Điều kiện đủ cho tính chất co suy rộng của hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm

TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC ÑOÀNG THAÙP Taïp chí Khoa hoïc soá 37 (04 2019) 59 ĐIỀU KIỆN ĐỦ CHO TÍNH CHẤT CO SUY RỘNG CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN PHỤ THUỘC THỜI GIAN CÓ CHẬM  Nguyeãn Thaønh Nghóa(*)[.]

Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP ĐIỀU KIỆN ĐỦ CHO TÍNH CHẤT CO SUY RỘNG CỦA HỆ PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾN PHỤ THUỘC THỜI GIAN CĨ CHẬM  Nguyễn Thành Nghóa(*), Huỳnh Thị Kim Loan(*) Tóm tắt Trong báo này, chúng tơi giới thiệu tốn co suy rộng hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm Từ đó, chúng tơi phát triển kĩ thuật có để chứng minh số điều kiện cho tính chất co suy rộng lớp hệ Các kết đạt mở rộng tổng quát số kết có gần tác giả khác Một ví dụ đưa nhằm minh họa cho kết đạt Từ khóa: Co suy rộng; co tồn cục; phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm Mở đầu Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng mơ hình tốn học thực tế ([2], [3]) Các tốn tính chất định tính nghiệm hệ phương trình sai phân tính chất ổn định, hút, điều khiển được, bị chặn, co… thu hút nhà nghiên cứu suốt thập niên vừa qua (xem [1], [2], [3], [4], [5], [6] số tài liệu tham khảo báo) Hệ phương trình sai phân có tính chất co “khoảng cách” nghiệm hệ dần không thời gian dần dương vô hạn ([6]) Năm 1998, Lohmiller Slotine [4] đưa số mơ hình thực tế học chất lỏng dẫn đến việc nghiên cứu tốn tính chất co hệ động lực Trong đó, tác giả đưa nhiều điều kiện cho tính co hệ phương trình sai phân thường hệ phương trình vi phân thường Các kết sau ứng dụng vào số mơ hình tốn điều khiển thiết kế quan sát số hệ động lực Các tốn tính chất co hệ động lực sau tiếp tục nghiên cứu, phát triển nhiều nhóm tác giả (xem [1], [6], [7] số tài liệu tham khảo đó) Gần đây, tốn tính chất co cho hệ phương trình sai phân phi tuyến có chậm với biến rời rạc ([6]) hệ phương trình vi phân phiếm hàm ([7]) nghiên cứu Trong đó, nhóm tác giả đưa nhiều điều kiện đủ, tường minh cho tính chất co hệ phương trình sai phân phi tuyến hệ phương trình vi phân phiếm hàm Tuy nhiên, có số lớp hệ phương trình có nghiệm (*) Trường Đại học Đồng Tháp (**) Trường Đại học Thủy Lợi - Cơ sở gần với khoảng cách mà khoảng cách khơng dần không thời gian dần vô hạn Do vậy, lớp hệ không áp dụng kết tính co cơng bố nhiều tài liệu trước đây, chẳng hạn [1], [4], [6], [7] Bài báo đóng góp phần vào giải vấn đề mở nêu Trong báo này, mở rộng khái niệm co thành khái niệm tổng quát co suy rộng, từ cải tiến kĩ thuật chứng minh [6] để chứng minh nhiều điều kiện co suy rộng nghiệm lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm, với chậm hàm phụ thuộc thời gian Các kết đạt mở rộng tổng quát số kết có trước Sau chúng tơi trình bày số quy ước kí hiệu sử dụng