g/ LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m.. c/ Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m Ýt nhÊt mét[r]
(1)Chủ đề ph-ơng trình bậc hai ẩn A Kiến thức cần nhớ
I Định nghĩa : Ph-ơng trình bậc hai ẩn ph-ơng trình có dạng
2
ax +bx+ =c
trong x ẩn; a, b, c số cho tr-ớc gọi hệ số v a0
II Công thức nghiệm ph-ơng trình bậc hai :
Ph-ơng trình bậc hai
ax +bx+ =c 0(a ≠0)
2
b 4ac =
*) Nếu >0 ph-ơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt :
1
b b
x ; x
2a 2a
− + ∆ − − ∆
= =
*) Nếu =0 ph-ơng trình có nghiệm kép :
1
b x x
2a − = =
*) Nếu <0 ph-ơng trình vô nghiƯm
III C«ng thøc nghiƯm thu gän :
Ph-ơng trình bậc hai
ax +bx+ =c 0(a0)và b=2b '
2
' b ' ac ∆ =
*) Nếu >' ph-ơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt :
1
b ' ' b ' '
x ; x
a a
− + ∆ − − ∆
= =
*) NÕu ∆ =' ph-¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp :
1
b ' x x
a − = =
*) Nếu <' ph-ơng trình vô nghiệm
IV HƯ thøc Vi - et vµ øng dơng :
(2)1
1
b x x
a c x x
a + = −
=
2 Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải ph-ơng tr×nh :
2
x −Sx+ =P
(Điều kiện để có u v
S −4P≥0) NÕu a + b + c = ph-ơng trình
ax +bx+ =c 0(a0) cã hai nghiÖm :
1
c x 1; x
a
= =
NÕu a - b + c = ph-ơng trình
ax +bx+ =c 0(a≠0) cã hai nghiÖm :
1
c x 1; x
a = − = −
V Một số quy tắc, phép biến đổi : - Quy tắc nhân, chia đa thức
- Hằng đẳng thức đáng nhớ
- Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử
- Ph-ơng pháp quy đồng mẫu thức hai hay nhiều phân thức Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số
- Quy tắc biến đổi ph-ơng trình, bất ph-ơng trình
- Khái niệm bậc hai phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai
- Ph-¬ng pháp giải hệ ph-ơng trình B Ph-ơng pháp học lµm
- Nắm đ-ợc đơn vị kiến thức cần nhớ
- Khi làm tập cần đọc kĩ đề bài, xác định dạng Từ có ph-ơng pháp phù hợp để giải
C Các dạng hay gặp môn Toán
I Ph-ơng trình bậc hai tham số (Bài tập giải ph-ơng trình)
1 Ph-ơng trình bậc hai dạng khuyết :
a/ Ph-ơng trình bËc hai khut h¹ng tư bËc nhÊt :
(3)- Chun h¹ng tư tù sang vÕ ph¶i
- Chia c¶ hai vÕ cho hƯ số bậc hai đ-a dạng : x2 = a +) a > ph-ơng trình có nghiệm x= a
+) a = ph-ơng trình có nghiệm x = +) a < ph-ơng trình vô nghiệm
b/ Ph-ơng trình bậc hai khuyết hạng tö tù :
Ph-ơng pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử ph-ơng pháp đặt nhân tử chung, đ-a ph-ơng trình tích giải
2 Ph-ơng trình bậc hai đầy :
Ph-ơng pháp giải :
- Sử dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để giải
- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với số ph-ơng trình đặc bit
3 Ph-ơng trình đ-a đ-ợc ph-ơng trình bậc hai :
a/ Ph-ơng trình trùng ph-ơng :
ax +bx + =c 0(a≠0)
Ph-ơng pháp giải : Đặt t = x2(t0) đ-a vỊ d¹ng :
at + + =bt c
b/ Ph-ơng trình chứa ẩn mẫu :
Ph-ơng pháp giải :
- B-c Tìm điều kiện xác định ph-ơng trình - B-ớc Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu - B-ớc Giải ph-ơng trình vừa nhận đ-ợc
- B-ớc Trong giá trị tìm đ-ợc ẩn, loại giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm ph-ơng trình cho
c/ Ph-ơng trình tích
4 Không giải ph-ơng trình tính giá trị biểu thức
nghim (ỏp dng nh lý Vi-et)
II Ph-ơng trình bậc hai có tham số
1 Giải ph-ơng trình biết giá trị tham số
2 Tìm tham số biết số nghiệm ph-ơng trình (có hai
nghiƯm ph©n biƯt, cã nghiƯm kÐp, cã nghiệm vô nghiệm)
3 ỏp dng nh lý Vi-et
a/ T×m tham sè biÕt nghiƯm ph-ơng trình
(4)c/ Tỡm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm : - Hệ thức đối xứng
- Hệ thức khụng i xng
d/ Tính giá trị biểu thøc nghiƯm theo tham sè
e/ Tìm hệ thức độc lập nghiệm ph-ơng trình khơng phụ vo tham s
f/ Lập ph-ơng trình bậc hai biết hai nghiệm ph-ơng trình
D Một số ví dụ
Bài Giải ph-ơng tr×nh sau :
2
a / 2x − =8
2
b / 3x −5x=0
2
c / 2x− +3x+ =5
4
d / x +3x − =4
3
e / x +3x −2x− =6
x
f /
x x + + =
− −
Gi¶i
2 2
a / 2x − = ⇔8 2x = ⇔8 x = ⇔ = x
Vậy ph-ơng trình có nghiệm x= ±2
2
x x
b / 3x 5x x(3x 5) 5 3x x
3 = =
− = ⇔ − ⇔ ⇔
= =
Vậy ph-ơng trình cã nghiÖm x 0; x = =
2
c / 2x− +3x+ =5
*) Cách : Sử dụng công thức nghiệm :
2
3 4.( 2).5 40 49 0;
∆ = − − = + = > ∆ =
=> ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :
1
3 7
x 1; x
2.( 2) 2.( 2)
− + − −
= = − =
− −
*) C¸ch : NhÈm nghiƯm :
Ta cã : a - b + c = - - + = => ph-ơng trình có
nghiệm : x1 1; x2 5 2 = − = − =
(5)4
d / x +3x − =4
Đặt
t=x (t0) Ta có ph-ơng trình :
t + =3t
a + b + c = + - =
=> ph-ơng trình có nghiÖm : t1= >1 (tháa m·n);
2
4
t
1
= − = − < (lo¹i)
2
t= ⇔1 x = ⇔ = ±1 x
VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiƯm x= ±1
3 2
2
e / x 3x 2x (x 3x ) (2x 6) x (x 3) 2(x 3) (x 3)(x 2)
x x x
x x x
+ − − = ⇔ + − + = ⇔ + − + = ⇔ + − = = − + = = − ⇔ ⇔ ⇔ − = = =
Vậy ph-ơng trình có nghiÖm x= −3; x= ±
x
f /
x x +
+ =
− − (§KX§ : x≠2; x≠5)
Ph-ơng trình : x x x
+ + = − − 2 2
(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)
4 x 6x 3x 30 15x 6x 30
4x 15x
15 4.( 4).4 225 64 289 0; 17
+ − − − − ⇔ + = − − − − − − ⇒ + − + − − = − ⇔ − + − − + = − ⇔ − + + =
∆ = − − = + = > ∆ =
=> ph-ơng trình có hai nghiệm :
1
15 17 x
2.( 4) − +
= = −
− (tháa m·n §KX§)
2 15 17 x 2.( 4) − − = =
(thỏa mÃn ĐKXĐ)
Bài Cho ph-ơng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m :
2
x +mx+ + =m (1)
a/ Giải ph-ơng trình với m = -
b/ Gọi x1; x2 nghiệm ph-ơng trình TÝnh x12+x ; x22 13+x32
(6)c/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2
1
x +x =9
d/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 =
e/ Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm cịn lại
f/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái du
g/ Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm ph-ơng trình không phụ thuộc vào giá trị cđa m
Gi¶i
a/ Thay m = - vào ph-ơng trình (1) ta có ph-ơng trình :
2
2
x 2x
(x 1) x x − + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =
Vậy với m = - ph-ơng trình có nghiệm x =
b/ Ph-ơng trình :
x +mx+ + =m (1)
2
m 4(m 3) m 4m 12 = + =
Ph-ơng trình cã nghiÖm x ; x1 2 ⇔ ∆ ≥0
Khi theo định lý Vi-et, ta có : 2
x x m (a)
x x m (b)
+ = −
= +
*) 2 2
1 2
x +x =(x +x ) −2x x = −( m) −2(m 3)+ =m −2m 6−
*) 3 3
1 2 2
x +x =(x +x ) −3x x (x +x )= −( m) −3(m 3)( m)+ − = −m +3m +9m
c/ Theo phÇn b : Ph-ơng trình có nghiệm x ; x1 2 ⇔ ∆ ≥0
Khi 2 2
x +x =m −2m 6−
Do 2 2
1
x +x = ⇔9 m −2m 6− = ⇔9 m −2m 15− =0
2
(m) (m)
' ( 1) 1.( 15) 15 16 0; ∆ = − − − = + = > ∆ =
=> ph-ơng trình có hai nghiệm : m1 5; m2
1
+ −
= = = = −
(7)Vậy với m = - ph-ơng trình có hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2
1
x +x =9
d/ Theo phÇn b : Ph-ơng trình có nghiệm x ; x1 2 ⇔ ∆ ≥0
Khi theo định lý Vi-et, ta có :
1
x x m (a) x x m (b)
+ = −
= +
HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = (c)
Từ (a) (c) ta có hệ ph-ơng tr×nh :
1 2 1
1 2 2
x x m 3x 3x 3m x 3m x 3m 2x 3x 2x 3x x m x x 2m
+ = − + = − = − − = − −
⇔ ⇔ ⇔
+ = + = = − − = +
Thay
2
x 3m
x 2m
= − −
= +
vµo (b) ta có ph-ơng trình :
2
2
2
2 (m)
( 3m 5)(2m 5) m
6m 15m 10m 25 m
6m 26m 28
3m 13m 14
13 4.3.14
− − + = +
⇔ − − − − = + ⇔ − − − =
⇔ + + =
∆ = = >
=> ph-ơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt :
1
2
13
m
2.3
13 m 2.3 − + = = − − − = = −
Thư l¹i : +) Víi m= − ⇒ ∆ =2 => tháa m·n
+) Víi m 25
3
−
= ⇒ ∆ = > => tháa m·n
VËy víi m 2; m
= = ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa
m·n : 2x1 + 3x2 =
e/ Ph-ơng trình (1) có nghiệm
2
x = − ⇔ −3 ( 3) +m.( 3)− + + = ⇔ −m 2m 12+ = ⇔0 m=6
Khi : x1+x2 = − ⇔m x2 = − −m x1⇔x2 = − − − ⇔6 ( 3) x2 = −3
VËy víi m = ph-ơng trình có nghiệm x1 = x2 = -
f/ Ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dÊu
ac 1.(m 3) m m ⇔ < ⇔ + < ⇔ + < ⇔ < −
(8)g/ Giả sử ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo định lí Vi-et, ta có :
1 2
1 2
1 2
x x m m x x
x x x x
x x m m x x
+ = − = − −
⇔ ⇔ − − = −
= + = −
E Các gặp đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 nhng nm gn õy
1 Các tập tài liệu ôn thi vào lớp 10 Bài Giải ph-ơng trình :
2
4
2
2
2
a / x 5x
b / x 29x 100
c / x 3x x
d / 11x 8x 18x
1
e / 4x 8x
x x
− + =
− + =
− − − + = + − − + =
+ + = +
Bµi Cho ph-ơng trình x2 + px - = cã nghiÖm x
1; x2 H·y lËp ph-ơng trình có hai nghiệm hai số đ-ợc cho tr-ờng hợp sau :
1
a / x− vµ −x2
2
b / x vµ 2
x
Bµi Cho ph-ơng trình : 2
x 3y +2xy 2x 10y− − + =4 (1)
a/ T×m nghiệm (x; y) ph-ơng trình (1) thỏa mÃn x2 + y2 = 10
b/ Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình (1)
Bài Cho ph-ơng trình :
(x+ −k 3) x +2(k+3)x+3k 9− =0 (1)
a/ Giải ph-ơng trình (1) k =
b/ Tìm giá trị k để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm d-ơng nghim õm
Bài Giải ph-ơng trình :
2
2 2
a / x 2x x 2x
b / 6x 15x 2x 5x 1
c / 8x 8x 12x 12x 2( 2x 2x 1) + − + − − =
+ + + + =
− + + − + = − + +
Bài Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số t :
2
x −2(t 1)x− + − =t (1)
(9)b/ Tìm t để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm cho tổng hai nghiệm tích hai nghiệm
Bài Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số m :
2
mx −5x−(m 5)+ =0 (1)
a/ Giải ph-ơng trình (1) m =
b/ Chứng tỏ ph-ơng trình (1) có nghiệm với giá trị m
c/ Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 HÃy tính theo m giá trị biÓu thøc
2
1 2
A= −16x x −3(x +x ).Tìm m để A =
Bài Cho ph-ơng trình ẩn x, tham sè m :
2
(m 3)x+ −2(m +3m)x+m +12=0 (1)
a/ T×m sè nguyên m nhỏ cho ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm ph-ơng trình (1) Tìm số nguyên m lín nhÊt cho 2
1
x +x số nguyên
2 Cỏc bi tập đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh Bài (Bắc Ninh 1997 - 1998)
Cho ph-¬ng trình bậc hai ẩn x, m tham số :
2
2( 3)
x − m− x+ m− = (1)
a/ Chứng tỏ ph-ơng trình (1) có nghiệm với m
b/ Gọi hai nghiệm ph-ơng trình (1) x x1; 2 HÃy tìm
m
1
1
1 m
x + + x + =
Bµi (B¾c Ninh 1998 - 1999)
1 Cho ;
2 3
a= b=
− +
a/ H·y tÝnh : ab vµ a+ b
b/ HÃy lập ph-ơng trình bậc hai có nghiệm
1 ;
1
a b
x x
b a
= =
+ +
(10)2
3
x − mx+ m− = (1)
a/ Chøng minh r»ng với giá trị m ph-ơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt ?
b/ Hãy tìm m để ph-ơng trình (1) có nghiệm
1
x = + Khi tìm nghiệm x2 ph-ơng trình
Bµi (B¾c Ninh 1999 - 2000)
1 Cho biĨu thøc P a b : a b
ab b a ab a b b a
−
= −
− − +
(víi a>0,b>0,a≠b)
a/ Rót gän biĨu thøc P
b/ TÝnh sè trÞ cđa biĨu thøc P biết a b hai nghiệm ph-ơng trình
2
8
x − x+ =
2 Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, m lµ tham sè :
2
2 (1)
x − x+ =m
a/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có nghiệm
b/ Chứng minh với m ph-ơng trình (1) có hai nghiệm số âm
c/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 =
Bài (Bắc Ninh 1999 - 2000)
Cho hai ph-ơng trình bậc hai ẩn x (a tham số) :
2
2
3 (1)
1 (2)
x x a
x ax
− − − = + + =
a/ Giải ph-ơng trình (1) (2) tr-êng hỵp a
= -1
b/ Chøng minh với giá trị a hai
ph-ơng trình có hai ph-ơng
(11)Bài (Bắc Ninh 2000 - 2001)
Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x (m, n tham số) :
2 2
( ) ( )
x + m+n x− m +n = (1)
a/ Gi¶i ph-ơng trình (1) m = n =
b/ Chứng minh với giá trị m, n ph-ơng
trình (1) có nghiệm
c/ Tìm m, n để ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với ph-ơng
tr×nh
5 x − =x
Bài (Bắc Ninh 2001 - 2002)
Cho ph-ơng trình :
2( 1)
x − m+ x+ m+ =
a/ Giải ph-ơng trình
2
m=
b/ Tìm tất giá trị m để ph-ơng trình cho
cã nghiƯm
Bài (Bắc Ninh 2001 - 2002) Cho ph-ơng trình bËc hai :
2
2( 1)
x − m+ x+m + m+ = (1)
a/ Tìm giá trị m để ph-ơng trình ln có hai
nghiƯm ph©n biƯt
b/ Tìm giá trị m thỏa mÃn 2 12
x +x = (Trong x x1, 2 l
hai nghiệm ph-ơng trình) ?
Bài (Bắc Ninh 2002 - 2003)
Cho hai ph-ơng trình :
3 (1)
x − x+ m+ =
vµ
2 10 (2)
(12)a/ Giải hai ph-ơng trình với m = -
b/ Tìm giá trị m để hai ph-ơng trình có
nghiƯm chung
c/ Chøng minh với giá trị m
trong hai ph-ơng trình có nghiệm
Bài (Bắc Ninh 2003 - 2004)
a/ Chứng minh : Nếu ph-ơng trình bậc hai
0 ax +bx c+ =
cã hai nghiƯm lµ x x1, 2 th× x1 x2 b a
+ = − vµ x x1 2 c a =
b/ T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng vµ tÝch cđa
chóng -
c/ Tìm số nguyên a để ph-ơng trình 2
7
x −ax+a − = cã
nghiÖm
Bài 10 (Bắc Ninh 2004 - 2005)
Cho ph-ơng trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + = Giải ph-ơng tr×nh víi m =
2 Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép; vơ nghiệm; có hai nghiệm phõn bit
Bài 11 (Bắc Ninh 2005 - 2006)
Cho ph-ơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) (m lµ tham số)
1) Giải ph-ơng trình (1) với m =
2) Tìm giá trị m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu
3) Víi x1, x2 lµ nghiƯm cđa (1) TÝnh theo m giá trị biểu thức:
A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1)
Bµi 12 (Bắc Ninh 2006 - 2007)
Cho ph-ơng trình (Èn x) : 2x2 + mx + m - = (1)
(13)2) Chøng minh ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m
3) Tỡm giá trị m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyt i ln hn nghim d-ng
Bài 13 (Bắc Ninh 2007 - 2008)
Cho ph-ơng trình bậc hai 2
2(2 1)
x − m− x+ m − = (x lµ Èn) (1)
a/ Chứng minh ph-ơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m
b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phân biệt ph-ơng trình (1) Hãy tìm m để x1+2x2 = −2
Bµi 14 (Bắc Ninh 2008 - 2009)
Cho ph-ơng trình x2 - 2x - = cã hai nghiÖm x 1, x2
Tính giá trị biÓu thøc : 1
x x
S
x x
= +
Bµi 15 (Bắc Ninh 2009 - 2010)
Cho ph-ơng trình :
(m+1)x −2(m−1)x+ − =m 0 (1) (m tham số)
a/ Giải ph-ơng trình (1) víi m =
b/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt
x1; x2 tháa m·n :
1
1
x +x =
F Tài liệu ôn thi đáp ứng đ-ợc dạng nào, mức độ khó dễ nh- ?
- Tài liệu ôn thi cung cấp đ-ợc số đơn vị kiến thức cần nhớ, số tập
- Tuy nhiên có nhiều tập mức độ khó, dạng tập ch-a phong phú để học sinh luyện tập
(14)