GT vinh VQ gioi han nhin tu cac dinh ly toeplitz stolz cesaro

GIỚI HẠN DÃY SỐ NHÌN TỪ CÁC ĐỊNH LÝ TOEPLITZ, STOLZ, ĐỊNH LÍ TRUNG BÌNH CESARO Võ Quang Vinh, trường Chuyên Nguyễn Tất Thành Kon Tum Email: vqvinh82@gmail.com ; ĐT: 0935039007 Trong b

GIỚI HẠN DÃY SỐ NHÌN TỪ CÁC ĐỊNH LÝ TOEPLITZ, STOLZ,

ĐỊNH LÍ TRUNG BÌNH CESARO

Võ Quang Vinh, trường Chuyên Nguyễn Tất Thành Kon Tum

Email: vqvinh82@gmail.com ; ĐT: 0935039007

Trong bài viết này, tôi đề cập đến mối quan hệ giữa các định lý Toeplitz, Stolz, Bổ đề Cesaro, Định lý trung bình Cesaro và một số bài toán ứng dụng các định lý trên

A Một số định lý về giới hạn dãy số

1 Định lý Stolz, Bổ đề Cesaro, Định lý trung bình Cesaro

1.1 Định lý Stolz

1.2 Bổ đề Cesaro

1.3 Mối quan hệ giữa định lý Stolz và Bổ đề Cesaro

1.3.1 Từ Bổ đề Cesaro chứng minh định lý Stolz

Với giả thiết của định lý Stolz (ta coi x0  0 ), chọn

1

1

n n

n

n n

x x

v

y y









 ta có limv n a

Theo Bổ đề Cesaro ta có

1 1

1

n

k k

k k n

k

x x















1 1

1

n

k k n

k n

y

0

1

n n

x x a y





lim n n n

x a y





1.3.2 Từ Định lý Stolz chứng minh Bổ đề Cesaro

Với giả thiết của Bổ đê Cesaro, ta xét dãy

0

0

n n n n n

x

x v y  x  n





Khi đó , limx n a theo Định lý Stolz ta có

1 1

lim n n lim n

a







 



Cho hai dãy (xn) ,(yn) sao cho: (yn) tăng ngặt và lim yn = + 

1

n n

x x

a

y y









n n

x a

y 

Cho  y n n  (0;  ) tăng ngặt và lim yn = +  và (vn) có lim n

n v a

1 1

1

n

k k k n

k n

1 1

1 1

1

1

k k k n

k n n

k k n

k n

y v y

x x y













0

1

lim

n n

n n n n

x x y

x a y







Như vậy, ta đã chỉ ra Định lý Stolz tương đương với Bổ đề Cesaro

Từ bổ đề Cesaro ta suy ra định lý sau

1.4 Định lý trung bình Casero

Chứng minh:

i) áp dụng Bổ đề Cesaro với

n n n

v x

y n





 

ii) Ta có lim lnxn = lna

1 1

1

n

i i

n 



Hệ quả 1:

i)Nếu lim (xn- xn-1)= a thì lim limx n

a

n 

n

x a x

  thì limn

n

x a

Chứng minh:

i) Chọn yn= n

ii) Ta có lim n 1

n

x a x

1

1

ln

n





vậy limn

n

x a

2 Định lý Toeplitz

a) Định lý Toeplitz





n

x x

n    





lim 1 2

n



Chứng minh

Vì lim an  a nên tồn tại D  sao cho |a n a| D,  n   *(1)

Với mọi   0, tồn tại N  sao cho

2

n

C

     

với mỗi k ta có limC nk  0 nên

1

N nk n

k

C

  

do đó với   0 ở trên tồn tại

M  sao cho

1

2

N nk k

D







 khi đó, với   0 ở trên với mọi n max {N;M} ta có

n

nk

k

N k

C

a

D

C a







Suy ra

Hệ quả

Cho {C nk:1  k n k n; ,   * }  [0;  ) thoả mãn

i) với mỗi k ta có limC nk  0

ii)

1

1

n

nk

k

C





khi đó, nếu lim an  a  limb n a với

1

n

n nk k k





Chứng minh

Từ {C nk:1  k n k n; ,   * }  [0;  ) và

1

1

n nk k

C





1

| |

n

nk

k

C C const



 

chứng minh

Cho {C nk:1  k n k; ,n  * }   thoả mãn

i) với mỗi k ta có limC nk  0

ii)

1

1

n nk k

C





iii)

1

| |

n nk k

C C const



 

khi đó nếu lim an  a  thì limb n a với

1

n

n nk k k





b) Định lý Toeplitz đảo

Cho {C nk:1  k n k; ,n  * }   Nếu với mỗi dãy lim an  a , dãy biến đổi

1

n

n nk k

k



i) với mỗi k ta có limC nk  0

ii)

