Đang tải... (xem toàn văn)
Tôi cũng đồng ý với các bạn như vậy, nhưng ở đây tôi chỉ lấy hai ví dụ đơn giản nhất để minh họa cho kĩ thuật phân tích này, còn ứng dụng thực sự của nó không phải là để giải các bài toá[r]
(1)Các bất đẳng thức bản I.1 Bất đẳng thức Cauchy
I.1.1 Các định lí hệ
Định lí (Bất đẳng thức AM-GM 1) Với số thực không âm a1, a2, , an
ta có bất đẳng thức
a1 +a2 +· · ·+an
n ≥
n
√
a1a2 an
Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an
Chứng minh (Dùng phương pháp quy nạp theo kiểu Cauchy)
Rõ ràng bất đẳng thức với n= 2, bất đẳng thức với n số với 2n số, bất đẳng thức n lũy thừa Ta phải chứng minh bđt với n số với n−1 số Thật vậy, đặt s = a1 +a2 +· · ·+an−1 chọn an = s/(n−1), suy
s+ s
n−1 ≥ n
n
r
a1a2 an−1s
n−1
⇒ s ≥(n−1) n−√1 a
1a2 an−1
Vậy bđt chứng minh Đẳng thức xảy a1 = a2 = · · · = an
Hệ Với số thực dương a1, a2, , an ta có
1
a1 +
a2
+· · ·+
an
≥ n
2
a1 +a2 + · · ·+an
(2)I.1.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có
1 a + b + c ≥
a+b+ c
Ví dụ (Bất đẳng thức Nesbitt với số) Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có
a b+c +
b c+a +
c a+ b ≥
3
Chứng minh Có nhiều cách chứng minh cho bđt Sau xin nêu
số cách để bạn tham khảo
C1: Bất đẳng thức cho tương đương với a
b+c + + b
c+a + + c
a+b + ≥
9
⇔
b+c +
1
c+a +
1
a+b ≥
9 2(a+b+ c)
Áp dụng hệ bất đẳng thức AM-GM ta có đpcm Đẳng thức xảy a = b= c
C2: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwars(xem thêm mục I.2) ta có V T = a
2
a(b+c) +
b2
b(c+a) +
c2
c(a+b) ≥
(a+ b+c)2 2(ab+bc+ca) ≥
3
C3: Xét biểu thức sau
S = a
b+c + b c+a +
c a+b M = b
b+c + c c+a +
a a+ b N = c
b+ c + a c+a +
b a+b
Ta có M + N = Mặt khác theo bất đẳng thức AM-GM M +S = a+b
b+c +
b+c c+a +
c+a a+b ≥ N +S = a+c
b+c +
b+ a c+a +
(3)Vậy M +N + 2S ≥3 suy 2S ≥ Đây điều phải chứng minh
C4: Dùng kỉ thuật phân tích bình phương(xem chương II Các kỉ thuật thường sử dụng chứng minh bất đẳng thức), ta biến đổi
V T −V P = (a−b)
2(a+c)(b+ c) +
(b−c)2
2(b+a)(c+ a) +
(c−a)2
2(c+b)(a+b) ≥
Đây đpcm Đẳng thức xảy a = b = c
Trong bốn cách chứng minh nêu cách thứ thứ hai cách chứng minh quen thuộc, cách thứ tư sử dụng kỉ thuật mạnh coi khó bạn chưa dùng kỉ thuật này, riêng cách thứ ba, theo tơi cách chứng minh độc đáo hay Các bạn thử áp dụng cách để chứng minh bất đẳng thức Nesbitt cho biến sau
Ví dụ (Bất đẳng thức Nesbitt với số) Chứng minh với số thực dương a, b, c, d ta có
a b+ c +
b c+d +
c d+ a +
d
a+b ≥
Sau số ví dụ khác xem tập để bạn thử sức
Ví dụ Chứng minh với số thực không âm a1, a2, , an số
nguyên dương k ta có bất đẳng thức sau
ak1 +ak2 +· · ·+akn
n ≥
a1 +a2 +· · ·+an
n
k
Ví dụ Chứng minh với a, b, c dương ta có bất đẳng thức
1
a(a+b) +
b(b+ c) +
c(c+a) ≥
27 2(a+b+c)2
Ví dụ Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn abcd = Chứng minh hai bất đẳng thức sau
a3 +b3 +c3 +d3 ≥a+b+c+d a3 +b3 + c3 +d3 ≥
a +
1
b +
1
c +
1
d
Ví dụ Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có bất đẳng thức sau
1
a3 +b3 +abc +
1
b3 +c3 +abc +
1
c3 +a3 +abc ≤
(4)Ví dụ Các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x2+y2 +z2 = Hãy chứng minh
xy z +
yz x +
zx y ≥
Ví dụ Các số thực dương x, y, z thỏa điều kiện x3+y3 +z3 = Hãy chứng minh
xy z +
yz x +
zx y ≥
Ví dụ 10 Chứng minh với số thực dương x, y, z ta có
x y +
y z +
z x ≥
x+y +z
3
√
xyz Ví dụ 11 Với x, y, z dương, chứng minh
x3 yz +
y3 zx +
z3
xy ≥ x+y +z Ví dụ 12 Chứng minh với x, y, z dương ta có
x2 +y2 +z2 ≥ √2x(y +z)
I.2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwars I.2.1 Các định lí hệ
Định lí Bất đẳng thức Cauchy-Schwars2
Với hai dãy số thực tùy ý a1, a2, , an b1, b2, , bn ta có bất đẳng thức
(a21 +a22 +· · ·+a2n)(b21 + b22 +· · ·+b2n) ≥(a1b1 +a2b2 +· · ·+anbn)2
Đẳng thức xảy (a1, a2, , an) (b1, b2, , bn) hai tỉ lệ,
tức tồn số thực k để = kbi ∀i = 1, n
Chứng minh Có nhiều cách để chứng minh bất đẳng thức trên, sau ba
cách chứng minh đơn giản Cách 1: Dùng tam thức bậc hai
Bất đẳng thức hiển nhiên a21 +a22 +· · ·+a2n = Khi a21 +a22 +· · ·+ a2n 6= 0, xét tam thức bậc hai sau
f(x) = (a1x−b1)2 + (a2x−b2)2 +· · ·+ (anx−bn)2
(5)Khai triển ta
f(x) = (a21+a22+· · ·+a2n)x2−2(a1b1+a2b2+· · ·+anbn)x+ (b21+b
2+· · ·+b
n)
Mặt khác f(x) ≥ ∀x ∈ R nên theo định lí dấu tam thức bậc hai ta có ∆0f ≤ Đây đpcm
Cách 2: Dùng đẳng thức sau
(a21+a22+· · ·+a2n)(b21+b22+· · ·+b2n)−(a1b1+a2b2+· · ·+anbn)2 =
1
n X
i,j=1
(aibj−ajbi)2
Cách 3: Dùng bất đẳng thức AM-GM (các bạn tự chứng minh)
Hệ Với hai dãy số a1, a2, , an b1, b2, , bn, bi ≥ ∀i = 1, n ta có
bất đẳng thức Schwars sau
a21 b1
+ a 2
b2
+· · ·+ a
n
bn
≥ (a1 +a2 + · · ·+ an)
2
b1 +b2 + · · ·+ bn
Hệ Với dãy số thực a1, a2, , an ta có
(a1 +a2 +· · ·+an)2 ≤ n(a21 + a22 +· · ·+a2n)
I.2.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 13 Giả sử a, b, c số thực dương, chứng minh
a
(b+c)2 +
b
(c+a)2 +
c
(a+b)2 ≥
9 4(a+b+c)
Ví dụ 14 Giả sử a, b, c số thực dương có tổng 3, chứng minh
a2 a+ 2b2 +
b2 b+ 2c2 +
c2
c+ 2a2 ≥
Ví dụ 15 Giả sử x, y, z ≥1 x1 + 1y + 1z = Chứng minh
√
x+y +z ≥ √x−1 +py −1 +√z−1
Ví dụ 16 Với a, b, c số thực dương tùy ý,tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = 3a
b+c +
4b c+a +
5c a+b Ví dụ 17 Chứng minh với a, b, c dương ta có
a3 b2 +
b3 c2 +
c3 a2 ≥
a2 b +
b2 c +
(6)I.3 Bất đẳng thức Chebyshev I.3.1 Các định lí hệ
Định lí (Bất đẳng thức Chebyshev) Với hai dãy số thực đơn điệu chiều
a1, a2, , an b1, b2, , bn ta có
a1b1 +a2b2 + · · ·+anbn ≥
1
n(a1 +a2 +· · ·+an)(b1 +b2 +· · ·+bn)
Chứng minh Bằng phân tích trực tiếp ta có đẳng thức sau
n(a1b1 +a2b2 +· · ·+anbn)−(a1 + a2 +· · ·+an)(b1 +b2 +· · ·+bn)
=
n X
i,j=1
(ai −aj)(bi −bj) ≥
Nếu hai dãy a1, a2, , an b1, b2, , bn đơn điệu ngược chiều bất đẳng thức
trên đổi chiều
Hệ Nếu a1, a2, , an số thực dương có tổng n
an1+1 +an2+1 +· · ·+ann+1 ≥an1 +an2 +· · ·+ann
I.3.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 18 Cho số thực dương a1, a2, , an có tổng Chứng minh
a1 2−a1
+ a2 2−a2
+· · ·+ an 2−an
≥ n
2n−1
Ví dụ 19 Cho dương a, b, c, d có tổng bình phương Chứng minh
a2
b+c+d +
b2
c+d+a +
c2
d+a+b +
d2
a+b+c ≥
4
I.4 Bất đẳng thức Jensen I.4.1 Các định lí hệ
Định lí (Bất đẳng thức Jensen) Nếu f hàm lồi khoảng I với
x1, x2, , xn ∈ I ta có
f(x1) +f(x2) + · · ·+f(xn) ≥ nf
x1 +x2 +· · ·+xn
n
(7)Đẳng thức xảy x1 = x2 = = xn
Nếu bạn chưa biết khái niệm hàm lồi dùng dạng phát biểu khác định lí sau
Định lí Cho f hàm số xác định tập D ⊂ R+ và thỏa mãn
f(x) +f(y) ≥ 2f(x+2y) ∀x, y ∈ D Khi với x1, x2, , xn ∈ D ta có
f(x1) +f(x2) + · · ·+f(xn) ≥ nf
x1 +x2 +· · ·+xn
n
Chứng minh Dùng phương pháp quy nạp kiểu Cauchy
Chú ý bất đẳng thức điều kiện đổi chiều bất đẳng thức tổng quát đổi chiều
Hệ Cho f hàm số xác định tập D ⊂ R+ và thỏa mãn
f(x) +f(y) ≥ 2f(√xy) ∀x, y ∈ D Khi với x1, x2, , xn ∈ D ta có
f(x1) +f(x2) +· · ·+f(xn) ≥ nf( n
√
x1x2 xn)
I.4.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 20 (Bất đẳng thức AM-GM).Với số thực không âm a1, a2, , an ta
có bất đẳng thức
a1 +a2 +· · ·+an
n ≥
n
√
a1a2 an
Ví dụ 21 Với số thực dương a1, a2, , an ta có
1
a1 +
a2
+· · ·+
an
≥ n
2
a1 +a2 + · · ·+an
Ví dụ 22 Chứng minh với dãy số dương x1, x2, , xn
x1 +x2 +· · ·+xn ≤ q
n(x21 +x22 +· · ·+x23)
I.5 Khai triển Abel I.5.1 Các định lí hệ
Định lí (Công thức khai triển Abel) Giả sử x1, x2, , xn y1, y2, , yn
các số thực tùy ý Đặt ck = y1 +y2 +· · ·+ yk ∀k = 1, n Khi
(8)Định lí Cho hai dãy số thực x1, x2, , xn y1 ≥y2 ≥ ≥ yn Đặt
Sk = x1 + x2 +· · ·+xk ∀k = 1, n
M = max
k=1,n
Sk, m = k=1,n
Sk
Khi ta có bất đẳng thức
my1 ≤x1y1 +x2y2 + · · ·+xnyn ≤ M y1
I.5.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 23 Cho hai dãy số dương a1, a2, , an b1, b2, , bn thỏa mãn điều kiện
a1, a2, , an ≥
b1 ≥ b2 ≥ · · · ≥ bn
a1 ≥ b1
a1a2 ≥b1b2
· · ·
a1a2 an ≥ b1b2 bn
Chứng minh bất đẳng thức
a1 +a2 +· · ·+an ≥ b1 +b2 +· · ·+bn
Ví dụ 24 Giả sử 0≤ x ≤ y ≤ z a, b, c ≥0 thỏa mãn hệ điều kiện
c/z ≤
a/x+b/y ≤
a/x+b/y+c/z ≤
Chứng minh √a+√b+√c ≤ √x+√y +√z
Ví dụ 25 (Bất đẳng thức hốn vị).Cho hai dãy số đơn điệu tăng a1, a2, , an
và b1, b2, , bn Giả sử (i1, i2, , in) hốn vị (1,2, , n), ta ln
có
a1b1 +a2b2 + +anbn ≥a1bi1 +a2bi2 + +anbin
Ngoài hai dãy đơn điệu ngược chiều bất đẳng thức đổi chiều
Ví dụ 26 Chứng minh với a, b, c khơng âm ta ln có
(9)Ví dụ 27 Chứng minh với số dương a, b, c
a2 +bc b+c +
b2 +ca c+ a +
c2 +ab
a+b ≥ a+ b+c
I.6 Bất đẳng thức Schur I.6.1 Các định lí hệ
Định lí (Bất đẳng thức Schur).Với số thực khơng âm a, b, c ta ln có bất đẳng thức
a3 +b3 +c3 + 3abc ≥ ab(a+b) +bc(b+c) + ca(c+a)
Bất đẳng thức Schur cịn có dạng phát biểu tương đương sau
(1) a(a−b)(a−c) +b(b−c)(b−a) +c(c−a)(c−b) ≥
(2) abc ≥(a+ b−c)(b+c−a)(c+a−b)
(3) (a+b+c)3 + 9abc ≥4(a+b+c)(ab+ bc+ ca)
I.6.2 Các ví dụ áp dụng
Ví dụ 28 (Olympic Tốn Châu á-Thái Bình Dương-2004)
Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh
(a2 + 2)(b2 + 2)(c2 + 2) ≥9(ab+bc+ca)
Ví dụ 29 (Olympic Toán Ba Lan-2005),
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn ab+ bc+ ca = Chứng minh
a3 +b3 + c3 + 6abc ≥
Ví dụ 30 Chứng minh với số thực a, b, c ta có
(10)Một số kĩ thuật thường sử dụng trong chứng minh bất đẳng thức
II.1 Kĩ thuật chọn điểm rơi áp dụng bất đẳng thức Cauchy
Ý tưởng kĩ thuật dự đốn xem dấu bất đẳng thức xảy thật hiệu bất đẳng thức đối xứng Các bạn xem kĩ ví dụ sau thử tìm hiểu xem kĩ thuật áp dụng nào?
Ví dụ 31 Cho a, b >0 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau
S = a√+b
ab +
√
ab a+ b Lời giải:
S = a√+b
ab +
√
ab a+ b =
a+b
4√ab +
a+b
4√ab +
a+b
4√ab +
a+b
4√ab +
√
ab a+ b
≥ 55
s
(a+b)3 44(√ab)3 =
5
s
1 28
a+b
√
ab
3
=
5
s
a+b
2√ab
3
≥
2
Đẳng thức xảy a = b Vậy minS = 5/2
Ví dụ 32 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a+b+c ≤ 3/2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức
S = a2 +b2 +c2 +
a +
1
b +
1
c
Ví dụ 33 Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c ≥ 20 Chứng minh
a+b+c+
a +
9 2b +
4
(11)II.2 Kĩ thuật cân hệ số
Ví dụ 34 Cho số thực không âm x, y, z thỏa điều kiện xy + yz+ zx = Chứng minh bất đẳng thức
10x2 + 10y2 +z2 ≥
Chứng minh Bất đẳng thức cho tương đương với
(2x2 + 2y2) + (8x2 + 2z
2
) + (8y2 + 2z
2 ) ≥
áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có
2x2 + 2y2 ≥4xy
8x2 + 12z2 ≥4yz
8y2 + 12z2 ≥ 4xz
Cộng ba bất đẳng thức lại ta điều cần chứng minh Đẳng thức xảy x = y = 1/3, z = 4/3
Chắc chắn bạn thắc mắc lại tách 10=2+8 1=1/2+1/2, liệu cách tách khác 10=4+6 chẳng hạng có giải tốn khơng? Các bạn tìm hiểu điều tự trả lời có nghĩa bạn có thêm kĩ thuật để áp dụng việc chứng minh bất đẳng thức: kĩ thuật cân hệ số Sau số ví dụ để bạn luyện tập
