Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1.[r]
(1)50 Bài tập bất đẳng thức: S a a S a a2 Bài 1: Cho a 3 , tìm giá trị nhỏ 8a a 24 a 10 S a ( ) a 9 a 9 a Giải: Bài 2: Cho a 2 , tìm giá trị nhỏ 6a a a 12 a a 12 S a ( ) 3 a 8 a 8 a 4 Giải: S ab ab Bài 3: Cho a,b >0 và a b 1 , tìm giá trị nhỏ S ab 1 15 (ab ) 2 ab ab 16ab 16ab 16ab Giải: a b c 17 a b 16 Tìm giá trị nhỏ Bài 4: Cho a,b,c>0 và 1 S a b2 c2 b c a Giải: Cách 1: Cách 2: S a2 1 b2 c 2 b c a (12 42 )(a 1 ) (1.a ) 2 b b 15 a2 1 (a ) b b 17 Tương tự 1 1 b2 (b ); c (c ) c c a a 17 17 Do đó: (2) 4 36 (a b c ) (a b c ) a b c a b c 17 17 S 17 135 (a b c 4( a b c) ) 4(a b c) x y z 1 Chứng minh rằng: Bài 5: Cho x,y,z là ba số thực dương và 17 x2 1 y z 82 y z x Giải: 1 (1.x ) (12 92 )( x ) y y x2 1 (x ) y y 82 1 1 ( y ); z (z ) z z x x 82 82 9 81 S (x y z ) (x y z ) x y z x yz 82 82 TT : y 82 80 ( x y z x y z ) x y z 82 Bài 6: Cho a,b,c>0 và a 2b 3c 20 Tìm giá trị nhỏ S a b c a 2b c Giải: Dự đoán a=2,b=3,c=4 12 18 16 12 18 16 S 4a 4b 4c a 2b 3c 3a 2b c a b c a b c 20 3.2.2 2.2.3 2.4 52 S 13 1 4 Bài 7: Cho x,y,z> và x y z Tìm giá trị lớn 1 2x y z x y z x y 2z Giải: P (3) Ta có 1 1 1 1 4 16 1 1 1 ; x y x y y z yz x y y z x y y z x 2y z x y z 16 x y z TT : 1 1 1 1 2 ; x y z 16 x y z x y z 16 x y z 4 4 S 1 16 x y z Bài x x x 12 15 20 x x x 3 Chứng minh với x R , ta có Giải: x x x x x x x x 12 15 12 15 15 12 x 20 x 20 x 2 2.3 ; 2.5 ; 2.4 5 4 5 4 4 5 Cộng các vế tương ứng => đpcm Bài 9: x y z x 1 y 1 z 1 Cho x,y,z>0 và x+y+z =6 Chứng minh 4 Giải: Dự đoán x=y=z = và 8x.8x 64 x 4 x nên : x x 82 3 x.8x.82 12.4 x ; y y 82 3 y.8 y.82 12.4 y ; z z 82 3 8z.8 z.82 12.4 z x y 8z 3 x.8 y.8z 3 82.82.82 192 Cộng các kết trên => đpcm Bài 10: Cho x,y,z>0 và xyz = Hãy chứng minh x3 y 1 y3 z3 z3 x3 3 xy yz zx Giải: x y xy x y x y xyz xy x y xy x y z 3 xy xyz 3xy x3 y 3xy yz y3 z3 z x3 zx ; ; xy xy xy yz yz yz zx zx zx 1 S 3 3 xy yz zx x y2 z 3 (4) Bài 11 Cho x, y là hai số thực không âm thay đổi Tìm giá trị lớn và giá trị nhỏ x y xy P 2 1 x 1 y biểu thức Giải: x y xy x y xy x y xy P P 2 2 x y x y x y 1 xy 4 Khi cho x=0 và y= thì P = -1/4 Khi cho x=1 và y = thì P = 1/4 KL: Khi dấu = xảy Bài 12 a3 b3 c ab bc ca Cho a,b,c >0 Chứng minh rằng: b c a Giải: a b3 c a b c (a b c ) ab bc ac ab bc ac ab bc ac ab bc ac Cách 1: b c a ab bc ca a3 b3 c3 ab 2a ; bc 2b ; ca 2a c a Cách 2: b a b3 c3 2( a b c ) ab bc ac ab bc ac b c a Bài 13 A 3x y 4x y Cho x,y >0 và x y 4 Tìm giá trị nhỏ Giải: Dự đoán x=y=2 3x y 3x x y y x y A y 4x y x y 4 x 4 y 1 P 4 3 x y xy Bài 14: Cho x,y>0 và x+y = Chứng minh Giải: Ta có x y x3 y 3xy(x+y) x3 y 3xy=1 x3 y 3xy x3 y 3xy 3xy x3 y P= 4 4 x3 y xy x y3 xy 1 1 2 xyz x y z Bài 15: Cho x,y,z >0 và Chứng minh Giải: (5) 1 1 y z 2 1 1 2 1 x 1 y 1 z 1 y 1 z 1 y 1 z TT : 2 1 y xz ; 2 1 x 1 z 1 z yz 1 y 1 z xy 1 x 1 y Nhân các vế BĐT => đpcm S x y z x 1 y 1 z 1 Bài 16: Cho x,y,z>0 và x+y+z = Tìm giá trị lớn Giải: x y z 1 9 S 3 3 3 x 1 y 1 z 1 x y z 3 4 x 1 y 1 z 1 Bài 17: 4a 5b 3c 48 Cho a,b,c >1 Chứng minh rằng: a b c Giải: 4a a 1 4 4 a 1 4 a 1 8 16 a a a a 5b 3c 5 b 1 10 20; 3 c 1 12 dpcm b b c c Bài 18 Cho a,b,c >0, chứng ming : 1 1 3 a b c a 2b b 2c c 2a Giải: 1 1 1 ; ; a b b a 2b b c c b 2c c a a c 2a cộng ba bất đẳng thức =>đpcm Bài 19 Với a,b,c >0 chứng minh rằng: 36 a b c a b c Giải: 3 36 a b c a b c a b c Bài 20: Cho a,b,c,d>0 chứng minh : 1 16 64 a b c d a bc d Giải: 1 16 16 16 64 ; a b c a b c a b c d a b c d (6) Cần nhớ: a b2 c a b c x y z x yz Bài 21 4 a b b c c a Với a,b,c>0 chứng minh rằng: a b c Giải 1 3 1 2 1 ; ; a b a b a b a b b c b c b c b c c a c a Bài 22 Với a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác , p là nửa chu vi tam giác đó 1 1 1 2 a b c Chứng minh p a p b p c Giải: 1 2 p a p b p c a b c a b c a b c 1 1 1 1 1 2 a b c a b c a b c a b c a b c a b c a b c Bài 23 x2 y2 z2 P yz zx x y Cho x,y,z>0 và x y x 4 Tìm giá trị nhỏ Giải: x y z x y z 2 x2 y2 z2 P y z z x x y 2 x y z 2 Cách1: Cách 2: x2 yz y2 zx z2 xy x; y; z yz zx xy x yz x yz P x y x 2 2 Bài 24 Cho các số thực dương x,y,z thỏa mãn x+2y+3z =18 Chứng minh y 3z 3z x x y 51 1 x 1 y 3z Giải: (7) y 3z z x x y 1 x 1 y 3z y 3z 3z x x 2y 5 1 1 1 1 x 1 2y 3z 1 x y 3z 3 24 x y 3z x y 3z 51 24 21 Bài 25 Chứng minh bất đẳng thức: a b 1 ab a b Giải: Nhân hai vế với 2, đưa tổng cuuả ba bình phương Bài 26 Chứng minh a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác có p là nửa chu vi thì p a p b p c 3p Giải: Bu- nhi -a ta có : p a p b p c (12 12 12 )( p a p b p c) 3(3 p p) p Bài 27 1 A a b a b Cho hai số a, b thỏa mãn : a 1; b 4 Tìm giá trị nhỏ tổng 1 15b b 15.4 17 21 a 2; b A a b 16 16 b 16 4 Giải: Bài 28 4 3 Chứng minh a b a b ab Giải: a b (12 12 ) a b a b a b 2ab a b a b a 3b ab3 Bài 29 Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: ( x y 1) xy y x A xy y x ( x y 1) (Với x; y là các số thực dương) Giải: ( x y 1) a; a A a a Có Đặt xy y x 8a a a 10 10 A a ( ) A a 9 a 9 a 3 3 (8) Bài 30 Cho ba số thực a, b, c đôi phân biệt a2 b2 c2 2 2 ( b c ) ( c a ) ( a b ) Chứng minh Giải: a b b c c a (b c) (c a ) (c a ) (a b) (a b) (b c ) a b c VT 0 (b c) (c a ) (a b) (Không cần dấu = xảy hoặ cần cho a= 1,b=0 => c=-1 thì xảy dấu =) Bài 31 Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 Chứng ming 2009 670 2 a b c ab bc ca Giải: 2009 2 a b c ab bc ca 1 2007 2007 670 2 2 a b c ab bc ca ab bc ca ab bc ca a b c a b c Bài 32: Cho a, b, c là các số