Bdhsg phan gioi han day so

CHUYÊN ĐỀ GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI 3.1 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG ĐỊNH NGHĨA Cho dãy số ( an ) hội tụ Tùy theo   a1 = a + a    an +1 = 2an − 2an − 3an − 4an − Chứng minh với số thực a ≠ dãy ( an ) xác định :  a , tìm giới hạn dãy ( an )  x1 >  2015  * α  xn +1 = xn + x + x + x3 + L + x 2015 ( n ∈ ¥ ) n n n n xác định  Tìm giới hạn dãy nxn Cho dãy số ( xn ) n → +∞ , với α số thực cho trước   Cho hai số a1 , b1 với < b1 = a < Lập hai dãy số ( an ) , ( bn ) với n = 1, 2, Theo quy tắc sau: giải nghĩa an+1 = (an + bn ) b = a b lim a lim b n +1 n Tính: n → ∞ n n → ∞ n là: , n +1 Cho dãy số ( an ) , a1 = an+1 = an + a lim n = an Chứng minh: n→ ∞ n π π a1 = cos b1 = cos a , b 1 Cho hai số với 8, Lập hai dãy số ( an ) , ( bn ) với n = 1, 2, theo quy tắc sau: an+1 = (an + bn ) b = a b lim a lim b n +1 n Tính: n → ∞ n n → ∞ n , n +1 Cho dãy số ( un ) Cho dãy { U n }  u1 =  un , ∀ n ∈ N *  lim (u n ) un +1 = + u n biết:  Hãy tính n→ +∞ n U1 =  * n  Ui   U n2 + 2009U n ( n ∈ N ) S =   ∑ U = n lim S  n +1 i =1 U i +1 −  Tính x →∞ n 2010 xác định bởi:  Ta lập dãy { S n } với  + un2 − un +1 = , ∀ n ≥ un Cho dãy số ( un ) xác định u1 = 1, a) Chứng minh: un = tan π , ∀ n ≥ n +1 b) Suy tính đơn điệu bị chặn ( un ) Cho dãy số ( xn ) xác định bởi: a.Với n ∈ ¥ ,đặt * yn = x1 > 0; xn +1 = xn + 2014 2015 + + + + 2014 + 2015 , ∀ n ∈ ¥ * xn xn xn xn xn n xn2 Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn tính giới hạn α α để dãy ( nxn ) có giới hạn hữu hạn giới hạn số khác b.Tìm số 10 Cho dãy số { yn } thỏa mãn y1 > 0, y n +1  yn  = y1 + y2 + + yn , ∀n ≥ Chứng minh dãy số  n  có giới hạn n → +∞ un ∈ (0;1) ∀n ≥  u (1 − u ) > c ( u ) n 11 Tìm tất số c > cho dãy số dãy số n thỏa mãn:  n +1 hội tụ tìm tính giới hạn dãy (un ) c Với giá trị   x1 =   x = x + xn ; ∀n ≥ n +1 n n2 12 Cho dãy số (xn) thỏa mãn:  Chứng minh dãy số có giới hạn 13 Cho dãy số ( un ) n un4 + 20132 un +1 = , ∀n ∈ ¥ * = ∑ , ∀n ∈ ¥ * un − un + 4026 k =1 uk + 2013 xác định u1 = 2014, Đặt Tính lim 14 Cho dãy số ( un ) u1 = 2013 un2+1 lim 2  * xác định bởi: un +1 = un − 2, ∀ n ∈ ¥ Tìm n →+∞ u1 u2 un 15 Cho dãy số (an ) thỏa mãn: lim(5an +1 − 3an ) = Tính lim an un2015 + 2un + un+1 = 2014 , un − un + n = 1, 2,3 Với số nguyên dương n , 16 Cho dãy (un ) xác định sau: u1 = n đặt = ∑ i =1 u 2014 i + Tìm nlim → +∞ u1 =  xác định un +1 − 3un+1 = + un , ∀ n ≥ Chứng minh dãy ( un ) có giới hạn 17 Cho dãy số ( un ) hữu hạn tìm giới hạn 18 Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn: x1 = 2015 n Tìm: lim ∑ i =1 xn +1 = xn ( ) xn + ( ∀n ∈ N ) * (*) xi + u1 =  u = u + 12 u { }  n + n 19 Cho dãy số n ; (n = 1; 2;.) xác định bởi:  Chứng minh dãy số { un } có giới hạn Tìm giới hạn 20 Cho dãy số ( xn ) n n, đặt yn = ∑ i =1  x1 = 2,1   xn − + xn2 + xn − x = ( *) , n = 1, 2,  n +1 xác định  Với số nguyên dương x − Tìm lim yn i 21 Cho dãy số ( xn ) xác định x1 = 2016, xn +1 = xn − xn + 1, n = 1, 2,3, a)Chứng minh ( xn ) tăng lim xn = +∞ 1 1 yn = 2016  + + + ÷ xn  Tính lim yn  x1 x2 b)Với số nguyên dương n , đặt 1 ∞ a = sin1 + sin + sin + + n sin ∀n ≥ n 22 Cho dãy ( an ) n =1 : Chứng minh dãy n a lim n2 n u1 = 2, un +1 23 Cho dãy số 24 Cho α>2 ( n + 1) = un + ∀n ≥ un Tính giới hạn n→ +∞ n x1 = α   n+3 x n +1 = 3x 2n +  n dãy số xn với:  a) Chứng minh: ∞  an   2÷  n  n =1 hội tụ tính ( ) lim (n ∈ N ) * x n > với ∀ n ∈ N * b) Chứng minh dãy số ( xn ) có giới hạn tìm giới hạn u1 = 2011  n un +1 = n un − , n ∈ N * xác định:  Chứng minh dãy số ( un ) có giới hạn hữu 25 Cho dãy số ( un ) hạn tính giới hạn u1 = a   2013 u = un + un , ∀n ∈ Ν ∗ n +  a ∈ 0;1 u ( ) ( ) 2014 2014 26 Cho số thực , xét dãy số n với:  ∗ a) Chứng minh rằng: < un < 1, ∀ n ∈ Ν b) Chứng minh ( un ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn  u1 =   u = u − , ∀n ∈ N ∗ n +1 n 3 27 Cho dãy số(un) xác định sau:  ∗ a) Chứng minh rằng: −1 < un < 2, ∀n ∈ Ν b) Chứng minh ( un ) có giới hạn hữu hạn Tìm giới hạn 28 Cho dãy số ( un ) u u u  un2 lim  + + + n ÷ u1 = 1; un +1 = + un , n ∈ N * n →+∞ u un +1   u3 xác định bởi: 2015 Tìm giới hạn sau: u1 = 2013 n∈ N* ) (  29 Cho dãy số ( un ) xác định un − 2un un+1 + 2013 = Chứng minh dãy (un) có giới hạn tính giới hạn 30 Cho dãy số ( xn ) xn4 + x1 = 4, xn +1 = , ∀n ∈ ¥ * xn − xn + xác định bởi: a) Chứng minh n →+∞ lim xn = +∞ ; n b) Với số nguyên dương n , đặt k =1 x + Tính lim yn yn = ∑ k  x1 =  xn2014 x12014 x22014  xn2015 u = + + + + xn n  xn +1 = x2 x3 xn +1 2015 31 Cho dãy số  Tìm giới hạn dãy số un với  x1 =  x x x  xn2 S n = + + + n x = x +  n +1 n x2 x3 xn +1 2015 Tìm giới hạn dãy ( Sn ) với 32 Cho dãy số {xn } xác định   x1 = n  Sn = ∑ k =1 xk + 33 Cho dãy số ( xn ) xác định  xn +1 = xn ( xn + 1)( xn + 2)( xn + 3) + Đặt Tìm limSn 2016  u1 = 2015 1  S = + + + n  u1 + u2 + un + Tính: limSn 34 Cho dãy số (un) xác định bởi:  2un +1 = un + 2un , ∀n ∈ ¥ * Đặt 35 Cho dãy số ( xn ) xn4 + x1 = 4, xn +1 = , ∀n ∈ ¥ * xn − xn + xác định bởi: a) Chứng minh n →+∞ lim xn = +∞ ; n b) Với số nguyên dương n , đặt k =1 x + Tính lim yn yn = ∑ k 3.2 TÍNH GIỚI HẠN BẰNG CÁC CƠNG THỨC CƠ BẢN u1 =  u = u +  n +1 n u n thỏa mãn  Cho dãy số ( an ) ( n ∈ ¥ *) Tìm tất số thực a cho dãy số ( xn ) xác định una xn = n ( n ∈ ¥ * ) hội tụ giới hạn khác  u1 = ; u2 =  u u + un + = n +1 n , ∀n ∈ N * un+1 + un xác định sau:  Cho dãy số ( un ) a) Chứng minh tồn vô số giá trị nguyên dương n để un > b) Chứng minh ( un ) có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn u1 =  * xác định sau un +1 = un ( un + ) ( un + ) ( un + ) + 16, ∀ n ∈ ¥ Cho dãy số ( un ) n Đặt i =1 ui + , tính lim = ∑ ( ) * Cho dãy số thực ( un ) với n ∈ ¥ thỏa mãn ln + un + nun = 1, ∀n ∈ ¥ Tìm lim * n ( − nun ) un n → +∞ Bài Cho dãy số ( an )   a1 = ∀n ≥ 1, n ∈ ¥  2  thỏa mãn: ( n + ) an = n an+1 − ( n + 1) an an +1 Tìm lim an Hướng dẫn giải Dễ thấy an ≠ 