GT vinh VQ gioi han nhin tu cac dinh ly toeplitz stolz cesaro

GIỚI HẠN DÃY SỐ NHÌN TỪ CÁC ĐỊNH LÝ TOEPLITZ, STOLZ, ĐỊNH LÍ TRUNG BÌNH CESARO Võ Quang Vinh, trường Chuyên Nguyễn Tất Thành Kon Tum Email: vqvinh82@gmail.com; ĐT: 0935039007 Trong viết này, đề cập đến mối quan hệ định lý Toeplitz, Stolz, Bổ đề Cesaro, Định lý trung bình Cesaro số tốn ứng dụng định lý A Một số định lý giới hạn dãy số Định lý Stolz, Bổ đề Cesaro, Định lý trung bình Cesaro 1.1 Định lý Stolz Cho hai dãy (xn) ,(yn) cho: (yn) tăng ngặt lim yn = +  Nếu lim xn  xn 1 x  a lim n  a yn  yn 1 yn 1.2 Bổ đề Cesaro Cho  yn n  (0; ) tăng ngặt lim yn = +  (vn) có lim  a   Khi n  lim n  yn n  (y k 1 k  yk 1 ) vk  a 1.3 Mối quan hệ định lý Stolz Bổ đề Cesaro 1.3.1 Từ Bổ đề Cesaro chứng minh định lý Stolz Với giả thiết định lý Stolz (ta coi x0  ), chọn  xn  xn 1 ta có lim  a yn  yn 1 Theo Bổ đề Cesaro ta có lim n  yn n  (y k 1  lim n  k yn  yk 1 ) n  (x k 1 k xk  xk 1 a yk  yk 1  xk 1 )  a ( xn  x0 )  a n  y n x  lim n  a (đpcm) n  y n  lim 1.3.2 Từ Định lý Stolz chứng minh Bổ đề Cesaro Với giả thiết Bổ đê Cesaro, ta xét dãy  x0    xn  (yn  yn 1 )  xn 1 , n   * Khi , lim xn  a theo Định lý Stolz ta có lim n  xn 1  xn x  a  lim n n  y yn 1  yn n  lim n  yn n  (y k 1 k  yk 1 )vk n  ( xk  xk 1 ) n  y n k 1  lim ( xn  x0 ) n  y n  lim  lim n  xn a yn Như vậy, ta Định lý Stolz tương đương với Bổ đề Cesaro Từ bổ đề Cesaro ta suy định lý sau 1.4 Định lý trung bình Casero Cho dãy (xn) có lim xn  a Khi ta có n  i) lim n  x1  x2   xn a n n x x x  a ii) Nếu xi khơng âm ta có nlim n  Chứng minh: i) áp dụng Bổ đề Cesaro với vn  xn   yn  n n n n ii) Ta có lim lnxn = lna  lim ln n  xi  lim ( ln xi )  ln a i 1 i 1 Hệ 1: i)Nếu lim (xn- xn-1)= a lim lim ii) Nếu xi>0 lim xn  a n xn 1  a lim n xn  a xn Chứng minh: i) Chọn yn= n ii) Ta có lim lim(ln xn 1  a suy xn xn1 ln xn )  ln a  lim(ln xn  ln xn1 )  ln a  lim  ln a  lim(ln n xn )  ln a xn n lim n xn  a Định lý Toeplitz a) Định lý Toeplitz Cho {Cnk :1  k  n; k , n  *}   thoả mãn i) với k ta có lim Cnk  n ii) C  n   nk k 1 n iii) | C k 1 nk |  C  const với n  * n lima n  a   lim bn  a với bn   Cnk ak k 1 Chứng minh Vì lima n  a   nên tồn D  cho | an  a | D,  n   *(1) Với   , tồn N   cho | an  a |  , n  N 2C N với k ta có lim Cnk  nên nlim  | Cnk |  với   tồn  k 1 M    cho  , n  M  2D k 1 đó, với   với n  