Dang 3. Thể tích giới hạn bởi các đồ thị (tròn xoay)(VDT

Câu [2D3-3.3-3] (Chuyên Lý Tự Trọng Cần Thơ) Gọi  D hình phẳng giới hạn y  x ,  x  0 đường thẳng y  3 x  10, y  Parabol Tính thể tích V khối trịn xoay  D  nằm parabol y  x ) ta quay D quanh trục Ox tạo nên, ( 56 56 56 56 V V  V  V 15 A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Hạnh; Fb: fb.com/meocon2809 Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm: 3 x  10  � x   3 x  10  x � x  (Vì x  )  x  � x  (Vì x  )  V  Ta có: Câu 2 � dx   �x2   12 � � � �  3x  10  � � 2 56  12 � dx  � [2D3-3.3-3] (KÊNH TRUYỀN HÌNH GIÁO DỤC QUỐC GIA VTV7 –2019) Cho hình   x  2 e x y xe x  phẳng D giới hạn đường cong , trục hoành hai đường thẳng x  , x  Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích � � � 1� V  � a  b ln � 1 � � � e� � �, a , b số hữu tỷ Mệnh đề đúng? A a  2b  B a  b  C a  2b  D a  b  Lời giải Tác giả: Phan Văn Trình ; Fb: Tốn vitamin Chọn A Thể tích hình phẳng D x x x x  xe  2e 1  xe   2e   x  2 ex dx   � dx V � y dx   � dx   � 0 0 xe x  xe x  xe x  1 1 2   ex    ex  � dx   � x dx     � x dx    K 0 xe  xe  1 x  ex e K  2 � x dx  2 � dx xe  1 x x e Với Đặt u  x � � du  � 1 x x e � e � dx x  � u  1; x  � u   � � Đổi cận: e e du � K  2 �  2 ln u u 1 1 1 e � 1�  2 ln � 1 � � e� � � 1� � � 1� V    2 ln �  �  �  2.ln � 1 � � � e� � � e� � Vậy �a  � a  2b  � b   � Từ ta suy a Câu  x   dx  � a    a [2D3-3.3-3] (HK2 Sở Đồng Tháp) Tìm biết a  a  A B C a  D a  1 Lời giải Tác giả: Hoàng Trung Hiếu; Facebook: Hoàng Trung Hiếu Chọn A a Ta có:  x  3 dx   x � a  x   dx  � Vì: Vậy a  Câu  3x  a  a  3a a  4(tm) � a  3a  � � a  1(l ) � nên [2D3-3.3-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tính thể tích khối trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  3x  x trục hoành quay quanh trục hoành 81π 8π 41π 85π A 10 B C D Lời giải Tác giả:Vũ Thị Loan ;Fb: Loan Vu Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  3x  x trục hoành là: x0 � 3x  x  � � x  � Vπ Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm x x x d � 2  81π 10 Câu [2D3-3.3-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3Bắc-Ninh-2019) Tính thể tích khối trịn xoay tạo hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  3x  x trục hoành quay quanh trục hoành 81π A 10 8π B 41π C 85π D Lời giải Tác giả:Vũ Thị Loan ;Fb: Loan Vu Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  3x  x trục hoành là: x0 � 3x  x  � � x  � Vπ Vậy thể tích khối trịn xoay cần tìm Câu x x x d � 2  81π 10 [2D3-3.3-3] (Gang Thép Thái Nguyên) Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  quanh trục Ox Đường thẳng x  a   a  4 V cắt đồ thị hàm số y  x M (hình vẽ) Gọi thể tích khối trịn xoay V  2V1 tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết Khi B a  2 A a  C Lời giải a D a  Tác giả: Đinh Thanh ; Fb: An Nhiên Chọn D Ta có: x2 V � xdx    8 0 Mà V  2V1 � V1  4 Gọi K hình chiếu M Ox � OK  a , KH   a, MK  a Khi xoay tam giác OMH quanh Ox ta khối tròn xoay lắp ghép hai khối nón sinh tam giác OMK , MHK , hai khối nón có mặt đáy có tổng chiều cao V1   OH  nên thể tích khối trịn xoay Câu  a  4 a , từ suy a  [2D3-3.3-3] (Cầu Giấy Hà Nội 