CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG ( Dành cho học sinh lớp7 học chương 2- hình học 7) Các phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng dành cho HSG lớp 7: D Phương pháp 1: ( Hình 1) · Nếu · ABD + DBC = 1800 ba điểm A; B; C thẳng hàng Phương pháp 2: ( Hình 2) C B A Nếu AB // a AC // a ba điểm A; B; C thẳng hàng (hình 1) a (Cơ sở phương pháp là: tiên đề Ơ – Clit- tiết 8- hình 7) Phương pháp 3: ( Hình 3) Nếu AB ⊥ a ; AC ⊥ a ba điểm A; B; C thẳng hàng C B A (hình 2) ( Cơ sở phương pháp là: Có đường thẳng A a’ qua điểm O vuông góc với đường thẳng a cho trước B - tiết hình học 7) Hoặc A; B; C thuộc đường trung trực C đoạn thẳng (tiết 3- hình 7) a (hình 3) x Phương pháp 4: ( Hình 4) Nếu tia OA tia OB hai tia phân giác góc xOy B ba điểm O; A; B thẳng hàng A O Cơ sở phương pháp là: (hình 4) y Mỗi góc có tia phân giác · · * Hoặc : Hai tia OA OB nằm nửa mặt phẳng bờ chứa tia Ox , xOA = xOB ba điểm O, A, B thẳng hàng Nếu K trung điểm BD, K’ giao điểm BD AC Nếu K’ Là trung điểm BD K’ ≡ K A, K, C thẳng hàng (Cơ sở phương pháp là: Mỗi đoạn thẳng có trung điểm) C Các ví dụ minh họa cho phương pháp: Phương pháp Ví dụ Cho tam giác ABC vuông A, M trung điểm AC Kẻ tia Cx vuông góc CA (tia Cx điểm B hai nửa mặt phẳng đối bờ AC) Trên tia Cx lấy điểm D cho CD = AB Chứng minh ba điểm B, M, D thẳng hàng · · Gợi ý: Muốn B, M, D thẳng hàng cần chứng minh BMC + CMD = 1800 · · Do · AMB + BMC = 1800 nên cần chứng minh · AMB = DMC BÀI GIẢI: ∆ AMB ∆ CMD có: B AB = DC (gt) = · · BAM = DCM = 900 A / M / C MA = MC (M trung điểm AC) hình · D Do đó: ∆ AMB = ∆ CMD (c.g.c) Suy ra: · AMB = DMC · · · Mà · AMB + BMC = 1800 (kề bù) nên BMC + CMD = 1800 Vậy ba điểm B; M; D thẳng hàng Ví dụ Cho tam giác ABC Trên tia đối AB lấy điểm D mà AD = AB, tia đối = tia AC lấy điểm E mà AE = AC Gọi M; N điểm BC ED cho CM = EN N // E D Chứng minh ba điểm M; A; N thẳng hàng · · Gợi ý: Chứng minh CAM + CAN = 1800 từ suy ba điểm M; A; N thẳng hàng A BÀI GIẢI (Sơ lược) µ =E ∆ ABC = ∆ ADE (c.g.c) ⇒ C µ // C B M · · hình ∆ ACM = ∆ AEN (c.g.c) ⇒ MAC = NAE · · · · Mà EAN + CAN = 1800 (vì ba điểm E; A; C thẳng hàng) nên CAM + CAN = 1800 Vậy ba điểm M; A; N thẳng hàng (đpcm) BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP Bài 1: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia AB lấy điểm D cho AD = AC, tia đối tia AC lấy điểm E cho AE = AB Gọi M, N trung điểm BE CD Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng Bài 2: Cho tam giác ABC vuông A có · ABC = 600 Vẽ tia Cx ⊥ BC (tia Cx điểm A phía phía bờ BC), tia Cx lấy điểm E cho CE = CA Trên tia đối tia BC lấy điểm F cho BF = BA Chứng minh ba điểm E, A, F thẳng hàng Bài 3: Cho tam giác ABC cân A, điểm D thuộc cạnh AB Trên tia đối tia CA lấy điểm E cho CE = BD Kẻ DH EK vuông góc với BC (H K thuộc đường thẳng BC) Gọi M trung điểm HK Chứng minh ba điểm D, M, E thẳng hàng Bài 4: Gọi O trung điểm đoạn thẳng AB Trên hai nửa mặt phẳng đối bờ AB, kẻ · Hai tia Ax By cho BAx = ·ABy Trên Ax lấy hai điểm C E(E nằm A C), By lấy hai điểm D F ( F nằm B D) cho AC = BD, AE = BF Chứng minh ba điểm