Tìm m để mỗi phương trình sau có nghiệm kép... Bµi tËp luyÖn tËp.[r]
(1)Ch III: Phơng trình bậc hai mét Èn HÖ THøC VI-ET (10 TIÕT)
-
- Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (c) dạng: ax2 + bx = 0
+ Phơng pháp : Phân tích vế trái thành nhân tử , giải phơng trình tích + Ví dụ: giải phơng trình:
3x2
−6x −0
⇔3x(x −2)=0⇔
¿3x=0⇔x=0
¿x −2=0⇔x=2 Cách giải ph ơng trình bậc hai khuyết (b) dạng: ax2 + c = 0 + Phơng pháp:
-Biến đổi dạng x2
=m⇔x=±√m - Hc
x2−
√m2
=0⇔(x+√m)(x −√m)=0⇔
¿x+√m=0⇔x=−√m
¿x m=0x=m + Ví dụ: Giải phơng trình:
4x2
−8=0⇔x2=2⇔x=±√2
Bµi tËp lun tËp Giải phương trình bậc hai khuyết sau:
a) 7x2 - 5x = ; b) 3x2 +9x = ; c) 5x2 – 20x = 0
d) -3x2 + 15 = ; e) 3x2 - = ; f) 3x2 + = 0
g) 4x2 - 16x = h) -7x2 - 21 = h) 4x2 + = 0 Cách giải ph ¬ng tr×nh bËc hai ax + bx + c = ( a 2 0) b»ng c«ng thøc nghiƯm:
1 c«ng thøc nghiƯm: Phơng trình: ax2 + bx + c = 0
* Nếu > phơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt: x1 =
-b - 2a
; x2 =
-b + 2a
* NÕu = phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
-b 2a * NÕu < phơng trình vô nghiệm
-công thức nghiệm thu gọn Phơng trình: ax2 + bx + c = 0
* Nếu > phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt:
x1 =
-b' - '
a ; x2 =
-b' + ' a
* NÕu = phơng trình có nghiệm kép: x1 = x2 =
-b' a Δ=b2−4 ac
'2
' b ac
(2)* NÕu < phơng trình vô nghiệm
2 ví dụ giải p.t công thức nghiệm: Giải phơng trình: x2
−3x −4=0
( a =1; b = - 3; c = - 4) Ta cã: −3¿2−4 (−4)=9+16=25
Δ=¿ ⇒√Δ=√25=5>0
VËy phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1=(3)+5
2 =4 x2=
−(−3)−5
2 =−1
Bµi tËp lun tËp Dùng cơng thức nghiệm tổng quát để giải phương trình
sau:
Bµi 1:
1.a) 2x2 - 7x + = ; b) y2 – 8y + 16 = ; c) 6x2 + x - = 0
d) 6x2 + x + = ; e) 4x2 + 4x +1 = ; f) -3x2 + 2x
+8 =
2.a)3x2 + 12x - 66 = 0 b) 9x2 - 30x + 225 = 0
c) x2 + 3x - 10 = 0 d) 3x2 - 7x + = 0
e) 3x2 - 7x + = 0 f) 4x2 - 12x + = 0
g) 3x2 + 7x + = 0 h) x2 - 4x + = 0 Bµi 2:
a/ 2x2 - 5x + = b/ 5x2- x + = c/ -3x2 + 2x + = 0
d/ 4x2 - 4x + = e/ - 2x2 - 3x + = f/ 5x2 - 4x + = 0
g/ 7x2 - 9x + = h/ 23x2 - 9x - 32 = i/ 2x2 + 9x + = 0
k/ 2x2 - 7x + = l/ x2 - 6x + = m/ x2 + 6x + = 0
Bài 3: a) 5x2 - 6x - = ; b) -3x2 +14x – = ; c) 4x2 + 4x + = 0
d) 13x2 - 12x +1 = ; e) 3x2 - 2x - = ; f) 16x2 - 8x +1 = 0 Cách giải ph ơng trình bậc hai ax 2 + bx + c = ( a 0) P2 đặc biệt:
1 Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cã a + b + c = phơng trình có nghiệm x 1 = vµ x2=
c a
2 Nếu phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 cã a - b + c = phơng trình có nghiệm x 1 = - vµ x2=
− c a 3 VÝ dô:
Giải phơng trình: 2x25x+3=0
Ta có: a+b+c=2+(5)+3=0x1=1; x2=3
2
Giải phơng trình: x23x 4 =0
Ta cã: a −b+c=1−(−3)+(−4)=0⇒x1=−1; x2=−(−4)
1 =4
Bài tập luyện tập Giải phơng trình sau phơng pháp đặc biệt: a) 7x2 - 9x + = ; b) 23x2 - 9x - 32 = ;
c) x2 - 39x - 40 = ; d) 24x2 - 29x + = ; Các dạng toán biện luận ph ơng trình bậc hai:
1 Tỡm iu kin tham số để ph ơng trình có hai nghiệm phân biệt: + Điều kiện: Δ>0 ; (hoặc Δ❑>0 )
(3)Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt? Giải: (a=1; b=2;c=2m)=224 1.(2m)=4+8m
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biệt >04+8m>08m>4m>1
2
Bài tập luyện tập
Bài 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm
a/ x2 + 3x + 3m + = b/ x2 - 2x + 4m - = 0
c/ - x2 + 4x + m + = d/ x2 + (2m + 1)x + m2 + = 0 Bài 2: Cho phơng trình : x2 + 4mx + 4m - = 0
a) Giải phơng trình với m = -2
b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bµi 3: Cho phương trình: x2 + kx + =
1/Tìm k để phương trình có hai nghiệm ph©n biƯt?
