PHUONG TRINH BAC HAI VA HE THUC VIET

Tính theo c giá trị của biểu thức:.[r]

Phơng trình bậc hai định lí Viét.

(Gồm dạng toỏn 21 tập tổng hp)

Dạng 1: Giải ph ơng trình bậc hai.

Bài 1: Giải phơng trình

1) x2 – 6x + 14 = ; 2) 4x2 – 8x + = ;

3) 3x2 + 5x + = ; 4) -30x2 + 30x – 7,5 = ;

5) x2 – 4x + = ; 6) x2 – 2x – = ;

7) x2 + 2

√2 x + = 3(x + √2 ) ; 8) √3 x2 + x + =

√3 (x + 1) ; 9) x2 – 2(

√3 - 1)x - √3 =

Bµi 2: Giải phơng trình sau cách nhẩm nghiệm:

1) 3x2 – 11x + = ; 2) 5x2 – 17x + 12 = ;

3) x2 – (1 +

√3 )x + √3 = ; 4) (1 - √2 )x2 – 2(1 +

√2 )x +1+3 √2 =0

5) 3x2 – 19x – 22 = ; 6) 5x2 + 24x + 19 = ;

7) ( √3 + 1)x2 + 2

√3 x + √3 - = ; 8) x2 – 11x + 30 = ;

9) x2 – 12x + 27 = ; 10) x2 – 10x + 21 = 0.

Dạng 2: Chứng minh ph ơng trình có nghiệm, vô nghiệm.

Bài 1: Chứng minh phơng trình sau có nghiệm

1) x2 – 2(m - 1)x – – m = ; 2) x2 + (m + 1)x + m =

3) x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = ; 4) x2 + 2(m + 2)x – 4m

– 12 =

5) x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + = ; 6) x2 – 2x – (m – 1)(m – 3)

=

7) x2 – 2mx – m2 – = ; 8) (m + 1)x2 – 2(2m – 1)x –

3 + m =

9) ax2 + (ab + 1)x + b = 0.

Bµi 2:

a) Chøng minh r»ng với a, b , c số thực phơng trình sau có nghiệm:

(x a)(x – b) + (x – b)(x – c) + (x – c)(x – a) =

b) Chøng minh r»ng víi ba sè thøc a, b , c ph©n biệt phơng trình sau có

hai nghiệm phân biÕt:

x −a+

1

x − b+

1

x − c=0 (Èn x)

c) Chứng minh phơng trình: c2x2 + (a2 b2 – c2)x + b2 = v«

nghiệm với a, b, c độ dài ba cạnh tam giác d) Chứng minh phơng trình bậc hai:

(a + b)2x2 – (a – b)(a2 – b2)x – 2ab(a2 + b2) = lu«n cã hai nghiệm

phân biệt

Bài 3:

a) Chứng minh phơng trình bậc hai sau có nghiệm:

ax2 + 2bx + c = (1)

bx2 + 2cx + a = (2)

cx2 + 2ax + b = (3)

x2 + 2ax + 4b2 = (1)

x2 - 2bx + 4a2 = (2)

x2 - 4ax + b2 = (3)

x2 + 4bx + a2 = (4)

Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm

c) Cho phơng trình (ẩn x sau):

ax22bb+c

b+c x+

1

c+a=0 (1)

bx2−2c√c+a

c+a x+

1

a+b=0 (2)

cx2−2a√a+b

a+b x+

1

b+c=0 (3)

với a, b, c số dơng cho trớc

Chứng minh phơng trình có phơng trình có nghiệm

Bài 4:

a) Cho phơng trình ax2 + bx + c = 0.

Biết a ≠ 5a + 4b + 6c = 0, chứng minh phơng trình cho có hai nghiệm

b) Chứng minh phơng trình ax2 + bx + c = ( a ≠ 0) cã hai nghiÖm

nếu hai điều kiện sau đợc thoả mãn: a(a + 2b + 4c) < ;

5a + 3b + 2c =

Dạng 3: Tính giá trị biểu thức đối xứng, lập ph ơng trình bậc hai nhờ nghiệm ph ơng trình bậc hai cho tr ớc.

Bµi 1: Gäi x1 ; x2 nghiệm phơng trình: x2 – 3x – =

TÝnh:

A=x12+x22; B=|x1− x2|;

C=

x1−1

+

x2−1

; D=(3x1+x2) (3x2+x1);

E=x13+x23; F=x14+x24 Lập phơng trình bậc hai có nghiệm lµ x

1−1

vµ

x2−1

Bµi 2: Gäi x1 ; x2 lµ hai nghiệm phơng trình: 5x2 3x = Không

giải phơng trình, tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau:

A=2x13−3x12x2+2x23−3x1x22;

B=x1

x2+ x1 x2+1+

x2 x1+

x2 x1+1−

(

1

x1−

1

x2

)

;

C=3x1

2+5x1x2+3x

22

4x1x22+4x

12x2

a) Gäi p vµ q lµ nghiệm phơng trình bậc hai: 3x2 + 7x + = Không

giải phơng trình hÃy thành lập phơng trình bậc hai với hệ số số mà

các nghiệm p

q −1 vµ

q

p −1

b) Lập phơng trình bậc hai có nghiệm

10−√72 vµ 10+6√2

Bµi 4: Cho phơng trình x2 2(m -1)x m = 0.

a) Chứng minh phơng trình luôn có hai nghiƯm x1 ; x2 víi mäi

m

b) Với m 0, lập phơng trình ẩn y thoả mÃn y1=x1+x1

y2=x2+x1

Bài 5: Không giải phơng trình 3x2 + 5x = HÃy tính giá trị biểu

thøc sau:

A=(3x1−2x2) (3x2−2x1); B= x1

x2−1

+ x2

x1−1

; C=|x1− x2|; D=

x1+2

x1 + x2+2

x2

Bài 6: Cho phơng trình 2x2 4x – 10 = cã hai nghiÖm x

1 ; x2 Không

giải phơng trình hÃy thiết lập phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶

m·n: y1 = 2x1 – x2 ; y2 = 2x2 x1

Bài 7: Cho phơng trình 2x2 – 3x – = cã hai nghiÖm x

1 ; x2 H·y thiÕt

lËp ph¬ng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 thoả m·n:

¿

a¿y1=x1+2¿y2=x2+2¿ b¿ ¿ ¿y1=x12

x2 ¿y2=

x22 x1 ¿ ¿{¿

Bµi 8: Cho phơng trình x2 + x = cã hai nghiÖm x

1 ; x2 H·y thiÕt lập

phơng trình ẩn y có hai nghiệm y1 ; y2 tho¶ m·n:

¿

a¿y1+y2=x1

x2+ x2

x1¿ y1

y2+ y2

y1=3x1+3x2¿ ; b¿ ¿ ¿y1+y2=x12+x22¿y12+y22+5x1+5x2=0 ¿ ¿{¿

Bµi 9: Cho phơng trình 2x2 + 4ax a = (a tham sè, a ≠ 0) cã hai nghiÖm

x1 ; x2 HÃy lập phơng trình ẩn y có hai nghiƯm y1 ; y2 tho¶ m·n:

y1+y2=1

x1+

1

x2 vµ

1

y1+

1

y2=x1+x2

Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để ph ơng trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm.

Bµi 1:

a) Cho phơng trình (m 1)x2 + 2(m 1)x – m = (Èn x).

Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép b) Cho phơng trình (2m – 1)x2 – 2(m + 4)x + 5m + =

Tìm m để phơng trình có nghiệm

a) Cho ph¬ng tr×nh: (m – 1)x2 – 2mx + m – = 0.

- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm

- Tìm điều kiện m để phơng trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép

Tìm a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt

Bµi 2:

a) Cho phơng trình: 4x

2

x4+2x2+1

2(2m1)x

x2+1 +m

2

− m−6=0

Xác định m để phơng trình có mt nghim

b) Cho phơng trình: (m2 + m – 2)(x2 + 4)2 – 4(2m + 1)x(x2 + 4) + 16x2

= Xác định m để phơng trình có nghiệm

Dạng 5: Xác định tham số để nghiệm ph ơng trình ax2 + bx + c = 0

tho¶ m·n ®iỊu kiƯn cho tr íc .

Bµi 1: Cho phơng trình: x2 2(m + 1)x + 4m = 0

1) Xác định m để phơng trình có nghiệm kép Tìm nghiệm kép 2) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tính nghiệm cũn

lại

3) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dấu (trái dấu)

4) Với điều kiện m phơng trình có hai nghiệm dơng (cùng âm)

5) Định m để phơng trình có hai nghiệm cho nghiệm gấp đôi nghiệm

6) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn 2x1 – x2 = -

7) Định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 cho A = 2x12 + 2x22

– x1x2 nhận giá trị nhỏ

Bi 2: nh m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:

a) (m + 1)x2 – 2(m + 1)x + m – = ; (4x

1 + 1)(4x2 + 1) = 18

b) mx2 – (m – 4)x + 2m = ; 2(x

12 + x22) = 5x1x2

c) (m – 1)x2 – 2mx + m + = ; 4(x

12 + x22) =

5x12x22

d) x2 – (2m + 1)x + m2 + = ; 3x

1x2 – 5(x1 + x2) + =

0

Bài 3: Định m để phơng trình có nghiệm thoả mãn hệ thức ra:

a) x2 + 2mx – 3m – = ; 2x

1 – 3x2 =

b) x2 – 4mx + 4m2 – m = ; x

1 = 3x2

c) mx2 + 2mx + m – = ; 2x

1 + x2 + =

d) x2 – (3m – 1)x + 2m2 – m = ; x

1 = x22

e) x2 + (2m – 8)x + 8m3 = ; x

1 = x22

f) x2 – 4x + m2 + 3m = ; x

12 + x2 =

Bµi 4:

a) Cho phơnmg trình: (m + 2)x2 (2m – 1)x – + m = T×m ®iỊu

kiện m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 cho

nghiệm gấp đơi nghiệm

b) Ch phơng trình bậc hai: x2 – mx + m – = Tìm m để phơng trình

cã hai nghiƯm x1 ; x2 cho biÓu thøc R=

2x1x2+3

x12+x22+2(1+x1x2)

đạt giá trị lớn Tìm giá trị lớn

c) Định m để hiệu hai nghiệm phơng trình sau mx2 – (m + 3)x + 2m + = 0.

Chứng minh điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp đôi nghiệm 9ac = 2b2.

Bài 6: Cho phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a ≠ 0) Chøng minh r»ng

điều kiện cần đủ để phơng trình có hai nghiệm mà nghiệm gấp k lần nghiệm (k > 0) :

Dạng 6: So sánh nghiệm ph ơng trình bậc hai víi mét sè.

Bµi 1:

a) Cho phơng trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = Xác định m để

ph-¬ng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mÃn < x1 < x2 <

b) Cho phơng trình 2x2 + (2m – 1)x + m – = Xác định m để phơng

tr×nh cã hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 thoả mÃn: - < x1 < x2 <

Bµi 2: Cho f(x) = x2 – 2(m + 2)x + 6m + 1.

a) Chứng minh phơng trình f(x) = cã nghiƯm víi mäi m

b) Đặt x = t + Tính f(x) theo t, từ tìm điều kiện m để phơng trình f(x) = có hai nghiệm lớn

Bài 3: Cho phơng trình bậc hai: x2 + 2(a + 3)x + 4(a + 3) = 0.

