BK – Đại cương môn phái ĐỀ ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KỲ 20172 Mã HP: MI1121 (Nhóm ngành 1) Khố: K62 Thời gian: 90 phút Câu (1 điểm): Viết phương trình tiếp tuyến đường tròn cho dạng giao mặt paraboloid 𝑧 = 30 − 𝑥 − 𝑦 mặt nón 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 điểm M(3, 4,5) Câu (1 điểm): Tính tích phân ∬𝐷 |𝑥 + 𝑦|𝑑𝑥𝑑𝑦, 𝐷: 𝑥 + 𝑦 ≤ Câu (1 điểm): Tính diện tích phần mặt paraboloid 𝑥 = 𝑦 + 𝑧 thoả mãn 𝑥 ≤ Câu (1 điểm): Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑥𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, V miền thoả mãn : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 − 2𝑥 − 2𝑦 − 2𝑧 ≤ −2 Câu (1 điểm): Tính tích phân ∫0 𝑥 √1 − 𝑥 𝑑𝑥 Câu (1 điểm): Tính tích phân đường ∫𝐶 (𝑥 + 𝑦)𝑑𝑠, C đường trịn có phương trình : 𝑥 + 𝑦 = 2𝑦 Câu (1 điểm): Chứng minh trường véc – tơ : 2 ⃗⃗] 𝐹⃗ = 𝑒 𝑥 +𝑦 +𝑧 [(2𝑥 𝑦𝑧 + 𝑦𝑧)𝑖⃗ + (2𝑥𝑦 𝑧 + 𝑥𝑧)𝑗⃗ + (2𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦)𝑘 trường Tìm hàm vị Câu (1 điểm): Tính tích phân mặt ∬𝑆 𝑥 𝑦𝑑𝑠, S phần mặt nón 𝑦 = √𝑥 + 𝑧 , ≤ 𝑦 ≤ Câu (1 điểm): Cho trường véc – tơ 𝐹⃗ = (𝑥𝑦 + 𝑧) 𝑖⃗ + (𝑥 𝑦 + 𝑧) 𝑗⃗ Tính thơng lượng 𝐹⃗ qua mặt paraboloid 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 với 𝑧 ≤ 1, hướng lên Câu 10 (1 điểm): Chứng minh 𝑓(𝑢) hàm số với đạo hàm liên tục R L đường từ O (0; 0) đến A (a; b) : 𝑎+𝑏 ∫ 𝑓(𝑥 + 𝑦) (𝑑𝑥 + 𝑑𝑦) = ∫ 𝐿 𝑓(𝑢) 𝑑𝑢 Long Đinh BK – Đại cương môn phái ĐỀ ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KỲ 20172 Mã HP: MI1121 (Nhóm ngành 1) Khố: K62 Thời gian: 90 phút Câu (1 điểm): Tính độ cong đường xoắn ốc cho phương trình : 𝜋 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑧 = điểm ứng với 𝑡 = 2 Câu (1 điểm): Tính tích phân lặp ∫0 𝑑𝑦 ∫2𝑦 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 Câu (1 điểm) : Tính tích phân bội ba ∭𝑉 (4𝑧 − 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 )𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, V hình cầu : 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ +∞ Câu (1 điểm): Tính tích phân ∫0 𝑥4 𝑑𝑥 (1+𝑥 )2 Câu (1 điểm): Tính tích phân đường ∮𝐿 |𝑥| (𝑑𝑥 + 𝑑𝑦), L đường trịn 𝑥 + 𝑦 = hướng ngược chiều kim đồng hồ 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡 Câu (1 điểm): Tính khối lượng đường cong {𝑦 = √2𝑠𝑖𝑛𝑡 , biết mật