Dang 1. Diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đồ thị(VDT

Câu [2D3-3.1-3] (Triệu Thái Vĩnh Phúc Lần 3) Mảnh vườn nhà ơng An có dạng hình elip với bốn đỉnh A1 , A2 , B1 , B2 elip cắt elip MN = 4 hình vẽ bên Ông dùng đường Parabol có đỉnh tâm đối xứng M , N , P, Q điểm hình vẽ cho tứ giác MNPQ hình chữ nhật có để chia vườn Phần tơ đậm dùng để trồng hoa phần lại để trồng rau Biết chi phí trồng hoa 600.000 đồng/ m trồng rau với số tiền đây, biết 50.000 đồng/ m Hỏi số tiền gần A1 A2 = m , B1B2 = m ? 4.899.000 đồng C 3.526.000 đồng 5.675.000 đồng D 7.120.000 đồng A B Lời giải Chọn E Diện tích hình Elip có trục trục lớn trục bé 4: S( E ) = 4.2.π = 8π x2 y + =1 16 Phương trình đường Elip:  x2  x2 y + = ⇒ y = ± 1− ÷ Ta có: 16  16  Diện tích trồng hoa: S( H ) = ∫ Diện tích trồng hoa: S( R ) = S( E ) − S(H) Suy số tiền là: Câu 2  x2  3x  − ÷dx+4 ∫ dx  16  T = 50000.S( R ) + 600000.S(H) ≈ 11.742.142 đồng ( P ) : y = x hai điểm A, B thuộc ( P ) cho AB = Diện tích lớn hình phẳng giới hạn ( P ) đường thẳng AB [2D3-3.1-3] (Quỳnh Lưu Nghệ An) Cho parabol A B 2 C Lời giải D Tác giả: ; Fb: PhanKhanh Chọn D Gọi phương trình đường thẳng Phương trình giao điểm AB là: y = ax + b ( a, b∈ ¡ ) AB ( P ) là: x − ax − b = A, B Để có điểm Nên x2 > x1 Mặt khác: a + 4b > ( a + 1) x − x AB = ⇔ Giả sử 2 ( a + 1) ta có x2 − x1 = ( x2 + x1 ) S = ∫ ax + b − x dx = x1 =2 x2 − x1 = x2 Khi  A ( x1; ax1 + b )   B ( x2 ; ax2 + b )   x1 + x2 = a :  x1 x2 = − b ≤2 − x1 x2 = a + 4b a 2 (2 x2 − x1 ) + b ( x2 − x1 ) − 13 ( x23 − x13 ) a  = ( x2 − x1 )  ( x2 + x1 ) + b − ( x22 + x1 x2 + x12 )  2  a  = ( x − x )  a + 2b  a + 4b x2 − x1 ) ( = ( x2 − x1 )  a + b − ( a + b )   = ≤ = ( x2 − x1 ) = b 3 2  6  x1 + x2 = a = ⇔   S = Suy ra: max  x2 − x1 =  x1 = x2 = (thỏa mãn ( P ) có tính đối xứng)  A ( 1;1) ⇒  B ( − 1;1) Câu  A ( − 1;1)   B ( 1;1) [2D3-3.1-3] (Trung-Tâm-Thanh-Tường-Nghệ-An-Lần-2) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = thức đây? ∫ x −( x A − x + ) dx ∫ x dx − ∫ ( x C x3 , y = x − x + trục Ox (tham khảo hình vẽ) được tính theo cơng − ∫ x d x + ∫ ( x − x + ) dx − x + ) dx B 1 ∫ x dx + ∫ ( x D − x + ) dx Lời giải Tác giả: Nguyễn Thùy Linh ; Fb:Nguyễn Thùy Linh Chọn D Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm phần: Phần 1: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục Ox , x = , x = Phần 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x − x + , trục Ox , x = , x = Do diện tích cần tính Câu S = ∫ x dx + ∫ x − x + dx = ∫ x dx + ∫ ( x − x + ) dx 3 1 [2D3-3.1-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk) Cho giới hạn đồ thị hàm số d : ax + by − 16 = a + b qua A y = x+4 , A ( 0;2 ) chia B hình phẳng trục hoành trục tung Biết đường thẳng ( H) ( H) thành hai phần có diện tích Giá trị C D Lời giải Tác giả:Trần Xuân Hà; Fb: Hà Trần Xuân Chọn C Gọi S diện tích hình ( H) Gọi S1 diện tích hình ( H1 ) Do d : ax + by − 16 = Theo giả thiết Do ∫ x + dx = −4 16 giới hạn đường thẳng A ( 0;2 ) suy d , trục tung trục hoành b = 8 S S1 = OA OB ⇒ OB = ⇒ = 3 mà   B  − ;0 ÷   B∈ d ⇒ a = −6 Vậy Câu S1 = qua suy S= a+ b= [2D3-3.1-3] (HSG Bắc Ninh) Cho hàm số y = hình vẽ f ( x) hàm số đa thức bậc bốn có đồ thị Hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = 127 A 40 f ( x); y = f '( x) có diện tích 127 B 10 13 D 107 C Lời giải Tác giả: Tạ Tiến Thanh; Fb: Thanh Ta Chọn C Hàm số cho có dạng f ( x) = ax + bx + cx + dx + e ⇒ f '( x) = 4ax3 + 3bx + 2cx + d Từ giả thiết đồ thị hàm số cho ta thấy đồ thị hàm số qua điểm (− 2;0) , (− 1;1) , (0;1) , (1;0) có hai điểm cực tiểu (1;0) , (− 2;0) nên ta có hệ  f (0)  f (−2)   f (1)  f '(−2)   f '(1) Do = = = = = f ( x) = = = = = =  e  a + b + c + d  ⇔  16a − 8b + 4c − 2d  −32a + 12b − 4c + d   4a + 3b + 2c + d e  a −1   −1 ⇔  b   c   d = −2 = −1 = = = = Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số ∫ = f ( x) = f '( x) x x ⇔ x − x − x + x+2= 0⇔  x 4  x S= = 1 −3 −1 3 3 x + x − x − x + ⇒ f '( x ) = x + x − x − 4 2 Xét phương trình hồnh độ giao điểm = y = f ( x); y = f '( x) f ( x) − f ′( x) dx −2 1 f ( x) − f ′ ( x) = x − x3 − x + x + Vì biểu thức khơng đổi đấu khoảng (− 2; − 1) , 4 (− 1;1) , (1;4) nên ta có S= Câu −1 ∫− [ f ( x) − f '( x)] dx + ∫−1[ f ( x) − f '( x)] dx + ∫1 [ f ( x) − f '( x)] dx = 107 (dvdt ) [2D3-3.1-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) Tính diện tích giới hạn đường A S= S hình phẳng y = x x2 + ; y = x = 2 −1 B S= 3− C S= 3−2 D S= −1 Lời giải Tác giả: Trần Phương ; Fb: Trần Phương Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong: y = x x + trục hoành: y = x x2 + = ⇔ x = 1 S = ∫ x x + dx = ∫ x x + 1dx Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = xdx  x = → t =  Đổi cận:  x = → t = 2 t3 2 −1 S = ∫ t dt = = 31 Câu [2D3-3.1-3] (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3-Bắc-Ninh-2019) S Bắc-Ninh-2019) Tính diện tích (Giữa-Kì-2-Thuận-Thành-3- hình phẳng giới hạn đường y = x x2 + ; y = x = A S= 2 −1 B S= 3− C S= 3−2 D S= −1 Lời giải Tác giả: Trần Phương ; Fb: Trần Phương Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong: y = x x2 + = ⇔ x = 1 S = ∫ x x + dx = ∫ x x + 1dx 0 x x + trục hoành: y = Đặt t = x + ⇒ t = x + ⇒ tdt = xdx  x = → t =  Đổi cận:  x = → t = 2 t3 2 −1 S = ∫ t dt = = 31 Câu [2D3-3.1-3] (KSCL-Lần-2-2019-THPT-Nguyễn-Đức-Cảnh-Thái-Bình) Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số hữu tỷ Tính y= x y= 2x x − S = a + b ln với a , b a+ b ? −1 A B −2 C D Lời giải Tác giả: Trần Phương ; Fb: Trần Phương Chọn A Hình phẳng ( H) giới hạn ( C1 ) : y = x Phương trình hồnh độ giao điểm ⇒ x3 − x − x = ( C1 ) và ( C2 ) : ( C2 ) y= 2x x−1 x2 = 2x x − ( x ≠ 1) x = ⇔  x = −1  x =  x3   2x  2 2 = x + ln x − − S= ∫ − x ÷ dx = ∫  + − x ÷dx  ÷ = − 2ln  −1 x−1 x−1    −1  −1  Suy Câu a= −1 a+b= b = − Vậy [2D3-3.1-3] (Trần Đại Nghĩa) Một viên gạch hoa hình vng cạnh hình bên Diện tích cánh hoa 40cm được thiết kế 400 cm A 800 cm B C 250cm D 800cm Lời giải Tác giả: Nguyễn Duy Mạnh; Fb: Nguyễn Mạnh Tốn Chọn A Diện tích cánh hoa 20   20 x x x  400  ∫0  20 x − 20 x ÷dx=  − 20 ÷÷ =  0 20 Email: thaospk62toan@gmail.com cm Câu 10 [2D3-3.1-3] (Nguyễn Du Dak-Lak 2019) Cho hàm số qua điểm A ( − 1;0 ) Tiếp tuyến ∆ A đồ thị ( C) có đồ thị ( C ) , biết ( C ) hai điểm có hồnh độ lần lượt Biết diện tích hình phẳng giới hạn ∆ , đồ thị ( C ) hai đường ( C) y = ax + bx + c cắt 56 thẳng x = ; x = có diện tích (phần gạch chéo hình vẽ) Tính diện tích hình phẳng giới hạn ∆ , đồ thị ( C ) hai đường thẳng x = − 1; x = A B C D Lời giải Tác giả: Hoàng Thị Mến ; Fb: Hoàng Mến Chọn A Cách 1: Hàm số Ta có: y = ax + bx + c TXĐ: D = R y ' = 4ax + 2bx đồ thị ( C) A đồ thị ( C ) cắt Phương trình tiếp tuyến ∆ A ( − 1;0 ) có dạng y = ( − 4a − 2b ) ( x + 1) ( C ) hai điểm có hồnh độ lần lượt nên phương trình ax + bx + c = ( − 4a − 2b ) ( x + 1) nhận ba nghiệm là: x = − ; x = ; x = Do tiếp tuyến ∆ c = − a − b ⇔  Suy ra:  b = − 3a Vậy  c = 2a   b = − 3a ( C ) : y = ax4 − 3ax2 + 2a = a ( x4 − 3x2 + 2) Bài cho diện tích hình phẳng giới hạn ∆ : y = 2a ( x + 1) ∆ , đồ thị ( C ) hai đường thẳng x = ; x = có 56 diện tích nên: ∫ 2a ( x + 1) − a ( x ⇔ − 3x + ) dx = 56 (∫ 2a ( x + 1) − a ( x − 3x + 2) ) dx = 565 2  − x  56 56 28 56 +x +x ÷ = ⇔ a ∫ ( − x + 3x + x ) dx = ⇔ a  ⇔ a =  0 5 Diện tích hình phẳng giới hạn ∆ , đồ thị ( C ) hai đường thẳng ⇔ a = x = − ; x = là:  x5  4 S = ∫ a ( x − 3x + ) − 2a ( x + 1) dx = ∫ ( x − x − x ) dx =  − x − x ÷ =   −1 −1 −1 0 Cách 2: Giả sử đường thẳng d : y = kx + m tiếp tuyến với ( C ) A ( 0; − 1) nên c = − m = − ( ) Phương trình hồnh độ giao điểm d C ax + bx (do phương trình có nghiệm tốn cho) Theo ta có phương trình a ∫ ( x + 1) x ( x − ) dx = 0 − kx = ⇔ a ( x + 1) x ( x − ) = 56 ⇒ a= S = ∫  2( x − 3x + 2) − ( x + 1)  dx = ∫ ( x − x − x ) dx = Từ ta được −1 −1 Câu 11 [2D3-3.1-3] (CổLoa Hà Nội) Cho hàm số đa thức bậc ba y = f ( x ) = ax3 + bx + cx + d (a ≠ 0) có đồ thị hình vẽ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số hoành A 19 B 27 C y = f ( x) trục D Lời giải Tác giả: Nguyễn Phi Thanh Phong ; Fb: Nguyễn Phi Thanh Phong Chọn C Đồ thị hàm số số có dạng y = f ( x ) cắt tiếp xúc trục hoành lần lượt tại điểm ( −2;0 ) ( 1;0 ) nên hàm y = f ( x ) = a ( x + ) ( x − 1) = a ( x − 3x + ) Mặt khác đồ thị hàm số lại qua điểm ( − 1;4 ) nên ta có a = Vậy y = f ( x ) = x3 − 3x + Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số S= ∫ x − 3x + dx = −2 trục hoành là: 27 f ( x) có đạo hàm ¡ , đồ thị hàm số y = f ′ ( x) f (a) > , tìm số giao điểm đồ thị hàm số y = f ( x) với trục hoành Câu 12 [2D3-3.1-3] (Kim Liên) Cho hàm số hình vẽ Biết y = f ( x) A B C Lời giải D Tác giả: Tạ Tiến Thanh; Fb: Thanh Ta Chọn C x = a f '( x) = ⇔  x = b  x = c qua nghiệm trên, đạo hàm đổi dấu nên hàm số Từ đồ thị ta thấy f ( x) có điểm cực trị Xét bảng biến thiên Ta thấy: f (a) b f (c) giá trị nhỏ hàm số y = f ( x) (1) c S1 = ∫ f '( x)dx = f ( x) a = f (b) − f ( a ) ; S = ∫ − f '( x) dx = f ( x) c = f (b) − f ( c ) b a b Ta thấy S1 > (2) S2 ⇒ f (b) − f (a ) > f (b) − f (c) ⇔ f (a) < f (c) ⇒ < f (a ) < f (c) , f (a) > Từ (1) (2) suy đồ thị hàm số y = số b f ( x) nằm hồn tồn phía trục hoành hay đồ thị hàm y = f ( x) khơng cắt trục hồnh Câu 13 [2D3-3.1-3] (Sở Quảng NamT) Cho tuyến với A ( P) điểm M ( 2;4 ) B ( H) hình phẳng giới hạn parabol trục hồnh Diện tích hình phẳng C Lời giải ( P ) : y = x2 , tiếp ( H ) D Tác giả: Nguyễn Trọng Nghĩa; Fb: Nghĩa Nguyễn Chọn A Phương trình tiếp tuyến ( P) Giao điểm đường thẳng y = x − với trục hoành điểm điểm M ( 2;4 ) là: y = x − A ( 1;0 ) Từ đồ thị bên ta có diện tích hình phẳng ( H ) là: 2 S = ∫ x dx − ∫ ( x − ) dx = thsphanmanhtruong@gmail.com Câu 14 [2D3-3.1-3] (Sở Hà Nam) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x + x + y = x + A B D C Lời giải Tác giả: Trung Thảo; Fb: Trung Thảo Chọn A x = 2x2 + x + = x2 + ⇔ x2 + x − = ⇔  Xét phương trình:  x = −2 Diện tích hình phẳng là: S= ∫ ( 