1

1

n

nk

k

C





iii) tồn tại một hằng số C 0 sao cho

1

n nk k

C C





Chứng minh

0, 1

k

a



 







Khi đó lim an  0

Nên

1

n

k



ii) Xét dãy (a )n xác định bởi công thức a n   1, n khi đólim an  1

Nên

iii) Ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử với mọi C 0 tồn tại n C

sao cho

1

C

n

nk k





1

2 1

| | 10

n nk k

C





của dãy (a )n thoả

1

1

sgn(C ) sgn

1 1

| | 10

n k k

k

a













1

10

n n k k n k

Theo i) tồn tại n0 thoả mãn

1 1

0

n

n k k

n C



  

1

1

1

10

n

n k k k

n

C a





Đặt n2 là số nguyên nhỏ nhất thoả mãn n2  max{n n0; 1} và 2

2 4 1

n

n k k

C



số hạng tiếp theo của dãy (a n) được xác định

2

2

sgn(C ) sgn

1 1

| | 10

n k k

k

k n

a n a









Khi đó

2 1 2 1 2

2

1

10

n n k k n k k n k k n k k n k

suy ra

2

2

(10 1 10 1) 10

10 10

n

Bằng quy nạp ta đã xây được dãy (a n) hội tụ về 0 nhưng dãy biến đổi ( )b n có 1

dãy con phân kì Điều này mâu thuẫn với giả thiết vì vậy iii) đúng

3 Áp dụng định lý Toeplitz chứng minh định lý Stolz

Đặt

1 1

n n n

n n

x x a

y y









 ;

nk

C



Ta có

n nk k

n

x a

y 

B Bài tập áp dụng

Bài 1 : Tính các giới hạn sau

a)

2 1

2

n n

a

k

k

1

1

lim

n

p p

i

i

n   với p >0

Lời giải:

2

n n

x a

n

    ;

1

n

n

a

y

n



 ,thì (yn) tăng ngặt và lim yn = + 

1

1

n n

n n





n n

a

a     n  a



n

x k

n

1

k

n

y n  ,thì (yn) tăng ngặt và lim yn = + 

1 1

(1 )(1 ) (1 ) ( 1)( 2) ( )

1

(1 )(1 ) (1 )

1 lim

1 (1 ) (1 )

n n

k

n n

k

k

n k

k









    

k

k



n

y n  ,thì (yn) tăng ngặt và lim yn = + 

1 1

1 1

lim

lim

lim

1 1

n

i

n n

n n

p

p

S S

y y

n

n

C n C n

p



















 









1

lim

1

n p p i

i p

n   





Bài 2

Cho limx n a Tính

1

1 lim

n i i

x

n i

Lời giải:

Đặt

1

n

i n

i

x

S

i





Và y n  n

1

n

a

a



Áp dụng định Stolz ta suy ra

1

1

n i i

x a

n  i



Mở rộng: Ta có kết quả

1

n i

n  i



Bài 3: Choa  1 Tính lim 1

1

i n n i

i

a  

Lời giải:

Đặt y n a n 1

n



1

n

n n



1

i n n i

a S

i





1 1

1

1

1

,

1

1 1

n

n n

n n

n n

a

S S

n

a











1

1 1

i n n i

i a

a  





Bài 4: Cho k số nguyên dương , tính limn n

nk

C

Lời giải:

1

k

n n

n

a C





k n

n

k C

k 





Bài 5: Cho dãy số (x n) xác định bởi

1

1

x a

x x x x











Tính limx n

n

Lời giải

Ta có (x n)là dãy tăng và bị chặn dưới bởi 1

1

n n n

x x x Giả sử limx n  a , ta suy ra 2 1 2

a a a

a





Vậy limx n  

Do đó

2 1

n

n n n

n

x

x x x

x

2

n x

n 

Bài 6: Cho dãy số (x n) xác định bởi

1 1

2

1 1 4 2

n n

x

u

x 

 











Tính lim nxn

Lời giải

Ta có

1

1

2

1 1 4 2

n n

x

u

x 

 











nên suy ra x n    0, n  *

2x n     1 1 4x n x n x n x n  0

Hay (x n)là dãy tăng và bị chặn trên nên hội tụ

limx n  a a    a a a 0

Ta có

2

1

x x  x  x  x    x   

n

nx

nx     

Bài 7: Cho k là một số nguyên dương và dãy (x n) xác định bởi

1 1

(0;1)

x a

x  x x n











  Tính limk

n

nx

Lời giải

|Ta có (x n n)  (0;1)