độ 2𝜋 ≤𝑡≤ 5𝜋 điểm (𝑥; 𝑦) 𝑙à 𝜌(𝑥; 𝑦) = |𝑥𝑦| Câu (1 điểm): Tính đạo hàm hàm 𝑢 = 2𝑥 + 3𝑦 + 4𝑧 + 5𝑥𝑦𝑧 theo hướng 𝑙⃗ = (1; 2; 2) điểm 𝐴(1; 1; 1) ⃗⃗ dọc theo Câu (1 điểm): Tính lưu số trường véc – tơ 𝐹⃗ = 𝑦 𝑖⃗ + 𝑧 𝑗⃗ + 𝑥 𝑘 𝜋 đường xoắn ốc 𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑧 = 𝑡 từ A(1 ; ; 0) đến B(0 ; ; ) Câu (1 điểm): Tính tích phân mặt ∬𝑆 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑧, S mặt nón 𝑦 = √𝑥 + 𝑧 , 𝑦 ≤ hướng theo chiều dương trục Oy Câu 10 (1 điểm): Tính tích phân mặt ∬𝑆 𝑑𝑆 (2+𝑥+𝑦+𝑧)2 , S biên tứ diện 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ Long Đinh BK – Đại cương môn phái ĐỀ ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KỲ 20172 Mã HP: MI1122 (Nhóm ngành 2) Khố: K62 Thời gian: 90 phút Câu (1 điểm): Cho hàm số ẩn 𝑦 = 𝑦(𝑥) xác định phương trình 𝑥 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 − = Tính y’(0) Câu (1 điểm) : Viết phương trình pháp tuyến tiếp diện điểm 𝑃(1; −2; 3) mặt cong 3𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑧 + = Câu (1 điểm): Tính ∬𝐷 (3𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, D giới hạn đường 𝑥 = 𝑦 𝑣à 𝑦 = 𝑥 Câu (1 điểm): Tính thể tích miền giới hạn mặt 𝑧 = + 𝑥 + 𝑦 , mặt trụ 𝑥 + 4𝑦 = mặt phẳng Oxy Câu (1 điểm): Tính tích phân đường ∫𝐶 (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑠, với C nửa đường tròn 𝑦 = √4 − 𝑥 Câu (1 điểm): Tính tích phân đường ∫𝐿 (2𝑥𝑦 + 3)𝑑𝑥 + (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑦, L đường cong 𝑦 = 𝑥 từ 𝑂(0; 0) đến M(1; 1) Câu (1 điểm): Chứng minh trường véc – tơ sau trường : 𝐹⃗ = (3𝑥 − 3𝑦 𝑧) 𝑖⃗ + (𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑧 − 6𝑥𝑦𝑧) 𝑗⃗ + ( 𝑦 ⃗⃗ − 3𝑥𝑦 ) 𝑘 1+𝑧 Tìm hàm vị Câu (1 điểm): Tìm cực trị hàm số 𝑧 = 𝑥 − 4𝑥 𝑦 − 𝑦 + 4𝑦 Câu (1 điểm): Tìm tích phân đường ∫ (3𝑥 𝑦 + 𝐿 2 𝑑𝑥 + (3𝑥 𝑦 + ) 𝑑𝑦 ) 4𝑥 + 𝑦3 + Trong L đường cong y 𝑦 = √1 − 𝑥 từ 𝐴(1; 0) đế𝑛 𝐵(−1; 0) Câu 10 (1 điểm): Tính ∬𝐷 |𝑥 + 𝑦|𝑑𝑥𝑑𝑦, D xác định : 𝑥2 + 𝑦2 ≤ 𝑥 Long Đinh BK – Đại cương mơn phái ĐỀ ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KỲ 20173 Mã HP: MI1121 (Nhóm ngành 1) Khoá: K62 Thời gian: 90 phút Câu (1 điểm): Lập phương trình tiếp tuyến pháp diện A(2; 1; 0) 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = đường cho { 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = Câu (1 điểm): Tính ∬𝐷 (𝑥 − 𝑦 )𝑑𝑥𝑑𝑦, miền D giới hạn 𝑥 = √1 − 𝑦 𝑥 = Câu (1 điểm): Tính ∭𝑉 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, V khối cầu 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ Câu (1 điểm): Tính ∭𝑉 𝑥2 + 𝑦2 ≤ , V xác định { (𝑥 +𝑦 +𝑧 )2 ≤ 𝑧 ≤ √5 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 𝜋 Câu (1 điểm): Tính ∫0 √𝑠𝑖𝑛7 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥𝑑𝑥 Câu (1 điểm): Tính ∫𝐿 𝑦(3𝑥 − 2)𝑑𝑥 + (𝑥 + 2𝑦)𝑑𝑦, L đoạn thẳng từ A(1; 0) đến B(0; 1) Câu (1 điểm): Cho hàm số 𝑢 = ln (3𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 ) điểm A(1; -1; 1), ∂𝑢 B(0; ; 3) Tính ⃗ (𝐴) theo hướng ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 ∂𝑙 Câu (1 điểm): Tính cơng W lực: 𝐹⃗ = [8𝑥 − 2𝑦 𝑙𝑛(1 + 𝑥 𝑦 )] 𝑖⃗ + [5𝑦 − 2𝑥 𝑙𝑛(1 + 𝑥 𝑦 )] 𝑗⃗ làm dịch chuyển chất điểm từ A(0; 1) đến B(1; 0) Câu (1 điểm) : Tính tích phân mặt ∬ (3𝑥 + 2𝑦 + 𝑧)3 (𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦) 𝑆 Trong S mặt 9𝑥 + 4𝑦 + 𝑧 = hướng 3𝑥 𝑦 Câu 10 (1 điểm): Chứng minh hàm số 𝐼(𝑦) = ∫0 𝑥 +𝑦 𝑑𝑥 không liên tục y = Long Đinh BK – Đại cương môn phái ĐỀ - KSTN ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KỲ 20172 Mã HP: MI1121 (Nhóm ngành 1) Khố: K62 Thời gian: 90 phút 𝑥 = 2𝑧 Câu (1 điểm): Tính độ cong điểm 𝑀0 (√2; 2; 1) đường { 𝑦 = 4𝑧 √8𝑥 Câu (1 điểm): Đổi thứ tự tính tích phân ∫0 𝑑𝑥 ∫√4𝑥−𝑥 𝑓(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 Câu (1 điểm): Tính thể tích vật thể giới hạn mặt: 𝑥 + 𝑦 = 2𝑥; 𝑥 + 𝑦 = 2𝑦; 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦; 𝑧 = Câu (1 điểm): Tính ∫0 𝑑𝑥 30 √1−𝑥 30 𝑥 −𝑥 Câu (1 điểm): Tính ∫0 ln 𝑥 𝑑𝑥 Câu (1 điểm): Tính ∬𝑆 𝑦 𝑑𝑥𝑑𝑧 + 𝑥𝑧𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑥 𝑦𝑑𝑥𝑑𝑦, S phía ngồi vật thể nằm phần góc phần tám thứ giới hạn mặt 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , 𝑥 + 𝑦 = 1, 𝑥 = 0, 𝑧 = Câu (1 điểm): Cho trường véc – tơ : ⃗⃗ + (𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 ) 𝑘 ⃗⃗ Tìm điểm trường 𝐹⃗ = (𝑥 𝑦 + 𝑦 𝑧) 𝑖⃗ + 𝑥𝑦𝑧 𝑘 điểm xốy Câu (1 điểm): Tính diện tích mặt cong giới hạn mặt : 𝑥 + 𝑦 = 𝑅2 , 𝑥 + 𝑧 = 𝑅2 (𝑅 > 0) +∞ 𝑒 −𝑥 −𝑒 −2𝑥 Câu (1 điểm): Tính tích phân ∫0 𝑥 sin(2018𝑥 ) 𝑑𝑥 Câu 10 (1 điểm): Tính tích phân đường : ∫ 𝑒 𝑥 𝑦 [(2𝑥𝑦√𝑥 + 𝑦 + 𝐶 