2x −2 + x + 1) − ( x + 3) dx = ∫x + x − dx = −2 ∫ ( −x −2 − x + ) dx  x3 x 1  1  8  =  − − + 2x ÷ =  − − + ÷−  − − ÷ =    −2    Vậy diện tích hình phẳng là: S= (đvdt) Câu 15 [2D3-3.1-3] (Chuyên Phan Bội Châu Lần2) Người ta xây sân khấu với mặt sân có dạng hợp hai hình trịn giao Bán kính hai hai hình tròn 20 mét 15 mét Khoảng cách hai tâm hai hình trịn 30 mét Chi phí làm mét vng phân giao hai hình trịn 300 ngàn đồng chi phí làm mét vng phần cịn lại 100 ngàn đồng Hỏi số tiền làm mặt sân sân khấu gần với số số đây? A 202 triệu đồng B 208 triệu đồng C 218 triệu đồng Lời giải Chọn A D 200 triệu đồng Gọi O, I lần lượt tâm đường tròn bán kính 20 mét bán kính 15 mét Oxy Gắn hệ trục lượt x + y = 202 hình vẽ, OI = 30 mét nên I ( 0; 30) Phương trình hai đường tròn lần x + ( y − 30) = 152 Gọi A, B  455  x = ±  x + y = 20 12 ⇔  2  x + ( y − 30 ) = 15  y = 215 nghiệm hệ  12 Tọa độ A, B giao điểm hai đường trịn Tổng diện tích hai đường trịn 2 π ( 202 + 152 ) = 625π (mét vng) Phần giao hai hình trịn phần hình phẳng giới hạn hai đồ thị y = 30 − 152 − x y = 202 − x Do diện tích phần giao hai hình trịn S= 455 12 ∫ 455 − 12 ( ) 202 − x + 152 − x − 30 dx ≈ 60,2546 (mét vuông) Số tiền để làm phần giao hai hình trịn Số tiền để làm phần cịn lại 300.000x60,2546 ≈ 18.076.386 (đồng) 100.000x ( 625π − x 60,2546 ) = 184.299.220 (đồng) Vậy tổng số tiền làm sân khấu 184.299.220 + 18.076.386 ≈ 202.375.606 (đồng) Câu 16 [2D3-3.1-3] (Thị Xã Quảng Trị) Cho hàm số y = ax + bx + c hàm số y = mx + nx + p có đồ thị đường cong hình vẽ bên (đường cong đậm đồ thị hàm số y = ax + bx + c ) Diện tích hình phẳng được tơ đậm 32 A 15 64 B 15 104 C 15 52 D 15 Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Thắng ; Fb: https://www.facebook.com/nmt.hnue Chọn B Từ đồ thị ta thấy đồ thị hàm hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c  f ( 1) =  ⇒  f ( 0) = ⇔ ( 0;3) đạt cực trị x =  f ′ ( 1) = Từ đồ thị ta thấy đồ thị hàm số a + b + c =  ⇔ c =  4a + 2b =  y = g ( x ) = mx + nx + p  f ( 0) =  ⇒  f ( 1) = ⇔ ( 1;4) ( − 1;4 )  f ( −1) = qua điểm có tọa độ p =  m + n = ⇔ m − n =  ( 1;4) ,  a = −1  b = c = ⇒ f ( x ) = − x4 + 2x2 +  qua điểm có tọa độ ( 0;0) , p =   m = ⇒ g ( x ) = 4x n =   x5  64 2 S = ∫ ( − x + x + − x ) dx =  − − x + 3x ÷ = Diện tích phần tơ đậm:   − 15 −1 Câu 17 [2D3-3.1-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho đồ thị ( C) : y = x Gọi M điểm thuộc ( C ) , A( ; 0) Gọi ( S1 ) ( C ) , đường thẳng x = trục hoành ( S2 ) để S1 = 2S2 A M 3; ( diện tích hình phẳng giới hạn diện tích tam giác OMA Tọa độ điểm M ) B M ( ; 2) C ( M 6; ) D M ( ; 3) Lời giải Tác giả: Nguyễn Văn Tỉnh ; Fb: Nguyễn Văn Tỉnh Chọn B x = ⇔ x = ⇒ S1 = ∫ xdx = 18 Ta có M điểm thuộc ( C ) Theo đề ta có ( ) 1 M a ; a ⇒ SOMA = d [ M ; OA] OA = a = S2 nên 2 S1 = 2S2 ⇔ 18 = a ⇔ a = ⇒ M ( ; ) Câu 18 [2D3-3.1-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ sau: 10 A B 13 C 11 D Lời giải Tác giả: Bùi Nguyễn Phi Hùng; Fb: Bùi Nguyễn Phi Hùng Chọn A Cách 1: Coi x hàm số theo biến số y Hình phẳng cho giới hạn đường: x = y2 (với y ≥ ) ; x = y + 2; y =  y = − (loai) y2 = y + ⇔ y2 − y − = ⇔  Ta có:  y = (t / m) 2 S = ∫ y + − y dy = ∫ ( y + − y ) dy = Diện tích hình phẳng cần tìm Cách 2: 0 10 (đvdt) Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số  x ≥ x = x−2⇔  ⇔  x = ( x − ) y = x, y = x − : x ≥ ⇔ x =  x − x + =  Diện tích hình phẳng cần tìm 4 S = ∫ x dx − ∫ ( x − ) dx = 10 (đvdt) Câu 19 [2D3-3.1-3] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho hàm số y= ( C) A x− m x + ( với m > ) có đồ thị ( C ) Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị S = , giá trị thực m gần với số sau đây: B 0,45 C 4,4 D 1,7 hai trục tọa độ Biết 0,56 Lời giải Tác giả:Lê Đình Năng; Fb: Lê Năng Chọn D ( C) Do cắt trục Ox điểm A ( m;0 ) cắt trục Oy điểm m > nên diện tích hình phẳng giới hạn ( C ) m m B ( 0; − m ) hai trục tọa độ là: m m x−m −x + m m +1   S=∫ dx = ∫ dx = ∫  −1 + ÷dx = ( − x + ( m + 1) ln ( x + 1) ) x +1 x +1 x +1  0 0 = − m + ( m + 1) ln ( m + 1) Lại có S = ⇔ ( m + 1) ln ( m + 1) = + m ⇒ ln ( m + 1) = (vì m > nên m + > ) ⇒ m + = e ⇔ m = e − ; 1,71828 tongangoquyen@gmail.com Câu 20 [2D3-3.1-3] (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) (Nam Tiền Hải Thái Bình Lần1) Gọi ( H) :y = diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị A 2ln + (đvdt) B 2ln − (đvdt) S x−1 x + trục tọa độ Khi giá trị S C ln + (đvdt) D ln − (đvdt) Lời giải Tác giả: Lê Mai ; Fb: Lê Mai Chọn B ( H) :y = Hình phẳng giới hạn đồ thị x−1 x+1; y = ; x = x −1 = 0⇒ x =1 Phương trình hoành độ giao điểm ( H ) trục hoành: x + 1 1 x −1 −x +1   S=∫ dx = ∫ dx = ∫  −1 + ÷dx = ( − x + 2ln x + ) = 2ln − x +1 x +1 x +1  0 0 Câu 21 [2D3-3.1-3] (Cẩm Giàng) Cho hình thang cong x = , x = ln Đường thẳng x = k ( < k < ln ) S2 hình vẽ bên Tìm k = ln A B k để k = ln ( H) chia giới hạn đường ( H) y = ex , y = , thành hai phần có diện tích S1 = 2S2 C k = ln D k = ln3 Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Duy ; Fb: Ngọc Duy Chọn D Diện tích hình thang cong ln S= ∫ e x dx = e x ln = ( H) giới hạn đường y = e x , y = , x = , x = ln eln − e0 = − = (đvdt) 2S 2.3 S = S1 + S = S1 + S1 = S1 S1 = = =2 Ta có (đvdt) 2 Suy 3 Vì S1 phần diện tích được giới hạn đường k k = S1 = ∫ e x dx = e x = ek − e0 = ek − Do e k = ⇔ k = ln3 0 S1 y = ex , y = , x = , x = k nên Câu 22 [2D3-3.1-3] (KHTN Hà Nội Lần 3) Cho hàm số d tiếp tuyến ( C) điểm A y = x3 + ax + bx + c có hồnh độ − cắt ( C ) (xem hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn 27 A d ( C) điểm B ( C ) Biết có hồnh độ (phần gạch chéo hình) 25 C 11 B có đồ thị 13 D Lời giải Tác giả: Trần Vũ Thái ; Fb: Trần Vũ Thái Chọn A Đồ thị độ ( C) qua gốc tọa độ O ( 0;0 ) suy c = Tiếp tuyến d với ( C) điểm có hồnh x = − có phương trình y = ( − 2a + b ) x + − a Xét phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị d ( C ) : x3 + ax2 + bc = ( − 2a + b ) x + − a ⇔ ( x + 1)  x2 + ( a − 1) x + a − 2 =  x = −1 ⇔  g ( x ) = x + ( a − 1) x + a − = Vì d cắt ( C) điểm B có hồnh độ 2 Vậy diện tích hình phẳng cần tính S= ∫ (x −1 Câu 23 [2D3-3.1-3] (Đặng Thành Nam Đề 5) Cho suy g ( 2) = ⇔ a = ∫ x − 3x − dx = 27 g ( x) = f (dx + e) với + bx ) − ( ( + b ) x + ) dx = f ( x) = x3 + ax + bx + c −1 a, b, c, d , e∈ ¡ có đồ thị hình vẽ bên, đường cong đậm đồ thị hàm số y = f ( x) Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong y = f ( x) y = g ( x) gần với kết đây? A 4,5 4,25 B C 3,63 D 3,67 Lời giải Tác giả: Tạ Trung Kiên ; Fb: TrungKienTa Chọn A Vì f ( x) hàm số bậc ba có đồ thị tiếp xúc với Ox điểm x = , cắt Ox điểm x= ⇒ f ( x ) = x ( x − 