0, ∀n ∈ ¥ Từ giả thiết ta có * Với n ∈ ¥ , đặt * yn = ( n + 2) an +1 = n2 − ( n + 1) an 1 + an ta có y1 = 1 2 1 n2 2 2 n + y − = n y − − n + ⇒ n + y = n y ⇒ y = y ( )  n+1 ÷  n ÷ ( ) ( ) n+1 n n +1 n 4 4   n + ( )  n −1 yn =  ÷  n +1 Do 4n ( n + 1)  n− 2 1 y = ⇒ a = n  ÷  ÷ 2  n −1    16 − n ( n + 1) ( n + 1) n 2 2 Vậy lim an = Bài Tính giới hạn sau: x3 − lim a) x → x − b) lim− x→ 2x + x−2 Hướng dẫn giải x2 + x + 4) ( x3 − a).lim = lim =3 x→ x − x→ ( x + 2) b) lim− x→ 2x + = −∞ x−2 Bài Tính giới hạn lim x →1 x + x + + x n − n x −1 Hướng dẫn giải lim x →1 x + x + + x n − n ( x − 1) + ( x − 1) + + ( x n − 1) ( x − 1)[1 + ( x + 1) + ( x + x + 1) + + ( x n −1 + + 1)] = lim lim x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 lim 1 + ( x + 1) + ( x + x + 1) + + ( x n −1 + + 1)  x →1 = 1+ + + … + n = n(n + 1) n Bài Cho n số nguyên dương a ≠ Chứng minh rằng: Lim x →0 + ax − a = x n Hướng dẫn giải n Đặt y = + ax, từ x → ⇒ y → n Lim Vậy x→ Bài + ax y −1 y −1 a = aLim n = a Lim = = n − n − y →1 y − y →1 y − y x n ( ) ( + y + + y + ) Tính giới hạn sau: lim a/ n →∞ 13 + 53 + 93 + + (4n − 3)3 [ + + + + (4n − 3)]  cos x  x sin x lim  ÷ b/ x →  cos 3x  Hướng dẫn giải Câu a n n i =1 i =1 13 + 53 + 93 + + (4n − 3)3 = ∑ (4i − 3)3 = ∑ (64i − 144i + 108i − 27) n n n i =1 i =1 i =1 = 64∑ i − 144∑ i + 108∑ i − 27n + + + + (4n − 3) = n(4n − 2) = 2n − n 2 n(n + 1) n n( n + 1)(2n + 1) n  n(n + 1)  i = ∑ ∑i = ∑ i =   ; i =1 Mà ta có cơng thức: i =1 ; i =1 n Do đó: P ( x) = + 53 + 93 + + (4n − 3)3 đa thức bậc có hệ số bậc 64 / = 16 Và Q( x) = [ + + + + (4n − 3) ] đa thức bậc lim Do đó: n →∞ 13 + 53 + 93 + + (4n − 3) [ + + + + (4n − 3)] = có hệ số bậc 16 =4 Câu b   + cos x − cos x  x sin x cos x lim    ÷ x→0  lim  cos 3x   ÷ x → cos x    = cos3 x cos5 x − cos3 x     cos5 x − cos3 x x sin x cos3 x cos x − cos 3x −2sin x sin x  sin x sin x −8  = lim = lim  = −8 x cos x  Vì x →0 x sin x.cos 3x x →0 x sin x.cos x x →0  x lim Vì lim x→ Bài cos x − cos 3x =0 lim ( + u ) áp dụng công thức u → cos 3x Cho dãy số ( xn ) 1 u  cos x  x sin x lim = e −8  ÷ =e x → cos x   , nên  x1 =  x1 + x2 + 3x3 + + (n − 1) xn −1  , n ≥ 1, n ∈ ¥ lim un  xn = n(n2 − 1) thỏa mãn  Tìm với un = (n + 1)3 xn Hướng dẫn giải x2 = Ta có Với n ≥ : x1 + x2 + x3 + + nxn = n xn (1) x1 + x2 + 3x3 + + (n − 1) xn −1 = (n − 1)3 xn −1 (2) Từ (1) (2) ta có nxn = n xn − (n − 1) xn −1 3 (n − 1)3 xn −1 n − n xn = =( ) .xn −1 Suy n3 − n n n +1 ⇒ xn = ( n −1 n − 2 2 n n −1 ) ( ) ( ) x2 n n −1 n +1 n 4(n + 1) ⇒ xn = lim un lim n = n (n + 1) suy = Bài Tính giới hạn hàm số : L = lim x →1 x + − x − x −1 Hướng dẫn giải Ta có: lim x →1 = 3x + − x − 3x + − x − 3x + + 3x + − = lim x →1 x −1 x −1 lim x + − x −1 3x + − + lim x →1 x −1 x −1 x →1 ( − x − 1)  (2 − x) + − x + 1   + lim ( x + − 2)( x + + 2) lim x + x →1 x →1 ( x − 1)( x + + 2) ( x − 1)  (2 − x) + − x + 1   = lim 3x + x →1 = lim x →1 = (2 − x − 1) ( x − 1)  (2 − x) + − x + 1   −( 3x + 1)  (2 − x) + − x + 1   Bài Tính: Lim x →1 (3x + − 4) x →1 ( x − 1)( x + + 2) + lim x →1 ( x + + 2) + lim = 12 x + − 2011x + 2009 x −1 Hướng dẫn giải x + − − 2011( x − 1) x2 + − lim = lim[ − 2011] x →1 x →1 ( x − 1)( x + + 2) x −1 = lim( x →1 Bài x +1 4021 − 2011) = − x+3+2 Cho dãy số ( an )   a1 = ∀n ≥ 1, n ∈ ¥  2  thỏa mãn: ( n + ) an = n an +1 − ( n + 1) an an +1 Tìm lim an Hướng dẫn giải Dễ thấy an ≠ 0, ∀n ∈ ¥ Từ giả thiết ta có * Với n ∈ ¥ , đặt * yn = ( n + 2) an +1 1 + an ta có y1 = n2 = − ( n + 1) an 1 2 1 n2  y ( n + )  yn+1 − ÷ = n  yn − ÷− ( n + 1) ⇒ ( n + ) yn+1 = n yn ⇒ yn+1 = n 4 4   ( n + 2) 2  n −1 yn =  ÷ n +   Do 4n ( n + 1)  n−2 1 ⇒ an =  ÷  ÷ y1 = 2  n −1    16 − n ( n + 1) ( n + 1) n2 2 Vậy lim an = Bài 10 Cho dãy số { xn } a x1 > 0, xn = (3 xn −1 + ), n = 2,3, xn −1 thỏa mãn Hướng dẫn giải a xn = ( xn−1 + xn −1 + xn−1 + ) ≥ a xn −1 Ta có với n ≥ Do dãy { xn } bị chặn xn a = + ≤ + =1 Với n ≥ , ta có xn −1 4 xn −1 4 ⇒ xn ≤ xn –1 Do { xn } dãy giảm Từ suy dãy { xn } Bài 11 yn = có giới hạn dễ dàng tìm lim xn = a  x1 =   xn+1 = − , ∀n = 1, 2,3,  xn Cho dãy số thực ( xn ) :  Xét dãy số ( yn ) cho : (3 + 5) n ; ∀ n = 1, 2,3, 2n.x1.x2 x3 xn Chứng minh dãy số ( yn ) có giới hạn hữu hạn tính giớn hạn Hướng dẫn giải  Ta có : xn +1 = − ⇒ xn xn +1 = 3xn − ; ∀n = 1, 2,3, xn  Đặt : zn = x1.x2 x3 xn ta có zn + = x1.x2 x3 xn xn+1.xn + = zn xn+1.xn+ = zn (3xn +1 − 1) = 3zn xn +1 − zn = zn + − zn  z1 = x1 =    z2 = x1.x2 = =  Khi :  zn + = 3zn +1 − zn ; ∀n = 1, 2,3, Suy ( zn ) dãy truy hồi tuyến tính cấp Xét phương trình đặc trưng : t − 3t + = ⇔ t = 3± n n  3−   3+  zn = α  ÷÷ + β  ÷÷     Dãy có số hạng tổng quát dạng  −   3+  α +   ÷ 5−3 ÷  ÷ ÷β =   α =    10  ⇔     − +  β = +  ÷ ÷α +  ÷ ÷β =     10 :   Lúc này, ta có n  3+   ÷  (3 + 5) n  yn = n = = x1.x2 x3 xn zn lim yn = Suy :  Vậy : Bài 12 yn → n  3+   ÷   = n n n  3−   3+   3−  α ÷ +β ÷ α ÷ +β 2 +       = n  3−  α lim  ÷ +β +   1 −5 = = β 5+3 10 −5 n → +∞ Cho dãy số ( un ) xác định bởi: u0 = , un +1 = un ∀n ∈ ¥ lim n3un = ? n un + un2 + Tìm n → +∞ Hướng dẫn giải Từ giả thiết un +1 = hữu hạn, giả sử Cũng từ ⇔ un +1 = n un un * u < = ∀ n ∈ ¥ ∀ n ∈ ¥ v = uk n +1 ∑ n n 2un + un2 + n 2un n ta có nên ( ) xác định có giới hạn k =0 lim = c n → +∞ ( c hữu hạn) un 1 ∀n ∈ ¥ = n + un + ∀n ∈ ¥ n un + un + un ta có un +1 1 − = n + u n ∀n ∈ ¥ un +1 un Vậy lim 2n u1.u2 un = lim 2n n →∞ n →∞ +1 = lim 2n +1 lim 2n n +1 n +1 n →∞ n →∞ 2 n 1 = lim 2.lim 2n un lim 2n lim 2n n +1 n +1 n →∞ n →∞ n →∞ n →∞ 2 = lim 2n 2un lim 2n n →∞ = ( n →∞ )( ) +1 + 1 = + 2 Tóm lại ta có: lim = + n n →∞ Cho dãy số Bài 57 ( an ) lim u1.u2 un = + 2 n n →∞ xác định < a1 ≠ Chứng minh an +1 = an + n , ∀n ≥ an Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có (do Nhận xét: ) a1 ≠ 1 a2 = a1 + > a1 an > n, ∀n ≥ Ta chứng minh nhận xét phương pháp quy nap Thật Với n=2 ta có Giả sử (đúng) a2 > ak > k Ta có k ak +1 = ak + > k + ⇔ ak2 + k > ( k + 1) ak ak ⇔ a − ( k + 1) ak + k > k ⇔ ( ak − 1) ( ak − k ) > Suy (đúng) ak +1 > k + Như (điều phải chứng minh) an > n, ∀n ≥ Mặt khác, an+1 − ( n + 1) = an + n n − ( n + 1) = an − n + − an an lim ( an − n ) = n →∞ = a − ( n + 1) an + n ( an − n ) ( an − 1) = an an (1) n Áp dụng (1) ta có  ( a2 − ) ( a2 − 1) a3 − = a2   ( a − 3) ( a3 − 1) a4 − = a3     ( an − n ) ( an − 1) an +1 − ( n + 1) = an  Suy ( a3 − 3) ( a4 − ) ( an +1 − ( n + 1) ) = ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 3) ( a3 − 1) ( an − n ) ( an − 1) a2 a3 an ( a2 − ) ( a2 − 1) ( a3 − 1) ( an − 1) a2 a3 an   1  1 ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) 1 − ÷1 − ÷ 1 − ÷  a2  a3   an  (2)  1 ⇔ an +1 − ( n + 1) = ( a2 − ) ∏ 1 − ÷  i=2  n Ta lại có (do n an + − a −1 an a 1− = n +1 = < n an +1 an +1 an +1 an +1 Suy ) n an > n ⇒ < an n  1 i =2  i a1 a2 an −1 a1 = an an a3 ∏ 1 − a ÷ < a  Từ (2) (vì ⇒ an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) a1 a < ( a2 − ) an n ⇒ < an +1 − ( n + 1) < ( a2 − ) a1 n Mà a1 a = ⇒ lim ( a2 − ) = n →∞ n n →∞ n lim ) an > n Do lim ( an +1 − ( n + 1) ) = hay n →∞ Bài 58 lim ( an − n ) = n →∞ Cho trước số thực dương n∈¥ * xét dãy số dương α Chứng minh dãy ( xn ) ( xn ) thỏa mãn với xnα+1 + < ( α + 1) α xn α − α +1 hội tụ tìm giới hạn Hướng dẫn giải Xét hàm số f ( x ) = xα + , x > x Ta có ; f ′( x) = α xα −1 − α x −1 = f ′( x) = ⇔ x = x0 = α x2 x2 α +1 Ta có bảng biến thiên hàm f ( x) − α +1 : Suy f ( x) ≥ f ( x0 ) = α α − α +1 +α α +1 = (α + 1)α Do xnα+1 + < ( α + 1) α xn Suy hay xn +1 < xn Đặt α − α +1 ( xn ) − α α +1 ≤ xnα+1 + xn +1 dãy giảm Kết hợp với với n ta suy dãy xn > lim xn = β > Chuyển qua giới hạn ta Vậy ( xn ) hội tụ βα + ≤ (α + 1)α β α − α +1 ⇒ β = x0 lim xn = α Bài 59 − α +1 Cho dãy số thực ( un ) thỏa mãn hữu hạn, tìm giới hạn Chứng minh dãy u1 , u2 ∈ (0; 1)   43 un + = un+1 + un , ∀n ≥ có giới hạn (un ) Hướng dẫn giải Xét dãy  x1 = { u1 , u2 }  ( xn ) :   xn +1 = xn + xn 5  Ta thấy xn ∈ (0;1) Ta có xn +1 = Vậy dãy x + xn + xn + xn + xn 43 xn + xn = ≥ x 5 ( xn ) n 13 n > xn tăng, bị chặn nên hội tụ, lim xn = a (0 < a ≤ 1) Chuyển qua giới hạn ta được: a = a3 + a ⇒ a = Ta chứng minh (*) quy nạp theo n xn ≤ u2 n−1 ; u2 n < Ta có Giả sử x1 ≤ u1 ; u2 < xn ≤ u2 n −1 ; u2 n < Suy xn +1 = 43 xn + xn ≤ u23n + u2 n −1 = u2 n +1 < 5 5 xn +1 = 43 4 xn + xn ≤ xn3+1 + xn ≤ u23n +1 + u2 n = u2 n + < 5 5 5 Vậy (*) với n nguyên dương Từ suy lim un = Bài 60 Cho dãy số thực ( xn ) xác định bởi: Chứng minh dãy số  x1 = 2007   x = + xn ∀n ≥  n+1 xn2 −  hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Dễ dàng quy nạp xn > Ta có: = xn +1 = + Vậy xn x −1 n với xn ≤ 2007 n + 1+ < 3+ x −1 n nên dãy bị chặn ∀n ≥ ( xn ) có giới Xét f ( x) = + x x −1 ⇒ f ′( x) = − (x − 1)  ⇒ f ′ ( x ) < x> 2 Ta có: x f ( x) = x ⇔ x = + x −1 ⇔ ( x − 3) = x x −1 ⇔ ( x − x) − 2( x − x) − =  x − x = −1 ( L ) ⇔  x − x = x= + 15 =a Áp dụng định lý Lagrang có: Do xn +1 − a = f ( xn ) − f (a ) = f '(θ n ) xn − a < n   xn − a < <  →0 ÷ x1 − a  n →∞ 2 2 2 lim xn = a = Bài 61 + 15 Cho dãy số ( un ) xác định bởi: Tìm u1 = e  * un +1 = un − 2, ∀n ∈ ¥ u n →+∞ u u u n lim Hướng dẫn giải Vì nên đặt u1 = e > u1 = a + , a a>1 Ta có 1  u2 = u12 − =  a + ÷ − = a + a a  Bằng quy nạp, ta chứng minh n un +1 = a + Xét a2 n , ∀n ∈ ¥ n +1 2 n  n ∏ u = ∏  a i =1 i −1 2i−1 + i =1       2i−1 a − a + i −1 ÷ =  a − i −1 ∏ ÷  ÷   a   a  i =1  a2   a2 n −1   2n    ÷ =  a − a ÷  a + 2n ÷   a    1  n   a − ÷  a + 2n ÷ 2  un +1 un2+1 1  1 a    a  ⇒ 2 = ⇒ lim 2 =  a − ÷ =  a + ÷ − = e − n →+∞ u u u u1 u2 un a  a   2n  n a − n  ÷ a2   Bài Cho dãy số xác định ( xn )  x1 = a  xn2 +  x =  n +1 ( x + 3) , n = 1, 2,3, n  Chứng minh dãy số có giới hạn hữu hạn Tính giới hạn Hướng dẫn giải Theo Cơsy ( xn − 1) ( xn + ) ≤  1 16 xn =  xn + + − ÷ ≥ 1; xn +1 − xn = − ( xn + 3) 2 xn +  dãy giảm, bị chặn 1, dãy có giới hạn Từ lim xn = a ⇒ a = Cho dãy số Bài 62 { xn } , xác định bởi: Chứng minh dãy số  x1 =  2014   xn +1 = + + x , n = 1, 2,3  n hạn hữu hạn tìm giới hạn Hướng dẫn giải Xét hàm số f ( x) = + f '( x ) = −2014 ( 1+ x) 2014 1+ x ) Do f ( x3 ) ⇒ x2 > x4 ⇒ f ( x2 ) < f ( x4 ) ⇒ x3 < x5 ⇒ đơn điệu tăng bị chặn, dãy ( x2n ) dãy đơn điệu giảm bị chặn, nên dãy Suy dãy , ( x2n +1 ) ( x2 n+1 ) ( x2n ) dãy có giới hạn hữu hạn Giả sử lim x2 n +1 = a ,( lim x2 n = b a, b ≥ ) Từ x2 n +1 = f ( x2 n ) ⇒ lim x2 n +1 = lim f ( x2 n ) ⇔ b = f (a ) x2 n + = f ( x2 n+1 ) ⇒ lim x2 n+ = lim f ( x2 n+1 ) ⇔ a = f (b) Vậy ta có hệ 2014  b = + + a ⇔ a = b = 2015  2014 a = + 1+ b  Vậy lim = xn Bài 63 2015 Cho dãy số ( xn ) xác định với số nguyên  x1 = 2,1   xn − + xn2 + xn − x = ( *) , n = 1, 2,  n +1  dương n, đặt Tìm n yn = ∑ i =1 x −4 lim yn i Hướng dẫn giải Ta có kết sau: với số thực a>2 bất kì, ta có a − + a + 8a − a − + a + 4a + a − + ( a + ) > = =a 2 Do Suy dãy 2,1 < x1 < x2 < ( xn ) dãy tăng, giả sử bị chặn tức có giới hạn x − + x + 8x − ⇔ x − = ( x + 3) ( x − ) 2 phương trình khơng có nghiệm hữu hạn lớn Suy dãy ( xn ) lim xn = L > Chuyển qua giới hạn điều kiện (*) ta có phương trình x= tăng không bị chặn nên lim xn = +∞ Ta có xn − + x + xn − n xn +1 = ⇔ xn +1 − xn + = xn2 + xn − ⇔ ( xn +1 − xn + ) = x + xn − ⇔ x 2 n n+2 − = ( xn + ) ( xn − ) x + xn + + 1 1 ⇔ = 2n = = + xn − xn +1 − xn +1 − xn +1 − xn +1 − 1 ⇔ = − xn +1 − xn − xn +1 − Suy n yn = ∑ i =1 1 1 = − = 10 − x − x1 − xn +1 − xn +1 − 2 i Vậy lim yn = 10 Dãy số thực Bài 64 ( xn ) ( n ∈ ¥ ) xác định bởi: Tìm tất giá trị a để  x0 = a ( ∀n ∈ ¥ )   xn +1 = xn − với số tự nhiên n xn < Hướng dẫn giải Giả sử với xn < ∀n ∈ ¥ Từ có xn + = x n +1 −1 < < xn +1 < − Lại từ có − < xn2 − < Suy − − 2− < xn < ⇒ −1 < xn < − , ∀n ∈ ¥ 2 xn − > xn + < 1, ∀n ∈ ¥ Từ xn +1 + 1 1 = xn2 − + = xn2 − = xn − xn + > xn + , ∀n ∈ ¥ 2 2 2 Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức này, ta có: a+ n n 1 2 1 2 2 = x0 + < x1 + <  ÷ x2 + < <  ÷ xn + <  ÷ , ∀n ∈ ¥ 2 3 2 3 3 