Đang tải... (xem toàn văn)
Caâu 6 : Cho aùnh xaï tuyeán tính f laø pheùp quay trong heä truïc toaï ñoä Oxy quanh goác toïa ñoä CUØNG chieàu.. kim ñoàng hoà moät goùc 6 0 o.[r]
(1)ĐỀ THI HỌC KỲ I NĂM HỌC 2009-2010 Mơn học: Đại số tuyến tính
Thời gian làm bài: 90 phút Đề thi gồm câu Sinh viên khơng sử dụng tài liệu
HÌNH THỨC THI: TỰ LUẬN CA
Caâu : a/ Cho ma traän A =
7 −3 −4
a/ Chéo hoá ma trận A.
b/ Áp dụng, tìm ma trận B cho B20
= A. Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f : IR3
−→ IR3, biết ma trận f sở E = {( , , ) , ( , , ) ; ( , , ) } A =
1 2 −1
Tìm ma trận f sở tắc
Câu : Cho ma traän A =
3 2
−3 −2 −3
2
Tìm trị riêng, sở không gian riêng ma trận A6
Câu : Tìm m để vectơ X = ( , , m) T là véctơ riêng ma trận A =
−5 3 −3 −3
Câu : Tìm m để ma trận A =
1 −2
3 m −4
−2 −4
có hai trị riêng dương trị riêng âm Câu : Cho ánh xạ tuyến tính f phép quay hệ trục toạ độ Oxy quanh gốc tọa độ CÙNG chiều
kim đồng hồ góc o Tìm ánh xạ tuyến tính f Giải thích rõ.
Câu : Cho A ma trận vuông cấp n Chứng tỏ A khả nghịch λ = KHÔNG là trị riêng A.
Khi A khả nghịch chứng tỏ λ trị riêng A, thì
λ là trị riêng cuûa A−1
Đáp án đề thi Đại số tuyến tính, năm 2009-2010, ca 2 Thang điểm: Câu 1, 2, 3, 4, 5, 6: 1.5 điểm; câu 7: 1.0 điểm
Câu 1(1.5đ) Chéo hóa ma trận ( 0.5đ) A = P DP−1; P =
D =
0
Ta có A = P · D · P−1 Giả sử B = Q · D1· Q−1, ta có B20 = Q · D20
1 · Q−1 = A Chọn Q = P và
D1 =
20√
2
0 20√
1
Vaäy ma traän B = P · D1 · P−1
Câu 2 (1.5đ) Có nhiều cách làm Gọi ma trận chuyển sở từ E sang tắc làP Khi ma
trận chuyển sở từ tắc sang E : P−1 =
1 1 1
Ma trận ánh xạ tuyến tính
(2)cơ sở tắc B = P−1AP=
−6 −9 −1 2
Câu 3 (1.5đ) Giả sử λ0 là trị riêng A ⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0· x0 Khi
A6
· x0 = A5· A · x0 = A5· λ0· x0 = λ0 · A5· x0 = · · · = λ60· x0
Lập ptrình đặc trưng, tìm TR A: λ1 = , λ2 = ,
Cơ sở Eλ1 : {( −1 , , )
T, ( −1 , , ) T}, cuûa E
λ2 : {( , −3 , )
T}.
TR cuûa A6: δ
1 = 6, δ2 = 6, Cơ sở của: Eδ1 : {( −1 , , )
T, ( −1 , , ) T}, cuûa E
δ2 : {( , −3 , )
T}. Câu 4 (1.5đ) x VTR A ⇔ A · x = λ · x ⇔
−5 3 −3 −3
2
1
m = λ ·
2
1
m
⇔ m = 1
Câu 5 (1.5đ) Ma trận đối xứng thực Dạng toàn phương tương ứng f( x, x) = x2 + mx
2 + x
2 3+
6 x1x2 − x1x3 − x2x3 Đưa tắc biến đổi Lagrange f( x, x) = ( x1 + x2− x3)
+ 2 ( x3+ x2)
2
+ ( m − 1 ) x2
3 Ma trận A có TR dương, TR âm ⇔ m < 1 Câu 6 (1.5đ) f : IR2
−→ IR2 f xác định hoàn toàn biết ảnh sở IR2 Chọn sở tắc E = {( , ) , ( , ) }.
Khi f( , ) = ( 2,−
√ 3
2 ) ,f ( , ) = ( √ 3
2 ,
2) f ( x, y) = ( x +
y√ ,−x
√ 3
2 +
y 2)
Câu 7 (1.0đ) A khả nghịch ⇔ det( A) = ⇔ λ = không TR A Giả sử λ0 là TR A
⇔ ∃x0 : A · x0 = λ0· x0 ⇔ A−1· A · x0 = A−1· λ0· x0 ⇔ A−1· x0 =
λ0 · x0 (vì λ0 = ) → ñpcm.