5 giới hạn dãy số nâng cao tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH 1.. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN I.. PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH... Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số + Cách

Trang 1

A GIỚI HẠN DÃY SỐ CHỨA TỔNG ĐẶC BIỆT

I PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH

1 Phương pháp làm bài

L S  u u  u

+ Nhận ra S n là tổng của n số hạng trong dãy số  u n cho bởi SHTQ u n

+ Do n  nên S n không là một tổng hữu hạn các số hạng Ta không thể tách giới hạn đề bài thành tổng nhiều giới hạn nhỏ được

* Ta biến đổi tính tổng trước bằng cách

a Phương pháp áp dụng CSN, CSN

Nắm vững tính chất CSC, CSN đã học:

1

n n

CSN: 1.1

1

n n

q

S u

q





 Đặc biệt nếu q 1 Ta có CSN lùi vô hạn: n 1 1

u S

q





b Phương pháp sai phân – thu gọn

Các công thức đối với dãy số quen thuộc

 1 1 1 11

n n  n n

Tổng quát:

n b n a

n a n b b a n a n b b a n a n b

BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ NÂNG CAO – TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN MÔN TOÁN LỚP 11 THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

Trang 2

 

2

1

1 2 3

2 1

6 1

2

n n n



    



c Phương pháp sử dụng định lí kẹp

Cho 3 dãy số      u n , v n , w n

Nếu



2 Kinh nghiệm giải nhanh

Sử dụng máy tính cầm tay

Chức năng tính tổng SHIFT LOG 

Ta cho n100, CALC cho X 100 hoặc 1000 nhưng sẽ phải chờ hơi lâu: 100 

1

x





II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 1: Tính giới hạn:  

2

1 3 5 2 1

L

n

    

Hướng dẫn giải

+ Nhận ra tử là tổng n số hạng đầu của 1 CSC  u n với u1 1,d 2, u n2n1

1 2 1 2

2

n

n n

2 2

1

n

L

n



Trang 3

Bài 2: Tính giới hạn: L lim 12 22 n2

L

  

     

Nhận ra tử là tổng của n số hạng đầu của 1 CSC  : 1 

2

n n

2

L

Bài 3: Tính giới hạn:

2 2

1 2 2 2 lim

1 3 3 3

n n

L    

   

+ Nhận ra tử và mẫu là tổng n1 số hạng đầu của CSN:

1

1 1 2

1 2

4.0 2.0

3 0 1

3

n

n T

M

n

S

L





    

   



 

   

L

n n



Trang 4

     

1

L

n n

L

n

 



   



L

2 1 21 1 12 22 11 2   2 11  12 2 1 1 2 1 1

L

n

    



2

1 2

lim

1

n L

n n

  





Ta có: 2 2 2  1 2 1

1 2

6

L

Trang 5

Bài 7: Tính giới hạn: lim 1 12 1 12 1 12

L

n

        

lim

n n L

n n n

L

n



Sử dụng ALPHA LOG

Bài 8: Tính limu n với:  *

n

Với mọi *

n ta có:

1

n

 

Lại có

1

Do đó theo định lí kẹp, ta có limu n 1

B TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Trang 6

Cho  u n là một CSN có công bội q với q 1 gọi là CSN lùi vô hạn Gọi S n là tổng n số hạng đầu của CSN,

1 2

1

u

q



a Sử dụng máy tính cầm tay tính tổng

Chức năng tính tổng SHIFT LOG 

Ta cho n100 hoặc 1000 nhưng sẽ phải chờ hơi lâu: 100 

1

x





b Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số

+ Cách 1: Ta tách số cần biểu diễn dưới dạng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

+ Cách 2: Ta nhập số đó vào máy tính và kéo dài phần chu kì tuần hoàn rồi ấn bằng

II BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài 9: Tính các tổng sau:

a) 1 12 1

1

n

S



 

       

2 2

S     

a) 1 12 1

S    

Xét dãy số  u n : 1, 12 , , 1

3 3 3n … là 1 CSN có 1

,

u  q

3

q   nên dãy số này là CSN lùi vô hạn Do đó: 2

1

1 3

n

S       



b)

