THÔNG TIN TÀI LIỆU
CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Cho dãy số an � a1 a � a � � �an 1 2an 2an � 3an 4an a xác định : � Chứng minh với số thực a �0 dãy n a hội tụ Tùy theo a , tìm giới hạn dãy n �x1 � 2015 � x x L n ��* n n 2015 � x xn xn xn xn Cho dãy số n xác định � Tìm giới hạn dãy nxn n � �, với là số thực cho trước b1 a1 a ,b a b Cho hai số 1 với Lập hai dãy số n , n với n 1, 2, Theo quy tắc sau: giải nghĩa an 1 ( an bn ) b a b lim an lim bn n 1 n là: , n 1 Tính: n �� n�� Cho dãy số an , a1 an1 an a lim n an Chứng minh: n�� n a1 cos b1 cos a , b 8, Lập hai dãy số an , bn với n 1, 2, theo quy tắc sau: Cho hai số 1 với an1 ( an bn ) b a b lim an lim bn n 1 n , n 1 Tính: n �� n�� Cho dãy số Cho dãy un Un Cho dãy số U1 � � * n � Ui � � U n2 2009U n n �N S � � U � n � n 1 lim S n S i 1 U i 1 2010 xác định bởi: � Ta lập dãy n với � Tính x�� un a) Chứng minh: � u1 � un , n �N * � un 1 � lim (un n ) un � biết: Hãy tính n�� un2 u , n �1 u 1, n 1 un xác định un tan , n �1 2n 1 b) Suy tính đơn điệu bị chặn Cho dãy số xn xác định bởi: * a.Với n �� ,đặt yn un x1 0; xn 1 xn 2014 2015 2014 2015 , n ��* xn xn xn xn xn n xn2 Chứng minh dãy số yn có giới hạn hữu hạn tính giới hạn nxn b.Tìm số để dãy có giới hạn hữu hạn giới hạn số khác y 10 Cho dãy số n thỏa mãn y1 0, y n � � n 1 �yn � � y1 y2 yn , n �1 Chứng minh dãy số � �n có giới hạn 11 Tìm tất số c cho dãy số dãy số (un ) thỏa mãn: Với giá trị c tìm tính giới hạn dãy (un ) un �(0;1) � n �1 � un 1 (1 un ) c � hội tụ � x1 � � � �x x xn ; n �1 n 1 n n2 12 Cho dãy số (xn) thỏa mãn: � Chứng minh dãy số có giới hạn 13 Cho dãy số Tính lim 14 Cho dãy số un 1 n un4 20132 * v , n ��* , n � � � n 3 un un 4026 k 1 uk 2013 Đặt un xác định u1 2014, un u1 2013 � un21 lim � n �� u u u u un2 2, n ��* n xác định bởi: �n 1 Tìm 15 Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an 1 3an ) Tính lim an 16 Cho dãy (un ) xác định sau: u1 = n � 2014 Tìm nlim i 1 ui � � đặt un 1 un2015 2un , un2014 un n 1, 2,3 Với số nguyên dương n , u1 � � �3 u 3un 1 un , n �1 u u 17 Cho dãy số n xác định �n 1 Chứng minh dãy n có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn x 18 Cho dãy số n thỏa mãn: n Tìm: lim � i 1 xi x1 2015 xn 1 xn xn n �N * (*) u1 � � � u u 12 un u n 19 Cho dãy số ; (n = 1; 2;.) xác định bởi: �n 1 Chứng minh dãy số n có giới hạn Tìm giới hạn 20 Cho dãy số xn �x1 2,1 � � xn xn2 xn * , n 1, 2, �xn 1 xác định � Với số nguyên dương n yn � i 1 xi n, đặt Tìm lim yn 21 Cho dãy số xn a)Chứng minh xác định xn x1 2016, xn 1 xn2 xn 1, n 1, 2,3, tăng lim xn � �1 1� yn 2016 � � x1 x2 xn � � n b)Với số nguyên dương , đặt Tính lim yn � �an � 1 � a sin1 sin sin n sin n � �2 � n a n 1 hội tụ tính n 22 Cho dãy n n 1 : Chứng minh dãy �n � a lim n2 n 23 Cho dãy số u1 2, un 1 n 1 un n �1 Tính giới hạn lim n �� un n 24 Cho dãy số với: a) Chứng minh: với b) Chứng minh dãy số có giới hạn tìm giới