Ñaëc bieät, tích cuûa moät soá chaún coù taän cuøng laø 0 vôùi baát kì soá töï nhieân naøo cuõng coù chöõ soá taän cuøng laø 0.. Tìm chöõ soá taän cuøng cuûa moät luyõ thöøa.3[r]
(1)điền Số tự nhiên ghi số tự nhiên tìm số A/ Mục tiêu:
- Học sinh nắm vững kiến thức số tự nhiên cấu tạo số hệ thập phân, phép tính số tự nhiên, tính chất chia hết
- Vận dụng thành thạo phép biến đổi vào tập số học
- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lơ gic óc phân tích tổng hợp
B/ ChuÈn bÞ:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề.
I/ KiÕn thức bản.
1, Đặc điểm ghi số tự nhiên hệ thập phân.
- Dựng 10 chữ số 0; 1; 2; 3; để ghi số tự nhiên - Cứ 10 đơn vị hàng đơn vị hàng trớc
VÝ dô: ab = 10a+b
abc = 100a + 10b+c 2, So sánh số tự nhiên.
+ a > b a nằm bên trái số b trªn tia sè + a < b a n»m bên phải số b tia số 3, Tính chẵn lẻ:
a, Số tự nhiên có chữ số tËn cïng lµ 0; 2; 4; 6; lµ sè chẵn (2b;b N) b, Số tự nhiên có chữ số tËn cïng lµ 1; 3; 5; 7; lµ sè lẻ (2b+1;b N) 4, Số tự nhiên liên tiếp.
a, Hai số tự nhiên liên tiếp hai đơn vị a; a+1 (a N)
b, Hai số tự nhiên chẵn liên tiếp hai đơn vị 2b; 2b + (b N)
c, Hai số tự nhiên lẻ liên tiếp hai đơn vị 2b + ; 2b + (b N)
II/ Bµi tËp.
Bài tập 1: Có chữ số có chữ số mà tổng chữ số 3? Giải
3 = + + = + + + = + + +
3000 1011 2001 1002
1110 2100 1200 + + = 10 sè
(2)Bài tập 2: Các số tự nhiên từ 1000 đến 10000 có số có ba chữ số giống nhau?
Gi¶i
Có số 10000 có chữ số khơng thoả mãn đề số có dạng
abbb babb bbab bbba
(ab)
Xét số abbb chữ số a có cách chọn (ab) Với a chọn ta có cách chọn (ba)
=> Cã 9.9 = 81 sè cã d¹ng abbb
Tơng tự: => Có 81.4=324 số
Bài tập 3: Viết số tự nhiên liên tiếp từ ->100 từ trái sang phải thành dÃy a, DÃy có tất chữ số?
b, Chữ số thứ 100 kể từ trái sang phải chữ số nào? Giải
a, Số có chữ số: sè => 9.1 = ch÷ sè
Sè cã ch÷ sè: 99 – = 90 sè => 90.2 = 180 ch÷ sè Sè ch÷ sè: 100 => chữ số
Vậy dÃy có + 180 + = 192 ch÷ sè b, Ch÷ số thứ 100 rơi vào khoảng số có chữ số
Bắt đầu từ 1011 chữ số thứ 91 91 – 2.45 +
Sè thø 45 kĨ tõ 10 lµ: (45 - 1) + 10 = 54 Vậy chữ số thứ 100 chữ số
Bài tập 4: Viết liên tiếp 15 số tự nhiên lẻ tạo thành số tự nhiên xoá 15 chữ số để đợc
a, Sè lín nhÊt (9 923 252 729) b, Sè nhá nhÊt (1 111 111 122)
Bài tập 5: Nếu số có chữ số biết viết thêm chữ số vào bên phải số tăng 1112 đơn vị ( abc =123)
Bài tập 6: Tìm số có chữ số Biết xoá chữ số hàng chục hàng đơn vị số giảm 4455 đơn vị
Gi¶i abcd - ab = 4455 => cd = 99.(45- ab )
cd < 100 => (45- ab ) < 100 => 45 - ab =
(3)VËy số phải tìm 4500 44996
Bi 7: Tỡm số có chữ số biết số gấp lần tổng chữ số Giải
ab = 5(a+b) => 5a = 4b => b ⋮ => b =
NÕu b = => a = loại
Nếu b = a = => ab = 45
Bài tập 8: Tìm số có chữ số biết lấy số chia cho tổng chữ số đợc thơng d 12
Gi¶i
ab = 5(a+b) + 12 => 5a = 4(b+3) => b + ⋮ => b =
NÕu b = => a = => ab = 42 NÕu b = => a = 87
Bài tập 9: Không làm phÐp tÝnh h·y kiĨm tra kÕt qu¶ phÐp tÝnh a, 136 136 – 42 = 1960
b, ab ab - 8557 = (ch÷ sè tËn cïng)
Bài tập 10: Tìm số có chữ số biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta đợc số gấp 26 lần số (260)
Bài tập 11: Tìm số có chữ số, biết lấy số chia cho hiệu chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị ta có thơng 26 d
Gi¶i
ab = (a - b) 26 + => 27b = 16 a +
ab 16a chẵn => 16a + lẻ => b lỴ => b = => a = ab = 53
Bài tập 12: Tìm số có chữ số khác nhau, biết số tổng số có chữ số khác lập từ chữ số số phải
Gi¶i
abc = ab + ac + bc + ba + ca + cb => abc = 22(a + b + c)
Bài tập 13: Điền chữ số thích hợp thay cho chữ a, ab + 36 = ab
(4)c, abc + acc + dbc = bcc
C¸c phÐp tính số tự nhiên Đếm số A/ Mục tiªu:
- Học sinh nắm vững phép tính số tự nhiên, tính chất chia hết, kiến thức dãy số cách
- Vận dụng thành thạo phép biến đổi vào tập số học
- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lơ gic óc phân tích tổng hợp
B/ Chn bÞ:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Ni dung chuyờn .
I/ Kiến thức bản. 1) C¸c tÝnh chÊt:
Giao ho¸n: a + b = b + a; a.b = b.a
Kết hợp: a + (b + c) = (a + b) + c; a.(b.c) = (a.b).c Phân phối phép nhân phép cộng phép trừ:
a.(b+c) = a.b + a.c a.(b-c) = a.b - a.c Mét sè trõ ®i mét tỉng: a – (b+c) = a - b – c
Một số trừ hiệu: a – (b-c) = a - b + c 2) Công thức dãy số cách đều:
Sè số hạng = (số cuối số đầu) : khoảng cách + 1 Tổng = (số cuối + số đầu) Số số hạng : 2
I/ Bài tập.
Bài tập 1: Tính cách nhanh chóng
a, 29 + 132 + 237 + 868 + 763 = 29 + (132 + 868) + (237 + 763) = 29 + 1000 + 1000 = 2029 b, 652 + 327 + 148 + 15 + 73 = (652 + 148) + (327 + 73) + 15
(5)Bài tập 2: Thay chữ chữ sè thÝch hỵp a, ab + bc + ca = abc
=> ab + ca = a00 =>
ac aoo
+ab ❑❑
=> a = => b = => c = => 19 + 98 + 81 = 198 b, abc + ab + a = 874
=> aaa + bb + c = 874
Do bb + c < 110 => 874 aaa > 874 – 110 = 764 => a = => bb + c = 874 – 777 = 97
Ta có: 97 bb > 97 – 10 = 87 => bb = 88 => c = Ta đợc: 789 + 78 + = 874
Bài tập 3: Điền số từ đến vào ma phơng x cho tổng hàng thứ tự ; 16; 23 tổng cột 14; 12;19
Bµi tËp 4:
Cho số 1; 3; 5; ; 17 chia số cho thành nhóm cho: a, Tổng số nhóm I gấp đơi tổng số nhóm II
a, Tỉng c¸c sè nhãm I b»ng tỉng c¸c sè nhãm II Gi¶i
a, Cã thĨ: (chia hÕt cho 3)
Nhãm I: + + + 13 + 15 + 17 = 54 Nhãm II: + + 11 = 27
b, Khơng tổng khơng chia hết cho Bài tập 5: Tìm x biết:
a, 135 – (x + 37 ) = 80 => x + 37 = 135 – 80 => x + 37 = 55
=> x = 55 – 37 = 18 b, (x - 17) + 52 = 158 => x – 17 = 158 - 52
=> x – 17 = 106 => x = 106 + 17 = 123
Bµi tËp 6: Mét phÐp trõ cã tỉng cđa sè bÞ trõ, sè trừ hiệu 490 hiệu lớn số trừ 129 Tìm số trừ số bị trừ
Gi¶i
SBT = a ; ST = b; H = c => a – b = c (1)
(6)(1) vµ (2) => a = 490 : = 245
(2) vµ (3) => a + 2c = 619 => c= 619−245
2 =187
=> b = 245 – 187 = 58
Bài tập Thay dấu * chữ số thích hợp **** - *** = ** Biết số không đổi đọc từ phải sang trái từ trái sang phải
Gi¶i
* * * => chữ số hàng nghìn tổng => chữ số hàng đơn vị + * * tổng
* * * * Chữ số hàng trăm số hạng thứ => Chữ số hàng đơn vị số hạng thứ =>
Bµi tËp 8:
Một trăm số tự nhiên từ -> 100 chia thành lớp chẵn lẻ a, Tổng số nhóm, nhóm lớn hơn?