Ví dụ 35 Giả sử số thực x, y, z thỏa mãn 2xyz = 3x2 + 4y2 + 5z2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau
P = 3x+ 2y+ z
Ví dụ 36 Cho số thực x, y, z thỏa mãn xy+yz+zx = k số dương Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức
P = k(x2 +y2) +z2
Ví dụ 37 Giả sử số thực a, b, c, d thỏa mãn ab+bc+cd+da = 1, tìm giá trị nhỏ biểu thức
N = 5x2 + 4y2 + 5z2 +t2
(12)Ví dụ 38 Cho x > y >0 Chứng minh
x+
xy(x−y) ≥
4√4 12
Ví dụ 39 Giả sử số thực dương x, y, z có tổng Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức
x2 +y2 + z3
Ví dụ 40 Chứng minh x, y ≥0 x2 +y2 = x3 +y6 ≥
II.3 Kĩ thuật Côsi ngược dấu
Giả sử ta cần đánh giá bất đẳng thức dạng PQ ≥k ta muốn sử dụng bất đẳng
thức Cauchy với mẫu số, nhiên làm bất đẳng thức đổi chiều ta không đạt mục đích Vậy ta phải làm để áp dụng bất đẳng Cauchy với mẫu số mà bất đẳng thức không đổi chiều? Rất đơn giản, bạn tìm cách làm xuất dấu "trừ" trước biểu thức cần đánh giá Sau số ví dụ minh họa cho kĩ thuật
Ví dụ 41 Cho số dương a, b, c thỏa mãn điều kiện a+ b+ c = Chứng minh bất đẳng thức
a
1 +b2 +
b
1 +c2 +
c
1 +a2 ≥
Chứng minh Đánh giá số hạng vế trái, ta có
a
1 +b2 = a−
ab2
1 +b2 ≥ a−
ab2
2b = a− ab
2
Xây dựng thêm bất đẳng thức tương tự cộng bất đẳng thức lại ta
a
1 +b2 +
b
1 +c2 +
c
1 +a2 ≥ a+b+c−
ab+bc+ca
2 ≥
3
vì 3(ab+bc+ca) ≤ (a+b+c)2 Đẳng thức xảy a = b = c = Ví dụ 42 Chứng minh với a, b, c, d số thực dương có tổng ta có bất đẳng thức sau
a
1 +b2 +
b
1 +c2 +
c
1 +d2 +
d
1 +a2 ≥
Ví dụ 43 Chứng minh với số thực dương a, b, c, d ta ln có
a3 a2 +b2 +
b3 b2 +c2 +
c3 c2 +d2 +
d3 d2 +a2 ≥
a+b+c+d
(13)Ví dụ 44 Chứng minh với số dương a, b, c có tổng
a+
b2 + 1 +
b+
c2 + 1 +
c+
a2 + 1 ≥3
Ví dụ 45 Chứng minh với số dương a, b, c, d có tổng
1
a2 + 1 +
b2 + 1 +
c2 + 1 +
d2 + 1 ≥
II.4 Kĩ thuật đổi biến số
Ví dụ 46 Chứng minh a, b, c ≥ abc =
1 +a +
1 +b +
1
2 +c ≤
Chứng minh Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng
a
2 +a + b
2 +b + c
2 +c ≥
Vì abc = nên tồn số thực x, y, z cho a = x/y, b = y/x, c = z/x Ta cần phải chứng minh
x/y
2 +x/y +
y/z
2 +y/z +
z/x
2 +z/x ≥
⇔ x
x+ 2y + y y+ 2z +
z
z + 2x ≥
Nhân tử mẫu số hạng vế trái với x, y, z áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có điều phải chứng minh
Đẳng thức xảy x = y = z hay a = b = c =
Ví dụ 47 Chứng minh với số dương a, b, c có tích
1
a(1 +b) +
b(1 +c) +
c(1 +d) +
d(1 +a) ≥2
II.5 Kĩ thuật chuẩn hóa bất đẳng thức Ví dụ 48 Chứng minh với a, b, c không âm
r
ab+ bc+ ca
3 ≤
3
r
(14)Ví dụ 49 Chứng minh với a, b, c khơng âm ta ln có
a2(b+c) +b2(c+a) +c2(a+b) ≥ (ab+bc+ca)p3
