Luận án tiến sĩ đánh giá trạng thái của một số lớp hệ vi phân và sai phân có trễ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LƯU THỊ HIỆP ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN VÀ SAI PHÂN CÓ TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LƯU THỊ HIỆP ĐÁNH GIÁ TRẠNG THÁI CỦA MỘT SỐ LỚP HỆ VI PHÂN VÀ SAI PHÂN CÓ TRỄ Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 9460102 Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Đình Phư Trường ĐH Quang Trung Phản biện 2: GS.TS Đặng Đức Trọng Trường ĐH Khoa học tự nhiên-ĐHQG TP Hồ Chí Minh Phản biện 3: TS Phạm Quý Mười Trường ĐH Sư phạm-ĐH Đà Nẵng NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS PHAN THANH NAM BÌNH ĐỊNH - NĂM 2020 Lời cam đoan Luận án hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn PGS.TS Phan Thanh Nam Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi Các kết Luận án trung thực, đồng tác giả cho phép sử dụng chưa cơng bố trước Người hướng dẫn Tác giả PGS TS Phan Thanh Nam Lưu Thị Hiệp Lời cảm ơn Luận án hoàn thành q trình học tập nghiên cứu Khoa Tốn Thống Kê, Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Thầy, PGS.TS Phan Thanh Nam Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo sau đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán Thống Kê trường Đại học Quy Nhơn tạo điều kiện thuận lợi trình tác giả học tập Trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất Thầy, Cô giáo Khoa giúp đỡ, động viên nhiệt tình truyền đạt nhiều kiến thức quý báu suốt thời gian qua Đặc biệt, tác giả biết ơn Thầy, Cơ giáo mơn giải tích dành thời gian đọc thảo Luận án có nhiều góp ý q báu giúp Luận án hồn thiện Tác giả muốn nói lời cảm ơn đến nhà khoa học hội đồng đánh giá Luận án cấp đọc thảo Luận án có ý kiến vơ q báu để tác giả hoàn thiện Luận án Tác giả xin cảm ơn anh chị nghiên cứu sinh quan tâm, chia sẻ, trao đổi chun mơn q trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Quy Nhơn Cuối cùng, tác giả xin dành lời tri ân gia đình, người ln u thương, bên cạnh, chia sẻ động viên tác giả vượt qua khó khăn để hoàn thành Luận án MỤC LỤC Danh mục ký hiệu iii Danh mục hình vẽ, đồ thị iv Danh mục bảng v MỞ ĐẦU Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Bài tốn ổn định hệ động lực có trễ 1.1.1 Mơ hình thực tiễn 1.1.2 Hệ vi phân 10 1.1.3 Hệ sai phân 12 Bài tốn tìm tập bị chặn tới hạn, tập bất biến cho hệ có nhiễu 13 1.2.1 Hệ vi phân 13 1.2.2 Hệ sai phân 15 Một số bổ đề bổ trợ 17 1.3.1 Một số bổ đề liên quan đến việc sử dụng hàm Lyapunov 17 1.3.2 Hệ dương số bổ đề liên quan 19 1.3.3 Hệ suy biến số bổ đề liên quan 21 Chương Tính ổn định hệ tuyến tính có trễ 2.1 Một số phát triển gần phương pháp hàm Lyapunov 22 22 2.2 Hệ sai phân 24 2.3 Hệ vi phân suy biến 39 Chương Đánh giá trạng thái hệ có trễ nhiễu bị chặn 49 3.1 Một số phát triển gần 49 3.2 Đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho hệ sai phân 51 3.3 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương 62 3.3.1 Sự hội tụ sau thời gian hữu hạn hệ tuyến tính dương 65 3.3.2 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương khơng có nhiễu 68 3.3.3 Đánh giá trạng thái cho hệ vi phân đại số dương có nhiễu 71 KẾT LUẬN 78 DANH MỤC CƠNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 79 CHỈ MỤC 90 ii Danh mục ký hiệu : : : : Tập Tập Tập Tập N N0 AT A−1 rank(A) det(A) σ(A) λmax (A) ρ(A) s(A) A > (≥) : : : : : : : : : : : chiều {1, 2, 3, } {0} ∪ N Ma trận chuyển vị ma trận A Ma trận nghịch đảo ma trận A Hạng ma ma trận A Định thức ma trận A Tập giá trị riêng ma trận A Giá trị riêng lớn ma trận A max{|λ| : λ ∈ σ(A)}, bán kính phổ ma trận A max{Re(λ) : λ ∈ σ(A)} Ma trận A ma trận đối xứng xác định dương A (không âm) : Tất phần tử ma trận A dương C R (R+ , R0,+ ) Rn (Rn0,+ ) Rn×m (Rn×m 0,+ ) ( )0 A, B ∈ Rn×m , A ( ) B X ∈ Rn×n , Sym{X} = X + X T In ∗ [ ] x = [x1 x2 xn ]T ( ) n x, y ∈ R , x ( )y hợp hợp hợp hợp các các số phức số thực (dương, không âm) vectơ thực (không âm) n chiều ma trận thực (khơng âm) n × m (khơng âm) : aij > (≥) bij , i ∈ {1, , n}, j ∈ {1, , m} : : : : Ma