Nghiên cứu sự ảnh hưởng của bộ tâm nội suy đến độ chính xác của xấp xỉ đạo hàm dựa trên nội suy hàm cơ sở bán kính​

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG LÂM VĂN TRÌ NGHIÊN CỨU SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM NỘI SUY ĐẾN ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA XẤP XỈ ĐẠO HÀM DỰA TRÊN NỘI SUY HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG LÂM VĂN TRÌ NGHIÊN CỨU SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM NỘI SUY ĐẾN ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA XẤP XỈ ĐẠO HÀM DỰA TRÊN NỘI SUY HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH Chun ngành : Khoa học máy tính Mã số : 60 48 01 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC MÁY TÍNH NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS ĐẶNG THỊ OANH Thái Nguyên - 2016 i LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan luận văn hồn tồn tơi thực hiện, hướng dẫn giáo TS Đặng Thị Oanh Trong luận văn có tham khảo tới tài liệu phần tài liệu tham khảo ii LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này, bên cạnh nỗ lực cố gắng thân cịn có hướng dẫn nhiệt tình q thầy cơ, động viên ủng hộ gia đình bạn bè suốt thời gian học tập nghiên cứu thực luận văn thạc sĩ Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến cô giáo TS Đặng Thị Oanh, người hết lòng giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho em hoàn thành luận văn Em xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến tồn thể quý thầy cô trường Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông quý thầy cô tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện thuận lợi cho em suốt trình học tập, nghiên cứu thực luận văn Em xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện tốt cho em suốt thời gian học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày tháng năm 2016 Học viên Lâm Văn Trì iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT RBF: Radial Basis Function MQ: Multi Quadric IMQ: Inverse Multi Quadric Gauss: Gaussian W33: Wendland’C rms: Root mean square W: Miền hình học X: Tập các tâm miền biên W Xint : Tập tâm nằm miền W Xz : Bộ tâm gồm x z Ký hiệu: Xz = fz ; x1; :::; xkg: ¶ X: Tập tâm nằm biên ¶ W z : Tâm thuộc Xint x : Tâm địa phương z thuộc X a: Góc tia z xi tia z xi+1 a: Góc lớn tia z xi tia z xi+1 a: Góc nhỏ tia z xi tia z xi+1 m: Tổng bình phương góc g: Hàm biên Hàm vế phải đạo hàm f: w: véc tơ trọng số u: Nghiệm giải tích n R : Không gian n chiều l : Giá trị riêng ma trận f: Hàm sở bán kính iv F: Ma trận nội suy d : Tham số hình dạng A: Ma trận hệ phương trình đại số tuyến tính b: Véc tơ vế phải hệ phương trình đại số tuyến tính x: Nghiệm hệ phương trình đại số tuyến tính A + d1A: Ma trận nhiễu b + d1b: Vế phải nhiễu hệ phương trình đại số tuyến tính x + d1x: Nghiệm nhiễu E: Ma trận đơn vị X: Bộ tâm phân biệt đôi k: Số tâm xi cần thiết tập Xz m: Số tâm nằm lân cận z với m > k v: Giới hạn góc mà chấp nhận s: Hàm nội suy sở bán kính v MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii LỜIMỞĐẦU Chương Kiến thức sở 1.1.Bài toán nội suy d 1.2.Nội suy liệu phân tán không gian R 1.3.Nội suy với hàm sở bán kính 1.3.1 Hàm sở bán kính 1.3.2 Nội suy hàm sở bán kính 6 1.4.Hàm xác định dương ma trận xác định dương 1.4.1 Ma trận xác định dương 1.4.2 Hàm xác định dương 7 1.4.3 Hàm bán kính xác định dương 1.5.Sai số 1.5.1 Số gần sai số 1.5.2 Chữ số có nghĩa chữ số đáng tin 11 1.5.3 Cách viết số gần 12 1.5.4 Sai số quy tròn 12 1.5.5 Sự lan truyền sai số 13 1.5.6 Các loại sai số mắc phải giải toán thực tế 17 1.5.7 Các loại đánh giá sai số phương pháp 18 1.6.Hệ phương trình tuyến tính 19 1.7.Một số phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính 20 20 1.7.2 Phương pháp lặp Jacobi 24 1.7.1 Phương pháp Gaussian 1.8.Sự ổn định ma trận hệ số 25 vi 1.9.Một số khái niệm đạo hàm, vi phân hàm số nhiều biến 28 28 1.9.2 Vi phân toàn phần 29 1.9.3 Đạo hàm vi phân cấp cao 30 1.9.1 Đạo hàm riêng Chương Phương pháp chọn tâm cho tính xấp xỉ đạo hàm nội suy RBF 32 2.1.Véc tơ trọng số từ nội suy hàm sở bán kính 32 2.2.Một số cách chọn tâm nội suy 34 2.2.1 Tiêu chuẩn láng giềng gần 35 2.2.2 Tiêu chuẩn n điểm tự nhiên 35 2.2.3 Tiêu chuẩn góc phần tư 35 2.2.4 Tiêu chuẩn góc 35 2.3.Tham số hình dạng hàm RBF 39 2.4.Xấp xỉ đạo hàm nhờ véc tơ trọng số nội suy hàm RBF 39 2.5.Kết luận 40 Chương Thử nghiệm số 42 3.1.Thử nghiệm 43 43 3.1.2 Các hàm thử miền W tương ứng 43 3.1.3 Mục đích thử nghiệm 45 3.1.1 Rời rạc hóa tốn 3.2.Tính xấp xỉ đạo hàm cấp 45 3.3.Tính xấp xỉ đạo hàm cấp 46 3.4.Áp dụng giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet 48 3.5.Kết luận 52 KẾTLUẬN TÀILIỆUTHAMKHẢO 54 53 43 3.1 Thử nghiệm 3.1.1 Rời rạc hóa tốn Cho D tốn tử đạo hàm, u hàm cho trước, cần tìm f : W ! R thỏa mãn Du = f on W; u = g on ¶ W: (3.1.1) Bài tốn (3.1.1) rời rạc dạng hệ phương trình tuyến tính véc tơ uˆ=[uˆx ]x 2X sau: å wz ;x uˆx = f (z ); z Xint; x 2Xz X W tâm rời rạc ¶ X := X \¶ tâm rời rạc biên Xint := Xn¶ X tập tâm nằm miền Xz tập hợp tâm gồm z số điểm lân cận lựa chọn x X wz ;x R véctơ trọng số chọn cho åx 2Xz wz ;x ux xấp xỉ Du(z ) 3.1.2 Các hàm thử miền W tương ứng Chúng xét hàm thử sau: x2 y2 u1 = e u2 = sin(px)sin(py): u3 = log(x + y ): : 44 với đạo hàm bậc đạo hàm bậc hai vế phải hệ phương trình(3.1.2) tính cơng thức: Đạo hàm bậc Đạo hàm bậc hai D u := Toán tử Laplace Miền xác định hàm u1; u2; u3 minh họa tương ứng hình 3.1 a Các hàm u1 u2 xác định miền W hình vng ( 1; 1) b Hàm u3 xác định miền W hình vng (0:01; 1:01) Lược đồ giải toán (3.1.2) sau: Với z Xint a Chọn tâm Xz b Tính véctơ trọng số wz ;x cơng thức w = [FjXz ] DF(z :)jXz : Sử dụng véctơ trọng số wz ;x để tính Ds(z ) Tính sai số vi phân rms cơng thức rmsed := 45 1 0.9 0.8 0.8 0.6 0.4 0.7 0.2 0.6 0.5 0.4 −0.2 0.3 −0.4 −0.6 0.2 −0.8 0.1 −1 −1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 (a) W hình vng ( 1; 1) tương ứng với hàm (b) W hình vng (0:01; 1:01) tương ứng với hàm u1 u2 với 11369 điểm u3 với 1940 điểm Hình 3.1: Sự phân bố tâm 3.1.3 Mục đích thử nghiệm Mục đích thử nghiệm để chứng tỏ phương pháp có cách chọn tâm Xz theo cách riêng để đảm bảo độ xác cao Hơn nữa, dùng phương pháp nội suy RBF ta n tâm sử dụng thuật toán chọn tâm [3] với tham số k = 3.2 Tính xấp xỉ đạo hàm cấp Trong thử nghiệm, sử dụng hàm Gauss dùng hàm phần 3.1.2 với miền tương ứng Bảng hàm sử dụng thử nghiệm: Các kết thử nghiệm hàm với sai số rms minh họa qua bảng sau: Bảng 3.1: Các hàm sử dụng thử ng # k=5 155 659 2717 11033 1.9e-002 3.4e-003 8.4e-004 2.1e-004 # k=5 155 659 2717 11033 1.3e-002 3.4e-003 8.4e-004 2.1e-004 Bảng 3.2: Sai số rms xấp xỉ đạo hàm cấp hàm u 3.3 Tính xấp xỉ đạo hàm cấp Các hàm phần 3.1.2 với miền tương ứng sử dụng thử nghiệm tính xấp xỉ đạo hàm cấp sau: 47 Sử dụng thuật toán chọn [3] # 155 659 2717 11033 k= 1.4e-0 3.6e-0 9.1e-0 2.3e-0 # 155 659 2717 11033 k= 1.8e-0 4.0e-0 9.5e-0 2.3e-0 Bảng 3.3: Sai số rms xấp xỉ đạo hàm cấp hàm u Sử dụng thuật toán chọn [3] # 140 162 220 466 678 1220 1811 3110 4769 # 140 162 220 466 678 1220 1811 3110 4769 5.50e-001 4.78e-001 3.82e-001 1.72e-001 1.40e-001 5.82e-002 6.91e-002 6.14e-002 4.03e-002 1.07e+000 Bảng 3.4: Sai số rms xấp xỉ đạo hàm cấp hàm u3 48 Bảng 3.5: Các hàm sử dụng thử # k=5 155 659 2717 11033 7.1e-002 3.8e-002 1.9e-002 9.3e-003 # k=5 155 659 2717 11033 1.0e-001 4.1e-002 1.9e-002 9.3e-003 Bảng 3.6: Sai số rms xấp xỉ đạo hàm cấp hàm u 3.4 Áp dụng giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet Trong phần áp dụng cách tính véc tơ trọng số để tính đạo hàm phần trước vào giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet Các hàm phần 3.1.2 với miền tương ứng sử dụng thử nghiệm giải phương trình Poisson với điều kiện biên Dirichlet Lược đồ giải toán (3.1.2) sau: Với z Xint a Chọn tâm Xz 49 Sử dụng thuật toán chọn [3] # 659 2717 11033 k= 7.3e-0 3.7e-0 1.9e-0 # 659 2717 11033 k= 7.5e-0 3.8e-0 1.9e-0 Bảng 3.7: Sai số rms xấp xỉ đạo hàm cấp hàm u Vế phải phương trình (3.1 Du (x; y) := u1 4(x + y 2 u2 u3 2p sin(px)sin(py) Bảng 3.8: Các hàm sử dụng thử nghiệm tính xấp xỉ giải phương trình Poisson b Tính véctơ trọng số wz ;x cơng thức w = [FjXz ] DF(z :)jXz : Sử dụng véctơ trọng số wz ;x để tính Ds(z ) Tính sai số trung bình bình phương E nghiệm xấp xỉ uˆ với nghiệm xác u cơng thức N = #Xint số điểm Các kết thử nghiệm hàm với sai số trung bình bình phương E minh họa qua bảng sau: 50 Sử dụng thuật toán chọn [3] # 155 659 2717 k=5 3.18e-0 7.90e-0 1.91e-0 # 155 659 2717 k=5 3.07e-0 5.32e-0 8.61e-0 Bảng 3.9: Sai số trung bình bình phương E hàm u Sử dụng thuật toán chọn [3] # 155 659 2717 k=5 3.86e-0 4.50e-0 1.55e-0 # 155 659 2717 k=5 2.82e-0 7.64e-0 3.16e-0 Bảng 3.10: Sai số trung bình bình phương E hàm u2 51 Sử dụng thuật toán chọn [3] # 162 220 466 678 1220 1811 3110 4769 k=5 5.48e-0 5.77e-0 1.25e-0 1.15e-0 9.25e-0 5.22e-0 2.59e-0 1.72e-0 # 162 220 466 678 1220 1811 3110 4769 k=5 2.78e-0 1.69e-0 1.15e-0 1.88e-0 3.22e-0 4.34e-0 7.38e-0 1.02e-0 Bảng 3.11: Sai số trung bình bình phương E hàm u 52 3.5 Kết luận Kết thử nghiệm cho thấy rằng: Thuật toán chọn tâm đặc biệt quan trọng nội suy liệu phân tán trường hợp hàm có độ dao động lớn Độ xác nghiệm xấp xỉ phụ thuộc nhiều vào số lượng tâm chọn để nội suy Với hàm có độ dao động hay liệu phân bố tương đối ta cần chọn tâm gần với vị trí cần nội suy lấy tâm nằm hai vành khuyên với vị trí tâm vành khuyên gần với z Khi sử dụng thuật tốn chọn tâm trình bày luận văn thí dụ tốn khó số tâm chọn 6, thường xuyên cho kết tốt 53 KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu nghiên cứu đề tài: "Nghiên cứu ảnh hưởng tâm nội suy đến độ xác xấp xỉ đạo hàm dựa nội suy hàm sở bán kính", chúng tơi thu kết sau: Tìm hiểu kiến thức sở xung quanh luận văn, từ hồn thiện thêm số kiến thức tảng cho tính tốn khoa học Tìm hiểu cách tính đạo hàm dựa nội suy hàm RBF Tìm hiểu vài tiêu chuẩn chọn tâm nội suy Cài đặt chương trình thử nghiệm để rút số kết luận 54 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đặng Quang Á, Giáo trình phương pháp số, Nhà xuất Đại Học Thái Nguyên, 2009 [2] M D Buhmann Radial Basis Functions Cambridge University Press, New York, NY, USA, 2003 [3] O Davydov and D T Oanh Adaptive meshless centres and RBF sten-cils for Poisson equation Journal of Computational Physis, 230:287–304, 2011 [4] Tạ Văn Đĩnh, Phương pháp sai phân hữu hạn phần tử hữu hạn, Tạ Văn Đĩnh, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật, 2002 [5] G F Fasshauer, Meshfree Approximation Methods with MATLAB, World Scientific Publishing Co, Inc, River Edge, NJ, USA, 2007 [6] Đinh Thế Lục, Pham Huy Điển, Tạ Duy Phượng, Giải tích hàm nhiều biến, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội, 2002 [7] Đặng Thị Oanh, Phương pháp không lưới giải phương trình Poisson, Luận án tiến sĩ, 2012 [8] Nguyễn Đình Trí, Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán cao cấp, Tập 3, Nhà xuất Giáo dục, 2006 [9] H Wendland Scattered Data Approximation Cambridge University Press, 2005 55 NHẬN XÉT CỦA GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN GIÁO VIÊN HƯỚNG DẪN TS Đặng Thị Oanh ... NGHỆ THÔNG TIN VÀ TRUYỀN THƠNG LÂM VĂN TRÌ NGHIÊN CỨU SỰ ẢNH HƯỞNG CỦA BỘ TÂM NỘI SUY ĐẾN ĐỘ CHÍNH XÁC CỦA XẤP XỈ ĐẠO HÀM DỰA TRÊN NỘI SUY HÀM CƠ SỞ BÁN KÍNH Chuyên ngành : Khoa học máy tính Mã... rms xấp xỉ đạo hàm cấp hàm u1 46 3.3 Sai số rms xấp xỉ đạo hàm cấp hàm u2 47 3.4 Sai số rms xấp xỉ đạo hàm cấp hàm u3 47 3.5 Các hàm sử dụng thử nghiệm tính xấp xỉ đạo hàm. .. tính xấp xỉ đạo hàm Một cách tính xấp xỉ đạo hàm dựa nội suy hàm số Trong năm gần đây, nhiều nhà khoa học sử dụng nội suy hàm sở bán kính (RBF-Radial Basis Function) [2] để giải tốn liên quan đến