Sự ảnh hưởng của bộ tâm được chọn trong phương pháp không lưới RBF FD

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THƠNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG VŨ HUY HỒNG ĐƠ SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM ĐƯỢC CHỌN TRONG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Nguyên - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THÔNG VŨ HUY HỒNG ĐƠ SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM ĐƯỢC CHỌN TRONG PHƯƠNG PHÁP KHÔNG LƯỚI RBF-FD Chuyên ngành : Khoa học máy tính Mã số : 60 48 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS ĐẶNG THỊ OANH Thái Nguyên - 2014 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn hồn tồn tơi thực hiện, hướng dẫn cô giáo TS Đặng Thị Oanh Trong luận văn có tham khảo tới tài liệu phần tài liệu tham khảo LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn có hướng dẫn nhiệt tình q thầy cơ, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS Đặng Thị Oanh, người hết lòng giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn đến tồn thể q thầy trường Đại học Cơng nghệ thông tin Truyền thông quý thầy tận tình truyền đạt kiến thức q báu tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Em xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, người không ngừng động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho em suốt thời gian học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2014 Sinh viên Vũ Huy Hồng Đơ Mục lục LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT DANH MỤC CÁC BẢNG DANH MỤC CÁC HÌNH LỜI MỞ ĐẦU 10 Chương Kiến thức sở 13 1.1 Bài toán nội suy 13 1.2 Nội suy liệu phân tán không gian Rd 14 1.3 Nội suy với hàm sở bán kính 16 1.3.1 Hàm sở bán kính 16 1.3.2 Nội suy hàm sở bán kính 17 1.4 Hàm xác định dương ma trận xác định dương 18 1.4.1 Ma trận xác định dương 18 1.4.2 Hàm xác định dương 19 1.4.3 Hàm bán kính xác định dương 19 1.5 Bài tốn Dirichlet với phương trình Poisson 20 1.5.1 Khái niệm phương trình đạo hàm riêng 20 1.5.2 Điều kiện vật lý dẫn đến phương trình Poisson 21 1.5.3 Phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet không gian chiều 26 1.6 Sự ổn định ma trận hệ số 26 Chương Phương pháp không lưới RBF-FD giải phương trình Poisson 30 2.1 Phát biểu toán 30 2.2 Rời rạc hố phương trình Poisson 31 2.2.1 Rời rạc hoá phương trình Poisson 31 2.2.2 Phương pháp sai phân hữu hạn 31 2.3 Phương pháp không lưới RBF-FD 32 2.3.1 Véc tơ trọng số từ nội suy hàm sở bán kính 32 2.3.2 Phương pháp RBF-FD 34 2.4 Thuật toán chọn tâm nội suy 35 2.4.1 Ý tưởng thuật toán 36 2.4.2 Nội dung thuật toán 36 2.4.3 Đánh giá độ phức tạp thuật toán 38 2.4.4 Tham số hình dạng hàm RBF 39 2.5 Kết luận 39 Chương Sự ảnh hưởng tâm chọn để nội suy đến độ xác phương pháp xấp xỉ RBF-FD 41 3.1 Các bước cài đặt chương trình thử nghiệm 42 3.2 Thử nghiệm 45 3.2.1 Mục đích thử nghiệm 45 3.2.2 Mô tả thử nghiệm 45 3.2.3 Giới thiệu kết thử nghiệm 48 3.2.4 Bài toán 48 3.2.5 Bài toán 52 3.2.6 Bài toán 56 3.2.7 Bài toán 60 3.2.8 Bài toán 63 3.3 Kết luận 66 KẾT LUẬN 67 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT RBF: Radial Basis Function MQ: Multi Quadric IMQ: Inverse Multi Quadric Gauss: Gaussian W33: Wendland’C6 SPHH: Sai phân hữu hạn FD: Finite Difference FEM: Finite Element Methods rms: Root mean square Ω: Miền hình học Ξ: Tập các tâm miền biên Ω Ξint : Tập tâm nằm miền Ω Ξζ : Bộ tâm gồm ξ ζ Ký hiệu: Ξζ = {ζ , ξ1 , , ξk } ∂ Ξ: Tập tâm nằm biên ∂ Ω ζ : Tâm thuộc Ξint ξ : Tâm địa phương ζ thuộc Ξ α: Góc tia ζ ξi tia ζ ξi+1 α: Góc lớn tia ζ ξi tia ζ ξi+1 α: Góc nhỏ tia ζ ξi tia ζ ξi+1 µ: Tổng bình phương góc αi g: Hàm biên f: Hàm vế phải phương trình Poisson w: véc tơ trọng số u: Nghiệm giải tích u: ˜ Nghiệm xấp xỉ Rn : Không gian n chiều λ : Giá trị riêng ma trận φ : Hàm sở bán kính Φ: Ma trận nội suy ε: Tham số hình dạng A: Ma trận hệ phương trình đại số tuyến tính b: Véc tơ vế phải hệ phương trình đại số tuyến tính x: Nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính A + δ A: Ma trận nhiễu b + δ b: Vế phải nhiễu hệ phương trình đại số tuyến tính x + δ x: Nghiệm nhiễu E: Ma trận đơn vị X: Bộ tâm phân biệt đôi k: Số tâm ξi cần thiết tập Ξζ m: Số tâm nằm lân cận ζ với m > k v: Giới hạn góc mà chấp nhận s: Hàm nội suy sở bán kính DANH MỤC CÁC BẢNG Tên bảng Diễn giải Trang Bảng Danh mục bảng Bảng Danh mục hình Bảng 1.1 Một số hàm sở bán kính dùng báo cáo, 16 r = ||x − xk || Bảng 1.2 Một số hàm sở bán kính với tham số hình dạng ε > 16 Bảng 3.1 Bảng kết sai số RMS Bài toán 50 Bảng 3.2 Bảng kết sai số RMS Bài toán 52 Bảng 3.3 Bảng kết sai số RMS Bài toán 56 Bảng 3.4 Bảng kết sai số RMS Bài toán 60 Bảng 3.5 Bảng kết sai số RMS Bài toán 63 Bảng 1: Danh mục bảng 3.2.6 Bài toán Cho tốn (2.1.1) − (2.1.2) với phương trình Poisson ∆u = −4sin(2xy)(x2 + y2 ) miền hình ngũ giác (xem Hình 3.8 ) Hình 3.8: Miền hình ngũ giác Bài toán Với điều kiện biên chọn cho nghiệm xác u = sin(2xy): Bộ tâm ban đầu Bài toán giới thiệu Hình 3.9 Bảng kết sai số RMS Bài tốn miền hình ngũ giác: 56 Hình 3.9: Bộ tâm hai lần làm mịn lưới Bài tốn 3, hình bên trái 85 nút lần làm mịn đầu tiên, hình bên phải 160 nút lần làm mịn Số tâm FEM RBF/FEM RBF RBF RBF RBF RBF Nearest e-3* e-3* e-3* e-3* e-3* e-3* e-3* e-3* 55 0.22 0.1 0.15 0.11 0.07 0.07 0.1 0.2119 127 0.31 0.3 0.026 0.017 0.03 0.04 0.04 0.0189 180 0.3 0.8 0.03 0.017 0.02 0.02 0.03 0.0222 369 0.14 0.5 0.027 0.012 0.01 0.01 0.018 0.0117 450 0.1 0.4 0.026 0.006 0.009 0.007 0.16 0.0062 772 0.08 1.6 0.013 0.005 0.007 0.008 0.01 0.0339 1391 0.04 0.6 0.01 0.003 0.004 0.006 0.12 0.0071 1925 0.025 0.4 0.003 0.002 0.003 0.006 0.62 0.0015 Bảng 3.3: Bảng kết sai số RMS Bài toán Quan sát bảng ta thấy sai số cột RBS RBF nhỏ nhất, cột RMS RBF/FEM Nearest cho sai số lớn 57 Hình 3.10: Đồ thị biểu diễn sai số RMS Bài toán Ta thấy: đường cong sai số RBF cho kết tốt đường cong RBF/FEM Nearest cho kết không tốt Điều cho ta thấy sử dụng thuật toán chọn tâm Ξζ [2] với toán cho kết tốt, dùng tâm Ξζ phương pháp FEM chọn Ξζ gồm ζ tâm gần cho kết khơng tốt 58 Nhận xét 3.2.3 Quan sát đường cong đồ Hình 3.10 Bảng 3.3, lần ta thấy rằng: - Phương pháp RBF-FD sử dụng tâm Ξζ (khuôn điểm) FEM cho kết kết FEM (so sánh đường cong ‘FEM’ với đường cong ‘RBF/FEM’) Điều có nghĩa tâm Ξζ tốt cho phương pháp FEM tốt cho phương pháp RBF-FD Do phương pháp RBFFD cần có thuật tốn chọn tâm nội suy cho riêng - Ta nhận thấy đường cong ‘RBF-FD 6’, ‘RBF-FD 7’, ‘RBF-FD 8’, ‘RBFFD 9’ xấu dần theo số lượng tâm xung quanh chọn Điều giải thích số tâm tăng lên số điều kiện xấu ma trận nội suy hệ phương trình (2.3.8) tăng lên Sự tăng số điều kiện xấu dẫn đến giá trị tham số hình dạng ‘safe’ hàm Gaussian giảm dẫn đến chất lượng nội suy - Đường cong ‘RBF-FD 6’ cho thấy số tâm chọn cho kết tốt - Đường cong ‘RBF-FD 5’ cho thấy số tâm chọn cho kết tốt số tâm chọn Điều giải thích số tâm chọn chưa đảm bảo đủ đại diện để nội suy, số điều kiện mà trận nội suy đảm bảo - Đường cong ‘Nearest 6’ cho kết kém, điều khẳng định việc dụng thuật toán chọn tâm [2] với giá trị tham số k = thực cần thiết 59 3.2.7 Bài toán Cho tốn (2.1.1) − (2.1.2) với phương trình Poisson ∆u = −4sin(2xy)(x2 + y2 ) miền hình trịn (xem Hình 3.11) Hình 3.11: Miền hình trịn Bài toán Với điều kiện biên chọn cho nghiệm xác u = sin(2xy): Bộ tâm ban đầu Bài toán miền hình trịn tâm (0; 0), bán kính r = giới thiệu Hình 3.12 Bảng kết sai số RMS Bài tốn 4: 60 Hình 3.12: Bộ tâm hai lần làm mịn lưới Bài tốn 4, hình bên trái 151 nút lần làm mịn đầu tiên, hình bên phải 207 nút lần làm mịn Số tâm FEM RBF/FEM RBF RBF RBF RBF RBF Nearest 119 0.0008 0.0013 0.0022 0.0017 0.0014 0.0009 0.0052 0.0016 161 0.0015 0.0007 0.0012 0.0006 0.0009 0.0012 0.0016 0.0009 284 0.0012 0.0034 0.0009 0.0003 0.0006 0.0006 0.0013 0.0005 439 0.0009 0.0020 0.0004 0.0003 0.0002 0.0004 0.0005 0.0004 778 0.0006 0.0013 0.0002 0.0002 0.0002 0.0003 0.0005 0.0003 1309 0.0003 0.0082 0.0001 0.0001 0.0001 0.0001 0.0057 0.0001 Bảng 3.4: Bảng kết sai số RMS Bài toán Quan sát bảng ta thấy sai số cột RBS RBF nhỏ nhất, cột RMS RBF/FEM Nearest cho sai số lớn Nhận xét 3.2.4 Quan sát đường cong đồ Hình 3.13 Bảng 3.4, có nhận xét thử nghiệm phía 61 Hình 3.13: Đồ thị biểu diễn sai số RMS Bài toán Ta thấy: đường cong sai số RBF cho kết tốt nhất, đường cong Nearest cho kết tốt đường cong RBF/FEM cho kết không tốt Điều cho ta thấy sử dụng thuật toán chọn tâm Ξζ [2] với toán cho kết tốt, dùng tâm Ξζ phương pháp FEM chọn Ξζ gồm ζ tâm gần cho kết khơng tốt 62 3.2.8 Bài tốn Cho tốn (2.1.1) − (2.1.2) với phương trình Poisson ∆u = −4sin(2xy)(x2 + y2 ) miền hình lục giác (xem Hình 3.14) Hình 3.14: Miền hình lục giác Bài toán Với điều kiện biên chọn cho nghiệm xác u = sin(2xy): Bộ tâm ban đầu Bài toán giới thiệu Hình 3.15 Hình 3.15: Bộ tâm hai lần làm mịn lưới Bài toán 5, hình bên trái 145 nút lần làm mịn đầu tiên, hình bên phải 174 nút lần làm mịn 63 Bảng kết sai số RMS Bài toán 5: Số tâm FEM RBF/FEM RBF RBF RBF RBF RBF Nearest 108 0.0014 0.0012 0.0011 0.0012 0.0014 0.0017 0.0015 0.0017 132 0.0021 0.0006 0.0009 0.0010 0.0011 0.0014 0.0012 0.0018 158 0.0019 0.0009 0.0012 0.0006 0.0009 0.0016 0.0017 0.0058 307 0.0018 0.0027 0.0005 0.0005 0.0004 0.0009 0.0029 0.0007 495 0.0012 0.0030 0.0005 0.0003 0.0003 0.0007 0.0005 0.0004 890 0.0005 0.0012 0.0003 0.0002 0.0002 0.0003 0.0004 0.0002 Bảng 3.5: Bảng kết sai số RMS Bài toán Quan sát bảng ta thấy sai số cột RBS RBF nhỏ nhất, cột RMS RBF/FEM Nearest cho sai số lớn 64 Hình 3.16: Đồ thị biểu diễn sai số RMS Bài toán Ta thấy: đường cong sai số RBF cho kết tốt đường cong RBF/FEM Nearest cho kết không tốt Điều cho ta thấy sử dụng thuật toán chọn tâm Ξζ [2] với toán cho kết tốt, dùng tâm Ξζ phương pháp FEM chọn Ξζ gồm ζ tâm gần cho kết khơng tốt Nhận xét 3.2.5 Tương tự, quan sát đường cong đồ Hình 3.16 Bảng 3.5, có nhận xét thử nghiệm phía 65 3.3 Kết luận Kết thử nghiệm cho thấy rằng: • Thuật toán chọn tâm đặc biệt quan trọng phương pháp RBF-FD • Độ xác nghiệm xấp xỉ phụ thuộc nhiều vào số lượng tâm chọn để nội suy • Khi sử dụng thuật tốn chọn tâm trình bày luận văn thí dụ mà chúng tơi thử nghiệm số tâm chọn 6, thường xuyên cho kết tốt 66 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu đề tài: "Sự ảnh hưởng tâm chọn phương pháp không lưới RBF-FD", thu kết sau: Tìm hiểu kiến thức sở xung quanh luận văn, từ hồn thiện thêm số kiến thức tảng cho tính tốn khoa học Tìm hiểu phương pháp RBF-FD Rời rạc hóa phương trình Poisson Tìm hiểu thuật tốn chọn tâm nội suy Cài đặt chương trình thử nghiệm để rút số kết luận 67 Tài liệu tham khảo [1] W Bangerth and R Rannacher Adaptive finite element methods for differential equations Lectures in Mathematics ETH Zurich Birkhauser Verlag, Basel, 2003 [2] O Davydov and D T Oanh Adaptive meshless centres and RBF stencils for Poisson equation Journal of Computational Physis, 230:287–304, 2011 [3] O Davydov and D T Oanh On the optimal shape parameter for Gaussian radial basis function finite difference approximation of the Poisson equation Computers and Mathematics with Applications, 62:2143–2161, 2011 [4] B Fornberg and C Piret A stable algorithm for flat radial basis functions on a sphere SIAM J Sci Comput., 30:60–80, 2007 [5] B Fornberg and C Piret On choosing a radial basis function and a shape parameter when solving a convective pde on a sphere Journal of Computational Physics, 227(5):2758 – 2780, 2008 [6] B Fornberg and G Wright Stable computation of multiquadric interpolants for all values of the shape parameter Comput Math Appl., 48:853–867, 2004 [7] Đặng Quang Á Giáo trình phương pháp số Nhà xuất Đại Học Thái Nguyên, Thái Nguyên, 2009 68 [8] Đặng Thị Oanh Phương pháp khơng lưới giải phương trình Poisson Viện CNTT - Viện Khoa học Công nghệ Việt Nam, 2012 [9] Đặng Thị Oanh Tham số hình dạng tối ưu cho phương pháp xấp xỉ RBFFDgiải phương trình poisson Viet Nam journal of Mathematical Applications, 12:1–24, 2014 [10] T V Đĩnh Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2002 [11] Partial Differential Equation ToolboxTM User’s Guide The MathWorks, Inc, 2010 [12] A I Tolstykh and D A Shirobokov On using radial basis functions in a ‘finite difference mode’ with applications to elasticity problems Computational Mechanics, 33(1):68–79, 2003 [13] H Wendland Scattered Data Approximation Cambridge University Press, 2005 69 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS Đặng Thị Oanh 70 ... hướng phương pháp số, phương pháp khơng lưới Cũng phương pháp lưới, lược đồ giải tốn biên phương pháp khơng lưới cần có tập tâm (trong phương pháp lưới, tâm nút lưới) nằm phía miền Ξint tâm nằm... trên, tác giả chọn đề tài: "sự ảnh hưởng tâm chọn phương pháp không lưới RBF- FD" Luận văn tập trung vào việc khảo sát ảnh hưởng số tâm chọn Ξζ giả sử tâm Ξ = Ξint ∪ ∂Ξ cho trước Phương pháp FEM (Finite... tâm Ξζ phương pháp FEM cuối thử nghiệm với tâm Ξζ tâm gần ζ 40 Chương Sự ảnh hưởng tâm chọn để nội suy đến độ xác phương pháp xấp xỉ RBF- FD Độ xác phương pháp xấp xỉ RBF- FD giải phương trình Poisson