−−−− Hệ quả : Qua một ñiểm A nằm ngoài ñường thẳng a kẻ ñược duy nhất một ñường thẳng vuông góc với a.. Chứng minh rằng giao ñiểm của hai ñường thẳng chứa hai cạnh bên, giao ñiểm của h
Trang 1Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Chuyên ñề 1
Chứng minh các ñiểm thẳng hàng
1 Sử dụng tiên ñề Ơcơlit và hệ quả
−−−− Tiên ñề Ơcơlit : Qua một ñiểm A nằm ngoài ñường thẳng a kẻ ñược duy nhất
một ñường thẳng song song với a
−−−− Hệ quả : Qua một ñiểm A nằm ngoài ñường thẳng a kẻ ñược duy nhất một
ñường thẳng vuông góc với a
Ví dụ 1 Cho tam giác ABC với hai trung tuyến BD và CE Gọi M và N theo thứ tự
thuộc các tia ñối của các tia EC và DB sao cho EC = EM và DB = DN Chứng minh rằng A, M, N thẳng hàng
Lời giải
Tứ giác AMBC có EA = EB, EM = EC (gt) nên là hình bình hành Suy ra
AM // BC (1)
Chứng minh tương tự ta có AN // BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra ba ñiểm A, M, N thẳng hàng (tiên ñề Ơcơlit)
Ví dụ 2 Cho hình chữ nhật ABCD (AB < CD) có O là giao ñiểm của hai ñường
chéo Trên tia ñối của tia CD lấy ñiểm E sao cho CE = CD Gọi F là hình chiếu của của
D trên BE ; I là giao ñiểm của AB và CF ; K là giao ñiểm của AF và BC Chứng minh rằng ba ñiểm O, K, I thẳng hàng
Lời giải
Trang 2Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
ABCD là hình chữ nhật nên AB = CD, AC = BD và OA = OB = OC = OD
Ta có CB ⊥ AI (vì ABCD là hình chữ nhật)
⇒ CB là ñường cao của ∆CAI (1)
∆FBD vuông tại F (vì F là hình chiếu của D lên BE) có FO là trung tuyến ứng với cạnh huyền BD nên OF = 1
2BD ⇒ OF =
1
2AC
∆FAC có FO là ñường trung tuyến ứng với cạnh AC mà FO = 1
2AC nên ∆FAC vuông tại F Suy ra AF ⊥ CI hay AF là ñường cao của ∆CAI (2)
K là giao ñiểm của AF và CB nên từ (1) và (2) suy ra K là trực tâm của ∆CAI
Do ñó IK ⊥ AC (3)
Mặt khác, tứ giác ABEC có AB = CE (cùng bằng CD) và AB // CE (vì AB // CD) nên là hình bình hành ⇒ BE // AC ⇒ BF //AC ⇒ ABFC là hình thang
Lại có ∆FDE vuông tại F, FC là trung tuyến ứng với cạnh DE (vì CD = CE) nên
CF = CD ⇒ CF = AB (vì AB = CD) Suy ra BAC = FCA (cạnh huyền – cạnh góc vuông) ⇒ AF = BC
Hình thang ABFC có hai ñường chéo AF và BC bằng nhau nên là hình thang cân Suy ra IAC=ICA ⇒ ∆IAC cân tại I ⇒ IO là trung tuyến ñồng thời là ñường cao Hay IO ⊥ AC (4)
Trang 3Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Từ (3) và (4) suy ra I, K, O thẳng hàng (ñpcm)
2 Sử dụng tính chất cộng ñoạn thẳng
−−−− Tính chất : Nếu AM + BM = AB thì M nằm giữa A và B
Ví dụ 3 Cho tứ giác ABCD Gọi M, I và N theo thứ tự là trung ñiểm của AB, AC
và CD Chứng minh rằng nếu AD BC
MN
2
+
= thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thành hình thang
Lời giải
MN
2
+
Vì MA = MB, IA = IC nên MI là ñường trung bình của tam giác ABC Suy ra MI // BC và MI = 1
2BC
Chứng minh tương tự ta có IN // AD và IN = 1
2AD
+
= = + hay MN = MI + IN Từ ñó suy ra I nằm giữa
M và N, hay M, I, N thẳng hàng
Lúc ñó ta có BC // AD vì cùng song song với MN Do ñó ABCD trở thành hình
thang
MN
2 +
= thì M, I, N thẳng hàng và ABCD trở thành hình thang
Trang 4Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
3 Sử dụng tính chất của hai góc kề bù và hai góc ñối ñỉnh
− Nếu += 0
AOC COB 180 thì A, O, B thẳng hàng
− Nếu C và D nằm ở hai nửa mặt phẳng bờ là ñường thẳng AB mà AOC=BOD(O
∈ AB) thì C, O, D thẳng hàng
Ví dụ 4 ðường tròn tâm O và ñường tròn tâm O’ cắt nhau tại A và B Gọi C, D lần
lượt ñối xứng với B qua O và O’ Chứng minh rằng C, A, D thẳng hàng
Lời giải
Vi C ñối xứng với B qua O nên O là trung ñiểm của BC Suy ra BC là ñường kính của (O)
Ta có OA = OB = OC = 1
BC
2 nên tam giác ABC vuông tại A ⇒
0
BAC=90
Chứng minh tương tự ta có BAD=900
Trang 5Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
CAD=BAC+BAD=180 ⇒ C, A, D thẳng hàng
4 Sử dụng sự ñồng quy của các ñường trung tuyến, các ñường cao, các ñường
phân giác trong tam giác
Ví dụ 5 Cho hình bình hành ABCD Gọi O là giao ñiểm của hai ñường chéo ; E là
ñiểm ñối xứng của A qua B ; F là giao ñiểm của BC và ED ; G là giao ñiểm của BC và
OE ; H là giao ñiểm của EC và OF Chứng minh rằng A, G, H thẳng hàng
Lời giải
Vì O là giao ñiểm của hai ñường chéo AC và BD nên OA = OC
suy ra EO là trung tuyến của ∆EAC
E ñối xứng với A qua B nên B là trung ñiểm của EA suy ra CB là trung tuyến của
∆EAC
G là giao ñiểm của CB và EO nên G là trọng tâm của ∆EAC (1)
Mặt khác, ABCD là hình bình hành nên CD // AB, CD = AB, mà B là trung ñiểm của
AE nên suy ra CD // BE, CD = BE Do ñó tứ giác BECD là hình bình hành Từ ñó F là
trung ñiểm của hai ñường chéo ED và BC của hình bình hành BECD
Ta có OF là ñường trung bình của ∆CAB nên OF // AB ⇒ OH // AE ⇒ HE = HC
Do ñó AH là trung tuyến của ∆EAC (2)
Từ (1) và (2) suy ra A, G, H thẳng hàng (ñpcm)
1 Sử dụng tính chất về ñường chéo của hình bình hành
Trang 6Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Ví dụ 6 Cho hình bình hành ABCD Trên ñường chéo BD lấy hai ñiểm E và F sao
cho BE = DF Kẻ EH ⊥ AB, FK ⊥ CD (H ∈ AB, K ∈ CD) Gọi O là trung ñiểm của EF Chứng minh rằng ba ñiểm H, O, K thẳng hàng
Lời giải
Vì EH ⊥ AB, FK ⊥ CD và AB // CD nên EH // FK (1)
Xét HBE và KDF có BE = DF, KDF=HBE, 0
DKF=BHE=90 ⇒ HBE = KDF (cạnh huyền – góc nhọn)
Từ (1) và (2) suy ra HEKF là hình bình hành
⇒ trung ñiểm của EF cũng là trung ñiểm của HK
Vậy E, H, K thẳng hàng (ñpcm)
2 Sử dụng phương pháp diện tích
Ví dụ 7 Cho tứ giác ABCD Các ñường thẳng AB và CD cắt nhau tại M, các ñường
thẳng AD và BC cắt nhau tại N Gọi I, J, K theo thứ tự là trung ñiểm của BD, AC, MN Chứng minh rằng I, J, K thẳng hàng
Lời giải
Trang 7Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Gọi K’ là giao ñiểm của IJ với MN Gọi E, F lần lượt là chân ñường vuông góc kẻ từ
N, M tới ñường thẳng IJ Dễ thấy M, N nằm về hai phía của IJ
Ta có :
SNIJ=SNDC−SNDI−SNJC−SCIJ−SCID
NDC 1 NBD 1 NAC 1 AIC 1 CBD
NDC NAB 1 ABD 1 ABC 1 ADC ADIC 1 CBD
ABCD 1 ABD BCD 1 ABCD 1 ABC ADC 1 ABCD
Chứng minh tương tự ta có MIJ 1 ABCD
4
=
Do ñó SNIJ = SMIJ hay 1 1
NF.IJ ME.IJ
2 =2 ⇒ ME = NF ⇒ SNKJ= SMKJ Hai tam giác NKJ và MKJ có chung chiều cao hạ từ J nên từ trên suy ra NK’ = MK’
Mà MK = NK (gt) nên K ≡ K’ Vậy ba ñiểm I, J, K thẳng hàng
3 Sử dụng ñịnh lí Talet, ñịnh lí Ta lét ñảo và hệ quả của ñịnh lí Ta let
Ví dụ 9 Ba ñiểm A, B, C cùng thuộc ñường thẳng a, ñiểm O không thuộc a Chứng
minh rằng nếu ba ñiểm M, N, P thỏa mãn hệ thức OM ON OP
OA = OB =OC thì M, N, P thẳng hàng
Lời giải
