Đại 10 chương 6 cung và góc lượng giác

Chương 6: CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC §1 CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT KHÁI NIỆM CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC Định nghĩa Đường tròn định hướng đường tròn ta chọn chiều chuyển động gọi chiều dương, chiều ngược lại gọi chiều âm + A Quy ước: chiều dương chiều ngược với chiều quay kim đồng hồ − Định nghĩa Trên đường tròn định hướng, cho hai điểm A B Một điểm M di chuyển đường trịn ln theo chiều (dương âm) từ A đến B tạo nên cung lượng giác có điểm đầu A, điểm cuối B Với hai điểm A, B cho đường trịn định hướng, ta có vơ số cung lượng giác điểm đầu A, ! điểm cuối B Mỗi cung kí hiệu AB ! Trên đường tròn định hướng, lấy hai điểm A B ˜ cung hình học (cung lớn cung bé) hồn tồn xác định • Kí hiệu AB • Kí hiệu AB cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B Định nghĩa Trên đường tròn định hướng, cho cung lượng giác CD Một điểm M chuyển động đường tròn từ C đến D tạo nên cung lượng giác CD D nói Khi đó, tia OM quay xung quanh gốc O từ vị trí OC đến vị trí OD Ta nói ta OM tạo góc lượng giác có tia đầu OC, tia cuối OD Kí hiệu: (OC, OD) O M C Định nghĩa Trong mặt phẳn tọa độ Oxy, vẽ đường tròn định hướng tâm O bán kính y R = B Đường trịn cắt hai trục tọa độ bốn điểm A(1; 0), A (−1; 0), B(0; 1), B (0; −1) Ta lấy A làm điểm gốc đường trịn Đường trịn xác định gọi đường tròn lượng giác (gốc A) x A O A B SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC Định nghĩa Trên đường trịn tùy ý, cung có độ dài bán kính gọi cung co số đo rad Å ã π 180 ◦ ◦ Liên hệ độ rad: = rad rad = 180 π ! Khi viết số đo góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad π π sau số đo Chẳng hạn cung hiểu cung rad 2 Bảng chuyển đổi thông dụng: Độ 30◦ 45◦ 60◦ 90◦ 120◦ 135◦ 150◦ 180◦ Rađian π π π π 2π 3π 5π π Định nghĩa Số đo cung lượng giác AM (A = M ) số thực, âm hay dương Kí hiệu số đo cung AM sđ AM Ghi nhớ: sđ AM = α + k2π, k ∈ Z sđ AM = a◦ + k360◦ , k ∈ Z Định nghĩa Số đo góc lượng giác (OA, OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng Số đo cung lượng giác Số đo cung lượng giác AM (A = M ) số thực, âm hay dương Kí hiệu số đo cung AM sđ AM Ghi nhớ sđ AM = α + k2π, k ∈ Z sđ AM = a◦ + k360◦ , k ∈ Z Số đo góc lượng giác Số đo góc lượng giác (OA, OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Điểm M đường tròn lượng giác cho góc lượng giác (OA, OM )) = α điểm biểu diễn cung lượng giác có số đo α y B M A A α x O B B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Liên hệ độ rađian π Sử dụng cộng thức chuyển đổi số đo độ số đo rađian: = rad rad = 180 ◦ Å 180 π ã◦ ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Đổi số đo góc sau rađian: 72◦ ; 600◦ ; −37◦ 45 30 Ví dụ Đổi số đo góc sau độ: 5π 3π ; ; −4 18 Dạng Độ dài cung lượng giác Cung trịn bán kính R có số đo α (0 ≤ α ≤ 2π), có số đo a◦ (0 ≤ a ≤ 360) có độ dài l thì: l = Rα = Å Đặc biệt: rad = 180 π ã◦ , 1◦ = πa α a R = 180 π 180 π rad 180 ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Một đường trịn có bán kính 36 m Tìm độ dài cung đường trịn có số đo a) 3π b) 51◦ c) Å Ví dụ Một hải lí độ dài cung trịn xích đạo có số đo 60 ã◦ = Biết độ dài xích đạo 40.000 km, hỏi hải lí dài km? Ví dụ Cho hình vng A0 , A1 , A2 , A4 nội tiếp đường tròn tâm O (các A1 đỉnh xếp theo chiều ngược chiều quay kim đồng hồ) Tính số đo cung lượng giác A0 Ai , Ai Aj (i, j = 0, 1, 2, 3, 4, i = j) A2 O A0 A3 Dạng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác, ta thường sử dụng kết sau: • Cung có số đo α (a◦ ) cung có số đo α + k2π (a◦ + k360◦ ) có điểm biểu diễn đường trịn lượng giác k2π • Số điểm đường trịn lượng giác biểu diễn cung lượng giác có số đo dạng α + (hay m ◦ k360 a◦ + ) (với k số nguyên m số nguyên dương) m điểm Từ để biểu diễn m cung lượng giác đó, ta cho k chạy từ đến m − biểu diễn cung ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác có số đo 9π Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác có số đo −765◦ Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = kπ với k số nguyên tùy ý Ví dụ Cho cung lượng giác có số đo x = π + kπ với k số nguyên tùy ý Có giá trị k thỏa mãn x ∈ [2π; 5π]? π kπ Ví dụ Cho cung lượng giác có số đo x = − + với k số nguyên tùy ý Có Å ò 3π giá trị k thỏa mãn x ∈ − ; 4π ? π kπ Ví dụ Cho cung lượng giác có số đo x = − + với số k tùy ý Có giá trị k −π thỏa mãn x ∈ ; 2π ? Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác có số đo x = kπ với k số nguyên tùy ý §2 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT ĐỊNH NGHĨA • sin α = OK • cos α = OH sin α • tan α = cos α = cos α cos α • cot α = sin α = sin α Các giá trị sin α, cos α, tan α, cot α gọi giá trị lượng giác cung α Ta gọi trục tung trục sin, trục hoành trục y M B K α A H O A x cosin B ! Chú ý • Các định nghĩa áp dụng cho góc lượng giác • Nếu 0◦ ≤ α ≤ 180◦ giá trị lượng giác góc α giá trị lượng giác góc nêu SGK Hình học 10 HỆ QUẢ a) sin α cos α xác định với α ∈ R, • sin(α + k2π) = sin α, ∀k ∈ Z • cos(α + k2π) = cos α, ∀k ∈ Z b) −1 ≤ sin α ≤ −1 ≤ cos α ≤ c) Với m ∈ R mà −1 ≤ m ≤ tồn α, β cho sin α = m cos β = m π d) tan α xác định với α = + kπ, k ∈ Z e) cot α xác định với α = kπ, k ∈ Z f) Dấu giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí điểm cuối cung AM = α đường tròn lượng giác y B II M I K Góc phần tư Giá trị lượng giác I II III IV sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − cot α + − + − α H O A A III Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG • tan α biểu diễn độ dài đại số # » vectơ AT trục t At Trục t At gọi trục tang Do tan α = AT • cot α biểu diễn độ dài đại số # » vectơ BS trục s Bs Trục s Bs gọi trục cơtang Do cot α = AT y t B s M K A O • sin2 α + cos2 α = π + kπ, k ∈ Z = α , • + tan2 α = cos2 α , α = kπ, k ∈ Z • + cot2 α = sin2 α kπ , k ∈ Z • tan α · cot α = 1, α = T H A M t CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN S s α B IV B x x GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CĨ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT a) Cung đối • cos(−α) = cos α y • sin(−α) = − sin α B • tan(−α) = − tan α • cot(−α) = − cot α M α A x H A x −α O A H M B b) Cung bù • cos(π − α) = − cos α y • sin(π − α) = sin α • tan(π − α) = − tan α B K M M π−α α • cot(π − α) = − cot α A x A O B c) Cung π • cos(α + π) = − cos α • sin(α + π) = − sin α y B • tan(α + π) = tan α M • cot(α + π) = cot α π+α H α O A M B d) Cung phụ π • cos( − α) = sin α π • sin( − α) = cos α π • tan( − α) = cot α π • cot( − α) = tan α y B M K K M α A O H B HA x B CÁC DẠNG TOÁN Dạng Dấu giá trị lượng giác Để xác định dấu giá trị lượng giác y góc α ta xác định vị trí điểm cuối cung B AM = α đường tròn lượng giác Điểm M thuộc góc phần tư ta áp dụng bảng xác II định dấu giá trị lượng giác I A A x α Góc phần tư Giá trị lượng giác I II III IV sin α + + − − cos α + − − + tan α + − + − cot α + − + − ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Xác định dấu biểu thức: a) A = sin 50◦ · cos(−100◦ ) 20π b) B = sin 195◦ · tan Ví dụ Xác định dấu Å ãbiểu thức: 2π 2π a) A = cot · sin − 4π π 4π 9π b) B = cos · sin · tan · cot 3 3π Ví dụ Cho π < α < Xét dấu biểu thức sau: π a) A = cos α − Å ã 2019π b) B = tan −α M III IV B Dạng Tính giá trị lượng giác cung Để tính giá trị lượng giác cung ta dựa vào đẳng thức lượng giác: sin2 α + cos2 α = 1; + tan2 α = 1 ; + cot2 α = cos α sin2 α Ngoài ra, cần phải xác định dấu hàm số lượng giác cung ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Biết sin α = π α ∈ ; π Tính giá trị cos α tan α Ví dụ Cho tan α = − π < α < π Tính giá trị sin α Ví dụ Cho tan α = 2, tính giá trị biểu thức M = cos2 α − sin2 α Ví dụ Cho cot α = Tính giá trị biểu thức M = sin α − cos α sin3 α + cos3 α √ π Ví dụ Cho < α < π cos 2α = − Biết A = sin 2α + cos 2α = a + b với a, b ∈ Q a p = phân số tối giản Tính M = p − q b q Dạng Sử dụng cung liên kết để tính giá trị lượng giác Sử dụng cơng thức cung có liên quan đặc biệt ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tính giá trị lượng giác góc α = 2017π Å ã 3π Ví dụ Cho cos α = Tính sin α − Ví dụ Rút gọn biểu thức A = cos π + x + cos (2π − x) + cos (3π + x) Ví dụ Cho tam giác ABC, chứng minh sin(A + B + 2C) = − sin C Ví dụ Tính giá trị biểu thức B = cos 20◦ + cos 40◦ + cos 60◦ + + cos 180◦ Dạng Rút gọn biểu thức chứng minh đẳng thức Một số hệ thức hay dùng toán rút gọn biểu thức chứng minh đẳng thức: • sin2 α + cos2 α = 1 π • + tan2 α = , α = + kπ, k ∈ Z cos2 α • + cot2 α = , α = kπ, k ∈ Z sin2 α kπ • tan α · cot α = 1, α = , k ∈ Z ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Rút gọn biểu thức A = sin2 x + sin2 x tan2 x Ví dụ Rút gọn biểu thức B = sin2 x − sin2 x − sin x cos x Ví dụ Rút gọn biểu thức: A = sin2 α cos2 α + cos2 α + sin4 α Ví dụ Chứng minh rằng: + sin2 α = tan2 α + − sin2 α §3 CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC A CƠNG THỨC CỘNG Dạng Cơng thức cộng Để giải toán liên quan đến công thức cộng, ta thường sử dụng công thức sau: a) sin(a ± b) = sin a cos b ± sin b cos a c) tan(a ± b) = b) cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sin a sin b tan a ± tan b ∓ tan a tan b ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tính giá trị biểu thức P = cos 10◦ + cos 11◦ cos 21◦ + cos 69◦ cos 79◦ Ví dụ Rút gọn biểu √ cos a − cos a) A = √ − sin a + sin thức: π +a π +a b) B = (tan a − tan b) cot(a − b) − tan a tan b Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau: √ √ π a) cos a + sin a = cos − a = sin √ √ π b) cos a − sin a = cos + a = sin π +a π −a Ví dụ Cho tam giác ABC, chứng minh tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C B CƠNG THỨC NHÂN ĐƠI Định lí Với giá trị góc lượng giác α cho trước, ta có • sin 2α = sin α cos α • cos 2α = cos2 α − sin2 α = cos2 α − = − sin2 α π π  α = + k tan α , k ∈ Z • tan 2α = , π − tan α α = + kπ Hệ Với giá trị góc lượng giác α cho trước, ta có − cos 2α • sin2 α = + cos 2α • cos2 α = − cos 2α π • tan2 α = , α = + kπ, k ∈ Z + cos 2α Hệ Với giá trị góc lượng giác α cho trước, ta có • sin 3α = sin α − sin3 α • cos 3α = cos3 α − cos α (Chứng minh lại sử dụng tập tự luận) (Công thức nhân ba) Lời giải a) sin 3α = sin(α + 2α) = sin α cos 2α + sin 2α cos α = sin α(1 − sin2 α) + sin α cos2 α = sin α − sin3 α + sin α(1 − sin2 α) = sin α − sin3 α b) cos 3α = cos(α + 2α) = cos α cos 2α − sin α sin 2α = cos α(2 cos2 α − 1) − sin2 α cos α = cos3 α − cos α − 2(1 − cos2 α) cos α = cos3 α − cos α C CÁC DẠNG TỐN Dạng Tính giá trị lượng giác góc cho trước Sử dụng công thức nhân đôi hạ bậc để tính giá trị lượng giác theo yêu cầu ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Tính giá trị lượng giác góc α = 22◦ 30 π Ví dụ Cho sin α = , với α ∈ ; π Tính giá trị sin 2α tan 2α Dạng Rút gọn biểu thức cho trước Sử dụng công thức nhân đôi hạ bậc kết hợp việc đánh giá quan hệ bội chẵn cung bậc ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Rút gọn biểu thức sau a) A = sin 10◦ cos 20◦ cos 40◦ b) B = cos3 x sin x − sin3 x cos x Dạng Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng công thức nhân đôi hạ bậc kết hợp việc đánh giá quan hệ bội chẵn cung bậc ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh đẳng thức sau điều kiện có nghĩa biểu thức a) sin4 α + cos4 α = + cos 4α 4 − cos α + cos 2α b) = cot α sin 2α − sin α 4 sin α − cos α + cos2 α α c) = cos2 2(1 − cos α) Ví dụ Chứng minh biểu thức sau khơng phụ thuộc vào giá trị biến x P = − cos 2x + sin 2x · cot x + cos 2x + sin 2x D CÔNG THỨC BIẾN ĐỔI Dạng Biến đổi biểu thức thành tổng thành tích Đây dạng tốn chủ yếu để tập cho học sinh áp dụng công thức biến đổi (tổng thành tích, tích thành tổng) học Dưới cơng thức biến đổi Cơng thức biến đổi tích thành tổng [cos(a − b) + cos(a + b)] • sin a sin b = [cos(a − b) − cos(a + b)] • cos a cos b = [sin(a + b) + sin(a − b)] • cos a sin b = [sin(a + b) − sin(a − b)] • sin a cos b = Công thức biến đổi tổng thành tích a+b a−b cos 2 a+b a−b • sin a − sin b = cos sin 2 a+b a−b • cos a + cos b = cos cos 2 • sin a + sin b = sin a+b a−b sin 2 sin(a + b) • tan a + tan b = cos a cos b sin(a − b) • tan a − tan b = cos a cos b • cos a − cos b = −2 sin ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Biến đổi biểu thức sau thành tổng: a) A = sin(a + b) sin(a − b) b) B = sin x sin 2x sin 3x c) C = cos x sin 2x sin 3x d) D = cos x cos (x + 60◦ ) cos (x − 60◦ ) Ví dụ Biến đổi biểu thức sau thành tích: a) A = sin a + sin 3a + sin 5a b) B = + cos x + cos 2x + cos 3x Dạng Chứng minh đẳng thức lượng giác có sử dụng nhóm cơng thức biến đổi • Với dạng tốn thường xuất phát từ vế đẳng thức cần chứng minh, áp dụng công thức, kết hợp rút gọn, nhóm số hạng, cách hợp lý biến đổi biểu thức đồng với biểu thức vế • Tuỳ vào tốn cụ thể, phương pháp biến đổi tương đương, chứng minh hai vế đẳng thức với biểu thức trung gian, sử dụng ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh cos x cos π π − x cos + x = cos 3x, với x ∈ R 3 Ví dụ Chứng minh cos3 a cos 3a − sin3 a sin 3a = cos 4a + , với x ∈ R 4 Ví dụ Chứng minh giá trị biểu thức say không phụ thuộc vào biến số x: Å ã Å ã 2 2π 2π S = cos x + cos + x + cos −x 3 Dạng Dùng công thức biến đổi để tính giá trị (rút gọn) biểu thức lượng giác ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Rút gọn biểu thức A = sin x(cos x + cos 3x + cos 5x) π 3π 5π Từ tính giá trị biểu thức T = cos + cos + cos 7 Ví dụ Tính giá trị biểu thức A = sin2 10◦ + cos 70◦ cos 50◦ Ví dụ Rút gọn biểu thức sau đây: a) A = cos 4a − cos 2a sin 4a − sin 2a b) B = sin a − sin 2a + sin 3a cos a − cos 2a + cos 3a Dạng Nhận dạng tam giác Một số hệ thức tam giác • Biến đổi, dẫn đến sin A = cos A = có A = 900 • Nếu a2 + b2 = c2 C = 900 • Nếu sin(A − B) = cos(A − B) = A = B, suy tam giác cân • Tam giác cân mà có góc 600 tam giác Một số lưu ý giả thiết cho A, B, C ba góc tam giác • A + B + C = 180◦ ⇒ (A Å + B) ã C bù nhau, tương tự với (B +ÅC) A, ã A B C A B C B C A ◦ • + + = 90 ⇒ + phụ nhau, tương tự với + , 2 2 2 2 ◦ ◦ • Các góc A, B, C có số đo khoảng (0 ; 180 ) A B C • Các góc , , góc nhọn nên có giá trị lượng giác dương 2 ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Chứng minh ∆ABC vng sin A sin C = cos A cos C Ví dụ Chứng minh ∆ABC cân sin A sin B = + cos C (1) Ví dụ Cho ∆ABC với diện tích S R bán kính đường trịn ngoại tiếp Chứng minh rằng: sin 2A + sin 2B + sin 2C = 2S R2 Ví dụ Cho ∆ABC Chứng minh a sin(B − C) + b sin(C − A) + c sin(A − B) = Ví dụ Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: a+b A−B A+B tan = tan a−b 2 Ví dụ Cho A, B, C a, b, c góc cạnh ∆ABC Chứng minh rằng: sin(A − B) a2 − b = sin C c2 Ví dụ Chứng minh với tam giác ABC ta ln có sin A + sin B − sin C = sin A B C sin cos 2 Ví dụ Chứng minh với tam giác nhọn ABC ta ln có sin A + sin B − sin C A B C = tan tan cot cos A + cos B − cos C + 2 Ví dụ Tam giác ABC tam giác sin A = sin B + sin C ? cos B + cos C ... Z Số đo góc lượng giác Số đo góc lượng giác (OA, OC) số đo cung lượng giác AC tương ứng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Điểm M đường trịn lượng giác cho góc lượng giác (OA, OM... Tính số đo cung lượng giác A0 Ai , Ai Aj (i, j = 0, 1, 2, 3, 4, i = j) A2 O A0 A3 Dạng Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác Để biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác, ta thường... biểu diễn m cung lượng giác đó, ta cho k chạy từ đến m − biểu diễn cung ĄĄĄ BÀI TẬP DẠNG ĄĄĄ Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác có số đo 9π Ví dụ Biểu diễn cung lượng giác đường