1

x  x  x  

Suy ra (x n) là dãy giảm và bị chặn nên hội tụ Giả sử limx n a, ta có

a=a(1-a )k  a 0

Xét

1

0

2

( 1)

k k n

k

i i ki

k n i

k k

n n k

i i ki k

k n i

k n

x

C x

x x

x









 















Do đó

1

lim( k k)

n n

k

x  x 

Áp dụng định lý Stolz ta được

1 lim limk k k

n k

n

Bài 8 (Romania 2007)

Cho a (0;1) và dãy số (x n) xác định bởi

0

2

x a









Tính lim nx n

Lời giải

n n

x

x x

hội tụ

Từ đó ta có

2 1

limx n  limx n(1 lim  x n)  limx n  0

Xét

1

2

Theo định lý trung bình Cesaro ta có

1

n

n n

n

x x





2

n

nx 

Bài 9: Cho a  (1; ) và dãy số (x n) xác định bởi

1 2 2

1 lnx

x a x

x x





 





Đặt

1

2 1 1

( ) ln ( 2)

n

k







Tính limS n

n

Lời giải

Ta có x2n   1 limx2n  1

Ta chứng minh limx2n1 1

Xét hàm số f x( )  x lnx xác định, liên tục và đồng biến trên (1;  ) vì

1

'(x) 1 0, (1; )

x

     

Khi đó, x1  a 1 , giả sử x2k1 1 khi đó x2k3  f x( 2k1)  f(1) 1  theo nguyên lý quy nạp ta suy ra (x2n1) bị chặn dưới bởi 1

Mà, x2n3x2n1  lnx2n1 0 nên (x2n1)là dãy giảm

Từ đó suy ra (x2n1) hội tụ Đặt c limx2n1 ta có

c c c c

Vậy limx2n1  1 limx n  1

Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có



lim

n

n



  

1 ( 1) ln 1 ( 2) ln 3 ln 2 3 1 lim

n

n



lim

n S x n

1 lim

2 2

n

n

Cho dãy số (x n) được xác định như sau :

1

2 3 2011 2012 1

1001 1003

x

 







Tính lim(nx ).n

Lời giải

Từ công thức xác định dãy, ta có :

2012 1

1

n n

n

n

x x

x

x







Ta có x1 (0;1), giả sử x k (0;1) Ta thấy :

2012

1 1

1



1

0 x k x k

qua giới hạn :

2012

0 1

L L

L





Do đó limx n  0

Ta có :

2011 2012 1

1

1

n

x

x  x x





Suy ra

2011 2012 1

1

1

n

x





Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta được :

lim(nx ) 1n 

Bài 11:

Cho a (0;  );b (0;1); dãy số (x n) xác định bởi

1

1 (1 n)b 1, *

n

x a

x

b











1

b

b



Lời giải

Dễ thấy x n    0, n * theo bất đẳng thức Becluni ta có

1 (1 n)b 1 1 1

x

b

        suy ra (x n)là dãy giảm và bị chặn dưới nên hội tụ

Gọi l limx n ta có

a

l

       

Ta có

1 1 1

2

lim

lim

lim

lim

n n

n n

n n

b n n

b n n

b n

n b n n

n

J

x x

x x

x x

x x

b x x

b x

x b

x

b







 













Mà theo quy tắc Hopital ta có

1

1

x



2

x



Từ đó suy ra

1

lim

n n

J

b

x x

 



n

n

nx

b x



Bài 12: Cho dãy số (x n) xác định bởi

1

1

2017

1

*

1 ,

n n

n

x

x









r n x

Lời giải

Dễ thấy x n    1, n *

Ta có

2017 2017 2017 2017 2017

k







n n

x x   x  n n

Do đó limx n  

Xét

2018 2017 2018

2017

2018 2017

1

1

n

n

n

n

x

x

x

x



2017

1

n

n

y

x

2018

2017 2017 1

0

2017

lim

n n

x

x

x





Theo định lý Stolz ta có

2018

2017 2018

2017

n x

n 

Suy ra

2018

2018 2017

2017

2018

2017

2018 r>

2017

r

r

n

khi

khi

khi

















Vậy giá trị cần tìm là r=2018

2017

Bài 13 Cho dãy số (x n) xác định bởi

1

1

3

*

1

4 ,

n n

n n

x









Tìm các số thực r sao cho dãy số ( n)

r

x

Lời giải :

Ta thấy dãy ( n)

r

x

r n x

hữu hạn khác 0

Lời giải

Dễ thấy x n1    1, n  *

Ta có

12

1

k







1 12 1 12 12

n n

x x    x  n n

Do đó limx n  

Xét

1

n n

4

1

n

n

y

x

 ta có limy n  0 do đó

5

n

y



Đặt z n  3y1615n  4y n ta có

1

k n n

z

k y



   

