minh r»ng diÖn tÝch hai tam gi¸c ADE vµ ABC b»ng nhau. Trªn tia AB lÊy mét ®iÓm C n»m ngoµi ®êng trßn. Qua M kÎ hai tiÕp tuyÕn MA, MB. Gäi I lµ trung ®iÓm cña MA vµ K lµ giao ®iÓm cña BI[r]
(1)Chøng minh tø gi¸c néi tiÕp
Bài Hai đờng tròn (O1) (O2) cắt hai điểm A
B Gäi EF lµ tiếp tuyến chung chúng AB cắt EF t¹i I
a) Chứng minh hai tam giác IEA IBE đồng dạng b) Chứng minh I trung điểm EF
c) Gọi C điểm đối xứng B qua I Chứng minh tứ giác AECF nội tiếp đợc
Bài Cho nửa đờng tròn đờng kính AB đờng thẳng d vng góc với AB H, M điểm di động nửa đ-ờng tròn Đđ-ờng thẳng d giao với MA, MB lần lợt C, D a) Chứng minh HC.HD = HA.HB
b) Gọi B’ điểm đối xứng B qua H Chứng minh tứ giác ACDB’ nội tiếp
c) Khi M di động đờng tròn (O) tâm I đờng tròn ngoại tiếp tam giác ADC chạy đờng nào?
Bài Cho đờng trịn tâm O điểm C ngồi đờng tròn Từ C kẻ hai tiếp tuyến CE, CF, cát tuyến CMN tới đ-ờng tròn Đđ-ờng thẳng nối C với O cắt đđ-ờng tròn hai điểm A B Gọi I giao AB với EF Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm O, I, M, N thuộc đờng tròn b) AIM = BIN
Bài Cho tam giác ABC với đờng cao AH Gọi E, F theo thứ tự điểm đối xứng H qua cạnh AB, AC Giao EF với AB, AC theo thứ tự K, I Chứng minh rằng:
a) C¸c tø gi¸c AEHI, AFHK néi tiÕp
b) BI CK đờng cao tam giác ABC
Bài Cho hai đờng tròn (O), (O1) cắt A, B Các tip
tuyến A (O), (O1) cắt (O1), (O) lần lợt điểm E,
F Gi I tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác EAF
a) Chứng minh tứ giác OAO1I hình bình hµnh vµ OO1//BI
b) Chứng minh bốn điểm O, B, I, O1 thuộc đờng
trßn
c) Kéo dài AB phía B đoạn CB = AB Chøng minh tø gi¸c AECF néi tiÕp
Bài Cho đờng tròn (O) hai tiếp tuyến SA, SB đờng tròn Kẻ dây cung BC Đờng kính vng góc với dây AC cắt BC I Chứng minh:
a) Bốn điểm S, A, I, B nằm đờng tròn b) Tứ giác SAOI nội tiếp
c) SI //AC
Bài Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Tia phân giác góc BAC cắt BC I, cắt đờng trịn (O) P Kẻ đờng kính PQ Các tia phân giác góc ABC ACB cắt AQ theo thứ tự E, F Chứng minh:
a) PC2 = PI.PA.
b) Bốn điểm B, C, E, F thuộc đờng tròn
Chứng minh đờng thẳng tiếp tuyến đờng tròn
Bài Cho nửa đờng trịn tâm O đờng kính AB hai tiếp tuyến Ax, By Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn C (C khác A, B) cắt Ax, By lần lợt E, F Chứng minh rằng:
a) EO vu«ng gãc víi OF
b) Tam giác EOF đồng dạng vi tam giỏc ACB
c) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác EOF tiếp xúc với AB
Bài Cho tam giác cân ABC (CA = CB), I trung điểm của AB Đờng tròn (O) tiếp xúc với AB A cắt CI H C a) Chứng minh H trực tâm tam giác ABC
b) Gọi B’ điểm đối xứng với B qua AC Chứng minh B’ thuộc đờng tròn (O)
c) Chứng minh điều ngợc lại H trực tâm tam giác cân ABC đờng tròn ngoại tiếp tam giác AHC tiếp xúc với AB
Bài 10 Cho nửa đờng trịn đờng kính AB C, D hai điểm AC AD cắt tiếp tuyến Bx nửa đờng tròn lần lợt E, F
a) Chøng minh ABD = AFB, ABC = AEB b) Chøng minh tø gi¸c CDFE néi tiÕp
c) Gọi I trung điểm FB, chứng minh DI tiếp tuyến na ng trũn
d) Giả sử CD cắt Bx G, phân giác góc CGE cắt AE, AF lần lợt N, M Chứng minh tam giác AMN c©n
(2)Bài 11 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn (O) E là điểm cung AB Hai dây EC, ED cắt AB theo thứ tự P, Q Các dây AD EC kéo dài cắt I Các dây BC ED kéo dài cắt K Chứng minh rằng:
a) Tø gi¸c CDIK néi tiÕp b) Tø gi¸c CDQP néi tiÕp c) IK // AB
d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AQD tiếp xúc với EA A Chứng minh hai đờng thẳng song song vng góc Bài 13 Tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O) Các đờng phân giác góc B, C lần lợt cắt đờng trịn E, F Dây cung EF cắt AC, AB lần lợt H, I K giao điểm CF BE
a) Chứng minh tam giác FKB EAK c©n
b) Chứng minh tứ giác FIKB nội tiếp Từ suy IK // AC c) Có nhận xét tứ giác AIKH?
Bài 14 Trong đờng tròn (O) cho hai dây AC BD vng góc với I Chứng minh rằng:
a) Khoảng cách từ O tới AB nửa độ di CD
b) Đờng thẳng qua I trung điểm BC vuông góc với AD
Bi 15 Cho đờng trịn đờng kính BC Một điểm P ngồi đ-ờng trịn có hình chiếu BC điểm A ngồi đđ-ờng trịn Giao PB, PC với đờng tròn lần lợt M, N Giao AN với đờng tròn E Chứng minh rằng:
a) Bốn điểm A, B, N, P nằm đờng trịn b) EM vng góc với BC
Bài 16 Tứ giác ABCD nội tiếp đờng trịn (O) có hai đ-ờng chéo AC BD vng góc với I Gọi E, F, G, H lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD, DA Chng minh:
a) EFGH hình chữ nhật b) GIEO hình bình hành
c) Hình chiếu I cạnh trung điểm cạnh tứ giác ABCD nằm đờng trịn
Bài 17 Tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đ-ờng trịn (O), ACB = 450 Các đờng cao AA’, BB’
của tam giác cắt H cắt đờng tròn lần lợt P, Q Hai đờng thẳng AQ BP giao S
a) Chứng minh PQ đờng kính đờng trịn (O) b) Chứng minh ACBS hình bình hành
c) Chứng minh tam giác ASH APQ
d) Nếu tam giác ABC có góc B tù kết cịn khơng? Chứng minh điều
Bài 18 Cho tam giác ABC, có góc A nhọn, nội tiếp đờng trịn tâm O, bán kính R Hai đờng cao BI CJ lần lợt cắt đờng tròn I’,J’
a) Chøng minh IJ // I’J’ b) Chøng minh OA IJ
c) Cho B, C cố định, A di chuyển cung lớn BC đờng tròn (O) Chứng minh bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác AIJ khơng đổi
Chứng minh ba điểm thẳng hàng.
Bi 19 Cho hình thang ABCD (AD đáy lớn, BC đáy nhỏ) nội tiếp đờng tròn tâm O Các cạnh bên AB CD cắt E; tiếp tuyến B D đờng tròn (O) cắt F K giao điểm BF ED
a) Chøng minh r»ng tø gi¸c BEFD néi tiÕp b) Chøng minh EF // BC
c) Khi tứ giác AEFD hình bình hành Khi chứng minh EC.EK = ED.CK
d) Vẽ hình bình hành BDFP Đờng trịn ngoại tiếp tam giác BFP cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai Q Chứng minh D, P, Q thẳng hàng
Bài 20 Cho tam giác ABC nội tiếp đờng tròn (O), với trực tâm H Kéo dài AH cắt đờng trịn E Kẻ đờng kính AOF a) Chứng minh tứ giác BCFE hình thang cân
b) Chøng minh BAE = CAF
c) Gọi I trung điểm BC Chứng minh H, I, F thẳng hàng Chứng minh ba đờng thẳng đồng quy
Bài 21 Hai đờng tròn (O), (O’) cắt A B Đờng thẳng vng góc với AB B cắt đờng tròn (O) (O’) lần lợt C, D Các đờng thẳng CA, DA cắt (O’), (O) theo thứ tự E, F Chứng minh
a) Tø giác CFED nội tiếp b) AB phân giác góc FBE
(3)Bài 22 Cho hai đờng trịn (O;R) (O’;R’) tiếp xúc ngồi tại A (R > R’) Đờng nối tâm OO’ cắt đờng tròn (O) (O’) theo thứ tự B C (B C khác A) EF dây cung đờng trịn (O) vng góc với BC trung điểm I BC, EC cắt đ-ờng tròn (O’) D
a) Tứ giác BECF hình gì?
b) Chứng minh ba điểm A, D, F thẳng hàng
c) CF cắt đờng tròn (O’) G Chứng minh ba đờng EG, DF CI đồng quy
d) Chứng minh ID tiếp xúc với đờng tròn (O’) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn
Bài 23 Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C Vẽ hai nửa đờng trịn đờng kính AB BC (về phía so với AC) Trên đờng thẳng vng góc với AC B lấy điểm D cho ADC = 900 Giao DA, DC với hai nửa đờng tròn E, F.