C, O, D thẳng hàng , ba điểm E, O, F thẳng hàng Bài 5.Cho tam giác ABC Qua A vẽ đường thẳng xy // BC Từ điểm M cạnh BC, vẽ đường thẳng song song AB AC, đường thẳng cắt xy theo thứ tự D E Chứng minh đường thẳng AM, BD, CE qua điểm PHƯƠNG PHÁP Ví dụ 1: Cho tam giác ABC Gọi M, N trung điểm cạnh AC, AB Trên Các đường thẳng BM CN lấy điểm D E cho M trung A E điểm BD N trung điểm EC D / = Chứng minh ba điểm E, A, D thẳng hàng N M Hướng dẫn: Sử dụng phương pháp = / Ta chứng minh AD // BC AE // BC C B BÀI GIẢI Hình ∆ BMC ∆ DMA có: MC = MA (do M trung điểm AC) · · BMC = DMA (hai góc đối đỉnh) MB = MD (do M trung điểm BD) Vậy: ∆ BMC = ∆ DMA (c.g.c) · Suy ra: · ACB = DAC , hai góc vị trí so le nên BC // AD (1) Chứng minh tương tự : BC // AE (2) Điểm A BC có đường thẳng song song BC nên từ (1) (2) theo Tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm E, A, D thẳng hàng Ví dụ 2: Cho hai đoạn thẳng AC BD cắt tai trung điểm O đoạn Trên tia AB lấy lấy điểm M cho B trung điểm AM, tia AD lấy điểm N cho D trung điểm AN Chúng minh ba điểm M, C, N thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh: CM // BD CN // BD từ suy M, C, N thẳng hàng A BÀI GIẢI x ∆ AOD ∆ COD có: = * X OA = OC (vì O trung điểm AC) O B D / / · · AOD = COB (hai góc đối đỉnh) = * OD = OB (vì O trung điểm BD) X Vậy ∆ AOD = ∆ COB (c.g.c) M C N · · Suy ra: DAO = OCB · · Do đó: AD // BC Nên DAB = CBM (ở vị trí đồng vị) hình ∆ DAB ∆ CBM có : · · AD = BC ( ∆ AOD = ∆ COB), DAB = CBM , AB = BM ( B trung điểm AM) · Vậy ∆ DAB = ∆ CBM (c.g.c) Suy ·ABD = BMC Do BD // CM (1) Lập luận tương tự ta BD // CN (2) Từ (1) (2) , theo tiên đề Ơ-Clit suy ba điểm M, C, N thẳng hàng BÀI TẬP THỰC HÀNH CHO PHƯƠNG PHÁP Baì Cho tam giác ABC Vẽ cung tròn tâm C bán kính AB cung tròn tâm B bán kính AC Đường tròn tâm A bán kính BC cắt cung tròn tâm C tâm B E F ( E F nằm nửa mặt phẳng bờ BC chứa A) Chứng minh ba điểm F, A, E thẳng hàng PHƯƠNG PHÁP Ví dụ: Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi M trung điểm BC a) Chứng minh AM ⊥ BC b) Vẽ hai đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai A điểm P Q Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Gợi ý: Xử dụng phương pháp giải - Chứng minh AM , PM, QM vuông góc BC = = - AP, AQ tia phân giác góc BAC BÀI GIẢI P Cách Sử dụng phương pháp / / C B M a) Chứng minh AM ⊥ BC ΔABM ΔACM có: Q AB =AC (gt) Hình AM chung MB = MC (M trung điểm BC) Vậy ΔABM = ΔACM (c.c.c) Suy ra: · AMB = · AMC (hai góc tương ứng) Mà · AMB + · AMC = 180 (hai góc kề bù) nên · AMB = · AMC = 900 Do đó: AM ⊥ BC (đpcm) b) Chứng minh ba điểm A, P, Q thẳng hàng Chứng minh tương tự ta được: ΔBPM = ΔCPM (c.c.c) · · · · · · Suy ra: PMB = PMC (hai góc tương ứng), mà PMB + PMC = 1800 nên PMB = PMC = 900 Do đó: PM ⊥ BC Lập luận tương tự QM ⊥ BC Từ điểm M BC có AM ⊥ BC,PM ⊥ BC, QM ⊥ BC nên ba điểm A, P, Q thẳng hàng (đpcm) Cách Sử dụng phương pháp Chứng minh : · · · ΔBPA = ΔCPA ⇒ BAP = CAP Vậy AP tia phân giác BAC (1) · · · ΔABQ = ΔACQ ⇒ BAQ = CAQ Vậy AQ tia phân giác BAC (2) Từ (1) (2) suy ba điểm A; P; Q thẳng hàng PHƯƠNG PHÁP Ví dụ:Cho góc xOy Trên hai cạnh Ox