Du lịch miền Tây- Hòn phụ tử - Hà Tiên (Kiên Giang)

TÍNH ỨNG SUẤT TỚI HẠN CỦA THANH NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI... TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA THANH NÉN THEO QUY PHẠM ..[r]

(1)

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI

TRƯỜNG CAO ĐẲNG GTVT MIỀN TRUNG ab&ab

Biên soạn :NGUYỄN TRUNG

SỨC BỀN VẬT LIỆU

(2)

LỜI NĨI ĐẦU

Sức bền vật liệu là mơn khoa học nghiên cứu cách tính độ bền, độ cứng và độ ổn định của cấu kiện, từ đó xây dựng các phương pháp và lập các cơng thức chủ yếu để tính tốn các bộ phận của cơng trình hay chi tiết máy và là nền tảng của nhiều mơn học kỹ thuật khác như : Cơ học kết cấu, Kết cấu thép, Kết cấu bê tơng cốt thép, tính tốn cầu, đường,

Để phục vụ cơng tác giảng dạy cho sinh viên – học sinh chuyên ngành xây dựng cầu đường bộ, Trường Cao đẳng Giao Thông Vận Tải miền Trung chủ trương biên soạn và in ấn tập tài liệu Sức bền vật liệu.

Tài liệu này gồm 10 chương, do Nguyễn Trung – Phịng Quản lý khoa học và Kiểm định chất lượng đào tạo biên soạn, được tập thể cán bộ giáo viên giảng dạy bộ mơn Cơ học của trường đóng góp ý kiến và chỉnh sửa cho phù hợp với chương trình mơn học như: Thạc sỹ Nguyễn Đình Linh, Nguyễn Lâm Hồng, Nguyễn Sỹ Tỵ, Nguyễn Hồng Tuấn, Hồng Đăng Thái, Bùi Quang Thiên, Nguyễn Thế Giáp

Tài liệu Sức bền vật liệu phục vụ cơng tác giảng dạy cho sinh viên – học sinh chun ngành xây dựng cầu đường bộ của trường, ngồi ra cịn là tài liệu tham khảo cho các cán bộ làm cơng tác khác.

Tuy đã cố gắng biên soạn, nhưng do trình độ và kiến thức chun mơn có hạn chắc chắn tập tài liệu này cịn rất nhiều khiếm khuyết. Kính mong bạn đọc đóng góp ý kiến để lần tái bản cuốn sách sẽ hồn thiện hơn.

Ý kiến góp ý xin gửi về Phịng Quản lý khoa học và Kiểm định chất lượng đào tạo – Trường Cao đẳng GTVT Miền Trung.

(3)

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU

1 NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN SỨC BỀN VẬT LIỆU

1.1. Nhiệm vụ :

Sức bền vật liệu là mơn khoa học kết hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm, trên cơ sở nghiên cứu khả năng chịu lực của vật liệu xem xét và giải quyết 3 bài tốn cơ bản đối với một cấu kiện cơng trình hay một chi tiết máy đó là : độ bền, độ cứng và độ ổn định.

Mỗi loại cơng trình hay một chi tiết máy cần được tính tốn và thiết kế để đảm bảo đủ độ bền, độ cứng và độ ổn định.

Đủ độ bền : nghĩa là cấu kiện có khả năng tiếp nhận được tất cả các tổ hợp lực đặt lên nó mà khơng bị phá hỏng trong suốt thời gian tồn tại.

Đủ độ cứng: nghĩa là khi tiếp nhận và truyền tất cả tác động lực thì những thay đổi kích thước hình học của nó khơng được vượt q những trị số cho phép nhằm đảm bảo việc sử dụng cơng trình một cách bình thường.

Đủ độ ổn định: là khả năng bảo tồn được trạng thái cân bằng ban đầu của kết cấu cơng trình trong q trình chịu lực.

Song song với việc cần phải đảm bảo đủ độ bền, độ cứng và độ ổn định khi thiết kế các cấu kiện cơng trình hay một chi tiết máy cần phải đảm bảo tiết kiệm. Vì vậy nhiệm vụ của mơn Sức bền vật liệu là tìm ra phương pháp tính tốn đơn giản trong thực hành nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết từ đó đề ra được kích thước và hình dáng hợp lý của cấu kiện, đảm bảo an tồn tiết kiệm.

1.2. Đối tượng nghiên cứu :

1.2.1. Vật thể :

Vật thể được nghiên cứu trong Sức bền vật liệu là vật rắn thực, tức là vật rắn có xét đến biến dạng của vật thể trong q trình chịu lực.

Do vật thể bị biến dạng khi chịu lực, nên khi nghiên cứu khơng cho phép dời lực theo phương tác dụng của nó hoặc thay thế

các lực tác dụng bằng một hệ lực tương đương, vì như vậy sẽ làm thay đổi tính chất và kết quả của biến dạng.

Ví dụ : Hai vật thể A và B (hình vẽ 1.1) ở mơn Cơ học lý thuyết thì hai vật thể này ở trạng thái cân bằng tĩnh học như nhau, nhưng ở mơn Sức bền vật liệu thì đó là hai trường hợp chịu lực khác nhau.

1.2.2. Phân loại vật thể theo hình dáng :

Các bộ phận cơng trình có nhiều hình dáng khác nhau, việc phân loại chúng giúp ta khái qt hố được phương pháp luận và đề ra được những biện pháp nghiên cứu thích hợp với từng loại

P

P A

P

P B

Kéo tâm Nén tâm

(4)

Tùy theo kích thước của vật thể theo 3 phương ta có thể chia thành 3 loại sau : Hình khối : là những vật có kích thước theo 3 phương tương đương nhau.

Ví dụ : móng máy, móng cột điện,…(hình 1.2)

H×nh vÏ 1.2 H×nh vÏ 1.3 H×nh vÏ 1.4

Hình tấm, vỏ : là những vật có kích thước theo hai phương lớn hơn nhiều so với phương cịn lại.

Ví dụ : sàn nhà đúc bê tơng, lớp mặt đường, mái nhà vịm, bình chứa,… là những thí dụ lấy sơ đồ tính là tấm, vỏ (hình vẽ 1.3)

Trong tính tốn người ta có thể mơ hình hố tấm hoặc vỏ bằng mặt trung gian của chúng.

Hình thanh : là những vật thể có kích thước theo một phương lớn hơn nhiều so với hai phương cịn lại, kích thước của phương đó gọi là chiều dài của thanh (hình vẽ 1.4).

Thanh là vật thể được nghiên cứu chủ yếu trong Sức bền vật liệu, trong tính tốn người ta có thể mơ hình hố thanh bằng trục của nó.

+ Trục của thanh là đường thẳng đi qua trọng tâm của các mặt cắt ngang liên tiếp. Nếu trục thanh là đường thẳng, ta gọi là thanh thẳng. Nếu trục thanh là đường cong, ta gọi là thanh cong.

+ Mặt cắt vng góc với trục thanh gọi là mặt cắt ngang.

Dầm cầu, cột nhà, thanh ray, tà vẹt, trục động cơ… là những thí dụ lấy sơ đồ tính là thanh.

2. CÁC GIẢ THIẾT CƠ BẢN

Trong thực tế mỗi loại vật liệu đều có những tính chất cơ lý khác nhau. Nếu kể hết các tính chất của vật liệu khi giải quyết bài tốn sức bền vật liệu thì rất phức tạp và khó đưa ra một lý thuyết thống nhất cho tất cả các loại vật liệu xây dựng cơ bản. Vì vậy cần đưa ra các giả thiết về vật liệu, nhằm lược bỏ những tính chất khơng cơ bản của chúng. Những giả thiết này phù hợp với những tính chất cơ bản của vật liệu.

2.1. Giả thiết thứ nhất :Vật liệu có tính chất liên tục, đồng nhất và đẳng hướng.

Tính liên tục : nghĩa là vật liệu chiếm đầy trong khơng gian của vật thể.

Tính đồng nhất : được hiểu là các điểm khác nhau trong lịng của vật thể có tính chất cơ học như nhau.

(5)

2.2. Giả thiết thứ hai : biến dạng của vật thể là biến dạng đàn hồi và đàn hồi tuyệt đối.

Dưới tác dụng của ngoại lực vật thể có biến dạng, khi bỏ ngoại lực đi thì vật thể sẽ trở lại hình dáng, kích thước như ban đầu đó là tính chất đàn hồi của vật thể và biến dạng của vật thể được gọi là biến dạng đàn hồi.

Trong thực thế khi bỏ ngoại lực đi thì vật thể khơng trở lại hình dáng, kích thước như ban đầu mà nó cịn có biến dạng dư hay cịn gọi là biến dạng dẻo, tuy nhiên các thí nghiệm chứng minh rằng khi ngoại lực chưa vượt q một giới hạn xác định thì biến dạng dư của vật là rất nhỏ có thể bỏ qua và coi vật thể là đàn hồi tuyệt đối.

Trong sức bền vật liệu nêu lên các phương pháp tính tốn bộ phận cơng trình hay chi tiết máy dựa trên cơ sở vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi.

2.3. Giả thiết thứ ba : Biến dạng của vật thể do ngoại lực gây ra là nhỏ so với kích

thước của chúng.

Giả thiết này cho phép ta coi điểm đặt của các lực là khơng đổi khi vật thể biến dạng làm đơn giản hơn trong tính tốn.

3. NGOẠI LỰC, NỘI LỰC TRÊN MẶT CẮT NGANG THANH

3.1. Ngoại lực:

Ngoại lực là lực tác dụng của mơi trường bên ngồi hay từ vật thể khác lên vật thể đang xét.

Ngoại lực gồm :

Lực tác dụng (cịn gọi là tải trọng). Các liên kết.

3.1.1. Lực tác dụng : Ngoại lực tác dụng vào một kết cấu có thể là lực thể tích hoặc

lực mặt.

Lực thể tích : thơng thường là trọng lượng bản thân của kết cấu. Trọng lượng bản thân có thể tính theo trọng lượng của đơn vị thể tích (N/cm 3 …), đối với thanh có thể tính theo trọng lượng của đơn vị chiều dài (kN/m, N/cm…), đối với tấm và vỏ có thể tính theo trọng lượng của đơn vị diện tích (kN/m 2 , MPa…)

Lực mặt : là lực tác dụng vào mặt ngồi của kết cấu. Lực mặt có thể là lực phân bố trên diện tích (kN/m 2 , MPa…) thường dùng đối với tấm hoặc vỏ. Hoặc có thể là lực phân bố theo chiều dài (N/cm, kN/m,…) thường dùng đối với thanh. Nếu phạm vi tác dụng của lực mặt ngồi tương đối bé, coi như lực tập trung với đơn vị là N, kN,…Trong tính tốn cầu, người ta coi lực tác dụng của bánh xe ơ tơ xuống dầm là một lực tập trung.

Lực mặt ngồi cũng có thể là ngẫu lực phân bố (Ncm/cm, kNm/m,…) hoặc ngẫu lực tập trung (Ncm, kNm,…)

(6)

* Lực tập trung : là lực tác dụng tại một điểm trên vật thể (lực, hoặc mơ men). * Lực phân bố : là lực tác dụng trên một đoạn chiều dài nhất định.

Theo tính chất tác dụng gồm :

* Tải trọng tĩnh : là tải trọng tác dụng lên vật thể có vị trí khơng thay đổi. * Tải trọng động : là tải trọng tác dụng lên vật thể có vị trí thay đổi. Ví dụ :

Xét một dầm giản đơn AB, chịu tác dụng của các lực P, M, q và có chiều dài như hình vẽ 1.5 :

H×nh vÏ 1.5

q P

M

P M

A B C D E F G

a a a a a a

Lực tác dụng gồm : M, P, q

3.1.2. Các liên kết :

Trong thực tế các vật thể có thể bị ràng buộc với nhau hoặc ràng buộc với nền đất bởi các liên kết. Thơng qua liên kết, các kết cấu tác dụng lực hoặc phản lực vào nhau hoặc với đất gọi là lực liên kết.

Hình vẽ 1.6 là sơ đồ tính của một số liên kết quen thuộc và các lực liên kết tương ứng thường dùng trong sức bền vật liệu

V C V B

B H B

q P

V A A H A

M A

q P E

V E D

H D M D H×nh vÏ 1.6

q P

C

Ngàm A có ba phản lực liên kết : VA, HA, MA

Gối khớp cố định B có hai phản lực liên kết : VB, HB

Gối khớp di động C có một phản lực liên kết : VC

Ngàm trược D có 2 phản lực liên kết : HD, MD

3.2. Nội lực :

Giữa các phần tử vật chất của vật thể ln ln có các lực liên kết để giữ cho nó có hình dáng nhất định.

(7)

3.3. Phương pháp mặt cắt :

Để làm xuất hiện, biểu diễn và tính được nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt với nội dung như sau :

Xét vật thể cân bằng đàn hồi dưới tác dụng của hệ lực (P1, P2,…,Pn) hình vẽ 1.7.

Tưởng tượng dùng mặt cắt p đi qua điểm C chia vật thể làm hai phần (A) và (B). Vì vật thể cân bằng nên mỗi phần (A) hay (B) cũng tự cân bằng

P 1

P

P 3

Pn

C

p

H×nh vÏ 1.7

(A) (B)

P 1

P 2

H×nh vÏ 1.8

(A) P

Xét sự cân bằng của phần (A).

Sở dĩ phần (A) cân bằng được là do trên mặt cắt p thuộc phần (A) tồn tại hệ nội lực là những lực tương hỗ do phần (B) tác dụng lên phần (A) cân bằng với những ngoại lực tác dụng lên phần (A). Hệ nội lực đó phân bố trên tồn bộ mặt cắt của phần (A) như hình vẽ 1.8.

3.4. Khái niệm về ứng suất :

Xung quanh điểm C trên mặt cắt thuộc phần (A) ta lấy một diện tích khá bé DF. Hợp lực của nội lực trên DF làDP.

Ta có : P tb

F P

= D D

tb

P : gọi là ứng suất trung bình tại C. Khi DF ® 0 thì P tb ® P

P : gọi là ứng suất tại C. Giả sử n

r

là pháp tuyến ngồi của mặt đang xét, ta có thể phân véctơ ứng suất tồn phần P thành hai thành phần vng góc, với ký hiệu và tên gọi như sau :

P= sn + tn

uur uur Trong đó :

n

s : ứng suất pháp trên mặt có pháp tuyến n r .

n

t : ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến n r .

Trị số của ứng suất tồn phần và các ứng suất thành phần liên hệ với nhau P 1

P 2

H×nh vÏ 1.9

(A) C s u

P

t

(8)

2

P = s + t

3.5. Nội lực trên mặt cắt ngang thanh :

Để ý một thanh chịu lực. Trên mặt cắt ngang thanh có nội lực, thu nội lực về thành một véctơ chính

ur

Rđặt tại trọng tâm O của mặt cắt và một mơmen chính

ur M

(hình vẽ 1.10)

H×nh vÏ 1.10 (A)

P 1

P 2

z x

Nz

Q y y

Qx

R M

(A) P 1

P 2

z x y

M y Mx

Mz

(A) P 1

P 2

z x y

Tại trọng tâm mặt cắt ta chọn ba trục Oxyz (Oz trùng pháp tuyến ngồi của mặt cắt) thì

ur

Rđược phân tích thành ba lực thành phần nằm trên ba trục: Qx : lực cắt trên trục x.

Qy : lực cắt trên trục y.

Nz : lực dọc trục.

Mơ men chính

ur

M được phân tích thành ba véctơ mơ men mang trên ba trục: Mx : mơ men uốn quanh trục x.

My : mơ men uốn quanh trục y.

Mz : mơ men xoắn.

Mơ men uốn, mơ men xoắn, lực dọc, lực cắt là hợp lực của nội lực trên tồn bộ tiết diện và được gọi là các nội lực.

Ta thiết lập hệ 6 phương trình cân bằng tĩnh học tương ứng và tìm được 6 thành phần nội lực Qx, Qy, Nz, Mx, My, Mz

=

= Û + =

å å

ur ur ur

n x ix

i n y iy

i n z iz

i n

x x x i

i n

y y y i

i n

z z z i

i

x Q P

y Q P

z N P

M M M (P )

(1.1)

(9)

4. CÁC BIẾN DẠNG CƠ BẢN

Sáu thành phần nội lực trên mặt cắt ngang thanh, như tên gọi của chúng đã chỉ rõ, tạo ra những biến dạng cơ bản của thanh. Đó là :

Khi trên mặt cắt ngang chỉ có Nz thì thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm

Thanh chịu kéo tâm Thanh chịu nén tâm Nz

Nz Nz Nz

ưKhitrờnmtctngangchcúMzthỡthanhchuxon

Mz

Thanh chịu xoắn

Khi trên mặt cắt ngang chỉ có Qx hoặc Qy thì thanh chịu cắt Q y

Q y

Qx

Thanh chịu cắt

ưKhitrờnmtctngangchcúMxvQyhocMyvQxthỡtanúithanhchuun

Mx

M y M y

Thanh chÞu n

Thanh chịu lực phức tạp : Ví dụ thanh vừa chịu xoắn vừa chịu uốn P

T 1

T 3 T 4 Thanh chÞu lùc phøc t¹p T 2

CÂU HỎI ƠN TẬP CHƯƠNG 1 1. Nêu và giải thích nhiệm vụ của Sức bền vật liệu.

(10)

CHƯƠNG 2: KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM THANH THẲNG

1. KHÁI NIỆM VỀ KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM

1.1. Khái niệm :

Một thanh thẳng khi chịu tác dụng của ngoại lực có hướng song song và trùng với trục của thanh, khi đó trên mỗi mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại một thành phần nội lực duy nhất là lực dọc trục Nz, ta nói thanh chịu kéo hay nén đúng tâm.

Thanh chịu kéo đúng tâm nếu các lực hướng từ trong ra ngồi

P P

Thanh chịu kéo tâm

Thanh chịu nén đúng tâm nếu các lực hướng vào thanh

P P

Thanh chịu nén tâm

Ví dụ : cột trụ chịu nén đúng tâm bởi trọng lượng bản thân, dây cáp của kết cấu treo chịu kéo đúng tâm, những thanh của kết cấu dàn chỉ chịu kéo hoặc nén đúng tâm khi tải trọng chỉ đặt tại mắt dàn,…

1.2. Nội lực :

1.2.1. Quy ước dấu :

Hình vẽ 2.1 mơ tả quy ước dấu của lực dọc trục.

Nz > 0 khi lực dọc hướng ra ngoài mặt cắt (lực kéo).

Nz < 0 khi lực dọc hướng vào trong mặt cắt (lực nén).

1.2.2. Quy tắc tính nội lực :

Giả thiết ta đã biết những ngoại lực tác dụng lên thanh. Muốn tính nội lực tại mặt cắt ngang nào đó của thanh, ta tưởng tượng dùng một mặt cắt vng góc với trục thanh cắt thanh thành hai phần.

Xét cân bằng phần có ít ngoại lực tác dụng hơn (xét cân bằng một bên mặt cắt). Nội lực Nz trên mặt cắt ngang đó được tính bằng cách lấy tổng hình chiếu các lực

ở một bên mặt cắt (phần đang xét) lên pháp tuyến với mặt cắt

= Û = +

å z å iz å iz iz

1ben 1ben

z N P q l (21)

Trong đó : Piz: hình chiếu lên trục z những lực tập trung.

qiz : hình chiếu lên trục z những lực phân bố.

liz : chiều dài đoạn tải trọng phân bố thứ i theo trục z 1.2.3. Ví dụ :

Nz > Nz <

(11)

Xác định nội lực của mặt cắt trong đoạn AB, BC, CD của thanh chịu lực như hình vẽ 2.2 Biết P1 = 50kN, P2 = 80kN, P3 = 200kN, q = 10kN/m

0

£

z

£

2m

P 1

q P 2 P 3

2

m

4

m

2m

1

2

3

P 1

1

N 1

P 1

q P 2

2

0

£

z

£

4

m

N 2

P 1

q P 2 P 3

3

4

m

0

£

z

£

2m

A B

C D

H×nh vÏ 2.2 N 3

Bài giải :

Phương pháp : Xét đoạn cần tính lực dọc :

+ Tưởng tượng dùng mặt cắt cắt đoạn đang xét thành hai phần. + Xét cân bằng phần mặt cắt có ít ngoại lực tác dụng hơn.

+ Phương trình hình chiếu các lực lên trục thanh (áp dụng cơng thức 21). Đoạn AB : 0 £ z1£2m

Sz = 0 Þ P1 + N1 = 0

Þ N1 = P1 = 50 kN (lực nén).

Đoạn BC : 0 £z2£4m

Sz = 0 Þ P1 + P2 + q. z2 + N2 = 0

Þ N2 = P1 P2 q.z2

Khi z2 = 0 (tại điểm B) ÞN2 = 50 80 – 10x0 = 130 kN (lực nén)

Khi z2 = 4m (tại điểm C) Þ N2 = 50 80 10x4 = 170 kN (lực nén)

Đoạn CD : 0 £ z3£2m

Sz = 0 Þ P1 + P2 + q. 4 P3 + q. z3 + N3 = 0

Þ N3 = P1 P2 – q. 4 + P3 q. z3

(12)

Khi z3 = 2m (tại điểm D) Þ N3 = 50 80 10x4 +200 10x2 = 10kN(lực kéo)

1.3. Biểu đồ lực dọc trục :

Biểu đồ lực dọc là đồ thị biểu diễn sự biến đổi nội lực Nz của các mặt cắt ngang

dọc theo trục thanh.

1.3.1. Cách vẽ :

Chọn một đường chuẩn song song với trục thanh.

Chia thanh thành các đoạn bằng cách lấy điểm đặt lực tập trung, điểm đầu và cuối của tải trọng phân bố, vị trí thay đổi của diện tích mặt cắt ngang làm ranh giới phân chia đoạn.

Xác định lực dọc trên từng đoạn.

Đặt giá trị lực dọc vng góc với trục thanh. Nếu thanh nằm ngang :

+ N > 0 Þ đặt bên trên đường chuẩn. + N < 0 Þ đặt bên dưới đường chuẩn. Nếu thanh đặt đứng :

+ N > 0 Þ đặt bên phải đường chuẩn. + N < 0 Þ đặt bên trái đường chuẩn.

1.3.2. Ví dụ 1 :

Vẽ biểu đồ nội lực của thanh chịu lực trên hình vẽ 2.2. Biểu đồ nội lực được vẽ trên hình vẽ 2.3

0

£

z

£

2m

P 1

q P 2 P 3

2m

4m

2m

1

2

3

P 1

1

N 1

P 1

q P 2

2

0

£

z

£

4m

N 2

P 1

q P 2 P 3

3

4m

0

£

z

£

2m

A B

C D

H×nh vÏ 2.3 N 3

50

130

170 30

10 N KN

(13)

Vẽ biểu đồ nội lực của thanh chịu lực như hình vẽ 2.4 (bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh).

Bài giải :

Phương pháp : Xét đoạn cần tính lực dọc :

+ Tưởng tượng dùng mặt cắt cắt đoạn đang xét thành hai phần. + Xét cân bằng phần mặt cắt có ít ngoại lực tác dụng hơn.

+ Phương trình hình chiếu các lực lên trục thanh (áp dụng cơng thức 21)

4

N 4

10KN 40KN

50KN 30KN

N KN H×nh vÏ 2.4

E

P 1 = 30KN

A 1

N 1

P 1 = 30KN

A

P 2 = 20KN

B 2

N 2

P 1 = 30KN

A

P 2 = 20KN

B

P 3 = 90KN

C 3

N 3

P 1 = 30KN

A

P 2 = 20KN

B

P 3 = 90KN

C

P 4 = 50KN

D

P 1 = 30KN

A

P 2 = 20KN

B

P 3 = 90KN

C

P 4 = 50KN

D

2

3

2

3

20

cm

3

0c

m

4

0c

m

1

0

Đoạn AB : 0 £ z1£20cm

Sz = 0 Þ P1 N1 = 0

Þ N1 = P1 = 30 kN (lực kéo).

Đoạn BC : 0 £z2£30cm

Sz = 0 Þ P1 + P2 N2 = 0

Þ N2 = P1 + P2 = 30 + 20 = 50 kN (lực kéo).

Đoạn CD : 0 £ z3£40cm

Sz = 0 Þ P1 + P2 P3 N3 = 0

Þ N2 = P1 + P2 P3 = 30 + 20 90 = 40 kN (lực nén).

Đoạn DE : 0 £z4£10cm

Sz = 0 Þ P1 + P2 P3 + P4 N3 = 0

Þ N2 = P1 + P2 P3 + P4 = 30 + 20 90 + 50 = 10 kN (lực kéo).

Từ các kết quả trên ta vẽ được biểu đồ lực dọc N như hình vẽ 2.4.

1.3.4. Nhận xét :

(14)

Trên các đoạn thanh khơng có lực tập trung tác dụng, biểu đồ lực dọc song song với đường chuẩn.