a) Với giá trị tham số a, phơng trình cã nghiƯm kÐp TÝnh c¸c nghiƯm kÐp

b) Xác định a để phơng trình có hai nghiệm phân biệt ln hn

Bài 4: Cho phơng trình: x2 + 2(m – 1)x – (m + 1) = 0.

a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm nhỏ nghiệm lớn

b) Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm nhỏ

Bài 5: Tìm m để phơng trình: x2 – mx + m = có nghiệm thoả mãn x

1 ≤ -

≤ x2

D¹ng 7: Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm ph ơng trình bậc hai không phụ thuộc tham số.

Bài 1:

a) Cho phơng trình: x2 mx + 2m – = T×m hƯ thøc liên hệ hai

nghiệm phơng trình không phụ thuộc vào tham số m

b) Cho phơng tr×nh bËc hai: (m – 2)x2 – 2(m + 2)x + 2(m – 1) =

Khi ph¬ng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phụ thuộc vào tham số m

c) Cho phơng trình: 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = Định m để

ph-ơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 Tìm hệ thức hai nghiệm độc lập

với m, suy vị trí nghiệm hai số – v

Bài 2: Cho phơng trình bậc hai: (m – 1)2x2 – (m – 1)(m + 2)x + m =

Khi phơng trình có nghiệm, hÃy tìm hệ thức nghiệm không phơ thc vµo tham sè m

Bµi 3: Cho phơng trình: x2 2mx m2 = 0.

a) Chứng minh phơng trình có hai nghiƯm x1 , x2 víi mäi m

b) Tìm biểu thức liên hệ x1 ; x2 không phơ thc vµo m

c) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn:

x1 x2

+x2

x1

=−5

2

Bài 4: Cho phơng trình: (m 1)x2 – 2(m + 1)x + m = 0.

a) Giải biện luận phơng trình theo m

b) Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2:

- Tìm hệ thức x1 ; x2 độc lập với m

- T×m m cho |x1 – x2| ≥

Bµi 5: Cho phơng trình (m 4)x2 2(m 2)x + m – = Chøng minh

Dạng 8: Mối quan hệ nghiệm hai ph ơng trình bậc hai. Kiến thức cần nhí:

1/ Định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình kia:

XÐt hai phơng trình:

ax2 + bx + c = (1)

a’x2 + b’x + c’ = (2)

trong hệ số a, b, c, a’, b’, c’ phụ thuộc vào tham số m

Định m để cho phơng trình (2) có nghiệm k (k ≠ 0) lần nghiệm phơng trình (1), ta làm nh sau:

i) Giả sử x0 nghiệm phơng trình (1) kx0 nghiệm

phơng trình (2), suy hệ phơng trình:

ax02+bx0+c=0

a'k2x

02+b'kx0+c'=0

(∗) ¿{

¿

Giải hệ phơng trình phơng pháp cộng đại số để tìm m

ii) Thay giá trị m vừa tìm đợc vào hai phơng trình (1) (2) để kiểm tra lại

2/ Định giá trị tham số m để hai phơng trình bậc hai tơng đơng với Xét hai phơng trình:

ax2 + bx + c = (a ≠ 0) (3)

a’x2 + b’x + c’ = (a’ ≠ 0) (4)

Hai phơng trình (3) (4) tơng đơng với hai phơng trình có tập nghiệm (kể tập nghiệm rỗng)

Do đó, muỗn xác định giá trị tham số để hai phơng trình bậc hai tơng đ-ơng với ta xét hai trờng hp sau:

i) Trờng hợp hai phơng trinhg cuùng vô nghiệm, tức là:

(3)<0

Δ(4)<0 ¿{

¿

Giải hệ ta tịm đợc giá trị tham số

ii) Trờng hợp hai phơng trình có nghiệm, ta giải hệ sau:

¿

Δ(3)≥0

Δ(4)≥0

S(3)=S(4)

P(3)=P(4) ¿{ { {

¿

Chú ý: Bằng cách đặt y = x2 hệ phơng trình (*) đa hệ phơng trình

¿

bx+ay=−c

b'x+a'y=−c' ¿{

¿

Để giải tiếp toán, ta làm nh sau:

- Tìm điều kiện để hệ có nghiệm tính nghiệm (x ; y) theo m - Tìm m thoả mãn y = x2.

