GT huyen ln su dung gioi han day so danh gia can trong giai bat phuong trinh ham 2016 08 16

PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG GIỚI HẠN DÃY SỐ ĐÁNH GIÁ CẬN TRONG GIẢI CÁC BÀI TỐN VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM LƯƠNG NGỌC HUYÊN Trường THPT Chuyên tỉnh Tuyên Quang Email: huyenlgng@gmail.com Tóm tắt Trong viết này, chúng tơi đưa phương pháp hiệu đánh giá bất đẳng thức hàm Phương pháp sử dụng giới hạn dãy số đánh giá cận Nội dung phương pháp để chứng minh f ( x0 )  M ta làm tăng f ( x0 ) lên đại lượng vô nhỏ, để chứng minh f ( x0 )  m ta làm giảm f ( x0 ) xuống đại lượng vô nhỏ cách sử dụng giới hạn dãy số Định nghĩa Bất phương trình hàm bất phương trình mà ẩn hàm số Giải bất phương trình hàm tìm tất các hàm số chưa biết Cấu trúc tốn bất phương trình hàm gồm thành phần sau: + Miền xác định miền giá trị hàm số; + Bất phương trình, hệ bất phương trình hàm; + Các tính chất khác hàm số (tính tăng, giảm, bị chặn, liên tục, khả vi, tuần hoàn ) + Các yêu cầu tốn (xác định hàm số, chứng minh tính chất hàm số, ) Phương pháp sử dụng giới hạn dãy số đánh giá cận Nội dung phương pháp để chứng minh f ( x0 )  M ta làm tăng f ( x0 ) lên đại lượng vô nhỏ; để chứng minh f ( x0 )  m ta làm giảm f ( x0 ) xuống đại lượng vô nhỏ hai cách đây: + Cách 1: Để chứng minh f ( x0 )  M ta tìm đánh giá f ( x0 )  M  u n , với un  0, lim un  ; để chứng minh f ( x0 )  m ta tìm đánh giá f ( x0 )  m  , với  0, lim  + Cách 2: Để chứng minh f ( x0 )  M ta tìm đánh giá f ( x0 )  M un , với un  1, lim un  ; để chứng minh f ( x0 )  m ta tìm đánh giá f ( x0 )  m.vn , với  1, lim  Các toán minh họa Bài tốn Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn a) f ( x  y )  f ( x)  f ( y ); x, y   b) f ( x)  e x  1, x   Lời giải Giả sử f hàm số thỏa mãn tốn Ta có f ( x  0)  f ( x)  f (0)  f (0)  Hơn f (0)  e   f (0)  Ta thấy f ( x )  x hàm số thỏa mãn Do đó, trước hết ta so sánh f ( x ) với x cách sử dụng giới hạn dãy số để đánh giá cận Cố định x   , ta có  2x  x x f ( x)  f    f     e  1 ; 2 2    x f ( x)  f     2  x  x f     e  1 2    xn  x x       e  n n Quy nạp ta f ( x)  2n  e  1 , n  Vì lim n  e    lim  x x   x      n     xn  nên từ f ( x)  n  e   suy f ( x )  x, x   Vậy   f ( x)  f (  x)  x  ( x)  (1) Mặt khác từ giả thiết a) suy f ( x)  f (  x)  f (0)  (2) Kết hợp (1) (2) ta f ( x)  f ( x)  Do f ( x)  x, x   Thử lại thấy Bình luận: Đây tốn hay kì thi Olympic Trại hè Hùng Vương lần thứ IX Có học sinh làm tốn Theo chúng