b, Tổng chữ số nhóm, nhóm lớn hơn? Giải
a) 99
10 100
b) 11 13 99
2 10 12 98
Bµi tËp 9:
Đem số có chữ số giống chia cho số có chữ số giống đợc thơng 16 số d Nếu số bị chia số chia bớt chữ số th-ơng khơng đổi số d giảm 200 đơn vị, tìm số đó?
Gi¶i
aaaa = 16 bbb + r aaa = 16 bb + (r - 200) Víi 200 r < bbb
Từ đẳng thức => 1000 a = 1600 b + 200 => 5a = 8b +
=> a = vµ b =
Bài tập 10: Để đánh số sách cần dùng 1995 chữ số a, Cuốn sách có trang ?
b, Ch÷ số thứ 1000 trang chữ số nào? Giải
(7)Vậy số trang số có chữ số Số số có chữ số 1995189
3 =602
Số thứ có chữ số 100 Vậy sè thø 602 lµ 100 + 602 – = 701
Cuốn sách có 701 trang
b) Chữ sè thø 1000 thuéc sè cã ch÷ sè (1000 – 189 = 811) 811 = 270 +
Sè thø 270 lµ 100 + 270 – = 369
Vậy chữ số thứ 1000 chữ số hàng trăm 370 (chữ số 3) Bài tập 11: Khi viết số tự nhiên từ đến 100
a, chữ số đợc biết lần ? (11 lần) b, chữ số đợc biết lần ? (21 lần) c, chữ số ; đợc biết lần ? (20 lần)
Bài tập 12: Trong số tự nhiên từ 100 đến 10000 có số mà cách viết chúng có chữ số ging
Giải
Loại có chữ số: aaa có số Loại có chữ số: aaab
Cã c¸ch chän; b cã c¸ch chọn b có vị trí khác => có = 324 sè
VËy cã + 324 = 333 sè
Bµi tËp 13: a, Tính tổng số tự nhiên lẻ tõ -> 999
b, Viết liên tiếp số tự nhiên từ đến 999 Tính tổng ch s Gii
a, Số hạng dÃy là: 9991
2 +1=500
Tổng dây là: (1+999)500
2 =250000
b, 999 lµ sè cã tỉng chữ số 27 Ta thấy + 998 = 999
2 + 997 = 999
Có 499 cặp => Tổng chữ số 27.500 = 13500
(8)Gi¶i
Các số tự nhiên phải đếm có dạng
a cã c¸ch chän tõ -> b cã c¸ch chän tõ -> c cã c¸ch chän tõ ->
VËy cã: = 648 (số lẻ chứa chữ sè 9)
L thõa víi sè mị tù nhiªn A/ Mơc tiªu:
- Học sinh nắm vững định nghĩa tính chất luỹ thừa, vận dụng thành thạo vào giải tập luỹ thừa
- Vận dụng thành thạo phép biến đổi vào tập số học
- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lơ gic óc phân tích tổng hợp
B/ ChuÈn bÞ:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề.
I/ KiÕn thức bản. 1, Định nghĩa:
an = a a a (a, n N ; n ) VÝ dô:
23 = = 8 = 53
Quy íc: a0 = (a0) 2, Nhân hai luỹ thừa số (chia)
a, am an = am+n
b, am : an = am-n (a0 ; m n ) VÝ dô:
(9)139 : 135 = 134 3, Lịy thõa cđa mét tÝch. VÝ dơ: TÝnh:
( 3)2 = (2 3) (2 3) = (2 2) (3 3) = 22 32 Tỉng qu¸t: (a b )n = an bn
4, Luü thõa cña luü thõa.
VÝ dô: TÝnh (32)3 = 32 32 32 = 32.3 = 36 Tỉng qu¸t: (am)n = am.n
VÝ dô: 93 32 = (32)3 32 = 36 33 38 = 93 = 94
6, Thø tù thùc hiÖn phÐp tÝnh.
N©ng luü thõa – Nh©n, chia – céng trõ 7, So s¸nh luü thõa.
a, Luü thừa có giá trị lớn lớn hơn. 23 vµ 32
23 = ; 32 = V× < => 23< 32
b, Luỹ thừa có số Luỹ thừa có số mũ lớn lớn hơn. Ví dụ: 162 vµ 210
162 = (24)2 = 28
V× 228 < 210=> 162<210
c, Hai luü thõa có số, luỹ thừa có số lớn lớn hơn. Ví dụ: 23 < 33
So sánh: 272 46
272 = (33)2 = 36.Vì 36< 46 => 272< 46 II/ Bài tập
Bài tập 1: Viết gọn biểu thức sau b»ng c¸ch dïng luü thõa a, = 33 42
b, a a a + b b b b = a3+ b4 Bµi tËp 2: Tính giá trị biểu thức
a, 38 : 34 + 22 23 = 34 + 25 = 81 + 32 = 113 b, 42 – 32 = 16 – = 30
c,
32¿5 ¿
2 3¿12 ¿ ¿
22¿6.34.¿ ¿
46 34 95
(10)d,
2 7¿2 53 ¿
5 7¿3.2 ¿ ¿ ¿
212 14 125 3536 =¿
e,
2 32 ¿2 ¿
22 32.5 ¿5 ¿
5 22¿4.¿
5 32 ¿3.¿ ¿
453 204.182
1805 =¿
=
7 310210
55 310 210=5
2
=25
g,
13
+25
210+22=
25(28+1)
22(28+1)=
25 22=2
3
=8
Bài tập 3: Viết tổng sau thành bình ph¬ng a, 13 + 23 = 32
b, 13 + 23 + 33 = 42 c, 13 + 23 + 33 + 43 = 52
Bµi tËp 4: Viết kết sau dới dạng luỹ thừa a, 166 : 42 = 166: 16 = 165
b, 178: 94= (33)8 : (32)8 : (32)4 = 324 : 38 = 316 c, 1254 ; 253= (53)4 : (52)3 = 512 56 = 56 d, 414 528 = (22)14 528= 228 528 = 1028 e, 12n: 22n = (3.4)n : (22)n = 3n 4n : 4n = 3n Bài tập 5: Tìm x N biÕt
a, 2x = 128 => 2x = 32 => 2x = 25=> x = 5 b, x15 = x => x = 0
x =
c, (2x + 1)3 = 125 => (2x + 1)3 = 53 => 2x + = => 2x = => x =
d, (x – 5)4 = (x - 5)6 => x – = => x = 5 x – = x = Bài tập 6: So sánh:
a, 3500 7300 3500 = 35.100 = (35)100 = 243100 7300 = 73.100 (73 )100 = (343)100 V× 243100 < 343100 => 3500 < 7300
(11)=> 85 < 47 d, 202303 vµ 303202
202303 =(2023)201 ; 303202 = (3032)101 Ta so sánh 2023 3032
2023 = 23 101 1013 vµ 3032 => 3032 < 2023 3032 = 33 1012 = 9.1012
VËy 303202 < 2002303 e, 321 vµ 231
321 = 20 = 910 ; 231 = 230 = 810 910> 810 => 321 > 231
g, 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 371320 = (372)660 = 1369660
V× 1369660 > 1331660 => 371320 > 111979 Bài tập 7: Tìm n N cho:
a) 50 < 2n < 100 b) 50<7n < 2500 Bài tập 8: Tính giá trị c¸c biĨu thøc
a)
10
.13+210 65
28 104
b) (1 + +…+ 100)(12 + 22 + … + 102)(65 111 – 13 15 37) Bài tập 9: Tìm x biÕt:
a) 2x = 224 b) (3x + 5)2 = 289 c) x (x2)3 = x5 d) 32x+1 11 = 2673 Bµi tËp 10: Cho A = + + 22 + … +230
ViÕt A + díi d¹ng mét lịy thõa
Bµi tËp 11: ViÕt 2100 lµ mét sè cã chữ số tính giá trị nó. Bài tập 12: Tìm số có hai chữ số biết:
- Tổng chữ số không nhỏ
- Tổng bình phơng chữ số không lớn 30
- Hai lần số đợc viết chữ số số phải tìm nhng theo thứ tự ngợc lại khơng lớn hn s ú
Bài tập 13: Tìm số tự nhiªn abc biÕt (a + b + c)3 = abc (a b c) Bµi tËp 14: Có hay không số tự nhiên abcd
