3 giới hạn dãy số dạng chứa căn thức

BÀI GIẢNG: GIỚI HẠN DÃY SỐ DẠNG CHỨA CĂN THỨC CHUN ĐỀ: GIỚI HẠN MƠN TỐN LỚP 11 THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM A PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH Phương pháp làm L  lim P  n , P  n  , Q  n  chứa Q  n  * Nếu giới hạn có dạng vơ định   ta chia tử mẫu cho n k với k số mũ lớn đưa vào  đặt n k với bậc cao làm thừa số chung sau đỏ đẩy A2  A , A3  A, A A   B  0 B B2 0 * Nếu giới hạn có dạng vơ định        với vơ lớn tương đương ta chuyển hướng sang 0 nhân biểu thức liên hợp A B  A3 B   A B  A B A3 B  A    A B A B A B     AB   B     A   AB   B   A 3 2 3 3 2 A B  AB   B Tương tự ta suy A B  A3 B  A B A B A B  A  AB   B * Nếu giới hạn có dạng           với vô lớn bậc không tương đương (khác hệ số) thfi ta đặt n k với bậc cao làm thừa số chung sau đảy ngồi dấu Kinh nghiệm giải nhanh Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! a Sử dụng phương pháp nhẩm nhanh vô lớn ta có: f n  u n L g  n  v  n an  u  n  a ' n  v  n n a  h n  n a '  v  n   f  n   an  bn  c VD:    g  n   a ' n  b ' n  c ' n  d '  Đưa dạng phân thức hữu tỉ học Sau nhân liên hợp xong ta tiếp tục dùng phương pháp vô lớn để tìm giới hạn nhanh chóng b Kiểm tra kết máy tính cầm tay + Ta nhập nguyên công thức dãy số lim + CALC X  1010 nhỏ + Ấn “=” đọc kết B BÀI TẬP ÁP DỤNG  Bài 1: Tìm giới hạn sau:    a) lim c) lim n  n  2n n3 b) lim n3    8n3 4n  d) lim 2n4  3n  2n  n  2n  9n   8n3  Hướng dẫn giải a) lim n  n  2n n3 Với vô lớn bậc ta làm cách Cách 1: Đặt n làm thừa số chung Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! 1  n     2n n   2n n  n L  lim  lim n3  3 n 1    n   1 n   2  2 n 22 n    lim   0   3 1 n 1   n  n 4n  2n 2n  2n   n n Phương pháp vô lớn: L Cách 2: Nhân liên hợp L  lim Vì lim n  n  4n  n  3  4n  n  2n   lim n    3  n 1   n     n  n   1  0, lim  0 n    1       n  n   2n4  3n       2n  n     b) lim 2  3 n4     2  n2   n n   n n  200  n n  lim  lim  lim 3 200 2n  n   2  n2     n n n n   Phương pháp vô lớn: L c) lim 2n 2n 2   2 2n 2n n3    8n3      4n   Với vô lớn bậc ta làm cách Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Cách 1: Đặt n3 làm thừa số chung 1  1  1 n3     n3    n 1  n 3   n  n  n n L  lim  lim 3 4n   n4   n  3 1  lim  8 1   1 n3 n    40 4 4 n Phương pháp vô lớn L n3  8n3 n  2n   4n 4n Cách 2: Nhân lượng liên hợp  4n  3  n3   n3    8n3   n3   8n3  Phương pháp vô lớn L d) lim   8n3   9n3   2 4n  n  2n  4n  4.3    9n   8n3     2n  Dưới mẫu vô lớn bậc      2n  L  lim 3 1   n3     n3    n  n    3  n2   20 n   lim   90  80  n   8  n n    lim 2  3 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! 2n Phương pháp vô lớn: L 9n  8n 3  2n  3n  2n Bài 2: Tìm giới hạn sau: a) lim n2  n  n b) lim 4n  3n  2n 2n  n  n n2  n  n Hướng dẫn giải Trên tử mẫu dãy số có dạng      với vô lớn tương đương nên phải sử dụng liên hợp cho tử mẫu n2  n  n a) lim 4n  3n  2n Nếu làm theo cách chia tử mẫu cho n nào: 1 n n n 1 n L  lim  lim   (Vô định) 22 4n  3n  2n 4 2 n 1 lim  lim  n  n  n   4n  3n  2n   lim  3n  2n  4n  3n  4n   n  n  n  n2  n  n 4n n  3n 2 4n  3n  2n  n2  n  n    lim 2 4n  3n  2n n2  n  n   n   2 n   1.4   lim    3 n    1 n   Phương pháp vô lớn: L n2  n 4n  2n  nn  dạng vô định nên cần nhân liên hợp 2n  2n 4n  3n  2n 2n  2n L   lim    3 nn 3 n2  n  n Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! 