max{N ; M  } ta có N | C nk N n C k 1 | nk (ak  a)   | Cnk || ak  a |  k 1 n  k  N 1 | Cnk || ak  a |    D C   2D 2C Suy n n lim  Cnk (ak  a)   lim (bn  a Cnk )   lim bn  a n  k 1 n  n  k 1 Hệ Cho {Cnk :1  k  n; k , n  *}  [0; ) thoả mãn i) với k ta có lim Cnk  n C ii) k 1 nk  n   n đó, lima n  a   lim bn  a với bn   Cnk ak k 1 Chứng minh Từ {Cnk :1  k  n; k , n  *}  [0; ) n | C k 1 nk n C k 1 nk  n   ta suy |  C  const với n  * Áp dụng định lý Toeplitz ta có điều phải chứng minh b) Định lý Toeplitz đảo Cho {Cnk :1  k  n; k , n  *}   Nếu với dãy lima n  a   , dãy biến n đổi bn   Cnk ak có giới hạn a k 1 i) với k ta có lim Cnk  ii) C n nk k 1 iii)  n   tồn số C  cho n | C k 1 nk |  C với n  * Chứng minh i) Với k xét dãy (a n ) xác định an  0, n  k  ak  Khi lima n  n Nên lim bn  lim  Cnk ak  lim Cnk  (đpcm) k 1 ii) Xét dãy (a n ) xác định cơng thức an  1, n lim a n  n n k 1 k 1 Nên lim bn  lim  Cnk ak  lim  Cnk  iii) Ta sử dụng phương pháp phản chứng Giả sử với C  tồn nC nC cho | C k 1 nk |  C ta xây dựng dãy (a n ) sau Gọi n1 số nguyên dương bé thoả mãn n1 | C k 1 nk |  102 đặt n1 số hạng dãy (a n ) thoả sgn(Cn1k )  sgn ak   k  n1  | a |   k 10  n1 n1 | Cn1k |  10 k 1 10 Khi đó, bn   Cn k ak  k 1 Theo i) tồn n0 thoả mãn n | C n1k k 1 n1 | 1,  n  n0 từ suy |  Cn1k ak | k 1 ,  n  n0 10 Đặt n2 số nguyên nhỏ thoả mãn n2  max{n0;n1} số hạng dãy (an ) xác định sgn(Cn2k )  sgn ak  n1   k  n2  | a |   k 102  Khi n2 | C k 1 n2 k | 104  10  , n2 n1 k 1 k 1 bn2   Cn2k ak  Cn2k ak  n2  k  n1 1 n1 Cn2k ak  Cn2k ak  k 1 102 n2  |C k  n1 1 n2 k | suy bn2   1  (104   10  1)  102 10 10 Bằng quy nạp ta xây dãy (an ) hội tụ dãy biến đổi (bn ) có dãy phân kì Điều mâu thuẫn với giả thiết iii) Áp dụng định lý Toeplitz chứng minh định lý Stolz Đặt an  xn  xn 1 y y yk  yk 1 ; Cnk  k k 1  yn  yn 1 yn  y0 y1  y0  y2  y1   yn  yn 1 Ta có n yk  yk 1 xk  xk 1 x  xk 1 xn  k  yn k 1 k 1 yn  y0 yk  yk 1 k 1 yn  y0 x áp dụng định lý Toeplitz ta suy lim n  a yn n n bn   Cnk ak   B Bài tập áp dụng Bài : Tính giới hạn sau n a2 an ( a    ) với a  a n 1 n (k  1)! (k  n)! b) lim k 1 (k !   ) n 1! n! n c) lim p 1  i p với p >0 n i 1 a) lim Lời giải: a) a2 an Đặt xn  a    ; n a n 1 ,thì (yn) tăng ngặt lim yn = +  n x x n Và lim n n1  lim  yn  yn 1 na  n  a  yn  n a2 an Áp dụng định lý Stolz suy lim n1 (a    )  a n a 1 (k  1)! (k  n)! b) Đặt xn  k ! ;   1! n! yn  nk 1 ,thì (yn) tăng ngặt lim yn = +  x x (n  1)(n  2) (n  k ) lim n n 1  lim  lim yn  yn 1 n k 1  (n  1) k 1 k (1  )(1  ) (1  ) n n n k 1 n(1  (1  ) ) n k (1  )(1  ) (1  ) n n n   lim 1  (1  )   (1  ) k k  n n (k  1)! (k  n)! (k !   ) k 1 n 1! n! k 1 p 1 c) Đặt yn  n ,thì (yn) tăng ngặt lim yn = +  Suy lim n S n   i p  S n  S n 1  n p i 1  lim S n  S n 1 yn  yn 1  lim np n p 1  (n  1) p 1  lim np C1p 1n p  C p21n p 1   p 1 Áp dụng định lý Stolz ta lim n p 1 n i i 1 p  p 1 Bài Cho lim xn  a Tính lim n xi  n i 1 i Lời giải: n Đặt Sn   i 1 xi i Và yn  n an 1 n   lim an 1 ( n   n )  2a  lim  lim n 1  n n 1  n n 1 n xi Áp dụng định Stolz ta suy lim  2a  n i 1 i n Mở rộng: Ta có kết lim   n i 1 i n n Bài 3: Cho a  Tính lim n1  a i 1 i Sn 1  Sn Lời giải: Đặt yn  a n 1 ta có n  yn1 a(n  1) a  1 n  , lim yn   yn n a 1 Sn   i 1 i a n 1 a Sn 1  Sn  n  ,  n  2n  n 1  n   a a a  yn 1  yn a a 1   n 1 n n 1 n n n Theo hệ bổ đề Cesaro ta lim n1   a 1 a i 1 i n Bài 4: Cho k số nguyên dương , tính lim n Cnkn Lời giải: Đặt an  Cknn  an1 (n  1)k ((n  1)k  1) ((n  1)k  n) kk   an (n  1)nk (nk  1) (nk  n  1) (k  1)k 1 Theo hệ Định lý Cesaro ta lim n Cnkn  kk (k  1)k 1 Bài 5: Cho dãy số ( xn ) xác định   x1  a     xn 1  x1  x2   xn Tính lim xn n Lời giải Ta có ( xn ) dãy tăng bị chặn a  Mà xn21  xn2  xn Giả sử lim xn  a   , ta suy  2 a  a  a vơ lý Vậy lim xn   Do lim(x n 1  xn )  lim   xn2  xn  xn  lim Theo định lý Stolz ta suy lim xn x  xn  xn n xn  n Bài 6: Cho dãy số ( xn ) xác định  lim 1  1 1 xn  x1  2     4un  xn 1   Tính lim nx n Lời giải  x1  2 Ta có    4un nên suy xn  0, n   *  xn 1   Mà xn1 1    xn  xn1  xn  xn21  Hay ( xn ) dãy tăng bị chặn nên hội tụ Giả sử lim xn  a  a  a  a  a  Ta có lim( 1 1  )  lim(  )  lim( )  1 xn1 xn xn 1 xn 1  xn 1  xn 1 Áp dụng định lý Stolz ta suy lim  1  lim nxn  1 nxn Bài 7: Cho k số nguyên dương dãy ( xn ) xác định  x1  a  (0;1)  k  xn 1  xn (1  xn ), n   * Tính lim k nxn Lời giải |Ta có ( xn )n  (0;1) xn1  xn   xnk 1  Suy ( xn ) dãy giảm bị chặn nên hội tụ Giả sử lim xn  a , ta có a=a(1-a k )  a  Xét 1  (1  xnk ) k   k xnk1 xnk xn (1  xnk ) k    (1)i Cki xnki i 0 k n x (1  xnk ) k  k   (1)i Cki xnki  k i 2 (1  xnk ) Do lim( 1  k)k k xn 1 xn Áp dụng định lý Stolz ta lim  k  lim k nxnk  k k k nxn Bài (Romania 2007) Cho a  (0;1) dãy số ( xn ) xác định   