2 giới hạn dãy số dạng phân thức hữu tỷ

BÀI GIẢNG: DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC HỮU TỶ CHUYÊN ĐỀ: GIỚI HẠN MƠN TỐN LỚP 11 THẦY GIÁO: NGUYỄN CƠNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM PHƯƠNG PHÁP VÀ KINH NGHIỆM GIẢI NHANH GIỚI HẠN DÃY SỐ PHÂN THỨC HỮU TỈ Phương pháp làm L  lim P  n an  bn 1  cn 2   d  lim Q  n a ' n   b ' n  1  c ' n  2   d '  + Nhận dạng vô định   ta chia tử mẫu cho n k với k số mũ cao đặt n , n  làm  thừa số chung rút gọn + Áp dụng giới hạn đặc biệt học * Giới hạn đặc biệt (dễ nhớ)  n  nk lim nk    k  lim lim q n  *  *   q  1 lim q n    q  1 lim c  c  c  const  Kinh nghiệm giải nhanh L  lim P  n an  bn 1  cn 2   d  lim Q  n a ' n   b ' n  1  c ' n  2   d ' a Ta có cách giải nhanh phương pháp so sánh bậc tử bậc mẫu phân thức đơn giản + Nếu bậc P  n   Q  n   L  + Nếu bậc P  n   Q  n   L  a a' Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! + Nếu bậc P  n   Q  n   L   a.a '   L  , a.a '   L   b Kiểm tra kết máy tính cầm tay + Ta nhập ngun cơng thức dãy số + CALC X  1010 , tùy giảm xuống 106 , 102 , ý có máy lỗi + Ấn “=”: Một cách tương đối, ta hiểu kết 10 dương   , -10 dương   , 10 âm Do 0 Các kết hữu hạn xấp xỉ, ta làm tròn lên c Sử dụng phương pháp vô lớn + Một phương pháp giải tổng qt thầy Nguyễn Cơng Chính tổng qt đúc kết kinh nghiệm nhiều năm + Phương pháp ngắn gọn, dễ hiểu, kết nhanh chóng xác, áp dụng cho nhiều tính  giới hạn, đặc biệt với dạng    + Giải hiệu với khó, khơng tính máy tính có chúa tham số m Cơ sở phương pháp P  n an  bn 1  cn 2   d an L  lim  lim  lim Q  n a ' n   b ' n  1  c ' n  2   d ' a ' n nk   gọi vô lớn Ta giữ lại vô lớn bậc cao tử mẫu, gạch bỏ hết vơ lớn bậc thấp Sau nhanh chóng so sánh bậc để có kết B BÀI TẬP ÁP DỤNG GIỚI HẠN PHÂN THỨC HỮU TỈ I Bài tập tự luận Bài 1: Tìm giới hạn sau: 3n2020  n  a) lim 2020 4n  2n  c) lim 2n  n  3n3  2n2  b) lim 2n  n  4n  d) lim n2  3n5   n  2n 3 Hướng dẫn giải Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! a) lim 3n2020  n       4n2020  2n     Chia tử mẫu cho n2020 L  lim 3 4 n 2019 n 2019   n 2020 n  30  400 2020 Phương pháp nhẩm nhanh vô lớn bậc tử = bậc mẫu L a  a' b) lim 2n  n  4n  3 Chia tử mẫu cho n3  n n  00  L  lim 1  1  n n Nhẩm nhanh VCL bậc tử < bậc mẫu  L c) lim 2n  0 n3 n 2n  n       3n3  2n2     Cách 1: Chia tử mẫu cho n3  n n   lim  2n     , lim       L     n n3  n n3    3  n n 2n  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Nhẩm nhanh vô lớn bậc tử > bậc mẫu L 2n4  n   3n3 Cách 2: Chia tử mẫu cho n  n n   lim       0, lim         n L     n2 n4  n n2 n4  n n n   2 n n n 2 n2  3n5  d) lim  n  2n Cách 1: Đặt n với bậc lớn 2 2 1 1 n5     n2     n n  n n  L  lim   lim  1 1   2 n3     n3 n n n  3 n  03    Vì lim n   ; lim n 1  2 002 n n Vậy L   Cách 2: Phương pháp vô lớn L 3n5   n2   2n  Bài 2: Tìm giới hạn    Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!  n    2n  3 b) lim   n  1  2n   n  1  2n  1 a) lim 50  3n  2 20 c) lim 30 10 15 n2  n   n100 n  n3  n5   n99 d) lim 15 2 20 n  3n  1  2n4  3n Hướng dẫn giải  n  1  2n  1 a) lim 50  3n  2 20 30 20        n 1  n    n   n         lim  50    n   n     20 1  1  1      n  n  lim  50 2  3  n  30 1       50 3  0 20 30  230 350  n    2n  3 lim   n  1  2n  10 b) 30 15 15 20 10 15  3     2  3  1       n   n3    n   n   n   n        lim   lim  15 20 15 20          40  n      n  n4   n  n2    n 1   n        1       15 20 3  0   2 10 c) lim 10 15 15 0 n2  n4   n100 n  n3  n5   n99 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!   n100  98  96   1 n n   lim n    lim   n99  98  96   1 n n  Phương pháp vô lớn L d) lim n100  n   n99 n  3n  1  2n4  3n   3 n 1    1  1  n n  n n  lim n n  ; lim   lim   lim     n 3n  n    3n    n4 n  n  Phương pháp vô lớn L n4 1  n  n 2n 3 Bài 3: Tìm giới hạn sau: a) lim  2n  1 n  3  n 1  2n  n  1   b) lim 1  n   n 1   n    n  3  n   d) lim 2000 2004 2006  n  1  n    n   2002  2   c) lim  2n  1    n  2n n  3n     2003 2005 Hướng dẫn giải a) lim  lim  2n  1 n  3  n 1  2n  n  1 2n  6n  n   n 2n  4n   lim 2n  n  1  2n  n  1 2  n n     1  lim 1 2   2   n n Phương pháp vô lớn L 2n.n  n 2n   1 2n.n 2n   b) lim 1  n   n 1  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!  lim  n2  n   lim n 1 n 1     Chia tử mẫu cho n n   lim  n    , lim 1     L  lim     n   n 1 n n  Phương pháp vô lớn bậc tử > bậc mẫu L n  n   n  2  c) lim  2n  1     n  2n n  3n      .0  1  3         4.2  2n  1  2n2  7n  3 n  n n   lim  lim   8 1.1     n  2n  n  3n  1 1   1     n  n n  Nhẩm nhanh vô lớn L 4n2 2n2 8 n2 n2  n    n  3  n   d) lim 2000 2004 2006  n  1  n    n   2002 2003 Phương pháp vô lớn L 2005 n2002 n2003 n2005 n6010  1 n2000 n2004 n2006 n6010 Bài 4: Cho hai dãy số  un    có un  2n n  n2 n 1 a) Tính L1  lim  un   b) Tính L2  lim  un   c) Tính L3  lim 2 un  1  d) Tính L4  lim  un  e) Tính L5  lim  un2  vn2  u  f) Tính L6  lim  n     g) Tính L7  lim un   Hướng dẫn giải Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! a) L1  lim  un    lim un  lim   1   b) L2  lim  un    lim un  lim   1   2 c) L3  lim  2un  3vn  1  lim un  3lim  lim1   1  3.1   d) L4   un   lim un lim   1  1 e) L5  lim  un2  vn2   lim un2  lim vn2   1  12   u  lim un 1 f) L6  lim  n     1   lim   g) L7  lim un   1   Bài 5: Cho hai dãy số  un    có un  n2 2n  n 1 n2 a) Tính L1  lim  un   b) Tính L2  lim   un  c) Tính L3  lim  un  u  d) Tính L4  lim  n    Hướng dẫn giải Ta có lim un  ; lim  a) L1  lim  un    lim un  lim      Tuy kết ta nên hiểu làm trắc nghiệm, khơng trình bày  n2 2n  n  4n  2n L1  lim  un    lim       lim  n  1 n    n 1 n   Phương pháp vô lớn L n3  n   n.n  2n n2  L  lim v  u  lim  b)  n n    n  n 1   lim n  n  n  2n  n  2n  lim    n  1 n    n  1 n   Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Phương pháp vô lớn L c) L3  lim  un   lim  n3  n   n.n 2n    n  1 n   Phương pháp vô lớn L 2n3  2n   n.n  n  1  u   2n n2   2n n   :   lim 0 d) L4  lim  n      lim  n  n  2 n2 n     n  n   Phương pháp vô lớn L 2n   n.n n Bài 6: Cho hai dãy số  un    có un   2n 2n2  n2 n 1 a) Tính L1  lim  un   b) Tính L2  lim   un  c) Tính L3  lim  un  u  d) Tính L4  lim  n    Hướng dẫn giải Ta có lim un  ; lim    2n  2n  L  lim u  v  lim  a)  n n   n  n2    lim n  n  n  2n   n 2n  n   lim 2  n  1 n    n  1 n   Phương pháp vô lớn L 2n 2 n.n  2n  2n   a) L1  lim  un    lim    n 1 n    lim n  n  n  2n   n 4n  6n  n   lim    n  1 n    n  1 n   Phương pháp vô lớn L 4n3  4n   n.n Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất!   2n  n  2n  2n  c) L3  lim  un   lim      lim  n  1 n    n 1 n   2n  2n  Phương pháp vô lớn L u d) L4  lim  n  n.n  4n   2n  n     2n n    lim  lim   1     n  1  2n 2  n  1  2n    Phương pháp vô lớn L 2n n  1 n  2n  Bài 7: Tính giới hạn L  lim     n n2  Hướng dẫn giải L  lim     n n   lim             n n  n n n Đây cách làm sai Chúng ta tính lim áp dụng định lí giới hạn hữu hạn có hữu hạn lim kết lim xác định, không tách lim trường hợp có tổng vơ hạn hay giới hạn vô cực Ta nhận tử tổng n số hạng CSC với un  1, d  n  n  1 n2  1 L  lim  lim  n2 2n 2 Bài tập trắc nghiệm Câu 1: Tính giới hạn L  lim A/ L   3 4n  2n  B/ L   C/ L  D/ L  1 Hướng dẫn giải Bậc tử < bậc mẫu nên L  Chọn C Câu 2: Tính giới hạn L  lim 10  n  2n n2  3n  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! A/ L  B/ L  C/ L  D/ L  2 Hướng dẫn giải Bậc tử = bậc mẫu nên L   Chọn B n2003  2n2020 Câu 3: Tính giới hạn L  lim 2019 n  3n2020 B/ L   A/ L  C/ L   D/ L   Hướng dẫn giải Bậc tử = bậc mẫu nên L  2 Chọn D 3n4  2n2  Câu 4: Tính giới hạn L  lim n  4n  A/ L  B/ L  C/ L   D/ L   Hướng dẫn giải Bậc tử > bậc mẫu nên L 3n4  3n   n3 Chọn C 2n20  n19  Câu 5: Tính giới hạn L  lim 15 18 n n 2 A/ L  B/ L  2 C/ L   D/ L   Hướng dẫn giải Bậc tử > bậc mẫu nên L 2n20  2n2   n18 Chọn D Câu 6: Tính giới hạn L  lim 11 n n 1 3n  Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! A/ L  B/ L  C/ L  D/ L   Hướng dẫn giải Bậc tử < bậc mẫu nên L n n  0 n n Chọn C  2n  n 3n  1 Câu 7: Tính giới hạn L  lim  2n  1  n   A/ L   C/ L  B/ L  D/ L   Hướng dẫn giải Bậc tử = bậc mẫu, theo vô lớn L 3n5  2n Chọn C  2n  n  2n  1  4n  5 3n  2 n  3n 1 Câu 8: Tính giới hạn L  lim A/ L  0 C/ L  B/ L  D/ L   Hướng dẫn giải Bậc tử = bậc mẫu, theo vô lớn L 8n6  8n6 Chọn C  n  1 1  2n  L  lim  n  3  n   Câu 9: Tính giới hạn A/ L  0 B/ L  C/ L  D/ L   Hướng dẫn giải Bậc tử > bậc mẫu, theo vô lớn L 12 32n8  32n2   n Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Chọn A 1  n   n  1 Câu 10: Tính giới hạn L  lim  n  3  n   999 1002 2000 250 C/ L   B/ L  1 A/ L  D/ L   Hướng dẫn giải n3000  1 n3000 Bậc tử > bậc mẫu, theo vô lớn L Chọn B 1  2n  1  2n  Câu 11: Tính giới hạn L  lim  2n    4n   50 60 100 70 B/ L  250 A/ L  C/ L   D/ Không tồn Hướng dẫn giải  2n   2n   2n   4n  50 Theo vô lớn L 100 60 2150  200  250 2 70 Chọn B  3n  1   9n  Câu 12: Tính giới hạn L  lim  n  2 1  3n  10 15 20 10 B/ L  340 A/ Không tồn C/ L   D/ L   Hướng dẫn giải  3n   9n   n   3n  10 Theo vô lớn L 15 20 10 310.920.n50  10 50  920 n Chọn B Câu 13: Biết giới hạn  L  lim  3n 2n  n n  3n  3n   1  a b c , a, b, c  c * , b tối giản Tính c P  a bc 13 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! A/ P  10 B/ P  C/ P  11 D/ P  Hướng dẫn giải  2n  n Theo vô lớn L 1   n  3  1 Vậy P  a  b  c  6 3 2 11 Chọn C Câu 14: Cho hai dãy số  un    có un  A/ L  1  Tính L  lim  un   