thực dương thay đổi thỏa mãn: a b c 3 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P a b c ab bc ca a 2b b c c a Giải: 3(a + b + c2) = (a + b + c)(a2 + b2 + c2) = a3 + b3 + c3 + a2b + b2c + c2a + ab2 + bc2 + ca2 Mà a3 + ab2 2a2b ;b3 + bc2 2b2c;c3 + ca2 2c2a Suy 3(a2 + b2 + c2) 3(a2b + b2c + c2a) > 2 2 ab bc ca P a b c (a b c ) P a b c 2(a b2 c ) a b2 c2 Suy 2 t = a2 + b2 + c2, với t P t Suy 9 t t t 3 4 2t 2t 2 2 P4 a=b=c=1 Bài 33 Ch x,y,z là các số thực dương thỏa mãn x+y+z = tìm giá trị nhỏ (9) 1 16 x y z P= Giải: 1 1 1 y x z x z y 21 P= x y z 16x y z 16x y z 16 x y 16 x z y z 16 y x z y z x 1 16 x y có =khi y=2x; 16 x z z=4x; y z z=2y =>P 49/16 Min P = 49/16 với x = 1/7; y = 2/7; z = 4/7 Bài 34 23 x y Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: B 8x 18y x y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Giải: B 8x 2 2 5 18y 8x 18y 8 12 23 43 x y x y x y 1 1 ; x; y ; Vậy Min B là 43 3 x; y Dấu xảy Bài 35 Cho x, y z là ba số thực thuộc đoạn [1;2] và có tổng không vượt quá Chứng minh x2 + y2 + z2 Gải: x 2 x 0 và x 0 ( x 1)( x 2) 0 x 3x 2 Tương tự y 3y và z 3z x2 + y2 + z2 3( x + y +z) – – = Bài 36 1; 2 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2 = Chứng minh Cho a,b,c là các số thuộc a b c 0 Giải: a 1 a 0 a a 0; b b 0; c c 0 a b c a b c 0 Bài 37 Cho các số dương a,b,c thỏa mãn a b c 2 Chứng minh rằng: 1 97 a2 b2 c2 b c a Giải: (10) 81 1.a a b 16 b b2 a2 a ; b 4b 97 b ; c c c 4c a 4a 97 97 cộng các vế lại Bài 38 Cho tam giác có ba cạnh là a,b,c và chu vi là 2p Chứng minh p p p 9 p a p b p c Giải: p p p 1 9 9 p a p b p c hay p a p b p c p a p b p c p Bài 39 Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: 3(a b c ) 2abc 52 Giải: abc ( a b c)(a b c)(a b c ) (6 2a) 2b 2c abc 24 ab bc ac 2 16 36 (a b c ) 2abc 48 (a b c ) 2abc 48 (1) a b2 c2 4 (2) (1)and(2) dpcm 2 Có chứng minh 3(a b c ) 2abc 18 hay không? Bài 40 Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác có chu vi Tìm giá trị nhỏ 3 biểu thức P 4(a b c ) 15abc a 2 2 b c 0 Giải: 2 2 2 Có a a (b c ) (a b c)(a b c ) (1) , b b (c a ) (b c a )(b c a ) (2) c c (a b)2 (c a b)(c a b) (3) Dấu ‘=’ xảy a b c Do a,b,c là độ dài cạnh tam giác nên các vế (1), (2), (3) dương Nhân vế với vế (1), (2), (3) ta có : abc (a b c )(b c a )(c a b) (*) Từ a b c 2 nên (*) abc (2 2a)(2 2b)(2 2c) 8(a b c) 8(ab bc ca ) 9abc 0 9abc 8(ab bc ca ) 0 9abc 8(ab bc ca ) (*) 3 3 Ta có a b c (a b c) 3(a b c )(ab bc ca ) 3abc 8 6(ab bc ca ) 3abc 4(a b3 c ) 15abc 27abc 24(ab bc ca ) 32 3 9abc 8(ab bc ca ) 32 Từ đó (**) 3 Áp dụng (*) vào (**) cho ta 4( a b c ) 15abc 3.( 8) 32 8 Dấu “=” xảy và a b c (11) a b c Từ đó giá trị nhỏ P là đạt và Bài 41 Cho a, b, c là độ dài cạnh tam giác có chu vi Chứng minh a3 b3 c3 3abc Giải: *P a b3 c3 3abc Ta có a b3 c 3abc (a b c )(a b c ab bc ac ) a3 b3 c3 3abc (a b c ab bc ac ) (1) có abc ( a b c)(a b c)(a b c ) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 2 4(ab bc ca ) 8abc 6abc ab bc ca (2) 3 (1) and(2) a b3 c3 3abc a b2 c ab bc ca 3 a2 b2 c2 1 mà ab bc ca P a b2 c 6 2 1 1 1 1 1 2 a b c 0 a b c P 3 3 3 6 *P a b3 c 3abc abc ( a b c)(a b c)(a b c ) (1 2a)(1 2b)(1 2c) 4(ab bc ca ) 8abc ab bc ca ) 2abc (3) P a b3 c 3abc ( a b c )(a b c ab bc ac ) 6abc a b c ab bc ac 6abc a b c ab bc ca 6abc 1 1 ab bc ca 2abc 4 Bài 42 Cho ba số dưỡng,y,z thỏa mãn x+y+z =6 Chứng minh rằng: x y z xy yz zx xyz 8 (12) Giải: Chứng minh xyz x y z x y z x y z (6 x)(6 y )(6 z ) 216 72( x y z ) 24( xy yz zx) 8xyz xyz 24 ( xy yz zx) (1) mà x y z 9 x y z 2xy yz 2xz 9 x y z xy yz xz 36 3xy yz 3xz (2) Nên xyz x y z xy yz xz 24 ( xy yz zx)+ 36 3xy yz 3xz xyz x y z xy yz xz 12 ( xy yz zx) mà x y z 3( xy yz zx) x y z 36 xyz x y z xy yz xz 12 12 8 3 2 Bài 43 a b ab 2013 a b a 1342; b 1342 Cho Chứng minh Dấu đẳng thức xảy nào? Giải: Ta sử dụng ba kết sau: a 1342 2 b 1342 0; a 1342 b 1342 0; a 1342 b 1342 0 Thật vậy: 2 (1) a 1342 b 1342 0 a b 2.1342 a b 2.13422 0 (2) a 1342 b 1342 0 ab 1342a 1342b 1342 0 a b 2.1342 a b 2.13422 ab 1342a 1342b 13422 0 a b2 ab 3.1342 a b 3.13422 2.2013 a b 3.13422 2013 a b 2013 a b 2.2013.1342 2013 a b 2013 a b 1342 1342 2013 a b Bài 44 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 4 A x 1 x 3 x 1 Giải: Cách 1: x 3 (13) Cách : 4 A x 1 x 3 x 1 x 3 2 2 2 A x 1 x 3 x 1 x 3 A 2x 8x 10 x 4x 3 A 2( x 2) ( x 2) 1 2 A 4( x 2) 8( x 2) 4( x 2) 8( x 2) A 8( x 2) 8 Bài 45: Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=1 Chứng minh rằng: ab bc ca c 1 a 1 b 1 Giải: Bài 46 (14) Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện xyz=1 Chứng minh rằng: 1 x y 1 1 3 y z z x3 Giải: x y 2xy x y x y 2xy x y x y xy x y x y xy x y z 1 x y 1 x y xy x y z z x y ; ; dpcm 3 3 x y z 1 y z x y z 1 z x x yz Bài 47 Cho a,b là các số thực dương Chứng minh : a b a b 2a b 2b a a b 1 1 1 a b a b a b a b 2 ab a b 2a b 2b a 2 4 4 Giải: a b Bài 48 Cho ba số thực a,b,c thỏa mãn điều kiện: 1 8a 1 8b3 8c3 1 Giải: 1 8a ; 2a 1 4a 2a 1 8c3 2c 1 1 VT 1 2a 2b 2c 2a 1 2b 2c 1 8b3 2b ; 2 2a 4a 2a 4a 2a Bài 49 a3 b3 c a b c Với a,b,c là ba số thực dương Chứng minh : b c a Giải: Cách 1: 2 2 a b2 c a b c a b3 c3 a b c a b c a b c b c a ab bc ca ab bc ca ab bc ca (15) Cách a3 b3 c3 ab 2a ; bc 2b ; ca 2c VT 2 a b c (ab bc ca ) a b c b c a Bài 50 Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa mãn xyz = Chứng minh rằng: x2 y2 z2 y 1 z 1 x 1 Giải: x2 y 1 y2 z 1 z2 x 1 3 3 x; y; z VT x y z y 1 z 1 x 1 4 4 (16)