { 𝑧𝑦′ = 𝑦 ⋅ ( ) sin 𝑧𝑥′ = ⋅ ( ) sin⁡ + 𝑦 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin⁡2𝑥𝑦 − 𝑥 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin⁡2𝑥𝑦 − 𝑦 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin⁡2𝑥𝑦 D { −𝑥 𝑥 2𝑥 𝑧𝑦′ = ⋅ ( ) sin⁡ − 𝑥 ⋅ (𝑥𝑦)2 ⋅ sin⁡2𝑥𝑦 𝑦 𝑦 𝑦 Câu Vi phân toàn phần hàm u = −3 𝒛 √𝒙𝟐 +𝒚𝟐 −3 −1 A 𝑑𝑢 = −𝑧𝑥 (𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 +z y (𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑦 + (𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑧 −3 −3 −1 −3 −3 −1 −3 −3 −1 B 𝑑𝑢 = −𝑧𝑥(𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 + z y (𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑦 + 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑧 C 𝑑𝑢 = −𝑧𝑥(𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 − z y (𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑦 + (𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑧 D 𝑑𝑢 = −𝑧𝑥(𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 + z y (𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑦 −(𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑧 𝒙 Câu Cho hàm số f(x,y) = { TEAM GIẢI TÍCH 𝒚 𝒂𝒓𝒕𝒂𝒏( )𝟐 , 𝒏ế𝒖⁡𝒚 ≠ 𝟎 𝒚 𝟎,⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝒏ế𝒖⁡𝒚 = 𝟎 Tính 𝒇′ 𝒚 (𝟏, 𝟎) A π B π π C D π Câu Tính đạo hàm riêng z’(x, y) hàm số: 𝒚 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏 ⁡𝒌𝒉𝒊⁡(𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎) 𝒛={ 𝒙 𝟎⁡𝒌𝒉𝒊⁡(𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎) 𝑧′𝑥 = 𝑧′𝑦 = C { 𝑧′𝑥 = 𝑧′𝑦 = +∞ D { A { B { 𝑧′𝑥 = +∞ 𝑧′𝑦 = +∞ 𝑧′𝑥 = +∞ 𝑧′𝑦 = 1.4 ĐẠO HÀM CỦA HÀM HỢP Câu Xác định đạo hàm hàm hợp z = 𝒖𝒗 với u = cosx ; v = sinx A z’ = 𝑣 𝑢𝑣−1.sinx + 𝑢𝑣 𝑙𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 B z’ = 𝑣 𝑢𝑣−1.(-sinx) - 𝑢𝑣 𝑙𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 C z’ = 𝑣 𝑢𝑣−1.(-sinx) + 𝑢𝑣 𝑙𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 D z’ = 𝑣 𝑢𝑣−1.sinx - 𝑢𝑣 𝑙𝑛𝑢 𝑐𝑜𝑠𝑥 Câu Xác định đạo hàm hàm hợp z = 𝒖𝟐 – 2𝒗𝟐 với u = cosx ; v = sinx A z’ = -3.sin2x B z’ = -3.cos2x C z’ = 3.sin2x D z’ = 3.cos2x Câu Xác định đạo hàm hàm hợp z = ln(𝒖𝟐 + 𝒗𝟐 ) với u = x.y v = 𝑧′𝑥 = A { 𝑧′𝑦 ⁡ = ⁡ 2𝑢 𝑢 +𝑣 𝑧′𝑥 = B { 𝑧′𝑦 ⁡ = ⁡ 2𝑢 𝑢 +𝑣 𝑦⁡ + ⁡ 2𝑢 𝑢 +𝑣2 2𝑢 𝑢 +𝑣 𝑥⁡ + ⁡ 2𝑣 𝑢 +𝑣2 𝑦⁡ + ⁡ 𝑥⁡ + ⁡ TEAM GIẢI TÍCH 2𝑣 𝑢 +𝑣 2𝑣 ⁡ 𝒙 𝒚 𝑦 −𝑥 ⁡ ( )⁡⁡⁡ 𝑦 ⁡ 𝑢 +𝑣 𝑦 2𝑣 −𝑥 𝑢 +𝑣 ⁡ ( )⁡⁡⁡ 𝑦 𝑧′𝑥 = C { 𝑧′𝑦 ⁡ = ⁡ 2𝑢 𝑢 +𝑣 2𝑢 𝑢 +𝑣 D { 𝑧′𝑦 ⁡ = ⁡ 𝑥⁡ + ⁡ 2𝑢 𝑧′𝑥 = 𝑢 +𝑣2 2𝑢 𝑢 +𝑣 𝑦⁡ + ⁡ 2𝑣 𝑢 +𝑣 𝑦 −⁡ 𝑥 −⁡ 2𝑣 𝑢 +𝑣 2𝑣 𝑢 +𝑣 𝑥 𝑦 𝑥 ⁡ ( 2)⁡⁡⁡ 𝑢 +𝑣 2𝑣 ⁡ 𝑦 ⁡ 𝑦 −𝑥 ⁡ ( )⁡⁡⁡ 𝑦 1.5 ĐẠO HÀM CỦA HÀM ẨN Câu Xác định đạo hàm hàm ẩn sau 𝒙𝟑 + 𝟐𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 𝒚 = 𝟐 A y’x = − B y’x = C y’x = x2 −2𝑥𝑦 2y2 −𝑥 x2 +2𝑥𝑦 2y2 −𝑥2 x2 −2𝑥𝑦 2y2 −𝑥2 D y’x = − x2 +2𝑥𝑦 2y2 −𝑥 Câu Cho 𝒙𝟐 𝒂𝒓𝒄𝒕𝒂𝒏𝒙 + 𝟐𝒙𝒚𝟐 + 𝒚𝟒 + 𝟐𝒛𝟑 = 𝟏 Tính z’x z’y A { 𝑧′𝑥 = 𝑥2 +2𝑦 1+𝑥2 6𝑧 2𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑧′𝑦 = B { 𝑧′𝑥 = 2xy+2𝑦 2𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥− 𝑧′𝑦 = − C { 3𝑧 𝑧′𝑥 = − 6𝑧 2xy+2𝑦 3𝑧 𝑥2 +2𝑦 1+𝑥2 6𝑧 2𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥+ 𝑧′𝑦 = − D { 𝑧′𝑥 = − 𝑥2 −2𝑦 1+𝑥2 2xy+2𝑦 3𝑧 𝑥2 −2𝑦 1+𝑥2 6𝑧 2𝑥.𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑥− 𝑧′𝑦 = 2xy+2𝑦 3𝑧 Câu Cho hàm số 𝒙𝟑 − 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎 Xác định hàm ẩn y = y(x) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm ẩn điểm A(-1; -2) TEAM GIẢI TÍCH ... = x2 ? ?2? ???