THÔNG TIN TÀI LIỆU
MỘT SỐ KỸ THUẬT TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ NHÌN TỪ CÁC ĐỊNH LÍ TOEPLITZ, STOLZ, CESARO o O o HUỲNH KIM LINH Giáo viên, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa I Lời nói đầu : Trong kì thi học sinh giỏi thường có tốn Dãy số tìm giới hạn dãy số, tốn khó nhiều học sinh gặp khó khăn giải dạng tốn Trong đợt tập huấn lần theo gợi ý ban tổ chức chọn đề tài : “MỘT SỐ KỸ THUẬT TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ NHÌN TỪ CÁC ĐỊNH LÍ TOEPLITZ, STOLZ, CESARO” II Lý thuyết Định lí Stolz: Giả sử lim yn {yn} tăng thực giá trị n N dãy yn tăng thực yn+1 > yn với n > N Khi x n x n 1 x x x x n 1 (a a có lim n = a Tức lim n = lim n n y y n y n y n y y n n 1 n n n n 1 lim hữu hạn vô hạn ) Hệ : Cho dãy {xn} thoả mãn lim xn a Khi n lim n x1 x x n a (suy trực tiếp từ định lí ) n Hệ : Cho dãy{xn} , xn > thoả mãn lim xn a > Khi lim n x1.x x n a n n Thật vậy: lim xn a limln x n ln a n n Theo hệ lim n ln x1 ln x ln x3 ln x n ln a n Hay : lim ln n x1.x x n ln a lim n x1.x2 xn a (đpcm) n n Định lí Toeplitz Giả sử số Pnk(k=1,2,3,…,n; n=1,2,3,…) thỏa mãn điều kiện sau : 1) Pnk n 2) P k 1 nk 3) lim Pnk , với k cố định n Giả thiết cho dãy {xn} hội tụ tới a, tức lim xn a Khi dãy {tn} xác n n định theo công thức t n Pnk x k k 1 n 1, 2, hội tụ x1 x n n Định lí Cesaro Nếu lim x n a lim n xn lim t n a n a III MỘT SỐ BÀI TỐN CĨ LỜI GIẢI : Bài toán 1: Cho dãy số a n thỏa a1 ; a n1 a1 a a3 a n an n n Tính: lim Giải : Trước hết ta chứng minh : a n n 1 Thật vậy: a1 a a1 a3 a1 a Giả sử: a k k 1 a 2k a k k k k a k 1 a k2 a k k Vậy: a n n 1 lim a n n Theo định lí Stolz: an a2 a2 (a a ) a n2 1 a n 1 lim(a n a n 1 ) lim n n 1 = lim n 1 n 1 lim n n n n a a n n a a a n a n 1 n n 1 n n 1 lim 1 1 = lim lim lim 2 n n n a an a n 1 a n 1 n 1 n a n 1 a n 1 a 2n 1 a 2n 1 = lim Bài toán 2: Cho dãy số xn thoả mãn x1 ; x n 1 xn xn2 (n 1) Tính: n(1 nx n ) n ln n lim Giải : + Ta chứng minh lim x n n x2 = x1– x12 = x1(1– x1) > Ta có: Theo bất đẳng thức Cơsi : x x1 x2 = x1(1 – x1) 4 x2 x x2 (0;1) Tương tự: x3 (0;1) , , x n (0;1) n Mà xn+1 = xn– x2n xn dãy Ta có: Vậy : xn giảm bị chặn nên lim x n =a n a = a – a2 a = lim x n n + Ta chứng minh lim (nxn ) n 1 1 x x x (x n x n2 ) x Xét lim lim n lim lim n n1 lim n n nx n n n x n x n (x x )x x x n n n 1 n n n n n1 x 2n lim n x (1 x ) n x n n n = lim Suy lim(nxn ) n + Ta có : n n(1 nx n ) nx n (1 nx n ) nx n xn lim lim lim(nx n ).lim 1.lim n n n n x ln n n ln n ln n x n ln n n xn 1 1 (n 1) ( n) 1 x xn x (1 x n ) x n 1 xn 1.lim n 1 lim n lim n n n n 1 n 1 ln(n 1) ln n ln ln n n lim n nx n (1 x n )n.ln(1 ) n lim n nx n (1 x n )ln(1 )n n 1 (1 0).ln e Bài toán 3: Cho dãy số {an} thoả mãn a1 > a n 1 a n a lim n an (n 1) Tính a1 a a n n n n an n b lim Giải: a) Ta thấy an > a n 1 a n an an Suy an dãy số dương tăng thực Nếu an bị chặn tồn lim a n n 1 vơ lí lima