1

15

n n

n

n

x x

y



1

20

4

n n

x  x  

Theo định lý Stolz ta có

5 4

lim(x n ) 5

n 

Suy ra

1 5

1 5 4 4

4

4

4

r

n

khi r

khi

khi r















Vậy giá trị cần tìm là r=4

5

Bài 14 (Tạp chí Toán học và Tuổi trẻ số 434)

Cho a 0 và dãy số (x n) xác định bởi

1

n n

x a









Tìm các số thực r sao cho dãy số (nx )r n có giới hạn hữu hạn và khác 0

Lời giải :

Dãy (nx )r n có giới hạn hữu hạn khác khi và chỉ khi dãy ( )

r n x n



có giới hạn hữu

1 max{ 1; 2; ; 2012} 2

Dễ thấy x n1    0, n  *

Ta có

n n

x x   x  n n

Do đó limx n  

Xét

2

1 2 2012 2.2 2.3 2.2012

1

lim(x n x n)  2

Theo định lí Stolz ta có

2

lim(x n) 2

n 

Suy ra

2 2

-r>2

r

r

n

khi

khi

khi



 









Vậy giá trị cần tìm là r=-2

Một số nhận xét của bài viết:

Định lý Stolz, Bổ đề Cesaro, Định lý trung bình Cesaro có thể được coi là hệ quả của định lý Toeplitz (về biến đổi chính quy từ dãy sang dãy) Chúng có nhiều ứng dụng trong việc tìm giới hạn của các dãy có dạng tổng hoặc tích theo

nên khi sử dụng ta cần chứng minh

như sau:

n n n

m n u

hữu hạn và khác 0 là m  1 a

m

n

u

n có giới hạn hữu hạn và khác 0 là m  1 max{ }a i

Các nhận xét là định hướng để giải quyết các bài toán liên quan

C Bài tập tự luyện

Bài tập 1: Chứng minh trực tiếp định lý Stolz

Cho hai dãy (xn) ,(yn) sao cho: (yn) tăng thực sự và lim yn = + 

1

lim n n

n n

x x

a

y y









n n

x a

y 

Hướng dẫn

Không mất tổng quát giả sử yn >0 với mọi n

Ta có:

1 1

n n

n n

x x

y y











Cộng các bất đẳng thức trên ta có:

1 1 1

M k

x







Ta có:

1





n

x

y

Vậy:lim n

n

x

a

y 

Bài tập2 Cho lima n a , tính 1 1

1

n n

n



Hướng dẫn và đáp số

2

nk n k

1

n n

n



Bài tập 3 Tính các giới hạn sau

n n  n   n

b)

2 1

lim

n n

na 

với a 1.

1

k

n n



Hướng dẫn và đáp số

Áp dụng định lý Stolz

n n  n   n  



b)

2 1

lim

1

n n



1 2

k

n n



Bài tập 4 Cho dãy số (xn)

1

2 1

1

2

n n n

x

x x x

 







Tìm limnxn

Hướng dẫn và đáp số

Ta cóx 0,1  f x( ) 0,1/ 4   0,1 vậy dãy số bị chặn Ngoài ra: 0<xn+1< xn do đó dãy hội tụ về nghiệm của phương trình: x =x-x2 hay lim xn =0

Ta có:

2 1

2

1 1









n

nx

Bài tập 5 Cho dãy số (u n) xác định bởi

3 1

201

1

(0;1)

n n n

u

u  u u



 





Tính lim nu n

Hướng dẫn và đáp số

hạn limu n  0

Tính giới hạn

1

n n

u  u 

Suy ra đáp số lim nu n  1

Bài tập 6 Cho dãy số (u n) xác định bởi

2

1

2

1

,

0

*

u u

n

u

u







 





1

( )

n

k







n

Hướng dẫn và đáp số

Dễ thấy limu2n  0, ta chứng minh limu2n1  0 từ đó suy ra limu n  0 suy ra

lim u n 1

e 

e

n  

Bài tập 6 (Vietnam Team Selection Test 1993)

Dãy số (x n) xác định bởi

1

1

1

n n

n

x

x









r n x

Hướng dẫn và đáp số

2

r

TÀI LIỆU THAM KHẢO K-Nowark, Bài tập giải tích tập 1 “Dãy số và chuỗi số”, 1996, (Đoàn Chi dịch)

http://www.artofproblemsolving.com/community/c1090h1013815

https://nttuan.org/2007/08/12/dinh-li-stolz-cesaro-va-ap-dung/