suốt báo Gọi tập hợp tất số nguyên kí hiệu :  k   : k  0 Với k1, k2   , k1  k2 , kí  hiệu :  k1 , k2   [k1 , k2 ]  Gọi , trường số thực trường số phức Với hai số nguyên dương l , q , kí hiệu lq , lq tập hợp ma trận thực tập hợp ma trận thực không âm cỡ l  q Với hai ma trận     thực A  aij , B  bij  đẳng thức A   , ,   B l q   , ta qui ước bất   A  aij , B  bij sau: tương đương với aij   , ,   bij , với i  l , j  q Cách hiểu tương tự so sánh hai A  aij    (operator véctơ Chuẩn ma trận hiểu chuẩn toán tử nn norm) xác định 59 Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP A : max x0 Ax x nn  max Ax Cho A  x 1 nn  , B   A  B A  B Với A  aij  nn , , bán kính phổ (spectral radius) A xác định   A  max   :   , det  I n  A  0 Tính chất sau ma trận không âm sử dụng phép chứng minh kết báo: Bổ đề 1.1 ([5, Lemma 1.1]) Cho ma trận A  nn Các khẳng định sau tương đương (i)   A  1; (ii) p  n , p  : Ap  p; 1 x(k  1)   n m   cho H  k ; u0 , , um   H  k ; v0 , , vm  m   Ai  k  ui  vi  g  k ; u0 , , um , v0 , , vm  , (2.4) với k  Điều kiện cho tính co suy rộng hệ phƣơng trình sai phân phi tuyến có chậm Trong mục nghiên cứu điều kiện co suy rộng lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm dạng sau , i  0,m Khi (2.1) co suy rộng tồn véctơ p  n với ui , vi   n , p   p1 , , pn      T cho điều kiện thỏa mãn m  k A0  k  p   Ai  k  i   p   p, k   (2.5) i 1    H k ; x  k  , x  k  1  k   , , x  k   m  k   , k  k0 , (2.1) đó, H .;., ,. :   n hàm cho trước  i  k  :   n  n   , i  1, m hàm chậm cho trước thỏa điều kiện 0<  i  k    , với k   , với   ,   Xét hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian (2.1) Gọi S tập tất hàm  :  ,0  n điều kiện đầu   : max   k  : k  Với k0     ,0 , với   S cố định hàm   S , hệ (2.1) có nghiệm, ký hiệu x .; k0 ,  , nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu x  j  k0     j  , j   ,0 (2.2) Định nghĩa 2.1 Hệ phương trình (2.1) gọi co suy rộng (generalized contractive) tồn M  0,   0,   0,1 cho x  k ; k0 ,   x  k ; k0 ,   M  k  k0     , (2.3) k  k0 , ,  S ,    (k ) :   k    k  , k  60 với g bị chặn miền i 0 (iii)  I n  A  với Khi bất đẳng thức (2.3) với   hệ (2.1) gọi là co (contractive) Nhiều điều kiện cho tính chất co hệ phương trình sai phân nghiên cứu [4], [6] Sau chúng tơi trình bày điều kiện cụ thể cho tính co suy rộng hệ phương trình sai phân (2.1) Định lí 2.2 Giả sử tồn n m 2  n , Ai . :   nn , i  0,m g :    [- ,0] đó, Chứng minh Với  ,  S , ta cần chứng minh tồn M  0,   0,   0,1 cho x  k ; k0 ,   x  k ; k0 ,   M  k k0     , k  k0 , với k  , k  k0 , ,  S Từ điều kiện ban đầu (2.2), ta có x  j  k0 ; k0 ,   x  j  k0 ; k0 ,     j    j  , j  [ -  ,0] Khi đó, từ cách xác định   , ta có x  j  k0 ; k0 ,   x  j  k0 ; k0 ,     j    j     e1 , với e1  1,1, ,1  T n , j  [ -  ,0] Hay x  k ; k0 ,   x  k ; k0 ,     e1 , k  k0  ,k0  Suy x  k ; k0 ,   x  k ; k0 ,     p , k  k0  ,k0  , pi 1i  n với p xác định (2.5) (2.6) Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP p p K , pi pi Đặt u  k    k k   1i  n 1i  n    (  xác định (2.5))   max  sup   1i n  ( k ,u0 , ,um ,v0 , ,vm ) K 1i  n   n m  g  k , u , , u , v , , v    i n n   Tiếp theo, ta cần chứng minh x  k ; k0 ,   x  k ; k0 ,   u  k  ,  k  k0   (2.7) , tức x  k   x  k   u  k  , k  k0  ,k1  Tiếp theo, ta chứng minh (2.8) x  k1  1  x  k1  1  u  k1  1 m   A0  k1  u  k1    Ai  k1  u  k1   i  k1   i 1  g k1 , x  k1  , , x  k1   m  k1   , x  k1  , , x  k1   m  k1    p p    A0  k1   k1  k0   K pi pi   1i  n 1i  n    m p p  k  k  k    Ai  k1   i     K pi pi   i 1 1i  n 1i  n     g k1 , x  k1  , , x  k1   m  k1   , x  k1  , , x  k1   m  k1   1i  n  u  k1  1 Theo nguyên lý quy nạp toán học, ta có x  k   x  k   u  k  , k  k0   Suy x  k   x  k   u  k   M  k k0     , p   K pi Ai . :   Vậy hệ (2.1) pi 1i  n co suy rộng Hệ nn  p 2.3 , i  0,m Giả g : sử  tồn n m     n  ,  với g hàm bị chặn miền    cho (2.4) thỏa mãn Khi đó, (2.1) co suy rộng điều kiện sau thỏa mãn: (i) Tồn p  n , p     cho   i (2.9) i 0 m   p    A0  k1    Ai  k1    i  k1    pi i 1   1min i  n n  p  k   K  A0  k1    Ai  k1   i     pi i 1   1min i  n 1i  n  A  k  p   p, k    1i  n m  g k1 , x  k1  , , x  k1   m  k1   , x  k1  , , x  k1   m  k1   k1  k0 1i  n n m m    k1 1 k0  p p   K pi pi 1i  n  A0  k1  x  k1   x  k1    Ai  k1  x  k1   i  k1    x  k1   i  k1    1i  n với M  Thật vậy, từ (2.1), (2.4) (2.8) ta có x  k1  1  x  k1  1 +g k1 , x  k1  , , x  k1   m  k1   , x  k1  , , x  k1   m  k1   1i  n p p p  K  K 1    pi pi pi   k1 1 k0   Đặt x .  x .; k0 ,  , x .  x .; k0 ,  Giả sử i 1  p p  K  pi pi 1i  n   u  k  , k  k0  ,k0  Tiếp tục, phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh (2.7) với k  k0    g k1 , x  k1  , , x  k1   m  k1   , x  k1  , , x  k1   m  k1    g k1 , x  k1  , , x  k1   m  k1   , x  k1  , , x  k1   m  k1   p pi 1i  n (2.7) với k1   p  k  K  A0  k1    Ai  k1   i    pi i 1   1min i  n m   k1 1k0   Từ (2.6), ta có x  k ; k0 ,   x  k ; k0 ,     p  pi   k1 k0      (ii) Tồn ma trận   M   cho M nn  , m  A  k   M , k  i  (2.10) i 0 m (iii) sup  Ai  k   k  (2.11) i 0 Chứng minh (i) Giả sử (i) thỏa mãn, ta cần chứng minh (2.1) co suy rộng Đặt 0 :  1   1,   0 1 (2.9) trở thành 61 Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Hay x  k   y  k     k  , k    k0 ,k0  (2.17) Ta cần chứng minh x  k   y  k     k  , k   , k  k0 (2.18) m A0  k  p   Ai  k  p  0 1 p, k  i 1 Vì   i  k    , k   (2.12) , i  1,m , nên nhân ta hai vế (2.12) cho  0  Giả sử ta có k1  m A0  k  p0   Ai  k  p0  0 p, k   (2.13) i 1 Vì 0  1, 0  0 i  k  , k  trở thành  , nên (2.13) m  k A0  k  p   Ai  k  p0 i    0 p, k   Do vậy, điều kiện (2.5) thỏa mãn với   0 Vậy theo Định lí 2.2, hệ (2.1) co suy rộng (ii) Giả sử (ii) thỏa mãn, ta chứng minh (2.1) co suy rộng Sau ta chứng minh (ii) kéo theo (i) (2.1) co suy rộng theo chứng minh Thật vậy, M  nn ,   M   1, nên theo Bổ đề 1.1, tồn p  , p  cho Mp  p Khi đó, tồn    0,1 cho n bất đẳng thức sau thỏa mãn (2.14) Mp   p  p Nhân hai vế (2.10) p áp dụng (2.14) ta có (2.9) Vậy (i) thỏa mãn Do (2.5) co suy rộng (iii) Cuối cùng, ta chứng minh (iii) thỏa mãn (2.1) co suy rộng Lấy  ,   S đặt x .  