n n Xét: a 2n lim(a 2n 1 a n2 ) lim (a n )2 a n2 n n n n an lim = lim(2 n an ) lim 2 n an n a n 1 a1 a a n a n 1 n 1 b) lim = lim lim n n n n n (n 1) n n n (n 1)3 n3 n 1 Mà lim n a n 1 n 1 3 (n 1)3 n3 3n 3n n n2 lim lim lim 3 n n n n 1 n 1 n 1 n 1( (n 1) n ) ( ) n n a1 a a n 2 = n 3 n n lim Bài toán 4: Với k số nguyên dương cho trước Xét dãy số {xn} xác định xn= 1k 2k 3k n k n k 1 Tìm lim x n n Giải: Ta có dãy nk 1 dãy tăng lim nên theo định lí Stolz, ta được: n (n 1)k (n k kn k 1 1) n k kn k 1 1 lim lim k k k n (n 1) n n k 1 (k 1)n k 1 n k 1 n (k 1)n n k 1 lim x n lim n Bài toán 5: Với k số nguyên dương cho trước, xét dãy số xn xác định bởi: 1k 2k n k xn n k 1 n k Tìm : lim x n n Giải: 1k 2k n k n (k 1)(1k 2k n k ) n k 1 lim x n lim lim n n nk k n (k 1).n k Áp dụng định lý Stolz có: (k 1)(n 1)k (n 1)k 1 n k 1 n (k 1) (n 1)k n k lim x n lim n (k 1)(n k k.n k 1 1) (n k 1 (k 1)n k 1) n k 1 n (k 1) (n k kn k 1 1) n k = lim (k 1).k k 1 n (k 1)(k.n k 1 1) (k 1).k.n k 1 = lim n k (k 1) n k 1 = lim n (k 1).kn k 1 Bài toán 6: x n (n 1) Cho dãy số xn thoả mãn : xn a0 nlim x n 1 Tìm : lim n x n n Giải: xn a lim ln x n ln x n1 ln a n x n n 1 Ta có : lim Theo định lí Stolz : lim n ln x n ln a limln n x n lim n x n a n n n Bài tốn 7: Tính : n ; n n! A = lim B = lim n n2 n! Giải: Ta xét giới hạn mạnh : n nn n C = lim lim a n , với a n n n n! n n! Ta có n 1 nn a n n n n 1! an 1 n! a n1 n! n 1n1 n 1 Vậy an e suy lim n a n e (Theo toán 6) n n a n 1 lim n e n n n! Hay lim * n n k n! Từ ta tính D lim k N Xét n n! n n n! D lim elim n n n! k n! n k n! Đặt dn n n! từ (*) suy limdn n Mặt khác n 1 n lim nên lim d nk n n k Do D elim n Vậy A = B = dn d n k n elim n d n 1 k n e.0 CHÚ Ý : Ta chứng minh A = B = mà không cần sử dụng Định lí Stolz Chẳng hạn n6 n6 1 B lim lim lim 0 n n! n n n 1 n n 3 n n 5 n ! n n ! Bài toán 8: Cho dãy số xn thoả mãn xn 2xn 1 xn 2 k n (k số cho trước) Tính : lim n xn n2 Giải: Từ xn 2xn 1 xn 2 k n Ta suy : xn xn1 xn1 xn2 k xn2 xn3 2k x1 x0 n 1 k Đặt : x1 x0 a k x n x n1 a nk xn , theo Định lí Stolz ta cần tính n n Để tính lim x n x n1 x x a nk k lim n n1 lim n n n 1 n 2n 1 n 2n 1 lim Vậy lim n xn k n2 2 Bài toán 9: Cho dãy số un xác định : u1 un1 eun 1; n Tính : a) lim u n b) lim(nun ) n n Giải: Chứng minh quy nạp, ta un 0, n N* Sử dụng tính chất đơn điệu hàm số ta chứng minh ex 1 x, x Vì u n1 eun 1 un u n tăng thực Vậy un dãy hội tụ a) Đặt a lim u n Chuyển công thức cho qua giới hạn ta a ea 1 a Vậy n limun n ex 1 ex ex x 1; lim lim x0 x0 x0 x x2 x b) Ta có kết sau : lim (quy tắc L,Hospital) Áp dụng định lí Stolz : n 1 n lim n lim n n 1 n 1 un u n1 u n u n1 u n lim (nu n ) lim n lim n 1 un u n e 1 eu n 1 lim 2 un n eu n u n u e u n n n lim n u 2n u n eu n lim Bài toán 10: Cho x0 0;1 xn1 xn acrsin x n , n Tính lim nx n n Giải: Rõ ràng acrsin x n acrsin x n x n Suy un dãy giảm bị chặn sin x n 1 n x n Dễ thấy