trận đơn vị cấp n Hạng tử đối xứng ma trận đối xứng Biểu thị vectơ bên phải dạng bậc hai đối xứng Vectơ x dương (không âm), nghĩa xi > (≥) với i ∈ {1, , n} : x−y ( ) x y col{x, y}, x, y ∈ Rn×m : B(0, q) deg(P ) C([a, b], Rn ) : {x ∈ Rn0,+ : x q}, hình cầu Rn0,+ : Bậc đa thức P (s) : Tập tất hàm liên tục [a, b] nhận giá trị Rn với chuẩn ||x|| = max ||x(t)|| t∈[a,b] iii Danh mục hình vẽ, đồ thị Trang Hình 1.1 Q trình gia cơng kim loại Hình 1.2 Mơ hình rung động tái sinh Hình 1.3 Bộ giảm rung cổ điển Hình 1.4 Bộ giảm rung cộng hưởng Hình 1.5 Tập bị chặn tới hạn hệ (1.5) 14 Hình 1.6 Tập bất biến hệ (1.5) 14 Hình 1.7 Tập bị chặn tới hạn hệ (1.7) 16 Hình 1.8 Tập bất biến hệ (1.7) 16 Hình 3.1 Bao tập đạt hình elipsoid [105] 50 Hình 3.2 Bao tập đạt hình đa diện [65] 50 Hình 3.3 Quỹ đạo hệ thống chặn 62 Hình 3.4 Các quỹ đạo x1 (t) chặn 75 Hình 3.5 Các quỹ đạo x2 (t) chặn 75 Hình 3.6 Các quỹ đạo x3 (t) chặn 76 Hình 3.7 Các quỹ đạo y1 (t) chặn 76 Hình 3.8 Các quỹ đạo y2 (t) chặn 76 iv Danh mục bảng Trang Các cận cho phép h2 với µ khác h1 = 40; 50 Ví dụ 2.1, trường hợp (i) 37 Các cận cho phép h2 với µ khác h1 = 60; 70 Ví dụ 2.1, trường hợp (i) 37 Các cận cho phép h2 với µ khác h1 = 30 Ví dụ 2.1, trường hợp (i) 38 Các cận cho phép h2 với h1 khác Ví dụ 2.1, trường hợp (ii) 38 Các cận cho phép, h2 , với giá trị khác µ h1 (Ví dụ 2.2) 39 Bảng 2.6 Các cận h với giá trị khác µ 48 Bảng 3.1 Các cận tính 62 Bảng 3.2 Thuật tốn tính cận trạng thái thành phần 74 Bảng 2.1 Bảng 2.2 Bảng 2.3 Bảng 2.4 Bảng 2.5 v MỞ ĐẦU Trong hệ điều khiển, thông tin/dữ liệu truyền tải qua băng tầng kết nối Do đó, thơng tin truyền tải nơi phát nơi nhận thường trễ sau khoảng thời gian Trễ thời gian (gọi ngắn gọn trễ) ngun nhân dẫn đến tính khơng ổn định hiệu suất (poor performance) hệ thống [27, 30, 32, 44] Các hướng nghiên cứu ổn định, điều khiển quan sát cho lớp hệ có trễ chủ đề quan trọng lý thuyết điều khiển thu hút quan tâm nhiều nhà nghiên cứu nước Hale J [32], Kharitonov V.L [30], Boyd S [8], Fridman E [27], Seuret A [83], Park P.G [76], He Y [35], Trinh H [96], Phat V.N [2], Son N.K [41], Du N.H [20], Linh V.H [10], Thuan D.D [19], Ngoc P.H.A [72], Nam P.T [63], Hien L.V [40], Huong D.C [95], Thuan M.V [94], Bên cạnh yếu tố độ trễ thời gian yếu tố nhiễu tránh khỏi hầu hết hệ thống thực tế Trong trường hợp nhiễu biến thiên, tính ổn định hệ có nhiễu nói chung khơng đảm bảo Trong trường hợp này, người ta thường giả thiết nhiễu biến thiên khoảng bị chặn Khi đó, thay nghiên cứu tính ổn định người ta xét tốn đánh giá trạng thái cho hệ động lực có nhiễu Bài tốn đánh giá trạng thái cho hệ có nhiễu tốn tìm tập bị chặn nhỏ cho trạng thái hệ thống hội tụ vào tập Trường hợp đặc biệt, đánh giá cho trạng thái xuất phát từ điểm gốc tốn đánh giá trạng thái trở thành tốn tìm bao tập đạt Năm 2003, tốn tìm bao tập đạt được, lần đầu tiên, xét cho hệ tuyến tính có trễ [28] toán đánh giá trạng thái cho hệ có trễ phát triển mạnh mẽ năm gần [25, 45, 47, 62, 64, 65, 66, 67, 70, 91, 94, 96, 109, 110] Phương pháp hàm Lyapunov công cụ quan trọng, sử dụng phổ biến thông qua việc xét lớp hàm Lyapunov phù hợp, điều kiện đủ cho tính ổn định hệ thiết lập Với lớp hệ tuyến tính có trễ, điều kiện đủ thường biểu diễn dạng bất đẳng thức ma trận tuyến tính kiểm tra, giải cơng cụ giải số thuật tốn lồi Các điều kiện ổn định chia thành hai loại: (I) điều kiện ổn định độc lập với độ trễ; (II) điều kiện ổn định phụ thuộc độ trễ Thực tế cho thấy hệ có trễ thường ổn định với độ trễ định Vì vậy, tiêu chuẩn ổn định phụ thuộc độ trễ (II) có nhiều ứng dụng quan tâm nghiên cứu, phát triển mạnh mẽ năm gần Để cải thiện điều kiện ổn định phụ thuộc vào trễ cho tăng khoảng biến thiên độ trễ đến mức lớn sử dụng biến định giữ nguyên độ trễ tối đa, nhà nghiên cứu phát triển hai hướng: 18 x3 (t) y1 (t) 16 its bound its bound 2.5 y (t) and its bound x (t) and its bound 14 1.5 12 10 0.