Tham khảo tài liệu ''tài liệu ôn toán - bài tập hình học lớp 12 - phần 3'', tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Trần Sĩ Tùng Khối trịn xoay ƠN TẬP TỔNG HỢP HÌNH HỌC KHƠNG GIAN Bài Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA ^ (ABC) · = a , hạ SH vng góc với SA = a M điểm thay đổi cạnh AB Đặt ACM đường thẳng CM a) Tìm quỹ tích điểm H Suy giá trị lớn thể tích tứ diện SAHC b) Hạ AI ^ SC, AK ^ SH Tính độ dài SK, AK thể tích tứ diện SAKI HD: a) Quĩ tích điểm H cung trịn MaxVSAHC= b) AK = asin a + sin a , SK = a + sin a ,V= a3 12 a3 sin 2a 24(1 + sin a ) · = 2a Trên đường thẳng d qua A Bài Cho DABC cân A có AB = AC = a góc BAC vng góc với mặt phẳng (ABC), lấy điểm S cho SA = 2a Gọi I trung điểm BC Hạ AH ^ SI a) Chứng minh AH ^ (SBC) Tính độ dài AH theo a, a AK b) K điểm thay đổi đoạn AI, đặt = x Mặt phẳng (R) qua K vng góc AI với AI cắt cạnh AB, AC, SC, SB M, N, P, Q Tứ giác MNPQ hình gì? Tính diện tích tứ giác 2a.cos a HD: a) AH = b) SMNPQ = 4a x (1 – x )sin a cos a + ỉ 2ư Bài Cho tứ diện ABCD có AB = CD = 2x ỗỗ < x < ữ AC = AD = BC = BD = ÷ø è Gọi I J trung điểm cạnh AB CD a) Chứng minh AB ^ CD IJ đoạn vng góc chung hai đường thẳng AB CD b) Tính thể tích tứ diện ABCD theo x Tìm x để thể tích lớn tính giá trị lớn x2 - 2x2 ; MaxV = x = 3 Baøi Trong mặt phẳng (P), cho hình vng ABCD cạnh a, có tâm O Trên nửa đường thẳng Ax, Cy vng góc với (P) phía (P) lấy hai điểm M, N Đặt AM = x, CN = y a) Tính độ dài MN Từ chứng minh điều kiện cần đủ để OMN vuông O HD: b) V = là: 2xy = a b) Giả sử M, N thay đổi cho OMN vuông O Tính thể tích tứ diện BDMN Xác a3 định x, y để thể tích tứ diện ỉ ỉa a3 HD: a) MN = 2a + ( x - y )2 b) V = ( x + y ) , (x, y) = ỗ a; ữ hoc ỗ ; a ữ è 2ø è2 ø Baøi Trong mặt phẳng (P), cho hình vng ABCD cạnh a Gọi O giao điểm đường chéo hình vng ABCD Trên đường thẳng Ox vng góc (P) lấy điểm S Gọi Trang 19 Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng a góc nhọn tạo mặt bên mặt đáy hình chóp SABCD a) Tính thể tích diện tích tồn phần hình chóp SABCD theo a a b) Xác định đường vng góc chung SA CD Tính độ dài đường vng góc chung theo a a ỉ a3 a tan a tan a , Stp = a2 ỗ + b) d = ÷ cos a è cos a ø Bài Trên nửa đường trịn đường kính AB = 2R lấy điểm C tùy ý Dựng CH vng góc với AB (H thuộc đoạn AB) gọi I trung điểm CH Trên nửa đường thẳng It · = 90o vng góc với mặt phẳng (ABC) I lấy điểm S cho góc ASB a) Chứng minh tam giác SHC tam giác b) Đặt AH = h Tính thể tích V tứ diện SABC theo h R HD: a) V = Rh ( 2R – h ) Baøi Cho hình vng ABCD cạnh 2a Trên đường thẳng d qua trung điểm I cạnh AB vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm E cho IE = a M điểm thay đổi cạnh AB, hạ EH ^ CM Đặt BM = x a) Chứng minh điểm H di động đường trịn Tính độ dài IH b) Gọi J trung điểm đoạn CE Tính độ dài JM tìm giá trị nhỏ JM HD: HD: b) V = a) IH = 2a x - a 2 b) JM = ỉ a a a 5a2 x MinJM = x = ỗ ữ + 2ứ 2 è 4a + x Bài Cho hình hộp chữ nhật ABCDA'B'C'D' điểm M cạnh AD Mặt phẳng (A'BM) cắt đường chéo AC' hình hộp điểm H a) Chứng minh