dãy hội tụ Khi lim x n lim n Viết lại dãy số sin x n1 sin x n sin x n sin x n cosx n Ta có : 1 sin x n sin x n1 sin x n sin x n sin x n sin x ncosx n sin x n1 sin x n sin x n sin x n1 sin x n sin x n sin x n sin x ncosx n sin3 x n sin x n sin x ncosx n sin x n sin x n sin x ncosx n sinx n sin x n cosx n sin x n sin x ncosx n Do : 1 lim 1 sinx n1 sinx n n Suy : n nx n lim Vậy : lim nx n n Bài tốn 11: Tính lim n n k n3 k1 Giải: Đặt n x n k, yn n3 ; n 1,2,3, k 1 Ta có n n3 (n 1)3 x n x n1 n lim lim lim n y y n n (n 1)3 n3 (n 1)3 n n n 1 lim n Theo định lí Stolz ta có : n n3 (n 1)3 3n 3n 1 1 n lim n 3 3 n n lim n n xn k lim n3 k1 n yn Nhận xét : Đây toán bản, hướng giải truyền thống mà ta hay gặp dùng tích phân hay bất đẳng thức để thiết lập bất đẳng thức 1 n k 1 n k1 n n3 Rồi dùng ngun lí kẹp Bài tốn 12:(OLYMPIC 30 – 04 – 2000) Cho dãy số un xác định : u0 2000, u n1 u n Tính u 2n u3n lim n n Giải: Dễ thấy un dãy tăng Nếu hội tụ u u u , vơ lí u Do lim un n Xét lim u n n 1 u n 1 1 lim u n u n lim 1 2 n un n u n u n Vậy theo hệ ta : u3n n n lim * Từ toán 12 ta tổng qt tốn sau : Bài tốn 13: Cho dãy số un xác định : u0 1, u n1 u n số tự nhiên cho trước Chứng minh : u kn1 k n n lim 10 , n N, Với k u kn Bài toán 14 : VIỆT NAM TST – 1993) Cho dãy số xn xác định : x0 1, x n1 x n , n N, xn xm Hãy tìm tất giá trị thực m cho dãy n có giới hạn hữu hạn khác n Giải: Tương tự toán 12, ta chứng minh lim xn n Ta lại có : 1 lim x n21 x n2 lim x n xn xn x n2 x n x n n xn xn n 1 lim x n x n 2x n n x x n n xn xn xn 1 2 lim 1 n xn xn x n x n 1 1 xn xn Vậy theo hệ ta : 32 x lim n n n Mặt khác x mn x n2 m 32 x n n n Do m xm lim n n n m xm lim n n n Nếu Vậy 11 m * Nhận xét : Bài tốn có lời giải khác dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki đánh giá chặn hai đầu xn sử dụng nguyên lí kẹp Lời giải đơn giản ngắn gọn, việc tìm m xuất phát từ kinh nghiệm giải toán liên quan đến lượng liên hợp * Ta có tốn tổng quát sau : Bài toán 15 : Cho dãy số xn xác định : x0 1, x n1 x n , n N, m số nguyên mx n dương cho trước Chứng minh : 1 m1 x lim n n n 1 m Bài toán 16 : Cho dãy số un xác định : u0 0, u n1 u n e lim n un , n N, Tính u ln n n Giải: Dễ thấy un dãy giảm Mặt khác : u n1 e un 12 u 2n u n e 1 e u n u n un u n1 1 n u n Từ ta có : lim un Ta có : lim n Mặt khác : 1 u3n ln 1 ln n 1 ln n n lim u n lim lim 2 2 n n n 1 2ne un 2neun u 2n1 u n2 Để ý 12 u3n lim n 2ne un2 2 2 lim u3n1.eun1 u3n eun n Và 2 lim eun u3n1 u3n n Thì ta có : u3n lim n 2ne un2 u u u lim n n21 n1 n un 1 Vì un dãy giảm lim u n nên dãy dãy tăng lim n n un un Vậy theo định lí Stolz : lim u 2n ln n n lim n u ln n n Suy : Bài toán 17: Chứng minh dãy {xn} hội tụ dãy trung bình cộng un x1 x x n n n 1, 2, hội tụ lim un lim x n n n Giải Đặt Pnk n n 1, 2, Pnk xn thỏa mãn điều kiện định lí Toeplitz, n t n Pnk x k u n k 1 Do lim un lim x n n n Bài toán18: Chứng minh dãy {yn} hội