(a+b)(b+c)(c+ a)
Ví dụ 50 Chứng minh bất đẳng thức sau với số thực không âm a, b, c
(2a+ b+ c)2 2a2 + (b+ c)2 +
(2b+c+a)2 2b2 + (c+ a)2 +
(2c+a+b)2 2c2 + (a+ b)2 ≤8
II.6 Kĩ thuật phân tích bình phương S.O.S (Sum of Square)
Đây kĩ thuật hiệu bất đẳng thức dạng P(a, b, c) ≥ 0, P(a, b, c) biểu thức đối xứng ba biến a, b, c thỏa mãn điều kiện P(a, a, a) = Nội dung kĩ thuật tìm cách phân tích biểu thức P(a, b, c) dạng
P(a, b, c) = Pa(b−c)2 +Pb(c−a)2 + Pc(c−a)2
Khi đó, hệ số Pa, Pb, Pc khơng âm ta có điều phải chứng minh,
cịn chúng có số âm ta hi vọng chứng minh biểu thức
P(a, b, c) không âm cách đánh giá hệ số Pa, Pb, Pc mà thông thường
việc làm khó khăn Theo tơi khó khăn kĩ thuật làm để phân tích biểu thức P(a, b, c) dạng chuẩn Các bạn tự tìm hiểu điều đó, cịn tơi làm thử vài ví dụ để bạn tham
khảo Chú ý rằng, ta dùng kí hiêu P
cyc để tổng hoán vị(cyc viết tắt
từ cyclic)1 P
sym để tổng đối xứng(sym viết tắt từ symmetric)
2.
Ví dụ 51 Chứng minh với a, b, c khơng âm ta có bất đẳng thức
a3 +b3 +c3 ≥3abc
Chứng minh Xét biểu thức P = a3 +b3 + c3 −3abc ta có P = X
cyc
(a3 −abc) = X
cyc
a(a2 −bc) =
X
cyc
a
2a2 −b2 −c2 + (b−c)2
=
X
cyc
a(a2 −b2 +a2 −c2) +
X
cyc
a(b−c)2
=
X
cys
(a+b)(a−b)2 +
X
cyc
a(b−c)2
1Ví dụ P
cyca2b=a2b+b2c+c2a 2Ví dụ P
(15)=
X
cys
(a+b+c)(a−b)2 = a+ b+ c
(a−b)2 + (b−c)2 + (c−a)2
Đó điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c Ví dụ 52 Chứng minh với số thực khơng âm a, b, c ta có
a4 +b4 +c4 ≥abc(a+b+ c)
Chứng minh Xét biểu thức P = a4 +b4 + c4 −abc(a+b+c) Ta có a4 −a2bc = a2(a2 −bc) = a
2
2a2 −b2 −c2 + (b−c)2
= a 2 (a
2 −b2) + a 2 (a
2 −c2) + a
2 (b−c)
P = X
cyc
(a4 −a2bc) =
X
cyc
a2(a2 −b2)−a2(a2 −c2)
+
X
cyc
a2(b−c)2
=
X
cyc
(a+ b)2(a−b)2 +
X
cyc
c2(a−b)2 =
X
cyc
(a+b)2 + c2(a−b)2
Từ ta có hệ số (a−b)2,(b−c)2,(c−a)2 Pc =
1
(a+b)2 +c2
; Pa =
1
(b+c)2 +a2
; Pb =
1
(c+a)2 +b2
Dễ thấy hệ số không âm nên ta có điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c
Qua hai ví dụ trên, bạn cho hai tốn q đơn giản(ta chứng minh nhẹ nhàng bất đẳng thức Cauchy) cách chứng minh lại phức tạp? Tôi đồng ý với bạn vậy, tơi lấy hai ví dụ đơn giản để minh họa cho kĩ thuật phân tích này, cịn ứng dụng thực khơng phải để giải tốn Chỉ bạn có thời gian vận dụng kĩ thuật để giải tốn khó (như ví dụ đây) bạn thấy tầm quan trọng
Ví dụ 53 Chứng minh bất đẳng thức Schur sau
a3 +b3 +c3 + 3abc ≥ ab(a+b) +bc(b+c) +ca(c+a)
Trong a, b, c số thực khơng âm
Ví dụ 54 (HSG Tỉnh TT Huế 97) Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh
(16)Ví dụ 55 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh
a
2b+ 2c−a +
b
2c+ 2a−b +
c