n 2 n 1 B/ L  C/ L  D/ L  Hướng dẫn giải L  lim  un      Chọn B Câu 15: Cho hai dãy số  un    A/ L   n2 n2 có un   Tính L  lim  un   n2 n 1 C/ L  B/ L   D/ L  Hướng dẫn giải  n2 n2  lim  un    lim     n 1 n    lim n  2n  n  n n2  lim   n  1 n    n  1 n   Chọn D Câu 16: Cho hai dãy số  un    có un  A/ L  u  Tính L  lim n n2 n 1 B/ L   C/ L  D/ L   Hướng dẫn giải L  lim un n2  n2  lim     lim 2n  2  n 1  14 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Chọn A Câu 17: Cho dãy số  un  với un  A/ a  10 an  a  5n   Để dãy số  un  có giới hạn giá trị a là: C/ a  B/ a  D/ a  Hướng dẫn giải L  lim un  lim L 2 an  a  5n  a   a  10 Chọn A Câu 18: Cho dãy số  un  với un  A/ b  2n  b b  5n   Để dãy số  un  B/ b  có giới hạn hữu hạn giá trị b là: D/ b  C/ b Hướng dẫn giải L  lim un  lim 2n  b  b  5n  Chọn A Câu 19: Cho dãy số  un  với un  A/ a  an2  a  5n   Để dãy số  un  có giới hạn vơ cực giá trị a là: C/ a  B/ a  D/ a  Hướng dẫn giải L  lim un  lim an2  5n  an2 an  5n a   L  0, a   L   Chọn B Câu 20: Cho dãy số  un  với un  4n2  an  a  an2   Để dãy số  un  có giới hạn giá trị a là: A/ a  4 B/ a  C/ a  D/ a  Hướng dẫn giải 15 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! L  lim un  lim L 2 4n2  an   an2  a 2a2 a Chọn D Câu 21: Tìm tất giá trị thực a để L tồn hữu hạn L  : L  lim A/ a  0, a  C/ a  0, a  B/  a  5n2  3an4 1  a  n4  2n  D/  a  Hướng dẫn giải 5n2  3an4 L  lim 1  a  n4  2n  3an4 3a  (Vô lớn) 1  a  n  a a  3a 0 1 a a  L0 Chọn C Câu 22: Cho giới hạn a  1 n3  2n  a  Tìm số giá trị nguyên tham số L  lim a  1 n3  n  a   2020; 2020 để L hữu hạn L  A/ 2019 C/ 2021 B/ 2020 D/ 2022 Hướng dẫn giải a  1 n3  2n  a  L  lim a  1 n3  n   a  1 n3 a  1 n3 (Vô lớn) + a   L   , loại + a  1  L   , loại + aL   a  1, a  1 a 1 Vậy a  1, a  1 Theo yêu cầu toán a   2020; 2020  a   2020;0 \ 1 Chọn B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN 16 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! Bài 1: Chứng minh dãy số sau có giới hạn a) un  n 1 n2  b) un  c) un  4n sin 2n  cos 2n 4n2  8n d) un  n  2n  n  n n c) lim  4n  4n  2n  c) lim 2n  n   2n2  1 3n n 2n Bài 2: Chứng minh rằng: 2n  n a) lim 2 n 4 2.3n  5n b) lim n n  3  Bài 3: Tìm giới hạn sau: n  2n  a) lim  2n  3n4 3  n lim  n  1 2n  1 b) 2n   d) lim  n    n3  Bài 4: Tìm giới hạn sau: a)  2n  n  3  n   lim   3n  n  3  2n  1 4   c) lim  n      n  n n  2n     17  n  3  4n3  1 lim 25 50   2n  1  n2  40 b) d) lim 20 n  4n n  n2  n Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Tốn - Lý - Hóa - Sinh - Văn - Anh - Sử - Địa GDCD tốt nhất! ... nhanh vô lớn L 4n2 2n2 8 n2 n2  n    n  3  n   d) lim 20 00 20 04 20 06  n  1  n    n   20 02 2003 Phương pháp vô lớn L 20 05 n20 02 n2003 n2005 n6010  1 n2000 n2004 n2006 n6010 Bài... hạn a  1 n3  2n  a  Tìm số giá trị nguyên tham số L  lim a  1 n3  n  a   ? ?20 20; 20 20 để L hữu hạn L  A/ 20 19 C/ 20 21 B/ 20 20 D/ 20 22 Hướng dẫn giải a  1 n3  2n  a  L  lim... Chứng minh dãy số sau có giới hạn a) un  n 1 n2  b) un  c) un  4n sin 2n  cos 2n 4n2  8n d) un  n  2n  n  n n c) lim  4n  4n  2n  c) lim 2n  n   2n2  1 3n n 2n Bài 2: Chứng