tụ yn > 0, (n = 1, 2, …) Thì dãy trung bình điều hòa u n 13 n 1 y1 y2 yn n 1, 2, hội tụ lim un lim yn n n Giải yk Giả sử Pnk 1 y1 y2 yn k 1, 2, , xn = yn, (n = 1, 2, …) Khi các điều kiện định lí Toeplitz thỏa mãn, n t n Pnk x k u n k 1 Do lim un lim yn n n Bài toán 19: Chứng minh dãy {xn} hội tụ xn > 0, (n = 1, 2, …) Thì lim n x1.x x n lim x n n n Giải Ta có n 1 x1 x xn n x1.x x n x1 x x n un n Nhưng ta lại có lim lim un lim xn n n n Do lim n x1.x x n lim x n n n Bài toán 20: Các dãy {un}, {vn} xác định sau : u1 = a, v1 = b un u n 1 1 u v , n n 1 , n Chứng minh : 2 a) u n a 2 b a 1 n1 , a b a 1 n1 3 2.4 b) Từ suy : lim u n lim a n 14 n a 2b b a 3 n 1, 2, Giải a) Ta chứng minh phương pháp quy nạp Khi n = 2, ta có u1 v1 a b ba 3(b a) 1 a a a b a 1 2 4 u v 1ab 3(b a) a 3b v2 b a a b a a b a 1 2 4 2.4 Giả sử công thức n = k Suy u2 u k vk a b a 1 k 1 a b a 1 k 1 2 3 2.4 1 1 a b a 1 k 1 k 1 a b a 1 k 2.4 u k 1 u k 1 vk 1 a b a 1 k a b a 1 k 1 2 3 2.4 1 a b a 1 k k 1 a b a 1 k 2.4 2.4 vk 1 Vậy công thức n = k + b) Từ kết câu a) ta suy lim u n lim a n n a 2b b a 3 Bài toán 21: Các dãy {un}, {vn} xác định sau : u1 = a > 0, v1 = b > u n u n 1 1 , , n 1 u n 1 1 Chứng minh : lim u n lim ab n Giải : Khi n = 2, ta có n 1 u n 1 1 2u n 1.vn 1 u n 1 1 u n 1 1 2u n 1.vn 1 u n 1.vn 1 u n 1 1 Vì u n Suy u n u1.v1 ab, n Mặt khác u1 = a > 0, v1 = b > 0, nên phép quy nạp theo n chứng tỏ un > > Ta lại có 15 u n 1 1 u n 1vn 1 u n u n u n u n 1 1 u v n 1 n 1 u n u n u n u n 1 u n 1vn 1 1 u n 1 u n 1vn 1 1 u 1 n 1 u v n 1 n 1 Do phép quy nạp theo n chứng tỏ u v1 u n u1 v1 u n u1 v1 Vì u1 v1 2n 1 1 u v1 lim lim n u v n u v n n u n Nên ta có u n Ta có u n Vậy lim n u n u1v1 u n u1v1 u n u1v1 u n u1v1 2n 1 Từ suy lim u n u1v1 ab n u n u1.v1 ab Vì ab ab ab nên lim lim ab n n n n u un ab n Bài toán 22: Các dãy {un}, {vn} xác định sau : u1 = a > 0, v1 = b > u n u n 1 1 , u n 1.vn 1 , n Chứng minh : dãy {un} {vn} hội tụ lim un lim n n Giải : Theo giả thiết un > 0, > với n Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có : u n 1 1 u n 1.vn 1 , n u n Suy un1.vn1 vn1.vn1 vn1 Tương tự ta có : 16 n 2 vn1 vn2 v2 u1v1 ab n 2 Mặt khác : un u n 1 1 u n 1 u n 1 u n 1 , n 2 Tương tự ta có : u n u n 1 u n 2 u2 u1 v1 a b 2 n 2 Vậy dãy {un} giảm bị chặn v2 ab Còn dãy {vn} tăng bị chặn u ab Do chúng hội tụ Giả sử lim un A; lim B n n Mặt khác ta có : u n u n 1 1 u v AB lim u n lim n 1 n1 A A B n n 2 Vậy lim un lim n n Bài toán 23: nx1 n 1 x n n2 Chứng minh lim xn a lim n xn a xn Giải : Kí hiệu Pnk n k 1 , k 1, 2, n2 ,n Khi k cố định ta có Pnk 0; lim Pnk n Ta có : n n k 1 n n2 k 1 n lim Pnk lim n k 1 n n 1 n n lim n n 1 1 lim 1 n n n n 1 lim Theo hệ định lí Toeplitz ta có : nx1 n 1 x n n2 lim xn n 1 a x n lim Pnk x k lim x n n n 2 k 1 Bài toán 24: a a Cho lim a n a R Hãy tính lim n n 1 n n 17 a1 2n 1 Giải : Xét Pnk n k 1 , k 1, 2, ,n Khi Pnk 0; lim Pnk