x ., k0 ,  ; y .  x ., k0 ,  Theo điều kiện đầu (2.2) ta có x ( k  k0 )  y ( k  k )    k     k     , k   ,0 m  A (k )  1, k  i  (2.15) i 0 Từ (2.15), tồn    0,1 cho m  A (k )   1 i i 0 k  k0 1 Đặt  (k ) :     max  sup   k   ( k ,u0 , ,um ,v0 , ,vm )       , k  n m 2  (2.16)  , với   g  k , u0 , , um , v0 , , vm     Ta có x  k  k0   y  k  k0       1      k  k0 , k   ,0 62 , k1  k0 cho x  k   y  k     k  , k    k1 ,k1  Từ (2.1), (2.4), (2.16), (2.18), với   0, k   ta có x  k1  1  y  k1  1 i 1 Từ (2.11), ta có   m   Ai  k1  x  k1   i  k1    y  k1   i  k1    g  k ; u0 , , um , v0 , vm  i 0 m   Ai  k1    k1   i  k1    g  k ; u0 , , um , v0 , vm  i 0 Hay x  k1  1  y  k1  1  m   Ai  k1   i 0 k1  i  k1   k0 1 m   k1  k0 1  Ai  k1    i  k1  i 0 m  A k    k1  k0 1  k1  k0 1 i i 0       g  k ; u0 , , um , v0 , vm  m     Ai  k1    g  k ; u0 , , um , v0 , vm  i 0  m     Ai  k1    g  k ; u0 , , um , v0 , vm  i 0       1     Do x  k1  1  y  k1  1    k1  1   k1 k0     Vậy (2.1) co suy rộng g  k ; u0 , , um , v0 , vm   0, k  Khi  , ui , vi  n , i  0, m ta có   Khi hệ (2.1) co Định lí chứng minh  Nhận xét 2.4 (i) Trong bất đẳng thức (2.4), Khi hàm g  kết Định lí 2.2 Hệ 2.3 trở trường hợp đặc biệt tương ứng Định lí 2.2 Hệ 2.3 [6] (ii) Kỹ thuật chứng minh Định lí 2.2 [6] cần dùng tính chất tuyến tính hệ phương trình sai phân tuyến tính (hệ chặn trên) cần qua hai bước Tuy nhiên, chứng minh Định lí 2.2, chúng tơi khơng dùng tính chất phép chứng minh khơng phải qua hai bước Ví dụ 2.5 Xét phương trình sai phân vơ hướng x  k  1 e k 2  x  k   arctan  sin  kx(k )  x  k  1  k    x  k    k     3a cos  kx(k )  (2.21)  k2 5   với k   , 1 . ,1 . :   chậm cho trước, a số  hàm Tạp chí Khoa học số 37 (04-2019) TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Ta thấy (2.21) phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có dạng (2.1), với hàm H .;.,.,. xác định e k 2  x0  arctan  sin  kx0  x1  x2   k2  5 3a cos  kx0  , k   , x0 , x1 , x2  H  k ; x0 , x1 , x2   Ta có, H  k ; x0 , x1 , x2   H  k ; y0 , y1 , y2  e k  x0  y0  x1  y1  x2  y2 5  k2 3 | a || cos( kx0 )  cos(ky0 ) | với k   , x0 , x1 , x2 , y0 , y1 , y2  Vậy (2.4) e k A0 (k )  , thỏa mãn với A1 (k )  , A2 (k )  5  k2 g (k , x0 , x1 , x2 , y0 , y1 , y2 )  | a || cos(kx0 )  cos(ky0 ) |  | a |, với (k , x0 , x1 , x2 , y0 , y1 , y2 )    Mặt khác, ta có 14 sup  A0 (k )  A1 (k )  A2 (k )       5 15 k  Do theo Hệ 2.3 (iii), phương trình sai phân (2.21) co suy rộng Ngồi ra, a  (2.21) co