1. Trang chủ
  2. » Nghệ sĩ và thiết kế

Phương trình và hệ phương trình chuyên đề phương trình bac hai

14 33 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 14
Dung lượng 100,71 KB

Nội dung

g/ LËp hÖ thøc liªn hÖ gi÷a hai nghiÖm cña ph-¬ng tr×nh kh«ng phô thuéc vµo gi¸ trÞ cña m.. c/ Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ cña m Ýt nhÊt mét[r]

(1)

Chủ đề ph-ơng trình bậc hai ẩn A Kiến thức cần nhớ

I Định nghĩa : Ph-ơng trình bậc hai ẩn ph-ơng trình có dạng

2

ax +bx+ =c

trong x ẩn; a, b, c số cho tr-ớc gọi hệ số v a0

II Công thức nghiệm ph-ơng trình bậc hai :

Ph-ơng trình bậc hai

ax +bx+ =c 0(a ≠0)

2

b 4ac =

*) Nếu >0 ph-ơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt :

1

b b

x ; x

2a 2a

− + ∆ − − ∆

= =

*) Nếu =0 ph-ơng trình có nghiệm kép :

1

b x x

2a − = =

*) Nếu <0 ph-ơng trình vô nghiƯm

III C«ng thøc nghiƯm thu gän :

Ph-ơng trình bậc hai

ax +bx+ =c 0(a0)và b=2b '

2

' b ' ac ∆ =

*) Nếu >' ph-ơng trình cã hai nghiƯm ph©n biƯt :

1

b ' ' b ' '

x ; x

a a

− + ∆ − − ∆

= =

*) NÕu ∆ =' ph-¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp :

1

b ' x x

a − = =

*) Nếu <' ph-ơng trình vô nghiệm

IV HƯ thøc Vi - et vµ øng dơng :

(2)

1

1

b x x

a c x x

a  + = − 

  = 

2 Muốn tìm hai số u v, biết u + v = S, uv = P, ta giải ph-ơng tr×nh :

2

x −Sx+ =P

(Điều kiện để có u v

S −4P≥0) NÕu a + b + c = ph-ơng trình

ax +bx+ =c 0(a0) cã hai nghiÖm :

1

c x 1; x

a

= =

NÕu a - b + c = ph-ơng trình

ax +bx+ =c 0(a≠0) cã hai nghiÖm :

1

c x 1; x

a = − = −

V Một số quy tắc, phép biến đổi : - Quy tắc nhân, chia đa thức

- Hằng đẳng thức đáng nhớ

- Các ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

- Ph-ơng pháp quy đồng mẫu thức hai hay nhiều phân thức Các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân thức đại số

- Quy tắc biến đổi ph-ơng trình, bất ph-ơng trình

- Khái niệm bậc hai phép biến đổi đơn giản biểu thức chứa bậc hai

- Ph-¬ng pháp giải hệ ph-ơng trình B Ph-ơng pháp học lµm

- Nắm đ-ợc đơn vị kiến thức cần nhớ

- Khi làm tập cần đọc kĩ đề bài, xác định dạng Từ có ph-ơng pháp phù hợp để giải

C Các dạng hay gặp môn Toán

I Ph-ơng trình bậc hai tham số (Bài tập giải ph-ơng trình)

1 Ph-ơng trình bậc hai dạng khuyết :

a/ Ph-ơng trình bËc hai khut h¹ng tư bËc nhÊt :

(3)

- Chun h¹ng tư tù sang vÕ ph¶i

- Chia c¶ hai vÕ cho hƯ số bậc hai đ-a dạng : x2 = a +) a > ph-ơng trình có nghiệm x= a

+) a = ph-ơng trình có nghiệm x = +) a < ph-ơng trình vô nghiệm

b/ Ph-ơng trình bậc hai khuyết hạng tö tù :

Ph-ơng pháp giải : Phân tích đa thức vế trái thành nhân tử ph-ơng pháp đặt nhân tử chung, đ-a ph-ơng trình tích giải

2 Ph-ơng trình bậc hai đầy :

Ph-ơng pháp giải :

- Sử dụng công thức nghiệm công thức nghiệm thu gọn để giải

- Sử dụng quy tắc nhẩm nghiệm để tính nghiệm với số ph-ơng trình đặc bit

3 Ph-ơng trình đ-a đ-ợc ph-ơng trình bậc hai :

a/ Ph-ơng trình trùng ph-ơng :

ax +bx + =c 0(a≠0)

Ph-ơng pháp giải : Đặt t = x2(t0) đ-a vỊ d¹ng :

at + + =bt c

b/ Ph-ơng trình chứa ẩn mẫu :

Ph-ơng pháp giải :

- B-c Tìm điều kiện xác định ph-ơng trình - B-ớc Quy đồng mẫu thức hai vế khử mẫu - B-ớc Giải ph-ơng trình vừa nhận đ-ợc

- B-ớc Trong giá trị tìm đ-ợc ẩn, loại giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, giá trị thỏa mãn điều kiện xác định nghiệm ph-ơng trình cho

c/ Ph-ơng trình tích

4 Không giải ph-ơng trình tính giá trị biểu thức

nghim (ỏp dng nh lý Vi-et)

II Ph-ơng trình bậc hai có tham số

1 Giải ph-ơng trình biết giá trị tham số

2 Tìm tham số biết số nghiệm ph-ơng trình (có hai

nghiƯm ph©n biƯt, cã nghiƯm kÐp, cã nghiệm vô nghiệm)

3 ỏp dng nh lý Vi-et

a/ T×m tham sè biÕt nghiƯm ph-ơng trình

(4)

c/ Tỡm tham số biết hệ thức liên hệ nghiệm : - Hệ thức đối xứng

- Hệ thức khụng i xng

d/ Tính giá trị biểu thøc nghiƯm theo tham sè

e/ Tìm hệ thức độc lập nghiệm ph-ơng trình khơng phụ vo tham s

f/ Lập ph-ơng trình bậc hai biết hai nghiệm ph-ơng trình

D Một số ví dụ

Bài Giải ph-ơng tr×nh sau :

2

a / 2x − =8

2

b / 3x −5x=0

2

c / 2x− +3x+ =5

4

d / x +3x − =4

3

e / x +3x −2x− =6

x

f /

x x + + =

− −

Gi¶i

2 2

a / 2x − = ⇔8 2x = ⇔8 x = ⇔ = x

Vậy ph-ơng trình có nghiệm x= ±2

2

x x

b / 3x 5x x(3x 5) 5 3x x

3 =  =

 

− = ⇔ − ⇔ ⇔

= =

Vậy ph-ơng trình cã nghiÖm x 0; x = =

2

c / 2x− +3x+ =5

*) Cách : Sử dụng công thức nghiệm :

2

3 4.( 2).5 40 49 0;

∆ = − − = + = > ∆ =

=> ph-ơng trình có hai nghiệm phân biệt :

1

3 7

x 1; x

2.( 2) 2.( 2)

− + − −

= = − =

− −

*) C¸ch : NhÈm nghiƯm :

Ta cã : a - b + c = - - + = => ph-ơng trình có

nghiệm : x1 1; x2 5 2 = − = − =

(5)

4

d / x +3x − =4

Đặt

t=x (t0) Ta có ph-ơng trình :

t + =3t

a + b + c = + - =

=> ph-ơng trình có nghiÖm : t1= >1 (tháa m·n);

2

4

t

1

= − = − < (lo¹i)

2

t= ⇔1 x = ⇔ = ±1 x

VËy ph-¬ng tr×nh cã nghiƯm x= ±1

3 2

2

e / x 3x 2x (x 3x ) (2x 6) x (x 3) 2(x 3) (x 3)(x 2)

x x x

x x x

+ − − = ⇔ + − + = ⇔ + − + = ⇔ + − = = − + = = −    ⇔ ⇔ ⇔  − = = =

Vậy ph-ơng trình có nghiÖm x= −3; x= ±

x

f /

x x +

+ =

− − (§KX§ : x≠2; x≠5)

Ph-ơng trình : x x x

+ + = − − 2 2

(x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 5)(2 x) (x 2)(2 x) 3(x 5)(2 x) 6(x 5)

4 x 6x 3x 30 15x 6x 30

4x 15x

15 4.( 4).4 225 64 289 0; 17

+ − − − − ⇔ + = − − − − − − ⇒ + − + − − = − ⇔ − + − − + = − ⇔ − + + =

∆ = − − = + = > ∆ =

=> ph-ơng trình có hai nghiệm :

1

15 17 x

2.( 4) − +

= = −

− (tháa m·n §KX§)

2 15 17 x 2.( 4) − − = =

(thỏa mÃn ĐKXĐ)

Bài Cho ph-ơng tr×nh bËc hai Èn x, tham sè m :

2

x +mx+ + =m (1)

a/ Giải ph-ơng trình với m = -

b/ Gọi x1; x2 nghiệm ph-ơng trình TÝnh x12+x ; x22 13+x32

(6)

c/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2

1

x +x =9

d/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn : 2x1 + 3x2 =

e/ Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm x1 = - Tính nghiệm cịn lại

f/ Tìm m để ph-ơng trình có hai nghiệm trái du

g/ Lập hệ thức liên hệ hai nghiệm ph-ơng trình không phụ thuộc vào giá trị cđa m

Gi¶i

a/ Thay m = - vào ph-ơng trình (1) ta có ph-ơng trình :

2

2

x 2x

(x 1) x x − + = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ =

Vậy với m = - ph-ơng trình có nghiệm x =

b/ Ph-ơng trình :

x +mx+ + =m (1)

2

m 4(m 3) m 4m 12 = + =

Ph-ơng trình cã nghiÖm x ; x1 2 ⇔ ∆ ≥0

Khi theo định lý Vi-et, ta có : 2

x x m (a)

x x m (b)

+ = −

 = +

*) 2 2

1 2

x +x =(x +x ) −2x x = −( m) −2(m 3)+ =m −2m 6−

*) 3 3

1 2 2

x +x =(x +x ) −3x x (x +x )= −( m) −3(m 3)( m)+ − = −m +3m +9m

c/ Theo phÇn b : Ph-ơng trình có nghiệm x ; x1 2 ⇔ ∆ ≥0

Khi 2 2

x +x =m −2m 6−

Do 2 2

1

x +x = ⇔9 m −2m 6− = ⇔9 m −2m 15− =0

2

(m) (m)

' ( 1) 1.( 15) 15 16 0; ∆ = − − − = + = > ∆ =

=> ph-ơng trình có hai nghiệm : m1 5; m2

1

+ −

= = = = −

(7)

Vậy với m = - ph-ơng trình có hai nghiÖm x1; x2 tháa m·n : 2

1

x +x =9

d/ Theo phÇn b : Ph-ơng trình có nghiệm x ; x1 2 ⇔ ∆ ≥0

Khi theo định lý Vi-et, ta có :

1

x x m (a) x x m (b)

+ = − 

 = + 

HÖ thøc : 2x1 + 3x2 = (c)

Từ (a) (c) ta có hệ ph-ơng tr×nh :

1 2 1

1 2 2

x x m 3x 3x 3m x 3m x 3m 2x 3x 2x 3x x m x x 2m

+ = − + = − = − − = − −

   

⇔ ⇔ ⇔

 + =  + =  = − −  = +

   

Thay

2

x 3m

x 2m

= − −

 = +

 vµo (b) ta có ph-ơng trình :

2

2

2

2 (m)

( 3m 5)(2m 5) m

6m 15m 10m 25 m

6m 26m 28

3m 13m 14

13 4.3.14

− − + = +

⇔ − − − − = + ⇔ − − − =

⇔ + + =

∆ = = >

=> ph-ơng trình có hai nghiệm ph©n biƯt :

1

2

13

m

2.3

13 m 2.3 − + = = − − − = = −

Thư l¹i : +) Víi m= − ⇒ ∆ =2 => tháa m·n

+) Víi m 25

3

= ⇒ ∆ = > => tháa m·n

VËy víi m 2; m

= = ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 tháa

m·n : 2x1 + 3x2 =

e/ Ph-ơng trình (1) có nghiệm

2

x = − ⇔ −3 ( 3) +m.( 3)− + + = ⇔ −m 2m 12+ = ⇔0 m=6

Khi : x1+x2 = − ⇔m x2 = − −m x1⇔x2 = − − − ⇔6 ( 3) x2 = −3

VËy víi m = ph-ơng trình có nghiệm x1 = x2 = -

f/ Ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dÊu

ac 1.(m 3) m m ⇔ < ⇔ + < ⇔ + < ⇔ < −

(8)

g/ Giả sử ph-ơng trình có hai nghiệm x1; x2 Khi theo định lí Vi-et, ta có :

1 2

1 2

1 2

x x m m x x

x x x x

x x m m x x

+ = − = − −

 

⇔ ⇔ − − = −

 = +  = −

 

E Các gặp đề thi học kì lớp 9, tuyển sinh vào lớp 10 nhng nm gn õy

1 Các tập tài liệu ôn thi vào lớp 10 Bài Giải ph-ơng trình :

2

4

2

2

2

a / x 5x

b / x 29x 100

c / x 3x x

d / 11x 8x 18x

1

e / 4x 8x

x x

− + =

− + =

− − − + = + − − + =

+ + = +

Bµi Cho ph-ơng trình x2 + px - = cã nghiÖm x

1; x2 H·y lËp ph-ơng trình có hai nghiệm hai số đ-ợc cho tr-ờng hợp sau :

1

a / x− vµ −x2

2

b / x vµ 2

x

Bµi Cho ph-ơng trình : 2

x 3y +2xy 2x 10y− − + =4 (1)

a/ T×m nghiệm (x; y) ph-ơng trình (1) thỏa mÃn x2 + y2 = 10

b/ Tìm nghiệm nguyên ph-ơng trình (1)

Bài Cho ph-ơng trình :

(x+ −k 3) x +2(k+3)x+3k 9− =0 (1)

a/ Giải ph-ơng trình (1) k =

b/ Tìm giá trị k để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm d-ơng nghim õm

Bài Giải ph-ơng trình :

2

2 2

a / x 2x x 2x

b / 6x 15x 2x 5x 1

c / 8x 8x 12x 12x 2( 2x 2x 1) + − + − − =

+ + + + =

− + + − + = − + +

Bài Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số t :

2

x −2(t 1)x− + − =t (1)

(9)

b/ Tìm t để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm cho tổng hai nghiệm tích hai nghiệm

Bài Cho ph-ơng trình ẩn x, tham số m :

2

mx −5x−(m 5)+ =0 (1)

a/ Giải ph-ơng trình (1) m =

b/ Chứng tỏ ph-ơng trình (1) có nghiệm với giá trị m

c/ Trong tr-ờng hợp ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 HÃy tính theo m giá trị biÓu thøc

2

1 2

A= −16x x −3(x +x ).Tìm m để A =

Bài Cho ph-ơng trình ẩn x, tham sè m :

2

(m 3)x+ −2(m +3m)x+m +12=0 (1)

a/ T×m sè nguyên m nhỏ cho ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm ph-ơng trình (1) Tìm số nguyên m lín nhÊt cho 2

1

x +x số nguyên

2 Cỏc bi tập đề thi vào lớp 10 Bắc Ninh Bài (Bắc Ninh 1997 - 1998)

Cho ph-¬ng trình bậc hai ẩn x, m tham số :

2

2( 3)

xmx+ m− = (1)

a/ Chứng tỏ ph-ơng trình (1) có nghiệm với m

b/ Gọi hai nghiệm ph-ơng trình (1) x x1; 2 HÃy tìm

m

1

1

1 m

x + + x + =

Bµi (B¾c Ninh 1998 - 1999)

1 Cho ;

2 3

a= b=

− +

a/ H·y tÝnh : aba+ b

b/ HÃy lập ph-ơng trình bậc hai có nghiệm

1 ;

1

a b

x x

b a

= =

+ +

(10)

2

3

xmx+ m− = (1)

a/ Chøng minh r»ng với giá trị m ph-ơng trình (1) cã hai nghiƯm ph©n biƯt ?

b/ Hãy tìm m để ph-ơng trình (1) có nghiệm

1

x = + Khi tìm nghiệm x2 ph-ơng trình

Bµi (B¾c Ninh 1999 - 2000)

1 Cho biĨu thøc P a b : a b

ab b a ab a b b a

  −

= − 

− − +

  (víi a>0,b>0,ab)

a/ Rót gän biĨu thøc P

b/ TÝnh sè trÞ cđa biĨu thøc P biết a b hai nghiệm ph-ơng trình

2

8

xx+ =

2 Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x, m lµ tham sè :

2

2 (1)

xx+ =m

a/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có nghiệm

b/ Chứng minh với m ph-ơng trình (1) có hai nghiệm số âm

c/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn x1 - 2x2 =

Bài (Bắc Ninh 1999 - 2000)

Cho hai ph-ơng trình bậc hai ẩn x (a tham số) :

2

2

3 (1)

1 (2)

x x a

x ax

− − − = + + =

a/ Giải ph-ơng trình (1) (2) tr-êng hỵp a

= -1

b/ Chøng minh với giá trị a hai

ph-ơng trình có hai ph-ơng

(11)

Bài (Bắc Ninh 2000 - 2001)

Cho ph-ơng trình bậc hai ẩn x (m, n tham số) :

2 2

( ) ( )

x + m+n xm +n = (1)

a/ Gi¶i ph-ơng trình (1) m = n =

b/ Chứng minh với giá trị m, n ph-ơng

trình (1) có nghiệm

c/ Tìm m, n để ph-ơng trình (1) t-ơng đ-ơng với ph-ơng

tr×nh

5 x − =x

Bài (Bắc Ninh 2001 - 2002)

Cho ph-ơng trình :

2( 1)

xm+ x+ m+ =

a/ Giải ph-ơng trình

2

m=

b/ Tìm tất giá trị m để ph-ơng trình cho

cã nghiƯm

Bài (Bắc Ninh 2001 - 2002) Cho ph-ơng trình bËc hai :

2

2( 1)

xm+ x+m + m+ = (1)

a/ Tìm giá trị m để ph-ơng trình ln có hai

nghiƯm ph©n biƯt

b/ Tìm giá trị m thỏa mÃn 2 12

x +x = (Trong x x1, 2 l

hai nghiệm ph-ơng trình) ?

Bài (Bắc Ninh 2002 - 2003)

Cho hai ph-ơng trình :

3 (1)

xx+ m+ =

2 10 (2)

(12)

a/ Giải hai ph-ơng trình với m = -

b/ Tìm giá trị m để hai ph-ơng trình có

nghiƯm chung

c/ Chøng minh với giá trị m

trong hai ph-ơng trình có nghiệm

Bài (Bắc Ninh 2003 - 2004)

a/ Chứng minh : Nếu ph-ơng trình bậc hai

0 ax +bx c+ =

cã hai nghiƯm lµ x x1, 2 th× x1 x2 b a

+ = − vµ x x1 2 c a =

b/ T×m hai sè biÕt tỉng cđa chóng b»ng vµ tÝch cđa

chóng -

c/ Tìm số nguyên a để ph-ơng trình 2

7

xax+a − = cã

nghiÖm

Bài 10 (Bắc Ninh 2004 - 2005)

Cho ph-ơng trình: x2 - ( m + 1)x + m2 - 2m + = Giải ph-ơng tr×nh víi m =

2 Tìm m để ph-ơng trình có nghiệm kép; vơ nghiệm; có hai nghiệm phõn bit

Bài 11 (Bắc Ninh 2005 - 2006)

Cho ph-ơng trình: x2 - 2(m + 1)x + m - = (1) (m lµ tham số)

1) Giải ph-ơng trình (1) với m =

2) Tìm giá trị m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu

3) Víi x1, x2 lµ nghiƯm cđa (1) TÝnh theo m giá trị biểu thức:

A = x1(1 - x2) + x2(1 - x1)

Bµi 12 (Bắc Ninh 2006 - 2007)

Cho ph-ơng trình (Èn x) : 2x2 + mx + m - = (1)

(13)

2) Chøng minh ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt với giá trị m

3) Tỡm giá trị m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm trái dấu nghiệm âm có giá trị tuyt i ln hn nghim d-ng

Bài 13 (Bắc Ninh 2007 - 2008)

Cho ph-ơng trình bậc hai 2

2(2 1)

xmx+ m − = (x lµ Èn) (1)

a/ Chứng minh ph-ơng trình (1) có hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m

b/ Gọi x1; x2 hai nghiệm phân biệt ph-ơng trình (1) Hãy tìm m để x1+2x2 = −2

Bµi 14 (Bắc Ninh 2008 - 2009)

Cho ph-ơng trình x2 - 2x - = cã hai nghiÖm x 1, x2

Tính giá trị biÓu thøc : 1

x x

S

x x

= +

Bµi 15 (Bắc Ninh 2009 - 2010)

Cho ph-ơng trình :

(m+1)x −2(m−1)x+ − =m 0 (1) (m tham số)

a/ Giải ph-ơng trình (1) víi m =

b/ Tìm m để ph-ơng trình (1) có hai nghiệm phân biệt

x1; x2 tháa m·n :

1

1

x +x =

F Tài liệu ôn thi đáp ứng đ-ợc dạng nào, mức độ khó dễ nh- ?

- Tài liệu ôn thi cung cấp đ-ợc số đơn vị kiến thức cần nhớ, số tập

- Tuy nhiên có nhiều tập mức độ khó, dạng tập ch-a phong phú để học sinh luyện tập

(14)

Ngày đăng: 11/01/2021, 23:39

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w