TRẦN SĨ TÙNG ›š & ›š BÀI TẬP ÔN THI TỐT NGHIỆP THPT & ĐẠI HỌC Năm 2010 Trần Sĩ Tùng Khối đa diện CHƯƠNG ƠN TẬP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 I QUAN HỆ SONG SONG Hai đường thẳng song song a) Định nghĩa: ìa, b Ì (P ) aP b ợa ầ b = ặ b) Tớnh cht ì( P ) ¹ (Q) ¹ ( R) ïï( P ) Ç (Q ) = a é a, b, c đồng qui · í Þê ëa P b P c ù( P ) ầ ( R) = b ùợ(Q) ầ ( R) = c ì( P ) Ç (Q ) = d ï éd P a P b · í( P ) É a,(Q) É b Þ ê ë d º a ( d º b) ïỵa P b ìa b Ãớ ị aP b ợ a P c, b P c Đường thẳng mặt phẳng song song a) Định nghĩa: d // (P) Û d Ç (P) = Ỉ b) Tính chất ìd Ë ( P), d ' Ì ( P ) ìd P ( P ) ·í Þ d P (P) ·í Þd P a îd P d ' î(Q) É d ,(Q ) Ç ( P) = a ì( P ) Ç (Q ) = d Ãớ ịd P a ợ( P ) P a,(Q) P a Hai mặt phẳng song song a) Định nghĩa: (P) // (Q) Û (P) Ç (Q) = Ỉ b) Tính chất ì( P ) É a, b ì( P ) ¹ (Q ) ì(Q) P ( R) ù ù ù à ớa ầ b = M ị ( P ) P (Q) · í( P ) P ( R) Þ ( P ) P (Q ) · ớ( P ) ầ (Q ) = a ị a P b ùợ( P ) ầ ( R) = b ïỵa P (Q ), b P (Q ) ïỵ(Q) P ( R) Chứng minh quan hệ song song a) Chứng minh hai đường thẳng song song Có thể sử dụng cách sau: · Chứng minh đường thẳng đồng phẳng, áp dụng phương pháp chứng minh song song hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lí Talét đảo, …) · Chứng minh đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba · Áp dụng định lí giao tuyến song song b) Chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng Để chứng minh d P ( P ) , ta chứng minh d không nằm (P) song song với đường thẳng d¢ nằm (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng song song Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng mặt phẳng Trang Khối đa diện Trần Sĩ Tùng II QUAN HỆ VNG GĨC Hai đường thẳng vng góc ( ) a) Định nghĩa: a ^ b Û a¶ , b = 90 b) Tính chất r r rr · Giả sử u VTCP a, v VTCP b Khi a ^ b Û u.v = ìb ÔÔ c Ãớ ịa^b ợa ^ c ng thng mặt phẳng vng góc d ^ (P) Û d ^ a, "a Ì (P) a) Định nghĩa: b) Tính chất ìa, b Ì (P ), a Ç b = O Þ d ^ (P ) íd ^ a, d ^ b ợ ỡa b Ãớ ịaP b ợa ^ ( P ), b ^ ( P) ì( P ) (Q) à ị ( P ) P (Q ) ỵ( P ) ^ a,(Q) ^ a · Điều kiện để đường thẳng ^ mặt phẳng: ìa P b · í ỵ( P ) ^ a ì( P ) P (Q ) ·í ỵa ^ ( P ) Þ (P) ^ b Þ a ^ (Q ) ìa P ( P ) ìa Ë (P ) · í Þb^a · í Þ a P ( P) ỵb ^ ( P ) ỵa ^ b,( P ) ^ b · Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng mặt phẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng tập hợp điểm cách hai đầu mút đoạn thẳng · Định lí ba đường vng góc Cho a ^ ( P), b Ì ( P ) , a¢ hình chiếu a (P) Khi b ^ a Û b ^ a¢ Hai mặt phẳng vng góc a) Định nghĩa: b) Tính chất ( ) (P) ^ (Q) Û · ( P ),(Q ) = 900 ì( P ) É a · Điều kiện để hai mặt phẳng vng góc với nhau: í Þ ( P ) ^ (Q ) ỵa ^ (Q) ì( P ) ^ (Q ) ï ì( P ) ^ (Q),( P) ầ (Q) = c à ị a ^ (Q ) à A ẻ (P) ị a Ì (P) ỵa Ì (P ), a ^ c ïỵa ' A, a ^ (Q ) ì( P ) Ç (Q ) = a ï Þ a ^ ( R) · í( P ) ^ ( R) ïỵ(Q) ^ ( R) Chứng minh quan hệ vng góc a) Chứng minh hai đường thẳng vng góc Để chứng minh d ^ a , ta sử dụng cách sau: · Chứng minh góc a d 900 · Chứng minh vectơ phương a d vng góc với · Chứng minh d ^ b mà b P a · Chứng minh d vng góc với (P) (P) chứa a · Sử dụng định lí ba đường vng góc Trang Trần Sĩ Tùng Khối đa diện · Sử dụng tính chất hình học phẳng (như định lí Pi–ta–go, …) b) Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng Để chứng minh d ^ (P), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh d vng góc với hai đường thẳng a, b cắt nằm (P) · Chứng minh d vng góc với (Q) (Q) // (P) · Chứng minh d // a a ^ (P) · Chứng minh d Ì (Q) với (Q) ^ (P) d vng góc với giao tuyến c (P) (Q) · Chứng minh d = (Q) Ç (R) với (Q) ^ (P) (R) ^ (P) c) Chứng minh hai mặt phẳng vng góc Để chứng minh (P) ^ (Q), ta chứng minh cách sau: · Chứng minh (P) có đường thẳng a mà a ^ (Q) · Chứng minh (· P ),(Q ) = 90 ( ) III GĨC – KHOẢNG CÁCH Góc ( ) ( a//a', b//b' ị aả , b = aà ', b ' a) Góc hai đường thẳng: Chú ý: 00 £ a¶ , b £ 900 ( ) ) b) Góc đường thẳng với mặt phẳng: · Nếu d ^ (P) d· ,( P ) = 900 ( ( ) ) ( ) · Nếu d ^ ( P) d· ,( P ) = d· , d ' với d¢ hình chiếu d (P) Chú ý: 00 £ d· ,( P ) £ 900 ( ) ( ) ìa ^ ( P ) · ¶ íb ^ (Q) Þ ( P ),(Q ) = ( a, b ) ỵ ìa Ì ( P), a ^ c · Giả sử (P) Ç (Q) = c Từ I ẻ c, dng ị (à P ),(Q ) = ( aả , b) ợb è (Q ), b ^ c Chú ý: 00 £ (· P ),(Q) £ 90 c) Góc hai mặt phẳng ( ( ) ) d) Diện tích hình chiếu đa giác Gọi S diện tích đa giác (H) (P), S¢ diện tích hình chiếu (H¢) (H) (Q), j = (· P ),(Q) Khi đó: S¢ = S.cosj ( ) Khoảng cách a) Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) độ dài đoạn vng góc vẽ từ điểm đến đường thẳng (mặt phẳng) b) Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm đường thẳng đến mặt phẳng c) Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng d) Khoảng cách hai đường thẳng chéo bằng: · Độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng · Khoảng cách hai đường thẳng với mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng thứ · Khoảng cách hai mặt phẳng, mà mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng Trang Khối đa diện Trần Sĩ Tùng IV Nhắc lại số công thức Hình học phẳng Hệ thức lượng tam giác a) Cho DABC vng A, có đường cao AH · AB + AC = BC · AB = BC.BH , AC = BC CH · 1 = + 2 AH AB AC · AB = BC.sin C = BC cos B = AC.tan C = AC cot B b) Cho DABC có độ dài ba cạnh là: a, b, c; độ dài trung tuyến ma, mb, mc; bán kính đường trịn ngoại tiếp R; bán kính đường trịn nội tiếp r; nửa chu vi p · Định lí hàm số cosin: a2 =b + c2 – 2bc.cosA; b = c + a - 2ca.cos B; c = a + b - 2ab.cos C a b c · Định lí hàm số sin: = = = 2R sin A sin B sin C · Công thức độ dài trung tuyến: b + c a2 c2 + a2 b2 a + b2 c - ; mb2 = - ; mc2 = 4 Các cơng thức tính diện tích a) Tam giác: 1 1 1 · S = a.ha = b.hb = c.hc · S = bc sin A = ca sin B = ab sin C 2 2 2 abc · S= · S = pr · S = p ( p - a )( p - b )( p - c ) 4R · DABC vuông A: 2S = AB AC = BC AH ma2 = S= · DABC đều, cạnh a: b) Hình vng: c) Hình chữ nhật: S = a2 S = a.b a2 (a: cạnh hình vng) (a, b: hai kích thước) · d) Hình bình hành: S = đáy ´ cao = AB AD.sinBAD · = AC.BD e) Hình thoi: S = AB AD.sinBAD f) Hình thang: S = (a + b ).h (a, b: hai đáy, h: chiều cao) g) Tứ giác có hai đường chéo vng góc: S = AC.BD Trang Trần Sĩ Tùng Khối đa diện CHƯƠNG I KHỐI ĐA DIỆN VÀ THỂ TÍCH CỦA CHÚNG Thể tích khối hộp chữ nhật: V = abc với a, b, c ba kích thước khối hộp chữ nhật Thể tích khối chóp: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối chóp 3 Thể tích khối lăng trụ: V = Sđáy h với Sđáy diện tích đáy, h chiều cao khối lăng trụ Một số phương pháp tính thể tích khối đa diện a) Tính thể tích cơng thức · Tính yếu tố cần thiết: độ dài cạnh, diện tích đáy, chiều cao, … · Sử dụng cơng thức để tính thể tích b) Tính thể tích cách chia nhỏ Ta chia khối đa diện thành nhiều khối đa diện nhỏ mà dễ dàng tính thể tích chúng Sau đó, cộng kết ta thể tích khối đa diện cần tính c) Tính thể tích cách bổ sung Ta ghép thêm vào khối đa diện