x0  a    xn 1  xn (1  xn ) Tính lim nxn Lời giải Ta có xn1   xn2  (0;1) nên ( xn ) dãy giảm bị chặn Do ( xn ) xn hội tụ Từ ta có lim xn1  lim xn (1  lim xn2 )  lim xn  1 xn2  xn2 (1  xn2 )2 (2  xn2 ) Xét    2 xn 1 xn xn (1  xn2 )2 (1  xn2 )2 Theo định lý trung bình Cesaro ta có 1 1 1       2 x xn 1 xn 1 xn  x1 x0 1 lim  lim( n  2) nxn n na 1 1 1       2 x xn 1 xn 1 xn  x1 x0  lim( n ) n 1  lim   xn xn 1 Suy lim nxn  Bài 9: Cho a  (1; ) dãy số ( xn ) xác định  x1  a   x2   x  x  lnx n n  n2 Đặt n 1 Sn   (n  k ) ln x2 k 1 (n  2) k 1 Tính lim Sn n Lời giải Ta có x2n   lim x2n  Ta chứng minh lim x2n1  Xét hàm số f ( x)  x  ln x xác định, liên tục đồng biến (1; ) f '(x)    0, x  (1;  ) x Khi đó, x1  a  , giả sử x2k 1  x2k 3  f ( x2k 1 )  f (1)  theo nguyên lý quy nạp ta suy ( x2 n1 ) bị chặn Mà, x2n3  x2n1   ln x2n1  nên ( x2 n1 ) dãy giảm Từ suy ( x2 n1 ) hội tụ Đặt c  lim x2n1 ta có c  c  ln c  c  Vậy lim x2n1   lim xn  Áp dụng định lý trung bình Cesaro ta có lim x1  x2   x2 n ( x  x   x2 n1 )  (x  x4   x2 n )   lim 1 2n 2n  lim  lim ( x1  x3   x2 n1 )  2n nx1  (n  1) ln x1  (n  2) ln x3   ln x2 n3  2n  lim x1 Sn   n  lim Sn a   n 2 Bài 10 (THTT số 420) Cho dãy số ( xn ) xác định sau : 1001   x1  1003   x  x  x  x3   x 2011  x 2012 n n n n n  n 1 Tính lim(nx n ) Lời giải Từ cơng thức xác định dãy, ta có : xn 1  xn (1  xn2012 )  xn Ta có x1  (0;1) , giả sử xk  (0;1) Ta thấy : xk 1  xk2012  1 xk  xk 0   xk 1  xk Như dãy ( xn ) giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn , chuyển qua giới hạn : L L(1  L2012 ) L0 1 L Do lim xn  Ta có : 1  xn2011   xn 1 xn  xn2012  xn2011 1 Suy lim(  )  lim 1 xn 1 xn  xn2012 Áp dụng định lí trung bình Cesaro ta : lim(nx n )  Bài 11: Cho a  (0; ); b  (0;1); dãy số ( xn ) xác định  x1  a   x xn 1  (1  n )b  1, n   *  b  Chứng minh lim xn  0; lim nxn  2b 1 b Lời giải Dễ thấy xn  0, n   * theo bất đẳng thức Becluni ta có xn 1  (1  xn b )    xn   xn suy ( xn ) dãy giảm bị chặn nên hội tụ b l  [0; a] l  [0;1)   a a  Gọi l  lim xn ta có   l  l  l  l 0 l  1  a   1  a a  1  a        Ta có J  lim  lim (n  1)  n 1  xn 1 xn xn xn 1 xn  xn 1 xn b )  1) b  lim x xn  (1  n )b  b x (1  n )b  xn2 b  lim x xn xn  (1  n )b  b xn ((1  Mà theo quy tắc Hopital ta có x x (1  )b  (1  )b 1 b b lim  lim 1 x 0 x  x lim x 0 x2 2x 2b  lim  lim  x 0 x 0 x x b 1 x x  (1  )b  1  (1  )b 