1 giới hạn hữu hạn – giới hạn vô cực của dãy số

BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN HỮU HẠN – GIỚI HẠN VÔ CỰC CỦA DÃY SỐ CHUN ĐỀ: GIỚI HẠN "Cácthầytốncóthểlàm video vềtốn 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ" MƠN TỐN: LỚP 11 họcsinhcógửinguyệnvọngđến page THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM VÀ CÁC VÍ DỤ I Giới hạn hữu hạn dãy số Định nghĩa  lim un   un   , với   bé tùy ý, kể từ số hạng trở n   lim un   lim un  n  n  n  n   lim un  a  lim  un  a   Dãy số có giới hạn số thực gọi dãy số có giới hạn hữu hạn, có tồn Ví dụ 1: Xét dãy số  un  với un  Lấy ví dụ chứng minh rằng: lim un  n  n Giải: *) Ví dụ chọn   0,01 un  1   0, 01  n  100 n n 100 Như nghĩa un  0, 01 kể từ số hạng thứ 101 trở Vậy lim un  n  dpcm  *) Phương pháp tổng quát:   nhỏ tùy ý, ta có: un  1  n n Để un   ta cần chọn n cho 1   n n  Vậy chọn số nguyên dương n0 thỏa mãn n0  Vậy lim un  n  1  ta có un   n  n0 dpcm  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ 2: Xét dãy số  un  với un  1  n Lấy ví dụ chứng minh rằng: lim un  n2 n  Giải: Ví dụ chọn   0,0001 un   1 n n  1  0, 0001  n thỏa mãn n2  10000 hay n  100 n 10000 Như nghĩa un  0, 0001 kể từ số hạng thứ 101 trở Vậy lim un   dpcm  n  Ví dụ 3: a) Xét dãy số  un  với un  2n  Chứng minh rằng: lim un  n  n b) Xét dãy số   với  n Chứng minh rằng: lim  n  n 1 Giải:  2n      lim  a) Ta có: lim  un    lim  n  n  n  n  n  Vậy lim un   dpcm  n  b) Ta có:  n n   n  n 1 n n *  n n Mà lim Vậy lim   dpcm  n  Giới hạn đặc biệt 1  ; lim  ; lim  n  n  n n n  lim k   k  *  n  n  lim q n   q  1  lim n  n   lim c  c  c  const  n  Chú ý: Ta viết lim un  a tự hiểu n   Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Ví dụ 4: Tìm giới hạn sau: n 1 a) lim n  n n   3  n 4n 2n2  3n  b) lim n  n2 c) lim n d) lim n  n n n Giải: a) lim n  n 1  1  lim 1    lim  lim    n  n  n  n n  n Sử dụng máy tính cầm tay: Dùng CALC: 2n2  3n  1   lim     n  n  n n n   b) lim 1  lim   3.0   n n n n  lim  lim n n n n  2n  3n  2n   3 1  3  c) lim  lim  n  n   lim    lim      n  n   4n  n   n    d) lim n  3n n n n  lim     lim n  n n  n  n  n  lim n   00  n Định lý giới hạn hữu hạn a) Nếu lim un  a, lim  b thì:  lim  un    a  b  lim  un   ab  lim  k un   ka  k  const  u  a  lim  n     b b  0 Chú ý: Không áp dụng định lý gặp dãy tổng vô hạn giá trị a, b  b) Nếu lim un  a thì:  lim un  a  lim un  a  Nếu un  n a  ; lim un  a Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! c) Nếu un  n lim  lim un  d) Định lý kẹp (mở rộng) Nếu wn  un  n lim wn  lim  a lim un  a Ví dụ 5: Tìm giới hạn sau: a) lim 2n  n2 b) lim 3n  2 n  2n  c) lim 2n2  3n  n3 d) lim 3n  4n 2.3n  4n Giải: a) I1  lim 2n  n2 Chia tử mẫu cho n : 2 2n  n   1.0   I1  lim  lim  2.0 n2 1 n b) I  lim 3n  n  2n  Chia tử mẫu cho n :  3n  n n  3.0  2.0   I  lim  lim n  2n     2.0  3.0 n n c) I3  lim 2n2  3n  n3 Cách trình bày 1: A A  B B2  B  0 Chia tử mẫu cho n : 2n  3n  2n  3n  2n  3n  n2 n I  lim  lim  lim n3 n3 1 n n 2  n n   3.0  4.0    lim  3.0 1 n Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Cách trình bày 2: A2  A  A   Đặt n với số mũ cao tử mẫu làm thừa số chung 4  n2     n   n n  2n  3n   n n I  lim  lim  lim n3 n3  3 n 1    n 2  n n   3.0  4.0    lim  3.0 1 n d) I  lim 3n  4n 2.3n  4n Chia tử mẫu cho n : n 