1

n

S



 

       

 

Trang 7

Xét dãy số  u n :

1

1, , , ,

n

 

  … là 1 CSN có 1

1 1,

2

u  q 

2

q   nên dãy số này là CSN lùi vô hạn Do đó:

1

1 2

n

S



2 2

S     

Xét dãy số  u n : 2, 2, 1, 1 , 1

2 2

2

u  q 

2

q   nên dãy số này là CSN lùi vô hạn Do đó: 2 2 1 1 1 2 4 2 2

2

1 2



Bài 10: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số

a) 0, 777 b) 2,131313

a) Ta có: 0, 777 7 72 73

10 10 10

Đây là tổng của một CSN lùi vô hạn với 1 7 , 1

u  q

Do đó:

7 7 10

0, 777

1 10



a) Ta có: 2,131313 2 13 132 133

100 100 100

Trang 8

Ta thấy 13 132 133

S      là tổng của một CSN lùi vô hạn với 1 13 , 1

u  q

Do đó:

13

13 211 100

1 100



Bài 11: Tính giới hạn

2 2

n n

L



     với a 1, b 1

Khi n  cả tử và mẫu đều là CSN lùi vô hạn

1

1 1

lim

1

b a

L

a b



Bài 12: Trong hình vuông cạnh a, người ta nối các trung điểm 4 cạnh với nhau và được hình vuông thứ hai,

tiếp tục làm như thế ta được hình vuông thứ 3,… Tính giới hạn của tổng các diện tích của các hình vuông tạo thành

Ta gọi a n và u n lần lượt là cạnh và diện tích hình vuông thứ n được tạo thành

Khi đó:

1

n n

a



 

 

 2 2 1 1

2

n



 

 

Trang 9

 u n

 là một CSN có 2

1

1 , 2

u a q

Do đó S là tổng của tất cả các hình vuông tạo thành thì

2

2 1

1 1

1 2

q

Bài 13: Giải phương trình 1 2 7  

2

n

x     

Vì x 1 nên S  x x2  x n là tổng của một CSN lùi vô hạn

1

x

S

x

 



 

2

0

1 3

2 3

x

 

 



 



Vậy tập nghiệm 1 2;

3 3

x  

 

C GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI

+ Từ công thức truy hồi đề cho, tìm công thức SHTQ u n, từ đó tìm được limu n

+ Để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn, ta cần chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị

chặn dưới Sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn

+ Chú ý quan trọng:

Nếu limu n a thì limu n1limu n2 a

a Sử dụng phương pháp quy nạp để dự đoán và chứng minh công thức SHTQ

b Sử dụng các phương pháp tìm nhanh công thức SHTQ đã học trong bài dãy số

Trang 10

Bài 14: Cho dãy số  u n xác định bởi

1 1

2

u

 





 Biết  u n có giới hạn khi n , hãy tìm giới hạn đó

Bằng quy nạp ta dễ dàng chứng minh được *

2

n

u   n nên  u n bị chặn trên Đồng thời dãy tăng nên  u n

có giới hạn

Đặt lim u n  a limu n1a

Ta có

1

2

1

2 0

2

a

a a

a

 



      



Vì u n 0 nên lim u n  a 0

Vậy lim u n 2

Bài 15: Cho dãy số  u n xác định bởi

1

1 2 1

1 2

n

u



 









Tìm limu n

Bằng quy nạp ta chứng minh được u n   1 n * nên  u n bị chặn trên Đồng thời dãy số tăng nên  u n có giới hạn

Cách 1: Đặt limu n  a limu n1 a

Ta có: lim 1 lim 1

2

n

u

 



 2

2 1

1

a





Vậy lim u n 1

Cách 2:

Trang 11

Ta có 1 1, 2 2, 3 3, 4 4

u  u  u  u 

Ta dự đoán

1

n

n u

n





Ta dễ dàng chứng minh được công thức trên đúng *

n

  nhờ phương pháp quy nạp đã học

1

n

n u

n



BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1: Tính giới hạn 2

lim

1

n L

n

   



A 1

8

2

4

L

2 2

1

1 lim

4

n n n

n

n n

L

n



        



Chọn D

Câu 2: Tính giới hạn lim2 4 6 22

n L

n

   



A L0 B 1

3

L D L1

2

2 2

2 1 lim

n n

L

n



Chọn B

Câu 3: Tính giới hạn

L

n n



Trang 12

A 11

18

2

L

Chọn A

Câu 4: Tính giới hạn

2 2

1 2

lim

n L

n n

  





A L1 B 1

2

8

4

L

2

2 2

1

1 2

2

lim

8

n n n

n n

L

n n



Chọn C

Câu 5: Cho dãy số  u n xác định bởi 1 2, 1 1, 1

2

n n

u

   Tính Llimu n

A L1 B L0 C L2 D L 

1

1 2

L

L   L

Chọn A

Câu 6: Cho dãy số  u n xác định bởi 1 1, 1 2 3, 1

2

n n

n

u



 Tính Llimu n

A L 3 B L  3 C L  3 D L2

Trang 13

2 3

3 2

a



Do u n   0 n limu n  3

Chọn A

Câu 7: Tính tổng 9 3 1 1 13

S        

A 27

2

S  B S 14 C S 16 D S 15

Đây là tổng của CSN lùi vô hạn 1 9, 1

3

u  q

1

3

S

Chọn A

Câu 8: Tính tổng 2 2 2 2 21

S        

A S 2 1 B S 2 C S 2 2 D 1

2

S 

2

u  q

2

2 2 1

1

2

S



Chọn C

Hoặc

1

2

n

S



Trang 14

Câu 9: Tính tổng 1 1 1

2 6 18

S    

A 3

4

3

8

S 

u  q 

1

3 2

1

3

S



Chọn D

Câu 10: Tính tổng 1 1 1 1 1 1

S         

A S 1 B 2

3

4

2

S 

1

3

S

           

Chọn D

Câu 11: Tính tổng S  1 cos2xcos4x  cos2n x với cosx 1

A S sin2x B S cos2x C 12

sin

S

x

cos

S

x

S

Chọn C

Trang 15

Câu 12: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản a

b Tính tổng T  a b

A T 17 B T 68 C T133 D T137

1

10

n



Chọn B

Câu 13: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,17232323… được biểu diễn bởi phân số tối giản a

b Khẳng định nào

đúng?

A a b 215 B a b 214 C a b 213 D a b 212

4

23

854 10

1 100

a b



Chọn D

D BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Tính giới hạn của  u n với:

1 3 5 7 2 1

2 5 8 11 3 1

n

n u

n

     



2020 2015 2010

n

u

n n



c)

1

1 2 4 8 2

2.3 1

n

u



    



1

n

u



 

      



 

     

 

Trang 16

a) 1 2 3 2

1

n

u

n n

   



n

n u



4

n

n n u

n

u

n

u

1

n

k

u

k k



 

 b)

1

1 2

n n k

u

k k





1

n n k

u

k







d)

1

4 5

n k

n n

k

u



1

n n k

u

k k k k



Bài 4: Cho dãy số  u n xác định bởi hệ thức dưới đây Tìm limu n

1

n

u



1

4 3

n

u



Bài 5: Tính tổng

S     

c) S    8 4 2 24n  d) 2 1 1 1

2

Bài 6: Rút gọn các tổng sau:

b) S 1 tantan2tan3 với 0

4





 

6

n n

x x  x x    x   với x 1

Trang 17

Bài 7: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân:

a) Biết tổng bằng 3 và công bội 2

3

q b) Biết tổng bằng 32 và công bội u2 8

c) Biết tổng bằng 5

3 và tổng 3 số hạng đầu tiên là

39

25

Bài 8: Hãy biểu diễn các số thập phân bô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số:

Định dạng
Số trang	17
Dung lượng	720,32 KB