2/Tìm k để phương trình có nghiệm Tính nghiệm cịn lại? Bµi 4: Cho phơng trình : x2 - 2(m - ) x + 2m2 + = 0
a) Giải phơng trình với m = -
b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 5: Cho phơng trình : (m – 4)x2 – 2mx + m– = a) Giải phơng trình với m = -
b) Với giá trị m phơng trình có hai nghiệm phân biệt
Bài 6: Cho phơng trình : kx2 +(2k+1)x +k -1 = 0
a) Giải phơng trình với k =
b) Với giá trị k phơng trình có hai nghiệm phân biệt 2 Tìm điều kiện tham số để ph ơng trình có nghiệm kép: + Điều kiện: Δ=0 ; (hoặc Δ❑=0 )
+ Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 + 2x – k = (1) Tìm giá trị kđể phơng trình có nghiệm kép ? Giải: (a=1; b=2;c=− k)⇒Δ=22−4 1.( k)=4+4k
Phơng trình (1) có hai ngiệm phân biƯt ⇔Δ=0⇔4+4k=0⇔4k=−4⇔m=−1 Bµi tËp lun tËp
Bài 1. Tìm m để phương trình sau có nghiệm kép
a/ x2 – 4x + k = b/ x2 + 5x + 8m + = 0 c/ - x2 - 5x + 3m + = d/ x2 – (k + 2)x + k2 + = 0 Bµi 2: Cho phương trình: 5x2 + 2x – 2m – =
1/Giải phương trình m =
2/Tìm m để phng trỡnh cú nghim kộp Bài 3:: Cho phơng trình: x2 - mx + 2m - =
a) Giải phơng trình với m = -2 b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
Bài 4:: Cho phơng trình: x2 + (m + 1)x + m2 = 0
a) Giải phơng trình víi m = -
b) Tìm m để phơng trình có nghiệm kép
Bµi 5: Cho phương trình: kx2 – (2k-1)x + k + =
1/Giải phương trình m =
2/Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép ?
Tìm điều kiện tham số để ph ơng trình vơ nghiệm : + Điều kiện: Δ<0 ; (hoặc Δ'<0 )
+ Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 + 2x +n = (1) Tìm giá trị n để phơng trình vô nghiệm? Giải: (a=1; b=2;c=n)⇒Δ=22−4 n=4−4n
(4)Bµi tËp lun tËp Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm ? a/ x2 + 2x + m + = b/ - x2 - 3x + 2m - = 0 c/ mx2 – (2m – 1)x + m + = d/ mx2 –2(m+2)x + m-1 = 0
4.Tìm điều kiện tham số để ph ơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho tr
íc T×m nghiƯm thø 2
Cách tìm điều kiện tham số để ph ơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho tr ớc
+) Ta thay x = x1 vào phơng trình cho, tìm giá trị tham số Cách tìm nghiệm thứ 2
Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình Ví dụ: Cho phương trỡnh: x2 – x + 2m – = (1)
a/ Tìm giá trị m để phơng trình có nghim x1 =
b/ Tìm nghiêm lại Gi¶i:
a/ Thay x1 = vào phơng trình (1) ta đợc: 12−1+2m −6=0⇔2m=6⇔m=3
VËy víi m = Thì phơng trình (1) có nghiệm x1 =
b/ Thay m = vµo PT (1) ta cã:
¿
x2− x+2 3−6=0 ⇔x2− x
=0⇔x(x −1)=0 ⇔
¿x=0 ¿x=1
VËy nghiƯm thø hai cđa Pt (1) lµ x =
Bµi tËp lun tËp
Bµi 1: Cho phơng trình : 2x2 - 6x + m + = 0
a) Giải phơng trình với m = -3
b) Với giá trị m phơng trình có nghiệm x = -
Bài 2 : Biết phơng trình : x2 - 2x + 5m - = ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiƯm x = Tìm nghiệm lại
Bài 3 : Biết phơng trình : x2 - (3m + )x - 2m - = ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiệm x = -1 Tìm nghiệm lại
Bài 4: Cho phơng trình: x2 - 2(m- 1)x + 3m - =
Tìm m để phơng trình có nghiệm x = Tìm nghim cũn li
Bài 5: Cho phơng trình bậc hai
(m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Tìm m để phơng trình có nghiệm x =
(Có thể dùng Định lý Vi ét: Tổng tích hai nghiệm để tìm nghiệm thứ hai của phơng trỡnh
Trình bày mục 61)
5 Chứng minh ph ơng trình luôn có nghiệm :
Ph ơng pháp: - Lập biểu thức Δ
- Biện luận cho Δ≥0 với giá trị tham số cách biến đổi biểu thức Δ dạng:
Δ = A ± B¿2+m
¿ víi m≥0
VÝ dơ: Cho ph¬ng trình x2(m2)x+m5=0
Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt với giá trị cđa m
Gi¶i:
Ta cã: a=1;b=−(m −2);c=m−5
⇒Δ=[−(m−2)]2−4 (m −5)=(m2−4m+4)−4m+20
(5)m−4¿2+8>0
¿ ¿
V× Δ>0 víi mäi giá trị m nên phơng trình luôn có hai nghiệm phân biệt Bài tập luyện tập
Bi 1. Cho phương trình: 2x2 – mx + m – = 0
Chứng minh phương trình có nghiệm với m Bµi 2:
Cho phương trình: x2 – (k – 1)x + k – = 1/Giải phương trình k =
2/Chứng minh phương trình ln có nghiệm với k Bµi 3:
Cho phương trình: x2 + (m – 1)x – 2m – = Chứng tỏ phương trình ln có nghiệm với m Định lý Vi-et hệ quả:
1.Định lý Vi Ðt: Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0)
S = x1 + x2 = - ba p = x1x2 = ca
* Đảo lại : Nếu cú hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số nghiệm (nếu có)của pt bậc hai: x2 – S x + p = 0
2 Tốn ứng dụng định lý Viét:
a)T×m nghiƯm thứ 2; biết ph ơng trình có nghiệm x=x1 :
Phơng pháp:
+Thay giỏ t tham số tìm đợc vào cơng thức tổng nghiệm để tính nghiêm thứ hai
Hoặc thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tích hai nghiệm,từ tìm đợc nghiệm thứ
Ví dụ:
Biết phơng trình : x2 - 2x + 5m - = ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiƯm x = Tìm nghiệm lại Giải: Cách1:
Thay x = vµo pt ta cã: 1−2 1+5m−4=0⇔m=1
Thay m = vào pt ta đợc: x2 - 2x + 5.1 - = x2 - 2x + = 0
Theo Định lý Vi ét ta cã: x1+x2=−b
a ⇒1+x2=2⇔x2=1
VËy nghiÖm thø hai phơng trình x =
Cách2:
Thay x = vµo pt ta cã: 1−2 1+5m−4=0⇔m=1
Thay m = vào pt ta đợc: x2 - 2x + 5.1 - = x2 - 2x + = 0
Theo Định lý Vi Ðt ta cã: x1.x2=c
a ⇒1 x2=1⇔x2=1
Vậy nghiệm thứ hai phơng trình x =
Bµi tËp lun tËp: Bµi 1:
Cho phương trình: x2 – 2x + m =
(6)Bài 2 Biết phơng tr×nh : x2 - 2x + 5m - = ( Víi m lµ tham sè )
có nghiệm x = Tìm nghiệm lại
Bài 3 : Biết phơng trình : x2 - (3m + )x - 2m - = ( Víi m lµ tham sè )
cã mét nghiƯm x = -1 T×m nghiƯm lại
b).LP PHNG TRèNH BC HAI khi biết hai nghiƯm x1;x2
Ví dụ : Cho x13; x2 2 lập phương trình bậc hai chứa hai nghiệm
Gi¶i:
Theo hệ thức VI-ÉT ta có
1
1
S x x P x x
Vậy x x1; 2là nghiệm phương trình có dạng:
2 0 5 6 0
x Sx P x x Bµi tËp tỉng hỵp
Bài tập 1: Cho phương trình: x2 - 2(m + 3)x + m2 + = 0 a) Giải phương trình với m = -1và m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 = x2 Bài tập 2
Cho phương trình : ( m + 1) x2 + 4mx + 4m - = 0 a) Giải phương trình với m = -2
b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Với giá trị m phương trình cho vơ nghiệm
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thoã mãn điều kiện x1 = 2x2 Bài tập 3
Cho phương trình : 2x2 - 6x + (m +7) = 0 a) Giải phương trình với m = -3
b) Với giá trị m phương trình có nghiệm x = - c) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt d) Với giá trị m phương trình cho vơ nghiệm
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 = - 2x2 Bài tập 4
Cho phương trình : x2 - 2(m - ) x + m + = 0 a) Giải phương trình với m =
b) Với giá trị m phương trình có hai nghiệm phân biệt c) Với giá trị m phương trình cho vơ nghiệm
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm thỗ mãn điều kiện x1 = 3x2 Bài tập 5
Biết phương trình : x2 - 2(m + )x + m2 + 5m - = ( Với m tham số ) có nghiệm
(7)Bài tập 5
Biết phương trình : x2 - 2(3m + )x + 2m2 - 2m - = ( Với m tham số ) có nghiệm
x = -1 Tìm nghiệm cịn lại Bài tập 7
Biết phương trình : x2 - (6m + )x - 3m2 + m - = ( Với m tham số ) có nghiệm
x = Tìm nghiệm cịn lại Bài tập 8:
Biết phương trình : x2 - 2(m + )x + m2 - 3m + = ( Với m tham số ) có nghiệm
x = -1 Tìm nghiệm cịn lại
Bài tập 9: Cho phương trình: x2 - mx + 2m - = a) Giải phương trình với m = -
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