Trên đoạn thanh có tải trọng phân bố đều tác dụng, biểu đồ lực dọc là đường thẳng xiên.

2 ỨNG SUẤT, BIẾN DẠNG TRÊN THANH BỊ KÉO NÉN

2.1 Ứng suất trên mặt cắt ngang trong giới hạn đàn hồi:

2.1.1. Quan sát biến dạng :

Xét thanh thẳng chịu kéo đúng tâm bởi hệ lực ngược chiều nhau, hợp lực P của hệ lực nằm dọc theo trục thanh như hình vẽ 2.5.

Trước khi cho thanh chịu lực, ta vạch lên mặt ngồi của thanh những đường thẳng song song với trục thanh biểu diễn các lớp vật liệu nằm dọc trục của thanh ta gọi là các thớ dọc của thanh. Và vạch những đường thẳng vng góc với trục thanh biểu diễn các mặt cắt ngang của thanh (hình vẽ 2.5a)

H×nh vÏ 2.5 a)

b)

P P

Sau khi cho thanh chịu lực P tác dụng (hình vẽ 2.5b) quan sát biến dạng ta thấy: Những đoạn thẳng vng góc với trục thanh di chuyển ra xa, nhưng vẫn thẳng và vng góc với trục thanh.

Những đường thẳng song song với trục thanh thì dịch lại gần với nhau, nhưng vẫn thẳng và song song với trục thanh.

Qua quan sát các thí nghiệm ta có thể đưa ra ba giả thiết trong biến dạng của thanh chịu kéo (nén) đúng tâm như sau :

2.1.2. Giả thiết :

Giả thiết 1 : Trục thanh thẳng vẫn thẳng khi thanh bị biến dạng.

Giả thiết 2 : trước và sau biến dạng các mặt cắt ngang vẫn phẳng và vng góc với trục thanh (giả thiết Bernoulli).

Giả thiết 3 : trong q trình biến dạng các thớ dọc khơng ép lên nhau và cũng không đẩy nhau.

Nếu tách ở đầu thanh ra một đoạn dz, thì các thớ dọc trục của đoạn đó theo giả thiết 1 và 2, có độ dãn dài bằng nhau, tức là : ddz = const

Từ đó ta rút ra phương trình biến dạng là :

ddz

1

2 2'

2 2' Nz

Nz

(15)

z

dz

const dz

d

e = = (2.2)

Mặt khác ta có quan hệ giữa ứng suất pháp trên mặt cắt ngang và nội lực Nz là :

z z

F

N = s ị dF (2.3)

Vì vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, đồng thời theo giả thiết 3, ta có quan hệ giữa ứng suất và biến dạng (định luật Hooke trong trạng thái ứng suất đường – xem chương 3)

z z

E s

e = (2.4)

Trong đó : E : mơ đuyn đàn hồi của vật liệu (mơ đuyn Young) (bảng tra 2.1)

Bảng 2.1 : Mơ đuyn đàn hồi E (daN/cm 2 ) của một số vật liệu

Vật liệu E

Thép (2 ¸2,1).10 6

Gang (xám, trắng) (1,15 ¸1,6) .10 6

Đồng, hợp kim đồng (đồng vàng, đồng đen) (1 ¸1,3).10 6

Hợp kim nhơm 0,72.10 6

Khối xây

Bằng đá vôi. Bằng gạch.

0,6.10 6 0,03.10 6

Bê tông (0,15 ¸0,23) .10 6

Gỗ dọc thớ 0,1.10 6

Cao su 0,00008.10 6

So sánh (2.2) và (2.4) ta rút ra :

sz = const (2.5)

Tức là : trong biến dạng kéo, nén ứng suất pháp phân bố đều trên mặt cắt ngang.

So sánh (2.3) và (2.5) ta rút ra cơng thức tính ứng suất pháp sz

z z

N F

s = (2.6)

Từ các kết luận trên, ta vẽ được biểu đồ phân bố ứng suất pháp trên mặt cắt ngang (hình vẽ 2.6)

2.2. Biến dạng :

Nz

sz =

F Nz

sz

(16)

2.2.1. Biến dạng dọc :

Thay (2.6) vào (2.4) rồi vào (2.2), ta được cơng thức tính biến dạng dọc đoạn dài dz của thanh bị kéo, nén :

z N dz dz

EF

d = (2.7)

Biến dạng dọc của thanh dài lbằng : z

l l

N

l dz dz

EF

D = dò = ò (2.8)

Trong trường hợp đặc biệt, khi Nz và EF có giá trị khơng đổi trên chiều dài thì

biến dạng dọc của thanh bằng : z

N l l

EF

D = (2.9)

Tích EF/l gọi là độ cứng chống kéo (nén) của thanh, EF gọi là độ cứng chống kéo (nén) đơn vị của thanh.

2.2.2. Biến dạng ngang :

Khi bị dãn (kéo) dọc, kích thước theo chiều ngang của thanh co lại (hình vẽ 2.7a). Ngược lại khi bị co (nén) dọc, kích thước theo chiều ngang bị dãn ra (hình vẽ 2.7b). Gọi e’ là biến dạng ngang, thì giữa ez và e’ có quan hệ khơng đổi phụ thuộc vật liệu.

Tỷ số giữa ez vàe’ gọi là hệ số Poisson

P P

l Dl/2

Dl/2

l 1

b 1 Db/2

Db/2 b a)

P P

l 1 Dl/2

Dl/2

l

b Db/2

Db/2 b 1 b)

H×nh vÏ 2.7

z ' e m =

e (2.10)

Hệ số Poisson có giá trị từ 0 (bấc xốp) đến 0,5 (cao su) xem bảng 2.2

Bảng 2.2 : Hệ số Poisson m cho một số vật liệu thơng thường

Vật liệu m Vật liệu m

(17)

Đồng 0,31 ¸0,34 Thuỷ tinh 0,25

Đồng đen 0,32 ¸0,35 Đá hộc 0,16 ¸0,34

Gang 0,23 ¸0,27 Bê tơng 0,16 ¸0,18

Chì 0,45 Gỗ dán 0,07

Hợp kim nhơm 0,26 ¸0,36 Cao su 0,5

Kẽm 0,21 Nến 0,5

Vàng 0,42 Bấc xốp 0,0

2.3. Ví dụ :

Thanh thép trịn gồm hai đoạn có diện tích mặt cắt ngang F1 = 20cm 2

; F2 = 40cm 2

chịu tác

dụng của các lực dọc trục P1 = 30KN; P2 = 50KN; P3 = 80KN (như hình vẽ 2.8).

Hãy tính các yếu tố sau:

+ Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N.

+ Tính và vẽ biểu đồ ứng suất trong các đoạn. + Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh.

Cho biết E = 20.10 3 KN/cm 2 . Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh

F 1 F

P 1 = 30KN A

B P = 50KN

C P 3 = 80KN

1

D

P 1 = 30KN A

1

N 1

P 1 = 30KN A

B P = 50KN

2

N 2

P 1 = 30KN A

B P = 50KN

C P 3 = 80KN 3

N 3

30KN 20KN

50KN

N KN

1,5KN/cm 0,5

s KN/cm

1,5KN/cm

60

cm

40

cm

20

H×nh vÏ 2.8

Bài giải :

a. Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N : Đoạn AB : 0 £ z1£20cm

Sz = 0 Þ P1 N1 = 0

Þ N1 = P1 = 30 KN (lực kéo).

Đoạn BC : 0 £ z2£ 40cm

(18)

Þ N2 = P1 P2 = 30 50 = 20 KN (lực nén).

Đoạn CD : 0 £ z3£60cm

Sz = 0 Þ P1 P2 + P3 N3 = 0

Þ N2 = P1 P2 + P3 = 30 50 + 80 = 60 KN (lực kéo).

Từ các kết quả trên ta vẽ được biểu đồ lực dọc N như hình vẽ 2.8. b. Tính ứng suất trong các đoạn :

Đoạn AB :

2

1

1 , KN cm

20 30 F N

= = = s

Đoạn BC :

2

2 , KN cm

40 20 F

N

- = - = = s

Đoạn CD :

2

3

3 , KN cm

40 60 F N

= = = s

Biểu đồ ứng suất được vẽ trên hình vẽ 2.8. c. Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh :

* Xét biến dạng dọc tuyệt đối của các đoạn, do Nz và EF có giá trị khơng đổi

trên chiều dài thì biến dạng dọc của thanh được tính theo cơng thức (29). Đoạn AB :

cm 10 , 20 10 20

20 30 F

E

l N

l 3

1 1

- = =

= D

Đoạn BC :

cm 10 , 40 10 20

40 20 F

E

l N

l 3

2 2

- =

- = =

D

Đoạn CD :

cm 10 , 40 10 20

60 60 F

E

l N

l 3

3 3

- =

= =

D

* Biến dạng dọc tuyệt đối của toàn thanh : Dl = Dl1 + Dl2 + Dl3 = 1,5.10

3

1,0.10 3 + 4,5.10 3 = 5.10 3 cm hay Dl = 0,05 mm

(19)

3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ HỌC VỀ ĐỘ BỀN CỦA VẬT LIỆU

3.1. Nhận xét chung :

Để đánh giá được độ bền của thanh hoặc hệ kết cấu trong q trình chịu lực và trên cơ sở đó đề ra các tiêu chuẩn, điều kiện đảm bảo sự làm việc bình thường, an tồn của kết cấu.

Muốn biết rõ tính chất cơ học của vật liệu, ta phải đem vật liệu ra thí nghiệm, để nghiên cứu những hiện tượng xảy ra trong q trình biến dạng của nó cho tới khi bị phá hỏng. Thường dùng thí nghiệm kéo và nén.

Theo biến dạng vật liệu được phân thành hai nhóm :

Vật liệu dịn như : gang, đá, bê tơng, gạch, là loại vật liệu khi bị phá hoại thì có biến dạng nhỏ, khơng quan sát được bằng mắt trong điều kiện bình thường.

Vật liệu dẻo như : thép, đồng, nhơm, gỗ, là loại vật liệu khi bị phá hoại thì có biến dạng lớn, quan sát được bằng mắt trong điều kiện bình thường.

Những thí nghiệm đặc trưng, tương đối đơn giản, khả thi và phổ biến là các thí nghiệm kéo, nén các mẫu vật liệu hình thanh. Máy thí nghiệm có thể là máy đa năng, máy chun dụng kéo, nén. Bộ phận tạo lực có thể là hệ thống cơ học hoặc hệ thống thủy lực. Trên máy có thiết bị tự động ghi lại được đồ thị quan hệ giữa lực kéo P và biến dạng dài của thanh. Những máy thí nghiệm thế hệ mới cịn được trang bị máy vi tính có khả năng điều khiển tự động q trình thí nghiệm, từ việc cho máy vận hành đến việc thu nhận, xử lý kết quả, vẽ đồ thị của cả q trình hoặc chỉ của một giai đoạn thí nghiệm. Hầu hết trong các máy thí nghiệm, trục của thanh mẫu và lực tác dụng đều theo phương thẳng đứng.

3.2. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo :

3.2.1. Mẫu thử :

Thơng thường, ta hay dùng mẫu thép ít cácbon được chế tạo bằng thép mềm CT38 (thép non). Thanh thép có hình trụ trịn, tiết diện có đường kính ban đầu d0 = 20mm, với

chiều dài ban đầu l0 được quy định chung là

l0 = 10d0 cho mẫu dài, l0 = 5d0 cho mẫu ngắn. Hình dạng một mẫu thép dài như hình

vẽ 2.9. Kích thước mẫu, độ bóng bề mặt, lấy theo quy định của TCVN.

3.2.2. Trình tự thí nghiệm và biểu đồ s e :

Trình tự thí nghiệm :

Lắp mẫu trên máy kéo, tăng lực kéo từ 0 cho đến khi đứt mẫu.

Trị số lực kéo đọc được trên đồng hồ đo lực gắn trên máy.

Máy sẽ tự động vẽ biểu đồ quan hệ giữa lực kéo P và biến dạng dài tuyệt đối Dl.

Biểu đồ s e :

l 0 = 200mm 340mm 390mm H×nh vÏ 2.9

220mm

d 0 = 20 35

e Dl/l 0 s P/F 0

O H×nh vÏ 2.10

stl sch s®h sb

A B C C'

M

D

E

(20)

Xem ứng suất pháp phân bố đều trên mặt cắt ngang, ta có :

0

F P

= s

F0 – diện tích ban đầu mẫu thử

Mặt khác :

0

l l D = e

Ta vẽ được biểu đồ s e (hình vẽ 2.10)

Trên biểu đồ s e ta thấy : quy trình làm việc của thép gồm ba giai đoạn

Giai đoạn tỷ lệ : ứng suất và biến dạng có quan hệ bậc nhất. Biểu diễn bằng đoạn OA trên đồ thị. Biến dạng của thanh trong giai đoạn này nói chung rất nhỏ

0 tl tl

F P =

s gọi là giới hạn tỷ lệ.

Đối với thép CT 38 stl = 2100 daN/cm 2

. Độ dốc của đường thẳng OA bằng giá trị của mơ đuyn đàn hồi của vật liệu. Trong giai đoạn tỷ lệ, vật liệu có tính đàn hồi, tức là sau khi bỏ hết lực kéo, mẫu thử hồn tồn trở lại chiều dài cũ.

Giai đoạn chảy dẻo : khi kéo đến điểm C, ứng suất không tăng (do lực kéo không tăng) nhưng biến dạng vẫn tăng. Biểu diễn bằng đoạn nằm ngang CC’ trên đồ thị. Ứng suất trong giai đoạn này gọi là giới hạn chảy. Độ dài của thềm chảy cũng khác nhau đối với từng loại vật liệu nhưng thường lớn hơn biến dạng trong giai đoạn tỷ lệ

0 ch ch

F P = s

Đối với thép CT 38 thì sch = 2400 daN/cm 2

Giai đoạn tái bền : hết giai đoạn chảy, vật liệu khơi phục độ bền, khi đó ứng suất tăng thì biến dạng tăng nhưng theo quan hệ đường cong. Cuối giai đoạn này trên mẫu thử hình thành một chỗ thắt và mẫu sẽ đứt tại E trên biểu đồ. Ứng suất lớn nhất (tại điểm D) gọi là giới hạn bền

0 b b

F P

= s

Đối với thép CT38 thì sb = 3800 daN/cm 2

. Số 38 trong thép CT38 có nguồn gốc từ giá trị này.

(21)

Cũng từ sau điểm B, người ta quan sát thấy trên mặt mẫu thử hình thành những vết gợn xiên góc 45 0 với trục mẫu. Đó là vết do sự trượt mạng tinh thể thép sinh ra, được gọi là đường Luder – Trernov.

Dạng vạch gợn sóng Dạng lõm đồng tiền Dạng vẩy bề mặt 3.3. Thí nghiệm vật liệu dịn :

3.3.1. Mẫu thí nghiệm :

Khi nén vật liệu dịn các mẫu thí nghiệm thường là hình lập phương hay hình trụ (có h ³2.d)

3.3.2. Biểu đồ s e :

+ Khi nén vật liệu dịn khơng có giai đoạn tỷ lệ và giai đoạn chảy dẻo.

+ Biểu đồ s e là đường cong OD như hình vẽ 2.11, khi ứng suất cịn rất nhỏ.

+ Vật liệu dịn có ứng suất khi phá hoại sb lớn hơn sb kéo

NÐn mÉu thÐp CT38

Nén mẫu bê tông

3.4.Nhnxột:

Vtliudokhiphỏtsinhbindngnhiumihng,vtliudũnbindngớtó hng.

Vật liệu dẻo chịu kéo và nén như nhau, vật liệu dòn chịu nén tốt hơn chịu kéo rất nhiều.

4. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI TRONG KÉO VÀ NÉN d

h

e Dl/l 0

s P/F 0

stl D

(22)

Giả sử có một thanh bị kéo hay nén trong giới hạn đàn hồi. Thanh bị biến dạng, do đó lực đặt vào thanh tạo ra một cơng, thanh tích luỹ một năng lượng gọi là thế năng biến dạng đàn hồi. Nhờ thế năng này mà khi bỏ lực, vật thể trở về hình dạng và kích thước ban đầu.

4.2. Cơng thức tính :

Xét một thanh bị kéo bởi lực P và có biến dạng Dl. Trong q trình tăng lực từ 0 đến P, lực kéo tạo ra cơng A nó tích luỹ vào thanh dưới dạng thế năng U, ta có :

U = A (2.11)

Trong quá trình kéo đến giá trị P1 tương ứng với biến dạng Dl1, nếu ta tăng thêm

dP1 thì biến dạng tăng thêm dDl1

(hình vẽ 2.12). Khi đó P1 tạo ra

cơng ngun tố : dA = P1. dDl1

Trên đồ thị, cơng ngun tố dA biểu thị bằng ngun tố diện tích dW. Do đó cơng tồn bộ tương ứng với lực P và biến dạng Dl được biểu thị bằng diện tích W của tam giác OAB giới hạn bởi các đường thẳng OA và trục hồnh, được tính :

1

A U P l

2

= = D (2.12)

Thay Dl bằng giá trị của nó ở (2.9) ta được :

z N l U

2.E.F

= (2.13)

Suy rộng cơng thức này cho trường hợp thanh có nhiều đoạn độ cứng và nội lực khơng đổi

2 n

zi i i i

N l

U

2 = E.F

= å (2.14)

4.3. Ví dụ :

Tĩnh chuyển vị thẳng đứng tại đầu A của hệ thanh ABC bằng cách áp dụng quan hệ về năng lượng (hình vẽ 2.13)

Nội lực trong các thanh AB và AC bằng : P

P 1 + dP 1

O

Dl dDl

P 1 P + dP

P

Dl A

B dW W

H×nh vÏ 2.12

l

D

l

d

D

l

a

a/cos

a

EF

P A B

(23)

zAB

zAC P N

tg P N

sin =

a = -

a

Thế năng biến dạng đàn hồi của hệ thanh

zAC

2

zAB

2

N a

N a cos P a 1

U x

2EF 2EF 2EF tg cos

ổ

a

= + = ỗ + ÷

aè a ø

ĐặtD là chuyển vị thẳng đứng do lực P thì cơng của ngoại lực bằng : P

A

D =

Vì A = U nên ta có :

2

P.a 1

x

EF tg cos

ổ

D = ỗ + ÷

aè a ø

5. KHÁI NIỆM VỀ SỰ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT Trong biến dạng kéo, nén cũng như trong các biến dạng khác, khi mặt cắt ngang thanh có sự thay đổi đột ngột về hình dạng và kích thước thì tại đó ứng suất phân bố khơng bình thường nữa. Tại lân cận chỗ thay đổi, ứng suất lớn vọt lên rồi giảm đi nhanh chóng. Hình vẽ 2.14 là ví dụ minh hoạ. Hiện tượng nói trên gọi là sự tập trung ứng suất. Ứng suất lớn nhất ở chỗ thay đổi đột ngột mặt cắt gọi là ứng suất tập trung (stt) hay còn gọi là ứng suất cục bộ. Độ lớn của ứng

suất tập trung phụ thuộc hình dạng chỗ thay đổi mặt cắt và đặc biệt phụ thuộc bán kính lượn chỗ thay đổi đổi : bán kính lượn càng bé, ứng suất tập trung càng lớn. Tỉ số giữa ứng suất tập trung và ứng suất trung bình (danh nghĩa) gọi là hệ số tập trung ứng suất

max tt

tb s a =

s (2.15)

6. TÍNH THANH KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM

6.1. Khái niệm về ứng suất cho phép và hệ số an tồn :

Khi tính thanh bằng vật liệu dẻo nếu ứng suất đạt đến giai đoạn chảy dẻo (sch) ta

xem thanh ở trạng thái nguy hiểm, tuy thanh chưa bị phá hỏng nhưng biến dạng đã khá lớn

smax smax

(24)

Đối với thanh bằng vật liệu dòn nếu ứng suất đạt đến giai đoạn bền (sb) ta xem

thanh ở trạng thái nguy hiểm, vì q giới hạn này thanh sẽ bị phá hỏng.

Ứng suất ở trạng thái nguy hiểm ký hiệu s0 tại đó xem như vật liệu bị phá hoại.

Đối với vật liệu dẻo :s0 = sch

Đối với vật liệu dịn : s0 = sb

Do tình trạng vật liệu khơng hồn tồn đồng nhất. Khi tính tốn để đảm bảo cho cấu kiện làm việc được an tồn ta phải đưa thêm vào hệ số an tồn, ký hiệu n và lớn hơn 1.

Đối với vật liệu dòn :[ ] n

b

s = s Đối với vật liệu dẻo : [ ]

n

ch

s =

s (2.16)

Trong đó : [s] : ứng suất cho phép. n : hệ số an tồn, n > 1

6.1.1. Định nghĩa ứng suất cho phép :

Ứng suất cho phép là tỷ số giữa ứng suất nguy hiểm và hệ số an tồn.

6.1.2. Chọn hệ số an tồn :dựa vào những căn cứ chính như sau :

Tính đồng nhất và chất lượng của vật liệu chế tạo thanh.

Sự sai lệch giữa tải trọng thực tế với tải trọng đưa vào phép tính.

Độ chính xác chế tạo các chi tiết hay bộ phận cơng trình, độ chính xác khi thí nghiệm xác định các giới hạn về độ bền của vật liệu.

Sự gần đúng trong tính tốn do đưa vào những giả thiết.

Tầm quan trọng, u cầu sử dụng (tạm thời hay vĩnh cửu) của cơng trình,…

6.1.3 Ứng suất cho phép của một số vật liệu thơng thường ở bảng sau :

[s] MN/m 2 Vật liệu

Kéo Nén

Thép xây dựng số 3 (CT3) 160

Thép xây dựng số 5 (CT5) 140

Đồng 30 ¸120

Nhơm 30 ¸ 80

Đuyara 80 ¸150

Gang xám 28 ¸ 80 120 ¸ 150

(25)

Thanh chịu kéo, nén đúng tâm cần phải đảm bảo điều kiện bền :

[ ] s £ = s

F N

(2.17) Từ điều kiện bền ta suy ra ba bài toán cơ bản như sau :

6.2.2. Ba bài toán cơ bản:

6.2.2.1. Kiểm tra bền :

Giả sử đã biết [s], vật liệu, kích thước các thanh cũng như tải trọng tác dụng. Để kiểm tra bền, cần xác định nội lực (N).

Ứng suất lớn nhất xuất hiện trong kết cấu thoả mãn :

[ ] s £ =

s

F N max

max (2.18)

Nmax : nội lực lớn nhất tại mặt cắt nguy hiểm nhất.

* Chú ý : smax > [s]

[ ]

[ ] %

max <

s s - s =

D kết cấu vẫn đảm bảo điều

kiện bền.

6.2.2.2. Chọn kích thước mặt cắt :

Xác định diện tích mặt cắt ngang cần thiết. Từ (2.18) Þ [ ]

s ³ N max

F (a)

Mặt khác ta có :

Nếu thanh tiết diện vng thì F = a. a = a 2 (b) Từ (a) và (b) ta suy ra a.

Nếu thanh có tiết diện trịn có đường kính d thì

4 d F

2

p

= (c)

Từ (a) và (c) ta suy ra d.

6.2.2.3. Xác định tải trọng cho phép : Từ (2.18) suy ra : Nmax£F. [s]

Từ Nmax ta xác định được tải trọng cho phép.

6.2.3. Ví dụ:

Kết cấu gồm hai thanh AB và AC treo vật nặng P như hình vẽ 2.15. Thanh AB làm bằng thép có đường kính d1, ứng suất cho phép [s]AB = 16 KN/cm

2

. Thanh AC làm bằng đồng có đường kính d2, ứng suất cho phép [s]AC = 15 KN/cm

2

. Xem thanh AC khơng mất ổn định.

(26)

+ Tính [P].

+ Xác định d1, d2 khi biết P = 60 KN.

+ Xác định hệ số an toàn thanh AC khi biếtsch = 24 KN/cm 2

, P = 50 KN

P

a

d

a A

B

C

P

a

a=2m b=6m

A x C

y

N AC

N AB h

H×nh vÏ 2.14 Hình vẽ 2.15

Bài giải :

a. Kiểm tra độ bền của các thanh, biết P = 50 KN, d1 = 2cm, d2 = 4cm Công thức kiểm tra :s= £ [ ] s

F N

* Xác định nội lực trong các thanh :

+ Thanh AB : viết phương trình Mơ men đối với điểm C Smc = 0 Þ NAB. h P.b = 0

h b P N AB = Þ

Ta có : , 75

6

6 b a

c

tg =

+ = + = a

Suy ra : a = 36,87 0 vậy Sina = 0,6 ; Cosa = 0,8

Mặt khác : h ( a b ) sin ( ) , , m b

a h

Sin Þ = + a = + =

+ = a

Vậy 62 , KN

8 ,

6 50

N AB = = (lực kéo)

+ Thanh AC : Tách và xét cân bằng nút A Sx = 0 Þ NAC + NAB.cosa = 0

Þ NAC = NAB.cosa = 62,5. 0,8 = 50KN (lực nén)

* Kiểm tra độ bền : Thanh AB :

+ Diện tích tiết diện ngang :

2

1

AB , 14 cm

4

d

(27)

+ Ứng suất lớn nhất xuất hiện trong thanh AB :

2 AB

AB max AB

cm KN , 19 14 ,

5 , 62 F

N

= =

= s

+ Ứng suất cho phép [s]AB = 16 KN/cm 2

+ So sánh ta thấy sAB max

> [s]AB

Vậy thanh AB khơng đảm bảo điều kiện bền. Thanh AC :

+ Diện tích tiết diện ngang :

2

AC 12 , 56 cm

4

d

F = p = p = + Ứng suất lớn nhất xuất hiện trong thanh AC :

2 AC

AC max

AC

cm KN 98 , 56 , 12

50 F

N

= =

= s

+ Ứng suất cho phép [s]AC = 15 KN/cm 2

+ So sánh ta thấy sAC max

< [s]AC

Vậy thanh AC đảm bảo điều kiện bền. b. Tính [P] :

Từ cơng thức kiểm tra độ bền s= £ [ ] s F N Ta suy ra : N £ F. [s]

Thanh AB :

+ Ta có : NAB£FAB. [s]AB = 3,14. 16 = 50,24 KN

+ Mặt khác : , 25 P

,

6 P h

b P

N AB = = = + Suy ra : 1,25.P £50,24

KN 192 , 40 25 ,

24 , 50 P £ =

Þ (1)

Thanh AC :

+ Ta có : NAC£FAC. [s]AC = 12,56. 15 = 188,4 KN

+ Mặt khác : NAC = NAB. cosa = 1,25P. 0,8 = P

(28)

Từ công thức kiểm tra độ bền s= £ [ ] s F N

Ta suy ra : [ ] s ³ N F Thanh AB :

+ Lực dọc : 75 KN

8 ,

6 60 h

b P

N AB = = =

Suy ra

[ ]

2 AB

AB

AB , 6875 cm

16 75 N

F = =

s ³ + Mặt khác :

4 d F

2 AB

p = Suy ra

p = AB

F d

Hay d 2 , 443 cm

14 , 3

6875 , 4 4

1 ³ =

+ Chọn d1 = 2,5 cm.

Thanh AC :

+ Lực dọc : NAC = NAB. cosa = 75. 0,8 = 60KN

Suy ra [ ]

AC AC

AC cm

15 60 N

F = =

s ³

+ Mặt khác :

4 d F

2 AC

p

= Suy ra

p = AC

F d

Hay , 257 cm

14 ,

4

d ³ =

+ Chọn d2 = 2,3 cm.

d. Hệ số an tồn thanh AC :

Cơng thức xác định hệ số an tồn : , 03 98 ,

24 n

AC ch

AC = =

s s =

6.3. Trường hợp có xét đến trọng lượng bản thân thanh :

6.3.1. Thanh có mặt cắt khơng đổi :

Cho thanh như hình vẽ 2.16 có diện tích mặt cắt ngang khơng đổi, chiều dài thanh l, thanh có trọng lượng riêng g.

(29)

Sz = 0 Þ N P G = 0

Þ N = P + G = P + F g. z Khi z = 0 ÞN = P (tại A)

Khi z = lÞ N = P + F.g. l (tại B) + Ứng suất tại các mặt cắt :

F P

A =

s

l F P

B = + g

s + Biểu đồ ứng suất như hình vẽ

P A

1

G

l

P A

1

G N

z z

s A s B

Hình vẽ 2.13 6.3.2.Thanhcúmtctngangthayi:

ù ù ỵ ù ù ý ü g + = s

g + = s

2 1 2

1 1

F F l F

P l F P

chọn F1, F2 sao cho s1 = s2 = [s] từ đó suy ra F1, F2

7. BÀI TỐN SIÊU TĨNH VỀ KÉO, NÉN

Bài tốn siêu tĩnh của thanh và hệ thanh là bài toán mà việc giải ra các nội lực khơng thể thực hiện chỉ bằng các phương trình

tĩnh học, vì số ẩn số nhiều hơn số phương trình tĩnh học có thể lập được. Để bổ sung những phương trình cần thiết, người ta phải lập thêm những phương trình hình học và những phương trình vật lý.

Phương trình hình học ở đây là những phương trình tương thích biến dạng. Cịn những phương trình vật lý (ví dụ các phương trình xuất phát từ định luật Hooke đối với vật

Hình vẽ 2.16

a a

A

B C D

P a a

A

N AB N AC N AD

H×nh vÏ 2.17 A'

D

l AC

Dl AD D

l

(30)

liệu đàn hồi tuyến tính) nhằm biểu thị quan hệ giữa biến dạng và nội lực. 7.2. Bài tập áp dụng :

7.2.1. Ví dụ 1 :

Cho hệ chịu lực như hình vẽ 2.17, hãy xác định nội lực trong các thanh, biết : Diện tích mặt cắt ngang các thanh là F.

Các thanh làm cùng loại vật liệu. Bài giải :

Tưởng tượng dùng mặt cắt 11 cắt qua ba thanh AB, AC, AD. Xét cân bằng phần bên dưới mặt cắt 11.

Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên trục x : Sx = 0 Û NAD. sina NAB. sina = 0

Û NAD = NAB (1)

Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên trục y :

Sy = 0 Û NAD. cosa + NAB. cosa + NAC – P = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta được :

2 NAD. cosa + NAC = P (3)

Thiết lập phương trình biến dạng hình học của hệ : Dưới tác dụng của lực P điểm A sẽ di chuyển xuống điểm A’ (vì hệ đã cho đối xứng nên A và A’ cùng nằm trên đường thẳng đứng)

Ta có : AC

AC

N l l AA '

EF

D = = (4)

AD AD

N l l AA '.cos

EF.cos

D = a =

a (5)

Từ (4) và (5) ta suy ra : AD

AC

N N

cos =

a (6)

Thay (6) và (3) ta được : 2 NAD. cos

3

a + NAD = P. cos

a a

Þ = =

+ a

2

AD AB

P.cos

N N

1 cos (7)

Thay (7) vào (6) ta có : =

+ a

AC

P N

1 2cos

(31)

Cho hệ thanh treo như hình vẽ 2.18. Thanh AB tuyệt đối cứng, độ cứng của các thanh CD và EF như hình vẽ. Hệ thanh chịu tác dụng của các tải trọng P = 50KN, M = 100KNm, q = 20KN/m. Hãy xác định nội lực trong các thanh treo

M P

2m 2m 4m

q

A B

E

D

C EF

2EF

3m

6m

H×nh vÏ 2.18 Bài giải :

Tưởng tượng dùng mặt cắt 11 cắt qua hai thanh CD, BE. Xét cân bằng phần bên dưới mặt cắt 11

q

A C B

N CD N BE

B' C'

M P

2m 2m 4m

Lấy mô men tất cả các lực đối với gối A :

SmA = 0 Û NCD. 4 + NBE. 8 + M – P. 2 – q. 4. 6 = 0

Û NCD. 4 + NBE. 8 = 50x2 + 20x4x6 – 100 = 480

Û NCD + NBE. 2 = 120 (1)

Mặt khác, dưới tác dụng của các tải trọng thì hệ sẽ bị biến dạng, lúc đó các thanh treo sẽ bị dãn xuống. Điểm C sẽ dịch chuyển xuống đến vị trí C’ và điểm B sẽ dịch xuống đến vị trí B’ (hình vẽ)

Do thanh AB tuyệt đối cứng (khơng có biến dạng), nên theo quan hệ hình học ta có :

=BB ' CC '

2 Hay D =D BE

CD

l l

2 (2)

(32)

P 3 = 80KN

60

cm

30

60

cm

3

0

F 1 F

P 1 = 30KN

P 2 = 20KN

Mà D = CD CD

CD

N l l

EF ; D =

BE BE BE

N l l

2EF (3)

Thay (3) vào (2) ta được : =

CD CD BE BE

N l N l x

EF 2EF

ÛN CD =1 x N BE

EF 2EF

Û = BE

CD

N N

2 (4)

Thay (4) vào (1) ta có : 0,5. NBE + 2. NBE = 120

Û NBE = 48KN

Thay NBE = 48KN vào (4) ta được :

NCD = 24KN

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 2

LÝ THUYẾT :

1. Thế nào là thanh chịu kéo nén đúng tâm? Lực dọc là gì? Cách tính lực dọc? Cách vẽ biểu đồ lực dọc.

2. Nêu trình tự thiết lập cơng thức tính ứng suất pháp trong thanh chịu kéo, nén đúng tâm? Nêu phạm vi áp dụng của cơng thức đó? Thế nào là hiện tượng tập trung ứng suất?

3. Nêu các định nghĩa biến dạng dọc và biến dạng ngang tuyệt đối, tương đối? Trình bày mối liên hệ giữa biến dạng dọc và biến dạng ngang?

4. Viết và giải thích cơng thức tính biến dạng dọc tuyệt đối? Nêu rõ phạm vi áp dụng của cơng thức?

5. Trình bày các giai đoạn làm việc của mẫu thí nghiệm bằng thép khi chịu kéo? Nêu sự khác nhau giữa vật liệu dẻo và vật liệu dòn khi chịu

kéo?

6. Thế nào là ứng suất cho phép? Hệ số an toàn phụ thuộc vào những yếu tố nào? Nêu ý nghĩa của hệ số an tồn?

7. Điều kiện bền và ba bài tốn cơ bản? BÀI TẬP :

1. Thanh thép trịn gồm hai đoạn có diện tích mặt cắt ngang F1 = 15cm

2

; F2 = 30cm 2

chịu tác dụng của các lực dọc trục P1 = 30KN; P2 = 20KN; P3 = 80KN (như hình vẽ). Hãy :

(33)

Cho biết E = 20.10 3 KN/cm 2 . Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh.

2. Thanh thép trịn gồm ba đoạn có diện tích mặt cắt ngang F1 = 30cm 2 ; F2 = 15cm 2 ; F3 = 25cm 2 chịu tác dụng của các

lực dọc trục P1 = 40KN ; P2 = 10KN ; P3 = 70KN ; P4 = 60KN

(như hình vẽ). Hãy :

+ Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N.

3. Kết cấu gồm hai thanh AB và AC treo vật nặng P hình vẽ 3. Thanh AB bằng thép trịn có đường kính d, ứng suất cho phép [s]AB = 14 KN/cm

2

. Thanh AC bằng đồng có mặt cắt hình vng cạnh là a, ứng suất cho phép [s]AC = 1,8KN/cm

2

. Xem thanh AC khơng mất ổn định. Hãy tính :

+ Kích thước của các thanh khi biết P = 50 KN,a = 30 0 + Tính [P] khi biết d = 3cm, a = 10cm, a = 30 0

P

a

d

a A

B

C A

B C

d

a

P

30° 30° a

8m

2

4m d

A B D

C P

Hình vẽ 3 Hình vẽ 4 Hình vẽ 5

4. Cho kết cấu chịu lực P = 100KN như hình vẽ 4. Thanh AB làm bằng thép có [s]AB = 14 KN/cm 2 , có mặt cắt hình vng cạnh là a = 5cm; thanh AC làm bằng

đồng có [s]AC=16KN/cm 2

, có đường kính d = 4cm. Hãy kiểm tra khả năng chịu lực của kết cấu.

5. Thanh AB tuyệt đối cứng, được nối khớp với đất và giữ thăng bằng nhờ thanh CD (như hình vẽ 5) có mặt cắt ngang hình trịn đường kính d = 4cm, ứng suất cho phép [s]CD = 15 KN/cm

2

. Hãy xác định giá trị lực P cho phép.

6. Thanh thép tròn gồm hai đoạn có diện tích mặt cắt ngang F1 = 20cm 2

; F2 =

40cm 2 chịu tác dụng của các lực dọc trục P1 = 80KN; P2 = 100KN; P3 = 50KN, q =

P 1 = 40KN P 2 = 10KN P 4 = 60KN

60

cm

3

0

20

60

cm

P 3 = 70KN

F 1 F 2

(34)

10KN/m (như hình vẽ 6). Hãy tính: + Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N.

+ Tính và vẽ biểu đồ ứng suất trong các đoạn.

+ Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh. Cho biết E = 25.10 3 KN/cm 2 . Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh.

7. Thanh thép trịn có diện tích mặt cắt ngang F = 40cm 2 chịu tác dụng của các lực dọc trục P1

= 50KN; P2 = 120KN; P3 = 80KN, q = 10KN/m

(như hình vẽ 7). Hãy tính các yếu tố sau: + Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N.

8. Cho hệ chịu lực như hình vẽ 8, hãy xác định nội lực trong các thanh, biết : tải trọng tác dụng P = 100KN

Diện tích mặt cắt ngang các thanh là F = 10cm 2 .

Các thanh làm cùng loại vật liệu có E = 20.10 3 KN/cm 2

3m

H×nh vÏ

a a

A

B C D

H×nh vÏ P

M P

2m 2m 4m

q

A B

E

D C

2EF

EF

3m

9. Cho hệ thanh treo như hình vẽ 9. Thanh AB tuyệt đối cứng, độ cứng của các thanh CD và EF như hình vẽ. Hệ thanh chịu tác dụng của các tải trọng P = 100KN, M = 200KNm, q = 50KN/m. Hãy xác định nội lực trong các thanh treo.

10. Cho hệ thanh treo như hình vẽ 10, các thanh AB và CD tuyệt đối cứng. Hệ chịu tác dụng của các tải trọng P = 200KN, q = 100KN/m, M = 400KNm. Hãy xác định kích thước các thanh treo BG, CE, DF biết tiết diện thanh như hình vẽ, ứng suất cho phép của các thanh : [s]=20KN/cm 2 ; E = 20.10 3 KN/cm 2

P 1 q

P 2 P 3

3m

6m

3m

A B C D

P 1 2q

P 2 P 3

3m

A B C D

3m

3m q

(35)

d

H×nh vÏ 10 M

P

2m 2m 4m

q

C D

F

B G E

A

4m

6m

3EF 2EF

EF d

a

11. Cho hệ thanh treo như hình vẽ 11, các thanh AB và CD tuyệt đối cứng. Hệ chịu tác dụng của các tải trọng P = 100KN, q = 50KN/m, M = 200KNm. Hãy xác định nội lực trong các thanh treo

M

q

H×nh vÏ 11 P

A B

C

D E

F

M

q

P

A B

C

D E

F

2m 2m

2m

3m

3

m

G

30°30°

2m 2m 2m 2m

4m

A C

D E

B F

4m 2m

3m

6m

P

12. Một thanh có mặt cắt thay đổi bậc, bị ngàm cứng ở hai đầu. Hệ chịu tác dụng của các tải trọng P = 200KN, q = 50KN/m. Mô đun đàn hồi của vật liệu là E = 20.10 3 KN/cm 2 . Diện tích mặt cắt của các đoạn thanh F1 = 60cm

2

, F2 = 40cm 2

, F3 =

20cm 2 . Hãy tính phản lực ở các ngàm và vẽ biểu đồ nội lực của thanh

F F

2 F 3

2m 2m

2m

P 1 P 2

H×nh vÏ 12 H×nh vÏ 13

P

F

q

2m 2m 2m

13. Một thanh có mặt cắt thay đổi bậc, bị ngàm cứng ở hai đầu. Hệ chịu tác dụng của các tải trọng P1 = 200KN, P2 = 400KN. Mô đun đàn hồi của vật liệu là E =

25.10 3 KN/cm 2 . Diện tích mặt cắt của các đoạn thanh F1 = 90cm 2

, F2 = 60cm 2

, F3 =

(36)

CHƯƠNG 3: CẮT TÍNH TỐN MỐI NỐI ĐINH TÁN.

1. CẮT

1.1. Hiện tượng cắt và nội lực khi cắt :

Xét một thanh thẳng chịu tác dụng của hai lực P song song, ngược chiều, cùng trị số, đặt ở hai mặt cắt rất gần nhau ab và a’b’ và vng góc với trục thanh (hình vẽ 3.1a).

Dưới tác dụng của lực P hình dạng thanh thay đổi từ hình chữ nhật sang hình bình hành. Hiện tượng thay đổi ở trên đó là sự cắt của thanh (hình vẽ 3.1b, c).

Gọi Q là hợp lực của các ứng suất tiếp. Q gọi là nội lực cắt, có :

Phương : cùng phương lực P Chiều : ngược chiều lực P. Điểm đặt : tại trọng tâm mặt cắt. Trị số : Q = P.

Vậy thanh chịu cắt khi trên mặt cắt ngang chỉ có lực cắt.

1.2 Ứng suất và biến dạng cắt :

Trên hai mặt cắt ab và a’b’ xuất hiện ứng suất tiếp phân bố đều t (hình vẽ 3.1d)

[ ]C C

F Q

t £ =

t (31)

Trong đó : Q : lực cắt.

FC : diện tích mặt cắt ngang thanh

t : ứng suất tiếp cịn gọi là ứng suất cắt. [tC] : ứng suất tiếp cho phép.

Ta có :DS = ca’ = db’ gọi là biến dạng trượt tuyệt đối. Biến dạng trượt biểu thị bằng gócg, do g rất nhỏ nên :

ca ' ca tg g = =

g ; g độ trượt tương đối.

1.3. Định luật Hooke khi cắt :

Đối với hiện tượng cắt, nếu ứng suất cắt khơng vượt q một giới hạn nào đó thì ta có định luật Hook về cắt. Ứng suất cắt tỷ lệ với độ trượt tương đối g

Khi cha có lực tác dụng

Khi chịu lực tác dụng a)

b)

P

Tách mặt phẳng để quan sát

c) P

P a b

a' b'

a

b

a'

b'

t

D

S

d)

H×nh vÏ 3.1 c

(37)

t = G g

Với : G mođun đàn hồi của vật liệu khi cắt hay trượt

) (

E G

m +

= (32)

* Trị số trung bình của moduyn đàn hồi G (MN/m 2 ) của một số vật liệu.

Vật liệu G Vật liệu G

Thép 8,1.10 4 Nhôm 2,6.10 4

Gang 4,5.10 4 Gỗ 0,055.10 4

Đồng (4 ¸ 4,9) .10 4

1.4. Điều kiện bền khi cắt :

Từ điều kiện bền khi cắt : [ ]C C

F Q

t £ = t Ta có ba bài tốn cơ bản sau :

+ Kiểm tra bền : [ ]C C

F Q

t £ = t + Chọn tiết diện :

[ ]C C

Q F

t ³

+ Xác định tải trọng cho phép : Q £ FC. [tC].

2. TÍNH MỐI NỐI ĐINH TÁN

Có rất nhiều mối nối đinh tán trong cơng trình hay chi tiết máy. Ưu điểm của mối nối đinh tán : chắc chắn và có độ tin cậy cao. Có hai hình thức chịu lực trong mối

nối đinh tán : cắt và ép mặt.

2.1. Tính mối nối đinh tán về cắt :

Xét mối nối đinh tán như hình vẽ 3.2 + Trên hình vẽ 3.2a ta thấy đinh chịu cắt ở mặt cắt a a, với diện tích chịu cắt mỗi đinh là:

4 d F

2 C

p

= (d : đường kính đinh tán).

Trong trường hợp này số mặt cắt trên mỗi đinh m = 1.

+ Trên hình vẽ 3.2b ta thấy đinh chịu

a

P t P

2 t

a a

P t P

2 t

t

b b

a)

b)

F C c)

(38)

cắt ở hai mặt cắt a a và b b nên số mặt cắt trên mỗi đinh m = 2, và

4 d F

2 C

p

= với

d: đường kính đinh tán (hình vẽ 3.2c). + Gọi n là số đinh tán ở một bên mối nối. + Gọi m là số mặt cắt trên mỗi đinh.

+ Diện tích chịu cắt tổng cộng của các đinh là :

4 d n m

2

p

+ Giả thiết lực cắt phân bố đều cho các đinh, Q = P. + Ứng suất tiếp xuất hiện trên mỗi đinh :

2

d n m

Q 4

d n m

Q

p = p = t

+ Công thức kiểm tra điều kiện bền về cắt của mỗi đinh :

[ ]C

4 d n m

Q

t £ p =

t (33)

* Ba bài tốn cơ bản về cắt :

Kiểm tra bền : áp dụng cơng thức (31).

Tính số đinh tán hoặc đường kính đinh tán cần thiết : Từ (31) ta suy ra :

Số lượng đinh tán cần thiết :

[ ]C

2

. d . . m

Q . 4 n

t p

³ (34)

Đường kính đinh tán cần thiết :

[ ]C

n m

Q d

t p

³ (35)

Tính lực cắt cho phép :

Từ (33) ta suy ra : [ ]C

d n m

Q £ p t (36)

2.2. Tính đinh tán chịu ép mặt :

+ Áp lực Q do thành lỗ ép vào thân đinh tán có thể làm cho đinh tán bị ép mặt (dập).

+ Giả thiết ứng suất phân bố đều trên mặt cắt dọc trục đinh tán, lấy bằng sem :

em em

F n

Q =

s (37) d

t

(39)

Với :

Fem = St. d diện tích hình chữ nhật có một cạnh bằng đường kính đinh, cịn

một cạnh bằng chiều dày t của tấm truyền lực ép vào thân đinh St chính là giá trị nhỏ hơn trong hai giá trị t2 và (t1 + t3)

+ Điều kiện bền khi dập : (ép mặt)

[ ] em em

t d n

Q

s £ =

s

å (38)

* Ta có ba bài tốn cơ bản về ép mặt : Kiểm tra bền : theo cơng thức (38).

Tính đường kính đinh tán hoặc số đinh tán : Từ (38) suy ra :

Đường kính đinh tán : [ ]

em

t n

Q d

å s

³ (39)

Số đinh tán cần thiết : [ ]

em

t d

Q n

å s

³ (310)

Tính lực cắt cho phép :

Từ (38) suy ra : Q £ n. d St. [s]em (311)

2.3. Ví dụ :

Tính số đinh cần thiết cho mối nối đinh tán như hình vẽ 3.3, kiểm tra độ bền kéo của tấm thép. Biết : đường kính đinh tán d = 20mm, lực kéo P = 160KN, ứng suất cho phép về cắt [t]c = 14KN/cm 2 , ứng suất cho phép về ép

mặt [s]em = 26KN/cm 2

, ứng suất cho phép về kéo của tấm thép [s] = 28KN/cm 2 , t = 1cm, b = 8cm.

Bài giải :

Tính số đinh tán cần thiết ở mối nối : + Theo điều kiện bền về cắt :

[ ]

638 , 14

2

160

4 d m

Q

n 2

C

2 =

p = t p

³ đinh

Số đinh cần thiết về cắt, n = 4 đinh. + Theo điều kiện bền về ép mặt :

(40)

[ ] 26 , 077 160

t d

Q n

cm

= =

s ³

å đinh

Số đinh cần thiết về ép mặt, n = 4 Vậy từ hai điều kiện trên chọn n = 4 đinh. Kiểm tra độ bền kéo của tấm thép :

+ Lỗ đục trên tấm thép thường có đường kính lớn hơn đường kính đinh, ta lấy d’=2,1cm (d’ là đường kính lỗ đinh).

+ Trên mặt cắt ngang tấm thép chỉ có một lỗ đinh nên :

( )

cm KN 119 , 27 ) , (

160 '

d b t

Q

= - = - = s

+ Mặt khác : [s] = 28KN/cm 2

+ So sánh ta thấy : s< [s] vậy đinh tán đảm bảo khả năng chịu lực.

LÝ THUYẾT :

1. Thế nào là thanh chịu cắt? Nội lực, ứng suất, biến dạng cắt? Định luật Hooke về cắt?

2. Phân tích sự làm việc của đinh và tấm nối trong mối nối băng đinh tán. Trình bày cách tính đường kính và cách chọn số đinh tán theo các điều kiện bền của đinh.

BÀI TẬP :

Cho mối nối đinh tán như hình vẽ 3.4, chịu lực kéo P = 100KN, chiều dày tấm thép t = 12mm. Tính số đinh cần thiết và kiểm tra độ bền của tấm chính. Biết : d = 22mm ; [tc] = 10KN/cm

2

; [s]k = 16KN/cm 2

.

CHƯƠNG 4: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ LÝ THUYẾT BỀN.

1. KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT.

1.1. Trạng thái ứng suất :

Trong chương 2 khi nghiên cứu ứng suất của thanh bị kéo hoặc nén đúng tâm, ta thấy giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp khơng chỉ phụ thuộc vào điểm đang xét mà cịn phụ thuộc vào phương mặt cắt đi qua điểm đó. Như vậy tại một điểm của vật thể biến dạng có một tập hợp vơ hạn những giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp. Tập hợp này gọi là trạng thái ứng suất.

(41)

Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những ứng suất trên mọi mặt cắt đi qua điểm đó. Trạng thái ứng suất cho phép ta có thể so sánh sự chịu lực ở điểm này với điểm khác của vật thể. Nghiên cứu trạng thái ứng suất là tìm quy luật biến đổi của ứng suất trên các mặt cắt đi qua điểm đang xét và tìm các đặc trưng của chúng.

1.2. Mặt chính, phương chính, ứng suất chính :

Ta sẽ chứng minh rằng tại một điểm bao giờ cũng có thể tìm được ba phương vng góc với nhau, trên mặt vng góc với các phương ấy ứng suất tiếp bằng khơng. Những phương ấy gọi là phương chính. Những mặt vng góc với phương chính là những mặt chính. Những ứng suất pháp trên mặt chính gọi là ứng suất chính.

1.3. Phân tố chính, phân loại trạng thái ứng suất :

Tại một điểm của vật thể ta ln tìm được ba mặt chính và ba mặt chính này tương hỗ vng góc với nhau. Ba phương chính lập thành hệ trục tạo độ Descartes gọi là hệ toạ độ chính tại điểm đang xét. Phân tố hình hộp lấy tại điểm đang xét có các mặt chính được gọi là phân tố chính

sx sx

sy

z

x y

sz sz

ứng suất phương

sx

sy

sx

sy

sy sz

a)

b) c)

H×nh vÏ 4.1

Các ứng suất chính ký hiệu s1, s2, s3 theo quy ước s1³ s2³ s3

Tùy theo số lượng ứng suất chính, ta phân ra ba loại trạng thái ứng suất :

Trạng thái ứng suất khơng gian (hay khối) (hình vẽ 4.1b) nếu cả ba ứng suất chính đều khác khơng.

Trạng thái ứng suất phẳng (hình vẽ 4.1c) nếu có một trong ba ứng suất chính bằng khơng.

Trạng thái ứng suất đường (hình vẽ 4.1d) nếu có hai ứng suất chính bằng khơng. Như vậy thanh bị kéo hay nén ở trạng thái ứng suất đường.

(42)

Ký hiệu ứng suất pháp bằng chữ svới chỉ số cùng chữ với phương của nó. Ký hiệu ứng suất tiếp bằng chữ t với hai chỉ số : chỉ số thứ nhất chỉ mặt chứa ứng suất tiếp (trục vng góc với mặt cắt), chỉ số thứ hai chỉ phương của nó.

Hình vẽ 4.2 là thí dụ minh hoạ cách ký hiệu các ứng suất của một phân tố trong trạng thái ứng suất phẳng, với quy ước chiều trên hình vẽ là chiều dương. Ký hiệu này thuận lợi cho việc tính các bài tốn kỹ thuật ở trạng thái ứng suất phẳng

txy

sx sx

txy sy

tyx

tyx sy z

x y

txy

sx sx

txy sy

tyx

tyx sy

x y

H×nh vÏ 4.2

2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG.

2.1. Trạng thái ứng suất phẳng tổng quát:

Xét phân tố hình lập phương bất kỳ. Giả thiết mặt vng góc với trục z là mặt chính có ứng suất pháp bằng khơng (tzx = tzy = sz = 0). Những mặt cịn lại là bất kỳ

có ứng suất pháp sx , sy và ứng suất tiếp txy và tyx trạng thái ứng suất như thế gọi là

trạng thái ứng suất phẳng tổng quát và được biểu diễn trên hình 4.2.

2.2 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng :

Để xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên một mặt bất kỳ xiên góc a với trục x (góc a > 0 khi quay từ trục x đến trục x’ ngược chiều kim đồng hồ và ngược lại), ta tách từ phân tố hình lập phương ra một hình lăng trụ tam giác (hình vẽ 4.3)

tyx sy

y

x o

sx'

tx'y' a

x' y'

H×nh vÏ 4.3

dF

dF y dFx

dx

d

y

dz

txy

sx sx

txy

sy tyx

tyx sy

z

x y

txy sx

sx'

tx'y' tyx sy

y

x y'

x'

a

o

a

txy

sx

(43)

Trên mặt có pháp tuyến là trục y, diện tích dFy, có các ứng suất sy và tyx

Trên mặt có pháp tuyến là trục x’, diện tích dF, có các ứng suất sx’ và tx’y’

Xét sự cân bằng của phân tố lăng trụ tam giác bằng cách : Chiếu các lực tác dụng lên trục x’ ta được :

Sx’ = 0

Û sx’. dF sx. cosa. dFx + txy. sina. dFx sy. sina. dFy + tyx. cosa. dFy = 0

Chiếu các lực tác dụng lên trục y’ ta được : Sy’ = 0

Û tx’y’. dF sx. sina. dFx txy. cosa. dFx + sy. cosa. dFy + tyx. sina. dFy = 0

Lấy mô men tất cả các lực đối với điểm O ta được : Smo = 0 Û xy x yx y

dx dy

.dF dF

2

t - t =

Thay các giá trị sau: dFx = dF. cosa = dy. dz

dFy = dF. sina = dx. dz

Vào phương trình thứ 3 ta được :

xy yx

dx dy

.dy.dz .dx.dz

2

t - t =

Þ txy = tyx (41)

Sử dụng các quan hệ lượng giác :

2sina. cosa = sin2a cos 2a sin 2a = cos2a

( )

2

cos cos

2

a = + a sin2 ( 1 cos )

a = - a

Ta rút ra được :

x y x y

x ' cos xy sin2

2

s + s s - s

s = + a - t a (42)

x y

x ' y ' sin2 xy cos2

2 s - s

t = a + t a (43)

Kết quả (41) được phát biểu thành một định luật gọi là định luật đối ứng của ứng suất tiếp.

Nếu trên hai mặt vng góc với nhau có ứng suất tiếp thì các thành phần vng góc với giao tuyến của hai mặt bằng nhau và ngược dấu (sự ngược dấu ở đây có nghĩa là hai ứng suất tiếp hoặc cùng hướng vào hoặc cùng tách xa cạnh nhị diện, đã được thể hiện trên hình vẽ 4.2)

(44)

Ứng suất pháp trên mặt có pháp tuyến y’ vng góc với mặt có pháp tuyến x’ cũng được tính theo cơng thức (42), (43) nếu thay giá trị a bằng giá trị a + 90 0

x y x y 0

y ' cos2( 90 ) xy sin2( 90 )

2

s + s s - s

s = + a + - t a +

x y x y

xy

.cos sin2

2

s + s s - s

= - a + t a (44)

x y 0

y ' x ' sin 2( 90 ) xy cos2( 90 )

2 s - s

t = a + + t a +

x y

xy

.sin cos 2

s - s

= - a - t a (45)

Lấy (42) cộng (44) ta được :

sx + sy = sx’ + sy’ (46)

Như vậy, tại một điểm, tổng ứng suất pháp trên hai mặt vng góc với nhau là một hằng số, gọi là bất biến của trạng thái ứng suất.

2.4 Ứng suất chính, mặt chính và phương chính :

Trong những mặt có ứng suất biến đổi theo (42) và (43), ta để ý mặt trên đó ứng suất tiếp bằng khơng, đó là những mặt chính. Phương của mặt chính gọi là phương chính. Giả sử phương chính tạo với trục x một góc ao, theo định nghĩa ứng suất tiếp

trên mặt này bằng khơng. Từ cơng thức (43) ta tính được phương chính :

Do tx ' y ' = nên0 x y sin2 o xy.cos o

2 s - s

a + t a =

Hay o xy

x y

2 tg2 a = - t

s - s (47)

Đặt o xy

x y

2

tg2a = - t =tg2 b s - s

2ao = 2b ±kp

ao = b ± k

2 p

(48) Ta thấy hai phương chính tìm được vng góc với nhau, do đó hai mặt chính cũng vng góc với nhau và cùng vng góc với mặt chính đã biết (hình vẽ 4.4)

Thay (48) vào công thức của ứng suất pháp, sau khi biến đổi, và sử dụng các quan hệ lượng giác :

o 2

o

1 cos

1 tg a = ±

+ a

o

o 2

o

tg2 sin2

1 tg a a = ±

+ a

(49) tyx sy

txy sx

tyx sy

1

4

a o a

o + 90 o

smin

smax

(45)

Ta có giá trị của hai ứng suất chính, đồng thời là ứng suất cực trị :

x y 2

max x y xy

min

1

( )

2

s + s

s = ± s - s + t (410)

Phần căn thức mang dấu (+) khi tính smax và mang

dấu () khi tính smin

2.5 Ứng suất tiếp cực trị :

Cho d x ' y '

dx t

= ta xác định a1 là góc của

phương mặt cắt có ứng suất tiếp cực trị : Hay x y 2.cos 1 xy.2.sin 1

2 s - s

- a + t a =

x y

1

xy

tg2

2 s - s Þ a =

t (411)

Vì tg2a1. tg2ao = 1 (lấy (47) nhân (411)) do đó phương (2ao) và phương (2a1)

vng góc với nhau, tức là phương của mặt có ứng suất tiếp cực trị và phương chính tạo với nhau một góc 45 o (hình vẽ 4.5). Tính cos2a1 , sin2a1 theo tg2a1 bằng cách

sử dụng công thức (49) rồi thay vào (43) ta được giá trị của ứng suất tiếp cực trị :

2

max x y xy

min

1

( )

2

t = ± s - s + t (412)

Tính theo các ứng suất chính, ta có :

max

min

s - s

t = ± (413)

2.6. Ví dụ :

Tìm giá trị của ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt cắt xiên của các phân tố vẽ ở hình vẽ. Các ứng suất đã cho trước tính bằng KN/cm 2

7

60°

10

60° H×nh vÏ 4.5a

a) b)

Bài giải :

a. Xét trường hợp ở hình vẽ a : Theo quy ước dấu ở §1 ta có :

sx = 7KN/cm

sy = 2KN/cm

txy = 5KN/cm

a = 30 o (quay ngược KĐH)

H×nh vÏ 4.5

sx

sy

tmax

tmin

smin

smin smax

smax

(46)

Áp dụng cơng thức (42) ta có :

x y x y

x ' cos xy sin2

2

s + s s - s

s = + a - t a

o o

7

.cos 2.30 5.sin 2.30

2

+ -

= + -

= 1,42KN/cm 2

x y

x ' y ' sin2 xy cos

2 s - s

t = a + t a

o o

7

.sin2.30 5.cos 2.30

-

= + = 4,665KN/cm 2

b. Xét trường hợp ở hình vẽ b : Theo quy ước dấu ở §1 ta có :

sx = 10KN/cm

sy = 4KN/cm

txy = 7KN/cm 2a = 30 o (quay cùng KĐH)

x y x y

x ' cos xy sin2

2

s + s s - s

s = + a - t a

o o

10 10

.cos 2.( 30 ) 5.sin 2.( 30 )

2

- - - +

= + - - -

= 4,17KN/cm 2

x y

x ' y ' sin2 xy cos

2 s - s

t = a + t a

o o

10

.sin2.( 30 ) 5.cos 2.( 30 )

- +

= - + - = 5,098KN/cm 2

3. VÒNG TRÒN MOHR TRONG TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG.

3.1. Phương trình vịng trịn Mohr:

Từ phương trình (42) ta có thể viết lại dưới dạng :

x y x y

x ' cos xy sin2

2

s + s s - s

s - = a - t a

Từ phương trình (43) ta có :

x y

x ' y ' sin2 xy cos2

2 s - s

t = a + t a

2

7 60°

x'

x y

30°

60° 4

10 7

x

x' 30°

(47)

Bình phương hai vế của các quan hệ trên rồi cộng vế với vế, ta được :

2

x y x y

x ' x ' y ' xy

2

s + s s - s

ỉ ỉ

s - + t = + t

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø

(414) Nếu lấy một hệ trục mà hồnh độ là svà tung độ là t thì (414) chứng tỏ ứng suất pháp và ứng suất tiếp tương ứng với hệ trục x’, y’ là toạ độ của các điểm trên một đường trịn có tâm nằm trên trục hồnh cách gốc toạ độ là x y

2 s + s

và bán kính bằng

2

x y xy

1

R ( )

2

= s - s + t

Đường tròn này được gọi là vòng tròn ứng suất Mohr.

3.2. Cách dựng vòng tròn Mohr :

Trước hết ta lập hệ trục toạ độ vng góc svà t. Trên trục hồnh s lấy hai điểm A, B có hồnh độ sx và sy (hình vẽ 4.6, giả

thiết sx > sy), lấy trung điểm AB chính là

tâm I của vịng trịn. Dựng điểm D (sy, txy)

gọi là cực, ID= IB2+ BD là bán kính R của vịng trịn. Với tâm I và bán kính R ta dựng được vịng trịn Mohr.

Với : OI x y

2 s + s =

2 2

x y xy

1

R IB BD ( )

2

= + = s - s + t (415)

3.3. Tìm ứng suất trên mặt cắt ngang bất kỳ :

Mỗi điểm trên vịng trịn Mohr đặc trưng cho một mặt cắt nghiêng, hồnh độ là trị số của ứng suất pháp, tung độ là trị số của ứng suất tiếp. Nếu từ cực D ta vẽ tia Dx’ tạo với DP một góc a bất kỳ, tia này cắt vịng trịn Mohr tại điểm N (hình vẽ 4.7) toạ độ điểm N là OL và LN :

OL = OI + IL = x y R.cos( )

s + s

+ b + a

x y

R.cos cos R.sin sin2

s + s

= + b a - b a

x y IA AP

R .cos2 R .sin2

2 IP IP

s + s

= + a - a

OL x y x y cos xy .sin2

2

s + s s - s

= + a - t a (416)

s

B A

D(sy ,txy )

I O

sy

(sx+sy )/2

sx

t

(48)

LN = R. sin(b + 2.a) = R.cosb.sin2a+ R.sinb.cos2a

x y

xy

.sin cos 2

s - s

= a + t a (417)

So sánh (416), (417) và (42), (43) chứng tỏ toạ độ điểm N bằng giá trị các ứng suất trên mặt có pháp tuyến là x’

s

B A

D

I O

sy

(sx+sy )/2

sx

t

H×nh vÏ 4.7

P

sx'

tx'y'

N

L

a

2a

b

E

3.4 Ứng suất chính, cực trị của ứng suất :

Điểm M1, M2 là những điểm có tung độ bằng khơng, đặc trưng cho các mặt chính.

Các điểm này có hồnh độ cực trị nên cũng đặc trưng cho phương chính, các ứng suất trên phương chính là ứng suất chính smax và smin:

Đối với ứng suất chính smax (theo hình vẽ 4.8) ta có :

x y 2

max x y xy

1

OM OI R ( )

2

s + s

s = = + = + s - s + t (418)

xy o,max

2 y max

BD BD

tg

BM OM OB

t

a = = =

- s - s (419)

Đối với ứng suất chính smin (theo hình vẽ 4.8) ta có :

x y 2

min x y xy

1

OM OI R ( )

2

s + s

s = = - = - s - s + t (420)

xy o,min

1 y

BD BD

tg

BM OB OM

t

a = = =

(49)

txy

s3 s1

P

s

O

t

D

E

s1

s3

I

a2

a1

H×nh vÏ 4.8

s

B A

O

smin

smax

M 1 M 2

M 3

M 4

t

D P

E

tmax

smax

tmin smin

I ao,max

ao,min 2ao

tm

ax

tm

in

ao

4

5°

45°

H×nh vÏ 4.8

3.5. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt :

Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt là trạng thái ứng suất phẳng có một ứng suất pháp, chẳng hạn sy bằng khơng. Vịng trịn Mohr

của trạng thái ứng suất này được vẽ trên hình 4.9. Trị số các ứng suất cực trị, theo (410) là :

2

max xy

min

1

4 2

s

s = ± s + t

Do đó các ứng suất chính sẽ là :

2

1 xy

2

3 xy

1

4

2

1

4

2 s

s = + s + t > s =

s

s = - s + t <

(422)

Ứng suất tiếp cực trị, theo (412) ta có :

2

1

max xy

1

4

2

s - s

t = = s + t

xy

1 xy

3

tg tg

t a = -

s t a = -

s

(423)

s

txy

s txy

txy txy

(50)

3.6. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy :

Trạng thái ứng suất trượt thuần túy là trạng thái ứng suất phẳng có hai ứng suất pháp đều bằng khơng. Vịng trịn Mohr của trạng thái ứng suất này được vẽ trên hình vẽ 4.10.

Trị số các ứng suất cực trị, theo (410) là :

max

s = ± t (424) Do đó các ứng suất chính sẽ là :

1

0 s = t s = s = - t

(425)

Phương chính lập với trục hồnh các góc 45 o Ứng suất tiếp cực trị :

1

max

2 s - s

t = = t (426)

3.7. Ví dụ :

Tìm ứng suất chính và phương chính của phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng vẽ trên hình 4.10a bằng phương pháp giải tích và phương pháp vịng trịn Mohr. Các ứng suất đã cho trước tính bằng KN/cm 2 .

Bài giải :

Theo phương pháp giải tích : Theo quy ước dấu ở §1 ta có :

sx = 20KN/cm

sy = 10KN/cm

txy = 5KN/cm 2

* Xác định ứng suất chính : áp dụng cơng thức (410) ta có :

x y 2

max x y xy

min

1

( )

2

s + s

s = ± s - s + t

Thay các giá trị trên vào, tính được : smax = 22,071KN/cm

2

smin = 7,929KN/cm 2

* Xác định phương chính, áp dụng cơng thức (47) ta có :

xy

x y

2 2x5

tg2

20 10 t

a = - = - = -

s - s -

Ta được : 2a = 45 o a1 = 22,5

o

s t

O

s1 s3

txy

txy txy txy

txy

(51)

a2 = a1 + 90 o

= 22,5 o + 90 o = 67,5 o

10

20

5 10 20 s

O

smin = 7,929KN/cm

smax = 22,071KN/cm

M 1 M 2

M 3

M 4 t

D P

tmax

smax

tmin smin

I a1

a2

tma

x

tmin

H×nh vÏ 4.10

* Xác định ứng suất tiếp lớn nhất , áp dụng cơng thức (412) ta có:

2

max x y xy

min

1

( )

2

t = ± s - s + t

Thay các giá trị trên vào, tính được : tmax = 7,071KN/cm

2

tmin = 7,071KN/cm 2

Theo phương pháp vịng trịn Mohr : (Xem hình vẽ 4.10a)

4. QUAN HỆ ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG. ĐỊNH LUẬT HOOKE.

4.1. Trạng thái ứng suất đường :

Thí nghiệm kéo thanh trong giai đoạn đàn hồi, ta có trạng thái ứng suất đường (hình vẽ 4.11). Giữa biến dạng dọc và ứng suất có mối quan hệ :

Biến dạng dài theo phương của ứng suất pháp : x

E s

e = (427)

Theo phương vng góc với phương kéo, có biến dạng co ngắn lại e’

x x

'

E s

e = -me = -m (428)

m : Hệ số Poisson xem bảng 2.2 trang 15

4.2. Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý :

(52)

Bằng thí nghiệm, người ta tìm được quan hệ bậc nhất giữa góc trượt g với ứng suất tiếp (hình vẽ 4.12)

G t

g = (429)

Với : G E

2(1 ) =

+ m : gọi là môđuyn đàn hồi trượt.

4.3. Trạng thái ứng suất tổng quát :

Nếu phân tố bị kéo theo cả ba phương (hình vẽ 4.13) và nếu giả thiết biến dạng bé để có thể sử dụng phương pháp cộng tác dụng, vật liệu đẳng hướng tức là tính chất tại một điểm theo các phương đều giống nhau, thì biến dạng dài theo một phương (ví dụ theo phương x) gồm ba thành phần, mỗi một thành phần do một ứng suất pháp tạo ra :

x x xs x ys x z s

e = e + e + e (430)

Trong đó :

exsx – Biến dạng dài theo phương x do sx gây ra : theo (427) ta có : x x x

E s

s e =

exsy – Biến dạng dài theo phương x do sy gây ra : theo (428) ta có : x x x

E s

s e =

5. LÝ THUYẾT BỀN CỔ ĐIỂN.

5.1. Lý thuyết biến dạng dài lớn nhất (lý thuyết bền thứ hai hay tiêu chí

Mariotte)

Nguyên nhân phá hủy vật liệu là do biến dạng đường lớn nhất, đối với trạng thái ứng suất đường trong trạng thái giới hạn :

j(R) = enh =

R

E (427)

Ta có cơng thức kiểm tra độ bền của lý thuyết bền thứ hai :

stđ2 = s1 m(s2 + s3) £ [R] (428)

Lý thuyết bền này phù hợp nhiều với vật liệu dòn. Vết nứt tách ra theo phương dọc của một cái cột bê tơng bị nén là hình ảnh của sự phá hủy do biến dạng dãn dài theo phương ngang.

5.2. Lý thuyết ứng suất tiếp lớn nhất (lý thuyết bền thứ ba hay tiêu chí Tresca 

Saint Venant)

Theo lý thuyết bền này, ngun nhân phá hủy vật liệu là do ứng suất tiếp lớn nhất. Khi đó ta có :

e

' 2

l e2 'x

sx

b

e

' 2

e'x

2

txy

(53)

Ở trạng thái ứng suất khối thì :

2

3 1 max

s - s = t Ở trạng thái ứng suất đơn : [ ]

2 R

max =

t

So sánh hai quan hệ trên ta rút ra công thức kiểm tra độ bền theo lý thuyết bền thứ ba :

[ ]R

3 1 3

tđ = s - s £

s (429)

Kinh nghiệm thực tế cho thấy lý thuyết bền thứ ba phù hợp với vật liệu dẻo.

5.3. Lý thuyết thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất (lý thuyết bền thứ tư hay

tiêu chí Huber – Von Misès)

Theo lý thuyết này khi thế năng biến đổi hình dạng trong trạng thái ứng suất phức tạp đạt đến thế năng biến đổi hình dạng gây ra sự chảy trong trạng thái ứng suất đường thì vật liệu xem như bị phá hỏng.

Cơng thức kiểm tra điều kiện bền là :

[ ]R

1 3 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1 4

tđ = s + s + s - s s - s s - s s £

s (430)

LÝ THUYẾT :

1. Trạng thái ứng suất của một điểm là gì? Thế nào là trạng thái ứng suất phẳng? Trạng thái ứng suất đường.

2. Nêu định nghĩa của ứng suất chính, mặt chính, phương chính. Nếu một phân tố có các ứng suất chính là 1800daN/cm2 ; 200daN/cm2 ; 540daN/cm 2 thì ứng suất nào làs1 ; s2 ; s3

3. Chứng minh cơng thức tính sx’ và tx’y’ của mặt có pháp tuyến lệch với trục x

một góca trong trạng thái ứng suất phẳng.

4. Viết và giải thích cơng thức tính ứng suất chính, phương chính trong trạng thái ứng suất phẳng. Vì sao nói hai ứng suất chính đó là smax và smin?

5. Viết và giải thích cơng thức tính ứng suất tiếp cực trị và phương của mặt phẳng có các ứng suất ấy.

6. Trình bày cách vẽ vịng trịn Mohr trong trạng thái ứng suất phẳng và dùng vòng tròn Mohr để xác định ứng suất sx’ và tx’y’ các ứng suất chính, phương chính,

các ứng suất tiếp cực trị và phương của mặt phẳng chứa nó.

7. Lý thuyết bền là gì? Vì sao cần phải nêu ra các lý thuyết bền.

BÀI TẬP :

1. Trạng thái ứng suất phẳng có sx = 400daN/cm 2

; sy = 600daN/cm 2

và txy =

300daN/cm 2 . Yêu cầu :

(54)

Tính sx’ và tx’y’ biết trục x’ hợp với trục x một góc a = 30 0

. Tính các ứng suất chính và phương chính, sau đó vẽ các ứng suất chính và phương chính ấy vào phân tố.

2. Cho phân tố trên hình vẽ 4.11 có smax = 400daN/cm 2 ;

smin = 80daN/cm 2

. Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt O1, O2, O3.

3. Bằng vịng trịn Mohr xác định ứng suất chính và phương chính của trạng thái ứng suất có sx = 600daN/cm

2

; sy = 0 ;

txy = 300daN/cm 2

4. Tìm ứng suất pháp và ứng suất tiếp của mặt cắt xiên của các phân tố trên hình vẽ 4.12. Đơn vị các ứng suất trên là daN/cm 2

1000 600 60°

600 1000

600 60°

600

45

° 60°

500 500 300

300

a b c d

H×nh vÏ 4.12

5. Xác định ứng suất chính của các phân tố trên hình vẽ 4.12a, b. 6. Xác định tmax ;tmin của các phân tố trên hình vẽ 4.12c, d.

CHƯƠNG 5: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA HÌNH PHẲNG

1 MƠ MEN TĨNH VÀ TRỌNG TÂM CỦA HÌNH PHẲNG

1.1. Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với một trục :

Xét một hình phẳng có diện tích F, một mặt phẳng xOy nằm chung hình phẳng như hình vẽ 5.1.

Xét phân tố diện tích dF toạ độ (x, y). Mơ men tĩnh của dF đối với các trục Ox, Oy là :

dSx = y. dF

dSy = x. dF

Vậy mơ men tĩnh của hình học phẳng có diện tích F đối với trục x, y là :

ò

=

F

x y dF

S (cm 3

, m 3 , )

ò

=

F

y x dF

S

Nếu hình phẳng phức tạp, ta chia thành nhiều hình đơn giản thì :

x y

O

H×nh vÏ 5.1 y

x

r F

dF

30 o 30

o

15

o

H×nh vÏ 4.11

smax

smin

2

3

(55)

Sx = Syi. Fi

Sy = Sxi. Fi

Trong đó :

Fi : diện tích hình phẳng thứ i.

xi ; yi : toạ độ trọng tâm của hình phẳng thứ i (Fi)

1.2. Trọng tâm của hình phẳng :

Khi đã có mơ men tĩnh của hình phẳng, ta có thể xác định toạ độ trọng tâm C (xc,

yc) của hình phẳng:

n

1

n n

2 1 i

ci i y

c

F F F

x F x F x F F

x F F

S x

+ + +

= =

=

å å

n

1

n n

2 1 i

ci i x

c

F F F

y F y F y F F

y F F

S y

+ + +

= =

=

å

Trong đó : xci ; yci : toạ độ trọng tâm hình phẳng thứ i.

Fi : diện tích hình phẳng thứ i.

Nếu hình phẳng có trục đối xứng hay trọng tâm đối xứng thì trọng tâm hình phẳng sẽ nằm trên trục hay tâm đối xứng đó.

Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với trục nào đó bằng khơng thì trọng tâm của hình phẳng sẽ nằm trên trục đó, nên trục này được gọi là trục trung tâm.

Một hình phẳng có thể có nhiều trục trung tâm, giao của hai trục trung tâm chính là trọng tâm của hình phẳng.

1.3. Ví dụ :

Cho hình phẳng có kích thước như hình vẽ 5.2. Hãy xác định : Trọng tâm C của hình và hệ trục chính trung tâm của nó. Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với các trục x, y.

Bài giải : Chọn hệ trục toạ độ xOy như hình

vẽ.

a. Xác định trọng tâm hình phẳng :

Hình phẳng đã cho có trục y là trục đối xứng nên trọng tâm C nằm trên trục y (trục y gọi là trục trung tâm). Để xác định trọng tâm chỉ cần tính yc vì xc = O

Chia hình phẳng ra làm hai hình :

Hình chữ nhật ABDE ký hiệu I ta có : FI = 70x120 = 8400cm

2

(51)

12

0c

m

40

30

15

20 20

x y

O A

B D

E F

G H I

X C

(56)

cm 60 2

120 y I = =

Hình khuyết FGHI ký hiệu II ta có. FII = 30x40 = 1200cm

2 cm 85 2 40 ) 15 40 120 (

y II = - - + =

Vậy : F = FI FII = 8400 – 1200

= 7200cm 2

Gọi C (xc ; yc) là trọng tâm của hình phẳng Do xc = 0 nên ta chỉ tính yc

cm 833 , 55 7200 85 x 1200 60 x 8400 F y F y F F S

y C = x = I I - II II = - =

Vậy trọng tâm của hình phẳng đã cho là C (0 ; 55,833cm) Qua C vẽ CX vng góc Cy ta có XCy là hệ trục chính trung tâm.

b. Tính mơ men tĩnh đối với các trục :

Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với trục x :

Sx = FI. yI – FII. yII = 8400x60 – 1200x85 = 402000cm 3

Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với trục y : Sy = Sy

tr + Sy ph Mà : 3 tr II tr II tr I tr I tr

y 69000 cm

2 2 30 x 2 30 x 40 2 2 70 x 2 70 x 120 y F x F

S = -

÷ ÷ ÷ ÷ ứ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ổ - ữ ứ ỗ ố ổ - ữ ữ ữ ữ ứ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ổ - ữ ứ ỗ ố ổ = - = ph II ph II ph I ph I ph

y 69000 cm

2 2 30 x 2 30 x 40 2 2 70 x 2 70 x 120 y F x F S = ÷ ÷ ÷ ÷ ứ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ổ ữ ứ ỗ ố ổ - ữ ữ ữ ữ ứ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ổ ữ ứ ç è æ = - =

Vậy : Sy = Sy tr

+ Sy ph

= 0cm 3

Kết luận : Sy = 0 nên trọng tâm hình phẳng nằm trên trục y và trục y là trục

(57)

ò =

F x y dF

J (cm 4 , m 4 , )

ò

=

F

y x dF

J

2.1.2. Mơ men qn tính cực:

Mơ men qn tính cực của hình phẳng có diện tích F đối với gốc toạ độ O là biểu thức tích phân sau

y x F

2

0 dF J J

J = ò r = + (53)

Trong đó :

r : khoảng cách từ dF đến gốc toạ độ O.

2.1.3. Mơ men qn tính ly tâm :

Mơ men qn tính ly tâm của hình phẳng có diện tích F đối với hệ trục xOy là biểu thức tích phân sau

ò

=

F xy x y dF

J (54)

2.1.4. Nhận xét :

Mơ men qn tính Jx ; Jy ; J0 ln dương, vì biểu thức dưới dấu tích phân là đại

lượng dương, cịn Jxy có thể dương, âm hoặc bằng 0.

Hệ có một trục là trục đối xứng hoặc cả hai trục đều đối xứng, thì mơ men qn tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục đó bằng 0.

2.2. Các hệ trục toạ độ :

2.2.1. Hệ trục trung tâm : là hệ trục có gốc toạ

độ nằm ở trọng tâm của hình phẳng.

Hệ trục xOy là hệ trung tâm thì cả hai trục Ox, Oy đều là trục trung tâm và :

Sx = Sy = 0.

Một hình phẳng có nhiều hệ trục trung tâm

(hình vẽ 5.3). Ở hình vẽ 5.3, các hệ xOy, x1Oy1 đều là hệ trục trung tâm.

2.2.2. Hệ trục qn tính chính :

Nếu mơ men qn tính ly tâm của một hình phẳng đối với một hệ trục xOy nào đó bằng khơng (Jxy = 0) thì hệ trục này gọi là hệ trục qn tính chính, hay gọi tắt là hệ

trục chính.

Ở hình vẽ 5.3 các hệ xO1y2, x2O1y là những hệ trục chính.

2.2.3. Hệ trục qn tính chính trung tâm :

Hệ trục chính có gốc toạ độ trùng với trọng tâm của hình phẳng được gọi là hệ trục quán tính chính trung tâm, gọi tắt là hệ trục chính trung tâm.

(52)

y

x y

O 1 O

y 1

x 1

y

x x 2 O 1

O y 1

x 1

(58)

x y

y

dy

h

b O

H×nh vÏ 5.4 Đối với hệ trục chính trung tâm có Sx = Sy = 0 và Jxy = 0

Ở hình vẽ 5.3 hệ xOy là hệ trục chính trung tâm.

Mơ men qn tính của hình phẳng đối với các trục của hệ trục chính trung tâm được gọi là mơmen qn tính chính trung tâm. Hình phẳng có nhiều hệ trục chính trung tâm như : hình trịn, hình vành khăn, hình vng, Nhiều hình phẳng chỉ có một hệ trục chính trung tâm như : hình chữ nhật, các hình ở hình vẽ 5.3 2.3. Mơ men qn tính của một số hình phẳng : 2.3.1. Hình chữ nhật : Xét phân tố diện tích dF = b.dy như hình vẽ 5.4 Ta có : 12 bh dy y b dy b y dF y J 3 2 h 2 h 2 2 h 2 h 2 F 2

x = ò = ò = ò =

- - Vậy 12 bh J 3 x =

Tương tự 12 h b J 3 y =

Với mặt cắt hình vng do h = b = a nên 12 a J J 4 y

x = = (56)

2.3.2. Hình tam giác :

Tính Jx với trục x song song với đáy b và đi qua trọng tâm C của tam giác.

Xét phân tố diện tích dF như hình vẽ 5.5 dF = by. dy

Tacú: ữ ứ ỗ ố ổ - = Þ - -

= y

3 h 2 h b b h 3 h y h b b y y dy y 3 h 2 h b y dF y J 3 h 2 3 h 2 F 2

x ò ò

- ữ ứ ỗ ố ổ - = = 36 h b J 3 x = Þ Vậy 36 h b J 3

x = ;

12 bh J

3

y = (57)

2.3.3. Hình trịn :

Do h > b nên Jx > Jy (55)

x

b

h

by y

dy

C

(59)

Lấy phân tố diện tích dF = 2.p.r.dr là một hình vành khăn bán kính trong r, bán kính ngồi r + dr như hình vẽ 5.6

ị

ị r = r p r r =

R

0 2 F

2

0 dF 2 . . . d J

2 R d

2 J

4 R

0 3

p = r r p = ò

Thay

2 d

R = ta có 4

4

0 0 , 1 . d

32 d J = p » Do Jx = Jy và J0 = Jx + Jy nên :

4 4

y

x 0 , 05 . d

64 d J

J = = p » (48)

2.3.4. Hình vành khăn :

Tương tự hình trịn ta có :

( ) ( 4 ) 4 ( 4 )

4 4

4

0 1 0 , 1 . D 1

32 D d

D 32

J = p - = p - a » - a (59)

Với : D đường kính ngồi của hình vành khăn. d đường kính trong của hình vành khăn.

D d = a

Þ ( 4 ) 4 ( 4 )

4 y

x 1 0 , 05 . D 1

64 D J

J = = p - a » - a (510)

2.3.5. Nửa hình trịn :

Khoảng cách từ trọng tâm C đến tâm O của đường trịn là y = 0,2122d (hình vẽ 5.7)

Nên Jx = 0,00686.d 4

128 d 8

R d

025 , 0 J J

4 4

4 1

x y

p = p = »

=

2.4. Mơ men qn tính đối với trục song song:

Giả sử đã biết mơ men tĩnh và mơ men qn tính của diện tích F đối với các trục của hệ xOy.

Cần tính mơ men qn tính của diện tích ấy đối với các trục của hệ XO’Y có O’X song song Ox và O’Y song song Oy.

Gọi (a, b) là toạ độ của O trong hệ XO’Y (hình vẽ 5.8)

x y

O

d

r

dr

H×nh vÏ 5.6

x y

O d H×nh vÏ 5.7

X C

0

,21

2

(60)

Ta có : ỵ í ì + = + = b y Y a x X ò ò ò ò ò = + = + + = F 2 F F 2 F 2 F 2

X Y dF ( y b ) dF y dF 2 b ydF b dF J F b S b 2 J

J X = x + x + 2 Þ

Tương tự : Þ JY = Jy + 2a.Sy + a 2

.F Vậy :

JX = Jx + 2b. Sx + b 2

. F JY = Jy + 2a.Sy + a

2

.F

JXY = Jxy + a.Sx + b. Sy + a. b. F

Nếu xOy là hệ trục trung tâm thì : Sx = 0 ; Sy = 0, khi đó :

JX = Jx + b 2

. F JY = Jy + a

2

.F (511) (411)

JXY = Jxy + a. b. F

2.5. Mô men chống uốn của mặt cắt :

Mô men chống uốn của các mặt cắt đối với trục x, y được định nghĩa như sau max x x y J

W = và

max y y

x J

W = (512)

Với : xmax, ymax : khoảng cách từ những điểm xa nhất ở về hai phía của mặt cắt

đối với trục x và y.

Đối với hình chữ nhật ta có :

2 h y max = ;

2 b x max =

Nên : 6 h b 2 h 12 h b y J W 2 3 max x

x = = = ;

6 b h 2 b 12 b h x J W 2 3 max y

y = = = (513)

Đối với hình trịn ta có :

2 d x

y max = max =

Nên : 32 d 2 d 64 d y J W W 3 4 max x y x p = p = =

= (514)

Trọng tâm và diện tích của một số hình xem ở bảng tra 1 phụ lục. 2.6. Ví dụ : X Y O' x y

O F

dF x y a b X Y

(61)

Mơ men qn tính chính trung tâm.

Bài giải :

Ở ví dụ §1.3 ta đã xác định toạ độ trọng tâm của hình phẳng là C

Với : xC = 0

yC = 55,833cm

Qua C vẽ CX vng góc Cy ta có XCy là hệ trục chính trung tâm.

Tính mơ men qn tính chính trung tâm

Mơ men qn tính chính đối với trục X: JX = JX

I

JX II

Để tính JX ta áp dụng cơng thức (511)

Với y x ( 120 x 70 )

2 120 12 120 x 70 F b J J 2 C 3 I 2 I I x I X ữ ứ ỗ ố ổ - + = + = 4 2 3 I

X 55 , 833 x ( 120 x 70 ) 10225856 , 67 cm

2 120 12 120 x 70

J ữ =

ứ ỗ è æ - + = ) 40 x 30 ( x y 2 40 ) 15 45 120 ( 12 40 x 30 F b J J 2 C 3 II 2 II II x II X ÷ ø ỗ ố ổ - + - - + = + = 4 2 3 II

X 55 , 833 x ( 30 x 40 ) 860852 , 67 cm

2 40 ) 15 45 120 ( 12 40 x 30

J ÷ =

ø ç è æ - + - - + =

Vậy : JX = JX I

JX II

= 10225856,67 860852,67 = 9365004cm 4

Mơ men qn tính chính đối với trục Y (chính là trục y) vì trục y là trục đối xứng nên ta áp dụng công thức (55) 4 3 3 II Y I Y

Y 3340000 cm

12 30 x 40 12 70 x 120 J J

J = - = - =

3. BÁN KÍNH QN TÍNH

3.1. Định nghĩa :

Bán kính qn tính của diện tích F đối với trục x và y ký hiệu là ix và iy

Các bán kính qn tính được định nghĩa bởi cơng thức sau : 12 0c m 40 30 15

20 20

x y

O A

B D

E F

G H I

X C

(62)

F J

i x = x và

F J

i y = y (515)

Trong đó :

ix ; iy : bán kính qn tính của diện tích F đối với trục x, y.

Jx ; Jy : mơ men qn tính của diện tích F đối với trục x, y.

F : diện tích hình phẳng.

3.2. Bán kính qn tính một số hình :

3.2.1. Hình chữ nhật : có bề rộng b và chiều cao h :

h 289 , 0 12 h bh

12 bh F

J i

3

x

x = = = » (516)

Tương tự ta có : ix = 0,289.h

iy = 0,289.b

3.2.2. Hình trịn : có đường kính d.

d 25 , 0 4 d 4

d 64

d F

J i

i 2

4

x y

x = =

p p = =

= (517)

Vậy ix = iy = 0,25.d

3.3. Ví dụ :

Mơ men qn tính chính trung tâm.

Tính bán kính qn tính đối với các trục của hệ trục chính trung tâm.

Bài giải :

Ở §2.6 ta đã tính được : JX = 9365004cm

4

JY = 3340000cm 4

F = FI FII = 8400 – 1200 = 7200cm 2

Bán kính quán tính đối với trục x : cm 065 , 36 7200

9365004 F

J

i x = x = =

Bán kính quán tính đối với trục y :

12

0cm

40

30

15

20 20

x y

O A

B D

E F

G

H I

X C

(63)

cm 538 , 21 7200

3340000 F

J

i y = y = =

CÂU HỎI ƠN TẬP CHƯƠNG 5

LÝ THUYẾT :

1. Nêu định nghĩa về mơ men tĩnh, mơmen qn tính của hình phẳng.

2. Thế nào là hệ trục trung tâm, hệ trục chính, hệ trục chính trung tâm? Vì sao nói với mặt cắt hình trịn thì mọi hệ trục trung tâm đều là hệ trục chính trung tâm? Hãy chỉ ra hai hệ trục chính trung tâm của hình vng?

3. Chứng minh cơng thức chuyển trục song song của mơ men qn tính?

4. Bán kính qn tính của hình phẳng đối với một trục là gì? Thiết lập cơng thức tính bán kính qn tính của hình chữ nhật, hình vng?

BÀI TẬP :

Cho các hình phẳng như hình vẽ. u cầu :

+ Xác định trọng tâm C của hình và hệ trục chính trung tâm của nó. + Tính mơ men tĩnh của hình phẳng đối với các trục x, y.

+ Tính mơ men qn tính chính trung tâm.

+ Tính bán kính qn tính đối với các trục của hệ trục chính trung tâm. Kích thước cho trên bản vẽ tính bằng cm :

100cm

40

20

160

cm 20 20

12

0c

m

80 20

200cm

20

30

40

12

0c

m

40

40cm

50

cm

100cm

6

20

50cm

10

1

0

10

0

cm

30cm

1

50

cm

40cm 80cm

40

cm

40

cm

2

0

(64)

120

cm

40

30

15

20 20

120

cm

40

20 20

40

10

120

cm

60

cm

80cm

40cm

CHƯƠNG 6: XOẮN THUẦN TÚY

1. KHÁI NIỆM

Thanh chịu xoắn thuần túy khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh nội lực chỉ có một thành phần mơ men xoắn Mz.

Thanh chịu xoắn thường được gọi là trục.

Ta gặp thanh chịu xoắn trong các trục truyền động (như hình vẽ 6.1).

Các thanh chịu xoắn thuần túy chịu ngoại lực là các ngẫu lực tập trung hay phân bố. Các ngoại lực này cân bằng với nhau.

Các mô men xoắn ngoại lực đều phải nằm trong mặt phẳng vng góc với trục của thanh.

2. NỘI LỰC – BIỂU ĐỒ NỘI LỰC

2.1. Nội lực :

2.1.1. Quy ước dấu :

Dấu của mơ men xoắn được quy ước trên hình vẽ 6.2. Mz > 0 khi đứng theo chiều

pháp tuyến ngồi nhìn vào mặt cắt thấy Mz quay thuận chiều kim đồng hồ. Mz < 0

khi ngược lại

z z

Mz

Mz Mz > H×nh vÏ 6.2 Mz <

2.1.2. Quy tắc tính nội lực :

Xét thanh chịu xoắn như hình vẽ 6.3:

Trình tự tính nội lực tại mặt cắt bất kỳ 33 như sau :

Tưởng tượng dùng một mặt cắt 33 cắt qua vị trí cần tìm Mz, xét cân bằng

phần bên trái mặt cắt 33 (giữ lại phần đơn giản để xét) T 2 T 1

(65)

m

a b c

M 1 M 2

1

H×nh vÏ 6.3

Để cân bằng với mơ men ngoại lực, tại mặt cắt 33 ta đặt một mơ men xoắn nội lực Mz, có chiều theo quy ước dấu (hình vẽ 6.4)

m

a b z

M 1

3 H×nh vÏ 6.4

Mz

z

Viết phương trình mơ men xoắn đối với trục z : 0

mdz M

M 0 M

a

0 1 z

z = Û - - =

å ò

Hay : M M mdz M 1 m . a

a

0 1

z = + ò = + (61)

2.2. Biểu đồ nội lực :

Mô men xoắn nội lực của các mặt cắt khác nhau là khác nhau, để thấy được sự biến thiên của mơ men Mz ta vẽ biểu đồ nội lực, đó là đồ thị biểu thị mơ men xoắn

nội lực của tất cả các mặt cắt ngang thanh.

Để vẽ biểu đồ nội lực ta chọn đường chuẩn song song trục thanh, Mz biểu thị bằng

đường vng góc với đường chuẩn. Cách vẽ :

Chia thanh thành các đoạn bằng cách lấy điểm đặt các mơ men tập trung, điểm đầu điểm cuối của ngẫu lực phân bố (m) làm ranh giới phân chia đoạn.

Trên mỗi đoạn viết một biểu thức xác định Mz theo z, căn cứ vào biểu thức đó

ta vẽ được biểu đồ mơ men xoắn cho từng đoạn. Mz > 0 đặt phía trên đường chuẩn và ngược lại.

Nếu Mz = 0 biểu đồ trùng với đường chuẩn, Mz = const biểu đồ song song với

đường chuẩn, Mz là bậc nhất (khi m = const) biểu đồ là đường thẳng xiên, Mz là bậc

(66)

2.3. Ví dụ :

Tính và vẽ biểu đồ mơ men xoắn của thanh trên hình vẽ 6.5. Biết M1 = 8000daNcm

M2 = 5000daNcm;

m = 10daN/cm.

Bài giải :

Tưởng tượng dùng một mặt cắt 11 cắt qua đoạn AB, xét cân bằng phần bên trái mặt cắt 11.

Để cân bằng với mơ men ngoại lực, tại mặt cắt 11 ta đặt một mơ men xoắn nội lực Mz, có chiều theo quy ước dấu (hình vẽ 6.6)

a)

b)

c)

d)

A B C D

m

z

1

1 A

m

3m

2

A B

M 2

3

D

3000 3000

5000 m

3m 3m 2m

M M

1

H×nh vÏ 6.6

Đoạn AB (hình vẽ 6.6a):

ị

=

3

0

z mdz

M

Tại z = 0 (vị trí A) thì Mz = 0

Tại z = 3m (vị trí B) thì M mdz m . 3 10 x 300 3000 daNcm

3

0

z = ò = = =

Đoạn BC (hình vẽ 6.6b):

3m 3m 2m

M 1 M 2

(67)

daNcm 3000

300 x 10 3 m

M z = = =

Đoạn CD (hình vẽ 6.6c): Mz = M2 = 5000daNcm

Căn cứ vào các giá trị đã tính ta vẽ được biểu đồ mơ men xoắn nội lực như trên hình 6.6d.

2.4. Nhận xét :

Tại vị trí có mơ men tập tập biểu đồ có bước nhảy đúng bằng giá trị mơ men, nếu đi từ trái sang phải gặp mơ men quay thuận chiều kim đồng hồ thì biểu đồ nhảy về phía âm, ngược chiều kim đồng hồ thì biểu đồ nhảy về phía dương. Nếu đi từ phải sang trái thì ngược lại.

Đoạn khơng có mơ men phân bố biểu đồ là đường thẳng song song đường chuẩn Đoạn có mơ men phân bố đều, biểu đồ là đường thẳng xiên có hướng xiên giống bước nhảy mơ men tập trung.

Từ đó ta có thể vẽ nhanh biểu đồ Mz mà khơng cần viết biểu thức.

3 ỨNG SUẤT TRÊN TRỤC TRỊN CHỊU XOẮN

3.1 Ứng suất trên mặt cắt ngang :

Trước khi thanh chịu lực xoắn, ta kẻ trên bề mặt thanh những đường dọc song song trục thanh và những đường trịn vng góc với trục thanh (hình vẽ 6.7a).

Sau khi chịu xoắn (hình vẽ 6.7b) ta thấy : Trục thanh vẫn thẳng.

Các đường trịn vẫn nằm trên những mặt phẳng vng góc với trục thanh.

Các đường dọc (đường sinh) trở thành đường xoắn ốc.

3.1.2. Giả thiết :

Sau khi biến dạng trục thanh vẫn thẳng. Mặt cắt ngang sau khi biến dạng vẫn phẳng.

Bán kính của mặt cắt ngang trước và sau biến dạng vẫn thẳng và khơng thay đổi.

3.1.3. Cơng thức tính ứng suất tiếp trên mặt cắt :

Cơng thức tính ứng suất tiếp tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt : r

= t r

J M

0 z

(62) Trong đó :

z a)

z

b) Mz

(68)

Mz : mơ men xoắn nội lực tại mặt cắt ngang chứa điểm tính ứng suất.

J0 : mơ men qn tính cực của mặt cắt ngang

r : khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến tâm.

3.1.4. Quy luật phân bố của ứng suất tiếp :

Tâm mặt cắt (r = 0) nên ứng suất tiếp bằng khơng. Ở chu vi mặt cắt r = R, ứng suất tiếp lớn nhất :

0 z 0

z 0

z max

W M R J M R J M

= = =

t (63)

Đặt

R J

W 0 = 0 : mơ men chống xoắn của mặt cắt.

Mặt cắt hình trịn :

16 d R J W 2

d R

32 d

J 3

0 0 4

0 p

= = Þ ù ù ỵ ù ù ý ỹ

= p =

(64)

Mặt cắt hình vành khăn, đường kính ngồi D, đường kính trong d :

( )

( 4 )

3 0

4 4

0

1 16

D W 2

D R

D d

1 32

D J

a - p

= Þ

ù ù ù

ỵ ù ù ù

ý ü

= = a

a - p

=

(65)

3.2. Ví dụ :

Tính ứng suất tiếp ở đầu A và ở điểm B trên chu vi của hai mặt cắt ngang 11 và 22 (hình vẽ 6.8). Biết M1 = 5.10

5

daNcm ; M2 = 10.10

5

daNcm, đường kính trục d = 20cm.

Bài giải :

a. Vẽ biểu đồ Mz :

Áp dụng phương pháp vẽ nhanh (hình vẽ 6.8b).

b. Tính ứng suất tiếp :

Tại mặt cắt 11

4 4

4

0 15707 , 963 cm

32 20 32

d

J = p = p =

M 1

M 2

1

2

A

B

H×nh vÏ 6.8 5.10

(69)

3 3

3 0

0 1570 , 796 cm

16 20 16 d R J

W = = p = p =

2 5

A 0

z

A x 8 254 , 648 daN cm

963 , 15707 10 x 5 J M = = r = t 2 5 0 z max B cm daN 31 , 318 796 , 1570 10 x 5 W M = = = t = t Tại mặt cắt 22 2 5 A 0 z A cm daN 648 , 254 8 x 963 , 15707 10 x 5 J M - = - = r = t 2 5 0 z max B cm daN 31 , 318 796 , 1570 10 x 5 W M - = - = = t = t 4. BIẾN DẠNG CỦA TRỤC TRỊN CHỊU XOẮN 4.1. Cơng thức tính : Từ cơng thức : dz GJ M d 0 z =

j (66)

Nếu hồnh độ của mặt cắt đầu và cuối đoạn là a và b thì : ị = j b a 0 z dz GJ M Trường hợp đặc biệt khi 0 z GJ M là hằng số thì : ) a b ( GJ M dz GJ M 0 z b a 0 z - = = j ị

Nếu biết b – a = l thì : 0 z GJ l M =

j (67)

j : góc xoắn trên tồn bộ chiều dài l của đoạn thanh. Góc xoắn trên một đơn vị chiều dài thanh gọi là góc xoắn tương đối, ký hiệu là q.

0 z GJ M l = j =

q (68)

GJ0 càng lớn thì góc xoắn của thanh càng nhỏ. GJ0 được gọi là độ cứng chống

(70)

Tính góc xoắn j của thanh AC và góc xoắn tương đối trên đoạn BC của trục chịu xoắn như hình vẽ. Biết trục có đường kính khơng đổi d = 20cm, chiều

dài các đoạn AB = 50cm, BC = 60cm, mơđun đàn hồi trượt G = 8.10 5 daN/cm 2 . Bìài giải :

a. Tính góc xoắn của thanh AC :

Căn cứ vào biểu đồ Mz đã vẽ ở ví dụ §3.2 ta thấy cần phải tính góc xoắn của hai

đoạn jAB và jBC.

rad 00199 , 0 963 , 15707 x 10 x 8

50 x 10 x 5 GJ

l M

5 5 AB

0 AB AB z

AB = = =

j

rad 00239 , 0 963 , 15707 x 10 x 8

60 x 10 x 5 GJ

l M

5 5 BC

0 BC BC z

BC = -

- = =

j

Vậy góc xoắn của thanh AC là :

j = jAB + jBC = 0,00199 – 0,00239 = 0,0004rad

b. Tính góc xoắn tương đối của đoạn BC là :

m rad 10 x 983 , 3 cm rad 10 x 983 , 3 60

00239 , 0 l

3 5

BC BC BC

- -

= =

- = j = q

5. TÍNH TỐN TRỤC TRỊN CHỊU XOẮN

Để đảm bảo điều kiện làm việc bình thường, thanh chịu xoắn cần thoả mãn trước hết là điều kiện bền và điều kiện cứng.

5.1. Điều kiện bền :

Cơng thức kiểm tra điều kiện bền :

[ ] t £ = t

0 z max

W M

(69)

Để kiểm tra điều kiện bền cần phải xác định được mặt cắt nguy hiểm của thanh, đó là mặt cắt mà tỷ số

0 z W M

có giá trị tuyệt đối lớn nhất. Tính tmax tại mặt cắt nguy hiểm theo cơng thức :

0 z max

W M

= t Sau đó so sánh tmax và [t] để rút ra kết luận.

5.2. Điều kiện cứng :

Công thức kiểm tra điều kiện cứng :

qmax£ [q] (610)

M 1

M 2

(71)

Để kiểm tra điều kiện cứng ta tính góc xoắn tương đối lớn nhất trên tồn thanh để so sánh với góc xoắn tương đối cho phép.

Từ điều kiện bền và điều kiện cứng ta cũng có 3 bài tốn cơ bản như trong kéo nén đúng tâm.

5.3. Ví dụ :

Trục chịu xoắn bởi các ngẫu lực M1 = 5000daNcm, M2 = 8000daNcm. Đoạn AB

tiết diện trịn đặc, đường kính D, đoạn BC tiết diện hình vành khăn đường kính ngồi là D, đường kính trong là d và d/D = 0,8. Chiều dài đoạn AB = 2m, chiều dài đoạn BC = 3m. Tính đường kính D của

trục nếu biết [t] = 2100daN/cm 2 ; [q] = 1 độ/m, G = 8.10 5 daN/cm 2 .

Bài giải :

Căn cứ vào mô men ngoại lực đã cho, ta vẽ được biểu đồ mơ men xoắn như hình vẽ 6.9b.

a. Theo điều kiện bền :

Từ công thức (69) ta suy ra :

[ ] t ³ z 0

M W Đoạn AB :

16 D W

3

p =

[ ] 21

50 2100 5000 M z

= =

t

Hay : 2 , 297 cm

21 16 x 50 D

21 50 16

D

3

= p ³

Þ ³ p

(1) Đoạn BC :

ú ú û ù ê

ê ë é

÷ ứ ỗ ố ổ - p

=

4 3

0

D d 1 16

D W

[ ] 21

130 2100

13000 M z

= =

t

Hay: 3 , 766 cm

) 8 , 0 1 ( 21

16 x 130 D

21 130 ) 8 , 0 1 ( 16

D

3

4 4

3

= -

p ³ Þ ³

- p

(2)

b. Theo điều kiện cứng :

Từ công thức (68) và (610) ta suy ra :

[ ] q ³

G M J 0 z

Theo đề bài : [q] = 1 độ/m = ( rad cm ) 18000

100 1 180

p = p

2m 13000

5000 b)

H×nh vÏ 6.9

M 1 M 2

A B

C

(72)

Đoạn AB :

32 D J

4

p =

[ ] q = p = p

5 , 112 18000 x 10 x 8

5000 G

M

5 z

Hay: 112 , 5 D 32 x 112 , 5 4 , 37 cm 32

D

4

2

= p

³ Þ p ³ p

(3) Đoạn BC :

ú ú û ù

ờ ộ

ữ ứ ỗ è æ - p

=

4 4

0

D d 1 32

D J

[ ] q = p = p

5 , 292 18000

x 10 x 8

13000 G

M

5 z

Hay: ( ) 6 , 33 cm

) 8 , 0 1 (

5 , 292 x 32 D

5 , 292 8

, 0 1 32

D

4

4 2

4

= -

p ³ Þ p ³ -

p

(4) Từ (1), (2), (3), (4) ta chọn D = 6,5cm.

6. BÀI TỐN XOẮN SIÊU TĨNH

Trong xoắn cũng như trong kéo (nén) đúng tâm ta gặp hệ siêu tĩnh, khi đó khơng thể dùng phương trình cân bằng tĩnh học để để xác định phản lực và tính nội lực trong tất cả các bộ phận của hệ. Để giải

bài tốn siêu tĩnh, ngồi các phương trình cân bằng tĩnh học cịn viết thêm phương trình biến dạng. Với các phương trình trên, ta có thể giải ra được các ẩn của bài tốn. Sau đây là một ví dụ minh hoạ.

6.2. Bài tập áp dụng :

Vẽ biểu đồ mơ men xoắn nội lực của trục thanh (hình vẽ 6.10). Biết M1 = 500daNcm, M2 = 1200daNcm.

Bài giải :

Thay ngàm A và D bằng các phản lực MA, MD (chưa biết), giả sử có chiều như

hình vẽ 6.10b.

Phương trình cân bằng tĩnh học : SM = 0 Û MA – M1 + M2 – MD = 0

390

810

M 1 M 2

C B

A

a = 3m b = 5m

D

c = 2m

M 1 M 2

C B

A D

M A M D

b) a)

c) 110 M

(73)

Þ MD = MA – M1 + M2 = MA – 500 + 1200 = MA + 700 (1)

Phương trình biến dạng biểu thị góc xoay ở D so với A, tức là jAD, vì hai đầu A

và D ngàm cứng nên jAD = 0.

Ta có : 0

GJ c M GJ

b ). M M ( GJ

a M

0 D 0

1 A 0

A CD

BC AB

AD + =

- +

= j + j + j = j

Hay : MA. (a + b) – M1. b + MD. c = 0 (2)

Thay (1) vào (2) ta được :

MA (300 + 500) – 500x500 + (MA + 700). 200 = 0

Þ MA = 110daNcm

Thay MA vào (1) ta tìm được MD = 110 + 700 = 810daNcm.

LÝ THUYẾT :

1. Thế nào là thanh chịu xoắn thuần túy, cho ví dụ.

2. Viết và giải thích quy ước dấu, quy tắc tính mơ men nội lực. 3. Trình bày cách vẽ biểu đồ Mz, cho ví dụ.

4. Mơ men chống xoắn của mặt cắt là gì? Viết cơng thức tính mơ men chống xoắn của mặt cắt ngang trịn đặc và mặt cắt ngang hình vành khăn.

5. Viết và giải thích các điều kiện bền, điều kiện cứng của thanh chịu xoắn. Thanh chịu xoắn khơng đảm bảo điều kiện cứng thì xảy ra hiện tượng gì?

6. Trình bày cách giải bài tốn siêu tĩnh, cho ví dụ.

BÀI TẬP :

1. Vẽ biểu đồ mơ men xoắn nội lực của các thanh chịu xoắn

200daN/cm

2m 2m 1m

5000daNcm 9000daNcm

0,5m

100daN/cm

2m 1m

4500daNcm

1m a)

b)

9000daNcm

2m

(74)

M

1

2

A 11

B

3. Trục trịn đặc có đường kính thay đổi, đoạn AB có dAB = 6cm, đoạn BC có

dBC = 4cm chịu tác dụng của các ngẫu lực M1 = 7500daNcm, M2=4500daNcm,

G = 8.10 5 daN/cm 2 (hình vẽ). Tính ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trên trục và tính góc xoắn của trục

M 1 M 2

C B

A

2,5m 4,2m

4. Trục chịu xoắn bởi các ngẫu lực M1 = 7500daNcm, M2 = 3400daNcm. Đoạn

AB tiết diện trịn đặc, đường kính D, đoạn BC tiết diện hình vành khăn đường kính ngồi là D, đường kính trong là d và d/D = 0,6. Chiều dài đoạn AB = 3m, chiều dài đoạn BC = 4,2m. Tính đường kính D của trục nếu biết [t] = 2400daN/cm 2 ; [q] = 6độ/m, G = 8.10 5 daN/cm 2

M 1 M 2

B

A C

5. Trục AC đặc có đường kính d = 10cm bị ngàm ở hai đầu. Trên trục có ngẫu lực tác dụng M = 800KNcm. Xác đinh ứng xuất tiếp lớn nhất trên trục và góc xoắn jAB

của trục

M B A

a = 3m

(75)

CHƯƠNG 7: UỐN NGANG PHẲNG

1. KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA

Ở chương I ta đã biết trong trường hợp tổng qt trên mặt cắt ngang có sáu thành phần nội lực : lực dọc Nz, mơ men uốn Mx, My, lực cắt Qx, Qy và mơ men xoắn Mz.

Khi trên mặt cắt ngang nội lực chỉ có Mx và Qy (hoặc My và Qx) ta có thanh chịu uốn

ngang phẳng. Ví dụ thanh trên hình vẽ 7.1a trên mọi mặt cắt ngang nội lực chỉ có Mx

và Qy hoặc thanh trên hình vẽ 7.1b nội lực chỉ có My và Qx, các thanh này chịu uốn

ngang phẳng

y

x z

P m

m O

q

Mặt phẳng tải trọng

Đường tải trọng a)

P q

x y

z m

m b)

Mặt phẳng tải trọng

Hình vẽ 7.1 Đường tải trọng

O

Dưới tác dụng của ngoại lực trục thanh bị uốn cong trong mặt phẳng yOz (hình vẽ 7.1a) hoặc mặt phẳng xOz (hình vẽ 7.1b).

Ngoại lực gây ra uốn có thể là ngẫu lực M, lực tập trung P, lực phân bố q. Các lực này nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng tải trọng (mặt phẳng yOz trên hình vẽ 7.1a) hoặc mặt phẳng xOz trên hình vẽ 7.1b). Giao tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang gọi là đường tải trọng. Với mặt cắt ngang đầu dầm đường tải trọng là Oy (hình vẽ 7.1a), Ox (hình vẽ 7.1b).

Trong thực tế ta thường gặpnhững thanh chịu uốn mà mặt cắt ngang thanh có ít nhất một trục đối xứng, đồng thời mặt phẳng tải trọng trùng với mặt phẳng đối xứng của thanh. Trong chương này ta giới hạn chỉ xét những thanh như vậy. Người ta thường gọi thanh chịu uốn ngang phẳng là dầm. Ta gặp các dầm trong nhiều kết cấu như : dầm cầu, trục bánh tàu hoả, xà nhà,…

2. NỘI LỰC VÀ BIỂU ĐỒ NỘI LỰC

2.1. Quy ước dấu :

Dấu của lực cắt được quy ước giống như dấu của ứng suất tiếp (chương 4§1.3)

(76)

cmtvộctcựngchiuvilcctthỡlcctcúdudng(hỡnhv7.2a,b), ngclilcctcúduõm(hỡnhv7.2c,d)

Xét phần bên trái Xét phần bên ph¶i

a) b)

c) d)

z

Q y m

m Q y

z

Q y m

m Q y

Q y >

z Q y

m m Q y

z

Q y

m m

Q y Q y <

Q y >

Q y < m - m mặt cắt xÐt

H×nh vÏ 7.2

Mơ men uốn có dấu dương khi mơ men uốn có khuynh hướng làm thớ dưới chịu kéo (hình vẽ 7.3a, b), dấu âm khi ngược lại tức là thớ trên chịu kéo (hình vẽ 7.3c, d)

XÐt phần bên trái Xét phần bên phải

a) b)

c) d)

z Mx

m

m Mx >

m - m mặt cắt ®ang xÐt H×nh vÏ 7.3

Mx

z Mx

m

m Mx >

Mx

z Mx

m m

Mx < Mx

z

Mx

m m

Mx <

Mx

2.2. Cơng thức tính nội lực :

Dưới tác dụng của ngoại lực, trên mặt cắt ngang dầm tồn tại mơ men uốn M và lực cắt Q. Ta xét trường hợp dầm bị uốn trong mặt phẳng yOz thì trên mặt cắt ngang nội lực là Mx và Qy. Trường hợp dầm bị uốn trong mặt phẳng xOz thì trên mặt cắt

ngang nội lực là My và Qx, cách tính tốn hồn tồn tương tự như trên.

2.2.1. Cơng thức tính lực cắt Qy :

Lực cắt ở mặt cắt bất kỳ nào đó bằng tổng đại số hình chiếu của các ngoại lực lên phương vng góc với trục thanh tại mặt cắt đang xét.

Tưởng tượng dùng một mặt cắt, cắt dầm thành hai phần.

(77)

Thay phần dầm bị cắt bằng nội lực Qy có chiều dương.

Phương trình hình chiếu tất cả các lực ở một bên mặt cắt lên phương vng góc với trục dầm (trục y), ta được :

å

å +

=

bên 1

i i bên

1 i

y P q . z

Q (71)

Trong đó :

Pi : tải trọng tập trung thứ i ở phần dầm đang xét.

qi : tải trọng phân bố đều thứ i ở phần dầm đang xét.

zi : chiều dài phân bố tải trọng tương ứng với qi.

Ví dụ :xét cân bằng một đoạn dầm như hình vẽ 7.4. Tính lực cắt tại mặt cắt C

A

V A

1

Q y

y

x O

q M

C P

c c c c

Hình vẽ 7.4 Sy = 0 Û Qy + VA – P – q. c = 0

Û Qy = VA – P – q. c

2.2.2. Cơng thức tính mơ men uốn Mx :

Mơ men ở mặt cắt nào đó bằng tổng đại số mơ men uốn của các ngoại lực lấy đối với trọng tâm mặt cắt đang xét.

Tưởng tượng dùng một mặt cắt, cắt dầm thành hai phần.

Xét cân bằng một trong hai phần dầm vừa bị cắt (ưu tiên xét cân bằng phần dầm bị cắt có ít lực hơn, vì tính tốn đơn giản hơn).

Thay phần dầm bị cắt bằng nội lực Mx có chiều dương.

Phương trình mơmen tất cả các lực ở một bên mặt cắt đối với trọng tâm mặt cắt đang xét, ta được :

å å

ồ ữ +

ứ ỗ

ố æ

+ +

=

bên 1

i bên

1

i i i i bên

1

i i

x b M

2 z z q a

. P

M (72)

Trong đó :

Pi : tải trọng tập trung thứ i ở phần dầm đang xét.

qi : tải trọng phân bố đều thứ i ở phần dầm đang xét.

zi : chiều dài phân bố tải trọng tương ứng với qi.

(78)

bi : khoảng cách từ trọng tâm tải trọng phân bố đều thứ i đến trọng tâm mặt

cắt đang xét.

Ví dụ : xét cân bằng một đoạn dầm như hình vẽ 7.5. Tính lực mơ me uốn mặt cắt C

a 2 H×nh vÏ 6.5 A

V A

1 Mx

a 1 z 1

b 1 q M C P Hình vẽ 7.5 0 a P b 2 z z q a V M M 0

M 1 1 x A 2 1 1 1 ÷ - 1= ứ ỗ ố ổ + - + + - Û = å - 1 1 1 1 2 A

x b P . a

2 z z q a V M

M ÷ -

ứ ỗ ố ổ + - + = Û

2.2.3. Ví dụ:

Xác định mơ men uốn và lực cắt tại mặt cắt C nằm giữa đoạn EF và mặt cắt D nằm giữa đoạn FB của dầm hình vẽ 7.6a. Biết : P1 = 8KN, P2 = 12KN, M = 16KNm,

q = 4KN/m và a = 2m.

Bài giải :

* Xác định phản lực:

Phản lực tại gối B : Lấy mơ men tất cả các lực đối với gối A :

( ) 2 a V . 4 a 0

2 a a 2 a a 2 q M a P a P 0

M A 1 2 ÷ + B =

ứ ỗ ố ổ + + + - + - Û = å ( ) a 4 qa 5 , 10 M a P P a 4 a 5 , 3 aq 3 M a P a P V 2 1 2 1 2 B + - - = + - - = Û

Thay số : ( ) 20 KN

2 4 2 x 4 x 5 , 10 16 2 x 8 12 V 2 B = + - - = Phản lực tại gối A : Lấy mô men tất cả các lực đối với gối B : 0 a 4 V 2 a a q a a 2 q M a 3 P a 5 P 0

M B = Û - 1 - 2 - - + + A =

å a 4 qa 5 , 1 M a 5 P a 3 P V 2 1 2 A + + + = Û

Thay số : 24 KN

(79)

VB = 20 KN

P 2

V B B E

C

F D

1

2

a a a 2a a

a)

M P 1

A V A

P 2

E C

1

a a a

b)

Q C y M C x

q

V B B D

2

a a

Q D y M D x

c)

H×nh vÏ 6.6 A

V A

q M

P 1

* Xác định mô men uốn và lực cắt tại mặt cắt C :

Tưởng tượng dùng mặt cắt 1 1 cắt dầm tại C, xét cân bằng phần dầm bên trái như hình vẽ 7.6b :

Thay thế phần bị cắt bằng lực cắt Qy và mơ men uốn Mx có chiều dương.

Phương trình hình chiếu các lực lên trục y Sy = 0 Û QC + P1 + P2 VA = 0

Û QC = VA P1 P2 = 24 8 12 = 4 KN

Lấy mơ men các lực đối với trọng tâm mặt cắt C

SMC = 0 Û MC + P1. 2,5a VA. 1,5a + M + P2. 0,5a = 0

Û MC = 1,5a. VA P1. 2,5a M P2. 0,5a

= 1,5x2x24 – 8x2,5x2 16 – 12x0,5x2 = 4KNm Vậy : QC = 4KN

MC = 4KNm

* Xác định mô men uốn và lực cắt tại mặt cắt D :

Tưởng tượng dùng mặt cắt 2 2 cắt dầm tại D, xét cân bằng phần dầm bên phải như hình vẽ 7.6c :

Thay thế phần bị cắt bằng lực cắt Qy và mơ men uốn Mx có chiều dương.

Phương trình hình chiếu các lực lên trục y Sy = 0 Û QD + VB 2qa = 0

Û QD = 2qa VB = 2x 4x2 20 = 4 KN

(80)

Lấy mô men các lực đối với trọng tâm mặt cắt SMD = 0 Û MD + 2qa.a VB. a = 0

Û MD = VB. a 2qa 2

= 20x2 – 2x4x2 2 = 8KNm Vậy : QD = 4KN

MD = 8KNm 2.3. Biểu đồ nội lực :

2.3.1. Khái niệm : Các mặt cắt khác nhau có nội lực khác nhau, để thấy được sự

phân bố nội lực trên các mặt cắt ngang dọc theo trục dầm ta vẽ các biểu đồ nội lực, ở đây biểu đồ lực cắt Qy viết tắt là Q, biểu đồ mơ men uốn Mx viết tắt là M.

2.3.2. Trình tự vẽ biểu đồ nội lực :

Xác định phản lực (nếu cần).

Chia dầm thành nhiều đoạn, sao cho trên mỗi đoạn nội lực biến thiên liên tục (khơng có sự thay đổi đột ngột). Lấy điểm đặt của ngẫu lực, lực tập trung, điểm đầu và điểm cuối của tải trọng phân bố làm ranh giới phân chia đoạn.

Trên mỗi đoạn viết biểu thức của lực cắt và mơ men uốn : Q(z), M(z) bằng cách xác định Q và M cho mặt cắt bất kỳ có hồnh độ z trong từng đoạn.

Dựa vào biểu thức Q(z), M(z) đã lập để vẽ biểu đồ nội lực trên từng đoạn dầm, hệ toạ độ được chọn có trục z song song với trục dầm, trục Q và M vng góc với trục dầm.

Quy ước :

Q > 0 đặt phía trên trục z và ngược lại. M > 0 đặt phía dưới trục z và ngược lại. Trên biểu đồ M và Q có ghi dấu của nội lực.

2.3.3 Ví dụ :

Vẽ biểu đồ nội lực của dầm như hình vẽ 7.7a. Biết : P1 = 8 KN, P2 = 12KN, M =

16 KNm, q = 4KN/m, a = 2m.

Bài giải :

* Xác định phản lực :

Tương tự ví dụ trước ta có : VA = 24KN, VB = 20 KN

* Vẽ biểu đồ lực cắt Q :

Đoạn CA : Tưởng tượng dùng mặt cắt 1 1 cắt qua đoạn CA, xét cân bằng phần bên trái (hình vẽ 7.7b). Thay thế phần bỏ đi bằng lực cắt Q1. Phương trình hình

(81)

q M

P 1

A V A

P 2

V B B E

C D F

3

4

a a a 2a a

a)

M P 1

A V A

P 2 E

C

3

a a

z 3 d)

Q y M x

q

V B B D

4

z 4 a Q y

M x

2

1

5

5 P 1

C z 1 b)

1

Q y M x

P 1

A V A C

a z 2 c)

2

F z 5

5 Q y M x

e)

f)

0£ z 1 £ a a£z 4 £3a

a£ z 2 £ 2a

2a£ z 3 £ 3a

0£ z 5 £ a

16KN

8KN

4KN 8KN

12KN Q g)

16KNm

8KNm

18KNm

M h)

16KNm H×nh vÏ 7.7 Q y

M x

Sy = 0 Þ Q1 + P1 = 0

Þ Q1 = P1 = 8KN

Þ QC = QA tr

= 8KN

(82)

Sy = 0 Þ Q2 + P1 VA = 0

Þ Q2 = VA P1 = 24 8 = 16KN

Þ QA ph

= QD tr

= 16KN

Đoạn DE : Tưởng tượng dùng mặt cắt 3 3 cắt đoạn DE, xét cân bằng phần bên trái (hình vẽ 7.7d). Phương trình hình chiếu các lực lên trục y

Sy = 0 Þ Q3 + P1 + P2 VA = 0

Þ Q3 = VA P1 P2 = 24 8 12 = 4KN

Þ QD ph

= QE tr

= 4KN

Đoạn FB : Tưởng tượng dùng mặt cắt 5 5 cắt đoạn FB, xét cân bằng phần bên phải (hình vẽ 7.7f). Phương trình hình chiếu các lực lên trục y

Sy = 0 Þ Q5 q. z5 = 0 (với 0 £ z5£a)

Þ Q5 = q. z5

Với : z5 = 0 (tại F) Þ QF = 0 KN

z5 = a (tại B phải

) Þ QB ph

= q. a = 4x2 = 8 KN

Đoạn BE : Tưởng tượng dùng mặt cắt 4 4 cắt đoạn BE, xét cân bằng phần bên phải (hình vẽ 7.7e). Phương trình hình chiếu các lực lên trục y

Sy = 0 Þ Q4 q. z4 + VB = 0 (với a £ z4 £ 3a)

Þ Q4 = q. z4 VB

Với : z4 = a (tại B trái

) ÞQB tr

= q.a VB = 4x2 20 = 12 KN

z4 = 3a (tại E phải

) Þ QE ph

= q. 3a VB = 4x3x2 20 = 4 KN

Từ các giá trị Q tính được, ta vẽ biểu đồ lực cắt như hình vẽ 7.7g. * Vẽ biểu đồ mơ men uốn M :

Đoạn CA : Tưởng tượng dùng mặt cắt 1 1 cắt qua đoạn CA, xét cân bằng phần bên trái (hình vẽ 7.7b). Thay thế phần bỏ đi bằng mơmen uốn M1. Lấy mơmen

tất cả các lực đối với trọng tâm mặt cắt 1 1. (với 0 £ z1£a)

SM1 = 0 Þ M1 + P1. z1 = 0

Þ M1 = P1. z1

Với : z1 = 0 (tại C) Þ MC = 0

z1 = a (tại A trái ) Þ MA tr = 8x2 = 16KNm

Tương tự như phần trên ta có : Đoạn AD : (với a £ z2£ 2a)

SM2 = 0 Þ M2 + P1. z2 VA(z2 a) = 0

Þ M2 = P1. z2 + VA(z2 a)

Với : z2 = a (tại A phải

) Þ MA ph

(83)

z2 = 2a (tại D trái

) Þ MD tr

= 8x2x2 + 24x(2x2 2) = 16KNm Đoạn DE : (với 2a £ z3£3a)

SM3 = 0 Þ M3 + P1. z3 VA(z3 a) + P2(z3 2a) + M = 0

Þ M2 = P1. z3 + VA(z3 a) P2(z3 2a) M

Với : z3 = 2a (tại D phải

)

Þ MD ph = 8x2x2 + 24x(2x2 2) – 12x(2x2 – 2x2) 16 = 0KNm

z3 = 3a (tại E trái

) Þ ME

tr

= 8x3x2 + 24x(3x2 2) – 12x(3x2 – 2x2) 16 = 8KNm Đoạn FB : (với 0 £z5£a)

0 2 z z q M 0

M 5 = Þ 5 + 5 5 =

å

2 z q M

2 5 = -

Þ

Với : z5 = 0 (tại F) Þ MF = 0

z5 = a (Tại B phải

) 8 KNm

2 2 x 4 M

2 ph

B = - = -

Þ

Trong đoạn FB có tải trọng phân bố đều nên biểu đồ M là đường cong bậc

hai và có điểm treo : 2 KNm

8 2 x 4 8

a

q 2 =

= (73)

Đoạn BE : (với a £z4£3a)

0 ) a z ( V 2 z z q M 0

M 4 B 4

4 4

4 = Þ + - - =

å

2 z q ) a z ( V M

2 4 4

B

4 = - -

Þ Với : z4 = a (tại B

trái

) 8 KNm

2 2 x 4 ) 2 2 ( x 20 M

2 tr

B = - - = -

Þ z4 = 3a (tại E

phải

) 8 KNm

2 ) 2 x 3 ( x 4 ) 2 2 x 3 ( x 20 M

2 ph

E = - - =

Þ

Trong đoạn BE có tải trọng phân bố đều nên biểu đồ M là đường cong bậc

hai và có điểm treo : 18 KNm

8 ) 2 x 3 ( x 4 8

) a 3 (

q 2

= =

Từ các giá trị M tính được, ta vẽ biểu đồ M như hình vẽ 7.7h.

(84)

Tại vị trí có đặt lực tập trung, biểu đồ lực cắt có bước nhảy đúng bằng trị số của lực tập trung. Nếu đi từ trái sang phải thì hướng của bước nhảy trùng với hướng của lực tập trung, nếu đi từ phải sang trái thì ngược lại.

Tại vị trí có mơ men tập trung, biểu đồ mơ men có bước nhảy đúng bằng trị số của mơ men tập trung. Nếu đi từ trái sang phải gặp mơ men quay thuận chiều kim đồng hồ thì bước nhảy hướng xuống, ngược chiều kim đồng hồ thì bước nhảy hướng lên. Nếu đi từ phải sang trái thì ngược lại.

Trên đoạn dầm khơng có lực phân bố, biểu đồ lực cắt song song đường chuẩn, biểu đồ mơ men là đường thẳng xiên. Nếu biểu đồ lực cắt trùng với đường chuẩn thì biểu đồ mơ men song song với đường chuẩn.

Trên đoạn dầm có lực phân bố đều, biểu đồ lực cắt là đường thẳng xiên, cịn biểu đồ mơ men là đường cong bậc hai.

2.4. Liên hệ giữa cường độ tải trọng phân bố, lực cắt và mơ men uốn :

Giả sử dầm AB chịu tác dụng của các ngoại lực như hình vẽ 7.8a : Ta quy ước tải trọng phân bố là dương

khi hướng từ dưới lên trên và ngược lại. Xét phân tố có bề rộng dz như hình vẽ 7.8b.

Phương trình cân bằng của phân tố : SY = Q (Q + dQ) + q(z). d(z) = 0

hay : q ( z ) dz

dQ

= (74)

0 dM M 2 dz ) dQ Q ( 2 dz Q M

M 0 = - - - + + + =

å

Q dz dM

=

Þ (75)

Vậy q ( z )

dz dQ dz

M d

2

=

= (76)

2.4.1. Định lý :

Đạo hàm cấp một của lực cắt bằng cường độ tải trọng phân bố (74). Đạo hàm cấp một của mơ men uốn bằng lực cắt (75).

Đạo hàm cấp hai của mơ men uốn bằng cường độ tải trọng phân bố (76).

2.4.2. Kết luận :

Trên đoạn dầm, nếu tải trọng phân bố có bậc n, thì lực cắt có bậc n + 1, mơ men uốn có bậc n + 2. Nếu q = 0 thì :

Trên đoạn dầm đang xét nếu có ngoại lực tác dụng thì Q song song đường chuẩn (Q = const), M là hàm bậc nhất

A z B

z+dz

q(z) a)

x O

q(z) y

Q M

Q+dQ M+dM

dz b)

(85)

Trên đoạn dầm đang xét nếu khơng có ngoại lực tác dụng thì Q trùng đường chuẩn (Q = 0), M song song đường chuẩn (M = const).

Trên đoạn dầm có lực phân bố đều thì Q là hàm bậc nhất, M là hàm bậc hai. Tại vị trí Q = 0 và đổi dấu thì M đạt cực trị.

Ta có : Qph = Qtr + Fq (77)

Mph = Mtr + FQ (78)

Trong đó :

Qph : lực cắt ở mặt cắt bên phải (đầu bên phải của đoạn đang xét).

Qtr : lực cắt ở mặt cắt bên trái (đầu bên trái của đoạn đang xét).

Fq : diện tích của tải trọng phân bố (tại đoạn đang xét).

Mph : mơ men uốn ở mặt cắt bên phải (đầu bên phải của đoạn đang xét).

Mtr : mơ men uốn ở mặt cắt bên trái (đầu bên trái của đoạn đang xét).

FQ : diện tích biểu đồ lực cắt (tại đoạn đang xét).

2.4.3. Phương pháp vẽ nhanh biểu đồ nội lực :

2.4.3.1. Phương pháp vẽ nhanh biểu đồ lực cắt : Tính phản lực (nếu cần thiết).

Vẽ biểu đồ lực cắt : bắt đầu vẽ từ đường chuẩn theo hướng từ trái sang phải.

Tại mặt cắt có lực tập trung, biểu đồ Q có bước nhảy, giá trị bước nhảy bằng trị số và cùng chiều với lực tập trung.

Ví dụ : Tại mặt cắt A có lực tập trung P : QA

ph

= QA

tr

±P(79)

P mang dấu (+) khi hướng từ dưới lên trên. P mang dấu () khi hướng từ trên xuống dưới.

Tại mặt cắt có mơ men tập trung, biểu đồ Q khơng có gì thay đổi.

Đoạn dầm đang xét khơng có tải trọng phân bố (q = 0) thì xảy ra 1 trong 2 trường hợp sau:

* Nếu trên đoạn dầm đang xét khơng có lực tập trung thì biểu đồ Q trùng với đường chuẩn (trên đoạn dầm này lực cắt Q = 0).

* Nếu trên đoạn dầm đang xét có lực tập trung thì biểu đồ Q song song với đường chuẩn (giá trị của lực cắt Q = trị số của lực tập trung).

Trên đoạn dầm đang xét có tải trọng phân bố đều (q = const) thì biểu đồ Q là đường thẳng xiên, vớiQph = Qtr + Fq

Trong đó :Fq = q. a (710)

a chiều dài phân bố của tải trọng trên đoạn dầm đang xét. q tải trọng phân bố đều ở trên đoạn dầm đang xét.

(86)

q mang dấu () khi có chiều hướng từ trên xuống dưới.

Đoạn dầm đang xét có tải trọng phân bố khơng đều thì biểu đồ Q là đường cong.

2.4.3.2. Phương pháp vẽ nhanh biểu đồ mơ men uốn :

Biểu đồ mơ men uốn được vẽ bằng cách dựa vào biểu đồ lực cắt.

Vẽ biểu đồ mơ men uốn : bắt đầu vẽ từ đường chuẩn theo hướng từ trái sang phải. Tại mặt cắt có lực tập trung, biểu đồ M bị gãy khúc.

Tại mặt cắt có mơ men tập trung, biểu đồ M có bước nhảy, giá trị bước nhảy bằng trị số của mơ men tập trung. Nếu mơ men tập trung quay thuận chiều kim đồng hồ thì biểu đồ M nhảy xuống, ngược chiều kim đồng hồ thì biểu đồ M nhảy lên.

Ví dụ : Tại mặt cắt A có Mơ men tập trung M :

MA

ph

= MA

tr

± M (711)

M mang dấu (+) khi quay cùng chiều kim đồng hồ. M mang dấu () khi quay ngược chiều kim đồng hồ. Đoạn dầm đang xét khơng có tải trọng phân bố (q = 0) :

* Nếu trên đoạn dầm đang xét khơng có lực tập trung (biểu đồ Q = 0 hoặc trùng với đường chuẩn) thì biểu đồ M song song với đường chuẩn (M = hằng số).

* Nếu trên đoạn dầm đang xét có lực tập trung (biểu đồ Q song song với đường chuẩn) thì biểu đồ M là đường thẳng xiên, với :

Mph = Mtr + FQ

Trong đó : FQ diện tích biểu đồ lực cắt ở đoạn dầm đang xét.

Đoạn dầm có tải trọng phân bố đều q, biểu đồ M là đường cong bậc hai : * Lồi xuống phía dưới khi tải trọng q hướng từ trên xuống dưới.

* Lồi lên phía trên khi tải trọng q hướng từ dưới lên trên.

Tại vị trí có giá trị Q = 0 thì M đạt cực trị. Để vẽ biểu đồ M ta cần tính thêm điểm treo

8 l . q 2

với l : là chiều dài đoạn dầm có tải trọng phân bố đang xét.

Đoạn dầm có tải trọng phân bố khơng đều, biểu đồ M là đường cong cao hơn biểu đồ Q một bậc.

2.5. Ví dụ minh hoạ :

2.5.1. Ví dụ 1 :

(87)

q M 1

P

A V A

P

V B B E

C D I

a a a 2a a

a) M

2

a F

9KN

8KN

1KN

16KN Q b)

16KNm

4KNm M

c) 2KNm

12KNm

30KNm 32KNm J

4KNm 32,125KNm

x = 4

H×nh vÏ 7.9

Bài giải :

* Xác định phản lực :

Phản lực tại gối B : Lấy mô men tất cả các lực đối với gối A : SMA = 0 Û P. a M1 P.2a q. 2a. 4a + VB. 5a + M2 = 0

Û

a 5

M a q 8 a p M

V 2

2 1

B

- +

+

= 15 KN

2 x 5

4 2 x 4 x 8 2 x 8

10

= - +

+ =

Phản lực tại gối A : Lấy mô men tất cả các lực đối với gối B : SMB = 0 Û P. 6a + VA. 5a + M1 P. 3a q. 2a. a M2 = 0

Û

a 5

M qa 2 M Pa 9

V 2

2 1

A

+ +

- =

KN 17 2

x 5

4 2 x 4 x 2 10 2 x 8 x 9 V

2

A =

+ +

- =

Û

* Vẽ biểu đồ Q áp dụng phương pháp vẽ nhanh ta có : Đoạn CA : Qc = P = 8KN

QA tr

= Qc + Fq = 8 + 0 = 8KN

Đoạn AD :Q A ph

= QA tr

(88)

QD tr

= QA ph

+ Fq = 9 + 0 = 9KN

Đoạn DE :Q D ph

= QD tr

= 9 KN QE

tr

= QD ph

+ Fq = 9 + 0 = 9KN

Đoạn EF : Q E ph = QE tr P = 9 8 = 1KN

QF tr = QE ph + Fq = 1 + 0 = 1KN

Đoan FB : Q F ph = QF tr = 1KN

QB tr

= QF ph

+ Fq = QF ph

q. 2a = 1 – 4x2x2 = 15KN Đoạn BI : Q B

ph

= QB tr

+ VB = 15 + 15 = 0KN

QI = QB ph

+ Fq = 0 + 0 = 0KN

Từ các giá trị Q ta vẽ được biểu đồ lực cắt như hình vẽ 7.9b : * Vẽ biểu đồ mơ men uốn M :

Đoạn CA : MC = 0KN.m

MA tr

= MC + FQ = 0 – 8x2 = 16KNm

Đoan AD :MA ph

= MA tr

= 16KNm MD

tr

= MA ph

+ FQ = 16 + 9x2 = 2KNm

Đoan DE :MD ph

= MD tr

+ M1 = 2 + 10 = 12KNm

ME tr = MD ph + FQ = 12 + 9x2 = 30KNm

Đoan EF : ME ph = ME tr = 30KNm

MF tr

= ME ph

+ FQ = 30 + 1x2 = 32KNm

Đoan FB : MF ph

= MF tr

= 32KNm MB

tr

= MF ph

+ FQ

Trong đoạn này có tải trọng phân bố đều, tương ứng trên biểu đồ lực cắt Q có giá trị bằng 0 tại J, nên mơ men uốn đạt giá trị cực trị tại J.

Tính MJ : Ta có : 0 , 25 m

4 1 x x 4

x 15

1

= = Þ - =

KNm 125 , 32 2 1 x 1 x 4 1 32 F M M

M J = max = phF + Q = + =

KNm 4 15 x 4 15 x 2 1 125

, 32 F M

M tr B J Q ữ = ứ ỗ

ố ổ

- + =

+ =

Trong đoạn FB có tải trọng phân bố đều nên biểu đồ M là đường cong bậc hai và có điểm treo : ( ) 4 KNm

8 16 x 4 8

a 2 q

= =

Đoan BI : MB ph

= MB tr

= 4KNm MI = MB

ph

+ FQ = 4 + 0 = 4KNm

(89)

2.5.2. Ví dụ 2:

Vẽ biểu đồ mơ men uốn và lực cắt cho dầm như hình vẽ 7.10a. Biết : P1 = 9KN ;

P2 = 6KN ; M1 = 8KNm ; M2 = 6KNm ; q= 3KN/m ; a = 3m

M 1

P 2 M P 1

q

P 1

A B

C

D

E I

2a a

a a

6KN

3KN 15KN

6KN

Q 1m

M 15KNm

7KNm 61KNm

43KNm

24KNm

6KNm a)

b)

c)

H×nh vÏ 7.10 5,5KNm

13,5KNm

Bài giải :

* Vẽ biểu đồ lực cắt Q : Đoạn DE :QE = P2 = 6KN

QD ph

= QE Fq = 6 0 = 6KN

Đoạn CD :QD tr

= QD ph

P1 = 6 9 = 3KN

QC ph = QD tr Fq = 3 0 = 3KN

Đoạn BC : QC tr

= QC ph

= 3KN QB

ph

= QC tr

Fq = 3 ( 3x2x3) = 15KN

Đoạn AB : QB tr

= QB ph

P1 = 15 9 = 6KN

QA = QB tr

Fq = 6 0 = 6KN

Từ các giá trị Q ta vẽ được biểu đồ lực cắt như hình vẽ 7.10b : * Vẽ biểu đồ mơ men uốn :

Đoạn DE :ME = M2 = 6KNm

MD ph

= ME FQ = 6 – 6x3 = 24KNm

Đoạn CD : MD tr

= MD ph

(90)

MC ph

= MD tr

FQ = 24 ( 3x3) = 15KNm

Đoạn BC : MC tr

= MC ph

+ M1 = 15 + 8 = 7 KNm

MB ph

= MC tr

FQ

Trong đoạn này có tải trọng phân bố đều, tương ứng trên biểu đồ lực cắt Q có giá trị bằng 0 tại I, nên mơ men uốn đạt giá trị cực trị tại I.

Ta có : MI = MC tr

FQ

Với : x 1 m

x 6

x 15

3

= Þ - =

( )3 . 1 5 , 5 KNm 2

1 7

M I ú = -

û ù ê

ë é

- - - = Þ Nên MB

ph

= MI FQ = 5,5 (15x5x1/2) = 43KNm

Trong đoạn FB có tải trọng phân bố đều nên biểu đồ M là đường cong bậc hai và có điểm treo : ( ) 13 , 5 KNm

8 ) 3 x 2 ( x 3 8

a 2

q 2

= =

Đoạn AB : M tr B = MB ph

= 43KNm MA = MB

tr

FQ = 43 63 = 61KNm

Từ các giá trị M ta vẽ được biểu đồ mơ men như hình vẽ 7.10c :

3. ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG

3.1. Khái niệm về uốn thuần túy phẳng :

Đoạn dầm được gọi là chịu uốn thuần tuý phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của dầm lực cắt bằng không (Q = 0 : trùng

với đường chuẩn) cịn mơ men uốn là một hằng số (song song với đường chuẩn).

Trong thí nghiệm để có uốn thuần túy phẳng người ta xét dầm có 2 gối khớp ở 2 đầu chịu tác dụng của 2 lực bằng nhau đặt cách đều gối (hình vẽ 7.11a).

Khi đó đoạn dầm CD (nằm trong khoảng hai lực P) sẽ chịu uốn thuần túy

phẳng vì ở đó Q = 0 cịn M = Pa = const (hình vẽ 7.11b, c).

3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm uốn thuần t phẳng :

Xét đoạn dầm thẳng chịu uốn thuần tuý phẳng như hình vẽ 7.12

B

P P

C D

P

P Q

Pa a)

b)

c) M

H×nh vÏ 7.11

(91)

Trước khi cho nó chịu uốn, ta kẻ lên mặt ngoài của dầm những đường song song với trục dầm tượng trưng cho thớ dọc và những đường vng góc với trục thanh tượng trưng cho các mặt cắt ngang. Những đường này tạo thành ơ lưới hình chữ nhật.

Sau khi cho mô men uốn Mx tác dụng, ta

thấy :

Những đường thẳng trước song song với trục dầm, sau biến dạng bị uốn cong nhưng vẫn song song với trục dầm, vì trục dầm cũng bị uốn cong. Các đường phía trên co lại, các đường phía dưới dãn ra nhưng vẫn cách đều nhau.

Các đường thẳng vng góc với trục dầm, sau biến dạng vẫn thẳng và vng góc với trục dầm.

3.2.2. Các giả thiết : Trên cơ sở quan sát biến dạng người ta đề ra các giả thiết sau :

Giả thiết tiết diện phẳng : mặt cắt ngang dầm trước phẳng và vng góc với trục dầm, sau biến dạng vẫn phẳng và vng góc với trục dầm (giả thiết Bernoulli).

Trong q trình biến dạng các thớ dọc trục khơng ép lên nhau cũng khơng đẩy nhau.

3.2.3. Lớp trung hồ, trục trung hồ :

Quan sát dầm đã biến dạng ta thấy : các thớ ở phía trên trục dầm bị co ngắn lại và các thớ phía dưới bị dãn dài ra, như vậy đi từ những lớp bị co lại đến những lớp bị dãn ra có một lớp khơng bị biến dạng, lớp đó được gọi là lớp trung hồ (lớp này có chiều dài khơng đổi) hình vẽ 7.13.

Giao tuyến của mặt cắt ngang với lớp trung hồ gọi là trục trung hồ hay đường trung hồ, hình vẽ 7.13.

Nếu coi trong q trình biến dạng mặt cắt ngang khơng thay đổi hình dáng thì đường trung hồ là một đường thẳng và có thể coi biến dạng của dầm chịu uốn thuần túy phẳng chính là sự quay của mặt cắt ngang xung quanh đường trung hồ.

Đường trung hồ chia mặt cắt ngang thành hai miền : Kéo và nén.

3.2.4. Cơng thức tính ứng suất :

Dựa vào giả thiết tiết diện ngang phẳng, ta kết luận trên mặt cắt ngang dầm chịu uốn thuần t nên chỉ có ứng suất pháp, khơng có ứng suất tiếp.

Cơng thức tính ứng suất pháp : y

J M

x x

= s

Tổng quát ta có : y J M

x x

± =

s (712)

a)

Mx Mx

b)

H×nh vÏ 7.12

Líp trung hoµ

(92)

slấy dấu (+) nếu điểm cần tính ứng suất nằm trong miền chịu kéo của tiết diện slấy dấu () nếu điểm cần tính ứng suất nằm trong miền chịu nén của tiết diện. Với : Mx : mơ men uốn tại mặt cắt ngang đang xét.

Jx : mơ men qn tính chính trung tâm.

y : khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến trục trung hồ.

Phát biểu : ứng suất pháp ở một điểm bất kỳ trên mặt cắt của dầm chịu uốn thuần

t phẳng tỷ lệ thuận với mơ men uốn và khoảng cách từ điểm đó đến trục trung hồ và tỷ lệ nghịch với mơ men qn tính của mặt cắt đối với trục trung hồ.

3.2.5. Biểu đồ ứng suất pháp, ứng suất pháp lớn nhất : Theo cơng thức (712)

Ứng suất pháp phân bố theo phương trục x vì trên một mặt cắt những điểm có y bằng nhau thì có s bằng nhau.

Ứng suất pháp phân bố theo quy luật đường thẳng (bậc nhất) theo phương trục y. Căn cứ vào đó ta vẽ được biểu đồ phân

bố ứng suất pháp theo phương trục y (hình vẽ 7.14).

Ứng suất kéo và nén có giá trị tuyệt đối lớn nhất ở trên đường biên cách xa trục trung hoà yk và yn.

Ký hiệu yk và yn là toạ độ tương ứng

của mép tiết diện chịu kéo và mép tiết diện chịu nén, thì trị số lớn nhất của ứng suất pháp bằng :

n x x n

x x min

k x x k

x x max

W M y

. J M

W M y

. J M

= =

s

= =

s

(713)

Wx k

; Wx n

: mô men chống uốn tương ứng với yk; yn.

k x k x

y J

W = với yk = ymax > 0

n x n x

y J

W = với yn = ymin < 0

Với mặt cắt có trục x là trục đối xứng : y =k y n nên :

x x min

max

W M = s =

s (715)

3.3. Mơ men chống uốn của những mặt cắt ngang thường gặp :

3.3.1. Mặt cắt hình chữ nhật :

(714)

a) b) c)

x O

y

yn

y k

b

h s=

smin

smax

yn

y k

s=

smin smax

Mx > Mx <

(93)

6 bh 2 h 12 bh y J W 2 h y 12 bh J 2 3 max x x max 3 x = = = ị ù ù ỵ ù ù ý ỹ = = Vậy : ï ï ỵ ï ï í ì = = 6 h b W 6 bh W 2 y 2 x (716) Mặt cắt hình vng có b = h = a 6 a W W 3 y

x = =

Þ 3.3.2. Mặt cắt hình trịn : 3 3 4 y x max 4 y x d 1 , 0 32 d 2 d 64 d W W 2 d y 64 d J J ằ p = p = = ị ù ù ỵ ï ï ý ü = p = = 3.3.3. Mặt cắt hình vành khăn : ( )

( 4 ) 3 ( 4 )

3 y x max 4 4 y x 1 D 1 , 0 1 32 D W W D d 2 D y 1 64 D J J a - » a - p = = ị ù ù ù ỵ ù ù ù ý ỹ = a = a - p = =

* Những mặt cắt ngang là thép chữ I, C, L, mô men chống uốn Wx, Wy tra phụ

lục 2, 3, 4, 5, 6 trong tài liệu.

4 ỨNG SUẤT TRONG DẦM UỐN NGANG PHẲNG

4.1 Ứng suất pháp :

Trên mặt cắt ngang của dầm uốn ngang phẳng, nội lực ngồi mơ men uốn Mx, cịn

có lực cắt Qy. Vì vậy, ngồi ứng suất pháp do Mơ men uốn Mx gây ra, cịn có ứng

suất tiếp do lực cắt Qy gây ra. Do chịu ảnh hưởng của ứng suất tiếp, nên mặt cắt

(94)

y J M

x x

= s

4.2 Ứng suất tiếp :

Người ta chứng minh được cơng thức tính ứng suất tiếp ở điểm bất kỳ trên mặt cắt ngang của dầm như sau :

b J

S Q

x c x y

=

t (717)

Trong đó :

Qy : lực cắt tại mặt cắt chứa điểm tính ứng suất.