Mà nên phải có n 2 lim  ÷ = n→+∞   a+ Thử lại với 1 =0⇒a =− 2 a=− Vậy xn = − < 0, ∀n giá trị cần tìm a=− Cho dãy số thực (xn) xác định bởi: Bài 65  x1 = 2014  *  xn+1 = xn − 6sin xn , n ∈¥ Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức x− Xét hàm số x ≤ sin x ≤ x, ∀x ≥ f ( x ) = x − 6sin x , x > Ta có: f '( x ) = Do đó: ( − cos x ) 33 ( x − 6sin x ) f ( x) > f ( 0) = 0x > Vậy ta có ⇒ f(x) ln đồng biến với x > > 0, ∀x > mà xn +1 = f ( xn ) > 0, ∀n ∈ N x2 = f ( x1 ) > x1 = 2014 > * Mặt khác: xn+1 − xn = xn − 6sin xn − xn = x− x ≤ sin x ≤ x, ∀x ≥ 6 xn – sinxn − x < n ⇒ ( xn − 6sin xn ) ⇔ Vì ⇒ xn − 6sin xn − ( xn ) + xn xn − 6sin xn + xn2 x − x – 6sinx < 0, ∀x > xn > ⇒ xn +1 – xn < dãy giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn Giả sử , ta có phương trình: limxn = x( x ≥ 0) xn3 x = x − 6sin x ⇔ x − x + 6sin x = 3 Xét hàm số g ( x ) = x − x + 6sin x g ' ( x ) = x – + 6cosx g’’ ( x ) = x – 6sinx ≥ 0∀x ≥ ⇒ g ’ ( x ) ≥ g’ ( ) = ⇒ phương trình Vậy Do g ( x) = g ( x) đồng biến liên tục với có nghiệm x=0 x≥0 limxn = Cho hai dãy số dương Bài 66 n = 0,1, 2, xác định bởi: ( an ) n≥0 , ( bn ) n≥0 a0 = 3, b0 = Với + an +1  an + bn = − a n +1  a + = b n  n Chứng minh hai dãy hội tụ tìm giới hạn chúng Hướng dẫn giải Ta chứng minh quy nạp an = tan Với Với n=0 n =1 , ta có π , bn = , n = 0,1, 2, (*) n π 3.2 cos n 3.2 π π a0 = = tan = tan , b0 = = π 3.2 cos 3.2 , ta có a1 = π π = tan = tan , b1 = = 3.2 3 cos π 3.21 Giả sử khẳng định đến Ta chứng minh an +1 = tan n = k, k ≥ , tức an = tan π , bn +1 = n +1 π 3.2 cos n +1 3.2 , ( *) , ( *) đúng π , bn = n π 3.2 cos n 3.2 Thật Từ ( 1) Thật ta có Khi từ π π π π π sin n + 2sin n +1 cos n +1 + sin + cos n +1 + an +1 3.2 3.2 3.2 3.2 3.2n +1 = = = π π π − an +1 cos n cos − sin n +1 3.2 3.2 3.2n +1 ( 2) , suy π π   π π π sin n +1 + cos n +1 tan n +1 +  sin n +1 + cos n +1 ÷ 3.2   3.2 3.2 3.2 = 3.2 = π π π π π  π π    cos n +1 − sin n +1 ÷ cos n +1 + sin n +1 ÷ cos 3.2n +1 − sin 3.2n +1 − tan 3.2n +1 3.2 3.2  3.2 3.2   π ⇒ a n +1 = tan n +1 3.2 bn2+1 = an2+1 + = tan π 1 +1 = ⇒ bn +1 = n +1 π π 3.2 cos cos n +1 n +1 3.2 3.2 Như theo nguyên lý quy nạp an = tan Do π , bn = , n = 0,1, 2, n π 3.2 cos n 3.2 π 1 lim an = lim tan n = tan = 0; lim bn = lim = =1 n →+∞ n →+∞ n →+∞ π 3.2 cos n →+∞ cos n 3.2 Kết luận: ■ lim an = 0; lim bn = n →+∞ Bài 67 n →+∞ Cho dãy số xác định sau: dãy số Tìm điều kiện u1 = 2014  2 un +1 = un + (1 − 2a )un + a ; ∀n = 1, 2, (un ) có giới hạn hữu hạn (un ) n → +∞ tính giới hạn Hướng dẫn giải Ta có: un +1 − un = (un − a) ≥ ⇒ un +1 ≥ un ; ∀n = 1, 2,3, * Suy dãy số tăng knn; từ dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn dãy bị chặn (un ) Giả sử , chuyển qua giới hạn hệ thức lim un = L ( L ∈ ¡ ) ta có: un +1 = u + (1 − 2a )un + a n →+∞ n trái với kết L = L + (1 − 2a) L + a ⇔ L = a 2 - Nếu có số mà k ∈¥ * uk > a un > a; ∀n ≥ k lim un = L = a n →+∞ a để Do đó: với uk ≤ a k = 1, 2, hay u − (1 − 2a )un + a ≤ a, ∀n = 1, 2,3, n ⇔ a − ≤ u1 ≤ a ⇔ a − ≤ 2014 ≤ a * Đảo lại: Nếu a − ≤ 2014 ≤ a ⇒ a − ≤ u1 ≤ a ⇒ (u1 − a + 1)(u1 − a) ≤ ⇒ u + (1 − 2a )u1 + a − a ≤ ⇒ u2 ≤ a u1 ≤ u2 ⇒ a − ≤ u2 ≤ a Bằng quy nạp ta chứng minh a − ≤ un ≤ a, ∀n = 1, 2, 3, Như dãy tăng knn, bị chặn bới (un ) Kết luận: Với điều kiện Bài 68 a − ≤ 2014 ≤ a Cho dãy số a , dãy số có giới hạn hữu hạn (un ) dãy số có giới hạn hữu hạn (un ) n → +∞ xác định cơng thức truy hồi có giới hạn hữu hạn tính giới hạn (un ) Hướng dẫn giải Đặt Khi 1 f ( x) = x + − 2; g ( x ) = f ( f ( x )) − x = + −2 x x x+ − x  2 −2  x − ÷( x + 1) 1  g '( x) =  ≤ ⇒ g ( x) < g ( ) = ⇒ f ( f ( x)) < x, ∀x ∈ ( ;1) (*) 2  4 x x+ − 2÷ x   Mặt khác nên f '( x ) < 0, ∀x ∈ ( ;1) f ( x) < f ( 1 1 )= ⇒ f ( f ( x )) > f ( ) = , ∀x ∈ ( ;1) (**) 2 2 Từ (*) (**) suy ra: 1 < f ( f ( x)) < x, ∀x ∈ ( ;1) 2 lim un = a n →+∞ Chứng minh dãy u1 =   * u = u + − 2, ∀ n ∈ ¥ n + n  un  (un ) Vậy: Do = u1 > u3 > 1 ⇒ = u1 > u3 > u5 > , 2 đơn điệu giảm bị chặn nên tồn (u2 n −1 ) lim u2 n −1 = n →∞ Vì liên tục f ( x) nên    ;1   Vậy dãy ( ) u2 n = f (u2 n −1 ) ⇒ lim u2 n = f lim u2 n −1 = n →∞ n →∞ phân tích thành hai dãy hội tụ tới giới hạn Do dãy (un ) có giới hạn (un ) Cho dãy số Bài 69 ( un ) xác định Tính u1 =   un +1 − un = 2014 ( un − un ) , ∀n ≥ Hướng dẫn giải Theo giả thiết ta có: u ( u − 1) un +1 = n n + un 2014 dãy = u1 < u2 < u3 < Giả sử dãy ( un ) ( un ) mà suy u1 = dãy tăng bị chặn suy với lim un = L n →∞ ( L > 2) lim un +1 = lim n →∞ Vô lý L = u + 2013un L + 2012 L ⇔L= ⇔ 2014 2014 L = n L>2 Suy dãy ( un ) không bị chặn =0 n →∞ u n lim un = ∞ ⇒ lim n →∞ Ta có u + 2013un ⇔ u n ( un − 1) = 2014 ( un +1 − u n ) 2014  un  ⇔ = 2014  − ÷ un +1 −  un − un +1 −  un +1 = n n lim ∑ n →∞ k =1 uk uk +1 −  1  ⇒ S n = 2014  − ÷⇒ lim S n = 2014  u1 − un +1 −  x →∞ Bài 70 Cho dãy số thực xác định bởi: Tính lim xn ? ( xn )  x1 = 2014  *  xn+1 = xn − 6sin xn , n ∈¥ Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức x− Xét hàm số x ≤ sin x ≤ x, ∀x ≥ f ( x ) = x − 6sin x , x > Ta có: f '( x ) = Do đó: ( − cos x ) 33 ( x − 6sin x ) f ( x ) > f ( ) = 0∀x > Vậy ta có ⇒ f(x) đồng biến với x > > 0, ∀x > mà xn +1 = f ( xn ) > 0, ∀n ∈ N x2 = f ( x1 ) > x1 = 2014 > * Mặt khác: xn+1 − xn = xn − 6sin xn − xn = Vì x ≤ sin x ≤ x, ∀x ≥ 6 xn – 6sinxn − x < n ⇒ ( xn − 6sin xn ) x− ⇒ xn − 6sin xn − ( xn ) ⇔ x − x – 6sinx < ∀x > xn > ⇒ xn +1 – xn < nên tồn giới hạn hữu hạn , ta có phương trình: limxn = x( x ≥ 0) x = x − 6sin x ⇔ x3 − x + 6sin x = g ( x ) = x − x + 6sin x g ' ( x ) = x – + 6cosx Xét hàm số + xn xn − 6sin xn + xn2 dãy giảm bị chặn Giả sử xn3 g ′′ ( x ) = x – 6sinx ≥ 0," x ≥ ⇒ g ′ ( x ) ≥ g′ ( 0) = nghiệm Vậy limxn = Do x=0 g ( x) đồng biến liên tục với x≥0 ⇒ phương trình g ( x) = có ... GM, ta có: ( ) x n = x + x n + = n x + x n + 1.1  n n n n −1 sô xn2 + x n + 1 +1 +  + n so n < (2) (Chú ý < xn nên xn + xn + ≠ , bất đẳng thức khơng có dấu bằng) +) Mặt khác xn < , nên