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 10 20 30 40 time t 50 60 70 80 90 100 time t Hình 3.6 Các quỹ đạo x3 (t) chặn Hình 3.7 Các quỹ đạo y1 (t) chặn của nó y2 (t) its bound y (t) and its bound 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 time t Hình 3.8 Các quỹ đạo y2 (t) chặn Hai vectơ nhiễu ω(t) d(t) bị chặn ω = [0.5 0.3 0.1]T d = [0.3 0.1]T Các trễ biến thiên h1 (t) h2 (t) bị chặn hM = Các giá trị ban đầu ψ(0) φ(.) bị chặn ψ = [2 3]T φ = [15 5]T Sử dụng (3.76), ta tính η = [0.7249 1.4756 0.5780]T , ς = [3.7739 1.1469]T Chọn ξ = [1 · · · 1]T sử dụng Bước chứng minh Định lý 3.4, ta tìm p = [2.3951 5.5118 2.4220]T , q = [14.1659 4.9990]T , µ = 0.0707 76 Bằng cách sử dụng Bước chứng minh Định lý 3.4 Định lý 3.2, ta tìm thấy T = 1.2056 T ∗ = max{T, hM } = Khi đó, chúng tơi thu đánh giá trạng thái thành phần hệ (3.20) sau:       x1 (t) 0.7249 2.3951      k (3.93) x2 (t) 1.4756 + 0.9293 5.5118 , ∀t ∈ [k2, (k + 1)2), k ∈ N0 , x3 (t) 0.5780 2.4220 y1 (t) y2 (t) 3.7739 14.1659 + 0.9293k+1 , ∀t ∈ [k2, (k + 1)2), k ∈ N0 1.1469 4.9990 (3.94) Đối với mô trực quan, chọn vectơ nhiễu   0.5| sin(0.2t)| 0.3| cos(0.1t)|   ω(t) = a 0.3| sin(0.1t)| , d(t) = b , 0.1| cos(0.2t)| 0.1| sin(0.3t)| a ∈ {0, 0.5, 1}; b ∈ {0, 1}, hai trễ biến thiên h1 (t) = + | sin(t)|, h2 (t) = + | cos(t)|, giá trị ban đầu ψ = ψ, φ = φ Các hình sau cho thấy quỹ đạo vectơ trạng thái riêng hệ (3.20) bị chặn cận tính Định lý 3.4 Hơn nữa, để minh họa chặn tới hạn thu Định lý 3.4 nhỏ chúng tơi chọn trường hợp đặc biệt vectơ nhiễu ω(t) = [0.5 0.3 0.1]T d(t) = [0.3 0.1]T Ngoài ra, từ số liệu này, thấy quỹ đạo vectơ trạng thái riêng hệ (3.20) trường hợp đặc biệt chọn hội tụ đến   0.7249 3.7739   η = 1.4756 ς = , 1.1469 0.5780 tương ứng Điều vectơ η chặn thành phần tới hạn nhỏ ς hệ (3.20) 77 KẾT LUẬN Trong Luận án đạt kết sau: (1) Đề xuất kỹ thuật ma trận phụ thuộc thời gian dùng để mở rộng lớp hàm Lyapunov ứng dụng vào việc thiết lập tiêu chuẩn ổn định cho hệ sai phân có trễ (xem Định lý 2.1) (2) Mở rộng lớp hàm Lyapunov, cộng thêm hạng tử chứa tích phân ba lớp ma trận phụ thuộc vào trễ để thiết lập tiêu chuẩn ổn định hữu hiệu cho hệ vi phân suy biến (xem Định lý 2.2) (3) Đưa kết đánh giá hàm tuyến tính trạng thái cho hệ sai phân thông qua phương pháp hàm Lyapunov (xem Định lý 3.1) (4) Đưa cách tiếp cận để tính tốn chặn trạng thái cho lớp hệ dương suy biến (3.20) (xem Định lý 3.4) Một số vấn đề nghiên cứu Từ kết thu Luận án, nhận thấy kỹ thuật ma trận phụ thuộc vào trễ thời gian đem lại tính hữu hiệu cho việc nghiên cứu tính ổn định hệ có trễ Tuy nhiên, kỹ thuật phát triển ban đầu cho vài lớp hệ tuyến tính Do đó, số vấn đề nghiên cứu tiếp theo: Phát triển kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ vào việc mở rộng lớp hàm Lyapunov nghiên cứu tính ổn định cho lớp hệ có trễ khác Phát triển kỹ thuật ma trận phụ thuộc trễ vào việc mở rộng bất đẳng thức đánh giá thay ma trận 78 Danh mục cơng trình tác giả liên quan đến Luận án [1] Phan Thanh Nam, Thi Hiep Luu (2019), “State bounding for positive coupled differential-difference equations with bounded disturbances”, IET Control Theory and Applications, 13(11), 1728-1735, (SCI, Q1) [2] Phan Thanh Nam, Thi Hiep Luu (2020), “A new delay-variation-dependent stability criterion for delayed discrete-time systems”, Journal of the Franklin Institute, (accepted), (SCIE, Q1) [3] Lưu Thị Hiệp, Phan Thanh Nam (2020), “Chặn hàm tuyến tính trạng thái cho hệ rời rạc có chậm nhiễu bị chặn”, Tạp chí khoa học-Trường ĐH Quy Nhơn, 14(1), 25-35 [4] Thi Hiep Luu, Phan Thanh Nam (2019), “Stability analysis of singular timedelay systems using the auxiliary function-based double integral inequalities”, (revised), (SCIE, Q2) 79 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt: [1] Lưu Thị Hiệp, Phan Thanh Nam (2020), “Chặn hàm tuyến tính trạng thái cho hệ rời rạc có chậm nhiễu bị chặn”, Tạp chí khoa học-Trường ĐH Quy Nhơn, 14(1), 25-35 [2] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập mơn lý thuyết điều khiển tốn học, Nhà xuất Đại học quốc gia Hà Nội Tiếng Anh: [3] Abegor J., Nagpal K., Poolla K (1996), “A linear matrix inequality approach to peak-to-peak gain minimization”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 