- KiĨm tra l¹i kÕt qu¶

-Bài 1: Tìm m để hai phơng trình sau có nghiệm chung: 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0

4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0

Bài 2: Với giá trị m hai phơng trình sau có nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó:

a) 2x2 + (3m + 1)x – = 0; 6x2 + (7m – 1)x – 19 = 0.

b) 2x2 + mx – = 0; mx2 – x + = 0.

c) x2 – mx + 2m + = 0; mx2 – (2m + 1)x = 0.

Bài 3: Xét phơng tr×nh sau:

ax2 + bx + c = (1)

cx2 + bx + a = (2)

Tìm hệ thức a, b, c điều kiện cần đủ để hai phơng trình có nghiệm chung

Bµi 4: Cho hai phơng trình:

x2 2mx + 4m = (1)

x2 – mx + 10m = (2)

Tìm giá trị tham số m để phơng trình (2) có nghiệm hai lần nghiệm phơng trình (1)

Bµi 5: Cho hai phơng trình:

x2 + x + a = 0

x2 + ax + = 0

a) Tìm giá trị a hai phơng trình có nghiệm chung

b) Với giá trị a hai phơng trình tơng đơng

Bµi 6: Cho hai phơng trình:

x2 + mx + = (1)

x2 + 2x + m = (2)

a) Định m để hai phơng trình có nghiệm chung b) Định m để hai phơng trình tơng đơng

c) Xác định m để phơng trình (x2 + mx + 2)(x2 + 2x + m) = có

nghiƯm ph©n biƯt

Bài 7: Cho phơng trình:

x2 5x + k = (1)

x2 – 7x + 2k = (2)

Xác định k để nghiệm phơng trình (2) lớn gấp lần nghiệm phơng trình (1)

II) Ph

ơng trình quy ph

ơng trình bậc hai.

Dạng 1: Ph ơng trình có ẩn sè ë mÉu.

2

x x 2x x t 2t 5t

a) b) c) t

x x x 2x t t

   

     

    

D¹ng 2: Ph ơng trình chứa thức

Loại √A=√B⇔

A ≥0 (hayB≥0)

A=B ¿

Lo¹i √A=B⇔

B ≥0

A=B2 ¿ ¿{

¿

Giải phơng trình sau:

a

2x23x11

=

√

x2−1 b¿

√

(x+2)2=

√

3x2−5x+14¿c¿

√

2x2+3x−5=x+1 d¿

√

(x −1)(2x−3)=− x −9¿e¿ (x −1)

√

x2−3x¿ Dạng 3: Ph ơng trình chứa du giỏ tr tuyt i

Giải phơng tr×nh sau:

¿

a|x −1|+x2=x+3 b¿ |x+2|−2x+1=x2+2x+3¿c¿ |x4+2x2+2|+x2+x=x44x d |x2+1|

x24x+4=3x Dạng 4: Ph ơng trình trùng ph ơng.

Giải phơng trình sau:

a) 4x4 + 7x2 – = ; b) x4 – 13x2 + 36 = 0;

c) 2x4 + 5x2 + = ; d) (2x + 1)4 – 8(2x + 1)2

– =

Dạng 5: Ph ơng trình bậc cao

Gii phơng trình sau cách đa dạng tích đặt ẩn phụ đa ph-ơng trình bậc hai:

Bµi 1:

a) 2x3 – 7x2 + 5x = ; b) 2x3 – x2 – 6x + =

0 ;

c) x4 + x3 – 2x2 – x + = ; d) x4 = (2x2 – 4x + 1)2.