hạn 25 Cho dãy số un xác định: Chứng minh dãy số a � 0;1 26 Cho số thực , xét dãy số un un có giới hạn hữu hạn tính giới hạn u a � �1 � 2013 un 1 un2 un , n � � 2014 2014 với: � a) Chứng minh rằng: un 1, n � b) Chứng minh un có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn � u � �1 � � un 1 un3 , n �N 3 27 Cho dãy số(un) xác định sau: � a) Chứng minh rằng: 1 un 2, n � b) Chứng minh 28 Cho dãy số u1 1; un 1 �u u u � un2 lim � n � un , n �N * n � � u un 1 � � u3 2015 Tìm giới hạn sau: un xác định bởi: un u1 2013 � n �N * �2 u u u 2013 n n 1 xác định �n Chứng minh dãy (un) có giới hạn 29 Cho dãy số tính giới hạn 30 Cho dãy số un có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn xn a) Chứng minh xác định bởi: x1 4, xn 1 xn4 , n ��* xn xn lim xn � ; n �� n yn � k 1 xk b) Với số nguyên dương n , đặt Tính lim yn �x1 � x12014 x22014 xn2014 � xn2015 u x x n �n 1 n x2 x3 xn1 2015 31 Cho dãy số � Tìm giới hạn dãy số un với �x1 � x x x � xn2 S n n x x � n 1 n x2 x3 xn 1 2015 Tìm giới hạn dãy ( Sn ) với 32 Cho dãy số {xn } xác định � � n �x1 1 � Sn � x x ( x 1)( x 2)( x 3) n n n n k 1 xk 33 Cho dãy số ( xn ) xác định �n 1 Đặt Tìm limSn � 2016 u1 � 1 � 2015 Sn . � u u u , n � � * u1 u2 un Tính: limS n n 34 Cho dãy số (un) xác định bởi: � n 1 Đặt n 35 Cho dãy số xn4 x1 4, xn 1 , n ��* xn xn xác định bởi: xn a) Chứng minh lim xn � ; n �� n yn � k 1 xk b) Với số nguyên dương n , đặt Tính lim yn 3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN a Cho dãy số n xn u1 � � � u un �n 1 u n thỏa mãn � n ��* x Tìm tất số thực a cho dãy số n xác định una n ( n ��* ) hội tụ giới hạn khác Cho dãy số un � u1 ; u2 � � � u u � un n 1 n , n �N * un1 un � xác định sau: � a) Chứng minh tồn vô số giá trị nguyên dương n để un b) Chứng minh Cho dãy số un un có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn u1 � � � u un un un un 16, n ��* xác định sau �n 1 n � i 1 ui Đặt , tính lim u Cho dãy số thực n n nun n �� un Tìm lim * ln un2 nun 1, n ��* n �� với thỏa mãn Bài Cho dãy số an � a1 � n �1, n �� � 2 � n an n an1 n 1 an an1 � thỏa mãn: Tìm lim an Hướng dẫn giải n 2 * Dễ thấy an �0, n �� Từ giả thiết ta có * Với n �� , đặt yn an 1 n2 n 1 an 1 an ta có y1 1� 2� 1� n2 2� 2 n y n y n � n y n y � y y � n1 � � n � n1 n n 1 n 4� � 4� � n 2 4n n 1 �n ��n � �1 � yn � �� � an � � �y1 2 �n ��n � �3 � 16 n n 1 n 1 n 2 Do 2 Vậy lim an Bài Tính giới hạn sau: x3 lim x �2 x a) b) lim x �2 2x 1 x2 Hướng dẫn giải x2 x 4 x3 a ).lim lim 3 x �2 x x �2 x 2 b) lim x �2 Bài 2x 1 � x2 Tính giới hạn lim x �1 x x x n n x 1 Hướng dẫn giải lim x �1 x x x n n ( x 1) ( x 1) ( x n 1) ( x 1)[1 ( x 1) ( x x 1) ( x n 1 1)] lim lim x �1 x �1 x 1 x 1 x 1 lim � ( x 1) ( x x 1) ( x n 1 1) � � x �1 � � n n(n 1) n Bài Cho n số nguyên dương a �0 Chứng minh rằng: Hướng dẫn giải Lim x �0 ax a x n n Đặt y ax, từ x � x �0 Bài ax y 1 y 1 a aLim n a Lim n n y �1 y y �1 x n y 1 y y y n Lim