BÀI 1 CUNG và góc LƯỢNG GIÁC

BÀI CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC MỤC TIÊU Kiến thức: - Nắm vững cung lượng giác; biểu diễn cung hay góc đường trịn lượng giác, số đo đơn vị độ, rađian, mối quan hệ đơn vị - Phát vấn đề toán học từ toán thực tế Kỹ năng: - Đổi đơn vị từ độ sang rađian ngược lại - Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác - Tinh độ dài cung tròn, số đo cung theo kiện cho trước - Xác định điểm cuối cung lượng giác tia cuối góc lượng giác I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Khái niệm cung góc lượng giác - Đường trịn định hướng đường trịn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại chiều âm Ta quy ước chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ chiều dương (Hình 1) Hình - Trên đường trịn định hướng, lấy hai điểm A B có vơ số cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B, kí hiệu AB Lưu ý: kí hiệu AB cung hình học xác định A, B - Trên đường tròn định hướng cho cung lượng giác CD Một điểm M chuyển động đường tròn từ C đến D tạo nên cung lượng giác CD nói Khi tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến OD Ta nói tia OM tạo góc lượng giác, có tia đầu OC, tia cuối OD Kí hiệu góc lượng giác (OC,OD) (Hình 1) - Trong mặt phẳng tọa độ Oxy vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính R =1 Đường trịn cắt hai trục tọa độ bốn điểm A(1;0), A (1;0), B(0;1), B (0; 1) Ta lấy A(1;0) làm điểm gốc đường tròn Đường tròn xác định gọi đường tròn lượng giác gốc A (Hình 2) Trang Hình Số đo cung góc lượng giác - Trên đường trịn tùy ý, cung có độ dài bán kính gọi cung có số đo rad - Quy tắc đổi từ độ sang rad từ rad sang độ:    180   rad 1rad    180    - Độ dài cung có số đo a rad đường trịn bán kính R tính theo cơng thức: I    R  - Số đo cung lượng giác AM ( A  M ) số thực âm hay dương Kí hiệu số đo cung AM sđ AM - Số đo góc lượng giác (OA,OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng - Để biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác ta chọn điểm gốc A(1;0) làm điểm đầu, điểm cuối điểm M xác định hệ thức sử sđ AM = a 25  25  8  Ví dụ: Vì nên điểm cuối cung điểm M thuộc cung nhỏ AB cho 3  AOM   60 25 Biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác hình vẽ II CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Đơn vị đo độ rađian Phương pháp giải Dùng mối quan hệ độ radian: 180   rad • Đổi cung a có số đo từ radian độ a  180  • Đổi cung x có số đo từ độ rađian x    180 Ví dụ: a) Đổi cung 3 có số đo từ radian độ 3  180 rad    135 4  b) Đổi cung 50°; 11°15' CÓ số đo từ độ radian Trang 50  50    5 rad ; 18 rad  180 15       1115  11    rad  rad 60  180 16  Ví dụ mẫu Ví dụ Đổi số đo cung sau 25 ;30 ;2415 ;8030 từ độ rađian Hướng dẫn giải 5   rad ; 30  30   rad  180 36 180 15   97 30   161   2415   24     rad ; 8030   80     rad 60  180 720 60  180 360   Ta có 25  25     Ví dụ Đổi số đo cung sau đây:   ; ;0, 75 ;3, 75 từ rađian độ 24 Hướng dẫn giải Ta có  rad    180   20 ;  0,75 rad  0,75    180  24   135 ; rad   180   7,5  730 24  3,75rad  3,75  180   675  Ví dụ Số đo cung 10,5(rad) từ rađian độ, phút, giây   A 6013619 B 60136 20'' C 60136 21 Hướng dẫn giải Do 10,5rad  10,5  180   1890   214,9 D 60136 22 nên để kết xác đến giây, sử dụng máy tính bỏ túi (CASIO-fx-570ES PLUS) ấn sau Ta kết 60136 20.47 Vậy góc lượng giác có số đo 10,5(rad) có số đo theo độ làm tròn đến giây 60136 20 Chọn B Ví dụ Đổi số đo cung 13832 22 từ độ rađian (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) A 2,416 B 2,417 C 2,418 D 2,419 Hướng dẫn giải  (rad) nên để kết xác đến giây, sử dụng máy tính Do 13832 22  13832 22  180 bỏ túi (CASIO-fx-570ES PLUS) ấn sau Ta kết 2,417969449 Trang Vậy góc lượng giác có số đo 13832 22 có số đo theo rađian làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba 2,418 Chọn C Ví dụ Kim kim phút đồng hồ Hỏi sau lâu hai kim lại vng góc với nhau? Lúc tổng số đo góc hai kim quay theo rađian độ bao nhiêu? (Độ: xác đến giây, rađian: xác đến chữ số thập phân thứ ba) A 2128337'' B 3,724 (rad) C 3,713(rad) D 2138337 Hướng dẫn giải Lúc hai kim vng góc với nên khoảng cách hai kim vịng đồng hồ Để kim phút vng góc với kim lần kim phút phải đuổi kịp kim tiếp đến khoảng cách hai kim vòng đồng hồ lần Ở sử dụng công thức quen thuộc Thời gian = (Quãng đường) : (Vận tốc) 11 Hiệu vận tốc kim phút kim   (vòng đồng hồ/giờ) 12 12 Vào lúc khoảng cách hai kim vòng đồng hồ Vậy khoảng thời gian ngắn để kim phút  1  11 lại vng góc với kim    :  (giờ) Trong kim phút quay vòng 360°,  4  12 11 kim quay 30° tổng số đo góc hai kim quay 11   2340    360  30     11  11  Tiếp theo ta dùng máy tính bỏ túi thực giống Ví dụ Ví dụ ta có kết sau 212°43'38" 3,713 (rad) Chọn C Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Góc lượng giác có số đo -2880° có số đo theo rađian A 16(rad) B 16  (rad) C -16  (rad) D -16(rad)  Câu Góc lượng giác có số đo rad có số đo theo độ 36 A 4 B C D 49 Câu Góc lượng giác có số đo rad có số đo theo độ làm trịn đến phút A 561 29 B 56130 C 56131 D 56132 Câu Góc lượng giác có số đo 78° có số đo theo rađian 13 13 13 30 (rad) (rad) (rad) (rad) A B  C D 30 30 30 13 Câu Góc lượng giác có số đo 22°30' đổi rađian  7   (rad) A (rad) B C (rad) D (rad) 12 Câu Cho (OA, OM )  2315  k 360 ; k  Với k (OA, OM )  326315 ? Trang A B C 16 D 18  Câu Đường tròn lượng giác cắt hai trục tọa độ bốn điểm A(1;0), A (1;0), B(0;1), B (0, 1) Ta thường chọn điểm gốc đường tròn lượng giác điểm nào? A A(1; 0) B O  0;0 C B  0;1 D A'  1;0 Câu Một bánh xe có 108 bánh Góc mà bánh xe quay di chuyển 30 bánh A 80 B 90 C 100 D 110 Bài tập nâng cao Câu Người ta muốn xây dựng cầu sắt có chiều cao MN = 5m qua sơng (như hình vẽ) Biết AB = 50m Số đo cung AMB theo rad gần số số sau? A 0, 25 (rad) B 0,35 (rad) HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-C 2-B 3-B 4-A D 0,55 (rad) C 0, 45 (rad) 5-A 6-B 7-A 8-C 9-A HƯỚNG DẪN Câu Chọn A Gọi O tâm đường tròn chưa cung AMB, MK đường kính đường trịn tâm  O; OA Áp dụng hệ thức lượng tam giác ∆AMK vuông A, đường cao AN, AN 252 ta có AN  MN NK  NK    125(m) MN AN 25   AKN  11,30  AKB  AKN  22, 60 Xét ∆ANK có tan AKN  NK 125 Do tính chất góc nội tiếp số đo cung bị chắn nên AMB  45, 20  0, 251 (rad) 2 Dạng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác  Phương pháp giải Để biểu diễn cung lượng giác có số đo a đường tròn lượng giác ta thực sau: - Chọn điểm A(1;0) làm điểm đầu cung - Xác định điểm cuối M cung cho AM   Lưu ý: Trang + Số đo cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối sai khác bội  là: sđ AM    k 2 ; k  Ngoài ra, ta viết số đo độ: sđ AM  x  k 360 , k  + Nếu ta có AM    k 2 ; k, n  n có n điểm Ví dụ: Biểu diễn đường trịn lượng giác điểm cung lượng giác có số đo 25 Ta có Sđ AM  25  24       6   2.3   4 4 Vậy điểm cuối M cung AM trùng với điểm cung  Suy M điểm cung nhỏ AB  Ví dụ mẫu Ví dụ Biểu diễn đường trịn lượng giác điểm cung lượng giác có số đo -1485° Hướng dẫn giải Ta có sđ AM  1485  45  (4)  360 Vậy điểm cuối M cung AM trùng với điểm cuối cung - 45°C Suy M điểm cung nhỏ AB' Ví dụ Biểu diễn đường tròn lượng giác điểm ngon cung lượng giác có số đo    k ; k  Hướng dẫn giải Trang Ta có sđ AM   k  k =  sđ AM   k =  sđ AN   k   sđ AP  k   sđ AQ   2 nên có điểm đường trịn lượng giác có điểm M   có điểm N   có điểm P  3 có điểm Q   2 có điểm R Lúc điểm R trùng với M Vậy bốn điểm M, N, P, Q tạo thành hình vng nội tiếp đường trịn lượng giác K   sđ AR  Ví dụ Biểu diễn đường tròn lượng giác điểm cung lượng giác có số đo k  Hướng dẫn giải Ta có sđ AM  k 2 nên có sáu điểm đường trịn lượng giác k   sđ AM  có điểm M  k   sđ AN  có điểm N 2 k   sđ AP  có điểm P Trang ;k  k   sđ AQ   có điểm ngon Q 4 có điểm R k   sđ AR  5 có điểm S k   sđ AS  k   sđ AT  2 có điểm T Lúc điểm T trùng với M Vậy sáu điểm M, N, P, Q, R; S tạo thành lục giác nội tiếp đường tròn lượng giác Ví dụ Kim kim phút đồng hồ Hỏi sau lâu hai kim lại vng góc với nhau? A B C D 11 11 11 11 Câu ta thấy giống Dạng Ví dụ Nhưng ta giải theo cách tư khác sau: Hướng dẫn giải  Một giờ, kim phút quét góc lượng giác  ; kim quét góc Hiệu vận tốc  11 kim phút kim 2   Vào lúc hai kim vng góc với khoảng cách 6  hai kim Sau kim phút phải quay để bắt kịp kim tạo thành góc vng nên  kim phút cần phải quay thêm     11 Khoảng thời gian để hai kim vng góc với lần    :  (h) 11 2 2 Chon A Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Trong cung lượng giác sau, cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối trùng với cung  lượng giác có số đo ? 7 12 13 31 A B C D 5 5 Câu Khi biểu diễn cung lượng giác có số đo khác đường tròn lượng giác, xảy trường hợp điểm đầu, cuối chúng trùng nhau? A Khi số đo bội  B Khi số đo ước  C Khi số đo bội  D Khi số đo ước  Câu Trong cung lượng giác sau, cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối khơng trùng với 23 cung lượng giác có số đo ? 5 19 34 47 A B C D 7 7 Câu Trong cung lượng giác sau, cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối trùng với cung lượng giác có số đo 1756°? Trang A 452 B 4636 C 726 D 244 Câu Cung sau có điểm cuối trùng với M? Biết M điểm cung AB   A    k 2 ; k  B    k 2 ; k    C    k 2 ; k  D    k 2 ; k  Câu Cung sau có điểm đầu điểm B điểm cuối trùng với M? Biết M điểm cung A B 3 5  k ; k   k ; k  A   B   4 3 5  k 2 ; k   k 2 ; k  C   D   4 Câu Biết tam giác OCB ODB hai tam giác Cung sau có điểm đầu điểm A điểm cuối trùng với B, C, D?   A    k 2 ; k  B     k 2 ; k  2  2  2 ;k  ;k  C    k D    k Trang 5 13 11 7 7 ; ; ; ; Trong 6 6 6 6 góc lượng giác có số đo trên, có góc lượng giác có tia đầu OA, tia cuối OB? A B C D Câu Cho AOB   Cho góc lượng giác có số đo  5 ; ; Bài tập nâng cao Câu Kim kim phút thời gian lúc 12 Người ta để ý cách hai kim vng góc với hai lần Hỏi thời gian để hai kim vng góc với lần gần với số sau A 15 phút B 16 phút C 17 phút D 18 phút Câu 10 Kim kim phút đồng hồ thời gian lúc 12 Hỏi thời gian để kim trùng lần thứ (khơng tính lúc 12 giờ)? 23 24 25 A B C D 11 11 11 Câu 11 Kim kim phút thời gian lúc 12 Người ta để ý cách hai kim vng góc với hai lần Số lần hai kim vng góc với từ 12 đến 15 16 A lần B lần C lần D lần HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-D 2-A 3-C 4-B 5-C 6-C 7-C 8-C 9-C 10-C 11-A Câu Chọn B Xét chiều dương chiều ngược chiều kim đồng hồ Trong giờ, kim phút quay vòng 2 rad  kim quay vòng  rad 12 Trang 10 - Hai kim vng góc với hai kim cách khoảng  rad - Nhận thấy giờ, hai kim vng góc với lần nên chu kỳ phương trình k Gọi x thời gian để hai kim vng góc với Ta có phương trình sau   x 11x 6.k   x  2  x   k  ; k  ; k  ;   2 x   k   k  x  6 11 11 Chọn k   x  (giờ)  16,3 (phút) 11 Vậy sau 16,3 phút hai kim vng góc với lần Câu 10 Chọn B Xét chiều dương chiều ngược chiều kim đồng hồ Trong giờ, kim phút quay vòng  vòng  (rad) 2  rad  kim quay 12 Nhận thấy cách kim gặp lại nên chu kỳ phương trình k2m Gọi x thời gian để kim trùng Ta có phương trình sau  x 11x 12.k   x  2  , x  k  ; k  Z ; k    2 x  k   2k  x  6 11 24 Chọn k   x  (giờ) 11 24 Vậy sau : (giờ) kim gặp lần thứ 11 Câu 11 Chọn A 6.k ; k  ; k  (áp dụng kết câu 9) - Phương trình hai kim vng góc với x   11 11 6.k k 5 - Vào lúc 15 cách 12 tiếng nên   11 11 Vì k số nguyên nên k={0,1,2,3,4,5} Vậy vào lúc 15 kim vng góc với lần 6k  k  6,8  k  {0,1, 2,3, 4,5, 6} - Vào lúc 16 cách 12 (giờ) tiếng nên   11 11 Vậy vào lúc 16 kim vng góc với lần Dạng Độ dài cung trịn Phương pháp giải Cung có số đo a (rad) đường trịn bán kính R có độ dài l  R.a Ví dụ : Một đường trịn có bán kính 30 cm Tìm độ dài cung đường trịn có số đo sau đây:  rad;70 15 Hướng dẫn giải Gọi  , l , R số đo cung, độ dài cung | bán kính đường trịn Khi R = 30 cm +) Độ dài cung có số đo  rad 15 I  R    30    2 (cm) 15 +) Độ dài cung có số đo 70° Chuyển từ độ sang radian: Trang 11 70  70  Độ dài cung: I  R    30   180   7 18 7 35  (cm) 18 Ví dụ mẫu Ví dụ Trên đường trịn định hướng có bán kính lấy cung có độ dài  Số đo theo độ cung A 120 B 150 C 180 D 210 Hướng dẫn giải Gọi  , l , R số đo cung, độ dài cung bán kính đường trịn Khi R  3; I  2 Ta có I  R      2  180     120 R 3  Chọn A Ví dụ Một cung lượng giác đường tròn định hướng có độ dài nửa bán kính Số đo theo rađian cung A rad B 1rad C rad D rad 2 Hướng dẫn giải Gọi  , l , R số đo cung, độ dài cung bán kính đường trịn Vì độ dài nửa bán kính nên I  R R Ta có I  R        (rad) R R Chọn A Ví dụ Biết độ dài xích đạo 40000 km Bán kính Trái Đất A 6166,2 km B 6266,2 km C 6366,2km D 6466,2 km Hướng dẫn giải Gọi  , l , R số đo cung, độ dài cung bán kính Trái Đất Khi I  40000(km) I 40000 20000   6366, 2(km) Ta có I  R    R    2  Chọn C Ví dụ Kim dài 5,5cm kim phút dài 11cm đồng hồ Hỏi sau lâu kim lại vng góc với nhau? Lúc tổng quãng đường đầu mút kim kim phút bao nhiêu? A 5,54 cm B 6,54 cm C 7,54 cm D 8,54 cm Câu ta thấy giống ví dụ Dạng ta giải theo cách khác sau Hướng dẫn giải  - Một giờ, kim phút quét góc lượng giác  ; kim quét góc 2 - Vào lúc hai kim cách đồng hồ khoảng cách kim Sau kim phút 3  phải quay để tạo thành góc vng với kim nên kim phút cần cách kim khoảng Trang 12 - Trong kim vng góc với kim phút lần nên ta có cung  k 2  k - Lưu ý chiều dương lượng giác chiều ngược kim đồng hồ - Gọi x thời gian để hai kim vng góc Ta có  2  2 11x 1 6k x  2  x   k    k  x   ;k  ;k  2 6 11 11 Chọn k   x  ( giờ) 11 Vậy sau (giờ) hai kim lại vng góc với 11 - Tổng quãng đường hai đầu mút kim  25 I  R      5,5   2 11   6,54(cm) 11 11 12 Chọn B Bài tập tự luyện dạng Bài tập Câu Điền vào chỗ cịn trống sau Cung có độ dài độ dài đường trịn cung có số đo 1 1 A B C D 180 360 720 90 Câu Điền vào chỗ cịn trống sau Cung có độ dài bán kính đường trịn cung có số đo radian A B C D Câu Trên đường trịn có diện tích 16  cm Độ dài cung 75° đường tròn gần A cm B 5,1cm C 5,2 cm D 5,3 cm  Câu Trên đường trịn có bán kính R = 20 cm Độ dài cung rad đường tròn A  cm B 10  cm C cm D 10 cm  Câu Cung lượng giác có số đo x đường trịn bán kính R có độ dài  R x0 D I  180 x R Câu Bánh xe máy có đường kính 60 cm Nếu chạy với vận tốc 30km/h giây bánh xe quay góc (làm trịn đến độ, phút)? A 1591°33' B 1491°33' C 1691°33' D 1791°33' Câu Máy kéo nơng nghiệp có bánh xe sau to bánh trước Bánh xe sau có đường kính 1,892m; bánh xe trước có đường kính 95 cm Hỏi xe chạy đoạn đường thẳng, bánh xe sau lăn 10 vịng xe di chuyển mét bánh trước lăn góc độ? A 7169°41' B 7069°41' C 7569°41' D 7969°41' A I  R  x B I  R  x   C I  Câu Bánh xe rịng rọc có chu vi 0,54m Dây cua roa bao bánh xe cung AB có độ dài 0,2m Số đo góc AOB A 127 B 130 C 133 20 D 136 Trang 13 Câu Kim đồng hồ dài 5,5cm, kim phút dài 11cm thời gian lúc 12 Hỏi hai kim trùng lần thứ ba tổng quãng đường hai kim quay bao nhiêu? A 25 cm B 50 cm C 75 cm D 100 cm Câu 10 Kim đồng hồ dài 11cm; kim phút dài 22 cm thời gian lúc 12 Người ta để ý cách hai kim vng góc với hai lần Khi hai kim vng góc với lần thứ ba tổng quãng đường hai kim quay A 60 cm B 62,5 cm C 65 cm D 67,5 cm Bài tập nâng cao Câu 11 Người ta muốn xây dựng cầu sắt có chiều cao MN = 5m qua sơng (như hình vẽ) Biết AM = 25m Độ dài cung AMB gần A 49m B 50 m C 51m D 52m Câu 12 Từ miếng tôn hình trịn có bán kính R = cm, người ta muốn cắt thành hình chữ nhật có diện tích lớn Khi diện tích hình chữ nhật bao nhiêu? Độ dài cung AB bao nhiêu? A S  128cm2 ; lAB  4 B S  4cm2 ; I AB  128 C S  128cm2 ; lAB  128 D S  4cm2 ; lAB  4 Đề sử dụng cho câu 13, 14, 15 Để vẽ hình trứng, bạn Bình vẽ bốn cung trịn chắp nối với hình vẽ đây: nửa đường trịn ACB Có đường kính AB, cung BE có tâm A bán kính AB, cung FA có tâm B bán kính BA cung EF có tâm D bán kính DE Biết AB = 4cm Trang 14 Câu 13 Độ dài cung EF bao nhiêu? A 1,6 cm B 1,84 cm Câu 14 Độ dài cung BE bao nhiêu? A 3,14 cm B cm Câu 15 Diện tích trứng bao nhiêu? A 14,9cm2 B 15,9cm2 HƯỚNG DẪN GIẢI TRẮC NGHIỆM 1-C 2-A 3-C 4-B 11-C 12-A 13-B 14-A C 2,04 cm D 2,24 cm C 3,24 cm D 3,41cm C 16,9cm2 D 17,9cm2 5-B 6-A 7-A 8-C 9-C 10-B 15-B Câu 11 Chọn C Gọi O tâm đường tròn chứa cung AMB, MK đường kính đường trịn  O; OM  Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông vào ∆AMK vng A,đường cao AN, ta có AM 252 AM  MN  MK  MK    125(m) MN Xét ∆AMK có AM 25 sin AKM    AKN  11,540  AKB  AKM  23,10 MK 125 Do tính chất góc nội tiếp số đo cung bị chắn nên AMB  46, 20  0, 26 (rad) MK MK  125(m)  OM   62,5(m) 2 Độ dài cung AMB I  R    62,5.0, 26  51,1(m) Trang 15 Vậy độ dài cung AMB 51, 1m Câu 12 Chọn A Gọi  , I , R số đo cung, độ dài cung bán kính Đặt cạnh AB  x(cm)(x  0) Suy AC  BC  AB2  162  x2 Diện tích hình chữ nhật S  AB AC  x  162  x2 x  162  x Sử dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: x  16  x   128  cm2  Dấu “=” xảy cạnh hình chữ nhật nên ABCD trở thành hình vng   AOB  900  (rad)  Độ dài cung AB I  R      4 (cm) Vậy hình chữ nhật có diện tích lớn 128 cm độ dài cung AB 4π cm Câu 13 Chọn B  D nằm đường tròn đường kính AB  ADB  900  EDF  ADB  900  (rad) ∆ODA vuông cân O  AD  OA     2(cm) 2 Cung BE có tâm A bán kính AB  AE  AB  4(cm) Suy DE  AE  AD   2(cm)  Vậy độ dài cung EF I  DE  EDF  (4  2)  1.84(cm) Câu 14 Chọn A  Vì tính chất đối xứng nên dễ dàng thấy ∆ADB vuông cân D  DAB  DBA  450  (rad) Vậy độ dài cung BE I  AE         3,14(cm) Câu 15 Chọn B 1 Diện tích hình quạt ACB S   R    22  2  cm  2 1 Diện tích AABD S  DA.DB   (2 2)   cm  2 450 450      2  cm2  0 360 360 0 90 90 360° Diện tích hình quạt DEF S   R2     (4  2)   (6  2)  cm2  3600 3600 Khi cơng diện tích lại em cần ý tổng diện tích hình quạt ABE hình quạt BAF dư diện tích AABD Diện tích hình quạt ABE S   R2  Vậy diện tích cần tìm S  2  (2 )    (6  2)  15,9  cm2  Trang 16 ... vng góc với x   11 11 6.k k 5 - Vào lúc 15 cách 12 tiếng nên   11 11 Vì k số nguyên nên k={0 ,1, 2,3,4,5} Vậy vào lúc 15 kim vng góc với lần 6k  k  6,8  k  {0 ,1, 2,3, 4,5, 6} - Vào lúc 16 ...  ;k  2 6 11 11 Chọn k   x  ( giờ) 11 Vậy sau (giờ) hai kim lại vng góc với 11 - Tổng qng đường hai đầu mút kim  25 I  R      5,5   2 ? ?11   6,54(cm) 11 11 12 Chọn B Bài tập tự... Câu Trong cung lượng giác sau, cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối khơng trùng với 23 cung lượng giác có số đo ? 5 19  34 47 A B C D 7 7 Câu Trong cung lượng giác sau, cung lượng giác có