Kêt luận : Trên đây là một số bài toán sử dụng hình học để giải một số bài toán trong đại số cụ thể là dùng công thức về khoảng cách, tính chất của tích vô hướng của hai vec tơ.[r]
(1)Sáng kiến kinh nghiệm
KHOẢNG CÁCH HÌNH HỌC
VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP VỀ BẤT ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ
Người viết: Vũ Đức Bình Tổ : Tốn
(2)A Đặt vấn đề : Trong trình giảng dạy tơi tích lũy số tốn có dạng : Chứng minh bất đẳng thức tìm giá trị lớn nhất, nhỏ mà cách giải sử dụng phương pháp hình học cụ thể
khoảng cách hình học có hiệu cao dễ thuyết phục, trình bày ngắn gọn…Sau tơi xin trình bày nội dung viết
B Giải vấn đề :
I Lý thuyết, số kỹ mà học sinh phải nắm được:
1) Khái niệm khoảng cách hai vật thể hình học hình học phẳng khơng gian:
Cho hai hình (H1) (H2), d khoảng cách hai hình ta
có:
a) d = {MN , với M túy ý thuộc (H1) N túy ý thuộc(H2)}
b) d NM với M túy ý thuộc (H1) N túy ý thuộc(H2)
2) Khái niệm khoảng cách thường dùng hình học phẳng hình học khơng gian, cơng thức tọa độ khoảng cách như:
- Khoảng cách hai điểm
- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng - Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng - Khoảng cách hai đường thẳng song song - Khoảng cách hai chéo
- Khoảng cách từ đường thẳng đến mp song song - Khoảng cách hai mp song song
- Khoảng cách
3) Các quỹ tích bản, phương trình yếu tố hình học phẳng hình học khơng gian như:
-Trong mặt phẳng tọa độ: đường thẳng, đường trịn, e- líp, hypeol, parabol,
-Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz: Đường thẳng, mặt phẳng, mặt cầu
4) Các kỹ năng:
- Tìm giao điểm đường thẳng - Tìm giao điểm đt đường trịn - Tìm giao điểm hai đường tròn
- Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng
- Tìm hình chiếu điểm đường thẳng, mặt phẳng
-
II Các dạng tập
1) Dạng sử dụng công thức khoảng cách hai điểm độ dài
(3)+) Sử dụng tính chất khoảng cách: AB+ BC AC
Mở rộng: BA+ BC+…+MN+NI AI ta có bất đăng thức sau:
1a)
a2−b2¿ ¿ b2− c2¿
2 ¿ b1− c1¿2+¿
¿ a1−b1¿2+¿
¿
√¿
a2− c2¿ a1−c1¿2+¿
¿
√¿
1b)
a2−b2¿ ¿ b2− c2¿2 b1− c1¿2+¿
¿ a1−b1¿
2 +¿ ¿
√¿
+…+
n2−i2¿ n1−i1¿
2 +¿ ¿
√¿
a2−i2¿ a1−i1¿
2 +¿ ¿
√¿
1c)
a3−b3¿2 ¿ b3− c3¿2
¿ b2− c2¿2+¿ b1− c1¿2+¿
¿ a2−b2¿2+¿ a1−b1¿2+¿
¿
√¿
a3− c3¿2 a2−c2¿
2 +¿ a1−c1¿
2 +¿ ¿
√¿
1d)
a3−b3¿2 ¿ b3− c3¿2
¿ b2− c2¿2+¿ b1− c1¿2+¿
¿ a2−b2¿2+¿ a1−b1¿
2 +¿ ¿
√¿
n3−ci3¿ n2−i2¿
2 +¿ n1−i1¿2+¿
¿
√¿
a3−i3¿ a2−i2¿
2 +¿ a1−i1¿2+¿
¿
√¿
+) Sử dụng tính chất bất đẳng thức độ dài vec tơ tổng: ¿a
→
∨+¿b
→
∨¿ ¿a
→ +b → ∨¿ ¿a → ∨+¿b →
∨+ +¿ ¿e
→
∨¿ ¿a
→
+b
→
+ +e
→
∨¿ đẳng thức xảy vec tơ cho hướng Ta có số bất đẳng thức sau:
2a) √a2+b2+√x2+y2≥
b− y¿2 a − x¿2+¿
¿
(4)2b) √a12+a 22+√b
12+b
22 +…+ √i
12+i 22
a2+b2+ +i2¿2 a1+b1+ .+i1¿2+¿
¿
√¿
2c) √a12+a 22+a
32+√b 12+b
22+b 32≥
a3−b3¿ a2−b2¿
2 +¿ a1−b1¿2+¿
¿
√¿
2d)
a3−b3¿2 ¿ b3− c3¿2
¿ b2− c2¿2+¿ b1− c1¿2+¿
¿ a2−b2¿2+¿ a1−b1¿2+¿
¿
√¿
n3−ci3¿ n2−i2¿
2 +¿ n1−i1¿
2 +¿ ¿
√¿
a3−i3¿ a2−i2¿
2 +¿ a1−i1¿
2 +¿ ¿
√¿
+) Các tập dạng có nhiều, sau tơi nêu số mong đồng nghiệp bổ xung thêm cho phong phú
Bài 1 Chứng minh B.Đ.T sau:
CMR: Với ba số a, b, c ta có b.đ.t sau √a2
+ab+b2+√x2+ac+c2≥ √b2+bc+c2
CMR: Với ba số dương a, b, c ta có b.đ.t sau √a2
+ab+b2+√x2+ac+c2 > √b2+bc+c2
Hướng dẫn: câu Xét vec tơ sau mp với hệ trục tọa độ Oxy
u→ =( -x-y/2; √32y ) →v =(-x-z/2; √32z )
(Trong câu vec tơ chọn hướng nên đẳng thức
xảy = đpcm)
CMR: Với số thực a ta có b.đ.t sau √a2+a+1+√a2− a+1≥
Cho ba số dương x+y+z = Chứng minh
√x2+ x2+√y
2 +
y2+√z
+
(5)VT
1
x+
1
y+
1
z¿ x+y+z¿2+¿
¿
√¿
=
1
x+
1
y+
1
z¿
1+¿
√¿
Và sử dụng b.đ.t Cô si cho ba số dương x, y, z ta có (x+y+z)(1/x+1/y+1/z) 9 => đpcm.
Chứng minh với x, y ta có: √4 cos2xcos2y+sin2(x − y)+√4 sin2xsin2y+sin2(x − y)≥
6 Cho Chứng minh rằng:
Chứng minh với số thực a,b ta ln có:
10 CMR: ¿√cos4x+1−√sin4x+1∨≤∨cos 2x∨¿
Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
1 Tìm giá trị nhỏ nhấtcủa hàm số: y = √x2−2 ax
+2a2+√x2−2 bx+2b2
Với a b hai số cho trước khác 2.Tìm giá trị nhỏ hàm số:
y = √x3
+2(1+√x3+1)+√x3−2(1−√x3+1)
3.Cho là số thực thay đổi Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
x −1¿2+y2 ¿ x+1¿2+y2
¿ ¿ ¿
√¿
Tìm giá trị nhỏ hàm số:
y = √cos2x −2 cosx+3+√cos2x+4 cosx+8
(6)Cho số a, b, c, x, y, z thỏa điều kiện: a2+c2+b2 = và
x2+y2+z2 = Hãy tìm giá trị lớn nhỏ biểu
thức sau:
M =(x-a)2 +(y-b)2+ (z-c)2
N =
a −1¿2+b2+c2 ¿ y −3¿2+z2
x2+¿ ¿
√¿
6.Tìm giá trị nhỏ hàm số sau:
y=f(x)=√cos2x −6 cosx+13+√cos2x+2 cosx+2
Hd: Đặt u→ =( 3-cosx ; 2) →v =(1+cosx ; 1)
Bài Giải p.t, bpt sau: √x2−2x+2
+√4x2+12x+25=¿ √9x2+12x+29
HD : Xét vec tơ sau mp với hệ trục tọa độ Oxy u→ =( x-1; 1) →v =(2x+3; 5) từ pt suy hai vec tơ phương
=> nghiệm pt x = 7/2
√x+2√x −1+1+√x −2√x −1+1 5− x2 HD MinVT=MaxVP
2) Dạng sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến một
đường mặt phẳng
Bài 1: Cho hai số x y thỏa điều kiện: 3x+ 4y =25 (1) , cmr: (x-2)2
+ y2 361/25, tìm x y để đẳng thức xảy ra.
HD: Đây tập đơn giản, có nhiều cách giải tam thức bậc hai, Bunhiacopxki phương pháp dùng khoảng cách đưa để hs tham khảo lựa chọn
Xét mp với hệ tọa độ Oxy, điểm M(x;y) thỏa (1) M
thuộc đ/t Δ có pt (1) Khi gọi d = k/c(M, Δ ) = 19/5 với
điểm I(2;0) IM2 = (x-2)2 + y2 Dễ thấy IM d => đ.c.m Đẳng
thức xảy (x;y) tọa độ H hình chiếu I Δ .