Bµi 2:

a) (x2 – 2x)2 – 2(x2 – 2x) – = c) (x2 + 4x + 2)2 +4x2 +

16x + 11 =

¿

c x¿2− x+2

√

x2− x+3=0 d¿ 4

(

x2+

x2

)

−16

(

x+

x

)

+23=0¿e¿

x2+x −5

x +

3x

x2

+x −5+4=0 f¿

21

x2−4x

+10− x

2

+4x−6=0¿g¿ 3(2x2+3x−1)2−5(2x2+3x+3)+24=0 h¿ x

2 −

48

x2−10

(

x

3−

x

)

=0¿i¿

2x 2x2−5x

+3+

13x 2x2

+x+3=6 k¿

√

x

2

−3x+5+x2=3x+7 ¿ Bµi 3:

a) 6x5 – 29x4 + 27x3 + 27x2 – 29x +6 = 0

b) 10x4 – 77x3 + 105x2 – 77x + 10 = 0

c) (x – 4,5)4 + (x – 5,5)4 = 1

d) (x2 – x +1)4 – 10x2(x2 – x + 1)2 + 9x4 = 0

Bài 1: Cho phương trình ẩn số x: x2 – 2(m – 1)x – – m = (1) a) Giải phương trình m =

b) Chứng tỏ phương trình có nghiệm số với m c) Tìm m cho nghiệm số x1, x2 phương trình thỏa mãn điều kiện x1

2 +

x2

2 10.

Bài 2: Cho số a, b, c thỏa điều kiện:

¿

c>0

(c+a)2<ab+bc−2 ac ¿{

¿

Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = ln ln có nghiệm.

Bài 3: Cho a, b, c số thực thỏa điều kiện: a2 + ab + ac <

Chứng minh phương trình ax2 + bx + c = có hai nghiệm phân biệt

Bài 4: Cho phương trình x2 + px + q = Tìm p, q biết phương trình có hai

nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

¿

x1− x2=5

x1

− x2

=35

¿{

¿

Bài 5: CMR với giá trị thực a, b, c phương trình

(x – a)(x – b) + (x – c)(x – b) + (x – c)(x – a) = có nghiệm

Bài 6: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có nghiệm biết 5a + 2c = b

Bài 7: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác CMR phương trình sau có nghiệm:

(a2 + b2 – c2)x2 - 4abx + (a2 + b2 – c2) = 0

Bài 8: CMR phương trình ax2 + bx + c = ( a 0) có nghiệm nếu

2b

a ≥

c a+4

Bài 9: Cho phương trình : 3x2 - 5x + m = Xác định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn: x1

2

-x2

2 =

Bài 10: Cho phương trình: x2 – 2(m + 4)x +m2 – = Xác định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:

a) A = x1 + x2 -3x1x2 đạt GTLN b) B = x12 + x22 - đạt GTNN.

c) Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 không phụ thuộc vào m

S = x1

1 3+

1

x23

Bài 12: Cho phương trình : x2 - 2

√3 x + = Có hai nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình tính giá trị biểu thức:

A = 3x12+5x1x2+3x22 4x1x23

+4x13x2

Bài 13: Cho phương trình: x2 – 2(a - 1)x + 2a – = (1)

1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị a 2) Tìm giá trị a để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:

x12 + x22 = 6.

3 Tìm giá trị a để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:

x1 < < x2

Bài 14: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x + m – = (1)

a) CMR phương trình (1) có nghiệm với giá trị m b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình (1)

Tìm GTNN M = x12 + x22

Bài 15: Cho a, b hai số thực thỏa mãn điều kiện:

1

a+

1

b=

1

CMR hai phương trình sau phải có nghiệm: x2 + ax + b = x2 + bx + a = 0.

