Dang 1. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị(VDC)

Câu [2D3-3.1-4] (Ngơ Quyền Hà Nội) Diện tích miền hình phẳng giới hạn đường y = 2x , y = − x + , y = +3 A ln 1 − B ln 2 +1 C ln +2 D ln Lời giải Tác giả: Phạm Bình ; Fb: Phạm An Bình Chọn B Đặt f ( x ) = x + x − , suy f ′ ( x ) = x ln + > , ∀ x ∈ ¡ Mà f ( 1) = nên x = − x + ⇔ x + x − = ⇔ x = Ta có − x+ 3= 1⇔ x = Ta có 2x = ⇔ x = Suy f ( x) đồng biến Ta có đồ thị hàm cho sau: Vậy diện tích miền hình phẳng cần tìm  2x   x2  1 S = ∫ ( − 1) dx + ∫ ( − x + − 1) dx =  − x ÷ +  − + 2x ÷ = −  ln    ln 2 Câu x [2D3-3.1-4] (Hậu Lộc Thanh Hóa) Tìm số thực a để hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm x + 2ax + 3a a − ax y= y= + a6 + a có diện tích lớn A B C D 3 Lời giải Tác giả: Phi Trường ; Fb: Đỗ Phi Trường Chọn B Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị hàm số là: x + 2ax + 3a a − ax = ⇔ x + 3ax + 2a = ⇔ ( x + a ) ( x + 2a ) = ⇔ 6 1+ a 1+ a Nếu + Nếu + Nếu a= a> a< diện tích hình phẳng thì S= −a ∫ −2a S= −2a ∫ −a S = −a x + 3ax + 2a x + 3ax + 2a a3 dx = − ∫ dx = + a6 + a6 + a6 −2a x + 3ax + 2a dx = − + a6 Do đó, với Dấu "= " a≠  x = −a  x = − 2a  − 2a ∫ −a x + 3ax + 2a a3 d x = − + a6 + a6 a a S= ≤ = + a 6 a 12 xảy a = ⇔ a = ±1 Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai hàm cho có diện tích lớn Câu [2D3-3.1-4] (Hùng Vương Bình Phước) Cho hàm số y = f ( x) a = có đạo hàm f ′ ( x) liên tục x2 g ( x) = f ( x) − [ − 2;1] Hình bên đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) Đặt Khẳng định sau đúng? A g( 1) < g( - 2) < g( 0) B g( 0) < g( 1) < g( - 2) C g( - 2) < g( 1) < g( 0) D g( 0) < g( - 2) < g( 1) Lời giải Tác giả & Fb: Lý Văn Nhân Chọn C Ta có g '( x) = f '( x) − x = ⇔ x = − ∨ x = ∨ x = Dựa vào đồ thị hàm số y = f ′ ( x) Từ bảng biến thiên ta suy đồ thị hàm số g ( ) > g ( −2 ) y= x ta có bảng biến thiên g ( ) > g ( 1) (1) Mặt khác, dựa vào đồ thị ta có: S1 > S2 ⇔ ∫ −2 1 −2 f '( x) − x dx > ∫ f '( x) − x dx ⇔ ∫ g '( x) dx > ∫ − g '( x )dx ⇔ g ( ) − g ( − ) > − ( g ( 1) − g ( ) ) ⇔ g ( 1) > g ( − ) (2) g( - 2) < g( 1) < g( 0) Từ (1) (2) suy Câu nên chọn đáp án C [2D3-3.1-4] (NGÔ SĨ LIÊN BẮC GIANG LẦN IV NĂM 2019) Người ta dự định trồng hoa Lan Ý để trang trí vào phần tơ đậm (như hình vẽ) Biết phần tơ đậm diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị a, b, c, d , e∈ ¡ y = f ( x ) = ax3 + bx + cx − y = g x = dx + ex + ( ) Biết hai đồ thị cắt điểm có hồnh độ − 3; − 1; 2, chi phí trồng hoa 800000 đồng/1m2 đơn vị trục tính mét Số tiền trồng hoa gần với số sau đây? (làm trịn đến đơn vị nghìn đồng) A 4217000 đồng B 2083000 đồng C 422000 đồng D 4220000 đồng Lời giải Tác giả: Phan Trung Hiếu; Fb: Hieu Pt Chọn A Xét phương trình hồnh độ giao điểm f ( x ) = g ( x ) ⇔ f ( x ) − g ( x ) = ⇔ ax + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = (*) Vì hai đồ thị cắt điểm có hồnh độ nghiệm − 3; − 1; nên phương trình (*) có x = − 3; x = − x = Do đó, ta có ax3 + ( b − d ) x + ( c − e ) x − = a ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) , ∀ x ∈ ¡ − = − 6a ⇔ a = Cho x = ta Diện tích phần trồng hoa S= 2 253 ∫ f ( x ) − g ( x ) dx = ∫ ( x + 3) ( x + 1) ( x − ) dx = 48 −3 −3 (m ) Số tiền trồng hoa T = 800000.S = 4216666,667 (đồng) Làm tròn đến đơn vị nghìn đồng ta 4217000 đồng Câu y = x3 + ax + bx + c ( a, b, c ∈ ¡ [2D3-3.1-4] (Chuyên Thái Nguyên) Cho hàm số ( C) y = mx + nx + p ( m, n, p ∈ ¡ giới hạn A ( C) ( 0;1) ( P) ) có đồ thị ( P) ) có đồ thị hình vẽ Tính diện tích hình phẳng có giá trị nằm khoảng sau đây? B ( 1;2) ( ) ( ) C 2;3 D 3;4 Lời giải Tác giả:Phạm Ngọc Hưng; Fb: Hưng Phạm Ngọc Phản biện: Nguyễn HoàngĐiệp; Fb: Điệp Nguyễn Chọn B Căn đồ thị ta thấy + Hàm số y = x3 + ax + bx + c đạt cực trị x = ± nên ta có  y ′ ( 1) = ⇔  ′ y − = ( )  + Hàm số  2a + b + = ⇔   − 2a + b + = y = mx + nx + p đạt cực đại x = − ( P ) cắt a =  b = −3 ( C) hai điểm có hồnh độ x = ± nên ta có  − 2m + n =  1 + a + b + c = m + n + p ⇔  −1 + a − b + c = m − n + p  Suy Câu S= ∫ ( mx −1 + nx + p − x − ax − bx − x ) dx = ∫ ( −x −1 [2D3-3.1-4] (Đặng Thành Nam Đề 9) Cho hàm số với a, b, c, d∈ ¡  n = −2   m = −1 p−c =1  − x + x + 1) dx = ∈ ( 1;2 ) f ( x ) = x3 + ax + b g ( x ) = f ( cx + dx ) có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm hàm số y = f ( x ) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f ( x ) với kết đây? A 7,66 B 4,24 C 3,63 D y = g ( x) gần 5,14 Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Thủy Chi ; Fb: Nguyễn Chi Chọn D Ta có f ( ) = hàm đạt cực đại điểm x = − nên  f ( ) = b = b = ⇔ ⇔ ⇒ f ( x ) = x3 − 3x +   f ′ ( − 1) =  a + =  a = − g ( x ) = ( cx + dx ) − ( cx + dx ) + Khi Đồ thị hàm số y = g ( x) qua điểm ( 0;1) ; ( − 1;3) ; ( 2;3)  g ( 0) = ( c − d ) − ( c − d ) + =   g ( −1) = ⇔   ( 4c + 2d ) − ( 4c + 2d ) = g =  ( )  c = 1, d = −1  c = 0, d =   c − d = −1    c − d = ⇔ ⇔ c = , d = −  2   4c + d = −    4c + 2d = c = − , d =   2 Vì hàm số y = g ( x) có ba điểm cực trị nên g ( x ) = +∞ c ≠ xlim → +∞ nên c> Suy c = 1; d = − ⇒ g ( x) = ( x − x)3 − 3( x − x) + Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hai hàm số y = f ( x) y = g ( x) ( x − x)3 − 3( x − x ) + = x3 − 3x + ⇔ ( x − x )3 − x − ( x − x ) = ⇔ ( x − x ) ( x − x ) + x ( x − x ) + x − 3 =   x = x =  x2 − 2x = ⇔ ⇔  x − x + x − =  x = −1   x = x0 ≈ 1,39 Dựa vào đồ thị ta có Vậy S; 3 2 ∫  x − 3x − ( x − x ) + ( x − x ) dx + −1 1,39 ∫ ( x − x ) − ( x − x ) − x + 3x dx +  + Câu  x − x − ( x − x ) + ( x − x ) dx ; 5,14 ∫   1,39 [2D3-3.1-4] (Đặng Thành Nam Đề 