3 3n 4n  n   1 n n n 4 1 4 I  lim n  lim    n   1 n n n 2.3  2.0    n  n    4 4 Ví dụ 6: Tìm giới hạn sau: a) lim 27n  n n4  n  1 1  2n  b) lim c) lim n5 4 2 n n  1 3n    3 6n   d) lim 4n  n   n n  2n  n Giải: a) lim 27n  n  lim 27   27   n n  n  1 1  2n  b) lim n5  1  lim 1    n  n  1 1  2n   lim n2 n3  n 1   lim    n    2n     n  3 3 1      1       12  2    8   n  Sử dụng máy tính cầm tay: Dùng CALC: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! c) lim 4 2  1 3n   n  3 6n   n Chia tử mẫu cho 12 n : 4n  3n    13  2  lim 4n 3n  lim lim 2n  6n   2n  3 6n  2 n 2n n d) lim n  2  1  n 1  n       2  1  n 1  n     1  1    1  1   4n  n   n n  2n  n Đặt n xong đưa căn: 1   1 n2      n n    n n n 4n  n   n   n n lim  lim  lim 2 n  2n  n  2 n   n n 1    n n  n 1   1   1 1 n n  lim     2.0  1  1 1 n Ví dụ 7: Tìm giới hạn sau: sin n a) lim n b)  1 lim n 3sin n  4cos n c) lim n2 cos n n 1 n d) lim n 1 sin Giải: a) lim Ta có: sin n n sin n  n  n n * lim sin n   lim 0 n n Sử dụng máy tính cầm tay: b)  1 lim n cos n n 1 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  1 n cos n  n  n 1 n 1 Ta có: *  1  lim lim 0 n 1 n cos n  n2  Sử dụng máy tính cầm tay: c) lim 3sin n  4cos n n2 Ta có: 3sin n  cos n  n  n n  lim 3sin n  4cos n  n2 * lim 0 n2 Sử dụng máy tính cầm tay: Cách trình bày thứ 2: Ta có:   lim 3sin n  4cos n   n  n2 n2 n * lim 5  lim  n n 3sin n  4cos n  (Định lý kẹp) n2 n d) lim n 1 sin n n  Ta có: n  n 1 1 sin * n sin   lim n  lim n 1 1 Sử dụng máy tính cầm tay: Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! II Giới hạn vô cực dãy số Định nghĩa  lim un    un  M , với M  lớn tùy ý, kể từ số hạng trở n   lim un    lim  un    n  n  Các dãy số có giới hạn   gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vô cực Giới hạn đặc biệt lim n   n  lim n k    k  * n  lim q n   n    q  1 lim n   ; lim n   n  n  Định lý quy tắc tìm giới hạn vơ cực a) Nếu lim un   lim 0 un b) Nếu lim un  a lim   lim un 0 c) Nếu lim un   lim   lim un   d) Nếu lim un  a  a   lim   lim un    a   hay   a   e) Nếu lim un  a  a   lim  lim un    a.vn   hay   a.vn   Các dạng vô định Từ định lý giới hạn học, ta tổng kết kinh nghiệm sau (rất quan trọng): hang so hang so   ; 0;  ? ;  ?    hang so    ; 0.  ?       ; .   ;     ?  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  ; ;    ; 0. ta áp dụng định lỹ  giới hạn hữu hạn mà cần phải khử dạng vơ định trước phương pháp thích hợp sau áp dụng quy tắc tính giới hạn Khi tính giới hạn gặp dạng vơ định sau Việc tính giới hạn phụ thuộc quan trọng dạng vơ định, định phương pháp khơng phụ thuộc hình thức dạng dãy số Ví dụ 8: Tìm giới hạn sau: 2n10  n5  a) lim 10 5n  3n4  n3 b) lim n  2n   n3  n  c) lim 2n2  2n4  n  d) lim  2n Giải: 1   10 2n10  n5  n n  200  a) lim 10  lim 4 5n  3n    10  3.0  4.0 n n Sử dụng máy tính cầm tay:  n3 n n   3.0  b) lim  lim n  2n     2.0  4.0 n n Sử dụng máy tính cầm tay: c) L  lim  n3  n  2n  Cách 1: Chia tử mẫu cho n : L  lim  n n2 2 n n  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!   