(a + b + c + d)4 = abcd
(12)1 Trong thực tế nhiều ta không cần biết giá trị số mà cần biết hay nhiều chữ số tận Chẳng hạn, so xổ số muốn biết có trúng giải cuối hay không ta cần so chữ số cuối Trong toán học, xét số có chia hết cho 2, 4, chia hết cho 5, 25, 125 hay không ta cần xét 1, 2, chữ số tận số (xem § 10)
2 Tìm chữ số tận tích - Tích số lẻ số lẻ
- Đặc biệt, tích số lẻ có tận với số lẻ có chữ số tận
- Tích số chẵn với số tự nhiên số chẵn
Đặc biệt, tích số chẳn có tận với số tự nhiên có chữ số tận
3 Tìm chữ số tận luỹ thừa
- Các số tự nhiên có tận 0, 1, 5, nâng lên luỹ thừa
( khác ) giữ nguyên chữ số tận
- Các số tự nhiên tận chữ số 3, 7, nâng lên luỹ thừa 4n có tận
34n = 1; 74n = 1; 94n =
- Các số tự nhiên tận chữ số 2, 4, nâng lên lũy thừa 4n (n
≠ 0) có tận
24n = ; 44n = ; 84n =
( Riêng số tự nhiên có chữ số tận 9, nâng lên lũy thừa lẻ có chữ số tận nó; nâng lên lũy thừa chẵn có chữ số tận 1)
4 Một số phương tận 2, 3, 7, Thí duï 1:
Cho A = 51n + 47102 (n є N)
Chứng tỏ A chia hết cho 10 Giải:
51 n = …
47102 = 47100 472 = 474.25 472 = … × … = …
Vậy A = … + … = … ; Vậy A chia hết cho 10
(13)Hàng
can Giáp t Bính Đinh Mậu Kỉ Canh Tân Nhâm Quý Mã
số
1 10 (0)
Muốn tìm hàng CAN năm ta dùng cơng thức đơn giản sau đối chiếu kết với bảng trên:
Hàng CAN = Chữ số tận năm dương lịch _ 3
(Nếu chữ số tận năm dương lịch nhỏ ta mượn thêm 10) Bây bạn hảy tìm hàng CAN năm Ngọ quan trọng lịch sử giành độc lập dân tộc ta kỉ XX năm 1930 năm Đảng CSVN đời năm 1954 chiến thắng Điện Biên Phủ
Giaûi : 10 _ = CANH ; 1930 năm CANH NGỌ _ = GIAÙP ; 1954 năm GIÁP NGỌ
BÀI TẬP
1 Nước Việt Nam dân chủ cộng hòa đời sau cách mạng tháng Tám năm 1945, năm Dậu Hãy tìm hàng CAN năm Dậu
2 Em tuổi ? Tìm hàng CAN tuổi Tìm chữ số tận số sau :
7430 ; 4931 ; 9732 ; 5833 ; 2335 . Tìm hai chữ số tận số sau 5n ( n > ) Chứng tỏ tổng, hiệu sau không chia hết cho 10 a) A = 98 96 94 92 _ 91 93 95 97
b) B = 405n + 2405 + m2 (m,n є N ; n ≠ 0). Tìm chữ số tận số sau : a) 234567 ; b) 579675
7 Tích số lẻ liên tiếp có tận Hỏi tích có thừa số ?
Tích A = 22 23 210 x 52 54 56 …514 tận chữ số ?
8* Cho S = + 31 + 32 +33 + … + 330.
(14)C¸c dÊu hiƯu chia hết A/ Mục tiêu:
- Học sinh nắm vững tính chất chia hết tdấu hiệu chia hết vào giải tập
- Vn dụng thành thạo phép biến đổi vào tập số học
- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lơ gic óc phân tích tổng hợp
B/ Chn bÞ:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Ni dung chuyờn .
I/ Kiến thức bản.
1) C¸c tÝnh chÊt chia hÕt:
a m vµ b m => (a + b) m
a không chia hết cho m b m => (a + b) kh«ng chia hÕt cho m 2) C¸c dÊu hiƯu chia hÕt.
DÊu hiƯu chia hÕt cho 2; 5; 3; 9; 4; 25; 8; 125; 11 3) T×m d cđa mét sè chia cho
T×m sè d chia cho 5-3-9-4-25-8-125 II/ Bµi tËp:
Bài tập 1: Tổng số tự nhiên từ đến 154 có chia hết cho khơng? cho khơng?
11935
Bµi tËp 2: Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho chữ số hàng nghìn 6, chữ số hàng trăm hàng trục
20
Bµi tËp 3: Cho A= 119 + 118 +…+ 11 + Chøng minh r»ng A ⋮ 5 B= + 22 + 23 +….+ 220 Chøng minh r»ng B ⋮ 5 Bµi tËp 4: Trong số tự nhiên nhỏ 1000 Có số chia hết cho nhng không chia hÕt cho ?
Gi¶i:
+ Sè chia hÕt cho lµ: 998−0
2 + = 500 (sè)
+ Sè chia hÕt cho vµ cho lµ: 990−0
10 + = 100 (số)
(15)Bài tập 5: Tìm STN liªn tiÕp cã c/s biÕt r»ng mét sè chia hÕt cho mét sè chia hÕt cho 25
(24; 25); (75; 76)
Bµi tËp 6: Dùng 10 c/s khác viết thành số có 10 c/s chia hÕt cho cho
a- Lín nhÊt b- Nhá nhÊt
9876543210 1023457896
Bµi tËp 7: CMR
a- 1050 + chia hÕt cho vµ 5 b- 1025 + 26 chia hÕt cho vµ 2.
Bài tập 8: Tìm số có chữ số biết chữ số hàng nghìn số chia hết cho 2; ; v
Giải:
Gọi số phải tìm lµ abc
b = a =
=> c = b = a =
b = a =
b = a =
b = a =
Bài tập 9: Tìm chữ số a vµ b cho a – b = vµ 7a5b1 ⋮ a =6 => b =
a =6 => b = Bài tập 10: Phải thay x chữ số để
a) 113 + x chia hÕt cho (x = 6) b) 113 + x chia hÕt cho d (x = 4) c) 20x20x20x ⋮ (x = 3)
Bµi tËp 11: Víi x; y; z Z CMR (100x + 10y + z) ⋮ 21
(x –2y + 4z) ⋮ 21 Gi¶i
XÐt hiÖu 100x + 10y + z) – 16 (x –2y + 4z) = 48x + 42y – 63z ⋮ 21 Bµi tËp 12: CMR: n N ta cã 2.7n + ⋮ 3
Gi¶i:
Víi n = 2b => 2.7n + = 2.49b + (mod 3) n = 2b + 1=> 2.7n + = 14.49b + (mod 3) Bài tập 13:
(16)Giải
Cã: XÐt d·y sè 2004 Theo Dirkhlª cã sè cã cïng sè 20042004 d chia cho 2003 VËy hiƯu 2004 ………… Chóng chia hÕt cho 2003
2004…2004 HiƯu cã d¹ng: 10k 2004…2004 2003 Mà (10k:2003) = => đpcm./.
Bài tập 14: CMR tồn b N* cho: 2003b- ⋮ 105 Gi¶i:
XÐt d·y sè: 2003 20032…2003
105 +1
Theo Dirichlª tån t¹i sè cã cïng sè d chia cho 105 HiƯu cđa chóng cã d¹ng 2003m(2003b - 1) ⋮ 105 Mµ (2003m: 105) = => 2003b – ⋮ 105
Sè chÝnh phơng
A/ Mục tiêu:
- Hc sinh nm vững định nghĩa tính chất số phơng vào giải tập
- Vận dụng thành thạo phép biến đổi luỹ thừa vào tập số học
- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lơ gic óc phân tích tổng hợp
B/ Chn bÞ:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề.