1  (1  )b 2  b b b b b Từ suy J  lim (n  1)  n 2b  1 1 b  xn 1 xn Theo định lý Stolz ta suy lim nxn  lim n 2b  1 b xn Bài 12: Cho dãy số ( xn ) xác định  x1    x  x  , n   * n  n 1 2017 x n  xr n Tìm số thực r cho dãy số ( n ) có giới hạn hữu hạn khác Lời giải Dễ thấy xn  1, n   * Ta có xn2017 1  (x n  2017 2017 k )2017  xn2017   C2017 xn2017k xn k 1 2017 k n x  xn2017  2017 2017 Suy xn2017  xn2017  2017n  2017n 1  2017   x1 Do lim xn   (1  2018 2017 n 1 Xét x 2018 2017 n x  ( xn  2017 xn ) 2018 2017 2018 2017 n x 2018 2017 n x ((1  2018 2017 n ) 2018 2017  1)  x 2018 2017 n ) 2018 2017 x 2018 2017 n x Đặt yn  2018 2017 n ta có lim yn  x 2018 2017 n 1 lim( x 2018 2017 n x )  lim x 0 2018 2017 (1  x) x 1  2018 (Quy tắc L.Hospital) 2017 Theo định lý Stolz ta có lim( 2018 2017 n x n ) 2018 2017 Suy 2018 xr x 2017 r  2018 lim n  lim n x n 2017 n n Vậy giá trị cần tìm r=  0   2018   2017    2018 2017 2018 r= 2017 2018 r> 2017 r< 2018 2017 Bài 13 Cho dãy số ( xn ) xác định  x1    x  x   , n   * n  n 1 x x n n  x n Tìm số thực r cho dãy số ( nr ) có giới hạn hữu hạn khác Lời giải : 1 x Ta thấy dãy ( nr ) có giới hạn hữu hạn khác n xr dãy ( n ) có giới hạn n hữu hạn khác Lời giải Dễ thấy xn1  1, n   * Ta có x12 n 1  ( xn  12 12 k  )  xn12   C12k xn12k (  )  xn12  12 x x x x k 1 n n n n 12 12 Suy x12 n  xn 1  12   x1  12n  12n Do lim xn   n 1 Xét x n 54  x  ( xn   )  xn4 x x n n Đặt yn  ta có lim yn  n x 16 n 1 x n x ( n y 16 Đặt zn  yn15  yn ta có lim n 1 x n x  5 n znk 1  0, k   * yn (1  zn )   yn 4 ((1  zn ) )  15 10 15 10  yn ((1  zn )  (1  zn )  (1  zn )  1) 5 Do lim( xn41  xn4 )  zn5 z4 z3 z2  n  10 n  10 n  5(y15 n  4) yn yn yn yn 15 10 (1  zn )  (1  zn )  (1  zn ) 1 20 5 Theo định lý Stolz ta có x4 lim( n )  n Suy yn ((1  zn )  (1  zn )  (1  zn )  1) zn5  zn4  10 zn3  10 zn2  zn  (1  yn15  yn )   3y  y )   yn yn 15 n r n n  x x lim  lim x nr n n Vậy giá trị cần tìm r=  0    5     < r  r  r Bài 14 (Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 434) Cho a  dãy số ( xn ) xác định  x1  a  2012   xn 1  xn  x  x   x 2012 , n   * n n n  Tìm số thực r cho dãy số (nx rn ) có giới hạn hữu hạn khác Lời giải : Dãy (nx rn ) có giới hạn hữu hạn khác dãy ( xn r ) có giới hạn hữu n hạn khác Như r thoả : r   max{1; 2; ; 2012}  2 Dễ thấy xn1  0, n   * Ta có xn21  ( xn  2012    2012 )2  xn2    xn2  xn xn