6, pp 899-927 [4] Anderson D.H (1983), Compartmental Modeling and Tracer Kinetics, Springer, New York [5] Barreau M., Seuret A., Gouaisbaut F (2017), “Wirtinger-based exponential stability for time-delay systems”, IFAC-PapersOnLine, 50(1), 11984-11989 [6] Berman A., Plemmons R.J (1979), Nonnegative Matrices in the Mathematical Science, Academic Press, New York [7] Bokharaie V.S (2012), Stability Analysis of Positive Systems with Applications to Epidemiology, Hamilton Institute National University of Ireland Maynooth [8] Boyd S., Ghaoui L.E., Feron E., Balakrishnan V (1994), Linear Matrix Inequalities in System and Control Theory, SIAM Studies in Applied Mathematics [9] Campbell S.L (1980), Singular Systems of Differential Equations, Pitman, London [10] Campbell S.L., Linh V.H (2009), “Stability criteria for differential-algebraic equations with multiple delays and their numerical solutions”, Applied Mathematics and Computation, 208(2), pp 397-415 [11] Chen J., Lu J., Xu S (2016), “Summation inequality and its application to stability analysis for time-delay systems”, IET Control Theory and Applications, 10(4), pp 391-395 [12] Chen J., Park J., Xu S (2018), “Stability analysis of continuous-time systems with time-varying delay using new Lyapunov-Krasovskii functionals”, Journal of the Franklin Institute, 355, pp 5957-5967 [13] Chen J., Park J.H., Xu S (2019), “Stability analysis for neural networks with time-varying delay via improved techniques”, IEEE Transactions on Cybernetics, https://doi.org/10.1109/TCYB.2018.2868136 [14] Chen J., Park J.H., Xu S (2019), “Stability analysis of discrete-time neural networks with an interval-like time-varying delay”, Neurocomputing, 329, pp 248-254 [15] Chen J., Xu S., Chen W., Zhang B., Ma Q., Zou Y (2016), “Two general integral inequalities and their applications to stability analysis for systems with timevarying delay”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 26, pp 4088-4103 [16] Chen J., Xu S., Ma Q., Li Y., Chu Y., Zhang Z (2017), “Two novel general summation inequalities to discrete-time systems with time-varying delay”, Journal of the Franklin Institute, 354, pp 5537-5558 [17] Dai L (1989), Singular Control Systems, New York, NY: Springer-Verlag [18] Ding L., He Y., Wu M., Zhang Z (2017), “A novel delay partitioning method for stability analysis of interval time-varying delay systems”, Journal of the Franklin Institute, 354(2), pp 1209-1219 [19] Du N.H., Linh V.H., Mehrmann V., Thuan D.D (2013), “ Stability and robust stability of linear time-variant delay differential-algebraic equations”, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 34(4), pp 1631-1654 [20] Du N.H., Thuan D.D., Liem N.C (2011), “Stability radius of implicit dynamic equations with constant coefficients on time scales”, Systems & Control Letters, 60(8), pp 596-603 81 [21] Ech-charqy A., Ouahi M., Tissir E.H (2018), “Delay-dependent robust stability criteria for singular time-delay systems by delay-partitioning approach”, International Journal of Systems Science, 49, pp 2957-2967 [22] Eris O., Ergenc A.F (2016), “Delay scheduling for delayed resonator applications”, IFAC-PapersOnline, 49(10), pp 77-81 [23] Farina L., Rinaldi (2000), Positive Linear Systems, Wiley, New York [24] Feng J., Lam J., Yang G (2015), “Optimal partitioning method for stability analysis of continuous/discrete delay systems”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 25(4), pp 559-574 [25] Feng Z., Zheng W.X (2017), “Improved reachable set estimation of discrete-time systems with time-varying delay”, Optimal Control Applications and Methods, 38(6), pp 1081-1090 [26] Fridman E (2002), “Stability of linear descriptor systems with delay: a Lyapunovbased approach”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 273, pp 24-44 [27] Fridman E (2014), Introduction to Time Delay Systems: Analysis and Control, Birkhauser, Basel [28] Fridman E., Shaked U (2003), “On reachable sets for linear systems with delay and bounded peak inputs”, Automatica, 