2n  n  n     n2  n  n   b) lim  lim  2n   n3  n3  n2  n  n    n 2n  n 2n  n  n  n   lim   n   n  n   n 2n  n  n    n   n  n2     2n  n 3 2 3   n2   2 3    1 2n  n     n     n    lim  32   32  n   1   n n   1  n n n        2n.n    1 n  4   lim      111 2 3  n  1   n 1  n  n  n   n  n  dạng vô định nên cần nhân liên hợp nn Phương pháp vô lớn L  n  n  n L   lim  2n  n   n 2n  n 2n L 3  n2 2n.2n  2 n n n Bài 3: Tìm giới hạn sau:      Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! a) lim n c) lim  n2   n2   b) lim    n  4n  n  d) lim 2n  9n2  n  n2  2n n 1 n  n  Hướng dẫn giải a) lim n  lim  n2   n2  n  n2   n2   n2   n2  3n  lim   lim 3n n2   n2   lim  2   n 1    n 1    n   n  3  lim 1   1 2 n n    n  1  1  n n   3n  nn Phương pháp vô lớn: L  b) lim 3n   n  4n  n  n  4n  n   lim   1  n  4n  n        4n 4n   lim   1  lim  1   4   n  4n  n   n 1      n      4n   lim   1      n   n  4n 1  1  nn Phương pháp vô lớn: L  c) lim n   n2  n  lim n   n2  n  n  1   n2  n  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!  lim n   n2  n n 1 1  lim nn    2  VCL : n   1  1 n n  11  1 1 n    d) lim 2n  9n2  n  n2  2n  lim 3n  9n2  n  n  2n  n   9n  9n  n n  2n  n    n 2n  lim    lim     2 n  2n  n  n  2n  n   3n  9n  n  3n  9n  n     1 1   lim       11    1    n n  Phương pháp vô lớn L  n 2n    1  3n  3n n  n 6 Bài 4: Tìm giới hạn sau:      a) lim  c) lim  n3  2n2  n   b) lim n2  2n  n2  8n3  n2  n   d) lim n 4n2  n  2n2  8n3   n2  4n   n3  6n2   Hướng dẫn giải a) lim  n3  2n2  n   Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!     n3  2n  n3  lim   2  n  2n  n n  2n  n        2n  lim   2  n  2n  n n  2n  n          2  lim   2     1   1 1      n n   b) lim      4n2  n  2n2  8n3     lim  4n  n  2n  2n  2n  8n3    L1 L2   4n  n  4n L1  lim 4n  n  2n  lim 4n  n  2n n 1  lim  lim   22 4n  n  2n 4 2 n    L2  lim 2n  2n  8n3  8n3  2n  8n3  lim 4n  2n 2n  8n3  2n  lim 4n  2n 2n  8n3   23   2n  8n3         n  n   L  L1  L2   2n  8n3  lim c) lim   2   2    2   1   12 n2  2n  n2  8n3  n2  n  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!  lim     lim    n  2n  n  n  8n3  4n  n  n  3n    n  2n  n  L1  L1  lim   n  8n3  2n  L2     n2  n  n   L3   n  2n  n  1  L  lim   1  12 n  n  n   2  L  L1  L2  L3  1    L2  lim d) lim n n  8n3  2n     n2  4n   n3  6n2   n  4n    n     n    n  6n     lim  n   L1  lim n  n  4n    n       3 L2  lim n  n    n  6n       L  L1  L2    Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tính giới hạn L  lim A L  3 n 1 n 8 B L  C L  D L   Hướng dẫn giải Phương pháp nhẩm nhanh VCL: L   1 Chọn B Câu 2: Tính giới hạn L  lim A L   9n  n  4n  B L  C L  D L   Hướng dẫn giải 10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Phương pháp nhẩm nhanh VCL: L 3n  4n Chọn B Câu 3: Tính giới hạn L  lim  n  2n  3n  B L  A L  C L   3 D L  3 Hướng dẫn giải Phương pháp nhẩm nhanh VCL: L n  3n Chọn C Câu 4: Tính giới hạn L  lim A L   2n  1 2n  C L  1 B Không tồn D L  Hướng dẫn giải Phương pháp nhẩm nhanh VCL: 2n    n  Không thỏa mãn điều kiện n    Không tồn giới hạn Chọn B Câu 5: Tính giới hạn L  lim A L  n 1  n 1  n B L  1 C L  D L  Hướng dẫn giải Phương pháp nhẩm nhanh VCL: L n   n n Chọn D 11 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Câu 6: Tính giới hạn L  lim A L   n  2n n  3n  B L   D L   C L  1 Hướng dẫn giải Phương pháp nhẩm nhanh VCL: L n n  3n  1  1 Chọn D Câu 7: Tính giới hạn L  lim A L   n  n   n  2n   2n   C L   B L  D L   Hướng dẫn giải Phương pháp nhẩm nhanh VCL: L