5 giới hạn dãy số nâng cao tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

A GIỚI HẠN DÃY SỐ CHỨA TỔNG ĐẶC BIỆT I PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH 1 Phương pháp làm bài

L S  u u  u

+ Nhận ra Sn là tổng của n số hạng trong dãy số  un cho bởi SHTQ un

+ Do n  nên Sn không là một tổng hữu hạn các số hạng Ta không thể tách giới hạn đề bài thành tổng nhiều giới hạn nhỏ được

* Ta biến đổi tính tổng trước bằng cách

CSN: 1.11

 Đặc biệt nếu q 1 Ta có CSN lùi vô hạn: n 1 1



b Phương pháp sai phân – thu gọn

Các công thức đối với dãy số quen thuộc  1 1 1 11

n nn

n nn

    

Chức năng tính tổng SHIFT LOG 

Ta cho n100, CALC cho X 100 hoặc 1000 nhưng sẽ phải chờ hơi lâu: 100 1



Bài 2: Tính giới hạn: L lim 12 22 n2

1 2 2 2lim

1 3 3 3

L       

nT

Hướng dẫn giải

n n

  



Hướng dẫn giải

Ta có: 222  1 2 11 2

Bài 7: Tính giới hạn: lim 1 12 1 12 1 12

B TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

I PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH

Chức năng tính tổng SHIFT LOG 

Ta cho n100 hoặc 1000 nhưng sẽ phải chờ hơi lâu: 100 1

b Biểu diễn số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số

+ Cách 1: Ta tách số cần biểu diễn dưới dạng tổng của cấp số nhân lùi vô hạn + Cách 2: Ta nhập số đó vào máy tính và kéo dài phần chu kì tuần hoàn rồi ấn bằng

II BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 9: Tính các tổng sau:

S       

 

S     

Xét dãy số  un : 2, 2, 1, 1 , 122

a) Ta có: 2,131313 2 13 132 133 100 100 100

Bài 12: Trong hình vuông cạnh a, người ta nối các trung điểm 4 cạnh với nhau và được hình vuông thứ hai,

tiếp tục làm như thế ta được hình vuông thứ 3,… Tính giới hạn của tổng các diện tích của các hình vuông tạo thành

 un

 là một CSN có 21

 

 2

 Vậy tập nghiệm 1 2;

3 3

x   

C GIỚI HẠN DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI I PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH 1 Phương pháp làm bài

+ Từ công thức truy hồi đề cho, tìm công thức SHTQ un, từ đó tìm được limun

+ Để chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn, ta cần chứng minh dãy số tăng và bị chặn trên hoặc giảm và bị

chặn dưới Sau đó dựa vào hệ thức truy hồi để tìm giới hạn

+ Chú ý quan trọng:

Nếu limun a thì limun1limun2 a

2 Kinh nghiệm giải nhanh

a Sử dụng phương pháp quy nạp để dự đoán và chứng minh công thức SHTQ b Sử dụng các phương pháp tìm nhanh công thức SHTQ đã học trong bài dãy số

Bài 14: Cho dãy số  un xác định bởi

12 0

       

Vì un 0 nên lim un  a 0 Vậy lim un 2

Bài 15: Cho dãy số  un xác định bởi

Vậy lim un 1 Cách 2:



Ta dễ dàng chứng minh được công thức trên đúng *

   

n nn

        

   

2 2

n n

nnL

  

11 2

nnL

2 3

SS

Câu 9: Tính tổng 1 1 1 2 6 18

13

Câu 12: Số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,5111… được biểu diễn bởi phân số tối giản a

     

       

Bài 2: Tính giới hạn của  un với:

a) 1 2 3 21

nknn

Bài 7: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân:

a) Biết tổng bằng 3 và công bội 23

q b) Biết tổng bằng 32 và công bội u2 8 c) Biết tổng bằng 5

3 và tổng 3 số hạng đầu tiên là

3925

Bài 8: Hãy biểu diễn các số thập phân bô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: