phuong trinh bac hai

T×m nghiÖm cßn l¹i... Tính nghiệm kép đó..[r]

Phơng trình bậc hai

nh lý viet ứng dụng ( tiết) A.Kiến thức cần ghi nhớ

1 Để biện luận có nghiệm phương trình : ax2 + bx + c = (1) a,b ,c phụ thuộc

tham số m,ta xét trường hợp

a) Nếu a= ta tìm vài giá trị m ,thay giá trị vào (1).Phương trình (1) trở thành phương trình bậc nên : - Có nghiệm

- vô nghiệm - vô số nghiệm b)Nếu a

Lập biệt số Δ = b2 – 4ac Δ / = b/2 – ac

* Δ < ( Δ / < ) phương trình (1) vơ nghiệm

* Δ = ( Δ / = ) : phương trình (1) có nghiệm kép x 1,2 = -

b

2 a (hoặc x1,2 = - b

❑ a )

* Δ > ( Δ / > ) : phương trình (1) có nghiệm phân biệt:

x1 = − b −√Δ

2 a ; x2 =

− b+√Δ

2a (hoặc x1 = − b

❑ −√Δ❑

a ; x2 = − b ❑

+√Δ❑

a )

2 Định lý Viét.

Nếu x1 , x2 nghiệm phương trình ax2 + bx + c = (a 0)

S = x1 + x2 = - b a

p = x1x2 = ca

Đảo l¹i: Nếu có hai số x1,x2 mà x1 + x2 = S x1x2 = p hai số nghiệm (nếu có ) phơng

trình bậc 2:

x2 – S x + p = Chó ý 1:

* NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm phân biƯt: x1 = vµ x2 =

c a

Chó ý 2:

* NÕu a - b + c = phơng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 x2 =

c a 

Chó ý 3:

* HƯ thøc viét trờng hợp phơng trình có nghiệm

1 2

-b x x =

a c x x

a 

   

 

 

3.DÊu cña nghiệm số phơng trình bậc hai.

Cho phơng trình bậc hai ax2 + bx + c = (a 0) Gọi x1 ,x2 nghiệm phơng trình Ta có

kết sau:

Hai nghiÖm cïng dơng( x1 > x2 > ) ¿ Δ≥ 0

p>0 S>0 ¿{ {

¿

Hai nghiƯm cïng ©m (x1 < vµ x2 < 0) ⇔

¿ Δ≥ 0

p>0 S<0 ¿{ {

¿

Mét nghiệm nghiệm dơng( x2 > x1 = 0) ⇔ ¿ Δ>0 p=0 S>0 ¿{ {

¿

Mét nghiƯm b»ng vµ nghiƯm ©m (x1 < x2 = 0) ⇔ ¿ Δ>0 p=0 S<0 ¿{ {

¿ 4.Vài toán ứng dụng định lý Viét

a)TÝnh nhÈm nghiÖm.

XÐt phơng trình bậc hai: ax2 + bx + c = (a 0)

 NÕu a + b + c = phơng trình có hai nghiệm x1 = , x2 = c a

 Nếu a b + c = phơng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = -1 , x2 = - c a

 NÕu x1 + x2 = m +n , x1x2 = mn phơng trình có nghiệm

x1 = m , x2 = n hc x1 = n , x2 = m

b) Lập phơng trình bậc hai biết hai nghiệm x1 ,x2 nó

Cách làm : - LËp tæng S = x1 + x2

- LËp tÝch p = x1x2

- Phơng trình cần tìm : x2 S x + p =

c)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc có nghệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện cho trớc.(Các

điều kiện cho trớc thờng gặp cách biến đổi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p

*) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p

*) x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp

*) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22

*)

x1 +

x2

=x1+x2

x1x2

= S

p

*) x1

x2+ x2 x1=

x12+x22

x1x2 = S 2−2 p

p

*) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2

*)

x1−a

+

x2−a

= x1+x2−2 a (x1− a)( x2−a)=

S − 2a p − aS+a2

(Chú ý : giá trị tham số rút từ điều kiện cho trớc phải thoả m·n ®iỊu kiƯn Δ≥ )

d)Tìm điều kiện tham số để phơng trình bậc hai có nghiệm x = x1 cho trớc Tìm nghiệm thứ 2

 Tìm điều kiện để phơng trình có nghiệm x= x1 cho trớc có hai cách làm

+) Cách 1:- Lập điều kiện để phơng trình bậc cho có nghiệm: Δ≥ 0 (hoặc Δ❑

≥ ) (*)

- Thay x = x1 vào phơng trình cho ,tìm đợc giá trị

tham sè

- Đối chiếu giá trị vừa tìm đợc tham số với điều kiện(*) để kt lun

+) Cách 2: - Không cần lập điều kiện 0 (hoặc

) mà ta thay

x = x1 vào phơng trình cho, tìm đợc giá trị tham số

- Sau thay giá trị tìm đợc tham số vào phơng trình giải phơng trình

Chú ý : Nếu sau thay giá trị tham số vào phơng trình cho mà phơng trình bậc hai có Δ < kết luận khơng có giá trị tham số để phơng trình cú nghim x1 cho trc

Đê tìm nghiệm thứ ta có cách làm

+) Cỏch 1: Thay giá trị tham số tìm đợc vào phơng trình giải phơng trình (nh cách trình bầy trên)

+) Cách :Thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tổng nghiệm tìm đợc nghiệm thứ 2 +) Cách 3: thay giá trị tham số tìm đợc vào cơng thức tích hai nghiệm ,từ tìm đợc nghiệm th 2

B Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải biện luận phơng trình : x2 – 2(m + 1) +2m+10 = 0 Gi¶i.

Ta cã Δ❑ = (m + 1)2 – 2m + 10 = m2 – 9

+ NÕu Δ❑

> ⇔ m2 – > ⇔ m < - m > Phơng trình cho có nghiệm phân biệt:

x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9

+ NÕu Δ❑ = ⇔ m = ± 3

- Với m =3 phơng trình có nghiệm x1.2 =

- Víi m = -3 th× phơng trình có nghiệm x1.2 = -2

+ NÕu Δ❑ < ⇔ -3 < m < phơng trình vô nghiệm Kết kuận:

Với m = phơng trình cã nghiƯm x =  Víi m = - phơng trình có nghiệm x = -2

 Víi m < - hc m > phơng trình có nghiệm phân biệt x1 = m + - √m2−9 x2 = m + + √m2−9

 Víi -3< m < phơng trình vô nghiệm

Bài 2: Giải biện luận phơng trình: (m- 3) x2 2mx + m – = 0 Híng dÉn

 Nếu m – = ⇔ m = phơng trình cho có dạng - 6x – = ⇔ x = -

2

* Nếu m – ⇔ m Phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số Δ❑ = m2 – (m

– 3)(m – 6) = 9m – 18

- NÕu Δ❑ = ⇔ 9m – 18 = ⇔ m = ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp x1 = x2 = - b

❑ a =

2

2 −3 = -

- NÕu Δ❑ > m >2 Phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt x1,2 = m± 3√m −2

m −3

- NÕu Δ❑

< ⇔ m < Phơng trình vô nghiệm Kết luận:

Víi m > vµ m phơng trình có nghiệm x1,2 = m 3m 2 m 3

Với m < phơng trình vô nghiệm

Bài 3: Giải phơng trình sau cách nhÈm nhanh nhÊt

a) 2x2 + 2007x – 2009 =

b) 17x2 + 221x + 204 = 0

c) x2 + (

√3−√5 )x - √15 = d) x2 –(3 - 2

√7 )x - √7 =

Gi¶i

a) 2x2 + 2007x – 2009 = cã a + b + c = + 2007 +(-2009) =

Vậy phơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt: x1 = , x2 = c a=

− 2009

2 b) 17x2 + 221x + 204 = cã a – b + c = 17 – 221 + 204 = 0

VËy ph¬ng trình có hai nghiệm phân biệt: x1 = -1 ,

x2 = - c a=−

204

17 = - 12 c) x2 + (

√3−√5 )x - √15 = cã: ac = - √15 <

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viet ta có :

x1 + x2 = -( √3−√5 ) = - √3 + √5

x1x2 = - √15 = (- √3 ) 5

Vậy phơng trình có nghiệm x1 = - √3 , x2= √5

(hc x1 = √5 , x2 = - √3 )

d ) x2 –(3 - 2

√7 )x - √7 = cã : ac = - √7 <

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 áp dụng hệ thức Viét ,ta có

¿

x1 + x2= - 2√7

x1 x2 = - 6√7= 3(-2√7)

¿{

¿

Vậy phơng trình có nghiệm x1 = , x2 = - √7

Bài : Giải phơng trình sau cánh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè)

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = 0

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = 0 Híng dÉn :

a) x2 + (3m – 5)x – 3m + = cã a + b + c = + 3m – – 3m + =

Suy : x1 =

Hc x2 = m+1

3

b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + = (*)

* m- = ⇔ m = (*) trë thµnh – 4x – = ⇔ x = -

* m – ⇔ m (*)

⇔ x1=−1

¿ x2=2 m− 2

m −3 ¿ ¿ ¿ ¿ ¿

a) TÝnh:

A = x12 + x22 B = |x1− x2|

C=

x1−1+

1

x2− 1 D = (3x1 + x2)(3x2 + x1)

b) lËp ph¬ng trình bậc có nghiệm

x11

1

x21 Giải ;

Phơng trình b©c hai x2 – 3x – = cã tÝch ac = - < , suy phơng trình có hai nghiệm phân biệt

x1 , x2

Theo hÖ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = vµ p = x1x2 = -7

a)Ta cã

+ A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = – 2(-7) = 23

+ (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = |x1− x2| = √S2− p=√37

+ C =

x1−1+

1

x2− 1 =

(x1+x2)−2 (x1−1)(x2− 1)=

S −2 p − S +1=−

1

9

+ D = (3x1 + x2)(3x2 + x1) = 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2

= 10x1x2 + (x12 + x22)

= 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1

b)Ta cã : S =

x1−1+

1

x2− 1=−

1

9 (theo c©u a)

p =

(x1−1)(x2− 1)

=

p − S +1=−

1 VËy

x1−1 vµ

1

x2−1 nghiệm hơng trình :

X2 SX + p = ⇔ X2 +

9 X -

9 = ⇔ 9X2 + X - =

Bµi : Cho phơng trình :

x2 – ( k – 1)x - k2 + k – = (1) (k lµ tham sè)

1 Chứng minh phơng trình (1 ) ln có hai nghiệm phân biệt với giá trị k Tìm giá trị k để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt trái dấu Gọi x1 , x2 nghệm phơng trình (1) Tìm k để : x13 + x23 >

Gi¶i.

1 Phơng trình (1) phơng trình bậc hai có:

Δ = (k -1)2 – 4(- k2 + k – 2) = 5k2 – 6k + = 5(k2 -

5 k + ) = 5(k2 – 2.

5 k + 25 +

36

25 ) = 5(k - ) +

36

5 > với giá trị k Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

2 Phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu ⇔ p < ⇔ - k2 + k – < ⇔ - ( k2 – 2.

2 k + +

7 ) <

⇔ -(k - )2 -

7

4 < ln với k.Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu với k

3 Ta cã x13 + x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2)

Vì phơng trình có nghiệm với mäi k Theo hÖ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – vµ x1x2 = - k2 + k –

 x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1)

= (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)]

= (k – 1)[(2k - )2 +

87 16 ] Do x13 + x23 > ⇔ (k – 1)[(2k -

5 )2 +

87

16 ] > ⇔ k – > ( v× (2k -

4 )2 + 87

16 > víi mäi k) ⇔ k > 1

VËy k > giá trị cần tìm

Bài 7:

Cho phơng trình : x2 2( m + 1) x + m – = (1) (m lµ tham số)

1 Giải phơng trình (1) với m = -5

2 Chứng minh phơng trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 phân biệt với mäi m

3 Tìm m để |x1− x2| đạt giá trị nhỏ (x1 , x2 hao nghiệm phơng trình (1) nói phần

2.)

Giải

1 Với m = - phơng trình (1) trë thµnh x2 + 8x – = vµ cã nghiƯm lµ x

1 = , x2 = -

2 Cã Δ❑ = (m + 1)2 – (m – 4) = m2 + 2m + – m + = m2 + m +

= m2 + 2.m.

2 + +

19

4 = (m + )2 +

19

4 > víi mäi m Vậy phơng trình (1) có nghiệm phân biệt x1 , x2

3 Vì phơng trình có nghiệm víi mäi m ,theo hƯ thøc ViÐt ta cã: x1 + x2 = 2( m + 1) vµ x1x2 = m –

Ta cã (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = 4( m + 1)2 – (m – 4)

= 4m2 + 4m + 20 = 4(m2 + m + 5) = 4[(m +

2 )2 + 19

4 ] => |x1− x2| = m+

1 2¿

2

+19

¿

√¿

2√19

4 = √19 m +

2 = ⇔ m = - Vậy |x1− x2| đạt giá trị nhỏ √19 m = -

2

Bài : Cho phơng trình (m + 2) x2 + (1 – 2m)x + m – = (m tham số)

1) Giải phơng trình m = -

2) Chứng minh phơng trình cho có nghiệm với m

3) Tìm tất giá trị m cho phơng trình có hai nghiệm phân biệt nghiệm gấp ba lần nghiệm

Giải:

1) Thay m = -

2 vào phơng trình cho thu gọn ta đợc 5x2 - 20 x + 15 = 0

ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm x1 = , x2=

2) + Nếu: m + = => m = - phơng trình cho trở thành; 5x – = ⇔ x = 1

+ Nếu : m + => m - Khi phơng trình cho phơng trình bậc hai có biệt số :

Δ = (1 – 2m)2 - 4(m + 2)( m – 3) = – 4m + 4m2 – 4(m2- m – 6) = 25 >

Do phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1 =

2 m− 1+5 2(m+2) =

2 m+4

2 m+4=1 x2 = 2 m− 1− 5 2(m+2) =

2(m− 3) 2(m+2)=

m− 3 m+2

Tóm lại phơng trình cho ln có nghiệm với m

3)Theo câu ta có m - phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt.Để nghiệm gấp lần nghiệm ta sét trờng hợp

Trêng hỵp : 3x1 = x2 ⇔ =

m−3

m+2 giải ta đợc m = -

9

Trêng hỵp 2: x1 = 3x2 ⇔ 1= m−3

m+2 ⇔ m + = 3m – ⇔ m =

11

2 (thoả mÃn điều kiện m - 2)

Kiểm tra l¹i: Thay m = 11

2 vào phơng trình cho ta đợc phơng trình : 15x2 – 20x + = phơng trình có hai nghiệm

x1 = , x2 =

15 =

3 (thoả mÃn đầu bài)

Bài 9: Cho phơng trình : mx2 – 2(m-2)x + m – = (1) víi m lµ tham sè

1 Biện luận theo m có nghiệm phơng trình (1) Tìm m để (1) có nghiệm trái dấu

3 Tìm m để (1) có nghiệm Tìm nghiệm thứ hai

Gi¶i

1.+ NÕu m = thay vµo (1) ta cã : 4x – = ⇔ x = + NÕu m LËp biÖt sè Δ❑ = (m – 2)2 – m(m-3)

= m2- 4m + – m2 + 3m

= - m +

Δ❑

< ⇔ - m + < ⇔ m > : (1) v« nghiƯm

Δ❑ = ⇔ - m + = ⇔ m = : (1) cã nghiÖm kÐp x1 = x2 = - b

❑ a =

m−2

m =

4 − 2 =

1

Δ❑

> ⇔ - m + > ⇔ m < 4: (1) cã nghiƯm ph©n biƯt x1 = m−2 −√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4 m

Vậy : m > : phơng trình (1) v« nghiƯm

m = : phơng trình (1) Có nghiệm kép x =

m < : phơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt:

x1 = m−2 −√− m+4

m ; x2 =

m−2+√− m+4 m

m = : Phơng trình (1) có nghiệm đơn x = (1) có nghiệm trái dấu ⇔ c

a < ⇔

m−3 m <

⇔

¿m− 3>0 m<0

¿ ¿ ¿ m −3<0

¿ m>0

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

⇔

¿m>3 m<0

¿ ¿ ¿ m<3

¿ m>0

¿ ¿ ¿ ¿ ¿

Trêng hỵp

¿ m>3 m<0 ¿{

¿

Trêng hỵp

¿ m<3 m>0 ¿{

¿

⇔ < m < 3

3 *)Cách 1: Lập điều kiện để phơng trình (1) có hai nghiệm

Δ❑ ⇔ m (*) (ở câu a có) - Thay x = vào phơng trình (1) ta có :

9m – 6(m – 2) + m -3 = ⇔ 4m = -9 ⇔ m = - - Đối chiếu với điều kiện (*), giá trị m = -

4 tho¶ m·n

*) Cách 2: Khơng cần lập điều kiện Δ❑ mà thay x = vào (1) để tìm đợc m = -

4 Sau thay m = -

4 vµo phơng trình (1) : -

4 x2 – 2(-9

4 - 2)x -

4 - = ⇔ -9x2 +34x – 21 =

cã Δ❑ = 289 – 189 = 100 > =>

x1=3

¿ x2=

7

¿ ¿ ¿ ¿

Vậy với m = -

4 phơng trình (1) có nghiệm x= *)Để tìm nghiệm thứ ,ta có cách làm

Cách 1: Thay m = -

4 vào phơng trình cho giải phơng trình để tìm đợc x2 =

9 (Nh phần làm)

C¸ch 2: Thay m = -

4 vào công thức tính tổng nghiệm: x1 + x2 =

2(m−2)

m =

2(−9 4−2)

−9

4

=34  x2 = 34

9 - x1 = 34

9 - = C¸ch 3: Thay m = -

4 vào công trức tính tích hai nghiÖm x1x2 = m−3

m =

−9

4− 3

−9

4 =21

9 => x2 = 21

9 : x1 = 21

9 : =

Bµi 10: Cho phơng trình : x2 + 2kx + – 5k = (1) víi k lµ tham sè

1.Tìm k để phơng trình (1) có nghiệm kép

2 Tim k để phơng trình (1) có nghiệm x1 , x2 thoả mãn điều kiện :

x12 + x22 = 10

1.Phơng trình (1) có nghiệm kép = ⇔ k2 – (2 – 5k) = ⇔ k2 + 5k – = ( cã Δ = 25 + = 33 > )

 k1 = − −√33

2 ; k2 =

− 5+√33 Vậy có giá trị k1 = −√33

2 hc k2 =

− 5+√33

2 phơng trình (1) Có nghiệm kép 2.Có cách giải

Cỏch 1: Lp iu kin phng trình (1) có nghiệm: Δ❑ ⇔ k2 + 5k – (*)

Ta cã x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2

Theo bµi ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10

Với điều kiện(*) , áp dụng hÖ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - b

a=¿ - 2k vµ x1x2 = – 5k

VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – = 0

(Cã a + b + c = 2+ – = ) => k1 = , k2 = -

2

Để đối chiếu với điều kiện (*) ta thay lần lợt k1 , k2 vào Δ❑ = k2 + 5k –

+ k1 = => Δ❑ = + – = > ; tho¶ m·n

+ k2 = -

2 => Δ

❑ = 49 −

35 −2=

49 −70 −8

4 =−

29

8 không thoả mÃn Vậy k = giá trị cần tìm

Cỏch : Không cần lập điều kiện Δ❑ Cách giải là: Từ điều kiện x12 + x22 = 10 ta tìm đợc k1 = ; k2 = -

7

2 (cách tìm nh trên) Thay lần lợt k1 , k2 vào phơng trình (1)

+ Víi k1 = : (1) => x2 + 2x – = cã x1 = , x2 =

+ Víi k2 = -

7

2 (1) => x2- 7x + 39

2 = (cã Δ = 49 -78 = - 29 < ) Phơng trình vô nghiệm Vậy k = giá trị cần tìm

BAỉI TAP PHAN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

Bài : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 6x + = 0, gäi x

1 x2 hai nghiệm phơng trình Không giải phơng

trình, hÃy tính: 1) x12 + x22

2) x1 x1 x2 x2

3)

 

   

2

1 x

2 2

1 2

x x x x x x

x x x x

  

  

Baứi : Cho phơng trình: 2x2 – 5x + = 0.

TÝnh x1 x2 x2 x1 (víi x

1, x2 lµ hai nghiệm phơng trình)

Baứi : Cho phơng tr×nh bËc hai:

x2 – 2(m + 1)x + m2 + 3m + = 0

1) Tìm giá trị m để phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt

2) Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 (trong x1, x2 hai nghiệm phơng trình)

Bài : Cho phơng trình:

x2 2mx + 2m – = 0.

1) Chứng minh phơng trình ln có hai nghiệm phân biệt với m 2) Tìm điều kiện m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

x12(1 – x22) + x22(1 – x12) = -8

Baứi : Cho phơng trình:

x2 – 2(m + 1)x + 2m – 15 = 0.

1) Giải phơng trình với m =

2) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 x2 Tìm giá trị m thoả mÃn 5x1 + x2 =

Bài : Cho ph¬ng tr×nh: x2 + 4x + = (1)

1) Giải phơng trình (1)

2) Gọi x1, x2 hai nghiệm phơng trình (1) Tính B = x13 + x23

Baứi : Cho phơng trình : x2 - (m + 4)x + 3m + = (m lµ tham sè).

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn x13 + x23

Baứi : Cho phơng trình:

(m – 1)x2 + 2mx + m – = (*)

1) Giải phơng trình m =

2) Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm phân biệt

C©u9 Cho phơng trình (2m-1)x2-2mx+1=0

Xỏc nh m phng trỡnh trờn cú nghim thuc khong (-1,0)

Câu 10: Phơng tr×nh: ( 2m-1)x2-2mx+1=0

 Xét 2m-1=0=> m=1/2 pt trở thành –x+1=0=> x=1  Xét 2m-10=> m 1/2 ta có

Δ, = m2-2m+1= (m-1)20 mäi m=> pt cã nghiƯm víi mäi m

ta thÊy nghiƯm x=1 không thuộc (-1,0) với m 1/2 pt có nghiệm x= m−m+1

2 m−1 = 2 m− 1 pt cã nghiƯm kho¶ng (-1,0)=> -1<

2 m− 1 <0

¿

1

2 m− 1+1>0 2 m−1<0

¿{

¿

=>

¿

2 m 2 m− 1>0 2 m− 1<0

¿{

¿

=>m<0

Vậy Pt có nghiệm khoảng (-1,0) m<0 Các tham kho

Câu 1: Cho phơng trình 2x2 + (2m - 1)x + m - = 0

Khơng giải phơng trình, tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thỏa mãn: 3x1 - 4x2 = 11 Giải Để phơng trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2  >

<=> (2m - 1)2 - (m - 1) > 0

Từ suy m  1,5 (1)

Mặt khác, theo định lý Viét giả thiết ta có:

¿

x1+x2=−2m−1 x1 x2=m− 1

2 3x1− 4x2=11

⇔ ¿{ {

¿

¿

x1=13-4m x1=7m−7

26-8m 313-4m

7 −4

7m− 7 26-8m=11

¿{ {

Gi¶i phơng trình 313-4m 4

7m 7

26-8m=11

ta đợc m = - m = 4,125 (2)

Đối chiếu điều kiện (1) (2) ta có: Với m = - m = 4,125 phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt thỏa mãn: x1 + x2 = 11

Câu 2: Cho phơng trình : x2 2(m - 1)x + m2 – = ( ) ; m lµ tham sè.

a/ Tìm m để phơng trình (1) có nghiệm

b/ Tìm m để phơng trình (1) có hai nghiệm cho nghiệm ba lần nghiệm Giải:a/ Phơng trình (1) có nghiệm  ’ 

 (m - 1)2 – m2 –  0

 – 2m  0  m 

b/ Víi m  th× (1) cã nghiƯm

Gäi mét nghiƯm cđa (1) a nghiệm 3a Theo Viet ,ta cã:

2

3 2

.3

a a m

a a m

  

 

 

  a=

1

m 

 3(

m 

)2 = m2 – 3

 m2 + 6m – 15 = 0

 m = –3 2 ( thõa mÃn điều kiện)

Bài (1,5 điểm)

Cho phương trình bậc hai x2 - 5x + m = (1) với x ẩn số

a) Giải phương trình (1) m = 6.

b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn x1 x2 x2 x1 6.

( Qu¶ng Nam 2008 – 2009 ) Gi¶i:

b) Lập ∆ = 25 - 4m

Phương trình có nghiệm x1, x2 ∆ ≥ hay m 

25

Áp dụng hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = ; x1.x2 = m

Hai nghiệm x1, x2 dương

1 2

x x

x x ì + > ïï

íï >

ïỵ hay m > 0.

Điều kiện để phương trình có nghiệm dương x1, x2 là

< m 

25

4 (*)

Ta có: ( )

2

1 2

x + x = +x x +2 x x = +5 m

Suy ra x1 + x2 = m+

Ta có x x1 x2 x1  6 x x1  x1 x2 6

Hay m m  6 2m m 5m 36 0   (1)

 2t3 + 5t2 - 36 = 0

 (t - 2)(2t2 + 9t + 18) = 0

 t - = 2t2 + 9t + 18 = 0

* t - = => t = => m = (thoả mãn (*)).

* 2t2 + 9t + 18 = : phương trình vơ nghiệm

Vậy với m = phương trình cho có hai nghiệm dương x1, x2 thoả mãn

1 2

x x x x 6.

Bài (1,5 điểm) Cho phơng trình (ẩn x): x22(m2)x4m 0 (1)

a) Giải phơng tr×nh (1) m2.

b) Chøng minh r»ng víi giá trị m, phơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phơng trình (1) không phụ thuộc vµo m.

( Hng Yªn 2008-2009 )

Bài Tìm m để phơng trình x2 2x 2m0 có nghiệmx1, x2 thỏa mãn

 2  2

1

1 x x

( Hải Dơng 2008 – 2009 )

Gi¶i: ĐK:  ’ >  + 2m >  m >

1 

.

Theo đề :      

2

2 2

1 2

1 x x   5 x x x x 5

    

2

1 2

1 x x  x x  2x x 5

.

Theo Vi-ét : x1 + x2 = ; x1.x2 = -2m.

 + 4m2 + + 4m =  4m2 + 4m =  4m(m + 1) =  m = m = -1.

Đối chiếu với ĐK m = -1 (loại), m = (t/m). Vậy m = 0.

Câu 5: Cho phương trình x2 – 2mx – = (m tham số)

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt.

b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để

2

1 2

x x  x x 7.

(Hå ChÝ Minh 2008-2009 )

x2 – 2mx – = (m tham số)

a) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt.

Cách 1: Ta có: ' = m2 + > với m nên phương trình ln có hai nghiệm phân biệt.

Cách 2: Ta thấy với m, a c trái dấu nên phương trình ln có hai phân biệt.

b) Gọi x1, x2 hai nghiệm phương trình Tìm m để

2

1 2

x x  x x 7.

Theo a) ta có với m phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Khi ta có S = x x1 2m P = x1x2 = –1

Do x12x22 x x1 7  S2 – 3P =  (2m)2 + =  m2 =  m =  1.

B i 6à (1 im) ( Khánh hòa 2008 -2009 )

Lp phương trình bậc hai ẩn x có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:

x1 + x2 = (1)

1

1

x x 13

x 1 x  16 (2)

Giải:

Ta có: (2) 

1 1 2 2

1 2

x x x x x x 13 2x x (x x ) 13

(x 1)(x 1) x x (x x )

    

  

    

 12x1x2 – 6(x1 + x2) = 13x1x2 – 13(x1 + x2) + 13

 x1x2 = 7(x1 + x2) – 13

 x1x2 = –6

Vậy: Phương trình bậc hai cần lập là: x2 – x – = 0

Bµi 7) Cho phương trình x2 mx m 1 0 .

1/ Chứng minh phương trình có nghiệm x x1, 2 với giá trị m.

2/ Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép 3/ Đặt A x 12x22 6x x1

a) Tính A theo m.

b) Tìm m để A 8

c) Tính giá trị nhỏ A m tương ứng. Gi¶i:

1/ Vì  m2 4m 4 m 22   0, m R

Nên phương trình cho ln có nghiệm x x1, 2 với giá trị m.

2/ Phương trình có nghiệm kép    0 m 2

Khi nghiệm kép x 1.

3/ Theo định lí Vi-ét ta có

1 2

x x m

x x m

 

 

 

 , đó:

a) A x 12x22 6x x1 x1x22 8x x1

m2 8m1 m2 8m8.

b) A8 m2 8m 8 8 m2 8m0

 m 0 m 8

b) Vì  

2

4 8

A m   , dấu xảy m 4, nên:

Giá trị nhỏ A -8, xảy m 4.

Bài (2,0 im) ( Nam Định 2008 -2009 )

Cho phương trình x2 + 2mx + m – = 0

1 Giải phương trình m = 2

Chứng minh: phương trình ln có hai nghiệm phân biệt,với m Hãy xác định m để phương trình có nghiệm dương

Bài (2,0 điểm) ( Thái Bình 2008 -2009 )

1 Gải phương trình với a = 6;

2 Tìm a để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn:

x + x - 3x x = 3412 22

Bài 1: (1,5 im) ( Hải Phòng 2008 -2009 )

Cho phương trình bậc hai, ẩn số x : x2 – 4x + m + = 0.

1 Giải phương trình m =

2 Với giá trị m phương trình có nghiệm.

Tìm giá trị m cho phương trình cho có nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện:

x12 + x22 = 10

Gỵi ý:

1.Khi m= PT là: x2 - 4x +4 =  x = 2

2 Có  = - m Phương trình có nghiệm    m ≤ (*)

3 x12 +x22 = (x1 + x2)2 -2x1x2 = 42 -2(m+1) = 10 m = thoả (*)

Bài 2: Cho phơng trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*)

a.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm âm

b.Tìm m để phơng trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn |x13− x23| =50 Bài 2: Để phơng trình có hai nghiệm âm thì:

¿ Δ=(2 m+1 )2− 4(m2

+m− 6)≥ 0

x1x2=m2+m−6 >0

x1+x2=2 m+1<0

¿{ {

¿

⇔ Δ=25>0

(m− 2)(m+3)>0

m<−1

2

⇔ m<− 3 ¿{ {

b Giải phơng trình: m+3

3

(m − 2)3−¿=50 ¿

¿m1=− 1+√5

m2=− 1−√5

2

¿ ⇔|5 (3 m2+3 m+7)

|=50⇔ m2

+m−1=0

⇔ {

C©u : Cho pt x2

− mx+m− 1=0

a Chøng minh r»ng pt lu«n lu«n cã nghiƯm víi ∀ m

b Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm cđa pt T×m GTLN, GTNN cđa bt P= 2 x1x2+3

x12+x22+2(x1x2+1) Gi¶i a : cm Δ≥ 0∀ m

¿ x1+x2=m x1x2=m− 1

¿{

¿

⇒ P=2 m+1

m2+2 (1) Tìm đk đẻ pt (1) có nghiệm theo ẩn

⇒−1

2≤ P≤ 1

⇒GTLN=−1

2⇔m=− 2 GTNN=1⇔m=1

Bài : Tìm tất số tự nhiên m để phơng trình ẩn x sau:

x2 - m2x + m + = có nghiệm nguyên. Giải:

Phơng trình có nghiệm nguyên  = m4 - 4m - lµ sè phơng

Ta lại có: m = 0; < loại m =  = = 22 nhËn

m  th× 2m(m - 2) >  2m2 - 4m - > 0

 - (2m2 - 2m - 5) <  <  + 4m + 4

 m4 - 2m + <  < m4

 (m2 - 1)2 <  < (m2)2