Bài 16: Cho phương trình: x2 – 2(m + 1)x + 2m +10 = (1)

a) Giải biện luận số nghiệm phương trình (1) theo m b) Tìm m cho 10x1 x2 + x12 + x22 đạt GTNN Tìm GTNN đó.

Bài 17: Chứng minh với số a, b, c khác 0, tồn phương trình

sau phải có nghiệm: ax2 + 2bx + c = (1)

bx2 + 2cx + a = (2) cx2 + 2ax + b = (2)

Bài 18: Cho phương trình: x2 – (m - 1)x + m2 + m – = (1)

a) CMR phương trình (1) ln ln có nghiệm trái dấu với giá trị m

b) Với giá trị m, biểu thức P = x12 + x22 đạt GTNN.

Bài 19: Cho phương trình: x2 – 2(m - 1)x – - m = (1)

1) CMR phương trình (1) ln có hai nghiệm với giá trị m 2) Tìm giá trị m để pt (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:

3) Xác định giá trị m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:

E = x12 + x22 đạt GTNN.

Bài 20: Giả sử phương trình bậc 2: x2 + ax + b + = có hai nghiệm nguyên dương

CMR: a2 + b2 hợp số.

Bài 21: Giải phơng trình sau:

1 a ¿ 2(x −1)+

3

x2−1=

4 b¿ 4x

x+1+

x+3

x =6¿ c¿

2x+2

4 − x=

x −2

x −4 d¿

x2

+2x−3

x2−9 +

2x2−2

x2−3x+2=8¿

2

a) x4 – 34x2 + 225 = 0 b) x4 – 7x2 – 144 = 0

c) 9x4 + 8x2 – = 0 d) 9x4 – 4(9m2 + 4)x2 + 64m2 = 0

e) a2x4 – (m2a2 + b2)x2 + m2b2 = (a ≠ 0)

3

a) (2x2 – 5x + 1)2 – (x2 – 5x + 6)2 = 0

b) (4x – 7)(x2 – 5x + 4)(2x2 – 7x + 3) = 0

c) (x3 – 4x2 + 5)2 = (x3 – 6x2 + 12x – 5)2

d) (x2 + x – 2)2 + (x – 1)4 = 0

e) (2x2 – x – 1)2 + (x2 – 3x + 2)2 = 0

4

a) x4 – 4x3 – 9(x2 – 4x) = 0 b) x4 – 6x3 + 9x2 –

100 =

c) x4 – 10x3 + 25x2 – 36 = 0 d) x4 – 25x2 + 60x

– 36 =

a) x3 – x2 – 4x + = 0 b) 2x3 – 5x2 + 5x

– =

c) x3 – x2 + 2x – = 0 d) x3 + 2x2 + 3x –

6 =

e) x3 – 2x2 – 4x – = 0

6

a) (x2 – x)2 – 8(x2 – x) + 12 = b) (x4 + 4x2 + 4) – 4(x2 + 2) – 77 =

0

c) x2 – 4x – 10 - 3

√

(x+2) (x −6) = d)

(

2xx+−21

)

2

−4

(

2x−1

x+2

)

+3=0

e) √x+√5− x+

√

x(5− x)=5

7

a) (x + 1)(x + 4)(x2 + 5x + 6) = 24 b) (x + 2)2(x2 + 4x) = 5

c) 3

(

x2+

x2

)

−16

(

x+

1

x

)

+26=0 d)

2

(

x2

+

x2

)

−7

(

x −

1

x

)

+2=0

¿

a

√

x2−4x

=√x+14 b¿

√

2x2+x −9=|x −1|¿c¿

√

2x2+6x+1=x+2 d¿

√

x3+3x+4=x −2¿e¿

√

4x2−4x+1+x −2=x2−3 f¿ |x3+x2−1|=x3+x+1¿

9 Định a để phơng trình sau có nghiệm

a) x4 – 4x2 + a = b) 4y4 – 2y2 + – 2a =

0