2√𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑥 + (𝑥 √𝑥 + 𝑦 + 𝑦 √𝑥 + 𝑦 ) 𝑑𝑦] C đường cong 𝑦 = √1 + 𝑥 , có hướng từ A(0; 1) đến B(1; √2) Long Đinh BK – Đại cương môn phái ĐỀ ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KỲ 20182 Mã HP: MI1121 (Nhóm ngành 1) Khố: K63 Thời gian: 90 phút Câu (1 điểm): Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện đường cong 𝜋 𝑥 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡, 𝑦 = 𝑡 𝑠𝑖𝑛2𝑡, 𝑧 = 3𝑡 điểm ứng với 𝑡 = ∞ 𝑥 𝑑𝑥 Câu (1 điểm): Tính tích phân ∫0 (1+𝑥 )4 Câu (1 điểm): Xác định điểm khơng phải điểm xốy trường véc-tơ sau: 𝐹⃗ = (2𝑥𝑦 − 𝑧 ) 𝑖⃗ + (3𝑥 + 2𝑦𝑧) 𝑗⃗ − 𝑦 𝑘⃗⃗ Câu (1 điểm): Tính ∬𝑆 √1 + 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑆 dó S mặt 2𝑧 = 𝑥 + 𝑦 , ≤ 𝑥, 𝑦 ≤ Câu (1 điểm): Tính khối lượng đường cong vật chất có phương trình tham số: 𝑡 𝑡 𝑥 = 𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡, 𝑦 = 𝑒 𝑠𝑖𝑛𝑡, ≤ 𝑡 ≤ 𝜋 mặt phẳng với hàm mật độ 𝜌(𝑥, 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 Câu (1 điểm): Tính ∬𝐷 (𝑦 − 𝑥 )𝑑𝑥𝑑𝑦 D miền: ≤ 2𝑦 ≤ 𝑥 + 𝑦 ≤ 2𝑥 Câu (1 điểm): Tính ∮𝐶 𝑑𝑥+𝑑𝑦 |𝑥|+|𝑦| , 𝑡𝑟𝑜𝑛𝑔 𝐶 𝑙à đườ𝑛𝑔 𝑡𝑟ò𝑛 𝑥 + 𝑦 = định hướng dương Câu (1 điểm): Tính ∭𝑉 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 miền V giới hạn mặt (𝑥 + 2𝑦)2 + 4𝑧 = góc phần tám thứ mặt phẳng toạ độ Câu (1 điểm): Tính tích phân mặt ∬𝑆 𝑦𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦 , S phía mặt nón 𝑧 = √𝑥 + 𝑦 , ≤ 𝑧 ≤ nhìn từ chiều dương trục Oz Câu 10 (1 điểm): Tính tích phân đường ∮ (𝑦 + 𝑧 )𝑑𝑥 + (𝑧 + 𝑥 )𝑑𝑦 + (𝑥 + 𝑦 )𝑑𝑧 𝐶 Trong C giao mặt cầu 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = với mặt nón 𝑧 = √𝑥 + (𝑦 − 1)2 , với hướng chiều kim đồng hồ nhìn từ gốc O Long Đinh BK – Đại cương môn phái ĐỀ ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KỲ 20182 Mã HP: MI1121 (Nhóm ngành 1) Khoá: K63 Thời gian: 90 phút Câu (1 điểm): Tính độ cong gốc toạ độ O(0; 0; 0) đường cong cho phương trình 𝑥 = 𝑡 𝑐𝑜𝑠2𝑡, 𝑦 = 𝑡 𝑠𝑖𝑛2𝑡, 𝑧 = 3𝑡 Câu (1 điểm): Viết phương trình tiếp diện mặt 𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 = 3, biết song song với mặt phẳng 𝑥 − 3𝑦 + 𝑧 = 𝜋 𝑑𝑦 𝜋 𝑥 +𝑠𝑖𝑛2 𝑦 Câu (1 điểm): Tính giới hạn lim ∫ 𝑥→0 Câu (1 điểm): Tính tích phân đường ∫𝐶 (𝑦 + 1)𝑑𝑠, C đường 2 astroid: 𝑥 + 𝑦 = góc phần tư thứ nối điểm A(1; 0) B(0; 1) Câu (1 điểm): Chứng minh trường véc – tơ 𝐹⃗ = ( 𝑦 1+𝑥𝑦 − 𝑧𝑐𝑜𝑠𝑥) 𝑖⃗ + ∞ 𝑥 1+𝑥𝑦 ⃗⃗ 𝑗⃗ − 𝑠𝑖𝑛𝑥 𝑘 trường tìm hàm vị Câu (1 điểm): Tính ∫0 𝑥 3−𝑥 𝑑𝑥 Câu (1 điểm): Tính diện tích miền phẳng D cho (𝑥2 + 𝑦2 ) ≤ 2𝑥2 𝑦, 𝑥 ≥ Câu (1 điểm): Tính tích phân bội ba ∭𝑉 𝑥√𝑦2 + 𝑧2 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧, miền V cho 𝑦 + 𝑧 ≤ 𝑥 + 1, ≤ 𝑥 ≤ √3 ⃗⃗ Tính thơng Câu (1 điểm): Cho 𝐹⃗ = (𝑥 − 𝑦)𝑖⃗ + (𝑥 + 2𝑦)𝑗⃗ + (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)𝑘 lượng 𝐹⃗ qua mặt |𝑥 − 𝑦| + |𝑥 + 2𝑦| + |𝑥 + 𝑦 + 𝑧| = 1, hướng Câu 10 (1 điểm): Cho 𝛼 > Tính tích phân đường ∮𝐶 𝛼 (𝑥−𝑦)𝑑𝑥+(𝑥+𝑦)𝑑𝑦 𝑥 +𝑦2 , 𝐶𝛼 đường 𝑥 + 𝛼𝑦 = 1, hướng dương Long Đinh BK – Đại cương môn phái ĐỀ ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KỲ 20183 Mã HP: MI1121 (Nhóm ngành 1) Khoá: K63 Thời gian: 90 phút Câu (1 điểm): Viết phương trình tiếp tuyến pháp diện A(-1 ; ; 1) đường cong 𝑥 = 𝑡 − 1, 𝑦 = − 𝑠𝑖𝑛𝑡, 𝑧 = 𝑒 2𝑡 Câu (1 điểm): Tính ∬𝐷 (𝑥 − 2𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦, với D giới hạn 𝑥 = 0, 𝑥 − 𝑦 = Câu (1 điểm): Tính ∭𝑉 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 1+𝑥 +𝑦 , V xác định 𝑥 ≥ 0, √𝑥 + 𝑦 ≤ 𝑧 ≤ Câu (2 điểm): Tính tích phân sau : +∞ a, ∫0 +∞ 2−𝑥 −3−𝑥 𝑥 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 b, ∫0 𝑥 𝑑𝑥 Câu (1 điểm): Tính ∫𝐴𝐵𝐶 2𝑦𝑑𝑥 − 3𝑥𝑑𝑦, ABC đường gấp khúc, với A(1; 0), B(0; 1), C(-1; 0) Câu (1 điểm): Tính ∬𝑆 (𝑥 − 𝑦 + 2𝑧)3 (𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦), S mặt ellipsoid 𝑥 + 𝑦 + 4𝑧 = 1, hướng Câu (1 điểm): Chứng minh trường véc – tơ 𝐹⃗ = 1+𝑥 +𝑦 +𝑧 (𝑥𝑖⃗ + 𝑦𝑗⃗ + ⃗⃗ ) trường Tìm hàm vị 𝐹⃗ 𝑧𝑘 Câu (1 điểm) : Tìm lưu số trường véc – tơ ⃗⃗ 𝐹⃗ = (2𝑧 − 𝑦)𝑖⃗ + (2𝑥 − 𝑧)𝑗⃗ + (2𝑦 − 𝑥)𝑘 dọc theo giao tuyến L mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 + 2𝑧 = 0, chiều L ngược chiều kim đồng hồ nhìn phái z > Câu (1 điểm) : Tính ∫𝐿 (10𝑥 −4𝑦)𝑑𝑥+(7𝑥 −8𝑦 )𝑑𝑦 √4𝑥 +𝑦 , L đường cong 𝑦 = 2√1 − 𝑥 từ A(1; 0) đến B(-1; 0) Long Đinh ... cương môn phái ĐỀ ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KỲ 20 173 Mã HP: MI1 121 (Nhóm ngành 1) Khoá: K 62 Thời gian: 90 phút Câu (1 điểm): Lập phương trình tiếp tuyến pháp diện A (2; 1; 0) ? ?2 + ? ?2 + ? ?2. .. – Đại cương môn phái ĐỀ - KSTN ĐỀ THI CUỐI KỲ MƠN GIẢI TÍCH – HỌC KỲ 20 1 72 Mã HP: MI1 121 (Nhóm ngành 1) Khố: K 62 Thời gian: 90 phút