Phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng

Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn) Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của http://xuctu.com 1 Chuyên ñề 1 Chứng minh các ñiểm thẳng hàng 1. Sử dụng tiên ñề Ơcơlit và hệ quả − −− − Tiên ñề Ơcơlit : Qua một ñiểm A nằm ngoài ñường thẳng a kẻ ñược duy nhất một ñường thẳng song song với a. − −− − Hệ quả : Qua một ñiểm A nằm ngoài ñường thẳng a kẻ ñược duy nhất một ñường thẳng vuông góc với a. Ví dụ 1. Cho tam giác ABC với hai trung tuyến BD và CE. Gọi M và N theo thứ tự thuộc các tia ñối của các tia EC và DB sao cho EC = EM và DB = DN. Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng. Lời giải Tứ giác AMBC có EA = EB, EM = EC (gt) nên là hình bình hành. Suy ra AM // BC. (1) Chứng minh tương tự ta có AN // BC. (2) Từ (1) và (2) suy ra ba ñiểm A, M, N thẳng hàng (tiên ñề Ơcơlit). Ví dụ 2. Cho hình chữ nhật ABCD (AB < CD) có O là giao ñiểm của hai ñường chéo. Trên tia ñối của tia CD lấy ñiểm E sao cho CE = CD. Gọi F là hình chiếu của của D trên BE ; I là giao ñiểm của AB và CF ; K là giao ñiểm của AF và BC. Chứng minh rằng ba ñiểm O, K, I thẳng hàng. Lời giải Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn) Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của http://xuctu.com 2 ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AC = BD và OA = OB = OC = OD. Ta có CB ⊥ AI (vì ABCD là hình chữ nhật) ⇒ CB là ñường cao của ∆CAI. (1) ∆FBD vuông tại F (vì F là hình chiếu của D lên BE) có FO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BD nên OF = 1 2 BD ⇒ OF = 1 2 AC. ∆FAC có FO là ñường trung tuyến ứng với cạnh AC mà FO = 1 2 AC nên ∆FAC vuông tại F. Suy ra AF ⊥ CI hay AF là ñường cao của ∆CAI. (2) K là giao ñiểm của AF và CB nên từ (1) và (2) suy ra K là trực tâm của ∆CAI. Do ñó IK ⊥ AC. (3) Mặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE (cùng bằng CD) và AB // CE (vì AB // CD) nên là hình bình hành ⇒ BE // AC ⇒ BF //AC ⇒ ABFC là hình thang. Lại có ∆FDE vuông tại F, FC là trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên CF = CD ⇒ CF = AB (vì AB = CD). Suy ra BAC = FCA (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ⇒ AF = BC. Hình thang ABFC có hai ñường chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân. Suy ra   IAC ICA = ⇒ ∆IAC cân tại I ⇒ IO là trung tuyến ñồng thời là ñường cao. Hay IO ⊥ AC. (4) Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn) Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của http://xuctu.com 3 Từ (3) và (4) suy ra I, K, O thẳng hàng (ñpcm). 2. Sử dụng tính chất cộng ñoạn thẳng − −− − Tính chất : Nếu AM + BM = AB thì M nằm giữa A và B. Ví dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, I và N theo thứ tự là trung ñiểm của AB, AC và CD. Chứng minh rằng nếu AD BC MN 2 + = thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thành hình thang. Lời giải Giả sử AD BC MN 2 + = . (1) Vì MA = MB, IA = IC nên MI là ñường trung bình c ủa tam giác ABC. Suy ra MI // BC và MI = 1 2 BC. Chứng minh tương tự ta có IN // AD và IN = 1 2 AD. Mà AD BC 1 1 MN BC AD 2 2 2 + = = + hay MN = MI + IN. Từ ñó suy ra I nằm giữa M và N, hay M, I, N thẳng hàng. Lúc ñó ta có BC // AD vì cùng song song với MN. Do ñó ABCD trở thành hình thang. Vậy nếu AD BC MN 2 + = thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thành hình thang. Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn) Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của http://xuctu.com 4 3. Sử dụng tính chất của hai góc kề bù và hai góc ñối ñỉnh − Nếu   + = 0 AOC COB 180 thì A, O, B thẳng hàng. − Nếu C và D nằm ở hai nửa mặt phẳng bờ là ñường thẳng AB mà   = AOC BOD (O ∈ AB) thì C, O, D thẳng hàng. Ví dụ 4. ðường tròn tâm O và ñường tròn tâm O’ cắt nhau tại A và B. Gọi C, D lần lượt ñối xứng với B qua O và O’. Chứng minh rằng C, A, D thẳng hàng. Lời giải Vi C ñối xứng với B qua O nên O là trung ñiểm của BC. Suy ra BC là ñường kính của (O). Ta có OA = OB = OC = 1 BC 2 nên tam giác ABC vuông tại A ⇒  0 BAC 90 = . Chứng minh tương tự ta có  0 BAD 90 = . Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn) Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của http://xuctu.com 5 Do ñó :    0 CAD BAC BAD 180 = + = ⇒ C, A, D thẳng hàng. 4. Sử dụng sự ñồng quy của các ñường trung tuyến, các ñường cao, các ñường phân giác trong tam giác Ví dụ 5. Cho hình bình hành ABCD. Gọi O là giao ñiểm của hai ñường chéo ; E là ñiểm ñối xứng của A qua B ; F là giao ñiểm của BC và ED ; G là giao ñiểm của BC và OE ; H là giao ñiểm của EC và OF. Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng. Lời giải Vì O là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD nên OA = OC suy ra EO là trung tuyến của ∆EAC. E ñối xứng với A qua B nên B là trung ñiểm của EA suy ra CB là trung tuyến của ∆EAC. G là giao ñiểm của CB và EO nên G là trọng tâm của ∆ EAC. (1) Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên CD // AB, CD = AB, mà B là trung ñiểm của AE nên suy ra CD // BE, CD = BE. Do ñó tứ giác BECD là hình bình hành. Từ ñó F là trung ñiểm của hai ñường chéo ED và BC của hình bình hành BECD. Ta có OF là ñường trung bình của ∆CAB nên OF // AB ⇒ OH // AE ⇒ HE = HC. Do ñó AH là trung tuyến của ∆EAC. (2) Từ (1) và (2) suy ra A, G, H thẳng hàng (ñpcm). 1. Sử dụng tính chất về ñường chéo của hình bình hành Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn) Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của http://xuctu.com 6 Ví dụ 6. Cho hình bình hành ABCD. Trên ñường chéo BD lấy hai ñiểm E và F sao cho BE = DF. Kẻ EH ⊥ AB, FK ⊥ CD (H ∈ AB, K ∈ CD). Gọi O là trung ñiểm của EF. Chứng minh rằng ba ñiểm H, O, K thẳng hàng. Lời giải Vì EH ⊥ AB, FK ⊥ CD và AB // CD nên EH // FK (1) Xét HBE và KDF có BE = DF,   KDF HBE = ,   0 DKF BHE 90 = = ⇒ HBE = KDF (cạnh huyền – góc nhọn) ⇒ HE = KF (2) Từ (1) và (2) suy ra HEKF là hình bình hành ⇒ trung ñiểm của EF cũng là trung ñiểm của HK. Vậy E, H, K thẳng hàng (ñpcm). 2. Sử dụng phương pháp diện tích Ví dụ 7. Cho tứ giác ABCD. Các ñường thẳng AB và CD cắt nhau tại M, các ñường thẳng AD và BC cắt nhau tại N. Gọi I, J, K theo thứ tự là trung ñiểm của BD, AC, MN. Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng. Lời giải Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn) Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của http://xuctu.com 7 Gọi K’ là giao ñiểm của IJ với MN. Gọi E, F lần lượt là chân ñường vuông góc kẻ từ N, M tới ñường thẳng IJ. Dễ thấy M, N nằm về hai phía của IJ. Ta có : NIJ NDC NDI NJC CIJ CID S S S S S S = − − − − NDC NBD NAC AIC CBD 1 1 1 1 S S S S S 2 2 2 2 = − − − − NDC NAB ABD ABC ADC ADIC CBD 1 1 1 1 S S S S (S S ) S 2 2 2 2 = − − − − − − ABCD ABD BCD ABCD ABC ADC ABCD 1 1 1 1 S (S S ) S (S S ) S . 2 4 2 4 = − − + − + = Chứng minh tương tự ta có MIJ ABCD 1 S S . 4 = Do ñó S NIJ = S MIJ hay 1 1 NF.IJ ME.IJ 2 2 = ⇒ ME = NF ⇒ S NKJ = S MKJ . Hai tam giác NKJ và MKJ có chung chiều cao hạ từ J nên từ trên suy ra NK’ = MK’. Mà MK = NK (gt) nên K ≡ K’. Vậy ba ñiểm I, J, K thẳng hàng. 3. Sử dụng ñịnh lí Talet, ñịnh lí Ta lét ñảo và hệ quả của ñịnh lí Ta let Ví dụ 9. Ba ñiểm A, B, C cùng thuộc ñường thẳng a, ñiểm O không thuộc a. Chứng minh rằng nếu ba ñiểm M, N, P thỏa mãn hệ thức OM ON OP OA OB OC = = thì M, N, P thẳng hàng. Lời giải Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn) Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của http://xuctu.com 8 Thật vậy, theo ñịnh lí Talet ñảo thì từ OM ON OA OB = ta suy ra MN // AB. Tương tự MP // AC. Nhưng A, B, C thẳng hàng nên M, N, P thẳng hàng (tiên ñề Ơcơlit). Ví dụ 10. (Bổ ñề hình thang) : Trong hình thang có hai ñáy không bằng nhau. Chứng minh rằng giao ñiểm của hai ñường thẳng chứa hai cạnh bên, giao ñiểm của hai ñường chéo và trung ñiểm của hai ñáy nằm trên cùng một ñường thẳng. Lời giải Giả sử hình thang ñã cho là ABCD (AB // CD, AB < CD) có I, J tương ứng là giao ñiểm của hai ñường thẳng chứa hai cạnh và của hai ñường chéo ; Gọi M và N lần lượt là giao ñiểm của IJ với AB và CD. Do AB // CD nên áp dụng hệ quả của ñịnh lí Talet ta có : AM BM IM ( ) DN CN IN = = và AM BM JM ( ) CN DN JN = = hay AM BM IM ( ) DN CN IN = = . 4. Sử dụng phương pháp phản chứng Ví dụ 11. Trên mặt phẳng cho n ñiểm (n > 3) và bất kì ñường thẳng nào ñi qua hai trong những ñiểm ñó ñều chứa một ñiểm ñã cho. Chứng minh rằng tất cả các ñiểm ñã cho cùng nằm trên một ñường thẳng. Lời giải Giả sử tất cả các ñiểm không cùng nằm trên một ñường thẳng. Qua mỗi cặp ñiểm ñã cho vẽ một ñường thẳng (có một số hữu hạn ñường này) và chọn khoảng cách khác 0 từ các ñiểm ñã cho ñến các ñường thẳng này. Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn) Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của http://xuctu.com 9 Giả sử khoảng cách từ ñiểm A ñến ñường thẳng BC, trong ñó A, B, C là các ñiểm ñã cho là khoảng cách nhỏ nhất. Trên ñường thẳng BC còn có một ñiểm D nào ñó. Từ A kẻ AQ vuông góc với BC tại Q. Hai trong các ñiểm B, C, D nằm cùng một phía ñối với ñiểm Q, chẳng hạn C và D như hình vẽ, khi ñó ta có CQ < DQ. Hạ CH vuông góc với AD tại H. Dễ thấy CH < AQ. ðiều này mâu thuẫn với việc chọn ñiểm A và ñường thẳng BC. Từ ñó ta có ñiều phải chứng minh. 5. Sử dụng các tính chất sau – Ba ñiểm cùng thuộc một ñường thẳng thì thẳng hàng. – Ba ñiểm cùng cách ñều hai ñầu mút của một ñoạn thẳng (cùng thuộc ñường trung trực của một ñoạn thẳng) thì thẳng hàng. – Ba ñiểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a và cùng cách ñều a thì thẳng hàng. – Ba ñiểm cùng cách ñều hai ñường thẳng song song thì thẳng hàng. – Ba ñiểm cùng cách ñều hai cạnh của một góc (cùng thuộc ñường phân giác của góc) thì thẳng hàng. Bài tập 1. Cho ABC, ñường cao AH. Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa ñiểm C dựng hình vuông ABDE ; trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa ñiểm B dựng hình vuông ACMN. Dựng hình bình hành AEIG. Gọi K là giao ñiểm của CD và BM. Chứng minh rằng bốn ñiểm I, A, K, H thẳng hàng. Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn) Nguyễn Quốc Tuấn- Tổng biên tập của http://xuctu.com 10 2. Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các ñiểm M, N, P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ. Gọi O là giao ñiểm của hai ñường chéo. Chứng minh rằng M, O, P thẳng hàng. 3. Cho góc vuông xAy. Một ñiểm B cố ñịnh trên Ax, còn một ñiểm C chuyển ñộng trên Ay. ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB và AC lần lượt ở M và N. Chứng minh rằng MN luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khi ñiểm C chuyển ñộng trên Ay. 4. Trong hình vuông ABCD lấy ñiểm E sao cho   0 C ECB 15 . ΕΒ = = Trên nửa mặt phẳng bờ CD không chứa ñiểm E vẽ tam giác ñều CDF. Chứng minh rằng B, E, F thẳng hàng. 5. Cho hình thang ABCD, ñáy lớn AB. ðường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt BD và AB lần lượt tại E và F. ðường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt AC và AB lần lượt tại P và Q. Chứng minh rằng bốn ñiểm M, N, P, Q thẳng hàng. 6. Trên một ñường thẳng lấy bốn ñiểm theo thứ tự là A, E, F, B. Dựng các hình vuông ABCD, EFGH sao cho chúng nằm cùng ở một nửa mặt phẳng bờ là ñường thẳng ñã cho. Gọi O là giao ñiểm của AG và BH. Chứng minh rằng : a) C, O, E thẳng hàng. b) D, O, F thẳng hàng. 7. Cho hình bình hành ABCD. Trên cạnh BC lấy ñiểm E. Lấy ñiểm F ñiểm ñối xứng với C qua E. Từ ñiểm F kẻ Fx và Fy lần lượt song song với AD và AB. Gọi I là giao ñiểm của Fx và AB ; K là giao ñiểm của FI và AD. Chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng. 8. Cho ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 2AB. Trên cạnh AC lấy ñiểm D sao cho   1 ABD ABC 3 = ; trên cạnh AB lấy ñiểm E sao cho   1 ACE ACB 3 = . Gọi F là giao ñiểm của BD và CE ; G và H theo thứ tự là các ñiểm ñối xứng của F qua các cạnh BC và AC. Chứng minh rằng : a) Ba ñiểm H, D, G thẳng hàng. b) Tam giác EDF cân. 9. Cho góc vuông xOy tam giác. M thuộc Ox; A, B thuộc Oy. ðường thẳng ñi qua A và vuông góc với AM cắt ñường thẳng ñi qua B và vuông góc với BM tại P. Gọi H là giao ñiểm của AP với MB ; K là giao ñiểm của AM với BP ; I, K, E lần lượt là trung ñiểm của MP, AB và KH. Chứng minh rằng I, E, N thẳng hàng. [...]... tích b ng nhau Ch ng minh r ng ho c ba ñi m A, O, C th ng hàng, ho c ba ñi m B, O, D th ng hàng 12 Cho tam giác ABC và ba ñi m A’, B’, C’ l n lư t n m trên các ñư ng th ng BC, CA, AB (A’, B’, C’ không trùng v i các ñ nh c a tam giác sao cho trong ba ñi m ñó có ñúng m t ñi m ho c c ba ñi m n m ngoài tam giác) Ch ng minh r ng ñi u ki n A 'B B'C C'A c n và ñ ñ ba ñi m A’, B’, C’ th ng hàng là : ⋅ ⋅ = 1 A...Trích t quy n phương pháp gi i hình h c 9 c a tác gi - Liên h mua sách ñ y ñ : 090.567.1232(th y Tu n) 10 Cho hình vuông EFGH M t góc vuông xEy quay quanh ñ nh E có c nh Ex c t FG và GH theo th t t i M và N, còn c nh Ey c t các ñư ng FG và GH theo th t t P và Q G i I và K theo th t là trung ñi m c a PN và QM Ch ng minh r ng b n ñi m F, H, K, I th ng hàng 11 Cho t giác ABCD và m t ñi... ∆ABC có ba góc nh n, các ñư ng cao BD và CE G i I là ñi m thu c ño n BC ; H là giao ñi m c a BD và CE ; N thu c ño n AH ; M thu c ño n DE Ch ng minh r ng M, I, N th ng hàng 14 Cho hình vuông EFGH M t góc vuông Exy quay quanh ñ nh E C nh Ex c t các ñư ng th ng FG và GH theo th t t i M và N ; c nh Ey c t các ñư ng th ng FG và GH theo th t P và Q G i I và K theo th t là trung ñi m c a PN và QM Ch ng minh. .. a PN và QM Ch ng minh r ng 4 ñi m F, H, K, I th ng hàng 15 Cho xOy = 900 L y ñi m M thu c Ox, A và B cùng thu c Oy ðư ng th ng ñi qua A và vuông góc v i AM c t ñư ng th ng ñi qua B và vuông góc v i BM t i P G i H là giao ñi m c a AP và MB ; K là giao ñi m c a AM và BP ; I, E, N l n lư t là trung ñi m c a MP, AB và KH Ch ng minh r ng I, E, N th ng hàng Nguy n Qu c Tu n- T ng biên t p c a http://xuctu.com . một ñoạn thẳng) thì thẳng hàng. – Ba ñiểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a và cùng cách ñều a thì thẳng hàng. – Ba ñiểm cùng cách ñều hai ñường thẳng song song thì thẳng hàng. – Ba ñiểm cùng. ñường thẳng BC. Từ ñó ta có ñiều phải chứng minh. 5. Sử dụng các tính chất sau – Ba ñiểm cùng thuộc một ñường thẳng thì thẳng hàng. – Ba ñiểm cùng cách ñều hai ñầu mút của một ñoạn thẳng (cùng. bằng nhau. Chứng minh rằng hoặc ba ñiểm A, O, C thẳng hàng, hoặc ba ñiểm B, O, D thẳng hàng. 12. Cho tam giác ABC và ba ñiểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các ñường thẳng BC, CA, AB (A’, B’, C’