Trang 8Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Thật vậy, theo ñịnh lí Talet ñảo thì từ OM ON
OA = OB ta suy ra MN // AB Tương tự MP // AC Nhưng A, B, C thẳng hàng nên M, N, P thẳng hàng (tiên ñề Ơcơlit)
Ví dụ 10 (Bổ ñề hình thang) : Trong hình thang có hai ñáy không bằng nhau Chứng
minh rằng giao ñiểm của hai ñường thẳng chứa hai cạnh bên, giao ñiểm của hai ñường chéo và trung ñiểm của hai ñáy nằm trên cùng một ñường thẳng
Lời giải Giả sử hình thang ñã cho là ABCD (AB // CD, AB < CD) có I, J tương ứng là giao ñiểm của hai ñường thẳng chứa hai cạnh và của hai ñường chéo ;
Gọi M và N lần lượt là giao ñiểm của IJ với AB và CD
Do AB // CD nên áp dụng hệ quả của ñịnh lí Talet ta có : AM BM IM
( )
DN = CN = IN và
AM BM JM
( )
CN = DN = JN hay
AM BM IM
( )
DN = CN = IN
4 Sử dụng phương pháp phản chứng
Ví dụ 11 Trên mặt phẳng cho n ñiểm (n > 3) và bất kì ñường thẳng nào ñi qua hai
trong những ñiểm ñó ñều chứa một ñiểm ñã cho Chứng minh rằng tất cả các ñiểm ñã
cho cùng nằm trên một ñường thẳng
Lời giải Giả sử tất cả các ñiểm không cùng nằm trên một ñường thẳng Qua mỗi cặp ñiểm ñã cho vẽ một ñường thẳng (có một số hữu hạn ñường này) và chọn khoảng cách khác 0 từ các ñiểm ñã cho ñến các ñường thẳng này
Trang 9Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
Giả sử khoảng cách từ ñiểm A ñến ñường thẳng BC, trong ñó A, B, C là các ñiểm ñã cho là khoảng cách nhỏ nhất Trên ñường thẳng BC còn có một ñiểm D nào ñó
Từ A kẻ AQ vuông góc với BC tại Q Hai trong các ñiểm B, C, D nằm cùng một phía ñối với ñiểm Q, chẳng hạn C và D như hình vẽ, khi ñó ta có CQ < DQ Hạ CH vuông góc với AD tại H Dễ thấy CH < AQ ðiều này mâu thuẫn với việc chọn ñiểm A và ñường thẳng BC Từ ñó ta có ñiều phải chứng minh
5 Sử dụng các tính chất sau
– Ba ñiểm cùng thuộc một ñường thẳng thì thẳng hàng
– Ba ñiểm cùng cách ñều hai ñầu mút của một ñoạn thẳng (cùng thuộc ñường trung
trực của một ñoạn thẳng) thì thẳng hàng
– Ba ñiểm cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ a và cùng cách ñều a thì thẳng hàng – Ba ñiểm cùng cách ñều hai ñường thẳng song song thì thẳng hàng
– Ba ñiểm cùng cách ñều hai cạnh của một góc (cùng thuộc ñường phân giác của
góc) thì thẳng hàng
Bài tập
1 Cho +ABC, ñường cao AH Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa ñiểm C dựng hình vuông ABDE ; trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa ñiểm B dựng hình vuông ACMN Dựng hình bình hành AEIG Gọi K là giao ñiểm của CD và BM Chứng minh rằng bốn ñiểm I, A, K, H thẳng hàng
Trang 10Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
2 Trên các cạnh AB, BC, CD, DA của hình vuông ABCD ta lấy lần lượt các ñiểm M, N,
P, Q sao cho AM = BN = CP = DQ Gọi O là giao ñiểm của hai ñường chéo Chứng minh rằng M, O, P thẳng hàng
3 Cho góc vuông xAy Một ñiểm B cố ñịnh trên Ax, còn một ñiểm C chuyển ñộng trên
Ay ðường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh AB và AC lần lượt ở M
và N Chứng minh rằng MN luôn ñi qua một ñiểm cố ñịnh khi ñiểm C chuyển ñộng trên Ay
4 Trong hình vuông ABCD lấy ñiểm E sao cho 0
C ECB 15
ΕΒ = = Trên nửa mặt phẳng bờ CD không chứa ñiểm E vẽ tam giác ñều CDF Chứng minh rằng B, E, F thẳng hàng
5 Cho hình thang ABCD, ñáy lớn AB ðường thẳng kẻ từ C song song với AD cắt BD