I/ KiÕn thøc c¬ bản. 1- Định nghĩa:
S chớnh phng l s viết đợc dới dạng bình phơng số tự nhiên
2- TÝnh chÊt:
(17)b- Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn Không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ c- Các tính chất:
CSP chia hÕt cho => chia hÕt cho => chia hÕt cho => chia hÕt cho 25 => chia hÕt cho 16
d- Một số số phơng có số ớc lẻ II/ Bài tập:
Bi tập 1: Cho chữ số 0; 2; 3; Tìm số phơng có chữ số gồm ch s ó cho
Giải:
Số phơng tận 2;
S chớnh phơng có tận phải có tận 00 Do số lập đợc phải có tận
=> Số chia hết cho => chia hết cho Xét số: 2304; 3204; 3024 => 2304 = 482 Bài tập 2: Các số sau có phải số phơng hay không ?
a) A = + 32 + 33 +….+ 320 b) B = 11 + 112+ 113.
Gi¶i:
a) A ⋮ nhng A (mod 9) => A số phơng b) B (mod 10) => B số phơng
Bài tập 3: CMR: A = abc + bca + cab số phơng Giải:
A = 111( a + b + c) = 37 ( a + b + c) (số mũ lẻ) Bài tập 4: Tìm số phơng lập chữ số: 7; 2; 4;
Bài tập 5: Các tổng sau có số phơng không? a) 1010 + 8 c) 1010 + 5
b) 100! + d) 10100 + 1050 + 1
Bµi tËp 6: Chøng tá số sau không Số phơng
a) abab b) abc abc c) ababab
abab = ab 101 ab /101 => không Số phơng
Bài tập 7: Một số tự nhiên có 30 chữ số Hỏi có cách thêm chữ số vào vị trí tuỳ ý để tạo thành số phơng khơng?
(18)Bài tập 9: Tìm số phơng n có chữ số, biết n chia hiết cho nhân n với tổng chữ số khụng i
Bài tập 10: Tìm số tự nhiên n (n>0) cho tæng 1! + 2! + … + n! số phơng Bài tập 11: Tìm chữ số a b cho
aabb số phơng.
Bài tập 12: Chứng minh tổng bình phơng số lẻ số phơng
Bài tập 13: Một số gồm chữ số, đọc ngợc lại khơng đổi chia hết cho Số số phơng hay khụng?
Bài tập 14: Tìm số phơng có chữ số chia hết cho 33
Ước chung bội chung A/ Mục tiêu:
- Học sinh nắm vững định nghĩa tính chất ớc chung, ƯCLN, bội chung, BCNN vào giải bi
- Vận dụng thành thạo tính chất chia hết vào tập
- Rèn luyện cho học sinh thói quen tự đọc sách, t lơ gic óc phân tích tổng hợp
B/ ChuÈn bÞ:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyên đề.
I/ Kiến thức bản.
1- Tính chất chia hÕt liªn quan a ⋮ m
a ⋮ n => a ⋮ m.n (m,n)=1
a.b ⋮ m => b ⋮ m (a, m) =1
2- ThuËt toán Ơclit:
Ví dụ: Tìm ƯCLN cặp sè sau:
11111 vµ 1111 342 vµ 266
11111 chia 1111 d 342 chia 266 d 76
11111 chia d 266 chia 76 d 38
=> ¦CLN (11111; 1111) =1 76 chia 38 d
(19)I/ Bµi tËp.
Bài tập 1: khối – – theo thứ tự có 300 học sinh- 276 học sinh – 252 học sinh xếp hàng dọc để điều hành cho hàng dọc khối nh Có thể xếp nhiều thành hàng dọc để khối khơng lẻ ? kho khối có hng ngang?
Giải:
Số hàng dọc = ƯCLN (300; 276; 252) = 12 K6 cã 300 : 12 = 25
K7 cã 276 : 12 = 23 K8 cã 252 : 12 = 21
Bµi tËp 2: CMR cặp số sau nguyên tố víi mäi n N a) n; 2n +
c)3n + 2; 5n +
b) 2n + 3; 4n + d) 2n + 1; 6n +
Bµi tËp 3: a) BiÕt a – 5b ⋮ 17 CMR 10a + b ⋮ 17 (a, b N) b) BiÕt 3a + 2b ⋮ 17 CMR 10a + b ⋮ 17 (a, b N)
Bài tập 4: Có 100 90 bút chì đợc thởng cho số học sinh cịn lại 18 bút chì khơng đủ chia Tính số học sinh
Gi¶i:
Gäi sè häc sinh lµ a: => 100 – ⋮ a ; 90 – 18 ⋮ a Bµi tËp 5: T×m n N cho: a) 4n – ⋮ 13
b) 5n + ⋮ c) 25n + ⋮ 53 Gi¶i:
a) 4n – ⋮ 13 => 4n – +13 ⋮ 13 => 4n + ⋮ 13 => 4(n+2) ⋮ 13
=> n + ⋮ 13 => n + + 13 b => n = 13b –
b) 5n + ⋮ => 5n + – 21 ⋮ => 5n – 20 ⋮ => 5(n - 4) ⋮ => n – ⋮ => n = 7b +
c) Tơng tự
Bài tập 6: Tìm n cho a) n + ⋮ n + b) n2 + ⋮ n + 2 Giải:
(20)Bài tập 7: T×m x, y cho a) ( x + 1) (2y - 1) = 12 b) x – = y (x + 12) Gi¶i
b) (x + 2) – = y ( x + 2)
=> = (x + 2) – y ( x + 2) => = (x + 2) (1 - y)
Bài tập 8: Tìm số tự nhiên nhỏ 500 cho chia cho 15, cho 35 đợc số d 13
Gi¶i
Gọi số phải tìm a
=> a- ⋮ 15 => a – + 30 ⋮ 15 => a + 22 ⋮ 35
a – 13 ⋮ 35 a – 13 + 35 ⋮ 35 a + 22 ⋮ 15
Bµi tập 9: Tìm dạng chung số tự nhiên a cho chia 4; 5; lần lợt có số d lµ 3; 4; vµ chia hÕt cho 13
Gi¶i
a + BC (4; 5; 6)
=> a + ⋮ 60 => a + – 300 ⋮ 60 => a – 299 ⋮ 60
vµ a ⋮ 13 a – 13 23 ⋮ 13 a – 299
⋮ 13
=> a – 299 ⋮ BCNN (60; 13) a – 299 ⋮ 780
=> a = 780b + 299 (b N)
Bµi tËp 10: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 5; cho 7; d 3; 4; Giải
Gọi số phải tìm a:
=> 2a chia cho 5; 7; d 2a – = BCNN (5; 7; 9) = 315 => 2a – = 315 => a = 158
Bµi tËp 11: Một thiết bị điện tử 605 phát tiếng bíp; chiều thứ 625 bíp lúc 10h sáng kêu hỏi lúc kêu (10h 31p)
Bài tập 12: Tìm n để số sau nguyên tố
a) 9n + 24 vµ 3n + b) 18n + vµ 21n +
Gi¶i:
(21)=> 9n + 24 ⋮ d => 12 ⋮ d => d {3; 2}
3n + ⋮ d dP
d v× 3n + ⋮
Vậy để (9n + 24; 3n + 4)= => n lẻ
b) 18n + ⋮ d => 21 ⋮ d => d {3; 7} 18n + ⋮ d
d v× 21n + ⋮ => d =
18n + ⋮ => 18n + – 21 ⋮ => 18(n - 1) ⋮ => n b +
( 18n + 3; 21n + 7) =
Vậy để (9n + 24; 3n + 4)= => n lẻ Tìm số tự nhiên biết
Bµi tËp 13: HiƯu b»ng 84; ƯCLN 28; nằm khoảng (300; 440) a= 392 ; b= 308
Bài tập 14: ƯCLN 16; số lớn 96 (16 80)
Bài tËp 15: BCNN b»ng 770; mét sè b»ng 14 (770; 385; 110; 55)
Bµi tËp 16: (a, b) = 15; [a; b] = 2100(a, b)
(15; 31500) (45; 10500) (60; 7875) (150; 4500) (180; 2625) (315; 1500) (375; 1260) (420; 1125) Bµi tËp 17: a b = 180; [a; b] = 20 (a; b)
(3; 60) (12; 15) Bµi tËp 18: [a; b] – (a; b) = 35
(1; 36) (4; 9) (5; 40) (7; 42) (14; 21) (35; 70) Bµi tËp 19: a + b = 30 [a; b] = (a; b)
Một số dạng toán ÔN TậP lớp 6 Bài toán 1: Thực phép tính:
A = (157 57 - 99 57 - 572) : 57 + 57 B = - + - + … + 98 - 100 Lêi gi¶i: Ta cã:
A = 57(157 - 99 - 57: 57 + 57 = + 57 = 58
B = (2 - 4) + (6 - 8) + …+ (98 - 100) = (- 2) + (- 2) + (-2) + …+ (- 2) = - 98 Bµi toán 2: Tìm x:
200 - (254 : x + 3+ : = 262 (1) 5.2x+ 1 = 80 (với x số tự nhiên) (2) Lời gi¶i: Ta cã:
(1) (254 : x + 3) : = 200 - 262 (254 : x + 3) : = - 62 254 : x + = -124
(22)(2) 2x + 1 = 16 x + = x = 3.