Vậy y Tính giới hạn sau: lim a/ 13 53 93 (4n 3)3 n �� (4n 3) x sin x �cos x � lim � � x �0 cos x � � b/ Hướng dẫn giải Câu a n n (4n 3) �(4i 3) �(64i 144i 108i 27) 3 3 i 1 n n n i 1 i 1 i 1 i 1 = 64�i 144�i 108�i 27n (4n 3) n(4n 2) 2n n n(n 1) n n(n 1)(2n 1) n � n( n 1) � i i i � � � � � � � Mà ta có cơng thức: i 1 ; i 1 ; i 1 n 3 3 Do đó: P( x) (4n 3) đa thức bậc có hệ số bậc 64 / 16 Và Q( x) (4n 3) lim Do đó: đa thức bậc có hệ số bậc 13 53 93 (4 n 3) n �� (4n 3) 16 4 Câu b cos5 x cos3 x cos3 x � �x sin x.cos3 x cos5 x cos3 x cos x cos x � � � � x sin x lim � 1 �cos x � � x �0 � lim � � cos x � � � x �0 cos x � � � � = cos x cos 3x 2sin x sin x sin x sin x 8 � � lim lim � 8 � x �0 x sin x.cos x x �0 x sin x.cos x x �0 x x cos x � � Vì lim cos x cos 3x 0 lim u cos x Vì x �0 áp dụng công thức u �0 lim Bài Cho dãy số xn un ( n 1)3 xn Hướng dẫn giải u x sin x �cos x � lim � e 8 � e x �0 cos x � � , nên �x1 � � x1 x2 3x3 ( n 1) xn 1 , n �1, n �� lim un �xn n(n 1) � thỏa mãn Tìm với x2 Ta có Với n �3 : x1 x2 3x3 nxn n xn (1) x1 x2 3x3 (n 1) xn 1 (n 1)3 xn 1 (2) 3 Từ (1) (2) ta có nxn n xn (n 1) xn 1 Suy xn � xn ( (n 1)3 xn 1 n 1 n ( ) xn 1 n n n n 1 n 1 n 2 2 n n 1 ) ( ) ( ) x2 n n 1 n 1 n 4(n 1) lim 4 � xn lim un n n (n 1) suy = Bài Tính giới hạn hàm số : L lim x �1 x x x 1 Hướng dẫn giải Ta có: lim x �1 = 3x x 3x x 3x 3x lim x �1 x 1 x 1 lim x x �1 x 1 3x lim x � x 1 x 1 ( x 1) � (2 x) x 1� � � lim ( x 2)( x 2) lim x x �1 x �1 3 ( x 1)( x 2) ( x 1) � (2 x) x 1� � � = lim x x �1 = lim x �1 = (2 x 1) (3 x 4) lim x � ( x 1)( x 2) ( x 1) � (2 x) x 1� � � ( 3x 1) lim x � � ( x 2) (2 x) x 1� � � = 12 Bài x 2011x 2009 Lim x 1 Tính: x �1 Hướng dẫn giải x 2011( x 1) x2 lim lim[ 2011] x �1 x �1 ( x 1)( x 2) x 1 lim( x �1 x 1 4021 2011) x32 Bài Cho dãy số an thỏa mãn: � �a1 n �1, n �� � 2 � n an n an 1 n 1 an an1 � Tìm lim an Hướng dẫn giải n 2 * Dễ thấy an �0, n �� Từ giả thiết ta có * Với n �� , đặt yn an 1 n2 n 1 an 1 an ta có y1 1� 2� 1� n2 2� 2 n y n y n � n y n y � y y � n1 � � n � n1 n n 1 n 4� � 4� � n 2 4n n 1 �n ��n � �1 � yn � �� � an � � �y1 2 �n ��n � �3 � 16 n n 1 n 1 n 2 Do Vậy lim an Bài 10 Cho dãy số xn 2 a x1 0, xn (3 xn 1 ), n 2,3, xn 1 thỏa mãn Hướng dẫn giải a xn ( xn 1 xn 1 xn 1 ) �4 a xn 1 Ta có với n �2 Do dãy xn bị chặn xn a � 1 Với n �3 , ta có xn 1 4 xn 1 4 xn �xn –1 Do xn dãy giảm x Từ suy dãy n Bài 11 có giới hạn dễ dàng tìm lim xn a �x1 � � xn1 , n 1, 2,3, � x xn y Cho dãy số thực n : � Xét dãy số n cho : (3 5) n yn n ; n 1, 2,3, y x1.x2 x3 xn Chứng minh dãy số n có giới hạn hữu hạn tính giớn hạn Hướng dẫn giải Ta có : xn 1 � xn xn 1 3xn ; n 1, 2,3, xn Đặt : zn x1.x2 x3 xn ta có zn x1.x2 x3 xn xn1.xn zn xn1.xn zn (3xn 1 1) 3zn xn 1 zn 3zn 1 zn �z1 x1 � � �z2 x1.x2 � �z zn 1 zn ; n 1, 2,3, z Khi : �n Suy n dãy truy hồi tuyến tính cấp Xét phương trình đặc trưng : t 3t � t 3� n Dãy n �3 � �3 � zn � � � � � � � � � � � � có số hạng tổng quát dạng � �3 � �3 � � 3 � � � � 53 � � � � � � � � � � � � 10 � �� �7 � �7 � � � � 8 � � � � � � � � � � � � � 10 � : � Lúc này, ta có n �3 � � � � (3 5) n � yn n x1.x2 x3 xn zn lim yn Suy : Vậy : Bài 12 yn � n �3 � � � � � n n n �3 � �3 � �3 � � � � � � � � � � � �3 � n �3 � lim � � �3 � 1 5 53 10 5 n � � Cho dãy số un xác định bởi: u0 , un 1 un n �� lim n3un ? n un un2 Tìm n �� Hướng dẫn giải Từ giả thiết un 1 hữu hạn, giả sử Cũng từ un 1 n un u n �� un 1 n n ��* �uk v n u n un n un n k 0 ta có nên n xác định có giới hạn lim c n �� ( c hữu hạn) un 1 n �� n un n �� n u n un un ta có un 1 1 n un n �� un 1 un � 1 u0 u Do u0 1 12 u1 u2 u1 … 1 (n 1)2 u n 1 un un 1 1 (n 1)n(2n 1) n 1 �uk u u k 0 n Cộng theo vế ta : (n 1)n(2n 1) 1 n un n3 n3 � Mà lim 0 lim c n3 ( n�� ) nên n �� ( n 1) n(2n 1) lim n3un n �� n u n � � 6n 3 hay nlim �� n � lim x Bài 13 Cho dãy số n xác định : tìm giới hạn x1 1, xn 1 , n �1 x xn Chứng minh dãy n có giới hạn hữu hạn Hướng dẫn giải Ta có x2 Hàm số Ta có 4 3; x3 x1 ; x4 x2 f ( x) xn 1 x liên tục nghịch biến [0,+), f ( x ) �5 f ( xn ), n xn ( xn ) bị chặn x1 x3 � f ( x1 ) f ( x3 ) � x2 x4 � f ( x2 ) f ( x4 ) � x3 x5 � suy dãy ( x2 n 1 ) tăng dãy ( x2 n ) giảm suy ( x2 n 1 ), ( x2n ) dãy hội tụ Giả sử lim x2 n a;lim x2 n 1 b (a, b �1) Từ x2 n 1 f ( x2 n ) � lim x2 n 1 lim f ( x2 n ) � b f (a ) Từ x2 n f ( x2 n 1 ) � lim x2 n lim f ( x2 n 1 ) � a f (b) 2014 Biết dãy số lập thành cấp số cộng, chứng minh a – số nguyên lớn không vượt a ) �a i 1 i số nguyên (với a phần nguyên số thực Hướng dẫn giải 2014 2014 A �ai B �bi x i 1 i 1 Đặt , Gọi d công sai cấp số cộng n , thì: n.d xn 1 x1 * a n bi n bi �ai n bi , i 1, 2, , 2014 Với n �� ta ln có: i Cộng vế với vế 2014 bất đẳng thức chiều, ta được: A.n B 2014 xn �A.n B Thay n n thay n , có: A n 1 B 2014 xn 1 �A n 1 B A B 2014 x1 �A B � A B � x1 A B 2014 Cộng vế với vế bất đẳng thức chiều nói thu được: A.n 2014 xn 1 x1 A.n 2014 � A.n 2014 n.d A.n 2014 � d n A.n 2014 � dA 2014 n 2014 0 x n Vì nên suy d A Mặt khác dãy n gồm toàn số nguyên nên công sai d số nguyên Vậy A nguyên (đpcm) lim Bài 53 Cho dãy số xn � x1 � � � �x x xn ; n �1 n 1 n n2 thỏa mãn: � Chứng minh dãy số có giới hạn Hướng dẫn giải n n 1 � với n �1 (1) *) Ta chứng minh xn n Thật : n k k 1 � x k Giả sử (1) với n k �1 : k � xk 1 k 1 xk xk2 k 1 k xk x k k 1 k = k �k �k k 1 �� 1� k 1 �k � k 1 k k 1 � 2 � k 1 k k �3 k 1 � k �� � � 2 � (đpcm) *) Ta chứng minh NX: xn Ta có � xn có giới hạn tăng xn với n 1 � xn xn 1 xn n n n 1 1 � 1� � 2� � x1 xn � n� � xn Vậy với n �1 xn Bài 54 có giới hạn Cho dãy số an x tăng, an 0n 1, 2,3, Xét dãy số n Chứng minh tồn lim xn n �� Hướng dẫn giải Dễ dàng thấy dãy xn tăng ngặt Trường hợp Nếu 1 1 1 � xn 1 1ai ai 1ai ai 1 a1 xn dãy bị chặn tồn lim xn n �� Trường hợp Nếu 1 �1 � � � * 1ai �ai 1 � * � ai11 1 ai1 ai 1 ai1 ai � 1 ** 1 Ta chứng minh (**) n a a xn � i 1 i i 1 1ai xác định f x x Xét hàm số Trên đoạn ; ai1 Hàm số thoả mãn điều kiện định lí Lagrăng nên tồn số f� c c � ; 1 thoả mãn ai1 ai a a a a � c 1 i 1 i � ai11 i 1 i 1 ai 1 ai 1 (đpcm) � xn Từ ta có � lim xn x a1 dãy n bị chặn tồn n�� n Sn � k 1 ak 1a�k � a a a a0 1; a1 1; an1 n n 1, 2,3, a�� n Bài 55 �� �� Cho dãy số xác định lim Sn minh tồn n � � ( x Đặt phần nguyên x ) Hướng dẫn giải a 1 1 1 k 1 ak 1a �k � a a1a2 ak a1a2 ak 1 a1a2 ak a1a2 ak 1 k 1 � 2� � � ak 1 Ta có n � � 1 S n �� � a1a2 ak a1a2 ak 1 � a1 a1a2 an 1 k 1 � Suy Chứng minh lim a1a2 an 1 � n �� Ta có : an n �2 n� � �n � an 1 an � 2� � � suy dãy cho tăng Như an an 1 a1 n lim S n lim a1a2 an 1 � n �� a1 Vậy n�� , suy Bài 56 Cho dãy số un ; u1 3, v1 � � un 1 un2 2vn2 � � v 2un xác định sau �n 1 lim 2n x �� lim 2n u1.u2 un x �� Tìm giới hạn sau: Hướng dẫn giải un 1 2.vn 1 un2 2vn2 2.un un 2.vn n � N Ta có: : Áp dụng (1) ta suy ra: un 2.vn un 1 2.vn 1 (1) n � N �� 2� � Chứng Theo quy nạp ta có: un 2.vn u1 2.v1 Lập luận tương tự ta có: un 2.vn 2n1 3 2 1 2n1 1 2n (2) 2n (3) 2n 2n � � 1� un � � � � 2� � � n 2n � � � v � 1 � �n � Từ (2) (3) ta suy ra: � 2 � Lại có: un 1� 1 2� � Tương tự ta có : 2n 1 2n � � � � 1 2� � n 1 1 n 2n , từ suy ra: � � � 1 2n un 2n � 2n 2n 1 2n Mặt khác ta có: un Do ta có dãy bất đẳng thức sau: 2n �1 � 2 1 � � �8 � n 1 2n un n n lim un lim n Như theo định lí kẹp ta suy Hơn theo đề ta có: Suy ra: Vậy u1.u2 un n �� n �� lim 2n 2un lim 2n n �� 1 Tóm lại ta có: Bài 57 n �� n n �� 1 2un � un 1 2vn v2 v3 1 1 1 2v1 2v2 2vn n v1 2n 1 lim 2n u1.u2 un lim 2n n �� 1 lim 2n 1 lim 2n n 1 n 1 n �� n �� 2 n 1 lim 2.lim 2n un lim 2n lim 2n n 1 n 1 n �� n �� n �� n �� 2 1 2 lim 2n n �� Cho dãy số an lim 2n u1.u2 un 2 n �� xác định a1 �1 an 1 an n , n �1 lim an n an Chứng minh n�� Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có a2 a1 2 a1 (do a1 �1 ) Nhận xét: an n, n �2 Ta chứng minh nhận xét phương pháp quy nap Thật Với n ta có a2 (đúng) Giả sử ak k Ta có ak 1 ak k k � ak2 k k 1 ak ak � ak2 k 1 ak k � ak 1 ak k (đúng) Suy ak 1 k Như an n, n �2 (điều phải chứng minh) Mặt khác, an1 n 1 an n n n 1 an n an an an2 n 1 an n an n an 1 an an (1) Áp dụng (1) ta có � a a2 1 a3 � a2 � � a 3 a3 1 a4 � a3 � � � � a n an 1 an 1 n 1 n � an � Suy a3 3 a4 an 1 n 1 � an 1 n 1 a2 a2 1 a3 3 a3 1 an n an 1 a2 a3 an a2 a2 1 a3 1 an 1 a2 a3 an � �� � � � � an 1 n 1 a2 � 1 � 1 � � 1 � � a a � 2� � � � an � n � 1� � an 1 n 1 a2 �� 1 � i � � (2) 1 Ta lại có a 1 n 1 an 1 an 1 an n 1 an an 1 � � a1 a2 an 1 a1 an an i 2 � i � a3 n Suy ��1 a � a an n an n � an 1 (do an ) Từ (2) � an 1 n 1 a2 � an 1 n 1 a2 Mà lim n �� Do a1 n a1 a � lim a2 n �� n n lim an 1 n 1 n �� Bài 58 a1 a a2 an n (vì an n ) hay lim an n n �� xét dãy số dương xn thỏa mãn Cho trước số thực dương n 1 x 1 1 xn với n ��* Chứng minh dãy xn hội tụ tìm giới hạn Hướng dẫn giải f ( x ) x , x x Xét hàm số Ta có f� ( x) x 1 1 x 1 1 2 � f ( x ) � x x x x ; Ta có bảng biến thiên hàm f x : f ( x) �f x0 Suy Do xn1 1 1 ( 1) 1 1 1 1 �xn1 xn xn 1 x x Suy xn 1 xn hay n dãy giảm Kết hợp với xn với n ta suy dãy n hội tụ 1 �( 1) � x0 Đặt lim xn Chuyển qua giới hạn ta Vậy lim xn Bài 59 1 u1 , u2 �(0;1) � � � un un31 un , n �1 � u 5 Cho dãy số thực n thỏa mãn � Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn Hướng dẫn giải �x1 u1 , u2 � ( xn ) : � �xn 1 xn xn 5 � Xét dãy Ta thấy xn �(0;1) xn3 xn xn xn xn 133 43 xn 1 xn xn � xn xn 5 Ta có Vậy dãy xn tăng, bị chặn nên hội tụ, lim xn a (0 a �1) a a3 a � a Chuyển qua giới hạn ta được: Ta chứng minh xn �u2 n1 ; u2 n (*) quy nạp theo n Ta có x1 �u1 ; u2 Giả sử xn �u2 n 1 ; u2 n xn 1 Suy xn 1 43 xn xn � u23n u2 n 1 u2 n 1 5 5 43 4 xn xn � xn31 xn � u23n 1 u2 n u2 n 5 5 5 Vậy (*) với n nguyên dương Từ suy lim un Bài 60 �x1 2007 � �x xn n �1 � n1 xn2 xn � Cho dãy số thực xác định bởi: Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Dễ dàng quy nạp xn 1 Ta có: xn xn x 1 n 1 = 3 x 1 n �1 n Vậy xn �2007 với n nên dãy bị chặn f x Xét x x 1 � f� x x 1 � f � x Ta có: f x x � x x x2 1 � ( x 3) � ( x x) 2( x x) x2 x2 1 2 x � x x 1 ( L ) �� x 3x � 15 a x Áp dụng định lý Lagrang có: n �1 � xn 1 a f ( xn ) f (a ) f '( n ) xn a xn a � �0 � x1 a ��� n �� 2 �2 � Do 15 lim xn a Bài 61 Cho dãy số un u1 e � un21 lim � n �� u u u un 1 un2 2, n ��* � n xác định bởi: Tìm Hướng dẫn giải Vì u1 e u1 a , a nên đặt a>1 � 1� u2 u � a � a a � a� Ta có n Bằng quy nạp, ta chứng minh un 1 a a2 n , n �� Xét n n � 2i1 ui �� a 2i1 � a i 1 i 1 � 1 � � 1�� � �n � 2i1 a a � a 2i1 � � � � � � � � a �i 1 � a � � a�� 1 � � � � 2n � � a �� a 2n � � � � a � � � � a �� � � �� 2n a �� a 2n � 2 � 2 u 1� � 1� a �� a �� lim un 1 � � n21 � a a � � � � e 2 2 n � � u1 u2 un u1 u2 un � a � � a � � 2n � a 2n � � a � � Bài Cho dãy số xn xác định �x1 a � xn2 � x �n 1 x 3 , n 1, 2,3, n � Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tính giới hạn Hướng dẫn giải Theo Cơsy � x 1 xn �0 1� 16 xn �xn ��1; xn 1 xn n 2� xn xn 3 � dãy giảm, bị chặn 1, dãy có giới hạn Từ lim xn a � a Bài 62 �x1 � 2014 � xn 1 , n 1, 2,3 � xn xn x � Cho dãy số , xác định bởi: Chứng minh dãy số n có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Xét hàm số f '( x ) Ta có f ( x) 2014 1 x xn 1 0 2014 x 0; � Ta thấy f ( x) liên tục nghịch biến 0; � (Vì ) Do f ( x) �2015 2014 f ( xn ) x xn với n � dãy n bị chặn x Mặt khác, ta có x1 x3 � f ( x1 ) f ( x3 ) � x2 x4 � f ( x2 ) f ( x4 ) � x3 x5 � Suy dãy n 1 dãy đơn điệu tăng bị chặn, dãy hữu hạn x2n dãy đơn điệu giảm bị chặn, nên dãy x2 n1 , x2n có giới hạn Giả sử lim x2 n 1 a lim x2 n b , ( a, b �1 ) Từ x2 n 1 f ( x2 n ) � lim x2 n 1 lim f ( x2 n ) � b f (a ) x2 n f ( x2 n1 ) � lim x2 n lim f ( x2 n1 ) � a f (b) 2014 � b 1 � � 1 a � a b 2015 � �a 2014 1 b Vậy ta có hệ � Vậy lim xn = Bài 63 2015 Cho dãy số xn �x1 2,1 � � xn xn2 xn * , n 1, 2, �xn 1 xác