và AB lần lượt tại E và F ðường thẳng kẻ từ D song song với BC cắt AC và AB lần lượt tại P và Q Chứng minh rằng bốn ñiểm M, N, P, Q thẳng hàng
6 Trên một ñường thẳng lấy bốn ñiểm theo thứ tự là A, E, F, B Dựng các hình vuông ABCD, EFGH sao cho chúng nằm cùng ở một nửa mặt phẳng bờ là ñường thẳng ñã cho Gọi O là giao ñiểm của AG và BH Chứng minh rằng :
a) C, O, E thẳng hàng
b) D, O, F thẳng hàng
7 Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh BC lấy ñiểm E Lấy ñiểm F ñiểm ñối xứng với
C qua E Từ ñiểm F kẻ Fx và Fy lần lượt song song với AD và AB Gọi I là giao ñiểm của Fx và AB ; K là giao ñiểm của FI và AD Chứng minh rằng I, K, E thẳng hàng
8 Cho +ABC vuông tại A, cạnh huyền BC = 2AB Trên cạnh AC lấy ñiểm D sao cho
ABD ABC
3
= ; trên cạnh AB lấy ñiểm E sao cho ACE 1ACB
3
= Gọi F là giao ñiểm của BD và CE ; G và H theo thứ tự là các ñiểm ñối xứng của F qua các cạnh BC và
AC Chứng minh rằng :
a) Ba ñiểm H, D, G thẳng hàng
b) Tam giác EDF cân
9 Cho góc vuông xOy tam giác M thuộc Ox; A, B thuộc Oy ðường thẳng ñi qua A và vuông góc với AM cắt ñường thẳng ñi qua B và vuông góc với BM tại P Gọi H là giao ñiểm của AP với MB ; K là giao ñiểm của AM với BP ; I, K, E lần lượt là trung ñiểm của MP, AB và KH Chứng minh rằng I, E, N thẳng hàng
Trang 11Trích từ quyển phương pháp giải hình học 9 của tác giả- Liên hệ mua sách ñầy ñủ: 090.567.1232(thầy Tuấn)
10 Cho hình vuông EFGH Một góc vuông xEy quay quanh ñỉnh E có cạnh Ex cắt FG
và GH theo thứ tự tại M và N, còn cạnh Ey cắt các ñường FG và GH theo thứ tự tạ P
và Q Gọi I và K theo thứ tự là trung ñiểm của PN và QM Chứng minh rằng bốn ñiểm F, H, K, I thẳng hàng
11 Cho tứ giác ABCD và một ñiểm O nằm bên trong tứ giác sao cho các tam giác ABO, BCO, CDO, DAO có diện tích bằng nhau Chứng minh rằng hoặc ba ñiểm A, O, C thẳng hàng, hoặc ba ñiểm B, O, D thẳng hàng
12 Cho tam giác ABC và ba ñiểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các ñường thẳng BC,
CA, AB (A’, B’, C’ không trùng với các ñỉnh của tam giác sao cho trong ba ñiểm ñó
có ñúng một ñiểm hoặc cả ba ñiểm nằm ngoài tam giác) Chứng minh rằng ñiều kiện cần và ñủ ñể ba ñiểm A’, B’, C’ thẳng hàng là : A ' B B'C C' A
1
A 'C B' A C'B⋅ ⋅ =
(ðịnh lí Mê – nê – la uýt)
13 Cho ∆ABC có ba góc nhọn, các ñường cao BD và CE Gọi I là ñiểm thuộc ñoạn BC
; H là giao ñiểm của BD và CE ; N thuộc ñoạn AH ; M thuộc ñoạn DE Chứng minh rằng M, I, N thẳng hàng
14 Cho hình vuông EFGH Một góc vuông Exy quay quanh ñỉnh E Cạnh Ex cắt các ñường thẳng FG và GH theo thứ tự tại M và N ; cạnh Ey cắt các ñường thẳng FG và
GH theo thứ tự ở P và Q Gọi I và K theo thứ tự là trung ñiểm của PN và QM Chứng minh rằng 4 ñiểm F, H, K, I thẳng hàng
15 Cho xOy=900 Lấy ñiểm M thuộc Ox, A và B cùng thuộc Oy ðường thẳng ñi qua
A và vuông góc với AM cắt ñường thẳng ñi qua B và vuông góc với BM tại P Gọi H
là giao ñiểm của AP và MB ; K là giao ñiểm của AM và BP ; I, E, N lần lượt là trung ñiểm của MP, AB và KH Chứng minh rằng I, E, N thẳng hàng
Trang 12Filename: Thang-hang.doc
Data\Microsoft\Templates\Normal.dot
Title:
Subject:
Keywords:
Comments:
Change Number: 7
Last Printed On: 29/03/2015 9:25:00 SA
As of Last Complete Printing