Bài toán 3: Cho A = 62x1y Tìm chữ số x, y thoả mÃn: a/ A chia hÕt cho c¶ 2, 3,
b/ A chia hÕt cho 45 vµ chia cho d Lêi gi¶i:
a/ Vì A chia hết cho nên A chia hết cho 10 Do y =
Vì A chia hết + + x + + y = + x số chia hết cho Do x Vậy x 0;3;6;9
b/ Vì A chia cho d nên y lẻ Vì A chia hết cho 45 nên A chia hết cho Suy y = + + x + = 14 + x số chia hết cho Do (x + 5) Vậy x =
Bài toán 4: Số HS trờng khoảng từ 2500 đến 2600 Nếu toàn thể HS trờng xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn, xếp hàng thừa bạn
TÝnh sè HS cđa trêng ?
Lêp gi¶i: Gäi sè HS cđa trêng lµ x (x N, 2500 < x < 2600) Tõ gi¶ thiÕt suy a + số chia hết cho 3, 4,
Mà BCNN(3,4,5,7) = 420 nên a + chia hÕt cho 420, v× 2503 chia cho 420 b»ng d 403 vµ 2601 chia 420 b»ng d 81 nªn a + = 420.6 tøc lµ a = 2518
VËy sè HS cđa trêng 2518 em Bài toán 5: Ch S = + 32 + 33 + …+ 3100 a/ Chøng minh r»ng S chia hÕt cho
b/ Chøng minh r»ng 2S + lµ mét l thõa cđa c/ Tìm chữ số tận S
Lời gi¶i: Ta cã
a/ S = 3(1 + 3) + 33(1 + 3) + … 399(1 + 3) = 4(3 + 33 + 35 + …+ 399) VËy S chia hÕt cho
b/ Ta cã: 2S + = 3(3 - 1) + 32(3 - 1) + 33(3 - 1) + … + 3100(3 - 1) + = 32 - + 33 - 32 + 34 - 33 + … + 3101 - 3100 + = 3101 c/ Ta cã S = 3(1 + + 32 + 33) + 35(1 + + 32 + 33)+ …+ 397(1 + + 32 + 33)
= 40(1 + + 32 + 33) Suy S cã tËn cïng b»ng
Bài tốn 6: Tìm chữ số tự nhiên n để 3n + 29 chia hết cho n + Lời giải:
V× (3n + 29) (n + 3+ mà 3(n + 3) (n + 3) nên 20 9n + 3) n + 4; 5; 10; 20 n 1; 2; 7; 17
Bài toán 7: Tìm số tự nhiên a, b thảo mÃn a + b = 120 (a, b) = 15 Lời giải: Đặt a = 15x, b = 15y víi (x, y) = V× a + b = 120 nªn x + y = Suy x, y1;7 ; 3;5 ; 5;3 ; 7;1 ; VËy:
(23)so sánh phân số
A/ Mơc tiªu:
- Học sinh nắm vững định nghĩa tính chất ớc chung, ƯCLN, bội chung, BCNN vào giải tập
- VËn dông thành thạo tính chất chia hết vào tập
- Rốn luyn cho hc sinh thói quen tự đọc sách, t lơ gic óc phân tích tổng hợp
B/ Chn bÞ:
Nội dung chuyên đề, kiến thức cần sử dụng tập tự luyện C/ Nội dung chuyờn .
I/ Kiến thức bản.
CÁCH 1: Quy đồng mẫu dương so sánh tử :tử lớn phân số
đó lớn hơn
Ví dụ : So sánh
11 17
&
12 18
? Ta vieát :
11 33 17 17 34
&
12 36 18 18 36
;
33 34 11 17
36 36 12 18
Vì
Chú ý :Phải viết phân số mẫu dương
CÁCH 2: Quy đồng tử dương so sánh mẫu có dấu “+” hay cùng dấu “-“: mẫu nhỏ phân số lớn
Ví dụ :
2
5 4;
5 4vì
3
7 5vì
Ví dụ 2: So sánh
2
&
5 7?
Ta coù :
2 10 10
&
525 24;
10 10
25 24
Vì
Ví dụ 3: So saùnh
3
&
4
? Ta coù :
3 6
&
4 7
;
6 6
8 7
Vì
(24)CÁCH 3: (Tích chéo với mẫu b d dương ) +Nếu a.d>b.c
a c
b d + Nếu a.d<b.c
a c
b d ; + Nếu a.d=b.c thì
a c
b d
Ví dụ 1:
5
5.8 7.6
6 8vì
Ví dụ 2:
4
4.8 4.5
5 vì
Ví dụ 3: So sánh
3
& ?
4
Ta vieát
3 4
&
4 5
; Vì tích chéo –
3.5 > -4.4 neân
3
4
Chú ý : Phải viết mẫu phân số mẫu dương
vì chẳng hạn
3
4
3.5 < -4.(-4) laø sai
CÁCH 4: Dùng số phân số làm trung gian
1) Dùng số làm trung gian: a) Neáu 1&1
a c a c
b d b d
b) Neáu 1;
a c
M N
b d mà M > N
a c
b d
M,N phần thừa so với phân số cho
Phân số có phần thừa lớn phân số lớn
c) Neáu 1;
a c
M N
b d maø M > N
a c
b d
M,N phần thiếu hay phần bù đến đơn vị phân số
đó
Phân số có phần bù lớn phân số nhỏ
Bài tập áp dụng :
Bài tập 1: So sánh
19 2005
& ?
18 2004
Ta coù :
19 2005
1&
18 18 2004 2004 ;
1 19 2005
18 2004 18 2004
Vì
Bài tập 2: So sánh
72 98
& ?
(25)Ta coù :
72 98
1&
73 73 99 99 ;
1 72 98
73 99 73 99
Vì
Bài tập 3 : So sánh
7 19
& ?
9 17 Ta coù
7 19 19
1
9 17 17
2) Dùng phân số làm trung gian:(Phân số có tử tử phân số thứ , có mẫu mẫu phân số thứ hai)
Ví dụ : Để so sánh
18 15
&
31 37ta xét phân số trung gian 18 37.
Vì
18 18 18 15 18 15
&
31 37 37 37 31 37
*Nhận xét : Trong hai phân số , phân số vừa có tử lớn , vừa có mẫu nhỏ phân số lớn (điều kiện tử mẫu đều dương).
*Tính bắc cầu : &
a c c m a m
thì
b d d n b n
Baøi tập áp dụng :
Bài tập 1: So sánh
72 58
& ?
73 99
-Xét phân số trung gian
72
99, ta thaáy
72 72 72 58 72 58
&
73 99 99 99 73 99
-Hoặc xét số trung gian
58
73, ta thaáy
72 58 58 58 72 58
&
7373 73 99 73 99
Bài tập 2: So sánh
*
1
& ;( )
3 n n n N n n
Dùng phân số trung gian
n n Ta có :
*
1
& ;( )
3 2
n n n n n n
n N
n n n n n n
Bài tập 3: (Tự giải) So sánh phân số sau: a)
12 13
& ?
49 47 e)
456 123 & ? 461 128 b) 64 73 & ?
85 81 f)
2003.2004 2004.2005
& ? 2003.2004 2004.2005 c) 19 17 & ?
31 35 g)
149 449 & ? 157 457 d) 67 73 & ?
77 83 h)
1999.2000 2000.2001
& ?
1999.2000 1 2000.2001 1
(26)3) Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian.
Ví dụ : So sánh
12 19
& ?
47 77
Ta thấy hai phân số cho xấp xỉ với phân số trung gian
1 4.
Ta coù :
12 12 19 19 12 19
&
47 484 7776 4 4777
Bài tập áp dụng :
Dùng phân số xấp xỉ làm phân số trung gian để so sánh :
11 16 58 36 12 19 18 26
) & ; ) & ; ) & ; ) &
32 49 89 53 37 54 53 78
13 34 25 74 58 36
) & ; ) & ; ) &
79 204 103 295 63 55
a b c d
e f h
CÁCH 5: Dùng tính chất sau với m0 :
*a a a m
b b b m
*
a a a m
b b b m
*a a a m
b b b m
*
a c a c
b d b d
Bài tập 1: So sánh
11 10 12 11
10 10
& ?
10 10
A B
Ta coù :
11 12
10
1
10
A
(vì tử < mẫu)
11 11 11 10
12 12 12 11
10 (10 1) 11 10 10 10
10 (10 1) 11 10 10 10
A B
Vaäy A < B
Bài tập 2: So sánh
2004 2005 2004 2005
& ?
2005 2006 2005 2006
M N
Ta coù :
2004 2004
2005 2005 2006
2005 2005
2006 2005 2006
Cộng theo vế ta có kết M > N
Bài tập 3:So sánh
37 3737
&
39 3939?
Giaûi:
37 3700 3700 37 3737
39 3900 3900 39 3939
(áp dụng
a c a c
b d b d
)
CÁCH 6: Đổi phân số lớn đơn vị hỗn số để so sánh :
(27)+ Nếu phần nguyên xét so sánh phân số kèm theo.
Bài tập 1:Sắp xếp phân số
134 55 77 116
; ; ;
43 21 19 37 theo thứ tự tăng dần.
Giải: đổi hỗn số :
5 13
3 ; ; ;3
43 21 19 37
Ta thaáy:
13 5
2 3
21 43 37 19 neân
55 134 116 77
21 43 37 19.
Bài tập 2: So sánh
8
8
10 10
& ?
10 10
A B
Giaûi: 8
3
1 &
10 10
A B
maø 8
3
10 1 10 3 A B
Bài tập 3: Sắp xếp phân số
47 17 27 37
; ; ;
223 98 148 183 theo thứ tự tăng dần.
Giải: Xét phân số nghịch đảo:
223 98 148 183
; ; ;
47 17 27 37 , đổi hỗn số :
35 13 13 35
4 ;5 ;5 ;
47 17 27 37
Ta thaáy:
13 13 35 35
5 4
17 27 37 47 ⇒
17 27 37 47
( )
98 148 183 223
a c b d
vì
b d a c
Baøi tập 4: So sánh phân số :
3535.232323 3535 2323
; ;
353535.2323 3534 2322
A B C
? Hướng dẫn giải: Rút gọn A=1 , đổi B;C hỗn số ⇒ A<B<C
Bài tập 5: So sánh
2
5 11.13 22.26 138 690
& ?
22.26 44.54 137 548
M N
Hướng dẫn giải:-Rút gọn
5 138
1 &
4 137 137
M N M N
( Chú ý: 690=138.5&548=137.4 )
Bài tập 6: (Tự giải) Sắp xếp phân số
63 158 43 58
; ; ;
31 51 21 41theo thứ tự
(28)PHẦN II: CÁC BAØI TẬP TỔNG HỢP Bài tập 1: So sánh phân số sau cách hợp lý:
7 210 11 13 31 313 53 531 25 25251
) & ; ) & ) & ) & ) &
8 243 15 17 41 413 57 571 26 26261
a b c d e
(Gợi ý: a) Quy đồng tử c) Xét phần bù , ý :
10 100 100
41 410 413
d)Chú ý:
53 530
57570 Xét phần bù đến đơn vị
e)Chú ý: phần bù đến đơn vị là:
1 1010 1010
26 26260 26261)
Bài tập 2: Không thực phép tính mẫu , dùng tính chất phân số để so sánh phân số sau:
244.395 151 423134.846267 423133
) &
244 395.243 423133.846267 423134
a A B
Hướng dẫn giải:Sử dụng tính chất a(b + c)= ab + ac +Viết 244.395=(243+1).395=243.395+395
+Vieát 423134.846267=(423133+1).846267=… +Kết A=B=1
53.71 18 54.107 53 135.269 133
) ; ; ?
71.52 53 53.107 54 134.269 135
b M N P
(Gợi ý: làm câu a ,kết M=N=1,P>1)
Bài tập 3: So sánh
3
3
33.10 3774
&
2 5.10 7000 5217
A B
Gợi ý: 7000=7.103 ,rút gọn
33 3774 :111 34
&
47 5217 :111 47
(29)Baøi tập 4: So sánh 4
4 6
5 & ?
7 7 7 7
A B
Gợi ý: Chỉ tính 4 4
3 153 329
&
7 7 7 7 7
Từ kết luận dễ dàng : A < B
Bài tập 5:So saùnh
1919.171717 18
&
191919.1717 19
M N
?
Gợi ý: 1919=19.101 & 191919=19.10101 ; Kết M>N
⇒ Mở rộng : 123123123=123.1001001 ;…
Bài tập 6: So sánh
17 1717
& ?
19 1919
Gợi ý: +Cách 1: Sử dụng
a c a c
b d b d
; chuù yù :
17 1700
19 1900
+Cách 2: Rút gọn phân số sau cho 101… Bài tập 7: Cho a,m,n N* Hãy so sánh :
10 10 11
& ?
m n m n
A B
a a a a
Giaûi:
10 10
&
m n n m n m
A B
a a a a a a
Muốn so sánh A & B ,ta so saùnh
1
n
a &
1
m
a cách xét trường
hợp sau:
a) Với a=1 am = an ⇒ A=B b) Với a0:
Nếu m= n am = an ⇒ A=B Nếu m< n am < an ⇒
1
m n
a a ⇒ A < B
Nếu m > n am > an ⇒
1
m n
a a ⇒ A >B
Bài tập 8: So sánh P Q, biết rằng:
31 32 33 60
& 1.3.5.7 59
2 2
P Q
?
30 30
31 32 33 60 31.32.33 60 (31.32.33.60).(1.2.3 30)
2 2 2 (1.2.3 30)
(1.3.5 59).(2.4.6 60) 1.3.5 59 2.4.6 60 P Q
Vậy P = Q
Bài tập 9: So saùnh
7.9 14.27 21.36 37
& ?
21.27 42.81 63.108 333
M N
Giải: Rút gọn
7.9 14.27 21.36 7.9.(1 2.3 3.4) 37 : 37
&
21.27 42.81 63.108 21.27.(1 2.3 3.4) 333 : 37
M N
(30)Bài tập 10: Sắp xếp phân soá
21 62 93
; &
49 97 140 theo thứ tự tăng dần ?
Gợi ý: Quy đồng tử so sánh
Bài tập 11: Tìm số nguyên x,y biết:
1
18 12
x y
? Gợi ý : Quy đồng mẫu , ta
2
36 36 36 36
x y
⇒
2 < 3x < 4y < Do x=y=1 hay x=1 ; y=2 hay x=y=2
Bài tập 12: So sánh
7
1
) & ; ) &
80 243 243
a A B b C D
Giải: Aùp dụng công thức:
&
n n
n m m n n x x x x y y
7 7 6
4 28 30 28 30
5 3
3 15 15
1 1 1 1 1
) & ;
80 81 3 243 3 3
3 243 5 125
) &
8 2 243 3
a A B Vì A B
b C D
Choïn 15
125
2 làm phân số trung gian ,so saùnh 15
125 > 15
125
3 ⇒ C > D.
Bài tập 13: Cho
1 99 100
&
2 100 101
M N
a)Chứng minh: M < N b) Tìm tích M.N c) Chứng minh:
1 10
M
Giải: Nhận xét M N có 45 thừa số a)Và
1 99 100
; ; ;
23 5 67 100 101 nên M < N
b) Tích M.N
1 101 c)Vì M.N 101
mà M < N nên ta suy : M.M <
1 101<
1 100
tức M.M <
1 10.