M thay đổi cạnh AD đường thẳng MH cắt đường thẳng A'B điểm cố định b) Tính tỷ số thể tích hai khối đa diện tạo mặt phẳng A'BM cắt hình hộp trường hợp M trung điểm cạnh AD c) Giả sử AA' = AB MB vng góc với AC Chứng minh mặt phẳng A'BM vng góc với AC' điểm H trực tâm tam giác A'BM V HD: a) MH cắt A¢B trung điểm I A¢B b) = V2 11 Bài Cho hình vuông ABCD cạnh a I trung điểm AB Qua I dựng đường vng góc với mặt phẳng (ABCD) lấy điểm S cho 2IS = a a) Chứng minh tam giác SAD tam giác vng b) Tính thể tích khối chóp S.ACD suy khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) a3 3, d= a HD: b) V = 12 Bài 10 Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, AD = 2a, AA’ = a a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AD’ B’C AM b) Gọi M điểm chia đoạn AD theo tỷ số = Hãy tính khoảng cách từ điểm MD M đến mặt phẳng (AB’C) c) Tính thể tích tứ diện AB’D’C a 2a3 HD: a) d(AD¢, B¢C) = a b) d(M, (AB¢C)) = c) V = Baøi 11 Trong mặt phẳng (P), cho hình vng ABCD có cạnh a S điểm bất Trang 20 Trần Sĩ Tùng Khối trịn xoay kỳ nằm đường thẳng At vng góc với mặt phẳng (P) A a) Tính theo a thể tích khối cầu ngoại tiếp chóp S.ABCD SA = 2a b) M, N hai điểm di động cạnh CB, CD (M Ỵ CB, N Ỵ CD) đặt CM = m, CN = n Tìm biểu thức liên hệ m n để mặt phẳng (SMA) (SAN) tạo với góc 45° HD: a) V = pa3 b) 2a2 – ( m + n ) a + mn = Bài 12 Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA ^ ( ABCD ) SA = a Trên cạnh AD lấy điểm M thay đổi Đặt góc · ACM = a Hạ SN ^ CM a) Chứng minh N ln thuộc đường trịn cố định tính thể tích tứ diện SACN theo a a b) Hạ AH ^ SC , AK ^ SN Chứng minh SC ^ ( AHK ) tính độ dài đoạn HK a3 HD: a) N thuộc đường trịn đường kính AC cố định, V = sin 2a a cos a b) HK = + sin a Bài 13 Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA, SB, SC đơi vng góc Đặt SA = a, SB = b, SC = c Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Tính độ dài đoạn SG theo a, b, c b) Một mặt phẳng (P) tuỳ ý qua S G cắt đoạn AB M cắt đoạn AC N AB AC + = i) Chứng minh AM AN ii) Chứng minh mặt cầu qua điểm S, A, B, C có tâm O thuộc mặt phẳng (P) Tính thể tích khối đa diện ASMON theo a, b, c mặt phẳng (P) song song với BC 1 2 a +b +c b) V = abc HD: a) SG = Bài 14 Cho hình vng ABCD cạnh a Gọi O giao điểm hai đường chéo Trên nửa đường thẳng Ox vng góc với mặt phẳng chứa hình vng, ta lấy điểm S cho góc · = 60° SCB a) Tính khoảng cách hai đường thẳng BC SD b) Gọi ( a ) mặt phẳng chứa BC vng góc với mặt phẳng (SAD) Tính diện tích thiết diện tạo ( a ) hình chóp S.ABCD a a2 HD: a) d(BC, SD) = b) S = Baøi 15 Cho hình vng ABCD có cạnh a Trên cạnh AD lấy điểm M cho AM = x (0 £ x £ a) Trên nửa đường thẳng Ax vng góc với mặt phẳng (ABCD) điểm A, lấy điểm S cho SA = y (y > 0) a) Chứng minh (SAB) ^ (SBC) b) Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SAC) c) Tính thể tích khối chóp S.ABCM theo a, y x d) Biết x2 + y2 = a2 Tìm giá trị lớn thể tích khối chóp S.ABCM 2x HD: b) d(M, (SAC)) = c) V = ya(a + x) a a d) MaxV = x = Bài 16 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng A; · ABC = 300 ; SBC tam Trang 21 Khối tròn xoay Trần Sĩ Tùng giác cạnh a Mặt bên SAB vng góc với đáy ABC M trung điểm SB a) Chứng minh AM đoạn vng góc chung SB AC Tính cosin góc mặt phẳng (SAC) (ABC) b) Tính thể tích hình chóp S.ABC HD: a) cos· SAB = a3 b) V = 24 Baøi 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, góc µA = 1200 , BD = a > Cạnh bên SA vng góc với đáy Góc mặt phẳng (SBC) đáy 600 Một mặt phẳng (P) qua BD vng góc với cạnh SC Tính tỉ số thể tích hai phần hình chóp mặt phẳng (P) tạo cắt hình chóp HD: V1 = V2 12 Bài 18 Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có cạnh AB = AD = a, AA’ = a góc · BAD = 600 Gọi M N trung điểm cạnh A’D’ A’B’ Chứng minh AC¢ vng góc với mặt phẳng (BDMN) Tính thể tích khối chóp A.BDMN 3a3 16 Bài 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = 2a, cạnh SA vng góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 60o Trên cạnh SA lấy a điểm M cho AM = Mặt phẳng (BCM) cắt cạnh SD điểm N Tính thể tích khối chóp S.BCNM HD: V= HD: V= 10 3a 27 Bài 20 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc · BAD = 600 , SA vng góc với mặt phẳng (ABCD), SA = a Gọi C’ trung điểm SC Mặt phẳng (P) qua AC’ song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’ Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ HD: a3 V= 18 Chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp em học sinh đọc tập tài liệu transitung_tv@yahoo.com Trang 22 Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ không gian CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN I VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN Định nghĩa phép tốn · Định nghĩa, tính chất, phép tốn vectơ khơng gian xây dựng hoàn toàn tương tự mặt phẳng · Lưu ý: uuur uuur uuur + Qui tắc ba điểm: Cho ba điểm A, B, C bất kỳ, ta có: AB + BC = AC uuur uuur uuur + Qui tắc hình bình hành: Cho hình bình hành ABCD, ta có: AB + AD = AC uuur uuur uuur uuuur + Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A¢B¢C¢D¢, ta có: AB + AD + AA ' = AC ' + Hêï thức trung điểm đoạn thẳng: Cho I trung điểm đoạn thẳng AB, O tuỳ ý uur uur r uuur uuur uur Ta có: IA + IB = ; OA + OB = 2OI + Hệ thức trọng tâm tamuuugiác: Gr trọng tâm củauuu tam giác tuỳ r uuuCho r uuu r uuu r ABC, uuur Ouuu r ý r Ta có: GA + GB + GC = 0; OA + OB + OC = 3OG + Hệ thức trọng tâm tứ diện: Cho G trọng tâm tứ diện ABCD, O tuỳ ý uuur uuur uuur uuur r uuur uuur uuur uuur uuur Ta có: GA + GB + GC + GD = 0; OA + OB + OC + OD = 4OG r r r r r r + Điều kiện hai vectơ phương: a b phương (a ¹ 0) Û $! k Ỵ R : b = ka + Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (k ¹ 1), O tuỳ ý uuur uuur uuur uuur uuur OA - kOB Ta có: MA = k MB; OM = 1- k Sự đồng phẳng ba vectơ · Ba vectơ gọi đồng phẳng giá chúng song song với mặt phẳng r r r r r · Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Cho ba vectơ a, b , c , a b khơng r r r r r r phương Khi đó: a, b , c đồng phẳng Û $! m, n Ỵ R: c = ma + nb r r r r · Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng, x tuỳ ý r r r r Khi đó: $! m, n, p Ỵ R: x = ma + nb + pc Tích vơ hướng hai vectơ · Góc hai vectơ khơng gian: uuur r uuur r r r AB = u , AC = v Þ (u , v ) = · BAC (00 £ · BAC £ 1800 ) · Tích vơ hướng hai vectơ không gian: r r r rr r r r r + Cho u , v ¹ Khi đó: u.v = u v cos(u , v ) r r r r rr + Với u = hoaëc v = Qui ước: u.v = r r rr + u ^ v Û u.v = r r + u = u2 Trang 23 PP Toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng II HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian: Cho r r ba r trục Ox, Oy, Oz vng góc với đôi chung điểm gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz r2 r r rr rr r r Chú ý: i = j = k = i j = i.k = k j = Tọa độ vectơ:r r r r r a) Định nghĩa: u = ( x; y; z ) Û u = xi + y j + zk r r b) Tính chất: Cho a = (a1; a2 ; a3 ), b = (b1; b2 ; b3 ), k Ỵ R r r · a ± b = (a1 ± b1; a2 ± b2 ; a3 ± b3 ) r · ka = (ka1; ka2 ; ka3 ) ìa1 = b1 ï ía2 = b2 ïa = b ỵ r r r r · = (0; 0; 0), i = (1; 0; 0), j = (0;1; 0), k = (0; 0;1) r r r r r r · a phương b (b ¹ 0) Û a = kb (k Ỵ R) r r · a=b Û ìa1 = kb1 a a a ï Û ía2 = kb2 Û = = , (b1 , b2 , b3 ¹ 0) b1 b2 b3 ïa = kb ỵ r r · a ^ b Û a1b1 + a2 b2 + a3b3 = r · a = a12 + a22 + a22 rr · a.b = a1.b1 + a2 b2 + a3 b3 r · a = a12 + a22 + a32 rr a1b1 + a2 b2 + a3b3 a.b r r r r r · cos(a , b ) = r r = (với a, b ¹ ) a.b a + a + a2 b + b2 + b 2 3 Tọa độ điểm: uuur a) Định nghĩa: M ( x; y; z) Û OM = ( x; y; z) (x : hồnh độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: · M Ỵ (Oxy) Û z = 0; M Ỵ (Oyz) Û x = 0; M Ỵ (Oxz) Û y = · M Ỵ Ox Û y = z = 0; M Ỵ Oy Û x = z = 0; M Ỵ Oz Û x = y = b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( x B ; yB ; zB ) uuur · AB = ( xB - x A ; yB - y A ; zB - zA ) · AB = ( x B - x A )2 + ( yB - y A )2 + ( zB - zA )2 æ x - kxB yA - kyB zA - kzB ö · Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M ỗ A ; ; ữ 1- k 1- k ø è 1- k æ x + x B y A + y B zA + zB ö · Toạ trung im M ca on thng AB: M ỗ A ; ; ÷ è 2 ø · Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: æ x + xB + xC y A + yB + yC zA + zB + zC Gỗ A ; ; ÷ 3 è ø · Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD: Trang 24 Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ khơng gian ỉ x + xB + xC + x D y A + y B + yC + yD zA + zB + zC + zC Gỗ A ; ; ữ ố 4 ø Tích có hướng hai r vectơ: (Chương r trình nâng cao) a) Định nghĩa: Cho a = (a1, a2 , a3 ) , b = (b1 , b2 , b3 ) r r ỉ a2 a1 a2 ÷ = ( a2 b3 - a3b2 ; a3b1 - a1b3 ; a1b2 - a2 b1 ) ỗb b ữ b b b b 3 1 ø è Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất: r r r r r r r r r r r r r r r éë j , k ùû = i ; [k , i ] = j · éë i , j ùû = k ; · [a, b] ^ a; [a, b] ^ b r r r r r r r r r r r · [a, b] = a b sin ( a, b ) · a, b phương Û [a, b] = [ ar , b ] = ar Ù b = ç a3 ; a3 a1 ; c) Ứng dụng tích có hướng: r r r r r r · Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng Û [a, b].c = uuur uuur · Diện tích hình bình hành ABCD: SY ABCD = éë AB, AD ùû uuur uuur · Diện tích tam giác ABC: SD ABC = éë AB, AC ùû uuur uuur uuur · Thể tích khối hộp ABCD.A¢ B¢ C¢D¢: VABCD A ' B ' C ' D ' = [ AB, AD ] AA ' VABCD = · Thể tích tứ diện ABCD: uuur uuur uuur [ AB, AC ] AD Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương r r rr a ^ brÛ a.b = r r r r [ a b cù n g phương Û a ,b] = r r r r r r a, b , c đồng phẳng Û [ a , b ] c = Phương trình mặt cầu: · Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x - a )2 + ( y - b )2 + ( z - c )2 = R · Phương trình x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = với a2 + b + c - d > phương trình mặt cầu tâm I(–a; –b; –c) bán kính R = a2 + b2 + c2 - d Trang 25 PP Toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép tốn vectơ khơng gian Bài Viết tọa độ vectơ sau đây: r r r r r r r r r r r r a = -2i + j ; d = 3i - j + 5k b = 7i - 8k ; c = -9k ; r r r Baøi Viết dạng xi + yj + zk vectơ sau đây: r r ỉ 1 ư r ổ r ổ4 a = ỗ 0; ; ÷ ; b = (4; -5; 0) ; c = ỗ ; 0; d = ỗp; ; ữ; ữ ø 3ø è è3 è 5ø r r r r Baøi Cho: a = ( 2; -5; 3) , b = ( 0; 2; -1) , c = (1; 7; ) Tìm toạ độ vectơ u với: r r r 2r r r 1r r r r r a) u = 4a - b + 3c b) u = a - 4b - 2c c) u = -4b + c r r r 2r r 1r r r r r r r d) u = 3a - b + 5c e) u = a - b - 2c f) u = a - b - c r Bài Tìm tọa độ vectơ x , biết rằng: r r r r r r r r b) a + x = 4a với a = ( 0; -2;1) a) a + x = với a = (1; -2;1) r r r r r c) a + x = b với a = ( 5; 4; -1) , b = ( 2; -5; 3) r Baøi Cho a = (1; -3; 4) r r a) Tìm y z để b = (2; y; z) phương với a r r r r r b) Tìm toạ độ vectơ c , biết a vaø c ngược hướng c = a r r r Baøi Cho ba vectơ a = (1; -1;1) , b = ( 4; 0; -1) , c = ( 3; 2; -1) Tìm: r r r r r r rr r r rr a) ( a.b ) c b) a ( b c ) c) a b + b c + c a r rr r r r rr r r d) 3a - ( a.b ) b + c b e) 4a.c + b - 5c r r Bài Tính góc hai vectơ a b : r r r r a) a = ( 4; 3;1) , b = ( -1; 2; 3) b) a = ( 2; 5; ) , b = ( 6; 0; -3) r r r r c) a = (2;1; -2), b = (0; - ; ) d) a = (3; 2; ), b = ( 3; 3; -1) r r r r e) a = (-4; 2; 4), b = (2 2; -2 2; 0) f) a = (3; -2;1), b = (2;1; -1) r Baøi Tìm vectơ u , biết rằng: r r r r r r ìa = (2; -1; 3), b = (r1; -3; 2), c = (3; 2; -4) ìa = (2; 3; -1), b = (1; r-2; 3), c = (2; -1;1) a) í r r b) í r r r rr r rr u.b = -11, u.c = 20 u ^ b, u c = -6 ỵa.u = -5, ỵu ^ a , r r r r r r ìa = (2; 3;1), b = (r1; -2; -1), c = (-2; 4; 3) ìa = (5; -3; 2), b =r (1; 4; -3), c = (-3; 2; 4) c) í r r d) í r r r rr r rr b u = 4, c u = b u = 9, c u = -4 ỵa.u = 3, ỵa.u = 16, r r r ìa = (7; 2; 3), b = r(4; 3; -5), c = (1;1; -1) e) í r r r r r b u = -7, c ^u ỵa.u = -5, r r Bài Cho hai vectơ a , b Tìm m để: r r r ìar = (2;1; -2), b = (0; - ; ) ìa = (3; -2;1r), b = (2;1; -1) r r a) í r b) í r r r r r r r r ỵu = ma - 3b v = 3a + 2mb vuông góc îu = 2a + 3mb vaø v = ma - b vuông góc r r ìa = (3; -2;1r), b = (2;1; -1) r c) í r r r r îu = ma - 3b vaø v = 3a + 2mb phương r r Bài 10 Cho hai vectơ a , b Tính X, Y biết: Trang 26 Trần Sĩ Tùng PP Toạ độ không gian r r r r ì ar = 4, b = 6, ar ^ b ìar = (2; -1; -2), b = 6, ar - b = a) í b) í r r r r ỵX = a - b îY = a + b r r r r ì ar = 4, b = 6, ( ar , b ) = 1200 ìar = (2; -1; -2), b = 6, ( ar , b ) = 600 d) í c) í r r r r r r r r îX = a - b , Y = a + b ỵX = a - b ,Y = a + b r r r r r r Baøi 11 Cho ba vectơ a, b , c Tìm m, n để c = [ a, b ] : r r r a) a = ( 3; -1; -2 ) , b = (1; 2; m ) , c = ( 5;1; ) r r r b) a = ( 6; -2; m ) , b = ( 5; n; -3) , c = ( 6; 33;10 ) r r r c) a = ( 2; 3;1) , b = ( 5; 6; ) , c = ( m; n;1) r r r Baøi 12 Xét đồng phẳng ba vectơ a, b , c trường hợp sau đây: r r r r r r b) a = ( 4; 3; ) , b = ( 2; -1; ) , c = (1; 2;1) a) a = (1; -1;1) , b = ( 0;1; ) , c = ( 4; 2; 3) r r r r r r c) a = ( -3;1; -2 ) , b = (1;1;1) , c = ( -2; 2;1) d) a = ( 4; 2; ) , b = ( 3;1; 3) , c = ( 2; 0;1) r r r r r r e) a = (2; 3;1), b = (1; -2; 0), c = (3; -2; 4) f) a = (5; 4; -8), b = (-2; 3; 0), c = (1; 7; -7) r r r r r r h) a = (2; -4; 3), b = (-1; 3; -2), c = (3; -2;1) g) a = (2; -4; 3), b = (1; 2; -2), c = (3; -2;1) r r r Baøi 13 Tìm m để vectơ a, b , c đồng phẳng: r r r a) a = (1; m; ) , b = ( m + 1; 2;1) , c = ( 0; m - 2; ) r r r b) a = (2m + 1;1; 2m - 1); b = (m + 1; 2; m + 2), c = (2m; m + 1; 2) r r r c) a = ( m + 1; m; m - ) , b = ( m - 1; m + 2; m ) , c = (1; 2; ) r r r d) a = (1; -3; ) , b = ( m + 1; m - 2;1 - m ) , c = ( 0; m - 2; ) r r r r r r r Baøi 14 Cho vectơ a, b , c , u Chứng minh ba vectơ a, b , c không đồng phẳng Biểu diễn vectơ r r r r u theo vectơ a, b , c : r r r r r r ìa = ( 2;1; ) , b = (1; -1; ) , c = ( 2; 2; -1) ìa = (1; -7; ) , b = ( 3; -6;1) , c = ( 2;1; -7 ) a) í r b) í r ỵu = (3; 7; -7) ỵu = (-4;13; -6) r r r r r r ìa = (1; 0;1) , b = ( 0; -1;1) , c = (1;1; ) ìa = (1; 0; ) , b = ( 2; -3; ) , c = ( 0; -3; ) c) í r d) í r îu = (8; 9; -1) îu = (-1; -6; 22) r r r r r r ìa = ( 2; -3;1) , b = ( -1; 2; ) , c = ( 2; -2; ) ìa = ( 2; -1;1) , b = (1; -3; ) , c = ( -3; 2; -2 ) e) í r f) í r ỵu = (4; 3; -5) ỵu = (3;1; 2) r r r r Baøi 15 Chứng tỏ bốn vectơ a, b , c , d đồng phẳng: r r r r a) a = ( -2; -6;1) , b = ( 4; -3; -2 ) , c = ( -4; -2; ) , d = (-2; -11;1) r r r r b) a = ( 2; 6; -1) , b = ( 2;1; -1) , c = ( -4; 3; ) , d = (2;11; -1) r r r r Baøi 16 Cho ba vectơ a, b , c không đồng phẳng vectơ d Chứng minh ba vectơ sau không đồng phẳng: r r r r r r r r r r a) b , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0) b) a , c , d = ma + nb (với m, n ≠ 0) r r r r r r r r r r r r c) a , b , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0) d) b , c , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0) r r r r r r e) a , c , d = ma + nb + pc , (với m, n, p ≠ 0) Trang 27 PP Toạ độ không gian Trần Sĩ Tùng VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm khơng gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm khơng gian – Sử dụng phép tốn vectơ không gian – Công thức xác định toạ độ điểm đặc biệt – Tính chất hình học điểm đặc biệt: uuur uuur uuur uuur uuur uuur r · A, B, C thẳng hàng Û AB, AC phương Û AB = k AC Û éë AB, AC ùû = uuur uuur · ABCD hình bình hành Û AB = DC · Cho DABC có chân E, F đường phân giác ngồi góc A DABC uuur uuur AB uuur AB uuur BC Ta có: EB = EC , FB = FC AC AC uuur uuur uuur uuur uuur uuur · A, B, C, D không đồng phẳng Û AB, AC , AD không đồng phẳng Û éë AB, AC ùû AD ¹ Bài Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M: · Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz · Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) M(1; 2; 3) b) M(3; -1; 2) c) M(-1;1; -3) d) M(1; 2; -1) e) M(2; -5; 7) f) M(22; -15; 7) g) M(11; -9;10) h) M(3; 6; 7) Bài Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M¢ đối xứng với điểm M: · Qua gốc toạ độ · Qua mp(Oxy) · Qua trục Oy a) M(1; 2; 3) b) M(3; -1; 2) c) M(-1;1; -3) e) M(2; -5; 7) f) M(22; -15; 7) g) M(11; -9;10) d) M(1; 2; -1) h) M(3; 6; 7) Bài Xét tính thẳng hàng ba điểm sau: a) A(1; 3;1), B(0;1; 2), C (0; 0;1) b) A(1;1;1), B(-4; 3;1), C (-9; 5;1) c) A(10; 9;12), B(-20; 3; 4), C (-50; -3; -4) d) A(-1; 5; -10), B(5; -7; 8), C(2; 2; -7) Baøi Cho ba điểm A, B, C · Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác · Tìm toạ độ trọng tâm G DABC · Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành · Xác định toạ độ chân E, F đường phân giác ngồi góc A DABC BC Tính độ dài đoạn phân giác · Tính số đo góc DABC · Tính diện tích DABC Từ suy độ dài đường cao AH DABC a) A(1; 2; -3), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0) b) A(0;13; 21), B(11; -23;17), C (1; 0;19) c) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2), C (1; 2; -3) d) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1), C (3; 8; 7) e) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C (-1;1; -3) f) A(4;1; 4), B(0; 7; -4), C (3;1; -2) g) Baøi a) d) A (1; 0; ) , B ( 0; 0;1) , C ( 2;1;1) h) A(1; -2; 6), B(2; 5;1), C (-1; 8; 4) Trên trục Oy (Ox), tìm điểm cách hai điểm: A(3;1; 0) , B(-2; 4;1) b) A(1; -2;1), B(11; 0; 7) c) A(4;1; 4), B(0; 7; -4) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1) e) A(3; -4; 7), B(-5; 3; -2) f) A(4; 2; 3), B(-2;1; -1) Baøi a) c) e) Trên mặt phẳng Oxy (Oxz, Oyz), tìm điểm cách ba điểm: A(1;1;1), B(-1;1; 0), C (3;1; -1) b) A(-3; 2; 4), B(0; 0; 7), C (-5; 3; 3) A(3; -1; 2), B(1; 2; -1), C (-1;1; -3) d) A(0;13; 21), B(11; -23;17), C (1; 0;19) A(1; 0; 2), B(-2;1;1), C (1; -3; -2) f) A(1; -2; 6), B(2; 5;1), C (-1; 8; 4) Baøi Cho hai điểm A, B Đường thẳng AB cắt mặt phẳng Oyz (Oxz, Oxy) điểm M · Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số ? · Tìm tọa độ điểm M Trang 28 ... 2; -3 ), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0) b) A(0; 13; 21), B(11; -2 3; 17), C (1; 0;19) c) A (3; -4 ; 7), B (-5 ; 3; -2 ), C (1; 2; -3 ) d) A(4; 2; 3) , B (-2 ;1; -1 ), C (3; 8; 7) e) A (3; -1 ; 2), B(1; 2; -1 ), C (-1 ;1;... B (-1 ;1; 0), C (3; 1; -1 ) b) A ( -3 ; 2; 4), B(0; 0; 7), C (-5 ; 3; 3) A (3; -1 ; 2), B(1; 2; -1 ), C (-1 ;1; -3 ) d) A(0; 13; 21), B(11; -2 3; 17), C (1; 0;19) A(1; 0; 2), B (-2 ;1;1), C (1; -3 ; -2 ) f) A(1; -2 ;... (2; 3; 1), b = (1; -2 ; 0), c = (3; -2 ; 4) f) a = (5; 4; -8 ), b = (-2 ; 3; 0), c = (1; 7; -7 ) r r r r r r h) a = (2; -4 ; 3) , b = (-1 ; 3; -2 ), c = (3; -2 ;1) g) a = (2; -4 ; 3) , b = (1; 2; -2 ), c = (3;