2019 Lần 1) Khi quay hình phẳng đánh dấu hình vẽ bên xoay quanh trục Ox ta khối tròn xoay tích tính theo cơng thức V A V C  f  x   dx  �  f  x   dx � 2 0  f  x  � 2 dx  �  f  x   dx B D 2 V  �  f  x   dx   �  f  x   dx V  �  f  x   dx 2 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thành Biên ; Fb: BienNguyenThanh Chọn D Hình phẳng H đánh dấu hình giới hạn đồ thị hàm số y  f  x , trục hoành  H  quay hai đường thẳng x  2 , x  nên thể tích vật thể trịn xoay tạo thành cho xung quanh trục Ox Câu V  �  f  x   dx 2 [2D3-3.3-3] (Lương Thế Vinh Lần 3) Cho hình vng OABC có cạnh chia  P  có đỉnh O Gọi S hình phẳng khơng bị gạch (như hình thành hai phần parabol vẽ) Tính thể tích V khối tròn xoay cho phần S quay quanh trục Ox 128 128 64 256 V V V V A B C D Lời giải Tác giả:Nguyễn Dương; Fb:Duong Nguyen Chọn D  P Ta có parabol có đỉnh O qua điểm B  4;  có phương trình y x Khi thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng (phần gạch chéo) quay quanh trục Ox 64 �1 � V1   � � x �dx  � 0� là: V   r h   42.4  64 Thể tích khối trụ quay hình vng OABC quanh cạnh OC là: Suy thể tích V khối trịn xoay cho phần S quay quanh trục Ox 64 256 V  V2  V1  64   5 Câu ( H1 ) [2D3-3.3-3] (Sở Bắc Ninh 2019) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình giới hạn đường y  x , y   x , x  ; hình ( H ) tập hợp tất điểm M ( x ; y ) thỏa 2 2 2 ( H1 ); ( H ) mãn điều kiện x  y �16;( x  2)  y �4 ; ( x  2)  y �4 Khi quay V ,V quanh Ox ta khối trịn xoay tích Khi đó, mệnh đề sau đúng? V  2V1 V  V2 V  V  48 V  4V1 A B C D Lời giải Tác giả:Lê Thị Hồng Vân; Fb:Hồng Vân Phản biện: Vũ Ngọc Tân ; Fb : Vũ Ngọc Tân Chọn D Ta thấy đồ thị hàm số y  x y   x đối xứng qua trục hồnh nên khối trịn (H ) xoay thu quay hình phẳng quanh trục Ox khối tròn xoay thu �y  x � �y  �x  quay hình phẳng giới hạn đường � quanh trục Ox 4 Do V1   � xdx   x  16 (C ) R  (C2 ) R 2 Gọi hình trịn tâm O bán kính , hình trịn tâm I (2; 0) bán kính (C ) R 2 (H ) hình trịn tâm J (2; 0) bán kính Khi hình phẳng phần nằm bên (C1 ) (C2 ) (C3 ) V3 , V4 , V5 hình trịn nằm bên ngồi hình trịn Gọi R ,R ,R V  V3  (V4  V5 ) thể tích khối cầu có bán kính Do V2  4 43 4 23 4 23 (  )  64 3 Vậy V2  4V1 Câu 10 [2D3-3.3-3] (Chuyên Hùng Vương Gia Lai) Gọi D miền giới hạn đường y  3x  10 , y  , y  x D nằm parabol y  x Khi cho D quay xung quanh trục Ox , ta nhận vật thể tròn xoay tích là: 56  A B 12 C 11 25  D Lời giải Tác giả: Nguyễn Như Tùng, Fb: Nguyễn Như Tùng Chọn A Vẽ đường đường y  3 x  10 , y  , y  x Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y  x y  �x  x2  � � x  1 � Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y  x y  3 x  10 �x  �� x  5 � x  3 x  10 � x  x  10  2 Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị y  3 x  10 y  3x  10  � x  Theo hình vẽ, D miền gạch chéo Do ta tích vật thể trịn xoay nhận V  V1  V2  V3 , đó: V1 D1 D quay quanh Ox , với giới hạn V2 D2 D quay quanh Ox , với giới hạn thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng đường y  x ; y  0; x  1; x  thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng đường y  3x  10; y  0; x  2; x  V3 thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng D3 quay quanh Ox , với D3 giới hạn đường y  1; y  0; x  1; x  3 2 V  � x  dx  � 10  3x  dx  � dx �   � � � Suy 3  � x dx  � x  60 x  100  dx  � dx �  � �1 � �x5 � 3   �   3x3  30 x  100 x   x � � � � � � �   �  25  1   3.33  30.32  100.3    3.23  30.22  100.2     1 � � �  56 Câu 11 [2D3-3.3-3] (CHUYÊN HOÀNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Trong mặt phẳng cho hình vng ABCD cạnh 2 , phía ngồi hình vng vẽ thêm bốn đường trịn nhận cạnh hình vng làm đường kính (hình vẽ) Thể tích khối trịn xoay sinh hình quay quanh đường thẳng AC 32 16 8 64  4  2 2  8 A B C D Lời giải Tác giả - Facebook: Trần Xuân Vinh Chọn A Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, ta có Phương trình đường trịn J  1;1 J  1;1 , K    1;1 , C  2;  bán kính JB  � y    x  1    x  x  1, y �1 �  x  1   y  1  � � y     x  1     x  x  1, y  � 2 Do quay hình phẳng xung quanh đường thẳng AC tích gấp đơi quay phần hình phẳng gồm tam giác vng OBC nửa hình trịn tâm J bán kính JB V  2 Nên thể tích khối trịn xoay  � 1   x  x  dx  2 �   x  x  1 dx 1 2 2 32  4 (Tính tích phân dùng máy tính thi trắc nghiệm)  C  : y  ax3  bx  cx  d Parabol Câu 12 [2D3-3.3-3] (Thị Xã Quảng Trị) Cho đồ thị  P  : y  mx  nx  p có đồ thị hình vẽ (đồ thị  C  đường cong đậm hơn) Biết phần  C   P  (phần tơ đậm) có diện tích Thể tích khối hình phẳng giới hạn trịn xoay tạo thành quay phần hình phẳng quanh trục hoành 237  B 35 A 3 159  D 35 C 5 Lời giải Chọn A  P  qua điểm  1;  ;  3;1  5;3 nên Parabol có phương trình Đồ thị 29 y  x2  x  8  C   P  Xét phương trình hoành độ giao điểm đồ thị ax3   b  m  x   c  n  x  d  p     C  cắt đồ thị  P  điểm có hồnh độ ; ; nên phương Dựa vào hình vẽ ta có đồ thị a  x  1  x    x    trình hồnh độ có dạng � a  x3  x  23 x  15     Theo giả thiết ta có diện tích phần tơ đậm suy 3 S� a  x  x  23x  15  dx  � a  x3  x  23x  15  dx  � a  1 1 23 15 a x  x  23x  15   � x  x  x    1  ta có 8 8 Với � � a a � � 8 � � � � b   b � � �� � 23 � � c2 c � � 8 � 29 � 15 � � d    d 1    8 � � Từ ta có 7 y  x3  x  x  C  8 Suy có phương trình Vậy thể tích khối trịn xoay tạo thành quay phần hình phẳng quanh trục hồnh 2 3 7� 29 � �1 3 �3 V � � x  x  x  �dx   � � x  x  �dx  8 4� 8 � 1� 1� 5 29 � 7� �3 �1 3  � � x  x  �dx   � � x  x  x  �dx 8 � 8 4� 3� 3� 395 199 409 437      3 84 60 60 84 Câu 13 [2D3-3.3-3] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Trong không gian Oxyz , cho mặt cầu  S  : x  y   z    16 điểm A  m; m;  nằm mặt cầu Từ A kẻ tiếp tuyến  S  , gọi  Pm  mặt phẳng chứa tiếp điểm, biết  Pm  qua đường đến mặt cầu thẳng d cố định, phương trình đường thẳng d là: �x  t �x  t �x  t �x  t � � �  d  : �y  t  d  : �y  2t  d  : �y  t d :� �y  t �z  1 �z  �z  �z  2 � � � � A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Đệ st ; Fb: De Nguyen Chọn C Cách 1:  S  có tâm I  0;0;   , bán kính R  Mặt cầu đường kính AI có tâm trung điểm Mặt cầu �m m � AI 2m  16 H � ; ;0 � R�   �2 �của AI bán kính 2 có phương trình là: 2 � m � � m � 2m  16 x   y   z  � � �  S� : � � x  y  z  mx  my  � 2� � 2�  S  nằm  S �  tọa độ tiếp điểm thỏa Khi tiếp điểm kẻ từ A đến mặt cầu mãn hệ phương trình sau: 2 � �x  y  z  z  12  �2 