1  lim  n  n  n       Vì:   L   lim         n2  Cách 2: Chia tử mẫu cho n3 : L  lim  n n3   vì:  n n3 1  2  2  lim  1     1  ; lim       n n n  n n  n n  d) L  lim 2n4  n   2n2 2n   n n   Cách 1: Chia tử mẫu cho n : L  lim 2 n2     Vì: lim  2n      ; lim     2  n n   n  Cách 2: Chia tử mẫu cho n : L  lim  n3 n    n4 n2 2    5 lim  2  n3  n   2    Vì:  lim     ;   n   n n  n4 n2 Ví dụ 9: Tìm giới hạn sau: a) lim  2n3  n   b) lim  n  5n   c) lim 4n  5n3  7n d) lim  8n3  n  n2  n   Giải:    a) lim  2n3  n    lim  n3        vì: n n    4  lim n3   ; lim       n n   10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Sử dụng máy tính cầm tay:    b) lim  n  5n    lim  n  1       vì: n n    2  lim n   ; lim  1     1 n n   Sử dụng máy tính cầm tay: 7  c) lim 4n  5n3  7n  lim n      lim n     n n  n n  Vì: lim n2   ; lim   20 n n3 Sử dụng máy tính cầm tay: d) lim   1    8n3  n  n2  n   lim  n3     n2 1     n    n n        1 2 1  lim  n   n     lim  n      n n n  n n n    Vì: lim n   ; lim          8n3  n  n2  n    Ví dụ 10: Tìm giới hạn sau: a) lim c) lim 11  n2  2n  n  n 1 n  n 1 b) lim  d) lim  n2  n   n  n3  3n2  n   Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! Giải:  a) lim  n  2n  n   lim n  2n  n n  2n  n  lim n  2n  n n  2n  n  n  2n  n 2n  lim  n  2n  n 2  1 1 1 1 1 n  lim Sử dụng máy tính cầm tay: b) lim  n  n   n 1 n2   lim n2  n   n   n  lim  n     n  1 n2  n   n   lim n n 1 1    n n n n2   Sử dụng máy tính cầm tay: c) lim  lim n   n2  n   lim n   n2  n   n  1   n2  n  1 n   n2  n  1 1  lim 1     3n 3 n n n    1  1   Sử dụng máy tính cầm tay: d) lim   n3  3n2  n  lim 12  n3  3n2  n3 n3  3n2   n n3  3n2  n2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  lim  3n n3  3n   n  lim n3  3n  n  3  1   1 1 n n   1 111 Sử dụng máy tính cầm tay: B BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Biết dãy số  un  thỏa mãn: un   Bài 2: Cho dãy số  un  với un  n Chứng minh rằng: lim un  n  n3 n2 Chứng minh rằng: lim un  n  n 1 Bài 3: Tìm giới hạn sau: a) lim  2n 3n b) lim  n   n  4n n  n2 c) lim  n d) lim 4n n2  n n2 Bài 4: Tìm giới hạn sau: a) lim 2n  n  n   n  4n3 b) lim  n   1  2n  c) lim  2n     n  d) lim 2n  n  2n  4 n4  n   2n  1 1  2n  Bài 5: Tìm giới hạn sau: a) lim 3n2  n  1  2n b) lim 3n2   n 2n  c) lim n   4n  n  4n  n   n d) lim 3 3n  n  n  2n Bài 6: Tìm giới hạn sau: 3n  a) lim n 2.3  4n 3n  2.5n b) lim n n1 5 3 c) lim 2 n2 2n  1 23n    1 n 1  1 d) lim 2n  n.3n Bài 7: Tìm giới hạn sau: a) lim cos 2n n 1 b) lim  1 n n 4 c) lim sin n  cos n  2n   n  sin     d) lim 3n Bài 8: Tìm giới hạn sau: 13 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  2n5  5n 3n2  n  c) lim a) lim  4n5  n3   b) lim 1  3n  n  c) lim a) lim 2n10  n5   2n3  n5 b) lim 2n  5n 4n  3n d) lim n  n   2n n  n2  Bài 9: Tìm giới hạn sau:  e) lim  d) lim  n3  n6 4n4  5n3   2n2  n3  2n  4n2  n   Bài 10: Tìm giới hạn sau: a) lim c) lim 14   n2  3n  n  1 n   n 1 2 b) lim  d) lim   n 1  n n 8n3  n  2n  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! ... http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất! II Giới hạn vô cực dãy số Định nghĩa  lim un    un  M , với M  lớn tùy ý, kể từ số hạng trở n   lim un...   lim un    lim  un    n  n  Các dãy số có giới hạn   gọi chung dãy số có giới hạn vơ cực hay dần đến vô cực Giới hạn đặc biệt lim n   n  lim n k    k  * n... trang http://tuyensinh247.com để học Tốn – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử Địa – GDCD tốt nhất!  ; ;    ; 0. ta khơng thể áp dụng định lỹ  giới hạn hữu hạn mà cần phải khử dạng vơ định trước