tơi, có lí đây: + Thứ kĩ giải bất phương trình hàm học sinh chưa tốt + Thứ hai, phương pháp tinh tế đánh giá bất phương trình hàm có kết hợp với giới hạn dãy số Do đó, số học sinh tiếp cận với phương pháp chưa nhiều Bài tốn (China) Tìm tất hàm số f :[1; )  [1;  ) thỏa mãn a) f ( x)  2(1  x), x  [1;  ) ; b) x f (1  x )  f ( x )  1, x  [1;  ) Lời giải Giả sử f hàm số thỏa mãn toán Cố định x  [1; ) , ta có f ( x)   f ( x  1)   f ( x)  x   f ( x)  x   x ; x 2 1 f ( x)   x f ( x  1)   x x   x  f ( x)  x  x 1 Quy nạp ta f ( x)  x 22 2n , n  (*) Lấy giới hạn hai vế (*) cho n   ta f ( x)  x (1) Mặt khác (1) 1  f ( x)   x f ( x  1)   x( x  1)   x    f ( x)  x  ; 2  2 3  3  f ( x)   x f ( x  1)   x  x     x    f ( x)  x   x   2  4  Quy nạp ta f ( x)  x   , k  (**) Lấy giới hạn hai vế (**) cho 2k k   ta f ( x)  x  (2) a) Ta lại có f ( x)   x f ( x  1)   x(2( x  2))  2( x  1)  f ( x)  2( x  1) Quy nạp ta f ( x)  m ( x  1), m  (***) Lấy giới hạn hai vế (***) cho m   ta f ( x)  x  (3) Từ (2) (3) suy f ( x)  x  1, x  [1; ) Thử lại thấy Bài toán (VMO 2003) Đặt F   f :      | f (3 x)  f ( f (2 x))  x, x     Tìm giá trị lớn  cho với f  F ta ln có f ( x)   x Lời giải Ta thấy f ( x)  x  F   max  Mặt khác, với x    ta có 2 f (3 x)  f ( f (2 x))  x  x  f ( x)  Với f  F , cố định x    đặt 1  x  f ( x)  1 x Khi f (3 x)  f ( f (2 x))  x  212 x  x  f ( x)  212  x 212  Đặt    f ( x)   x Quy nạp ta f ( x )   n x , n  với ( n ) xác định  1     2 n  , n   n1 Vì lim  n  1 1 nên từ f ( x)   n x suy f ( x)  x   max  Vậy  max  2 2 Bài toán (Belarus 1997) Cho hàm số f :      thỏa mãn f (2 x )  x  f ( f ( x)), x    Chứng minh f ( x)  x, x    Lời giải Từ giả thiết ta có f ( x)  1 x, x    Cố định x    đặt a1  2 f ( x )  a1 x Khi x f ( x)   2   x  x  a12  x   a1 f  f      a1 f    x  a2 x với a2  2  2    Quy nạp ta f ( x)  an x, n  với ( an ) xác định  an2 a1  , an1  , n  2 Vì lim an  nên từ f ( x)  an x suy f ( x)  x Vậy f ( x)  x, x    Bài toán (China 1998) Cho hàm số f :    thỏa mãn x a) f ( x)  x f   , x  ; 2 b) f ( x)  1, x  (1;1) x2 Chứng minh f ( x)  , x   Lời giải Dễ thấy f (0)  Do ta cần chứng minh bất đẳng thức với x  x  Với x  ta có f ( x)  x f     2  Đặt g ( x)  x  x 2f   2f   f ( x)      f ( x)    2    2  2 x  x  x  x   2 2 f ( x) x , x   g ( x)  g   (1) Ta chứng minh g ( x)  1, x   x 2 n  x Từ (1) quy nạp ta có g ( x)  g  n 2   x  * n   g ( x)  g  n  , n   (2)  2  Chú ý f ( x)  1, x  (1;1)  g ( x)  x n  (1;1) Do đó, từ (2) ta x x 22 n1  x g ( x)  2n g  n   2n n  (1;1) (3) x 2  Cố định x  lấy giới hạn hai vế (*) cho n   ta g ( x)  lim 2 n 1 2n x 2n 1  20  (4) x0 x2 Từ (4) suy f ( x)  , x   Mở rộng ý tưởng ban đầu, ta sử dụng giới hạn dãy số để đánh giá cận cho biến số toán đây: Bài toán Cho hàm số f :[0;1]   thỏa mãn: a) f (1)  ; b) f ( x)  0, x  [0;1] ; c) f ( x)  f ( y )  f ( x  y); x, y  [0;1]: x  y  [0;1] Chứng minh f ( x)  x , x  [0;1] (6) b) Lời giải Cho x  y  f (0)   f (0)  Kết hợp với a) (6) với x  {0;1} Cho x  y  c )  f (1)  f 1 1    f    Quy nạp ta  2  2   f  n   n , n  * (1) 2  Với x  (0;1) , xét dãy số xn  n  * cho xn  , n  * Vì xn  (0;1] lim xn  nên tồn n  x (*) Chọn n0 giá trị nhỏ n thỏa mãn (*), 2n 1  x  n0 1 Đặt   n0 1  x    [0;1] Khi n0 2 c) b)     (1) f  n0 1   f ( x   )  f ( x)  f ( )  f ( x)  f ( x)  f  n0 1   n0 1  f ( x)  x 2  2  Vậy f ( x)  x, x  [0;1] Trong toán đây, để chứng minh không tồn hàm số, sử dụng giới hạn dãy số để tồn điểm chứa đựng mâu thuẫn Bài tốn (Bulgaria 1998) Chứng minh không tồn hàm số f :      thỏa mãn f ( x)  f ( x  y )  f ( x)  y  ; x, y    (6) Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn điều kiện cho Từ (6) ta có f ( x) f ( x)  f (x  y)   f ( x)  f ( x  y )  f ( x) f ( x)  y f ( x)  y y f ( x )  f ( x)  f ( x  y)   f ( x)  y Suy f hàm số giảm   Cố định x    thay y  f ( x) ta f ( x  f ( x ))  f ( x) (1) Đặt x0  x, xn1  xn  f ( xn ), n   , ta (1) xn    f ( xn )  f ( xn1 ) (1) f ( xn 2 ) (1) (1) f ( x0 ) f ( x)    n  n , n   (2) 22 2 Mặt khác xn  xn1  f ( xn 1 )   x0  f ( x0 )  f ( x1 )   f ( xn1 ) n 1 1   (2)   1  x0  f ( x0 ).1     n1   x0  f ( x0 )    x0  f ( x0 )   2 1 Do f hàm số giảm   nên f ( xn )  f ( x0  f ( x0 ))  0, n  * (3) Hơn lim f ( x)  f ( x0  f ( x0 ))  nên từ (2) suy tồn n0 đủ lớn thỏa 2n mãn f ( xn0 )  f ( x)  f ( x0  f ( x0 )) Điều vơ lí với (3) Vậy khơng tồn 2n0 hàm số f thỏa mãn Nhận xét Ta thấy dãy ( xn ) lời giải tăng Do mâu thuẫn dẫn tới không tồn hàm f cách tồn n  * đủ lớn để f (n)  sau: Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn điều kiện cho Từ (6) suy f hàm số giảm (không ngặt)   Cố định x    , với n  * , ta có f ( x) 1 n  f ( x)  f  x    ; n   f ( x)  n  1 f x  1 2 n  n   f x  f x   1 n n     f x  n n   n 1  f x   n 1 n  n   f x  f ( x  1)   n 1 n     f x  n n   Chọn n cho f ( x  1)  1  Vì f giảm nên f ( x)  f  x     f ( x  1)  n n n  t Do tính tăng hàm số g (t )  n   nên t n 1 1   f ( x)  f  x    n n  ; n   2n  n n 1 2   f x  f x  ; n n  2n   n 1  f x   f ( x  1)  n  2n  Cộng