2 �x  y  z  mx  my   � mx  my  z    Pm  có phương trình: mx  my  z   �x  t �x  y  � � �y  t � 4z   � � Pm   �z  Đường thẳng cố định có dạng Cách 2: Do mặt phẳng Mặt cầu  S có tâm I  0; 0;   A  m; m;  , bán kính R  Mặt cầu tâm bán kính AM  AI  R  2m2 có phương trình:  S�  :  x  m    y  m    z    2m � x  y  z  2mx  2my  z    Pm   S   S � : giao mặt cầu �x  y  z  z  12  � �2 2 �x  y  z  2mx  2my  z   � mx  my  z   Đường thẳng cố định  Pm  �x  t �x  y  � � �y  t � 4z   � � �z  có dạng Câu 14 Câu 46 [2H3-4.1-3] (Thanh Chương Nghệ An Lần 2) Một thùng đựng Bia (có dạng hình vẽ) có đường kính đáy 30cm, đường kính lớn thân thùng 40cm, chiều cao thùng 60 cm, cạnh bên hơng thùng có hình dạng parabol Thể tích thùng Bia gần với số sau đây? (với giả thiết độ dày thùng Bia khơng đáng kể) A 70 (lít) B 62 (lít) C 60 (lít) Lời giải D 64 (lít) Tác giả: ; Fb: Nguyễn Út Chọn D � 3� A�  P  : y  ax  bx  c parabol qua điểm �3; � �và có đỉnh I  0;  (hình vẽ bên Gọi dưới)  P , Khi thể tích thùng Bia thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn trục hoành hai đường thẳng x  3; x  3 quay quanh trục Ox � 3� A�  P  có đỉnh I  0;  nên  P  : y  ax  , mặt khác  P  qua điểm �3; � �nên ta Ta thấy  x2 y  2  P  có phương trình 18 tìm Khi thể tích thùng Bia là: 2 � x � 203 V  �   dm3  �63, 77 �  �dx  18 10 � 3 � (lít) Câu 15 [2D3-3.3-3] (Cẩm Giàng)Trong chương trình nơng thơn mới, xã Y có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) y x O A 19 m B 21m 3 C 18 m D 40 m Lời giải Tác giả:Tuấn Anh Nguyễn; Fb: Tuấn Anh Nguyễn Chọn D Chọn hệ trục Oxy hình vẽ  P  : y  a1 x  b1 Parabol qua hai điểm Gọi 19 � � A� ;0� , B  0;  �2 � � 19 � � �  a � �a1   � � � �� �2 � 361 �  P1  : y   x 2 � � b  2  b �1 361 Nên ta có hệ phương trình sau: � � � C  10;0  , D � 0; � P2  : y  a2 x  b2  2� � Gọi Parabol qua hai điểm � � a2    a2  10   � � � � 40 �� � 5 �5  b � b2  �  P2  : y   x  � � 40 Nên ta có hệ phương trình sau: 19 �10 � � �� � V  5.2 �  x  d x   x  2� dx � 40 m � � � � � 0 40 361 � � �� � � Ta tích bê tơng là: Câu 16 [2D3-3.3-3] (THPT Sơn Tây Hà Nội 2019) Trong hình vẽ đây, đoạn AD chia làm điểm B C cho AB  BC  CD  Ba nửa đường trịn có bán kính � � � AEB , BFC CGD có đường kính tương ứng AB , BC CD Các điểm E , F , G tiếp điểm tiếp tuyến chung EG với nửa đường tròn Một đường tròn tâm F , bán kính Diện tích miền bên đường trịn tâm F bên ngồi nửa đường trịn a   c d (miền tơ đậm) biểu diễn dạng b , a , b , c , d số nguyên dương a , b nguyên tố Tính giá trị a  b  c  d ? A 14 B 15 C 16 D 17 Lời giải Tác giả: Nguyễn Tân Tiến ; Fb: Nguyễn Tiến Chọn D F  3;1 Chọn hệ trục Axy hình vẽ, nên đường trịn tâm F , bán kính có dạng  x  3   y  1   F  với trục hoành Gọi M , N giao điểm đường tròn Suy xM   xN    F  trục hoành � Gọi S1 diện tích giới hạn nửa đường trịn AEB , đường trịn Khi đó, S1  I S�  AEB �  3 Tính 3  �1    x  3   x  3 2  dx    �  3   x  3  dx  dx �  � t ��  ; �2 2� � Đặt x   2sin t � dx  cos t.dt , Khi x   I Nên  t   1 �     t x     4sin t 2cos t.dt        cos t  2cos t.dt �    I  �2 cos t  cos t dt    2 �  � t ��  ; �   � �nên cos t  , suy Do  � � 3 S1    �       2 � �3 � 12 � � Vậy Gọi S diện tích miền