chuyªn ®ò 1 çc bµi to¸n liªn quan ®õn hµm sè a lý thuyõt 1 §ióm thuéc ®å thþ ax1 y1 d y ax b y1 ax1 b ax1 y1 p y ax2 y1 a 2 kho¶ng çch kho¶ng çch gi÷a hai ®ióm ax1 y1 bx2 y

c) Viết phương trình đường thẳng (d) qua O và song song với AB, xác định toạ độ giao điểm C của đường thẳng (d) và (P).. Hãy viết phương trình đường thẳng đi qua A và B.[r]

Trang 1

chuyên đề 1: Các bài toán liên quan đến hàm số

+Nếu < 0  pt (*) Vô nghiệm  (P ) và (d) không có điểm chung

+Nếu = 0  pt (*) Có nghiệm kép  (P ) và (d) tiếp xúc

+Nếu > 0  pt (*) Có 2 nghiệm phân biệt  (P ) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt.

6 Tính đồng biến nghịch biến

+ Hàm số y=ax+b đồng biến khi a>0 và nghịch biến khi a< 0

+ Khi a>0 hàm số y= ax2 đồng biến với mọi x>0 và nghịch biến với mọi x<0 + Khi a<0 hàm số y= ax2 đồng biến với mọi x<0 và nghịch biến với mọi x>0

B Ví dụ

Ví dụ 1 : cho (P): y=x2

và đờng thẳng (d): y= mx+m2-1 1) Tìm m để (P) và (d) không có điểm chung ? 2) Tìm m để (P) và (d) tiếp xúc? Tìm tiếp điểm?

3) Tìm m để (P) cắt (d) tại Avà B? Tìm A, B trong đó điểm A có hoành độ bằng 1 ? a Tính AB? Tìm M trên cung AB sao cho SMAB =3 ?

b Tìm SOAB = ? , POAB = ?

c Tính khoảng cách từ O đến (d) khi đó ?

4) m = ? để (P) cắt (d) tại 2 điểm A , B sao cho: P= xA2 + xB2 + 5 , đạt GTNN ? 5) m= ? để (P) cắt (d) tại Avà B thoả mãn yA+ yB + xAxB =1 ?

6) Tìm m để (P) cắt (d) tại Avà B thoả mãn một điều kiện nào đó của xA, xB?

7) Tìm M thuộc cung AB trong đó A(1;1) và B(2;4) sao cho diện tích tam giác AMB đạt giá trị lớn nhất

Ví dụ 2

Trong mặt phẳng Oxy cho Parabol (P) y= 2x2 và (d) y=–3x +5 1 Lập phơng trình đờng thẳng (d1) đi qua hai điểm A(1;1) và B(-3;4) 2 Lập phơng trình đờng thẳng (d2) đi qua M(1,-2) tiếp xúc với (P) 3 Lập phơng trình đờng thẳng (d3)//(d) và tiếp xúc với (P)

Trang 2

4 Lập phơng trình đờng thẳng (d3)  (d) và tiếp xúc với (P)

4 Lập phơng trình đờng thẳng (d4) tiếp xúc với (P) và tạo với hai trục toạ độ một tam giác có diện tích là 1

5 Lập phơng trình đờng thẳng (d5) cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ lần lợt là 1 và

1 2

6 Lập phơng trình đờng thẳng (d6) đi qua C(0;1) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho AB= 10 7 Lập phơng trình đờng thẳng (d7) //d và cắt (P) tại điểm có hoành độ là -2

8 Lập phơng trình (d8) đi qua D( 0;2) và cắt (P) tại hai điểm phân biệt sao cho

Ví dụ 3 ( Đề thi vào THPT năm học 1997-1998)

Trong hệ trục toạ độ Oxy cho ba điểm A(- 3;6); B(1;0); C(2;8)

1,Biết điểm A nằm trên Parabol(P) có phơng trình y=ax2, xác định a 2, Lập phơng trình đờng thẳng (d) đi qua hai điểm B và C

3, Xét vị trí tơng đối của đờng thẳng (d) và Parabol (P)

Ví dụ 4 ( Đề thi vào THPT năm học 1998-1999) b Dùng đồ thị cho biết nghiệm của phơng trình 2x 3x

Cho hàm số y=2x2 (P) 1 Vẽ đò thị hàm số (P)

2 Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm (0;-2) và tiếp xúc với (P)

Cho hàm số y= x+m (D) Tìm các giá trị của m để đờng thẳng (D) a Đi qua A(1;2003)

b Song song với đờng thẳng x-y +3=0

c Tiếp xúc với Parabol y= 2

1 4x

Cho hàm số y=2x2 (P) và y=2(a2)x -2

1 2a

a Tìm a để (d) đi qua A(0;8)

b Khi a thay đổi xét số giao điểm của (P) và (d) tuỳ theo giá trị của a c Tìm trên (P) những điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ bằng 3

Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Pa rabol (P) :y=2x2, một đờng thẳng (d) có hệ số góc m đi qua I(0;2) 1 Viết phơng trình (d)

2 CMR (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B

3 Gọi hoành độ giao điểm của A và B là x1 và x2 CMR: x1x2 2

Cho hàm số: y= (2m-3) x +n-4 (d) (m 3 2)

1 Tìm giá trị của m và n để đờng thẳng (d) a Đi qua A(1;2) ; B(3;4)

b Cắt trục tung tại điểm có tung độ y=3 2-1 và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x  12

2 Cho n=0, tìm m để (d) cắt dờng thẳng (d’) có phơng trình x-y+2=0 tại điểm M(x;y) sao cho biểu thức P =y2-2x2 đạt giá trị lớn nhất.