d)Tìm hệ thức hai nghiệm phương trình khơng phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
Bài tập 10: Cho phương trình bậc hai (m - 2)x2 - 2(m + 2)x + 2(m - 1) = 0
a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - c) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào m e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
f) Khi phương trình có nghiệm x = -1 tìm giá trị m tìm nghiệm cịn lại
Bài tập 11:Cho phương trình: x2 - 2(m- 1)x + m2 - 3m = a) Giải phương trình với m = -
b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = - Tìm nghiệm cịn lại c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thảo mãn: x12 + x22 = 8 e) Tìm giá trị nhỏ A = x12 + x22
Bài tập 12: Cho phương trình: mx2 - (m + 3)x + 2m + = a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép
(8)c) Tìm m để phương trình có hiệu hai nghiệm d) Tìm hệ thức liên hệ x1và x2 không phụ thuộc m Bài tập 13: Cho phương trình: x2 - (2a- 1)x - 4a - =
a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm với giá trị a b) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào a
c) Tìm giá trị nhỏ nhật biểu thức A = x12 + x22 Bài tập 14: Cho phương trình: x2 - (2m- 6)x + m -13 = 0
a) Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức A = x1 x2 - x12 - x22 Bài tập 15: Cho phương trình: x2 - 2(m+4)x + m2 - = 0
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt b) Tìm m để A = x12 + x22 - x1 - x2 đạt giá trị nhỏ nhất c) Tìm m để B = x1 + x2 - 3x1x2 đạt giá trị lớn d) Tìm m để C = x12 + x22 - x1x2
Bài tập 21: Cho phương trình: ( m - 1) x2 + 2mx + m + = 0 a) Giải phương trình với m =
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1 x2 thoả mãn: A = x12 x2 + x22x1 d) Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm khơng phụ thuộc vào m
Bài tập 16: Tìm giá trị m để nghiệm x1, x2 phương trình mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = thoả mãn điều kiện x12 x22 1 Bài tập 23:
Cho phương trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = Tìm m để phương trình
có nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn
1 1 2
2
x x x x
Bài tập 17:
Cho phương trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = (m tham số). a) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn x1 + 4x2 =
b) Tìm hệ thức x1; x2 mà không phụ thuộc vào m
(9)Bài tập 19: Cho phương trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có nghiệm trái dấu Khi hai nghiệm, nghiệm có giá trị tuyệt đối lớn hơn?
c) Xác định m để nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn: x1 + 4x2 = d) Tìm hệ thức x1, x2 mà không phụ thuộc vào m
Bài tập 20:
a) Với giá trị m hai phương trình sau có nhật nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó?
x2 - (m + 4)x + m + = 0 (1) x2 - (m + 2)x + m + = 0 (2)
b) Tìm giá trị m để nghiệm phương trình (1) nghiệm phương trình (2) ngược lại
Bài tập 21 Gọi x1, x2 nghiệm phương trình: x2 - (2m - 1)x + m – = 0
Tìm m để 22 x
x có giá trị nhỏ nhất
Bài tập 22 Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = 0
Tìm giá trị lớn biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2
Bài tập 23: Gọi x1, x2 nghiệm phương trình x2 + 2(m - 2)x - 2m + = 0
Tìm m để 22 x
x có giá trị nhỏ nhất.
Bài tập 24: Cho phương trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0 Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức
(10)Bài tập 25: Cho phương trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = (m tham số) Tìm m cho nghiệm x1; x2 phương trình thoả mãn 10x1x2 + 22
2 x
x đạt giá trị nhỏ