bất đẳng thức suy f ( x)  f ( x  1)  Chọn n  * thỏa mãn n 1  f (1)  f (n)  2 n 1  f (1) ta f (n)  , vô lí Ta mở rộng ý tưởng Bài toán cho toán cách sử dụng giới hạn hàm số để tồn điểm chứa đựng mâu thuẫn Bài tốn Chứng minh khơng tồn hàm số f :    thỏa mãn a) f (0)  ; b) f ( x  y )  f ( x )  y f ( f ( x )); x, y   Lời giải Giả sử tồn hàm số f thỏa mãn điều kiện cho Nếu f ( f ( x))  0, x   f ( x  y)  f ( x)  y f ( f ( x))  f ( x), y  f hàm giảm (khơng ngặt)  Từ f (0)   f ( f ( x)) kết hợp với tính giảm hàm f suy f ( x)  ; f ( f ( x))  0, x   (*) Từ b) (*) ta f ( x  y )  f ( x )  f ( y )  f (0)  0, y   , điều trái với khẳng định f ( f ( x))  0, x   Do tồn z cho f ( f ( z ))  Mặt khác, từ b) ta có f ( z  x)  f ( z )  x f ( f ( z )) Suy lim f ( x)   lim f ( f ( x))   (**) x  x  Từ (**) suy ra: tồn x, y  cho f ( x)  1, f ( f ( x))  1, y  x 1 , f ( f ( x  y  1))  (c) f ( f ( x))  Khi f ( x  y)  f ( x)  y f ( f ( x))  x  y  (d) Vậy f ( f ( x  y))  f  ( x  y  1)  ( f ( x  y )  ( x  y  1))  (b ) (d )  f ( x  y  1)   f ( x  y )  ( x  y  1)  f ( f ( x  y  1))  f ( x  y  1) (b ) (b) (c)  f ( x  y)  f ( f ( x  y ))  f ( x )  y f ( f ( x))  f ( f ( x  y))  f ( f ( x  y )) Đây điều vơ lí Có thể nói, phương pháp sử dụng giới hạn dãy số đánh giá cận phương pháp hay tốn bất phương trình hàm Việc tìm bất đẳng thức đánh giá tăng hay giảm giá trị hàm số điểm (bằng cách thêm vào bớt đại lượng vô nhỏ) kĩ thuật đẹp theo nghĩa đại số giải tích Bài tập tự luyện Bài Tìm tất hàm số f :    thỏa mãn f ( x)  x  f ( x  y)  f ( x) f ( y ); x, y   Bài Cho hàm số f :    thỏa mãn f ( x  y )  f ( x )  f ( xy)  f ( y ); x, y   Chứng minh 2  f ( x)  0, x   Bài Tìm tất hàm số f :[0; )  * thỏa mãn  x  f ( x)  , x   x  f ( x  1)   f ( x) 10 Tài liệu tham khảo [1] B J Venkatachala, Funtional Equations Prism Books Pvt Ltd, 2002 [2] Titu Andreescu, Iurie Boreico, Funtional Equations Electronic Edition 2007 Các trang web: diendantoanhoc.net, http://mathscope.org/, 11 ...    n     xn  nên từ f ( x)  n  e   suy f ( x )  x, x   Vậy   f ( x)  f (  x)  x  ( x)  (1) Mặt khác từ giả thiết a) suy f ( x)  f (  x)  f (0)  (2) Kết hợp (1) (2)... Từ (2) (3) suy f ( x)  x  1, x  [1; ) Thử lại thấy Bài toán (VMO 2003) Đặt F   f :      | f (3 x)  f ( f (2 x))  x, x     Tìm giá trị lớn  cho với f  F ta ln có f ( x)...  Mặt khác, từ b) ta có f ( z  x)  f ( z )  x f ( f ( z )) Suy lim f ( x)   lim f ( f ( x))   (**) x  x  Từ (**) suy ra: tồn x, y  cho f ( x)  1, f ( f ( x))  1, y  x 1 ,