Trong hệ trục toạ độ Oxy, cho đờng thẳng (d): y=x +2 và Parabol (p) : y= x2 1 Xác định tọa độ hai giao điểm A và B của (d) và (P)

2 Cho điểm M thuộc (P) có hoành độ là m (với -1 m 2) CMR SMAB  27

Ví dụ 12 ( Đề thi vào THPT Hà Nội năm học 2006-2007)

Tìm toạ độ hai giao điểm A và B của đồ thị hai hàm số y=2x +3 và y= x2 Gọi D và C lần lợt là hình chiếu vuông góc của A và B trên trục hoành Tính SABCD

Trang 3

Trong mặt phẳng Oxy cho đờng thẳng (d) : y= 2(m–1) x–(m –2m) và đờng Parabol (P) : y=x 1.Tìm m đẻ đờng thẳng d đi qua gốc toạ độ 0

2 Tìm toạ độ của (d) và (P) khi m=3

3 Tìm m sao cho (d) cắt (P) tại hai điểm có tung độ y1 và y2 thoả mãn y1y2 8

Cho hàm số bậc nhất y= (m –2) x + m +1 (m là tham số ) 1 Với giá trị nào của m thì hàm số đồng biến; 2 Tìm giá trị của m để đồ thị hàm số đi qua M(2; 6);

3 Đồ thị cắt trục hoành tại A, cắt trục tung tại B (A và B không trùng với gốc toạ độ ) Gọi H là chân đờng cao hạ từ O của tam giác OAB Xác định giá trị của m, biết OH= 2

C Bài tập

Bài 1: Cho (P ) : yx và (d) : y2 2x 1

a) Vẽ (P) và (d) trờn cựng một mặt phẳng toạ độ Oxy.

b) Chứng minh rằng: (P) và (d) chỉ cắt nhau tại một điểm duy nhất c) Xỏc định toạ độ giao điểm giữa (P) và (d).

Bài 2: Cho (P ) : ymx (m2 0), m là tham số và (d): y = ax + b a) Tỡm a và b biết rằng (d) đi qua A( –1; 3) và B(2 ;0)

b) Tỡm m sao cho (P) tiếp xỳc với (d) vừa tỡm được Tỡm toạ độ giao điểm tiếp xỳc của (P) và (d).

Bài 3: Cho (P ) : yx ; (d) : y2  m x

a) Vẽ (P).

b) Tỡm giỏ trị của m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt A, B Vẽ (d),xỏc định toạ độ của A và B khi m = 2 c) Tỡm giỏ trị của m để (d) tiếp xỳc với (P).

Bài 4: Cho (P ) : yax và (d) : y2  xm (m là tham số)

a) Xỏc định a để (P) đi qua điểm A( 2; 1) Vẽ (P) với a vừa tỡm được b) Tỡm m để (d) khụng cắt (P).

c)Tỡm m để (d) cắt (P) tại hai điểm phõn biệt d) Tỡm m để (d) cắt (P) tại một điểm duy nhất.

e) Xỏc định toạ giao điểm tiếp xỳc của (P) và (d) f) Xỏc định m để (P) và (d) cú ớt nhất một điểm chung g) Xỏc định toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = – 3.

Bài 5: Cho (P ) : y x ; (d) : y2 2xm2 8 ( mlà thamsố )

a) Tỡm toạ độ giao điểm của (P) và (d) khi m = 5 b) Tỡm m để (P) và (d) cú ớt nhất một điểm chung.

Bài 6: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho parabol (P ) : yx và đ ờngthẳng(d) : y2  x2 a) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trờn cựng một hệ trục toạ độ.

b) Tỡm toạ độ giao điểm A và B của (P) và (d) bằng phương phỏp đại số c) Từ A và B vẽ AH  xx’;BK  x’x.Tớnh diện tớch của tứ giỏc AHBK.

Bài 7: Cho hàm số y = ax2 cú đồ thị (P)

a) Tỡm a biết rằng (P) qua A(1 ; –1) Vẽ (P) với a vừa tỡm được.

b) Trờn (P) lấy B cú hoành độ bằng –2 Viết phương trỡnh của đường thẳng AB và tỡm toạ độ giao điểm D của

2 Trờn (P) lấy hai điểm A và B cú hoành độ lần lượt là 1 và 3 Hóy viết phương trỡnh đường thẳng đi qua A và B 3 Lập phương trỡnh đường trung trực (d) của AB.

4 Tỡm tọa độ giao điểm của (d) và (P).

5.Tớnh diện tớch tứ giỏc cú cỏc đỉnh là A, B và cỏc điểm 1; 3 trờn trục hoành.

Bài 9.

Trang 4

Trong cùng một hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) lần lượt là đồ thị của các hàm số

b) Dùng đồ thị để giải phương trình x24x 4 0  và kiểm tra lại bằng phép toán.

c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) và cắt (P) tại điểm có tung độ là - 4 Tìm giao điểm còn lại của

4 và đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B trên (P) có hoành độ lần lượt là – 2 và 4.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d).

c) Tìm M trên cung AB của (P) tương ứng với hoành độ x chạy trong khoảng từ - 2 đến 4 sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.

Bµi 11.

.Cho (P): y = ax2

a) Xác định a để đồ thị hàm số đi qua A(1; 1) Hàm số này đồng biến, nghịch biến khi nào.

b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A và cắt trục Ox tại điểm M có hoành độ m ( m ≠ 1) Viết phương trình (d) và tìm m để

c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A và vuông góc với (d1).

d) Gọi A, B là giao điểm của (P) và (d2); C là giao điểm của (d1) với trục tung Tìm tọa độ của B và C Tính diện tích của tam giác ABC.

Bµi 14.

.Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) là đồ thị của hàm số y = x2 a) Vẽ (P).

b) Gọi A, B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lượt là – 1 và 2 Viết phương trình đường thẳng AB c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P).