3) Ta có g ( x ) = f ( dx + e ) x=  3 g ( x ) = k  x − ÷ ( x − 3) nên  2 đồ thị hàm g ( x) tiếp xúc Ox điểm cắt x= Ox điểm f ( x) Từ đồ thị ta thấy đồ thị hàm số g ( x) cắt điểm có hồnh độ x =  3  3 ⇒ f ( 1) = g ( 1) ⇔ = k 1 − ÷ ( − 3) ⇔ k = −8 ⇒ g ( x ) = −  x − ÷ ( x − 3)  2  2 Do đồ thị hàm số hai hàm số cắt điểm có hồnh độ lần lượt là: x = 1; x = Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong là:   2  S = ∫ x ( x − 3) −  −  x − ÷ ( x − 3)  dx = 4,5     Câu 24 [2D3-3.1-3] (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) (THPT LÊ QUÝ ĐÔN QUẢNG NGÃI) Trong mặt phẳng cho Parabol ( P) : y = x đường tròn (C ) : x bên) Tính diện tích phần tơ đậm (làm tròn đến chữ số hàng phần trăm) 2 + y2 = (xem hình vẽ A 1,19 B 1,90 C 1,81 Lời giải D 1,80 Tác giả: Đào Văn Vinh ; Fb: Đào Văn Vinh Chọn B Ta có x + y = ⇔ y = ± − x Vì đường cong nửa (C ) trục hoành nên có phương trình tương ứng phần dương y = − x2 , ( y ≥ 0) Phương trình hoành độ giao điểm đường cong nửa (C ) Parabol ( P) : x2 = − x2 ⇔ x4 + x2 − =  x2 = ⇔ ⇔ x = ±1 x = −  Suy diện tích hình phẳng ∫( S= ) − x − x dx = 2 −1 ∫ −1 (H ) (phần tơ đậm) cần tính : x3 − x dx − 1 = −1 ∫ − x dx − −1 Xét I= ∫ − x dx −1 I= ta được π π ∫ − , đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt − 2sin t cos tdt π π π = ∫ cos tdt = ∫ ( + cos 2t ) dt =  t + sin 2t  π  ÷ π π  −π = +  − − Do Câu 25 4 S= π π + − = + ≈ 1,90 3 [2D3-3.1-3] (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIỆU ĐỒNG THÁP 2019 LẦN 2) Cho hàm số y = f ( x) liên tục R hàm số y = g ( x) = x f ( x ) có đồ thị đoạn [ 0;2] hình vẽ 4 I = ∫ f ( x)dx S= Biết diện tích miền tơ màu , tính tích phân 5 I= I= A I = B C Lời giải D I = 10 Tác giả: Phạm Uyên; Fb: Phạm Uyên Chọn A 2 S = ∫ g ( x)dx = = ∫ xf ( x )dx Ta có Đặt t = x ⇒ dt = xdx Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 4 ⇒ S = ∫ xf ( x )dx = ∫ f (t )dt = ⇒ ∫ f (t )dt = ⇒ ∫ f ( x)dx = 21 1 Câu 26 [2D3-3.1-3] (Sở Thanh Hóa 2019) Một khn viên dạng nửa hình trịn, người ta thiết kế phần để trồng hoa có dạng cánh hoa hình parabol có đỉnh trùng với tâm có trục đối xứng vng góc với đường kính nửa hình trịn, hai đầu mút cánh hoa nằm nửa hình trịn (phần tơ đậm) cách khoảng (m) Phần cịn lại khn viên (phần khơng tơ đậm) dành để trồng cỏ Nhật Bản Biết kích thước hình vẽ, chi phí để trồng hoa cỏ Nhật Bản tương ứng 150.000 đồng/m2 100.000 đồng/m2 Hỏi cần tiền để trồng hoa cỏ Nhật Bản khn viên đó? (Số tiền được làm tròn đến hàng đơn vị) A 3.926.990 (đồng) Chọn D B 4.115.408 (đồng)C 1.948.000 (đồng) Lời giải D 3.738.574 (đồng) Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Ta có Parabol có đỉnh gốc tọa độ qua điểm có phương trình y = x2 nên Đường tròn tâm gốc tọa độ qua điểm có tọa độ trình ( 2;4) ( 2;4) nên có bán kính R= có phương x + y = 20 S = ∫ ( 20 − x − x )dx ≈ 11,9396 Gọi S diện tích phần tơ đậm Ta có −2 10π nên diện tích phần cịn lại ( 10π - S) Vậy số tiền cần tìm là: S 150.000 + (10π − S ).100.000 ≈ 3.738.574 (đồng) Diện tích nửa hình trịn Câu 27 [2D3-3.1-3] (HKII-CHUN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Diện tích hình giới hạn ( P ) : y = x + , tiếp tuyến (P) x = trục Oy A C B D Lời giải Tác giả: Minh Hạnh ; Fb: fb.com/meocon2809 Chọn C Xét ( P ) : y = x2 + ta có: y′ = x  y ( ) = ⇒   y′ ( ) = phương trình tiếp tuyến ( P ) x = là: y = ( x − ) + ⇔ y = x − S = ∫ ( x + 3) − ( x − 1) dx = Diện tích hình phẳng cần tìm là: Câu 28 [2D3-3.1-3] (Sở Lạng Sơn 2019) Cho hàm số đồ thị hàm số y = f ′ ( x) y = f ( x) ∫( x − x + ) dx = có đạo hàm liên tục có đồ thị hàm số hình ¡ Biết Lập hàm số g ( x ) = f ( x ) − x − 3x Mệnh đề sau đúng? A g ( − 1) > g ( 1) B g ( − 1) = g ( 1) C g ( − 1) < g ( − ) D g ( − 1) = g ( − ) Lời giải Tác giả: Bùi Thu Hương; Fb: Cucai Đuong Chọn A g ( x ) = f ( x ) − x − 3x ⇒ g ′ ( x ) = f ′ ( x ) − (2 x + 3) Vẽ đường thẳng y = x + cắt đồ thị hàm số Nhìn vào đồ thị ta thấy y = f ′ ( x) điểm x = − 2, x = − 1, x = S1 diện tích hình phẳng giới hạn y = f ′ ( x ) , y = x + , x = − 2, x = − Khi đó, −1 −1 −1 −2 −2 −2 1 −1 −1 −1 ∫ f ′ ( x ) − (2x + 3) dx = ∫ ( f ′ ( x ) − (2 x + 3) ) dx > ⇒ ∫ g ′ ( x ) dx > ⇒ g ( − 1) > g ( − ) S2 diện tích hình phẳng giới hạn y = f ′ ( x ) , y = x + , x = − 1, x = Khi đó, S1 = S2 = ∫ f ′ ( x ) − (2 x + 3) dx = ∫ ( (2 x + 3) − f ′ ( x ) ) dx > ⇒ ∫ g ′ ( x ) dx < ⇒ g ( − 1) > g ( 1) Câu 29 [2D3-3.1-3] (HKII-CHUN-NGUYỄN-HUỆ-HÀ-NỘI) Diện tích hình phẳng hình vẽ sau 11 B A C 10 D Lời giải Tác giả: Minh Hạnh ; Fb: fb.com/meocon2809 Chọn D Nhìn hình vẽ ta thấy diện tích 4 2 S = ∫ xdx + ∫  x − ( x − )  dx = ∫ xdx − ∫ ( x − ) dx = 16 10 −2= 3 honghanh510@gmail.com Câu 30 [2D3-3.1-3] (CHUN HỒNG VĂN THỤ HỊA BÌNH LẦN NĂM 2019) Cho hàm số y = f ( x) có đồ thị gồm phần đường thẳng phần đường parabol có đỉnh gốc tọa độ O hình vẽ Giá trị −∫3 26 A 38 B f ( x ) dx bằng: C 28 D Lời giải Tác giả: Huyền Nguyễn; Fb: Nguyễn Huyền Chọn D Dựa đồ thị ta thấy: Phần đường thẳng qua điểm A ( − 1;1) Phần đường parabol có đỉnh gốc tọa độ đồ thị hàm số ∫ nên phần đồ thị f ( x ) dx = −3 −1 ∫ −3 O ( 0;0 ) nên phần x < − x ≥ − −1 −1 −3 −1 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) d x = ∫ ( x + ) d x + ∫ x dx = Câu 31 [2D3-3.1-3] (Nguyễn Trãi Hải Dương Lần1) Hình phẳng hàm đa thức bậc ba parabol ( P) A ( − 1;1) qua điểm y = x2 x + f ( x) =  Do x Nên B ( − 2;0 ) y = x+ hàm số 28 ( H) được giới hạn đồ thị ( C) có trục đối xứng vng góc với trục hồnh Phần tơ đậm hình vẽ có diện tích 37 A 12 B 12 11 C 12 D 12 Lời giải Tác giả: Bùi Quý Minh; Fb: Minh Bùi Chọn A Cách 1: Gọi hàm số bậc ba Đồ thị ( C) y = ax3 + bx + cx + d ⇒ y ' = 3ax + 2bx + c qua điểm ( 1;0 ) , ( 2; − ) 0 = a + b + c + d a =  − = 8a + 4b + 2c + d b = −   ⇔  = c c =    = 12a + 4b + c  d = Suy hàm số bậc ba y = x3 − 3x + đạt cực trị x = 0; x = nên ta có hệ sau : Gọi hàm bậc hai có hệ sau : y = mx + nx + p Đồ thị ( P ) 0 = m + n + p   − = 4m + 2n + p ⇔  −2 = m − n + p  qua điểm ( 1;0) , ( 2; − 2) , ( − 1; − ) nên ta  m = −1  n = p=  Suy hàm số bậc hai y = − x2 + x Phương trình hồnh độ giao điểm ( C ) ( P ) :  x = −1 x3 − 3x + = − x + x ⇔ x3 − x − x + = ⇔  x =  x = Vậy diện tích phần tơ đậm : S= ∫(x −1 − x − x + ) dx + S= −1 ∫( x ∫ (x 3 − x − x + ) dx 37 − x − x + ) dx = + = 12 12 Cách 2: (Võ Thanh Hải) Vì đồ thị hàm bậc ba đồ thị hàm bậc hai cắt trục tung điểm có tung độ lần lượt y = 2, y = nên ta xét hai hàm số y = ax + bx + cx + , y = mx + nx * Vì đồ thị hai hàm số cắt điểm có hồnh độ lần lượt phương trình hồnh độ giao điểm: x = − 1; x = 1; x = nên ta có ax3 + bx + cx + = mx + nx ⇔ a ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) = Với