khối đa diện khác cho khối đa diện thêm vào khối đa diện tạo thành dễ tính thể tích d) Tính thể tích cơng thức tỉ số thể tích Ta vận dụng tính chất sau: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng Với điểm A, A’ Ox; B, B' Oy; C, C' Oz, ta có: VOABC OA OB OC = VOA ' B 'C ' OA ' OB ' OC ' * Bổ sung · Diện tích xung quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên · Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Góc mặt bên mặt đáy a (450 < a < 900) Tính thể tích hình chóp HD: Tính h = 1 a tan a Þ V = a3 tan a Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, cạnh bên SA = a Một mặt phẳng (P) qua AB vng góc với mp(SCD) cắt SC SD C¢ D¢ Tính thể tích khối đa diện ADD¢.BCC¢ HD: Ghép thêm khối S.ABC'D' vào khối ADD'.BCC' khối SABCD 5a3 ÞV= Bài Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA = x, BC = y, cạnh cịn lại Tính thể tích hình chóp theo x y HD: Chia khối SABC thành hai khối SIBC AIBC (I trung điểm SA) Trang Khối đa diện Trần Sĩ Tùng xy - x - y2 12 Baøi Cho tứ diện ABCD có cạnh AD = BC = a, AC = BD = b, AB = CD = c Tính thể tích tứ diện theo a, b, c HD: Trong mp(BCD) lấy điểm P, Q, R cho B, C, D trung điểm PQ, QR, RP Chú ý: VAPQR = 4VABCD = AP AQ AR ÞV= (a2 + b2 - c2 )(b2 + c2 - a2 )(c + a2 - b2 ) 12 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC).Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM ÞV= V 3a3 SA SM SN æ SA 16 HD: SAMN = = ỗỗ = Þ V = ÷ VSABC SA SB SC è SB ÷ø 25 50 Bài Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 7cm, SA ^ (ABCD), SB = cm Tính thể tích khối chóp S.ABCD Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A với AB = cm, AC = 4cm Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vng góc với mặt phẳng đáy SA = 5cm Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài Cho hình tứ diện ABCD có AD ^ (ABC) Cho AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm a) Tính khoảng cách từ A đến mp(BCD) b) Tính thể tích tứ diện ABCD Bài Cho lăng trụ tam giác ABC.A¢B¢C¢ có mp(ABC¢) tạo với đáy góc 450 diện tích DABC¢ 49 cm2 Tính thể tích lăng trụ Bài 10 Cho hình vng ABCD cạnh a, nửa đường thẳng Bx, Dy vng góc với mp(ABCD) phía mặt phẳng Trên Bx Dy lấy điểm M, N gọi BM = x, DN = y Tính thể tích tứ diện ACMN theo a, x, y Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB =a, AD = a , SA ^ (ABCD) Gọi M,N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC a) Chứng minh mp(SAC) ^ BM b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Bài 12 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC) Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB, SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Trang Trần Sĩ Tùng Khối đa diện ÔN TẬP KHỐI ĐA DIỆN Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD, có cạnh đáy a · ASB = a a) Tính diện tích xung quanh hình chóp b) Chứng minh chiều cao hình chóp a a cot - 2 c) Tính thể tích khối chóp HD: a) Sxq = a2 cot a c) V = a a cot - Bài Cho hình chóp SABC có mặt bên (SAB) (SAC) vng góc với đáy Đáy ABC tam giác cân đỉnh A, trung tuyến AD = a Cạnh bên SB tạo với đáy góc a tạo với mp(SAD) góc b a) Xác định góc a, b b) Chứng minh: SB2 = SA2 + AD2 + BD2 c) Tính diện tích tồn phần thể tích khối chóp HD: a) · SBA = a ; · BSD = b c) Stp = V= a2 a sin b (sin 2a + sin 2b ) + cos a - sin b cos a - sin b a3 sin a sin b 3(cos2 a - sin b ) Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Mặt bên SAB tam giác vng góc với đáy Gọi H trung điểm AB M điểm di động đường thẳng BC a) Chứng minh SH ^ (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD b) Tìm tập hợp hình chiếu S lên DM c) Tìm khoảng cách từ S đến DM theo a x = CM HD: b) K thuộc đường trịn đường kính HD c) SK = a a - 4ax + x 2 a2 + x Baøi Trên đường thẳng vng góc A với mặt phẳng hình vng ABCD cạnh a ta lấy điểm S với SA = 2a Gọi B¢, D¢ hình chiếu A lên SB SD Mặt phẳng (AB¢D¢) cắt SC C¢ Tính thể tích khối chóp SAB¢C¢D¢ HD: VSABÂC  16a3 ị VSABÂCÂD = = VSABC 15 45 Bài Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt SA, SB, SC, SD A¢, B¢, C¢, D¢ Chứng minh: SA SC SB SD + = + SA¢ SC¢ SB¢ SD¢ HD: Sử dụng tính chất tỉ số thể tích hình chóp Bài Cho tứ diện SABC có cạnh a Dựng đường cao SH a) Chứng minh SA ^ BC b) Tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp SABC Trang Khối đa diện Trần Sĩ Tùng c) Gọi O trung điểm SH Chứng minh OA, OB, OC đơi vng góc với a3 ; Stp = a2 12 Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh bên tạo với đáy góc 600 cạnh đáy a a) Tính thể tích khối chóp b) Qua A dựng mặt phẳng (P) vng góc với SC Tính diện tích thiết diện tạo (P) hình chóp HD: b) V = a3 a2 HD: a) V = b) S = Bài Cho hình chóp tứ giác SABCD có chiều cao SH = h góc đáy mặt bên a a) Tính diện tích xung quanh thể tích khối chóp theo a h b) Cho điểm M di động cạnh SC Tìm tập hợp hình chiếu S xuống mp(MAB) HD: a) Sxq = 4h tan a tan a - ; V= 4h3 3(tan a - 1) Bài Trên cạnh AD hình vng ABCD cạnh a, người ta lấy điểm M với AM = x (0 £ x £ a) nửa đường thẳng Ax vng góc A với mặt phẳng hình vng, người ta lấy điểm S với SA = y (y > 0) a) Chứng minh hai mặt phẳng (SBA) (SBC) vng góc b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mp(SAC) c) Tính thể tích khối chóp SABCM d) Với giả thiết x + y = a Tìm giá trị lớn thể tích với SABCM e) I trung điểm SC Tìm quĩ tích hình chiếu I xuống MC M di động đoạn AD x 1 c) V = ay( x + a) d) Vmax = a 24 Baøi 10 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có cạnh AB = a, cạnh bên SA vng góc với đáy, cạnh bên SC hợp với đáy góc a hợp với mặt bên SAB góc b HD: b) d = a) Chứng minh: SC2 = a2 cos a - sin b b) Tính thể tích khối chóp HD: b) V = a3 sin a sin b 3(cos2 a - sin b ) Bài 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a Cạnh bên SA =2a vng góc với mặt phẳng đáy a) Tính diện tích tồn phần hình chóp b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD Chứng minh SC ^ (AEF) Baøi 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SC = SD = a Tính diện tích tồn phần thể tích khối chóp S.ABCD Bài 13 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB = AD = a, CD = 2a Cạnh bên SD ^ (ABCD) SD = a a) Chứng minh DSBC vng Tính diện tích DSBC b) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) Trang ... quanh hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích mặt bên · Diện tích tồn phần hình lăng trụ (hình chóp) tổng diện tích xung quanh với diện tích đáy Bài Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD hình. .. VAPQR = 4VABCD = AP AQ AR ÞV= (a2 + b2 - c2 )(b2 + c2 - a2 )(c + a2 - b2 ) 12 Bài Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA ^ (ABC).Gọi M N hình chiếu A đường thẳng SB SC Tính thể... diện tích tồn phần hình chóp b) Hạ AE ^ SB, AF ^ SD Chứng minh SC ^ (AEF) Bài 12 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy ABCD hình vng cạnh a SA = SB = SC = SD = a Tính diện tích tồn phần thể tích