39(11), pp 2005-2010 [29] Gu K (2000), “An integral inequality in the stability problem of time-delay systems”, Proceedings of the 39th IEEE Conference on Decision and Control, Sydney, Australia, pp 2805-2810 [30] Gu K., Kharitonov V.L., Chen J (2002), Stability of Time-Delay Systems, Birkhauser, Boston, Basel, Berlin [31] Haidar A., Boukas E.K (2009), “Exponential stability of singular systems with multiple time-varying delays”, Automatica, 45(2), pp 539-545 [32] Hale J., Lunel S.M.V (1993), Introduction to Functional Differential Equations, Springer-Verlag, New York [33] Han X., Fridman E., Spurgeon S.K (2010), “Sliding-mode Control of Uncertain Systems in the Presence of Unmatched Disturbances with Applications”, International Journal of Control, 83, pp 2413-2426 82 [34] He Y., Wang Q.G., Lin C., Wu M (2005), “Augmented Lyapunov functional and delay-dependent stability criteria for neutral systems”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 15(18), pp 923-933 [35] He Y., Wang Q.G., Lin C., Wu M (2007), “Delay-range-dependent stability for systems with time-varying delay”, Automatica, 43(2), pp 371-376 [36] Hien L.V., An N.T., Trinh H (2014), “New results on state bounding for discretetime systems with interval time-varying delay and bounded disturbance inputs”, IET Control Theory and Applications, 8(14), pp 1405-1414 [37] Hien L.V., Trinh H (2014), “A new approach to state bounding for linear timevarying systems with delay and bounded disturbances”, Automatica, 50(6), pp 1735-1738 [38] Hien L.V., Trinh H (2015), “Refined Jensen-based inequality approach to stability analysis of time-delay systems”, IET Control Theory and Applications, 9(14), pp 2188-2194 [39] Hien L.V., Trinh H (2016), “New finite-sum inequalities with applications to stability of discrete time-delay systems”, Automatica, 71, pp 197-201 [40] Hien L.V., Vu L.H., Phat V.N (2015), “Improved delay-dependent exponential stability of singular systems with mixed interval time-varying delays”, IET Control Theory and Applications, 9, pp 1364-1372 [41] Hinrichsen D., Son N.K (1997), “Robust Stability of positive continuous time systems”, Uncertain Systems, Robustness Analysis, 17(5-6), pp 649-659 [42] Kaczorek T (2002), Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London [43] Khalil H.K., (2002), Nonlinear Systems (3rd Edition), Prentice Hall, Upper Saddle River, New Jersey 07458 [44] Kharitonov V.L (2013), Time-Delay Systems: Lyapunov Functionals and Matrices, Birkhauser [45] Kim J.H (2008), “Improved ellipsoidal bound of reachable sets for time-delayed linear systems with disturbances”, Automatica, 44, pp 2940-2943 [46] Kofman E., Haimovich H., Seron M.M (2007), “A systematic method to obtain ultimate bounds for perturbed systems”, International Journal of Control, 80(2), pp 167-178 83 [47] Kwon O.M., Lee S.M., Park J.H (2011), “On the reachable set bounding of uncertain dynamic systems with time-varying delays and disturbances”, Information Sciences, 181, pp 3735-3748 [48] Kwon W., Koo B., Lee S (2018), “Novel Lyapunov-Krasovskii functional with delay-dependent matrix for stability of time-varying delay systems”, Applied Mathematics and Computation, 320, pp 149-157 [49] Lee W.I., Park P.G (2014), “Second-order reciprocally convex approach to stability of systems with interval time-varying delays”, Applied Mathematics and Computation, 229(25), pp 245-253 [50] Lee S.Y., Park J.M., Park P.G (2018), “Bessel summation inequalities for stability analysis of discrete-time systems with time-varying delays”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 29(2), pp 473-491 [51] Linh V.H., Nga N.T.T., Thuan D.D (2018),“Exponential stability and robust stability for linear time-varying singular systems of second order difference equations”, SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 39(1), pp 204-233 [52] Liu G (2017), “New results on stability analysis of singular time-delay systems”, International Journal of Systems Science, 48(7), pp 1395-1403 [53] Liu Z.Y., Lin