15) Gọi ( H) hình phẳng giới hạn parabol y = ( x − 3) , trục hoành trục tung Gọi k1 , k2 ( k1 > k2 ) hệ số góc đường thẳng qua điểm vẽ bên) Giá trị 13 A k1 − k2 A ( 0;9 ) chia ( H) thành ba phần có diện tích (tham khảo hình B 25 C 27 D Lời giải Tác giả: Lê Văn Quý ; Fb: Lê Văn Q Chọn D Ta có diện tích hình phẳng Gọi ( d1 ) , ( d2 ) ( H) ( d2 ) Đường thẳng Câu ( d1 ) k1 , k2 qua điểm y = k1 ( x − 0) + = k1 x + A ( 0;9 ) ( d1 ) k1 − k2 = − phương trình đường ( d2 ) cắt trục Ox     B  − ;0 ÷ C  − ;0 ÷  k1   k2  (vì k2 < k1 < ) 1  − =  k2 = − 27 k2 2  ⇔   − =  k = − 27  2 k1  27 27 27 + = 4 [2D3-3.1-4] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Cho đồ thị hàm số y = x3 − 3x + Gọi ( d ) tiếp tuyến ( C) điểm A có hồnh độ 27 diện tích hình phẳng giới hạn ( d ) ( C ) , giá trị nào? A y = k2 ( x − 0) + = k2 x +  S = S ∆ AOC  ⇔  S S ∆ AOB =   Theo giả thiết Suy hai đường thẳng có hệ số góc Khi phương trình đường thẳng thẳng S = ∫ ( x − 3) dx = 2a − a − = B a − 2a = C a − a − = a ( C) xA = a Biết thỏa mãn đẳng thức D a + 2a − = Lời giải Tác giả: Quang Pumaths ; Fb: Quang Pumaths Chọn B Ta có phương trình d: y = ( 3a − 6a ) ( x − a ) + a − 3a + Phương trình hồnh độ giao điểm ( C) với ( d) : x = a ⇔ x − 3x + = 3a − 6a ( x − a ) + a − 3a + ⇔ ( x − a ) ( x + 2a − 3) =  x = − 2a ( ) 2 Diện tích hình phẳng cần tính là: S= 3− a ∫ (x a ) − 3x − ( 3a − 6a ) x + 2a3 − 3a dx = 27 81  − 27  a + 27a − a + 27 a = a = ⇔ ⇔ a =  − 27 a + 27a − 81 a + 27 a − 27 = ( )  2 Câu [2D3-3.1-4] (GIỮA-HKII-2019-NGHĨA-HƯNG-NAM-ĐỊNH) Cho hàm số đạo hàm liên tục R Hàm số y = f ¢( x) y = f ( x) có có đồ thị hình vẽ bên dưới: −2 y Số nghiệm thuộc đoạn A é- 2;6ù ê ú ë û phương trình f ( x) = f ( 0) B.2 C D Lời giải Tác giả: Trần Hữu Tân ; Fb: Tan Tran Chọn B Từ đồ thị hàm số f '( x ) ta có BBT Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn y = f ' ( x ) ; y = 0; x = 0; x = Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn y = f ' ( x ) ; y = 0; x = 2; x = Gọi S3 diện tích hình phẳng giới hạn y = f ' ( x ) ; y = 0; x = 5; x = S1 = − ∫ f ' ( x ) dx = f ( ) − f ( ) ; S2 = ∫ f ' ( x ) dx = f ( ) − f ( ) ; S3 = − ∫ f ' ( x ) dx = f ( ) − f ( ) Từ đồ thị ta thấy S > S1 ⇒ f ( ) − f ( ) > f ( ) − f ( ) ⇒ f ( ) > f ( ) S1 + S3 < S ⇒ f ( ) − f ( ) + f ( ) − f ( ) < f ( ) − f ( ) ⇒ f ( ) > f ( ) Khi ta có BBT xác ( dạng đồ thị xác ) sau : () Vậy phương trình f x = f phanhuuthe@gmail.com ( 0) có nghiệm thuộc đoạn éêë- 2;6ùúû Câu 10 [2D3-3.1-4] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) ( có đồ thị ( C) nằm trục hoành Hàm số y = f ( x) thỏa mãn điều kiện  1 f = 1; f = ( )  ÷ y′ ) + y′′ y = −   Diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) trục hoành gần với số đây? A 0,95 B 0,96 C 0,98 D 0,97 