định � với số nguyên n yn � i 1 xi dương n, đặt Tìm lim yn Hướng dẫn giải Ta có kết sau: với số thực a bất kì, ta có a a 8a a a 4a a a a 2 x Do 2,1 x1 x2 Suy dãy n dãy tăng, giả sử bị chặn tức có giới hạn lim xn L Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình x x x2 8x � x x 3 x phương trình khơng có nghiệm hữu hạn lớn Suy dãy xn tăng không bị chặn nên lim xn � xn xn2 xn xn 1 � xn 1 xn xn2 xn Ta có � xn 1 xn xn2 xn � xn2 xn xn � x xn 1 1 2n xn xn 1 xn 1 xn 1 xn 1 � 1 x xn xn 1 n 1 n 1 1 yn � 10 x1 xn 1 xn 1 i 1 xi Suy Vậy lim yn 10 �x0 a n �� � xn n �� xn 1 xn2 � Dãy số thực xác định bởi: Tìm tất giá trị a để xn với số tự nhiên n Bài 64 Hướng dẫn giải Giả sử xn với n �� Từ xn x n 1 Lại từ Suy Từ có xn 1 2 2 xn � 1 xn , n �� xn2 2 có xn xn 1, n �� xn 1 1 1 xn2 xn2 xn xn xn , n �� 2 2 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: a n n 1 �2 � 1 �2 � �2 � x0 x1 � � x2 � � xn � �, n �� 2 �3 � 2 �3 � �3 � n 1 �2 � a 0�a lim � � n �� 2 �� Mà nên phải có a Thử lại với Vậy a 1 xn 0, n giá trị cần tìm � �x1 2014 � xn1 xn 6sin xn , n ��* � � Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: Bài 65 Hướng dẫn giải x3 x �sin x �x, x �0 Sử dụng bất đẳng thức Xét hàm số f x x 6sin x , x f ' x Ta có: Do đó: cos x 33 x 6sin x f x f 0 0x Vậy ta có 0, x mà f(x) đồng biến với x > x2 f x1 xn 1 f xn 0, n �N * xn1 xn xn 6sin xn xn Mặt khác: Vì x x1 2014 xn 6sin xn xn3 xn 6sin xn xn xn 6sin xn xn2 x3 �sin x �x, x �0 x x – 6sinx 0, x xn – sinxn xn xn � xn 1 – xn xn dãy giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử limxn x( x �0) , ta có phương trình: x x 6sin x � x3 x 6sin x Xét hàm số g x x3 x 6sin x g ' x x – 6cosx g’’ x x – 6sinx �0x �0 � g’ x �g’ g x phương trình Vậy limxn Do g x ln đồng biến liên tục với x �0 có nghiệm x an 1 � an bn � an 1 � � an bn2 � a , b a 3, b0 Cho hai dãy số dương n n�0 n n�0 xác định bởi: n 0,1, 2, Chứng minh hai dãy hội tụ tìm giới hạn chúng Bài 66 Với Hướng dẫn giải an tan Ta chứng minh quy nạp a0 tan Với n , ta có a1 Với n , ta có , bn , n 0,1, 2, (*) n 3.2 cos n 3.2 Thật tan , b0 3.2 cos 3.2 , * tan tan , b1 3.2 3 cos 3.21 , * an tan Giả sử khẳng định đến n k , k �1 , tức an 1 tan Ta chứng minh an 1 an 1 , bn n 3.2 cos n 3.2 , bn 1 n 1 3.2 cos n 1 3.2 Thật Từ 1 ta có 2sin n 1 cos n 1 sin cos n n 1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2n 1 cos n cos sin n 1 3.2 3.2 3.2n 1 sin � � sin n 1 cos n 1 � sin n 1 cos n 1 tan n 1 � 3.2 3.2 � � 3.2 3.2 3.2 � � � � cos n 1 sin n 1 � cos n 1 sin n 1 �cos n 1 sin n 1 tan n 1 � � 3.2 3.2 3.2 � 3.2 � 3.2 � 3.2 � 3.2 � a n 1 tan n 1 , suy 3.2 Khi từ bn21 an21 tan 1 1 � bn 1 n 1 3.2 cos cos n 1 n 1 3.2 3.2 an tan Như theo nguyên lý quy nạp lim an lim tan n �� Do Kết luận: n �� 1 tan 0; lim bn lim 1 n n � � 3.2 cos n �� cos n 3.2 lim an 0; lim bn n �� , bn , n 0,1, 2, n 3.2 cos n 3.2 n �� ■ u1 2014 � � u un2 (1 2a )un a ; n 1, 2, Cho dãy số (un ) xác định sau: �n 1 Tìm điều kiện a để dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n � � tính giới hạn Bài 67 Hướng dẫn giải Ta có: un 1 un � (un a) un 1 un ; n 1, 2,3, * Suy dãy số (un ) tăng knn; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy bị chặn Giả sử lim un L ( L ��) n � � 2 , chuyển qua giới hạn hệ thức un 1 un (1 2a )un a ta có: L L2 (1 2a ) L a � L a lim un L a * - Nếu có số k �� mà uk a un a; n �k trái với kết n�� u (1 2a )un a �a, n 1, 2,3, Do đó: uk �a với k 1, 2, hay n � a �u1 �a � a �2014 �a * Đảo lại: Nếu a �2014 �a � a �u1 �a �( u1 a�� 1)( u1 � a) u12 (1 2a)u1 a a u2 a u1 �u2 � a �u2 �a Bằng quy nạp ta chứng minh a �un �a, n 1, 2, 3, Như dãy (un ) tăng knn, bị chặn bới a , dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn lim un a Kết luận: Với điều kiện a �2014 �a dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn n � � n�� Bài 68 u1 � � � un 1 un 2, n ��* � un Cho dãy số (un ) xác định công thức truy hồi � Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn Hướng dẫn giải 1 f ( x) x 2; g ( x) f ( f ( x)) x 2 x x x x Đặt Khi � 2� 2 �x x 1 � � 1 � g '( x) �0 � g ( x) g ( ) � f ( f ( x)) x, x �( ;1) (*) 2 � � x �x � � x � Mặt khác f '( x ) 0, x �( ;1) nên 1 1 ) � f ( f ( x )) f ( ) , x �( ;1) (**) 2 2 f ( x) f ( 1 f ( f ( x)) x, x �( ;1) Từ (*) (**) suy ra: Vậy: u1 u3 lim u2 n 1 n �� 1 � u1 u3 u5 , 2 Do (u2 n 1 ) đơn điệu giảm bị chặn nên tồn �1 � ;1� u2 n f (u2 n 1 ) � lim u2 n f lim u2 n 1 � n �� n �� Vì f ( x ) liên tục � �nên Vậy dãy (un ) phân tích thành hai dãy hội tụ tới giới hạn Do dãy (un ) có giới hạn Bài 69 Cho dãy số un u 2 � �1 n uk � lim u u u u , n � � n �n 1 n 2014 n n �� k 1 u k 1 xác định � Tính Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có: un 1 u1 u2 u3 Giả sử dãy un lim un 1 lim n �� un un 1 un 2014 mà u1 suy dãy un dãy tăng bị chặn suy lim un L n �� với L 2 L0 � un2 2013un L2 2012 L �L �� L 1 2014 2014 � u Vô lý L Suy dãy n khơng bị chặn 0 n �� u n lim un �� lim n �� Ta có un2 2013un � un un 1 2014 un 1 un 2014 �1 un � � 2014 � � un 1 �un un 1 � un 1 �1 � � S n 2014 � �� lim S n 2014 �u1 un 1 � x �� Bài 70 Cho dãy số thực xn � �x1 2014 � xn1 xn 6sin xn , n ��* � � xác định bởi: Tính lim xn ? Hướng dẫn giải x3 x �sin x �x, x �0 Sử dụng bất đẳng thức Xét hàm số f x x 6sin x , x f ' x Ta có: Do đó: cos x 33 x 6sin x f x f 0x Vậy ta có 0, x f(x) đồng biến với x > mà xn 1 f xn 0, n �N * x2 f x1 xn1 xn xn 6sin xn xn xn 6sin xn xn3 Mặt khác: Vì x x1 2014 xn 6sin xn xn xn 6sin xn xn2 x3 �sin x �x, x �0 � x x – 6sinx x x3 xn – 6sinxn n xn � xn 1 – xn xn dãy giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử limxn x( x �0) , ta có phương trình: x x 6sin x � x3 x 6sin x Xét hàm số g x x3 x 6sin x g ' x x – 6cosx � g� x x – 6sinx �0," x �0 g� x �g � 0 Do nghiệm x Vậy limxn g x g x đồng biến liên tục với x �0 phương trình có
Ngày đăng: 14/12/2020, 17:15
Xem thêm: