Thi lop 10 HN năm 2014

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm trong một số ngày quy định. Do mỗi ngày phân xưởng đó sản xuất vượt mức 5 sản phẩm nên phân xưởng đã hoàn thành kế hoạch sớm [r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ NỘI KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPTNăm học 2014 – 2015 Mơn thi: Tốn

Ngày thi: 23 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm).

1) Tính giá trị biểu thức :

1 x A

x

 

 x = 9.

2) Cho biểu thức

2 1

2

x x

P

x x x x

 

 

  

  

  với x > 0;x1.

a) Chứng minh

1 x P

x

 

b) Tìm giá trị x để 2P = x5

Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình:

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm?

Bài III (2,0 điểm).

1) Giải hệ phương trình

4

5

1

1 x y y x y y



 

  

 

  

  



2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + parabol (P): y = x2. a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)

b) Gọi A, B giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài IV (3,5 điểm).

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt cắt đường thẳng AM, An điểm Q, P

1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật

2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn

3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vng góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF

4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ

Bài V (0,5 điểm).

Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

Q a bc  b ca  c ab

-Hết -Cán coi thi khơng giải thích thêm.

Họ tên thí sinh Số báo danh: Giám thị (Họ tên ký) Giám thị (Họ tên ký)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI

ĐÁP ÁN – BIỂU ĐIỂM

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học 2014 – 2015

Môn thi: Toán

Ngày thi: 23 tháng năm 2014 Thời gian làm bài: 120 phút Bài I (2,0 điểm).

1) Tính giá trị biểu thức :

1 x A x  

 x = 9.

2) Cho biểu thức

2 1

2

x x

P

x x x x

 

 

  

  

  với x > 0;x1.

a) Chứng minh

1 x P x  

b) Tìm giá trị x để 2P = x5

Bài 1 Hướng dẫn giải Điểm

Bài 1.1

(0,5 điểm) Với x =

3

9

3 x    A   

 0,

Bài 1.2. (1,5 điểm)

a) Chứng minh

1 x P x   - Với x > 0;x1ta có

2

( 2) ( 2)

x x x

P

x x x x x

              0, 25

( 2)

x x x

P

x x x

  



 

0, 25

( 1)( 2)

( 2)

x x x

P

x x x

      = x x 

- Vậy vớix > 0;x1ta có

1 x P x   0, 25

b) - Với x > 0;x1ta có:

1 x P x  

- Để 2P = x5 nên

2 x x

 

2 x5

0, 25

- Đưa phương trình 2x3 x 0

- Tính

2( ) 1

1 4

2 x loai

x x

 

  

 

 thỏa mãn điều kiện x > 0;x1 - với x = 1/4 2P = x5

0, 25

Bài II (2,0 điểm) Giải toán sau cách lập phương trình:

Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm?

Bài 2 Hướng dẫn giải (2,0 điểm)

Bài 2 (2,0 điểm)

- Gọi ngày phân xưởng phải sản xuất số sản phẩm theo x ( sản phẩm; đk x nguyên dương)

Khi thực tế ngày phân xưởng làm số sản phẩm x + (sp)

0,

- Số ngày làm theo kế hoạch là: 1100

x ngày Số ngày làm thực tế là:

1100

x ngày 0,5

Vì thời gian thực tế kế hoạch ngày , ta có phương trình: 1100 1100

2

x  x  0,25

+ Giải phương trình tìm x155;x2 50 0,5 Vì x0 nên x150 thỏa mãn điều kiện ẩn, x2 55 không

thỏa mãn điều kiện ẩn

Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng làm 50 sp 0,25 Bài III (2,0 điểm).

1) Giải hệ phương trình

4

5

1

1 x y y x y y



 

  

 

  

  



2)Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d) : y = - x + parabol (P): y = x2. a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)

b) Gọi A, B giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB

Bài 3 Hướng dẫn giải Điểm

Bài 3.1 (1,0 điểm)

Giải hệ phương trình

4

5(1)

4

4(2)

x y y x y y



 

  

 

  

  

 đk xy y; 1

0,25

9

9 1 2( )

1 y y tm

y      

- Thay y = vào (1) ta tính x = -1 Vậy hệ pt có nghiệm (x; y) = ( - 1; )

0,25 Bài 3.2.

(1,0 điểm)

a) - Xét phương trình hồnh độ giao điểm:

2 2+

3 x = -x + x x - = x

x

    

 

0, 25

- Chỉ ra:

2

3

x y

x y

  



   



- Kết luận: A(2;4) B(-3;9)

0, 25

- b) Gọi A’, B’ hình chiếu A B xuống trục hồnh Ta có SOAB SAA 'B'B SOAA' SOBB'

Ta có A’B’ = xB' xA ' xB' xA ' 5 , AA’ =yA 9, BB’ = yB 4

0, 25

Diện tích hình thang : SAA'B'B

AA ' BB' 65 A 'B'

2 2

 

  

(đvdt) OAA'

S

1 27

A 'A.A 'O

2

 

(đvdt); SOBB'

B'B.B'O

 

(đvdt) OAB AA 'B'B OAA ' OBB'

65 27

S S S S 15

2

  

 

        

  (đvdt)

- Kết luận

0, 25

Bài IV (3,5 điểm).

Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt cắt đường thẳng AM, An điểm Q, P

1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật

2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn

3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vuông góc với OE O cắt PQ F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF

4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đương kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ

.Bài Hướng dẫn giải (3,5 điểm)

Hình vẽ: 0,25

A B

P

O

F

E N

1 (0,75 điểm)

- Tứ giác AMBN có góc vng, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O;R)

0,75

2 (1 điểm)

Ta có ANM ABM  (cùng chắn cung AM (O;R) ) 0,25

- Chỉ raABM AQB  (cùng phụ với góc MAB) 0,25

- Nên ANM AQB  0,25

- Vì ANM AQB  nên MNPQ nối tiếp (do có góc ngồi đỉnh

bằng góc đối diện ) 0,25

3 (1,0 điểm)

*/ Chứng minh: F trung điểm BP

- Chỉ OE đường trung bình tam giác ABQ

- Chứng minh OF // AP nên OF đường trung bình tam giác ABP Suy F trung điểm BP

0,25 0,25 */ Chứng minh: ME // NF

Mà AP vng góc với AQ nên OE vng góc OF

Xét tam giác vng NPB có F trung điểm cạnh huyền BP Xét tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên ONF 90  0.

Tương tự ta có OME 90  0nên ME // NF vng góc với MN

0,25 0,25

4 (0,5 điểm)

- Ta thấy : 2SMNPQ 2SAPQ 2SAMN

2R.PQ AM.AN 2R.(PB BQ) AM.AN

    

- Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy

AB BP

QBBA  AB2 BP.QB

Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có PB BQ PB.BQ (2R)   4R

0,25

- Ta có

2 2

AM AN MN

AM.AN

2



 

= 2R2 Do đó,2SMNPQ 2R.4R 2R 6R2 Suy

2 MNPQ

S 3R

Dấu xảy AM =AN PQ = BP hay MN vuông góc AB

0,25

Bài V (0,5 điểm).

Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức

2 2

Q a bc  b ca  c ab

Bài 5 Hướng dẫn giải (0,5 điểm)

- Ta có Q 2a bc  2b ca  2c ab

Mà 2a bc  (a b c)a bc   (Do a + b +c = 2)  a2ab bc ca 

(0,5 điểm)

(a b) (a c) (a b)(a c)

2

  

   

(Áp dụng bất đẳng thức với số dương a+b a+c) Vậy ta có 2a bc

(a b) (a c)

  



(1) Tương tự ta có :

2b ca

(a b) (b c)

  



(2) 2c ab

(a c) (b c)

  



(3)

Cộng (1) (2) (3) vế theo vế  Q 2(a b c) 4    Khi a = b = c =

2

3 thì Q = giá trị lớn Q 4.

0,25

Lưu ý chấm bài:

- Điểm tồn khơng làm trịn.

- Trên sơ lược bước giải, lời giải học sinh cần lập luận chặt chẽ, hợp logic Nếu học sinh trình bày cách làm khác mà cho điểm phần theo thang điểm tương ứng.