n n 1 lim Pnk lim n n k 1 1 2n Mà lim a n a nên theo hệ định lí Toeplitz ta có : n a a lim n n 1 n n a1 lim Pnk a k 2a n 2n 1 k 1 Bài toán 25: a a Cho lim a n a R Hãy tính lim n n11 n n 1 n 1 a1 2n 1 Giải : Xét 1 Pnk , k 1, 2, 2n k n k ,n Ta có : 1n 1 1n 2 lim Pnk lim n 1 n 2 n n 2 k 1 n n Pnk k 1 n 1 n 2 n 1 k 1 2 1 2 1 Mà lim a n a nên theo hệ định lí Toeplitz ta có : n a a lim n n11 n 1 n 1 n a1 2 lim Pnk a k n 1 n k 1 Bài toán 26: (Romania 2007) Cho a (0, 1) dãy số {xn} xác định x0 = a, xn1 xn 1 x2n , n N Hãy tính : lim n xn n 18 Giải : Phân tích Dạng n xn gợi cho nhớ đến định lý trung bình Cesaro Tuy x nhiên để dãy thực có dạng n ta phải xét bình phương dãy nghịch n 1 đảo lại, tức Từ dẫn đến việc xét hiệu nx n nx n1 nx n Lời giải Dễ dàng chứng minh dãy xn giảm bị chặn Từ dãy {xn} có giới hạn hữu hạn Chuyển hệ thức truy hồi sang giới hạn, ta dễ dàng tính lim xn = Xét xn2 1 xn2 xn2 (1 xn2 ) 2 xn21 xn2 xn2 (1 xn2 ) xn2 (1 xn2 ) 2 n nx n Từ đó, theo định lý trung bình Cesaro ta suy lim Suy lim n.xn n 19 IV BÀI TẬP ÁP DỤNG n Bài tập 1: Tìm: lim k k k 1 n n n Đáp số lim k k 1 n Bài tập 2: k n an n n Tính: A = lim (a > 1) loga n n n ; B = lim (a > 1) Đáp số : an A = lim ; n n Cho xn Bài tập 3: B = lim n loga n n x1 (0, ) thoả mãn x n 1 sin x n (n 1) Tìm: lim nx 2n n Đáp số : lim nx 2n n Bài tập : n Chứng minh tồn n a n Giả sử a n dãy số nguyên dương thỏa lim số nguyên dương k cho tồn tối thiểu 2008 số phương nằm : a1 a a k a1 a k pk p n k1 p1 k k 1 k p ! n n Bài tập : Tính lim Đáp số : k pk p e n k 1 p1 k k 1 k p ! Bài tập : n n lim Cho số t > dãy số xn xác định : x1 x n1 x n xn n ln n Tính : lim Đáp số : 20 a k1 xn n ln n t lim ; n etxn TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn CHUYÊN ĐỀ CHỌN LỌC DÃY SỐ VÀ ÁP DỤNG, Nhà xuất Giáo dục, 2008 [2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Nguyễn Văn Tiến MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ GIẢI TÍCH BỒI DưỠNG HỌC SINH GIỎI TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, 2009 [3] Các đề thi tốn Olympic 30 – 04 Phía nam [4] Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Việt Hải CÁC BÀI THI OLYMPIC TOÁN THPT VIỆT NAM (1990-2006) [5] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Nguyễn Thủy Thanh GIỚI HẠN DÃY SỐ CÀ HÀM SỐ NXBGD Hà Nội 2006 21 ... Các đề thi toán Olympic 30 – 04 Phía nam [4] Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Việt Hải CÁC BÀI THI OLYMPIC TOÁN THPT VIỆT NAM (1990-2006) [5] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Nguyễn Thủy Thanh GIỚI HẠN DÃY... a k k k k a k 1 a k2 a k k Vậy: a n n 1 lim a n n Theo định lí Stolz: an a2 a2 (a a ) a n2 1 a n 1 lim(a n a n 1 ) lim n n 1 = lim n 1 n 1 ... 3k n k n k 1 Tìm lim x n n Giải: Ta có dãy nk 1 dãy tăng lim nên theo định lí Stolz, ta được: n (n 1)k (n k kn k 1 1) n k kn k 1 1 lim lim k k
Ngày đăng: 03/05/2018, 12:39
Xem thêm: