GT linh HK gioi han day so va cac dinh ly toeplitz stolz cesaro

Lời nói đầu : Trong các kì thi học sinh giỏi thường có bài toán về Dãy số và tìm giới hạn của dãy số, và là một trong những bài toán khó nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải dạng toán n

1

MỘT SỐ KỸ THUẬT TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ

NHÌN TỪ CÁC ĐỊNH LÍ TOEPLITZ, STOLZ, CESARO

- o O o -

HUỲNH KIM LINH Giáo viên, Trường THPT Chuyên Lê Quý Đôn Khánh Hòa

  

I Lời nói đầu : Trong các kì thi học sinh giỏi thường có bài toán về Dãy số và

tìm giới hạn của dãy số, và là một trong những bài toán khó nhiều học sinh gặp khó khăn khi giải dạng toán này Trong đợt tập huấn lần này theo gợi ý của ban tổ chức tôi chọn đề tài : “MỘT SỐ KỸ THUẬT TÌM GIỚI HẠN DÃY SỐ NHÌN TỪ CÁC ĐỊNH LÍ TOEPLITZ, STOLZ, CESARO”.

II Lý thuyết

1 Định lí Stolz: Giả sử n

nlim y

  và {yn} tăng thực sự hoặc bắt đầu từ một giá trị

N nào đó thì dãy yn tăng thực sự yn+1 > yn với mọi n > N Khi đó nếu

n n 1 n

 = a Tức là n

n n

xlimy

hữu hạn hoặc vô hạn )

Hệ quả 1 : Cho dãy {xn} thoả mãn n

2

nk n nk

1

aa

 b 1 2 n

n

a a alim

2

n nlim

(k 1).k

2lim

k(k 1) n 1

2lim

n 1

x 0 ( n 1)x

 ; B =

2

n 3

nlimn!

lim a e

  (Theo bài toán 6)

n n

   nên

n 1 k n nlim d 

xlimn

 , theo Định lí Stolz ta chỉ cần tính

 

n n 1 n n 1

2 2

lim

 

Suy ra  un là dãy giảm và bị chặn

Dễ thấy dãy hội tụ về 0 Khi n

10

n

n 3

Bài toán 12:(OLYMPIC 30 – 04 – 2000)

Cho dãy số  un xác định bởi : 0 n 1 n 2

ulim n

u

n

 

* Từ bài toán 12 ta có thể tổng quát bài toán sau :

Bài toán 13: Cho dãy số  un xác định bởi : 0 n 1 n k

11

Bài toán 14 : VIỆT NAM TST – 1993)

Cho dãy số  xn xác định bởi : 0 n 1 n

 thì

m n n

 thì

m n n

12

* Nhận xét : Bài toán trên có một lời giải khác là dùng bất đẳng thức Bunhiacopxki đánh giá chặn hai đầu của xn rồi sử dụng nguyên lí kẹp Lời giải trên đơn giản và ngắn gọn, việc tìm được m 3

2 u

2 1 2

Vậy công thức đúng khi n = k + 1

b) Từ kết quả câu a) ta suy ra n n  

17

n n 1 n 2 2 1 1

v v  v   v  u v  ab  n 2Mặt khác :

Bài toán 26: (Romania 2007)

Cho a  (0, 1) và dãy số {xn} xác định bởi x0 = a,  2

n 1 n n

x  x 1 x ,  n N.Hãy tính :

n n x





 Lời giải Dễ dàng chứng minh được rằng dãy xn giảm và bị chặn dưới bởi 0 Từ đó

dãy {xn} có giới hạn hữu hạn Chuyển hệ thức truy hồi sang giới hạn, ta dễ dàng tính được lim xn = 0

)1(

2)

1(

)1(1

1

2 2 2 2

2 2 2

2 2 2 2 2 2

n n

n n n n

x x

x x

x x x x



n n x

20

IV BÀI TẬP ÁP DỤNG

Bài tập 1: Tìm:

n k

k 1 n

klimn

k 1 n

 (a > 1) ; B = lim loga

n

n n

 (a > 1)

Đáp số :

A =

n n

alimn

  ; B = limloga 0

n

n n

nlim 0

a

  Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương k sao cho tồn tại tối thiểu 2008 số chính phương nằm giữa :

21

TÀI LIỆU THAM KHẢO :

[1] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn CHUYÊN

ĐỀ CHỌN LỌC DÃY SỐ VÀ ÁP DỤNG, Nhà xuất bản Giáo dục, 2008

[2] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Nguyễn Văn Tiến MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ

THÔNG Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2009

[3] Các đề thi toán Olympic 30 – 04 Phía nam

[4] Nguyễn Khắc Minh, Nguyễn Việt Hải CÁC BÀI THI OLYMPIC TOÁN THPT VIỆT NAM (1990-2006)

[5] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Nguyễn Thủy Thanh GIỚI HẠN DÃY SỐ CÀ HÀM

SỐ NXBGD Hà Nội 2006