n  4n  4n Chọn A Câu 8: Biết kết giới hạn sau có dạng: L  lim n  2n  2n  n  n  ab  a, b   Tính giá trị biểu thức S  a  b2 A S  B S  25 C S  13 D S  17 Hướng dẫn giải Phương pháp nhẩm nhanh VCL: L n  2n    3 2 2n  1  a  3, b   S  13 Chọn C Câu 9: Cho giới hạn L  lim an  n  4n  n  n Tìm tất giá trị a nguyên thuộc đoạn  2020;2020  để L hữu hạn L  A 2019 12 B 2020 C 2021 D 4040 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Hướng dẫn giải Phương pháp nhẩm nhanh VCL: L n3 a 3a 2n  n L  0 a  0 a  Theo yêu cầu toán: a   2020; 2020 , a   a  1; 2; ; 2020 Vậy có 2020 giá trị Chọn B Câu 10: Tính giới hạn L  lim   n   n 1 B L  A L  C L  D L   Hướng dẫn giải Phương pháp liên hợp – VCL: L  n   n 1 n   n 1 n 0 Chọn A Câu 11: Tính giới hạn L  lim A L     n2  n 1  n C L  B L  D L   Hướng dẫn giải Phương pháp liên hợp – VCL: L  n2  n   n2 n  2n n  n 1  n Chọn A Câu 12: Tính giới hạn L  lim A L     n2   3n2  B L  C L   D L   Hướng dẫn giải 13 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Phương pháp VCL: L  n  3n  1  n   Chọn C Câu 13: Tính giới hạn L  lim A L    n2  2n  n2  2n D L   C L  2 B L  Hướng dẫn giải n  2n  n  2n Phương pháp LH - VCL: L  n  2n  n  2n 2 4n 2 2n Chọn A Câu 14: Tính giới hạn L  lim A L  1   n n 1  n  D L   C L  B L  Hướng dẫn giải n  n   n  1 Phương pháp LH - VCL: L  n   n 1 n 1 n Chọn C Câu 15: Tính giới hạn L  lim   n3   n3  D L   C L   B L  A L  Hướng dẫn giải Phương pháp LH - VCL: L   n3   n3  2 n3   n3  n3    n3   1  0 2 n n n 3n Chọn B Câu 16: Có giá trị a để L  ? L  lim 14  n2  a n  n2   a   n   Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! C B A D Hướng dẫn giải Phương pháp LH - VCL: n2  a n  n2   a   n  L  lim  n2  a n  n2   a   n  a  a  2 n 1 a n2  a n  n2   a   n   a  2 n 2n a2  a    a  1 Để L   a  a     a  Chọn C Câu 17: Cho giới hạn L  lim   n2  8n  n  a Có giá trị nguyên a để L  ? B A C D Vô số Hướng dẫn giải Phương pháp LH - VCL: L  lim n  8n  n n  8n  n  a2 8n  a2  a2  2n Để L   a    a  2 Chọn C Câu 18: Cho giới hạn L  lim A a    n2  an   n2  Tìm a để L  1 ? B a  C a  2 D a  3 Hướng dẫn giải Phương pháp LH - VCL: L  lim 15 n  an   n  n  an   n  2 an a  2n Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Để L  1  a  1  a  2 Chọn C C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tính giới hạn sau: a) lim 9n2  2n  3n 4n  b) lim n6  5n   2n c) lim n  n  4n  n 2n2  3n  d) lim n  n    2n  n  2n Bài 2: Tính giới hạn sau: a) lim 2n  4n  n n  n3  n c) lim n2  n  n2  n b) lim n  n3  n d) lim 3n  n3  n 4n  n  2n n2   n4  n 2n  4n  Bài 3: Tính giới hạn sau: a) lim  2n   n  c) lim  n  4n  n     b) lim n  d) lim  4n2  n  n2  4n  4n b) lim  n2  2n   n2  n3 n2  n   n2  n   Bài 4: Tính giới hạn sau:  a) lim 3n  n2  27n3   c) lim n2  n  n2  n3  4n2  2n 16  d) lim n    n2  2n   n2  4n   Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! ...  Đưa dạng phân thức hữu tỉ học Sau nhân liên hợp xong ta tiếp tục dùng phương pháp vô lớn để tìm giới hạn nhanh chóng b Kiểm tra kết máy tính cầm tay + Ta nhập nguyên công thức dãy số lim +... lớn: L 9n  8n 3  2n  3n  2n Bài 2: Tìm giới hạn sau: a) lim n2  n  n b) lim 4n  3n  2n 2n  n  n n2  n  n Hướng dẫn giải Trên tử mẫu dãy số có dạng      với vô lớn tương đương nên... Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tính giới hạn L  lim A L  3 n 1 n 8 B L  C L  D L   Hướng dẫn giải Phương pháp nhẩm nhanh VCL: L   1 Chọn B Câu 2: Tính giới hạn L  lim A L   9n  n 