2a+ 2b−c ≥1 Ví dụ 56 Tìm số k dương lớn để ta có bất đẳng thức
a b+c +
b c+ a +
c
a+b +k
ab+bc+ca
a2 +b2 +c2 ≥ k+
Ví dụ 57 Tìm số thực k tốt cho bất đẳng thức sau
1 +bc ka2 +bc +
1 +ca kb2 + ca +
1 +ab kc2 +ab ≥
12
k +
Ví dụ 58 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta ln có
a2 b +
b2 c +
c2 a ≥
3(a3 +b3 +c3)
a2 +b2 + c2
Ví dụ 59 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta ln có
a3 +b3 +c3
abc +
54abc
(a+b+c)3 ≥
Ví dụ 60 Tìm số k dương nhỏ để bất đẳng thức sau với số a, b, c dương
X
cyc
ab
(a+b)2 +k
a2 +b2 +c2
(a+b+c)2 ≥ +
k
3
Ví dụ 61 Tìm số k dương nhỏ để bất đẳng thức sau với số a, b, c dương
8abc
(a+b)(b+ c)(c+a) +k
a2 +b2 +c2
(a+b+c)2 ≥ +
k
3
Ví dụ 62 Chứng minh với số thực dương a, b, c ta có bất đẳng thức
a2 +bc
(b+c)2 +
b2 + ac
(a+c)2 +
c2 +ab
(a+b)2 ≥
II.7 Dùng phương pháp phản chứng để đưa bất đẳng thức cần chứng minh bất đẳng thức tương đương dễ chứng minh
(17)thành kết luận, sau kết hợp với phản chứng Sau số ví dụ cho kĩ thuật
Ví dụ 63 Cho số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện
a2 +b2 +c2 +d2 +abc+bcd+cda+dab =
Chứng minh a+b+c+d ≤
Chứng minh Trước hết ta chứng minh bổ đề (đây tốn mới)
Nếu a, b, c, d không âm thỏa mãn điều kiện a+b+ c+ d = ta có
a2 +b2 +c2 +d2 +abc+bcd+cda+dab ≥
Các bạn tự tìm lời giải cho bổ đề trên, ta chứng minh toán phản chứng sau
Giả sử a+ b+c +d > tồn số thực k > số a0, b0, c0, d0 cho a = ka0, b = kb0, c = kc0, d = kd0 a0 + b0 + c0 + d0 = Rõ ràng số a0, b0.c0, d0 thỏa mãn điều kiện bổ đề nên áp dụng bổ đề ta có
a2+b2+c2+d2+abc+bcd+cda+dab > a02+b02+c02+d02+a0b0c0+b0c0d0+c0d0a0+d0a0b0 ≥8
Mâu thuẩn cho ta điều phải chứng minh
Đây kĩ thuật hay, nhờ ta chứng minh nhiều tốn khó cách sáng sủa Điểm khó kĩ thuật phát biểu toán chứng minh Hãy đọc lại ví dụ lần bạn thắc mắc bổ đề ta không thay dấu "=" giả thiết a2 +b2 + c2 +d2 +abc+ bcd+ cda+dab = dấu ≤ mà phải thay dấu
≥? Hãy tìm hiểu điều nhé!
Ví dụ 64 Giả sử a, b, c số thực dương thỏa mãn ab+bc+ca = Chứng minh
√
a+ +√b+ +√c+ ≥
Ví dụ 65 Cho số thực không âm a, b, c, d thỏa mãn điều kiện
a2 + b2 +c2 +d2 + 2abcd =
Chứng minh a+ b+ c+ d≤
Ví dụ 66 Giả sử a, b, c số thực không âm thỏa mãn 1/a+ 1/b+ 1/c = Chứng minh bất đẳng thức
√
a+b+ √b+c+√c+a ≥
√
(18)Ví dụ 67 Cho số dương a, b, c thỏa mãn 3a2 + 3b2+c2 = 10 Chứng minh
xy +yz +zx ≤5
II.8 Khảo sát hàm số II.9 Kĩ thuật giảm biến
Ví dụ 68 Chứng minh với a, b, c số dương có tích ta có bất đẳng thức
(a+b)(b+ c)(c+a) ≥ 4(a+b+c−1)
Ví dụ 69 Chứng minh với a, b, c dương có tổng
2(a2b2 + b2c2 +c2a2) + 3≤ 3(a2 +b2 +c2)
Ví dụ 70 cho a, b, c không âm thỏa mãn a2 +b2 = c2 = 3, chứng minh