Chøng minh r»ng:
a) EF tiếp tuyến chung hai nửa đờng tròn b) Tứ giác AEFC nội tiếp đợc
Bài 24 Hai đờng tròn (O; R) (O’;R’) cắt A, B Đ-ờng thẳng AO cắt (O), (O’) lần lợt C, E; đĐ-ờng thẳng AO’ cắt (O), (O’) lần lợt D, F Chứng minh rằng:
a) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc b) Tứ giác ODEO’ nội tiếp đợc
c) A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE
d) Nếu DE tiếp tuyến chung hai đờng trịn AB=R=R’
Cho trớc hai đờng tròn tiếp xúc nhau
Bài 25 Hai đờng tròn (O1) (O2) tiếp xúc A Một
đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C Tiếp
tuyến A với hai đờng tròn (O1), (O2) cắt BC I
a) Chøng minh tam gi¸c ABC vu«ng b) Chøng minh O1IO2 = 900
c) Các tia BA CA cắt (O2) (O1) lần lợt D, E Chứng
minh rng din tớch hai tam giác ADE ABC Chứng minh điểm cố định
Bài 26.Cho đờng tròn (O) dây cung AB Trên tia AB lấy điểm C nằm ngồi đờng trịn Từ điểm P
cung lớn AB kẻ đờng kính PQ, cắt dây AB D Tia CP cắt đ-ờng tròn điểm thứ hai I Các dây AB QI cắt K a) Chứng minh tứ giác PDKI nội tiếp đợc
b) Chøng minh CI.CP = CK.CD
c) Chứng minh IC tia phân giác góc ngồi đỉnh I tam giác AIB
d) Cố định A, B, C Chứng minh đờng tròn (O) thay đổi nhng qua A, B đờng thẳng QI qua điểm cố định
Bài 27 Cho đờng trịn (O) bán kính R đờng thẳng d cắt (O) C, D Một điểm M di động d cho MC > MD ngồi đờng trịn (O) Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB Gọi H trung điểm CD giao AB với MO, OH lần lợt E, F Chứng minh rằng:
a) OE.OM = R2.
b) Tø gi¸c MEHF néi tiÕp
c) Đờng thẳng AB qua điểm cố định
Xác định vị trí đặc biệt để có hình đặc biệt.
Bài 28 Từ điểm M nằm đờng tròn (O) kẻ tiếp tuyến MA, MB với đờng tròn Gọi I trung điểm MA K giao điểm BI với đờng tròn Tia MK cắt đờng tròn (O) C
a) Chứng minh tam giác MIK BIM đồng dạng b) Chứng minh BC song song với MA
c) Gäi H trực tâm tam giác MAB Chứng minh khoảng cách HA không phụ thuộc vị trí M
d) Xác định vị trí điểm M để tứ giác AMBC hình bình hành
Bài 29 Trong đờng tròn (O) nội tiếp tam giác ABC với trực tâm H, M điểm cung BC khơng chứa A a) Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành b) Gọi điểm đối xứng M qua AB, AC lần lợt N, E Chứng minh tứ giác AHBN, AHCE nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba điểm N, H, E thẳng hàng Quỹ tÝch
(4)a) Chøng minh r»ng c¸c tø gi¸c BCQP, OBCI néi tiÕp
b) Gọi E, F lần lợt trung điểm AP, AQ, K trung điểm EF Khi đờng thẳng d quay quanh A K chuyển động đờng nào?
c) Tìm vị trí d để tam giác PQB có chu vi lớn Chứng minh quan hệ đại lợng
Bài 31 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, với trực tâm H Vẽ hình bình hành BHCD Đờng thẳng qua D song song với BC cắt đờng thẳng AH E
a) Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đờng tròn
b) Gọi O tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC, chứng minh BAE = OAC BE = CD
c) Gọi M trung điểm BC, đờng thẳng AM cắt OH G Chứng minh G trọng tâm tam giác ABC
Bài 32 Cho dây cung BC cố định đờng tròn (O;R) Điểm A chuyển động cung lớn BC ( A khác B, C) Hai đờng cao AE, BF tam giác ABC cắt H
a) Chøng minh r»ng CE.CB = CF.CA
b) Đờng thẳng AE cắt đờng tròn (O) H’ Chứng minh H H’ đối xứng qua BC
c) Gọi hình chiếu O BC lµ I Chøng minh tØ sè AH
OI
không đổi
d) Chứng minh H chạy cung tròn cố định
Bài 33 Hai đờng tròn (O;R) (O’;R) cắt A B Đ-ờng vng góc với AB B cắt đĐ-ờng tròn (O) (O’) lần lợt C D Một đờng thẳng d qua B cắt (O) (O’) lần lợt E F
a) Chøng minh tam giác ACD cân b) Chứng minh AE = AF
c) Gọi K giao CE DF Chứng minh tứ giác AEKF nội tiếp đợc
d) Khi d quay quanh B trung điểm I EF chuyển động đờng nào?
Bài 34 Cho đờng trịn (O) bán kính R dây cung AB = R √2 , C điểm thay đổi cung lớn AB Gọi H trực tâm tam giác ABC Các đờng thẳng AH, BH cắt đờng tròn (O) lần lợt M, N Giao AN với BM P
a) Chứng minh MN đờng kính đờng trịn (O) b) Chứng minh CO // PH
c) Gäi L lµ giao cđa AB víi MN Chøng minh r»ng:
CHP = ALM hiệu AOM - ALM không phụ thuộc vào vị trÝ cña C
Bài 35 Tam giác ABC nội tiếp đờng trịn (O) có AC > AB Gọi D điểm cung nhỏ BC, P giao điểm AB CD Tiếp tuyến đờng tròn C cắt tiếp tuyến đờng tròn D cắt AD lần lợt E, Q
a) Chøng minh DE // BC
b) Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp đợc c) Chứng minh DE // PQ
d) Chøng minh r»ng nÕu F lµ giao điểm AD BC
1 CE=
1 CQ +
1 CF
Bài 36 Cho đờng trịn đờng kính AB điểm C AB. Trên đờng tròn lấy điểm D I điểm cung nhỏ DB, IC cắt đờng tròn E, DE cắt AI K
a) Chøng minh tø gi¸c AKCE néi tiÕp b) Chứng minh CK vuông góc với AD
c) Kẻ Cx // AD cắt DE F Chứng minh tứ gi¸c CBEF néi tiÕp
d) Chøng minh CF = CB Toán cực trị
Bi 37 Xột tam giỏc ABC có góc B, C nhọn Các đờng trịn đờng kính AB AC cắt điểm thứ hai H Một đ-ờng thẳng d qua A lần lợt cắt hai đđ-ờng trịn nói M, N
a) Chøng minh H thuéc c¹nh BC b) Tứ giác BCNM hình gì?
c) Gi P,Q lần lợt trung điểm BC, MN Chứng minh bốn điểm A, H, P, Q thuộc đờng tròn
d) Xác định vị trí d để MN có độ dài lớn
Bài 38 Hai đờng tròn (O) (O’) cắt A B Một đ-ờng thẳng biến thiên qua A cắt (O) (O’) theo thứ tự C D Gọi P Q hình chiếu O O’ CD
a) Xác định vị trí CD để CD có độ dài lớn
(5)c) Khi CD quay quanh A trung điểm I PQ chuyển động đờng nào?
Bµi kiểm tra
Bài 39 Cho tam giác ABC (AC > AB, BAC > 900); I, K
theo thứ tự trung điểm AB, AC Các đờng trịn đờng kính AB, AC cắt điểm thứ hai D; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F
a) Chứng minh ba điểm B, C, D thẳng hàng b) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đợc
c) Chứng minh ba đờng thẳng AD, BF, CE đồng quy
d) Gọi H điểm thứ hai tia DF với đờng tròn ngoại tiếp tam giác AEF Hãy so sánh độ dài đoạn thẳng DH, DE Bài 40 Cho đờng tròn (O) bán kính R, dây AB cố định (AB < 2R) điểm M cung lớn AB (M khác A, B) Gọi I trung điểm dây AB (O’) đờng tròn qua M, tiếp xúc với AB A Đờng thẳng MI cắt (O), (O’) lần lợt giao điểm thứ hai N, P Chứng minh rằng: a) IA2 = IP.IM
b) Tứ giác ANBP hình bình hành