C., Chen B (2014), “A neutral system approach to stability of singular time-delay systems”, Journal of the Franklin Institute, 351, pp 4939-4948 [54] Liu Z.Y., Lin C., Chen B (2016), “Admissibility analysis for linear singular systems with time-varying delays via neutral system approach”, ISA Transactions, 61, pp 141-146 [55] Liu X., Yu W., Wang L (2009), “Stability analysis of positive systems with bounded time-varying delays”, IEEE Transactions on Circuits and SystemsII:Express Briefs, 56(7), pp 600-604 [56] Luenberger D.G., Arbel A (1977), “Singular dynamic leontief systems”, Econometrica, 45, pp 991-995 [57] Muller P.C (1993), “Stability of linear mechanical systems with holonomic constraints”, Applied Mechanics Reviews, 46, pp 160-164 [58] Muoi N.H., Rajchakit G., Phat V.N (2016) , “LMI approach to finite-time stability and stabilization of singular linear discrete delay systems”, Acta Applicandae Mathematicae, 146(1), pp 81-93 84 [59] Nam P.T., Hiep L.T (2020), “A new delay-variation-dependent stability criterion for delayed discrete-time systems”, Journal of the Franklin Institute, (accepted) [60] Nam P.T., Hiep L.T (2019), “Stability analysis of singular time-delay systems using the auxiliary function-based double integral inequalities”, (revised) [61] Nam P.T., Hiep L.T (2019), “State bounding for positive coupled differentialdifference equations with bounded disturbances”, IET Control Theory and Applications, 13(11), pp 1728-1735 [62] Nam P.T., Pathirana P.N (2011), “Further result on reachable set bounding for linear uncertain polytopic systems with interval time-varying delays”, Automatica, 47, pp 1838-1841 [63] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H (2015), “Discrete Wirtinger-based inequality and its application”, Journal of the Franklin Institute, 352(5), pp 1893-1905 [64] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H (2015), “Convergence within a polyhedron: controller design for time-delay systems with bounded disturbances”, IET Control Theory and Applications, 6(9), pp 905-914 [65] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H (2015), “Linear functional state bounding for perturbed time-delay systems and its application”, IMA Journal of Mathematical Control and Information, 32(2), pp 245-255 [66] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H (2015), “Reachable set bounding for nonlinear perturbed time-delay systems: The smallest bound”, Applied Mathematics Letters, 43(9), pp 68-71 [67] Nam P.T., Pathirana P.N., Trinh H (2016), “Partial state bounding with a prespecified time of non-linear discrete systems with time-varying delays”, IET Control Theory and Applications, 10(13), pp 1496-1502 [68] Nam P.T., Trinh H., Pathirana P.N (2015), “Discrete inequalities based on multiple auxiliary functions and their applications to stability analysis of time-delay systems”, Journal of the Franklin Institute, 352(12), pp 5810-5831 [69] Nam P.T., Trinh H., Pathirana P.N (2016), “Componentwise ultimate bounds for positive discrete time-delay systems perturbed by interval disturbances”, Automatica, 72, pp 153-157 [70] Nam P.T., Trinh H., Pathirana P.N (2018), “Minimization of state bounding for perturbed positive systems with delays”, SIAM Journal on Control and Optimization, 56(3), pp 1739-1755 85 [71] Niamsup P., Phat V.N (2016), “A new result on finite-time control of singular linear time-delay systems”, Applied Mathematics Letters, 60, 1-7 [72] Ngoc P.H.A (2013), “Stability of positive differential systems with delay”, IEEE Transactions on Automatic Control, 58(1), pp 203-209 [73] Ngoc P.H.A (2018), “Exponential stability of coupled linear delay time-varying differential-difference equations”, IEEE Transactions on Automatic Control, 63(3), pp 643-648 [74] Ngoc P.H.A., Trinh H (2016), “Novel criteria for exponential stability of linear neutral time-varying differential systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, 61(6), pp 1590-1594 [75] Nguyen M.C., Trinh H., Nam P.T (2015), “Linear functional observers with guaranteed -convergence for discrete time-delay systems with input/output disturbances”, International Journal of Systems Science, 47(13), pp 3193-3205 [76] Park P.G., Lee W.I., Lee S.Y (2015), “Auxiliary function-based integral inequalities for quadratic functions and their applications to time-delay systems”, Journal of the Franklin Institute, 352(4), pp 1378-1396 [77] Park P.G., Ko J., Jeong C (2011), “Reciprocally convex approach to stability of systems with time-varying delays”, Automatica, 47(1), pp 235-238 [78] Pathirana P.N., Nam P.T., Trinh H (2018), “Stability of positive coupled differential-difference equations with unbounded time-varying delays”, Automatica, 92, pp 259-263 [79] Qian W., Yuan M., Wang L., Bu X., Yang J (2017), “Stabilization of systems with interval time-varying delay based on delay decomposing approach”, ISA Transactions, 70, pp 1-6 [80] Rami M.A (2009), “Stability analysis and synthesis for linear positive systems with time-varying delays”, Positive Systems, LNCIS, Springer, Berlin Heidelberg, 389, pp 205-215 [81] Rami M.A., Helmke U., Tadeo F (2007), “Positive observation problem for linear time-delay positive systems”, Control and Automation, Athens-Greece [82] Sau N.H., Phat V.N., Niamsup P (2018), “On finite-time stability of linear positive differential-algebraic delay equations”, IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 65(12), 1984-1987 86 [83] Seuret A., Gouaisbaut F (2013), “Wirtinger-based integral inequality: Application to time-delay systems”, Automatica, 49(9), pp 2860-2866 [84] Seuret A., Gouaisbaut F (2015), “Hierarchy of LMI conditions for the stability analysis of time-delay systems”, Systems & Control Letters, 81, pp 1-7 [85] Seuret A., Gouaisbaut F (2016), “Delay-dependent reciprocally convex combination lemma”, Rapport LAAS n16006 hal-01257670 [86] Seuret A., Liu K., Gouaisbaut F (2018), “Generalized reciprocally convex combination lemmas and its application to time-delay systems”, Automatica, 95, pp 488-493 [87] Shen J., Zheng W.X (2015), “Positivity and stability of coupled differentialdifference equations with time-varying delays”, Automatica, 57, pp 123-127 [88] Smith H (1995), Monotone Dynamical Systems: An Introduction to the Theory of Competitive and Cooperative Systems, AMS, Providence, RI [89] Stojanovic S.B., Debeljkovic D.L (2007), “A Lyapunov-Krasovskii methodology for asymptotic stability of discrete time delay systems”, Serbian Journal of Electrical Engineering, 4(2), pp 109-117 [90] Sun J., Han Q., Chen J., Liu G (2015), “Less conservative stability criteria for linear systems with interval time-varying delays”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, 25(4), pp 475-485 [91] That N.D., Nam P.T., Ha Q.P (2013), “Reachable set bounding for linear discretetime systems with delays and bounded disturbances”, Journal of Optimization Theory and Applications, 157, pp 96-107 [92] Thuan D.D., Du N.H., Liem N.C (2016), “Stabilizability and robust stabilizability of implicit dynamic equations with constant coefficients on time scales”, IMA Journal of Mathematical Control and Information, 33(1), pp 121-136 [93] Thuan D.D., Nguyen K.C., Ha N.T., Du N.H (2019),“Robust stability of linear time-varying implicit dynamic equations: a general consideration”, Mathematics of Control, Signals, and Systems, 31(3), pp 385-413 [94] Thuan M.V., Trinh H., Huong D.C (2016), “Reachable sets bounding for switched systems with time-varying delay and bounded disturbances”, International Journal of Systems Science, 48(3), pp 494-504 87 [95] Trinh H., Huong D.C., Hien L.V., Nahavandi S (2017), “Design of reduced-order positive linear functional observers for positive time-delay systems”, IEEE Transactions on Circuits and Systems II: Express Briefs, 64(5), pp 555-559 [96] Trinh H., Nam P.T., Pathirana P.N., Le H.P (2015), “On backwards and forwards reachable sets bounding for perturbed time-delay systems”, Applied Mathematics and Computation, 269, pp 664-673 [97] Xiao S., Xu L., Zeng H.B., Teo K.L (2018), “Improved stability criteria for discrete-time delay systems via novel summation inequalities”, International Journal of Control, Automation and Systems, 16, pp 1592-1602 [98] Xu S.Y., Dooren P.V., Stefan R., Lam J (2002), “Robust stability and stabilization for singular delay systems with state delay and parameter uncertainty”, IEEE Transactions on Automatic Control, 47, pp 1122-1128 [99] Xu S., Lam J (2008), “A survey of linear matrix inequality techniques in stability analysis of delay systems”, International Journal of Systems Science, 39, pp 19051113 [100] Zeng H.B., He Y., Wu M., She J (2015), “Free-matrix-based integral inequality for stability analysis of systems with time-varying delay”, IEEE Transactions on Automatic Control, 60(10), pp 2768-2772 [101] Zeng H.B., He Y., Wu M., She J (2015), “New results on stability analysis for systems with discrete distributed delay”, Automatica, 60, pp 189-192 [102] Zhang X.M., Han Q.L., Seuret A., Gouaisbaut F (2017), “ An improved reciprocally convex inequality and an augmented Lyapunov-Krasovskii functional for stability of linear systems with time-varying delay”, Automatica, 84, pp 221-226 [103] Zhang C.K., He Y., Jiang L., Wu M., Zeng H.B (2016), “Delay-variationdependent stability of delayed discrete-time systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, 61(9), pp 2662-2669 [104] Zhang C.K., He Y., Jiang L., Lin W.J., Wu M (2017), “Delay-dependent stability analysis of neural networks with time-varying delay: a generalized free-weightingmatrix approach”, Applied Mathematics and Computation, 294, pp 102-120 [105] Zhang B., Lam J., Xu S (2014), “Reachable set estimation and controller design for distributed delay systems with bounded disturbances”, Journal of the Franklin Institute, 351, pp 3068-3088 88 [106] Zhao T., Liang W., Dian S., Xiao J., Wei Z (2018), “Improved stability and stabilisation criteria for discrete time-delay systems via a novel double summation inequality”, IET Control Theory and Applications, 12(3), pp 327-337 [107] Zhi Y.L., He Y., Shen J., Wu M (2018), “New stability criteria of singular systems with time-varying delay via free-matrix-based integral inequalities”, International Journal of Systems Science, 49(5), pp 1032-1039 [108] Zhi Y.L., He Y., Wu M (2017), “An improved stability criterion for singular systems with time-varying delay via a relaxed integral inequality”, Proceedings of the 36th Chinese Control Conference, Dalian, China, pp 180-183 [109] Zuo Z., Fu Y., Wang Y (2012), “Results on reachable set estimation for linear systems with both discrete and distributed delays”, IET Control Theory and Applications, 6, pp 2346-2350 [110] Zuo Z., Ho D.W.C., Wang Y (2010), “Reachable set bounding for delayed systems with polytopic uncertainties: the maximal Lyapunov-Krasovskii functional approach”, Automatica, 46, pp 949-952 89 CHỈ MỤC Bao tập đạt được, 1, 2, 5, 13, 14, 16, 49, 50, 58, 59, 61 Chính quy, 21, 39, 41, 46, 47 Hệ dương, 3, 5, 14-17, 19, 21, 48, 49, 50, 61, 64, 68, 77 Hệ suy biến, 3, 4, 23, 38, 39, 46 Impulse-free, 21, 39, 41, 46, 47 Ma trận Hurwitz, 20, 64, 65, 67 Ma trận Metzler, 3, 5, 20, 48, 62, 64, 65, 67 Ma trận Schur, 5, 20, 62, 63, 67 Ổn định, 1-5, 7, 9-13, 17, 22-24, 26, 33-39, 41, 45, 46, 63, 65-67 Ổn định mũ, 11 Ổn định tiệm cận, 11, 12, 13, 26, 33, 34, 35, 41, 45, 46 Tập bất biến, 5, 13-16, 70, 74 Tập bị chặn tới hạn, 5, 13-16 Chặn tới hạn, 5, 13-16, 70, 71, 72, 76 90 ... nghiệm hệ có nhiễu - Thiết lập tương quan nghiệm hệ có nhiễu hệ khơng có nhiễu - Từ đánh giá trạng thái hệ khơng có nhiễu ta đánh giá trạng thái hệ có nhiễu suy đánh giá trạng thái hệ có nhiễu... sánh nghiệm hệ có nhiễu biến thiên bị chặn nghiệm hệ có nhiễu - Thiết lập tương quan nghiệm hệ có nhiễu hệ khơng có nhiễu - Từ đánh giá trạng thái hệ khơng có nhiễu ta đánh giá trạng thái hệ có. .. với tốn đánh giá trạng thái cho lớp hệ có nhiễu, kỹ thuật đánh giá hàm tuyến tính trạng thái giúp đưa đánh giá chặt so với vi? ??c đánh giá toàn vectơ phương pháp Elipsoid Các kết đánh giá hàm tuyến