xn xn Suy xn2  xn21    x12  2n  2n Do lim xn   Xét xn21  xn2  ( xn  ( 2012 2012 2012    2012 )  xn2  (    2012 )  xn (    2012 ) xn xn xn xn xn xn xn xn xn 2012 2.2 2.3 2.2012    2012 )     2011 xn xn xn xn xn xn Suy lim( xn21  xn2 )  Theo định lí Stolz ta có lim( Suy xn2 )2 n 0 xn r xn2  r   lim  lim x n  2 n n   -r2 Vậy giá trị cần tìm r=-2 Một số nhận xét viết: Định lý Stolz, Bổ đề Cesaro, Định lý trung bình Cesaro coi hệ định lý Toeplitz (về biến đổi quy từ dãy sang dãy) Chúng có nhiều ứng dụng việc tìm giới hạn dãy có dạng tổng tích theo số n Tuy nhiên định lý khơng có chương trình tốn chun nên sử dụng ta cần chứng minh Đối với dạng tập tìm giá trị m để dãy có giới hạn hữu hạn khác không quan sát nhận thấy giá trị m có liên quan đến cơng thức dãy sau: + Đối với dãy có dạng un1  un  una điều kiện m để dãy ( unm ) có giới hạn n hữu hạn khác m   a + Đối với dãy có dạng un1  un  b1una  b2una   bk una điều kiện m để dãy ( k unm ) có giới hạn hữu hạn khác m   max{ai } n Các nhận xét định hướng để giải toán liên quan C Bài tập tự luyện Bài tập 1: Chứng minh trực tiếp định lý Stolz Cho hai dãy (xn) ,(yn) cho: (yn) tăng thực lim yn = +  Nếu lim xn  xn 1 x  a lim n  a yn  yn 1 yn Hướng dẫn Không tổng quát giả sử yn >0 với n Ta có:   0, M , n  M  a     xn  xn 1  a yn  yn 1   ( yn  yn 1 )(a  )  xn  xn 1  (a  )( yn  yn 1 ), n  M , M  1, , M  k 2 Cộng bất đẳng thức ta có:   ( yM  k  yM 1 )(a  )  xM  k  xM 1  (a  )( yM k  yM 1 ), k   * 2   [xM 1  yM 1 (a  )] [xM 1  yM 1 (a  ] xM  k  2 -, k   *  (a  )    (a  )  yM  k yM  k yM  k  Ta có:   [xM 1  yM 1 (a  )] [xM 1  yM 1 (a  )]  lim =0  K ,k  K lim k  k  yM  k yM  k   [xM 1  yM 1 (a  )] [xM 1  yM 1 (a  )]   ,  yM  k yM  k Suy   0, M '  M  K , n  M '  a    Vậy: lim xn  a yn xn a yn Bài tập2 Cho lim an  a , tính lim( an an 1 a    n11 ) 2 Hướng dẫn đáp số Áp dụng định lý Toeplitz với Cnk  n  k 1 Bài tập Tính giới hạn sau 1 1 (    ) n n n 1 2n  1.a  2.a   na n b) lim với a  na n 1 n c) lim[ k (1k  2k   nk )  ] n k 1 a) lim Hướng dẫn đáp số Áp dụng định lý Stolz 1 1 (    )  2(  1) n n n 1 2n  1.a  2.a   na n  b) lim n 1 na a 1 n c) lim[ k (1k  2k   nk )  ]= n k 1 a) lim Bài tập Cho dãy số (xn)   x1  Tìm limnx n  x  x  x n n  n 1 ta suy lim( an an1 a    n11 )  2a 2 Hướng dẫn đáp số Xét hàm số: f(x) = x-x2 Ta có x  0,1  f ( x)  0,1/ 4  0,1 dãy số bị chặn Ngoài ra: 0