tơ đậm  �7 �1 S  S F   S1  S BFC  4  �         34 � � � �2 12 � � Ta có Suy a  , b  , c  , d  Vậy a  b  c  d  17 F  x Câu 17 [2D3-3.3-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị Lần 1) Cho nguyên hàm hàm � � F �  k � k f  x  �4 � k �� cos x số Biết với Tính F    F     F      F  10  A 55 B 44 C 45 D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Anh Đào; Fb: Đào Nguyễn Chọn B dx f  x  dx  �  tan x  C � cos x Ta có � � � �  �  ; � �tan x  C0 , x �� �F �4 2 � � � �� � � � � 3 � �tan x  C1 , x �� ; � �F � �2 � � � �4 � � � �3 5 � �tan x  C2 , x �� ; � �F � F  x  � �2 � � � �4 � � � � � 17 19 � � � � �tan x  C9 , x �� ; � �F �4 � � �� � � 19 21 � � � � �tan x  C10 , x �� ; � �F � 2 � � � �4 � Suy Vậy �  0 �  C0  � C0  1 � �   �  C1  � C1  � �  2 �  C2  � C0  � �  9 �  C9  � C9  � �  10 �  C10  10 � C10  � F    F     F      F  10   tan   tan   tan 2    tan10   44  H  giới hạn Câu 18 [2D3-3.3-3] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho hình phẳng x2 y  E :    C  : x  y  (phần nằm  E  nằm  C  25 đường tròn  H  quay quanh trục Ox Tính thể tích khối tròn xoay sinh 24 24    A B C 25 D 24 Lời giải Chọn D � x2 � x2 y � y  1 � �  E :   25 � � 25 Từ Phương trình A  5;0 , A '  5;0 , B  0;3 , B '  0; 3 Elip giao với trục Ox; Oy điểm Từ Phương trình  C  : x2  y2  � y2   x2 � x2 � 9�  �  x � x  25 �  E Ǻ  C Xét phương trình: � Suy B; B ' Do tính đối xứng nên Thể tích V khối trịn xoay cần tính lần thể tích khối trịn xoay sinh � x2 � y  9� 1 � 25 � y   x � hình phẳng giới hạn bởi: quay quanh trục Ox � � � x2 � V  2V1  2. � 1 � dx  �  x  dx � 24  � � 25 � 0 � � �  D  giới hạn đường Câu 19 [2D3-3.3-3] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Cho hình phẳng y  x   , y  sin x x  Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành  D  quay quanh trục hoành A V  p ,  p �� Giá trị 24 p B C 24 D 12 Lời giải Tác giả: Vũ Việt Tiến, FB: Vũ Việt Tiến Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x   y  sin x : x    sin x � x    sin x   1 Ta thấy x   nghiệm phương trình  1 Xét hàm số � f  x f  x   x    sin x f�  x    cosx 0, x �� f  x  đồng biến � nên x   nghiệm phương trình Cách 1: Xét hàm số g  x     x  sin x, x � 0;   g�  x   1  cosx  0, x � 0;   , suy hàm số g  x     x  sin x nghịch biến  0;   x � 0;   : g  x   g    �   x  sin x      sin   �   x  sin x    D Do thể tích khối tròn xoay tạo thành quay quay tam giác vng OAB quanh trục hồnh quanh trục hồnh thể tích khối nón 1 1 V   OB OA       � p  24 p  24  3 3 Vậy  Cách 2: Từ  x      2   ta có  V �  x    dx   �  x   d  x   4 �p 24 p  24  Vậy  HẾT  ... 4 (Tính tích phân dùng máy tính thi trắc nghiệm)  C  : y  ax3  bx  cx  d Parabol Câu 12 [2D3 -3.3 -3] (Thị Xã Quảng Trị) Cho đồ thị  P  : y  mx  nx  p có đồ thị hình vẽ (đồ thị  C ... hình vẽ, D miền gạch chéo Do ta tích vật thể trịn xoay nhận V  V1  V2  V3 , đó: V1 D1 D quay quanh Ox , với giới hạn V2 D2 D quay quanh Ox , với giới hạn thể tích khối trịn xoay sinh hình phẳng... hình giới hạn đồ thị hàm số y  f  x , trục hoành  H  quay hai đường thẳng x  2 , x  nên thể tích vật thể trịn xoay tạo thành cho xung quanh trục Ox Câu V  �  f  x   dx 2 [2D3 -3.3 -3]