Bài 2 Cho (1) Chứng minh rằng: −√2≤ x+y ≤√2
(7)Tròn tâm O bán kính R = d đường thẳng có pt: x+y = khoảng cách từ M đến đường thẳng d ¿x+y
√2 ∨¿ , d qua tâm O
đường tròn nên R d => đ.p.c.m
Bài 3: Cho x2+y2 = u2+v2 =
Chứng minh rằng: |x(u-v)+y(u+v)| √2
HD:Có thể thấy M(x;y) điểm N(u-v;u+v) thỏa điều kiện tốn M thuộc đường trịn tâm O bán kính R1 =
N thuộc đường trịn tâm O bán kính R2 = √2 ,
áp dụng công thức ¿a
→
.→b∨≤∨→a∨.∨b
→
∨¿ => đ.p.c.m
Bài 4:Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
P =
y −1¿2 ¿ y −3¿2
x2+¿ x2
+¿
√¿
x,y số thỏa mãn: 2x-y = (1)
HD: Xét mp với hệ trục tọa độ Oxy điểm M(x;y), A(0;-1), B(0;3)
đường thẳng d, ta có P = MA+MB M thuộc d ta có A B hai phía
(8)Bài 5: Giải hệ phương trình: ¿
x+y+z=1 x2
+y2+x2=1 x3+y3+z3=1
¿{ { ¿
HD : Xét vec tơ sau mp với hệ trục tọa độ Oxyz u→ = ( x;y;z) →v = (x2;y2;z2)
=>
¿ u
→ →v=1 ¿u
→
∨¿1 ¿v
→
∨¿√1−2(x2 y2+y2z2+z2x2)≤1 ¿{ {
¿
Từ suy hai vec tơ phương Nghiệm hệ là: (1;0;0), (0;1;0) (0;0;1)
Bài 6: Giải hệ phương trình:
¿ x+y+z=3 x2
+y2+x2=3 x3+y3+z3=3
¿{ { ¿
HD : Xét vec tơ sau mp với hệ trục tọa độ Oxyz
u→ = ( x;y;z) →v = (1;1;1) =>
¿ u
→ →v=3 ¿u
→
∨¿√3
¿v
→
∨¿√3
¿{ { ¿
Từ suy hai vec tơ phương Nghiệm hệ là: (1;1;1)
Bài 7: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b +3c = 6, tìm giá trị nhỏ
của biểu thức
M =
c+3¿2 b −1¿2+¿ a−1¿2+¿
¿
√a2+b2+c2+√¿
N =
c+3¿2 b −1¿2+¿ a −1¿2+¿
¿
(9)Bài 8: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b +3c = 16, tìm giá trị nhỏ biểu thức
M =
c −4¿2 ¿ c −1¿2 b −5¿2+¿ a −3¿2+¿
¿ b −3¿2+¿ a −2¿2+¿
¿
√¿
N=
c −4¿2 b −3¿2+¿ a −2¿2+¿
¿
√¿
Bài 9: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a +2b = 6, tìm giá trị nhỏ
biểu thức
N =
b −1¿2
a+2¿2+¿ ¿
√a2+b2+√¿
Bài 10: Cho ba số a, b, c thỏa mãn a2 +b2 +c2 = 16, tìm giá trị lớn nhất
và nhỏ
biểu thức: P = 2a-b+2c Q = 2a + 3a - √3 c
Bài 11: Cho số a, b, c, x, y, z thỏa điều kiện: a=b/2=c/3
(x-1)/2=(y-2)=(z-3) Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức sau:
M =(x-a)2 +(y-b)2+ (z-c)2
N =
a −1¿2+b2+c2 ¿ y −3¿2+z2
x2+¿ ¿
√¿
Bài 12: Cho số x, y, z a, b, c thỏa điều kiện sau:
2a-2 = b+20 = c-3 2x-12 = 3y+3 = 6z + 18 Hãy tìm giá
trị nhỏ
biểu thức: M = (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2
N = (x-b)2 + (y-c)2 + (z-a)2
(10)C Kêt luận : Trên số tốn sử dụng hình học để giải số toán đại số cụ thể dùng cơng thức khoảng cách, tính chất tích vơ hướng hai vec tơ Trong q trình dạy học dạy đến phần hình học liên quan tơi thường tập mà sử dụng nội dung học hình học để giải toán đại số tương tự nội dung viết giúp học sinh có thói quen tìm lời giải khác cho tốn, chọn lời giải tốt
Bài viêtt cịn chưa phong phú khơng thể tránh khỏi sai sót, mong
đồng nghiệp bổ sung chỉnh lý, để có tài liệu tham khảo tốt
N.Đ ngày 25 tháng năm 2009 Người viết