Oy lấy hai điểm B C cho OB = OC Vẽ đường tròn tâm B tâm C có bán kính cho chúng cắt hai điểm A D nằm góc xOy Chứng minh ba điểm O, A, D thẳng hàng Hướng dẫn: Chứng minh OD OA tia phân giác góc xOy BÀI GIẢI: ΔBOD ΔCOD có: OB = OC (gt) x OD chung B BD = CD (D giao điểm hai đường tròn tâm B tâm C = = / bán kính) A D O Vậy ΔBOD =ΔCOD (c.c.c) / = = · · Suy : BOD = COD C y Điểm D nằm góc xOy nên tia OD nằm hai tia Ox Oy · Do OD tia phân giác xOy Hình 10 · Chứng minh tương tự ta OA tia phân giác xOy Góc xOy có tia phân giác nên hai tia OD OA trùng Vậy ba điểm O, D, A thẳng hàng BAÌ TẬP THỰC HÀNH Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Kẻ BM ⊥ AC, CN ⊥ AB ( M ∈ AC , N ∈ AB ), H giao điểm BM CN a) Chứng minh AM = AN b) Gọi K trung điểm BC Chứng minh ba điểm A, H, K thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC có AB = AC Gọi H trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa C kẻ tia Bx vuông góc AB, nửa mặt phẳng bờ AC chứa B kẻ tia Cy vuông AC Bx Cy cắt E Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng PHƯƠNG PHÁP Ví dụ Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh AB lấy điểm M, tia đối tia CA lấy điểm N cho BM = CN Gọi K trung điểm MN A Chứng minh ba điểm B, K, C thẳng hàng M Gợi ý: Xử dụng phương pháp = K' Cách 1: Kẻ ME ⊥ BC ; NF ⊥ BC ( E ; F ∈ BC) F C B E K ∆BME ∆CNF vuông E F có: = hình 11 N · · BM = CN (gt), MBE = NCF ( · ACB ) Do đó: ∆BME = ∆CNF (Trường hợp cạnh huyền- góc nhọn) Suy ra: ME = NF Gọi K’ giao điểm BC MN · · ∆ MEK’ ∆ NFK’ vuông E F có: ME = NF (cmt), EMK ' = FNK ' ( so le ME // FN) Vậy ∆ MEK’ = ∆ NFK’ (g-c-g) Do đó: MK’ = NK’ A Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K ≡ K’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng · Cách Kẻ ME // AC (E ∈ BC) ⇒ · ACB = MEB (hai góc đồng vị) · · · Mà · ACB = ABC nên MBE = MEB Vậy ΔMBE cân M M Do đó: MB = ME kết hợp với giả thiết MB = NC ta = K' C ME = CN B E K ’ Gọi K giao điểm BC MN = Hình 12 ΔMEK’ ΔNCK’ có: N · ' ME = K ' NC (so le ME //AC) · K ME = CN (chứng minh trên) · · MEK ' = NCK ' (so le ME //AC) Do : ΔMEK’ = ΔNCK’ (g.c.g) ⇒ MK’ = NK’ Vậy K’ trung điểm MN, mà K trung điểm MN nên K ≡ K’ Do ba điểm B,K,C thẳng hàng Lưu ý: Cả hai cách giải đa số học sinh chứng minh ΔMEK = ΔNCK vô tình thừa nhận B, K, C thẳng hàng, việc chứng minh nghe có lý sai · Ví dụ Cho tam giác ABC cân A , BAC = 1080 , Gọi O điểm nằm tia phân giác · góc C cho CBO = 120 Vẽ tam giác BOM ( M A thuộc nửa mặt phẳng bờ BO) Chứng minh ba điểm C, A, M thẳng hàng · · Hướng dẫn: Chứng minh OCA = OCM từ suy tia CA tia CM trùng BÀI GIẢI 1800 − 1080 ABC = · ACB = = 360 Tam giác ABC cân A nên · (tính chất tam giác cân) Mà CO tia phân giác · ACB , 0 · · · nên ACO = BCO = 18 Do BOC = 150 M · ΔBOM nên BOM = 600 A = · Vậy : MOC = 3600 − (1500 + 600 ) = 1500 = 108° / ΔBOC ΔMOC có: // 12° OB = OM ( ΔBOM đều) B · · BOC = MOC = 1500 O / C Hình 13 OC chung Do : ΔBOC = ΔMOC (c.g.c) · · · · · · Suy ra: OCB = OCM mà OCB = OCA (gt) nên OCA = OCM · · Hai tia CA CM nằm nửa mặt phẳng bờ CO OCA = OCM nên tia CA tia CM trùng Vậy ba điểm C, A, M thẳng hàng (đpcm)