Sáng kiến kinh nghiệm Toán: Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

Trong môn hình học nói chung và môn hình học cấp trung học cơ sở nói riêng, mảng nghiên cứu về điểm và đường thẳng luôn là đề tài xuyên suốt quá trình học của các em học sinh, nó là nền [r]

PHẦN MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong mơn hình học nói chung mơn hình học cấp trung học sở nói riêng, mảng nghiên cứu điểm đường thẳng đề tài xuyên suốt trình học em học sinh, tảng hình, góc, cạnh, … Trong đó, việc chứng minh ba điểm thẳng hàng đóng vai trị khơng nhỏ việc tìm lời giải tốn liên quan đến điểm đường thẳng Bộ mơn tốn hình học địi hỏi tư trừu tượng, người thầy giáo giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh với khả sáng tạo, ham thích học giải dạng tập mà cần phải thông qua chứng minh ba điểm thẳng hàng, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết tốt kỳ thi Từ tơi mạnh dạn chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm "Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng" nhằm giúp giúp học sinh nắm vững phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, giúp học sinh tư logic với cụ thể dạng khác

2. MỤC ĐÍCH CỦA ĐỀ TÀI:

Giúp HS hiểu nắm cách giải, dạng toán “Chứng minh ba điểm thẳng hàng” Đồng thời rèn cho HS khả phân tích, khái qt hóa, tổng hợp phát huy tính tích cực, tư sáng tạo, nhạy bén, tự học tạo say mê, hứng thú khơng cịn lúng túng, ngần ngại gặp toán Giúp HS thấy ý nghĩa việc chứng minh thẳng hàng nhằm giải toán khác

3. NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI:

- Xây dựng kế hoạch thực từ đầu năm học

- Tổ chức cho học sinh ôn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp Sau chuyên đề kiểm tra kiến thức học sinh (đề dạng đề thi để học sinh làm quen dần)

- Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy tự học; tìm tịi nhiều dạng tập phong phú cho học sinh luyện tập không lớp mà nhà

- Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải cách tỉ mỉ, khai thác triệt để phương pháp giải cho em luyện tập lần toán tương tự lớp Sau buổi học Giáo viên giao tập nhà cho em luyện tập để em khắc sâu dạng tốn ơn tâp

- Trong việc giảng dạy mơn tốn giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo linh hoạt, tự tìm tịi kiến thức mới, phương pháp làm toán dạng phương pháp thơng thường mà cịn phải dùng số phương pháp khó phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ giúp em có hứng thú học tập, ham mê học toán phát huy lực sáng tạo gặp dạng tốn khó

4. PHẠM VI VÀ PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU ĐỀ TÀI: Đề tài áp dụng cho HS lớp 7, 8,

Đề tài thực luyện tập, ôn tập, phụ đạo, ôn thi PHẦN NỘI DUNG

A. CƠ SỞ KHOA HỌC:

Chương trình Giáo dục nước ta giai đoạn với mục tiêu nhằm tạo người phát triển cách toàn diện Muốn vậy, ta phải đổi phương pháp dạy học, khắc phục cách truyền thụ kiến thức chiều, thụ động mà cần phải hình thành rèn luyện cho HS tư độc lập sáng tạo, áp dụng phương pháp tiên tiến, phương tiện đại, sử dụng công nghệ thông tin vào giảng dạy học tập.Tích cực tự học, tự nghiên cứu để tìm hiểu vấn đề cách sâu sắc Vận dụng kiến thức vào thực tiễn cách linh động, từ tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh B. THỰC TRẠNG:

- Học sinh chưa hiểu sâu rộng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng đặc biệt tốn khó, em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo chưa thấu hiểu định lý tiên đề hình học - Khi gặp toán chứng minh ba điểm thẳng hang học sinh khơng biết làm gì? Khơng biết theo hướng nào? Không biết liên hệ cho đề với kiến thức học

- Suy luận kém, chưa biết vận dụng phương pháp học vào dạng toán khác

- Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại gặp tốn khó

- Khảo sát thực tiễn:

Khi chưa thực đề tài này, hầu hết em làm tập lúng túng, thời gian làm nhiều, chí khơng tìm cách giải Để thực hiện đề tài tiến hành khảo sát lực học sinh thông qua một số kiểm tra kết sau:

Tæng sè HS

Xếp loại

Giỏi Khá Trung bình Yếu

SL % SL % SL % SL %

84 6% 21 25% 39 46% 19 23%

Thông qua kết khảo sát suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững yêu cầu trình giải tốn chứng minhba điểm thẳng hàng Tôi mạnh dạn nêu số biện pháp đây:

C NỘI DUNG:

1 CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA ĐỀ TÀI:

- Dạng toán chứng minh ba điểm thẳng hàng dạng toán thường có đề thi học kỳ tuyển sinh, khơng lạ khó chứng minh học sinh, học sinh thường lúng túng giải chưa nắm sở để chứng minh, không thấy mối liên hệ mật thiết lý thuyết hình học liên quan đến dạng toán

2 PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC:

Thực việc cải tiến, đổi phương pháp dạy học gây say mê hứng thú cho HS, GV phối hợp nhiều phương pháp giảng nhằm giúp HS nắm bước phân tích đa thức thành nhân tử, vận dung tốt kiến thức học vào tập Giáo viên phải trang bị cho học sinh đơn vị kiến thức quy tắc, thành thạo phép nhân đơn thức với đa thức, nhân đa thức với đa thức, phép chia đơn thức cho đơn thức, phép chia đa thức cho đơn thức, chia hai đa thức xếp, quy tắc đổi dấu đa thức, thật thuộc vận dụng thành thạo đẳng thức đáng nhớ

3 SỬ DỤNG ĐỒ DÙNG DẠY HỌC:

Ứng dụng công nghệ thông tin giảng dạy nhu cầu cần thiết tất mơn học, có mơn tốn đặc biệt tốn hình học Việc dạy cần có hình ảnh hiệu ứng minh họa , tạo hình ảnh trực quan sinh động , số trò chơi giúp em khắc sâu kiến thức Giáo viên cho học sinh nắm vững định nghĩa, định lý tiên đề việc chứng minh ba điểm thẳng hàng

Định nghĩa: Ba điểm thẳng hàng ba điểm nằm đường thẳng

4 CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:

4.1.Sử dụng tính chất đường trung trực đoạn thẳng, đường phân giác góc:

A Kiến thức bản:

OA OB CA CB DA DB

 

  



  C, O D thẳng hàng;

LA,KB Ox; LC, KD Oy

, L, K LA = LC

KB = KD

O         

B Bài tập

Bài 1: Cho hình thoi ABCD, O giao điểm hai đường chéo AC BD. Trên cạnh AB AD lấy hai điểm K H cho AK =AH Gọi I giao điểm BH DK

Chứng minh: Ba điểm A, I, O thẳng hàng Chứng minh:

Xét  ADK ABH, ta có: AK = AH (gt )

KAD góc chung; AD = AB (gt )

 ADK = ABH (c.g.c)  ADK ABH  

Mà ADK IDB ADB; ABH IBD ABD        ADB ABD    (vì tứ giác ABCD hình thoi)  IDB IBD     Tam giác IBD cân, IB = ID Vậy: AB = AD; IB = ID; OB = OD

Do ba điểm A, I, O nằm đường trung trực BD Nên ba điểm A, I, O thẳng hàng

Bài 2:

Cho  ABC cân A, AH phân giác góc BAC (H  BC) Qua điểm B vẽ đường vng góc với AB qua điểm C vẽ đường vng góc với AC, chúng cắt O Chứng minh: Ba điểm A, H, O thẳng hàng

Giải : (Nhiều cách ) Chứng minh:

Cách 1:  ABO =  ACO

(AB =AC, AO cạnh chung, ABO ACO 90   0)  BAO CAO 

Mà AH phân giác BAC Do ba điểm A, H, O thẳng hàng

Cách 2:  ABO =  ACO ( tương tự cách 1)

 OB = OC  điểm O nằm đường trung trực BC Mà AH đường phân giác  ABC cân A

Do AH đường trung trực BC  Ba điểm A, H, O thẳng hàng

Bài 3: Tam giác ABC vuông A có AB = 15cm, BC = 25cm Đường trịn (O) đường kính AB cắt đường trịn (O’) đường kính AC D Gọi M điểm cung nhỏ DC, AM cắt đường tròn (O) N

a) Chứng minh: Ba điểm B, C, D thằng hàng b) Chứng minh: Ba điểm O, N, O’ thẳng hàng Chứng minh:

a) Ta có D giao điểm hai đường trịn đường kính AB AC ADB = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O))

ADC = 90o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn (O’))

Do ADB ADC  =180o

 Ba điểm B, D, C thẳng hàng

b) Ta có OO’ đường nối tâm hai đường tròn

AD dây chung  OO’ đường trung trực AD

Ta có: DM = MC  (gt)

Do DAM MAC  (cùng chắn hai cung nhau)

Mà góc MAC hay góc NAC góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung AN

ADN góc nội tiếp chắn cung AN  NAC ADN  mà NAC = DAM 

 N nằm đường trung trực AD  Ba điểm O, N, O’ thẳng hàng.

4.2 Sử dụng tiên đề Ơ-clit hệ quả: A Kiến thức bản

- Tiên đề Ơ-clit: Qua điểm A nằm đường thẳng a, kẻ một

đường thẳng song song với a.

- Hệ quả: Qua điểm A nằm đường thẳng a, kẻ đường

thẳng vng góc với a.

BA// a, BC// a AC  a , BC  a  A, B, C thẳng hàng  A, B, C thẳng hàng (hay AB  a, BC  a  A, B, C thẳng hàng) B Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC, vẽ trung tuyến BD CE, tia đối các tia EC DB lấy thứ tự điểm M N cho EM = EC, DN = DB Chứng minh ba điểm M, A N thẳng hàng

Chứng minh:

Tứ giác MACB có EA = EB, EM = EC (gt)  Tứ giác MACB hình bình hành

 AM//BC (1) Chứng minh tương tự, ta có AN//BC (2)

Từ (1) (2), theo tiên đề Ơclit suy AM AN Hay ba điểm M, A N thẳng hàng

Bài 2: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi M, I, K, N trung điểm AD, BD, AC, BC Chứng minh bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng

Chứng minh:

M trung điểm AD, N trung điểm BC  MN đường trung bình hình thang ABCD  MN //AB, MN // CD (1)

* Xét Δ ADC, ta có:

M trung điểm AD, K trung điểm AC  MK đường trung bình Δ ADC

 MK // DC (2)

Từ (1) (2)  M, K, N thẳng hàng (*)

* Xét Δ BDC, ta có I trung điểm BD, N trung điểm BC  IN đường trung bình Δ BDC

 IN // DC (3)

Từ (1) (3)  M, I, N thẳng hàng (**)

Từ (*) (**) suy bốn điểm M, I, K, N thẳng hàng 4.3 Sử dụng tính chất cộng đoạn thẳng:

A Kiến thức bản * Tính chất:

Nếu AM + MB = AB M nằm A B.

B Bài tập: Cho tứ giác ABCD Gọi M, I N thứ tự trung điểm AD, BD BC Chứng minh

AB CD MN

2  

M, I N thẳng hàng tứ giác ABCD trở thành hình thang

Chứng minh:

Giả sử

AB CD MN

2  

(1)

Suy MI // AB MI AB 

Chứng minh tương tự, ta có NI //DC

1 NI CD  Mà AB CD MN   = 1 AB CD

2 2 hay MN = MI + NI.

Từ suy I nằm M N, hay M, I N thẳng hàng Lúc ta có AB//CD (vì song song với MN)

Do tứ giác ABCD hình thang

Vậy AB CD MN  

thì M, I, N thẳng hàng tứ giác ABCD hình thang 4.4 Sử dụng tính chất góc bẹt:

A Kiến thức bản:

* Tính chất: Nếu AOC BOC AOB 180    0 ba điểm A, O B thẳng hàng

B Bài tập:

Bài 1: Cho hai đường tròn (O) (O’) cắt A B Vẽ đường kính

AC AD hai đường trịn Chứng minh ba điểm C, B, D thẳng hàng

Chứng minh:

Ta có: Góc ABC góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  ABC = 90o

Góc ABD góc nội tiếp chắn nửa đường tròn  ABD = 90o

 ABC ABD CBD 180     o  Ba điểm C, B, D thẳng hàng.

Bài 2: Cho Δ ABC nội tiếp đường tròn (O), M điểm cung

BC không chứa điểm A Gọi D, E, F hình chiếu M BC, AC, AB

Chứng minh:

Xét tứ giác MDBF, ta có:

MDB 90  o (vì MD BC) MFB 90  o (vì MF AB)

 MDB MFB 180    o

 Tứ giác MDBF nội tiếp đường tròn.

 BDF BMF  

(hai góc nội tiếp chắn cung BF)

Xét tứ giác MDEC, ta có: MDC 90  o(vì MD BC) MEC 90  o(vì ME AC)

Hai đỉnh D E nhìn xuống cạnh MC góc 90o

Nên tứ giác MDEC nội tiếp đường tròn

 

EDC EMC (hai góc nội tiếp chắn cung EC)

Ta có tứ giác ABMC nội tiếp đường trịn bốn đỉnh nằm đường trịn

  o

ABM ACM 180 

Mà ABM MBF =180   o(hai góc kề bù)

 

ACB MBF

 

Xét Δ vng BMF Δ vng CME có ECM EMC 90    o

  o

MBF BMF 90  , mà ECM MBF     EMC BMF  

 BDF EDC    , mà  

o

BDF FDC 180   EDC FDC 180    o

 Ba điểm D, E, F thẳng hàng

Bài 3: Cho đường tròn (O;R) đường kính AB, dây CD vng góc với AB (CA<CD) Hai tia BC DA cắt E Từ E kẻ EH vng góc với AB H; EH cắt CA F Chứng minh rằng:

a) Ta có: EF//CD (cùng vng góc với AB)

 HEA ADC   (slt) (1)

Vì ABCD  AB trung trực CD,

hay tam giác ACD cân A

 ADC ACD   (2)

Từ (1) (2) suy FED FCD    Tứ giác CDFE nội tiếp

b) Vì tứ giác CDFE nội tiếp,

mà ECF 90  0 (do góc nội tiếp ACB chắn đường kính)

 EDF ECF 90   

Mà ADB 90  0 (góc nội tiếp chắn đường kính)

 EDF EDB 90   0, hay ba điểm B, D, F thẳng hàng.

4.5 Sử dụng tính chất đồng quy ba đường tam giác:

* Tính chất: Trong tam giác, ba đường cao, ba đường trung tuyến, ba

đường phân giác, ba đường trung trực đồng quy

* Bài tập: Cho hình bình hành ABCD, gọi O giao điểm hai đường chéo; E điểm đối xứng A qua B; F giao điểm BC ED; G giao điểm BC OE; H giao điểm EC OF Chứng minh ba điểm A, G H thẳng hàng

Chứng minh:

* Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD Nên OA = OC  EO trung tuyến EAC Điểm E đối xứng với A qua B nên B trung điểm EA Suy CB trung tuyến EAC Điểm G giao điểm BC EO,

* Mặt khác ta có: ABCD hình bình hành nên AB//CD AB = CD  BE//CD BE = CD  BECD hình bình hành

 F trung điểm BC ED

Ta có OF đường trung bình BAC nên OF//AB  OH//AE, mà O trung điểm AC  HE = HC

Do AH đường trung tuyến EAC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A, G H thẳng hàng (đpcm)

4.6 Điểm nằm đường thẳng chứa điểm cịn lại:

Ví dụ: Hình bình hành ABCD có O trung điểm đường chéo BD O trung điểm AC hay ba điểm O, A, C thẳng hàng

Bài 1: (Bài 47/trang 93 sgk hình học tập I )

Cho hình vẽ, ABCD hình bình hành a) Chứng minh rằng: tứ giác AHCK hình bình hành

b) Gọi O trung điểm HK Chứng minh: Ba điểm A, O, C thẳng hàng Chứng minh:

a) Xét  vuông ADH  vng BCK có:

AD = BC (vì tứ giác ABCD hình bình hành)

 

ADH CBK  (so le trong)

  ADH =  BCK (c.h-g.n)  AH = CK

Mà AH // CK (vì vng góc với BD)  Tứ giác AHCK hình bình hành

b) Xét hình bình hành AHCK có: O trung điểm HK (gt)  O trung điểm AC

Bài 2: Cho đường trịn tâm (O) đường kính AB, C điểm đường tròn. Tiếp tuyến A C (O) cắt P CH đường cao ABC (H  AB) M trung điểm CH Chứng minh ba điểm B, M, P thẳng hàng Chứng minh:

Gọi E giao điểm AP BC,

Ta có ACB 90   o (góc nội tiếp chắn nửa đường trịn)  ACE 90  o

PA PC hai tiếp tuyến cắt P  PA = PC (1)   PAC cân P

 PAC PCA   Mà: PAC AEC 90   o

  o

PCA PCE 90 

 

PAC PCA  PEC PCE  

  PEC cân P  PC = PE (2) Từ (1) (2)  PA = PE

EA  AB (vì EA tiếp tuyến (O)) CH  AB (vì CH đường cao  ABC)  EA // CH

* Gọi M’ giao điểm CH BP

Trong  BEP có CM’ // EP

' ' CM BM = EP BP  (3 )

Trong  BPA có M’H// PA

' '

M H BM = PA BP 

(4 )

Từ (3) (4)

' ' CM M H

= EP PA 

mà PE = PA (cmt)  CM’ = M’H

Hay M’ trung điểm CH  M’ trùng với M

 Ba điểm B, M, P thẳng hàng

a) Chứng minh BHCK hình bình hành b) Chứng minh ba điểm A, O K thẳng hàng Chứng minh:

a) Tứ giác BHCK hình bình hành (có hai đường chéo cắt trung điểm đường)

b) BHCK hình bình hành, suy BK//CF, KC//BE Mà CFAB, BE AC

 KBAB, KCAC hay ABK ACK 180  

 ABKC nội tiếp đường trịn tâm O, đường kính AK, hay ba điểm A, O K thẳng hàng

***

Trên định hướng ban đầu phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng, nhằm giúp học sinh chọn phương pháp giải phù hợp với tốn Vì kiến thức thuộc dạng khó chứng minh học sinh, nên bước đầu thân chọn tập nhỏ, đơn giản, tập chủ yếu vận dụng kiến thức học để qua giới thiệu cách chứng minh ba điểm thẳng hàng Tuy nhiên dù dễ hay khó giáo viên cần phân tích kỹ đề để học sinh tìm phương pháp giải phù hợp, tránh lập luận sai lập luận quanh co dẫn đến sai lầm đáng tiếc

D HIỆU QUẢ:

Áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy trường THCS NGUYỄN TẤT THÀNH HKI năm học 2018 – 2019, thu kết khả quan

Kết đánh giá tỉ lệ mơn Tốn học sinh lớp 8A4 HKI:

Tæng sè HS

XÕp loại

Giỏi Khá Trung bình Yếu

KẾT LUẬN:

Trên suy nghĩ việc làm mà thực lớp 8.10, 8.11 học kỳ qua có kết đáng kể học sinh Tôi nghĩ với vấn đề toán học, ta cần sâu vào dạng tìm hướng giải, phát triển hướng tư cho chắn HS nắm vấn đề

Đề tài chứng minh ba điểm thẳng hàng kiến thức rộng sâu, tương đối khó học sinh, cần thiết chương trình hình học trung học sở Với lượng kiến thức ngày nâng cao, khó cịn hạn chế nên tơi hình thành cung cấp cho em cách nhận dạng, cách giải, cách trình bày lời giải nên học sinh giải dạng tốn Do em khơng cịn cảm thấy e ngại mà ngược lại cịn say mê với dạng tốn

Do khả có hạn, kinh nghiệm giảng dạy chưa nhiều, tầm quan sát tổng thể chương trình mơn tốn chưa cao, nên khó tránh khỏi thiếu sót định Vì để đề tài tơi thật có hiệu q trình giảng dạy, tơi mong nhận đóng góp, giúp đỡ nhiệt tình hội đồng khoa học giáo dục nhà trường Phòng GD&ĐT CƯMGAR để đề tài hoàn thiện

PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài

2 Mục đích đề tài 3 Nhiệm vụ đề tài

4 Phạm vi phương pháp nghiên cứu đề tài PHẦN NỘI DUNG A CƠ SỞ KHOA HỌC

B THỰC TRẠNG C NỘI DUNG

Nội dung kiến thức Phương pháp dạy học

3 Sử dụng đồ dùng dạy học 4 Các biện pháp thực D HIỆU QUẢ