1
10 ⇒ M < 10
Bài tập 14: Cho tổng :
1 1
31 32 60
S
Chứng minh:
3
5S5
Giải: Tổng S có 30 số hạng , nhóm 10 số hạng làm thành nhóm Giữ nguyên tử , thay mẫu mẫu khác lớn giá trị phân số giảm Ngược lại , thay mẫu mẫu khác nhỏ giá trị phân số tăng lên
Ta coù :
1 1 1 1 1
31 32 40 41 42 50 51 52 60
S
(31)⇒ S30 301 301 40 401 401 50 501 501
hay
10 10 10 30 40 50
S
từc là:
47 48
60 60
S
Vậy
4
S (1) Mặt khác:
1 1 1 1 1
40 40 40 50 50 50 60 60 60
S
⇒ S 10 10 1040 50 60
tức :
37 36
60 60
S
Vaäy
3
S
(2) Từ (1) (2) suy :pcm
một số phơng pháp tính tổng
I > Phơng pháp dự đoán quy nạp :
Trong số trờng hợp gặp toán tính tổng hữu hạn Sn = a1 + a2 + an (1)
Bằng cách ta biết đợc kết (dự đoán , toán chứng minh cho biết kết quả) Thì ta nên sử dụng phơng pháp hầu nh chứng minh đợc
VÝ dô : TÝnh tæng Sn =1+3+5 + + (2n -1 ) Thö trùc tiÕp ta thÊy : S1 =
S2 = + =22
S3 = 1+ 3+ = = 32 Ta dù ®o¸n Sn = n2
Với n = 1;2;3 ta thấy kết
gi¶ sư víi n= k ( k 1) ta cã Sk = k 2 (2) ta cần phải chứng minh Sk + = ( k +1 ) 2 ( 3) ThËt vËy céng vÕ cđa ( 2) víi 2k +1 ta cã 1+3+5 + + (2k – 1) + ( 2k +1) = k2 + (2k +1)
vì k2 + ( 2k +1) = ( k +1) 2 nên ta có (3) tức Sk+1 = ( k +1) 2 theo nguyên lý quy nạp toán đợc chứng minh
vËy Sn = 1+3=5 + + ( 2n -1) = n2
T¬ng tù ta chứng minh kết sau phơng pháp quy nạp toán học
1, + 2+3 + + n = n(n+1)
2
2, 12 + 2 2 + + n 2 = n(n+1)(2n+1)
6
3, 13+23 + + n3 =
[n(n+1)
2 ]
2
4, 15 + 25 + + n5 =
(32)II > Ph ơng pháp khử liên tiếp :
Giả sử ta cần tính tổng (1) mà ta có thĨ biĨu diƠn , i = 1,2,3 ,n , qua hiệu hai số hạng liên tiếp dÃy số khác , xác , giả sử : a1 = b1 - b2
a2 = b2 - b3
an = bn – bn+ ta có :
Sn = ( b1 – b2 ) + ( b2 – b3 ) + + ( bn – bn + ) = b1 – bn +
VÝ dô : tÝnh tæng : S = 10 111 +
11.12+
12 13 + + 99 100
Ta cã :
10 11= 10−
1
11 , 11.12=
1 11 −
1
12 , 99 100=
1 99 −
1 100
Do : S =
10 − 11+ 11 −
12+ .+ 99 − 100= 10 100= 100 Dạng tổng quát
Sn = 1 21 +
2 3+ .+
n(n+1) ( n > ) = 1-
n+1=
n n+1 VÝ dơ : tÝnh tỉng
Sn =
1 3+ 4+
1
3 5+ +
1 n(n+1)(n+2) Ta cã Sn = 12(1 21 −2 31 )+1
2( 3−
1
3 4)+ + 2(
1 n(n+1)−
1
(n+1)(n+2)) Sn =
2( 1 2−
1 3+
1 3−
1
3 4+ + n(n+1)−
1
(n+1)(n+2)) Sn =
2( 1 2−
1
(n+1)(n+2))=
n(n+3)
4(n+1)(n+2) VÝ dơ : tÝnh tỉng
Sn = 1! +2.2 ! + 3.3 ! + + n n! ( n! = 1.2.3 n ) Ta cã : 1! = 2! -1!
2.2! = ! -2! 3.3! = 4! -3!
n.n! = (n + 1) –n!
VËy Sn = 2! - 1! +3! – ! + 4! - 3! + + ( n+1) ! – n! = ( n+1) ! - 1! = ( n+ 1) ! -
VÝ dơ : tÝnh tỉng
Sn =
1 2¿2 ¿
2 3¿2 ¿ ¿ ¿
3
(33)Ta cã :
i+1¿2 ¿ ¿
2i+1
[i(i+1)]2=
1 i2−
1
¿
i = ; ; 3; ; n
Do Sn = ( 1-
n+1¿2
(¿¿)
1 n2−
1
¿
1 22¿+(
1 22−
1
32)+ +¿
= 1-
n+1¿2 ¿
n+1¿2 ¿ ¿
1
¿
III > Ph ơng pháp giải ph ơng trình với ẩn tổng cÇn tÝnh:
VÝ dơ : TÝnh tỉng
S = 1+2+22 + + 2100 ( 4) ta viÕt l¹i S nh sau :
S = 1+2 (1+2+22 + + 299 )
S = 1+2 ( +2+22+ + 299 + 2 100 - 2100 ) => S= 1+2 ( S -2 100 ) ( 5)
Tõ (5) suy S = 1+ 2S -2101
S = 2101-1 VÝ dơ : tÝnh tỉng
Sn = 1+ p + p 2 + p3 + + pn ( p 1) Ta viÕt l¹i Sn díi d¹ng sau :
Sn = 1+p ( 1+p+p2 + + pn-1 )
Sn = + p ( 1+p +p2 + + p n-1 + p n –p n )
Sn = 1+p ( Sn –pn )
Sn = +p.Sn –p n+1
Sn ( p -1 ) = pn+1 -1
Sn = Pn+1−1
p −1
VÝ dô : TÝnh tæng
Sn = 1+ 2p +3p 2 + + ( n+1 ) pn , ( p 1) Ta cã : p.Sn = p + 2p + 3p3 + + ( n+ 1) p n +1
= 2p –p +3p 2 –p2 + 4p3–p3 + + (n+1) pn - pn + (n+1)pn –pn + ( n+1) pn+1
= ( 2p + 3p2 +4p3 + +(n+1) pn ) – ( p +p + p + pn ) + ( n+1) pn+1
= ( 1+ 2p+ 3p2+4p3+ + ( n+1) pn ) – ( + p+ p2 + + p n) + ( n +1 ) pn+1
p.Sn=Sn- P n+1
−1
P −1 +(n+1)P
n+1 ( theo VD )
L¹i cã (p-1)Sn = (n+1)pn+1 - p n+1
(34) Sn =
P −1¿2 ¿
(n+1)Pn+1
p −1 − pn+1
−1
¿
IV > Ph ơng pháp tính qua tổng biết
C¸c kÝ hiƯu : ∑ i=1
n
ai=a1+a2+a3+ .+an
C¸c tÝnh chÊt : 1, ∑
i=1
n
(ai+bi)=∑ i=1
n
ai+∑ i=1
n
bi
2, ∑ i=1
n
a.ai=a∑ i=1
n
ai
VÝ dơ : TÝnh tỉng :
Sn= 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n( n+1) Ta cã : Sn = ∑
i=1
n
i(i+1)=∑ i=1
n
(i2+i)=∑ i=1
n
i2+∑ i=1
n
i
V× :
∑
i=1
n
i=1+2+3+ +n=n(n+1)
2 ∑
i=1
n
i2=n(n+1)(2n+1)
6
(Theo I )
cho nªn : Sn = n(n+1)
2 +
n(n+1)(2n+1)
6 =
n(n+1)(n+2)
3
VÝ dô 10 : TÝnh tæng :
Sn =1.2+2.5+3.8+ +n(3n-1) ta cã : Sn = ∑
i=1
n
i(3i−1)=∑ i=1
n
(3i2− i) = 3∑
i=1
n
i2−∑
i==
n
i
Theo (I) ta cã : Sn = 3n(n+1)(2n+1)
6 −
n(n+1)
2 =n
2
(n+1) VÝ dơ 11 TÝnh tỉng
Sn = 13+ +23 +53 + + (2n +1 )3 ta cã :
Sn = [( 13 +2 3 +33 +43 + +(2n+1)3 ] –[23+43 +63 + +(2n)3] = [13+23 +33 +43 + + (2n +1 )3] -8 (13 +23 +33 +43 + + n3 )
Sn =
2n+2¿2 ¿
n+1¿2 ¿
8n2¿
2n+1¿2¿ ¿ ¿
( theo (I) – )
=( n+1) 2(2n+1) 2 – 2n2 (n+1)2 = (n +1 )2 (2n2 +4n +1)
V/ Vận dụng trực tiếp cơng thức tính tổng số hạng dãy số cách ( Học sinh lớp )
(35)+ để đếm số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp dãy cách số đơn vị , ta dùng công thức:
Sè sè h¹ng = ( sè cuèi – sè đầu : ( khoảng cách ) +
+ Để tính tổng số hạng dãy số mà số hạng liên tiếp cách số đơn vị , ta dùng công thức:
Tổng = ( số đầu số cuối ) ( sè sè h¹ng ) :2 VÝ dơ 12 :
TÝnh tæng A = 19 +20 +21 + + 132
Số số hạng A : ( 132 – 19 ) : +1 = 114 ( sè h¹ng )m A = 114 ( 132 +19 ) : = 8607
VÝ dô 13 : TÝnh tæng
B = +5 +9 + + 2005 +2009
sè sè h¹ng cđa B lµ ( 2009 – ) : + = 503 B = ( 2009 +1 ) 503 :2 = 505515
VI / Vân dụng số cơng thức chứng minh đợc vào làm tốn
Ví dụ 14 : Chứng minh : k ( k+1) (k+20 -9k-1)k(k+1) = 3k ( k +1 ) Từ tính tổng S = 2+2.3 + 3.4 + + n (n + 1)
Chøng minh : c¸ch : VT = k(k+1)(k+2) –(k-1) k(k+1) = k( k+1) [(k+2)−(k −1)]
= k (k+1) = 3k(k+1)
C¸ch : Ta cã k ( k +1) = k(k+1) (k+2)−(k −1)
3
= k(k+1)(k+2)
3 −
k(k+1)(k −1)
3 *
3k ( k-1) = k (k+1)(k+2) – (k-1) k(k+1) => 1.2 =
1.2.3 0.1.2
3
2.3.4 1.2.3 2.3
3
( 1)( 2) ( 1) ( 1)
( 1)
3
n n n n n n
n n
S =
1.2.0 ( 2) ( 1) ( 1) ( 2)
3 3
n n n n n n
VÝ dô 15 : Chøng minh r»ng :
k (k+1) (k+2) (k+3) – (k-1) k(k+1) (k+2) =4k (k+1) (k+2) từ tính tổng S = 1.2 + 2.3 +3.4.5 + + n(n+1) (n+2)
Chøng minh : VT = k( k+1) (k+2) [(k+3)−(k −1)] = k( k+1) ( k +2 )
Rót : k(k+1) (k+2) = k(k+1)(k+2)(k+3)
4 −
(k −1)k(k+1)(k+2)
4
¸p dơng : 1.2.3 =
4 −
0
2.3.4 =
4 −
1 4
n(n+1) (n+2) = n(n+1)(n+2)(n+3)
4 −
(n −1)n(n+1)(n+2)
4
Cộng vế với vế ta đợc S = n(n+1)(n+2)(n+3)
(36)* Bài tập đề nghị :
TÝnh c¸c tỉng sau
1, B = 2+ +10 + 14 + + 202 2, a, A = 1+2 +22 +23 + + 26.2 + 2 b, S = + 52 + 53 + + 5 99 + 5100 c, C = + 10 + 13 + + 76
3, D = 49 +64 + 81+ + 169
4, S = 1.4 + + 3.6 + 4.7 + + n( n +3 ) , n = 1,2,3 , 5, S =
1 2+ 3+
1
3 4+ .+ 99 100
6, S =
5 7+
7 9+ + 59 61
7, A =
11.16+ 16 21+
5
21 26+ + 61 66
8, M =
30+ 31+
1
32+ .+ 32005
9, Sn =
1 +
2 4+ +
1 n(n+1)(n+2) 10, Sn =
1 3+
2 4+ + 98 99 100
11, Sn =
1 4+
2 5+ .+
1
n(n+1)(n+2)(n+3) 12, M = + 99 + 999 + + 99
50 ch÷ sè 13, Cho: S1 = 1+2 S3 = 6+7+8+9
S2 = 3+4+5 S4 = 10 +11 +12 +13 + 14 TÝnh S100 =?
Trong trình bồi dỡng học sinh giỏi , tơi kết hợp dạng tốn có liên quan đến dạng tính tổng để rèn luyện cho em , chẳng hạn dạng tốn tìm x : 14, a, (x+1) + (x+2) + (x+3) + + ( x+100 ) = 5070
b, + + + + + x = 820 c, +
3+ 6+
1
10+ .+ x(x+1)=1
1989 1991
Hay toán chứng minh chia hết liên quan
(37)ôn tập
Bài 1. Tính giá trị biểu thức
a)
5 7 19 : 15 :
8 12 12 b)
2
:
5 3 15 5 c)
1 1 11
3 2,5 :
3 31
d)
1
6 :
2 12
e)
18 19 23
3724 37 24 3 f)
3 0,25 : 21 11
4
g)
2 3
2
5 (4,5 2)
5 ( 4)
h)
4 19 39
9 3 3 i)
2
1 1
:
2
j) 125%
: 1,5 2008
2 16
k)
(−2)3⋅−1
24
+
4 5 : 12
l)
3 12 27 41 47 53 16 36 41 47 53
+
m)
1 1
3 :
3
n)
4 4
2.4 4.6 6.8 2008.2010
F
p)
1 1
18 54 108 990
F
(38)a)
1
2 2x 3 b)
:
33 x c)
1
( 1) 3x5 x d) (2x 3)(6 )x 0
e)
3 :
4
x
f)
2
2
3 x
g)
1
2 x 4 h)
3
2 2 x i)
1
0,6 ( 1)
2
x
j)
1
3
2
x x
k)
1
: 43 x l) 25 x
m)
3
1
3
2
x
n)60%x+
2 3x=
1 3 p)
1
5( ) ( )
5
x x x
q)
1
3( ) 5( )
2 5
x x x
Bài 3. Tìm x nguyên để phân số sau số nguyên a)
3
x
b)
4 2x
c)
3 x x d) x x
Bài 4. Bạn Nam đọc sách dầy 200 trang ngày Ngày thứ bạn đọc
đợc
5 số trang sách Ngày thứ hai bạn đọc đợc
4 số trang lại Hỏi: a) Mỗi ngày bạn Nam đọc đợc trang sách?
b) Tính tỉ số số trang sách ngày vµ ngµy
c) Ngày bạn đọc đợc số trang chiếm % số trang sách
Bµi Mét líp cã 45 häc sinh gồm loại học lực: giỏi, khá, trung bình Số häc sinh
trung b×nh chiÕm
9 sè học sinh lớp, số học sinh 60% số học sinh
lại
a) Tính số học sinh loại b)Tính tỉ số số học sinh giỏi học sinh trung bình
(39)Bài 6. Bạn Nga đọc sách ngày Ngày bạn đọc đợc
5 sè trang s¸ch
Ngày bạn đọc đợc
3 số trang sách lại Ngày bạn đọc nốt 200 trang. a) Cuốn sách dầy trang?
b) Tính số trang sách bạn Nga đọc đợc ngày 1; ngày
c) Tính tỉ số số trang sách mà bạn Nga đọc đợc ngày ngày d) Ngày bạn đọc đợc số trang sách chiếm % ca cun sỏch?
Bài 7. Một cửa hàng bán gạo bán hết số gạo ngày Ngày thứ bán
c
7 s gạo cửa hàng Ngày thứ hai bán đợc 26 Ngày thứ ba bán đợc số gạo 25% số gạo bán đợc ngày
a) Ban đầu cửa hàng có gạo?
b) Tính số gạo mà cửa hàng bán đợc ngày 1; ngày
c) Tính tỉ số số gạo cửa hàng bán đợc ngày ngày
d) Số gạo cửa hàng bán đợc ngày chiếm % số gạo ca hng?
Bài 8. Một bà bán cam bán lần đầu hết
1
3 Lần thứ hai bán
3 cũn li Lần bán đợc 29 cam vừa hết số cam Hỏi ban đầu bà có cam?
Bµi Chøng minh phân số sau phân số tối giản:
12 14 17
) )
30 21 25
n n
a A b B
n n
Bài 10 Tìm x nguyên để biểu thức sau đạt giá trị nhỏ nhất:
a)
2
1 2008
A x
b) B x 1996 c)
5
C x
d)
5
x D
x
Bài 11 Tìm x nguyên để biểu thức sau đạt giá trị lớn
a)
2008
2010
P x
b) Q1010 3 x c)
2
5
C x
d)
2
D x
Bµi 12 Chøng minh r»ng:
a) 2 2
1 1
1
2 100
A
b)
1 1
1
2 63
(40)c)
1 9999
2 10000 100
C
Bµi 13 TÝnh tỉng
2 2008
2009
1 2 2
S