Chú ý rằng, kết [6] khơng áp dụng cho phương trình sai phân (2.11) Kết luận Bài báo giới thiệu khái niệm co suy rộng, khái niệm tổng quát khái niệm co Bài báo phát triển kĩ thuật [6] để chứng minh nhiều điều kiện cho tính co suy rộng hệ phương trình sai phân phi tuyến có chậm Hướng phát triển báo nghiên cứu điều kiện co suy rộng lớp hệ phương trình sai phân số không gian trừu tượng, điều kiện co suy rộng lớp hệ phương trình vi phân, vi tích phân./ Tài liệu tham khảo [1] Z Aminzare and E D Sontag (2015), “Contraction methods for nonlinear systems: A brief introduction and some open problems”, Proceedings of 53rd IEEE Conference on Decision and Control, pp 3835-3847 [2] S Elaydi (2005), An Introduction to Difference Equations, Third Edition, Springer Science [3] W G Kelley and A C Peterson (2001), Difference equations: An introduction with applications, Academic press [4] W Lohmiller and J J E Slotine (1998), “On contraction analysis for nonlinear systems”, Automatica, (34), pp 683-696 [5] P H A Ngoc and L T Hieu (2013), “New criteria for exponential stability of nonlinear difference systems with time-varying delay”, International Journal of Control, 86 (9), pp 1646-1651 [6] P H A Ngoc, Trinh Hieu, L T Hieu, and N D Huy (2018), “On contraction of nonlinear difference systems with time-varying delays”, Mathematische Nachrichten, https://doi.org/10.1002/mana.201700167 [7] P H A Ngoc and H Trinh (2018), “On contraction of functional differential equations”, SIAM Journal on Control and Optimization, 56 (3), pp 2377-2397 SUFFICIENT CRITERIA FOR GENERALIZED CONTRACTION OF NONLINEAR TIME - VARYING DIFFERENCE SYSTEMS WITH DELAY Summary In this paper, we introduce the problem of generalized contraction of nonlinear difference systems with delays Thereby, we improve the existing approach to prove some new sufficient criteria for generalized contraction of the mentioned system The obtained theorems generalize some existing results recently reported by other authors in the literature An example is given to illustrate the obtained results Keywords: Generalizedly contractive; globally contractive; nonlinear difference systems with delay Ngày nhận bài: 26/02/2019; Ngày nhận lại: 08/4/2019; Ngày duyệt đăng: 19/4/2019 63 ...  Điều kiện cho tính co suy rộng hệ phƣơng trình sai phân phi tuyến có chậm Trong mục chúng tơi nghiên cứu điều kiện co suy rộng lớp hệ phương trình sai phân phi tuyến phụ thuộc thời gian có chậm. ..  hệ (2.1) gọi là co (contractive) Nhiều điều kiện cho tính chất co hệ phương trình sai phân nghiên cứu [4], [6] Sau chúng tơi trình bày điều kiện cụ thể cho tính co suy rộng hệ phương trình sai. .. co Bài báo phát triển kĩ thuật [6] để chứng minh nhiều điều kiện cho tính co suy rộng hệ phương trình sai phân phi tuyến có chậm Hướng phát triển báo nghiên cứu điều kiện co suy rộng lớp hệ phương