Lời giải Tác giả:Đỗ Xuân Sỹ ; Fb: Đỗ Xuân Sĩ Chọn C Ta có ( f ′ ( x) ) + f ′ ( x) f ( x) = − ⇔ ( f ′ ( x) f ( x) ) ′ = −4 ⇔ ∫ ( f ′ ( x) f ( x) ) ′ dx = − 4dx ∫ ⇔ f ′ ( x ) f ( x) = − 4x + C ⇔ ∫ f ′ ( x ) f ( x ) dx = ∫ ( − x + C ) dx ⇔ ∫ x2 f ( x ) d ( f ( x ) ) = − + C x + B f ( x) ⇔ = − x + C.x + B ⇔ f ( x ) = − x + 2C.x + B  1 f  ÷= Giả thiết cho f ( ) =    B =1 B =  ⇔ C ⇔ C =   − + +B=  ⇒ f ( x ) = − x2 + 2x + ( C ) *) Phương trình hồnh độ giao điểm ( C) với trục hoành − x2 + x + =  1−  x1 = ⇔ −4 x + x + = ⇔   1+  x2 =  Vì ( C) S= ln phía trục hồnh nên 1+ ∫ − x + x + 1dx ≈ 0,98 1− Câu 11 [2D3-3.1-4] (THẠCH THÀNH I - THANH HÓA 2019) Xác định giới hạn hai parabol: A a = y= B a> cho diện tích 4a − 2ax − x x2 y = , + a4 + a có giá trị lớn a = 3 C Lời giải a= 34 D a= 45 Tác giả: Trần Ngọc Quang ; Fb:Quang Tran Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm hai parabol: 4a − 2ax − x x2 = ⇔ x + 2ax − 4a = ⇔ 4 1+ a 1+ a a Diện tích cần tìm là: S= ∫ −2 a  x = − 2a  x=a  a 4a − 2ax − x x2 − dx = − x + ax − 2a dx 4 ∫ 1+ a 1+ a + a −2 a ( )  x3 ax a3  x=a =− − 2a x ÷÷ =  + + a  + a4  x = − 2a Xét hàm số: f ( a ) = 3a − a f ′ ( a ) = a + a4 , a ∈ ( 0; +∞ ) Ta có: 1+ a ( )  a = ∉ ( 0; +∞ )  f ′ ( a ) = ⇔  a = − ∉ ( 0; +∞ )   a = ∈ ( 0; +∞ ) Từ ta có bảng biến thiên: Vậy hàm số đạt giá trị lớn a = 3  a4  4 3 a4 a4 a4 1+ a = 1+ + + ≥  ÷ = a 3 3 Nhận xét: Có thể đánh sau:  3 a3 a3 27 f ( a ) = ≤9 = 4 a4 1+ a 3 ⇔ = ⇔ a4 = ⇔ a = a Suy Đẳng thức xảy 3 Câu 12 [2D3-3.1-4] (CHUYÊN LÊ THÁNH TÔNG QUẢNG NAM LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ − 3;3] g ( x) = f ( x) + x + Biết f (1) = − 24 Hỏi g ( x) = đồ thị y = f '( x) hình vẽ Đặt có nghiệm thực? A B C Lời giải D Tác giả: Đinh Thị Thu Huế ; Fb:Huedinh Chọn D g (1) = f (1) + 12 + = − 43 < g '( x) = f '( x) + x  x = −3 g '( x) = ⇔ f '( x) = − x ⇔  x =  x = Bảng biến thiên 9  9  N  − 3; − ÷ P  0; − ÷ Đặt M ( − 3;3) ,  2,   , A ( 1;0 ) , B ( 3;0 ) , C ( 3; − 3) , D ( 1; − 1) S MNPO Gọi  15   + ÷.3 ( + 3) = 2 = = 18 S ABCD = , 2 S1 diện tích hình phẳng giới hạn y = f '( x), y = − x , x = − x = 1 S1 = ∫ [ − f '( x ) − x ] dx = − ∫ g '( x )dx = − [ g (1) − g ( −3) ] = g ( − 3) + 43 −3 −3 2 Vì S1 < S MNPO Gọi S2 S2 = ∫ [ Vì ⇔ 43 g ( − 3) + < 18 ⇔ g (− 3) < − < 2 y = f '( x), y = − x , x = x = diện tích hình phẳng giới hạn 1 f '( x ) + x ] dx = ∫ g '( x )dx = [ g (3) − g (1) ] = g (3) + 43 21 2 S2 < S ABCD ⇔ Vậy đoạn 43 g ( − 3) + < ⇔ g (3) < − 35 < 2 [ − 3;3] phương trình g ( x) = vơ nghiệm Câu 13 [2D3-3.1-4] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số liên tục ¡ , đồ thị hàm y = f ′ ( x) y = f ( x) có đạo hàm hình vẽ Khẳng định phương án A, B, C , D A f ( ) > f ( − 1) > f ( ) B f ( ) > f ( − 1) > f ( ) C f ( ) > f ( ) > f ( − 1) D f ( − 1) > f ( ) > f ( ) đúng? Lời giải Tác giả: Phi Trường; Fb: Đỗ Phi Trường Chọn B Gọi S1 , S diện tích phần giới hạn hình vẽ Ta có: S1 = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( ) − f ( − 1) > ⇒ f ( ) > f ( − 1) −1 0 S2 = − ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( ) − f ( ) > ⇒ f ( ) > f ( ) Mà Vậy S1 < S2 ⇒ f ( ) − f ( − 1) < f ( ) − f ( ) ⇒ f ( − 1) > f ( ) f ( ) > f ( − 1) > f ( ) Câu 14 [2D3-3.1-4] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Bắc-Ninh-2019) Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục hình vẽ Khẳng định phương án (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3- ¡ A, B, C , D , đồ thị hàm y = f ′ ( x) đúng? A f ( ) > f ( − 1) > f ( ) B f ( ) > f ( − 1) > f ( ) C f ( ) > f ( ) > f ( − 1) D f ( − 1) > f ( ) > f ( ) Lời giải Tác giả: Phi Trường; Fb: Đỗ Phi Trường Chọn B Gọi S1 , S diện tích phần giới hạn hình vẽ Ta có: S1 = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( ) − f ( − 1) > ⇒ f ( ) > f ( − 1) −1 0 S2 = − ∫ f ′ ( x ) dx = ∫ f ′ ( x ) dx = f ( ) − f ( ) > ⇒ f ( ) > f ( ) Mà Vậy S1 < S2 ⇒ f ( ) − f ( − 1) < f ( ) − f ( ) ⇒ f ( − 1) > f ( ) f ( ) > f ( − 1) > f ( ) f ( x ) = ax + bx + c Câu 15 [2D3-3.1-4] (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số ( ∆ ) : y = dx + e tiếp tuyến ( C ) điểm phân biệt M , N (M , N ≠ A) 28 (∫ dx + e − f ( x) ) dx = Tích phân A điểm A có hồnh độ ( C ) Gọi x = − Biết ∆ cắt ( C ) hai có hồnh độ có đồ thị x = 0; x = Cho biết ∫ ( f ( x) − dx − e ) dx bằng: −1 B C D Lời giải Tác giả: Lê Phương Anh ; Fb: Anh Phương Lê Phản biện: Nguyễn Hạnh; Fb: Hạnh Nguyễn Chọn D ( ∆ ) : y = dx + e tiếp tuyến ( C) điểm A có hồnh độ x = −1 nên phương trình f ( x) − dx − e = có nghiệm kép x1,2 = − ∆ cắt ( C) hai điểm phân biệt phương trình M , N ( M , N ≠ A) có hoành độ f ( x) − dx − e = có thêm nghiệm x3 = 0; x4 = x = 0; x = nên Do f ( x) − dx − e = a( x + 1)2 x( x − 2) − 28 28 ∫0 (dx + e − f ( x)) dx = ⇔ ∫0 a( x + 1) x( x − 2)dx = ⇔ a = Ta có: 28 ∫ ( x + 1) x( x − 2)dx 0 f ( x) − dx − e = ( x + 1) x( x − 2) ⇒ ∫ ( f ( x) − dx − e)dx = ∫ ( x + 1) x( x − 2)dx = Vậy −1 −1 =  ... BBT Gọi S1 diện tích hình phẳng giới hạn y = f '' ( x ) ; y = 0; x = 0; x = Gọi S2 diện tích hình phẳng giới hạn y = f '' ( x ) ; y = 0; x = 2; x = Gọi S3 diện tích hình phẳng giới hạn y = f ''... vào phần tơ đậm (như hình vẽ) Biết phần tơ đậm diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị a, b, c, d , e∈ ¡ y = f ( x ) = ax3 + bx + cx − y = g x = dx + ex + ( ) Biết hai đồ thị cắt điểm có hồnh... Vậy diện tích hình phẳng giới hạn hai hàm cho có diện tích lớn Câu [2D3-3.1-4] (Hùng Vương Bình Phước) Cho hàm số y = f ( x) a = có đạo hàm f ′ ( x) liên tục x2 g ( x) = f ( x) − [ − 2;1] Hình