x = *Vậy diện tích phần tơ đậm là: S= ta được 2a = → a = 37 ∫ ( x + 1) ( x − 1) ( x − ) dx = 12 −1 Buiquyminh304@gmail.com Câu 32 [2D3-3.1-3] (Đặng Thành Nam Đề 2) Cho hàm số f ( x) xác định liên tục đoạn có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng ( A) , ( B ) , ( C ) , ( D ) đồ thị hàm số f ( x) trục hoành lần lượt [ − 5;3] giới hạn  f ( x + 1) + 1 dx 6;3;12;2 Tích phân −∫3  A 27 B 25 C 17 D 21 Lời giải Tác giả: Trần Thanh Sơn ; Fb: Trần Thanh Sơn GV phản biện: Phan Thanh Lộc ; Fb: Phan Thanh Lộc Chọn D f ( x) Quan sát đồ thị hàm số điểm a SA = ∫ đoạn x = − 5; x = a; x = b; x = c f ( x ) dx = ⇒ a ∫ −5 −5 c c b b [ − 5;3] , giả sử đồ thị hàm số f ( x ) cắt trục hoành − < a < b < c < Khi đó, theo đề ta có với b b a a f ( x ) dx = S B = ∫ f ( x ) dx = ⇒ ∫ f ( x ) dx = − ; 3 c c SC = ∫ f ( x ) dx = 12 ⇒ ∫ f ( x ) dx = 12 S D = ∫ f ( x ) dx = ⇒ ∫ f ( x ) dx = ; ; Xét I = ∫  f ( x + 1) + 1 dx −3 x = ⇒  Đổi cận  x = − Đặt t = x + ⇒ dt = 2dx t =   t = − Do 3 1 I = ∫  f ( t ) + 1 dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ dt −5 −5 Lại có: −5 a b c −5 −5 a b c ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt + ∫ f ( t ) dt = − + 12 + = 17 3 I = ∫ f ( t ) dt + ∫ dt = 17 + = 21 −5 Vậy −5 Câu 33 [2D3-3.1-3] (Đề thi HK2 Lớp 12-Chuyên Nguyễn Du- Đăk Lăk)Diện tích hình phẳng được y = x3 − 3x , trục hoành hai đường thẳng x = , x = giới hạn đồ thị hàm số 51 A 53 B 49 C 55 D Lời giải Tác giả: Phạm Lê; Fb: Lê phạm Chọn A Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y = x3 − x trục hoành là: x = x3 − 3x = ⇔  x = Diện tích hình phẳng được giới hạn đồ thị hàm số thẳng y = x3 − 3x , trục hoành hai đường x = , x = bằng: 4 S = ∫ x − 3x dx = ∫ x − 3x dx + ∫ x − 3x dx = 3 3 3 ∫( x − 3x ) dx + ∫( x 3 − 3x ) dx  x4   x4  27 51 =  − x ÷ +  − x ÷ = 6+ = 4  1  3 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm S= 51 Câu 34 [2D3-3.1-3] (TTHT Lần 4) Cho hàm số bên y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục [ 1; 4] lần lượt A 21 Ox đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đoạn [ − ;1] 12 Cho f ( 1) = Giá trị biểu thức f ( − ) + f ( ) B C Lời giải D Tác giả: Lê Văn Kỳ ; FB: Lê Văn Kỳ Chọn C Từ đồ thị hàm số y = f ′ ( x) ⇒ f ′ ( x) ≤ Diện tích hình phẳng giới hạn trục S1 = 1 −2 −2 đoạn Ox [ − ;1] với đồ thị hàm số [ 1; 4] y = f ′ ( x) đoạn [ − ;1] ∫ f ′ ( x ) dx = − ∫ f ′ ( x ) dx = f ( − 2) − f ( 1) ⇒ f ( − 2) − f ( 1) = ⇒ f ( − ) = + f ( 1) = 12 Diện tích hình phẳng giới hạn trục 4 1 Ox đồ với đồ thị hàm số y = f ′ ( x) đoạn [ 1; 4] S2 = ∫ f ′ ( x ) dx = − ∫ f ′ ( x ) dx = f ( 1) − f ( ) ⇒ f ( 1) − f ( ) = 12 ⇒ f ( ) = f ( 1) − 12 = − Vậy f ( − ) + f ( ) = 12 − = ... Linh Chọn D Dựa vào hình vẽ ta thấy hình phẳng cần tính diện tích gồm phần: Phần 1: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x3 , trục Ox , x = , x = Phần 2: Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y... 1;0 ) Từ đồ thị bên ta có diện tích hình phẳng ( H ) là: 2 S = ∫ x dx − ∫ ( x − ) dx = thsphanmanhtruong@gmail.com Câu 14 [2D3-3.1-3] (Sở Hà Nam) Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm... 1  3 Vậy diện tích hình phẳng cần tìm S= 51 Câu 34 [2D3-3.1-3] (TTHT Lần 4) Cho hàm số bên y = f ( x ) Hàm số y = f ′ ( x ) có đồ thị hình vẽ Biết diện tích hình phẳng giới hạn trục [ 1;