Jx : mơ men qn tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hồ.

b : bề rộng mặt cắt tại điểm tính ứng suất. Sx

c

: mơ men tĩnh của phần diện tích bị cắt (diện tích giới hạn bởi đường song song với trục trung hồ đi qua điểm tính ứng suất đến mép trên hay mép dưới tiết diện) đối với trục trung hồ.

Ứng suất tiếp t cùng phương, ngược chiều với lực cắt Q

Phát biểu : trị số ứng suất tiếp t tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt của dầm tỷ lệ thuận với lực cắt và Mơ men tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hồ và tỷ lệ nghịch với Mơ men qn tính của mặt cắt và chiều rộng của mặt cắt tại điểm đang xét.

4.3. Sự phân bố ứng suất tiếp trên 1 số mặt cắt ngang thường gặp :

4.3.1. Mặt cắt hình chữ nhật :

Giả sử mặt cắt ngang dầm chịu uốn ngang phẳng là hình chữ nhật có bề rộng b, chiều cao h. Ta đi tìm quy luật phân bố của ứng suất tiếp do lực cắt Q gây ra.

Cần tính ứng suất tại một điểm A(x, y) trên mặt cắt (hình vẽ 7.15). Ta có :

12 bh J

3 x =

÷ ø ỗ

ố ổ

- +

= y

2 h 2 1 y y c

c c c

x F . y

S =

ú û ù ê

ë é

÷ ø ç

è ỉ

- +

÷ ø ỗ

ố ổ

- =

ị y

2 h 2 1 y y 2 h b Scx

ữ ữ ứ ỗ

ỗ è ỉ

- =

Þ 2

2 c

x y

4 h 2 b S

x O

y

b

h

A C

yc h

h y

tmax

t=

(95)

Vậy : ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - = ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - = ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - =

t 2

2 x y 2 2 3 y 3 2 2 y y 4 h J 2 Q y 4 h bh Q 6 12 bh y 4 h 2 b b Q (718)

Ta thấy t ® tmax khi y ® 0, khi đó :

F Q 2 3 h b Q 2 3 4 h bh Q

6 2 y y

3 y

max = = =

t (719)

Khi

2 h

y ± = t = 0

4.3.2. Mặt cắt hình trịn :

Cơng thức tính ứng suất tiếp của điểm bất kỳ có khoảng cách y đến trục trung hồ ở mặt cắt ngang hình trịn (hình vẽ 7.16)

( 2 2 )

x y 2 2 x y y R J 3 Q y 4 d J 3 Q - = ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - =

t (720)

+ Khi R 0

2 d

y= = ® t = + Khi y = 0 F Q 3 4 4 d Q 3 4 64 d d Q 12 1 y 2 y 4 2 y max = p = p = t

® (721)

với 4 d F p = 4.3.3. Mặt cắt ngang hình chữ I :

Xét dầm chịu uốn ngang phẳng có mặt cắt ngang hình chữ I (hình vẽ 7.17)

Tiết diện chữ I bao gồm, chiều dày thân chữ I là d và chiều rộng bản cánh là b.

Lấy điểm A bất kỳ trên bản bụng chữ I thì A(x,y), ta có :

2 x

x c

x y

2 d S 2 y y d S

S = - = - (722)

Với: Sx : mơ men tĩnh nửa diện tích mặt cắt chữ I đối với trục trung hồ x.

d : chiều dày thân chữ I.

y : khoảng cách từ điểm tính ứng suất tới trục trung hồ.

Cơng thức tính ứng suất tiếp tại điểm A cách trục trung hoà x một khoảng là y được tính như sau :

x A

tmax

t=

t= H×nh vÏ 7.16

y d x O y d h t A tmax tA tA

H×nh vÏ 7.17 b

(96)

ữ ứ ỗ

ố ổ

- =

t x 2

x y

y y

2 d S d J

Q

(723) Trong đó :

Jx : mơ men qn tính của mặt cắt.

Khi y = 0 (tại những điểm nằm trên trục trung hồ) thì có ứng suất tiếp đạt giá trị lớn nhất tmax

x x y y

max

J d

S Q =

t (724)

Đối với điểm C tiếp giáp giữa lịng và cánh của chữ I, nhưng thuộc phần lịng thì

ta có t

2 h

y c = - nên ta suy ra :

x

2 x

y y

c

J d

t 2 h 2 d S Q t 2

h ÷

ữ ứ ỗ

ỗ ố ổ

ỳ û ù ê ë é

- -

= ữ ứ ỗ ố ổ

- t =

t (725)

Trong đó :

h : chiều cao mặt cắt.

t : chiều dày bản cánh chữ I.

Tại điểm trên cánh của mặt cắt ở cách trục y một đoạn x có ứng suất tiếp : x

. J 2

) t h ( Q

x y x

- =

t (726)

Với : x : khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến trục y. 4.4 Ứng suất chính :

4.4.1. Khái niệm :

Một phân tố trong dầm uốn ngang phẳng, trên mặt bên có cả ứng suất pháp svà ứng suất tiếp t hình vẽ 7.18.

Người ta chứng minh rằng ở một điểm bất kỳ trong vật thể bao giờ cũng có thể tách ra một phân tố sao cho trên các mặt của nó chỉ có ứng suất pháp s, ứng suất tiếp t = 0. Phân tố đó gọi là phân tố chính, các mặt bên của phân tố chính gọi là các mặt chính, ứng suất pháp trên các mặt này gọi là ứng suất chính.

4.4.2. Xác định mặt chính và ứng suất chính :

Dựa vào cơng thức : y

. J M

x x

= s

t

s t

s

t s

t

(97)

b J

S Q

x c x y

= t

Nếu mặt chính nghiêng góc a so với mặt cắt ngang. 2

k 2 tg

2 2

tg = b Þ a = b + p s

t - =

a với k = 0, 1, 2,

Khi k = 0

2

1

b = a Þ

Khi k = 1

2 2

2

p + b = a Þ

Vậy hai mặt chính ln ln vng góc với nhau. Ứng suất trên các mặt chính được xác định :

2 2 max

2 ữ ứ + t

ử ỗ ố ổ s + s =

s ứng suất chính kéo.

2 2 min

2 ữ ứ + t

ử ỗ è ỉ s - s =

s ứng suất chính nén

smax và smin trái dấu nhau nên phân tố tồn tại một phương chính kéo và một

phương chính nén.

4.5. Dạng mặt cắt hợp lý của dầm :

Trên biểu đồ ứng suất ta thấy, các điểm càng xa trục trung hồ có ứng suất càng lớn, chứng tỏ vật liệu càng xa trục trung hồ làm việc càng nhiều.

Ở dầm chịu uốn người ta đưa vật liệu ra xa lớp trung hồ để tăng khả năng chịu lực và ít tốn vật liệu. Xét hai trường hợp sau :

Đối với dầm làm bằng vật liệu dẻo có [sk] = [sn], mặt cắt hợp lý khi có trục

trung hồ là trục đối xứng, đưa vật liệu ra càng xa trục trung hồ càng tốt, khi đó : [sk] = smax, [sn] = smin. Do vậy người ta làm mặt cắt ngang hình chữ nhật (h > b)

cho vật liệu gỗ, mặt cắt chữ I, C, C ghép cho vật liệu thép , (hình vẽ 719)

x O

y

yn

y k b

h

s=

smin

smax

H×nh vÏ 7.19 x O y

O y

x O

y

Đối với dầm làm bằng vật liệu dịn có [sn] > [sk], dạng mặt cắt hợp lý là mặt

(98)

smax < ½smin½và smax = [sk]; smin = [sn]. Nên dùng mặt cắt chữ T hay chữ I khơng

đều cánh (hình vẽ 7.20)

H×nh vÏ 7.20 x O y

x O y

s=

smin

smax

4.6. Tính độ bền dầm chịu uốn ngang phẳng :

Có ba bài tốn cơ bản :

4.6.1. Bài tốn kiểm tra bền :

Ứng suất pháp : điều kiện kiểm tra :

[ ]k

k x max max

W M

s £ =

s

[ ]n

n x max min

W M

s £ =

s

[sk] ; [sn] ứng suất cho phép của vật liệu về kéo và nén.

Nếu trục trung hoà là trục đối xứng, chỉ kiểm tra một điều kiện. Ứng suất tiếp : điều kiện kiểm tra

tmax£ [t] (729)

Kiểm tra theo lý thuyết bền về thế năng biến đổi hình dạng :

Tính : 2

2 max

1

2 ÷ ø + t

ử ỗ ố ổ s + s = s = s s2 = 0

2 2 min

3

2

2 ữ ứ + t ỗ ố æ s - s = s = s

[ ] s £ s s - s s - s s - s + s + s =

s td 1 2 2 2 3 2 1 2 2 3 3 1 (730)

4.6.2. Bài tốn chọn tiết diện :

Người ta chọn kích thước mặt cắt ngang theo ba điều kiện bền ở trên, sau đó lấy kích thước lớn nhất.

Thường chọn kích thước theo điều kiện bền về ứng suất pháp, sau đó kiểm tra theo hai điều kiện bền cịn lại.

(99)

4.6.3. Bài tốn tính tải trọng cho phép : Thực hiện tương tự bài tốn chọn tiết diện.

4.7. Các ví dụ minh hoạ :

4.7.1. Ví dụ 1 :

Kiểm tra độ bền về ứng suất pháp và ứng suất tiếp của dầm như hình vẽ 7.21a. Biết mặt cắt ngang dầm là hình chữ T, tải trọng tác dụng trên dầm gồm : P = 24KN, M = 10KNm, q = 4KN/m, ứng suất cho phép gồm : [sk] = 12KN/cm

2

, [sn]=16KN/cm

2

, [t] = 8KN/cm 2 . Kích thước mặt cắt ngang là cm

A

V A V B

B

M P

q

1m 1m 1m

C D

18KN

10KN 6KN

Q

10KNm 8KNm

0,5KNm

M a)

b)

c)

H×nh vÏ 7.21

10cm 2

2

1

0cm

x C y

4

yc

=

8

cm

x O

Bài giải :

Căn cứ vào kích thước và tải trọng đã cho, ta tính được các phản lực : VA = 10KN ; VB = 18KN.

Vẽ biểu đồ lực cắt (như hình vẽ 7.21b) và mơ men uốn (như hình vẽ 7.21c). Trên mặt cắt ngang dầm đã cho để xác định vị trí trục trung hồ, trước tiên cần xác định trọng tâm C.

Chọn hệ trục toạ độ xOy như hình vẽ, gọi trọng tâm mặt cắt ngang dầm là C có toạ độ (xc; yc)

Mặt cắt ngang dầm đã cho có trục y là trục đối xứng, để tính trọng tâm mặt cắt ngang dầm ta chỉ cần tính yc vì xc = 0.

Chia mặt cắt ngang dầm đã cho làm hai hình : * Phần bản cánh ký hiệu là hình I :

FI = 10x2 = 20cm 2

cm 11 2 2 10 y I = + =

(100)

FII = 10x2 = 20cm 2 cm 5 2 10 y I = =

Tính toạ độ trọng tâm yc của mặt cắt ngang dầm đã cho :

cm 8 20 20 5 x 20 11 x 20 F F y F y F F S y II I II II I I x c = + + = + + = = Trục trung hồ là trục X đi qua trọng tâm C(0; 8cm) và vng góc với trục đối xứng Cy. + Mơ men qn tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hồ X. 2 T T T 2 c c c

x J F . y J F . y

J = + + +

4 2

3 2

3

x 2 536 cm

2 10 x 2 x 10 12 10 x 2 2 2 4 x 2 x 10 12 2 x 10

J ữ =

ứ ỗ ố ổ - + + ữ ứ ỗ ố ổ - + = Kiểm tra độ bền về ứng suất pháp : Do mặt cắt ngang của dầm khơng đối xứng qua trục trung hồ, vật liệu làm dầm có [sk] = 12KN/cm

2

¹ [sn] = 16KN/cm 2

, nên cần phải kiểm tra dầm ở hai mặt cắt có Mx = 10KNm và Mx = 8KNm.

Mặt cắt Mx = 10KNm, ở mặt cắt này các thớ phía trên trục trung hồ chịu

kéo, các thớ phía dưới trục trung hồ chịu nén : yk = 4cm, yn = 8cm.

2 2 n max x max n max max n min cm KN 925 , 14 8 x 536 10 x 10 y J M W M - = - = = = s

[ ]n 2

2 n min cm KN 16 cm KN 925 ,

14 < s = =

s

Þ Þ Đạt yêu cầu

2 2 k max x max k max max k max cm KN 463 , 7 4 x 536 10 x 10 y J M W M - = - = = = s

[ ]k 2

2 k max cm KN 12 cm KN 463 ,

7 < s = =

s

Mặt cắt Mx = 8KNm, ở mặt cắt này các thớ phía trên trục trung hồ chịu

nén, các thớ phía dưới trục trung hồ chịu kéo : yn = 4cm, yk = 8cm. 2 2 n max x max n max max n min cm KN 97 , 5 4 x 536 10 x 8 y J M W M = = = = s

[ ]n 2

2 n min cm KN 16 cm KN 97 ,

5 < s = =

s

(101)

[ ]k 2

2 k

max

cm KN 12 cm

KN 94 ,

11 < s = =

s

Þ Þ Đạt u cầu.

Kết luận : Dầm đã cho đảm bảo điều kiện bền về kéo. Kiểm tra độ bền về ứng suất tiếp :

Mặt cắt ngang C là mặt cắt nguy hiểm nhất vì có Qmax = 18KN.

Ta có : c x x c 64 cm 3 2

8 x 8 x 2 2 y F

S = = =

Tại trục trung hồ có b = 2cm

[ ] 2

max

2 x

x max max

cm KN 8

cm KN 075 , 1 2 x 536

64 x 18 b

. J

S Q

= t < t Þ

= =

= t

Vậy dầm đã cho đảm bảo khả năng chịu lực.

4.7.2. Ví dụ 2 :

Cho dầm có mặt cắt ngang hình chữ I chịu tác dụng của tải trọng như hình vẽ 7.22a. Chọn số hiệu mặt cắt dầm chữ I, nếu biết : q1 = 4KN/m, q2 = 10KN/m,

P = 8KN với ứng suất cho phép [s] = 16KN/cm 2 , [t] = 10KN/cm 2

A

V A V B

B

P q 1

q 2

P

1 4m 1

44KN 40KN

32KN 28KN

44KN 40KN

32KN 28KN

Q a)

b)

M

c) 42KNm 72KNm 72KNm 42KNm

28KNm

H×nh vÏ 7.22

x O y

d

h

t

A

b

y A h

Bài giải :

Vẽ biểu đồ nội lực :

(102)

Ta vẽ được biểu đồ mơ men uốn (hình vẽ 7.22c) và lực cắt (hình vẽ 7.22b) Kiểm tra bền :

Chọn số hiệu mặt cắt theo điều kiện bền về ứng suất pháp : [ ] s

£ = s x max max W M Rút ra : [ ] 3 2 max

x 625 cm

16 10 x 100 M

W = =

s ³

Chọn thép I số 36 tra bảng ta có : Wx = 743cm

3

; Jx = 13380cm 4

; Sx = 423cm 3

; h = 36cm ; b = 14,5cm; t = 1,23cm ; d = 0,75cm.

Kiểm tra theo điều kiện bền về ứng suất tiếp :

[ ] 2

max 2 x x max max cm KN 10 cm KN 855 , 1 75 , 0 x 13380 423 x 44 d J S Q = t < t Þ = = = t Kiểm tra phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng : Kiểm tra tại mặt cắt C có M và Q cùng lớn. Ứng suất pháp của điểm C thuộc thân tại chỗ tiếp giáp với cánh dầm của mặt cắt sát bên phải gối A có Qy = 40KN, Mx = 42KNm

d J S Q cm KN 264 , 5 23 , 1 2 36 x 13380 10 x 42 t 2 h J M y J M x c x c 2 2 x x c = t = ÷ ø ỗ ố ổ - = ữ ứ ỗ è ỉ - = = s Trong đó : ÷ ø ç è ỉ - ÷ ø ç è ỉ - - = -

= t

2 h 2 1 t 2 h d S 2 y y d S

S c x x A A x

3 2

c

x 1 , 23 317 , 538 cm

2 36 x 2 75 , 0 423

S ữ =

ứ ỗ ố ổ - - =

Suy ra : c 2

cm KN 266 , 1 75 , 0 x 13380 538 , 317 x 40 = = t Tính các ứng suất chính tại C : 2 2 2 2 c 2 c c 1 cm KN 553 , 5 266 , 1 2 264 , 5 2 264 , 5 2

2 ÷ ø + =

(103)

2 2

c 2 c c

3

cm KN 289 , 0 266 , 1 2

264 , 5 2

2 ÷ ø + = -

ử ỗ

ố ổ - =

t + ữ ứ ỗ ố ổ s - s = s

Theo lý thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng, cơng thức (730) ta có :

1 3 3 2 2 1 2 3 2 2 2 1

td = s + s + s - s s - s s - s s

s

( ) 2 ( ) 2

2 td

cm KN 703 , 5 289 , 0 553 , 5 289 , 0 553

,

5 + - - - =

= s

Ta thấy : td [ ]k 2

cm KN 16 = s < s

Vậy thép chữ I số 36 đảm bảo yêu cầu độ bền.

5. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM

5.1. Khái niệm, phương trình vi phân của đường đàn hồi :

Cho dầm chịu uốn dưới tác dụng của lực tập trung P như hình vẽ 7.23. Khi chịu lực P, dầm bị biến dạng, trục dầm bị

uốn cong. Đường cong của trục dầm sau khi bị uốn cong được gọi là đường đàn hồi.

Nếu ta xét một điểm A (cách gốc toạ độ một đoạn là z) trên trục dầm bị uốn ngang phẳng, ta nhận thấy sau khi trục bị biến dạng điểm A chuyển vị đến điểm A’. Chuyển vị AA’ gồm hai thành phần : chuyển vị dọc trục z là w(z) và chuyển vị vng góc với trục z là y(z).

Trong thực tế chuyển vị dọc trục w(z) thường

rất bé so với chuyển vị dọc trục y(z) nên người ta thường bỏ qua. Nên ta coi AA’ cùng nằm trên đường thẳng vng góc với trục dầm.

Chuyển vị AA’ = y(z) được gọi là độ võng của dầm tại A.

Khi trục dầm chuyển vị, mặt cắt ngang tại A ln ln vng góc với trục, bị quay đi một góc, gọi là góc quay của mặt cắt, ký hiệu j. Góc quay của mặt cắt cũng là góc tạo bởi tiếp tuyến của đường đàn hồi với trục z.

Ta thấy tập hợp của độ võng trên tồn dầm chính là đường đàn hồi có phương trình y = y(z).

Vì góc quay bé, ta có thể coi cung bằng tang và do đó : j »tgj = y’(z).

Vậy đạo hàm bậc nhất của đường cong đàn hồi là góc xoay của mặt cắt dầm. 5.2. Xác định đường đàn hồi bằng phương

pháp tích phân :

Giả sử cần viết phương trình góc xoay và độ võng của dầm giản đơn AB có chiều dài l

Đường đàn hồi

P A

A'

j j

w(z)

j

y(z

)

H×nh vÏ 7.23

A B

(104)

chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q. Biết dầm có độ cứng EJx = const (hình vẽ 7.24).

Ở mặt cắt có hồnh độ z :

2

x z

2 q z 2 l q

M = - (731)

Mặt khác ta có phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi như sau : x x EJ M ' '

y = - (732)

y” : đạo hàm bậc hai của y theo z.

Tích phân hai vế của phương trình (732) ta được góc xoay j= y’(z) C dz EJ M ) z ( ' y x x + - = =

j ị (733)

Thay Mx từ (731) vào cơng thức (733) ta được :

C 3 z z 2 l EJ 2 q C dz z 2 q z 2 ql EJ

1 2 3

x 2 x + ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - - = + ữ ứ ỗ ố ổ - - =

j ị (734)

Với : C là hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên. Để có phương trình của đường đàn hồi ta lấy tích phân hai vế của (733) D Cdz dzdz EJ M D dz C dz EJ M ) z ( y x x x

x + = - + +

ú û ù ê ë é + -

= ò ò ò ò ò (735)

Hay y( z ) = ị y ' ( z ) dz + D = ị j dz + D (736) Thay (734) vào cơng thức (736) ta được : D Cz 12 z z 6 l EJ 2 q D z Cd dz 3 z z 2 l EJ 2 q y 4 3 x 3 2 x + + ÷ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - - = + + ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - -

= ị ị (737)

Với : D là hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên.

Điều kiện biên : z = 0 Þ y = 0 ; z = l Þ y = 0 Thay vào (737) ta có : z = 0 ; y = 0 Þ D = 0

z = l ; y = 0 Þ

x 3 4

3

x 24 EJ

ql C 0 Cl 12 l l 6 l EJ 2 q

y ÷ ÷ + = Û =

ứ ỗ ỗ ố ổ - - = ưThayCvDvocụngthc(7ư34)v(7ư37)tacú:

( 3 2 3 )

x x 3 3 2 x z 4 z l 6 l EJ 24 q EJ 24 ql 3 z z 2 l EJ 2 q + - = + ÷ ÷ ø ỗ ỗ ố ổ - - = j

( 3 3 4 )

x x 3 4 3 x z lz 2 z l EJ 24 q z EJ 24 ql 12 z z 6 l EJ 2 q

y ÷ ÷ + = - +

(105)

+ Tại z = 0 thì :

x 3 max

EJ 24

ql = j

+ Tại z = l thì : ( )

x 3 3

2 3

x max

EJ 24

ql l

4 l l 6 l EJ 24

q

- = + -

= j

+ Tại 2

l z = thì

x 4 4

3 3

x max

EJ 384

ql 5 2

l 2

l l 2 2

l l EJ 24

q

y =

ữ ữ ứ ỗ

ỗ ố ổ

ữ ứ ỗ ố ổ + ữ ứ ç è ỉ - =

5.3. Độ võng và góc xoay của một số dầm :

Bảng dưới đây giới thiệu độ võng lớn nhất và góc xoay lớn nhất của một vài dạng dầm và tải trọng thường gặp (hình vẽ 7.25)

Công xon lực P l

l q

l

M

ymax

P.l

3.E.Jx

q.l

8.E.Jx

M.l

2.E.Jx

jmax

P.l

2.E.Jx

q.l

6.E.Jx

M.l E.Jx

Dầm lực P l

l q

l M

ymax

P.l

48.E.Jx

5.q.l

384.E.Jx

M.l E.Jx

jmax

P.l

16.E.Jx

q.l

24.E.Jx

M.l

3.E.Jx

l

A B

0,0642 t¹i z=0,4221

jA = -M.l

6.E.Jx

jB = H×nh vÏ 7.25

Độ võng của dầm một nhịp xem bảng tra số 2 ở phụ lục.

6 BÀI TOÁN UỐN SIÊU TĨNH

6.1. Khái niệm:

Tương tự như trong các biến dạng kéo (nén) hoặc xoắn ở đây ta cũng gặp bài tốn siêu tĩnh, đó là những bài tốn mà nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học khơng thể tìm được phản lực và nội lực trong tất cả các bộ phận của hệ.

Để giải bài tốn siêu tĩnh ta phải lập thêm các phương trình biến dạng. Giải hệ gồm các phương trình cân bằng tĩnh học và các phương trình biến dạng bổ sung ta sẽ tìm được những phản lực liên kết.

Trên cơ sở nguyên tắc tổng quát nói trên, người ta đã đề ra nhiều phương pháp khác nhau để giải quyết những bài tốn cụ thể trong thực tế kỹ thuật.

6.2. Bài tập áp dụng :

(106)

Bài giải :

Dầm chỉ chịu tác dụng của tải trọng thẳng đứng nên tại các gối A, B, C chỉ xuất hiện các thành phần phản lực thẳng đứng là

VA, VB, VC.

Lấy mô men tất cả các lực đối với gối A 0 2 l 2 l 2 q l 2 V l V 0

M A = Û B + C - =

å

Û VB. l + VC. 2l – q. 2l 2

= 0 (1) Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên trục y :

Sy = 0 Û VA + VB + VC – q. 2l = 0 (2)

Do vậy cần viết phương trình biến dạng bổ sung. Để viết phương trình biến dạng ta tưởng tượng bỏ gối B và thay tác dụng của nó bằng phản lực VB chưa biết (hình vẽ

7.26b).

Tính độ võng của dầm tại điểm B do tải trọng phân bố đều q sinh ra (hình vẽ 7.26c): Tra bảng 7.25 ta có : EJ 8 , 4 l q EJ ) l 2 ( q 384 5 y 4 4 q

B = =

Tính độ võng của dầm tại điểm B do tải trọng tập trung VB sinh ra (hình vẽ 7.26d):

Tra bảng 7.25 ta có : EJ 6 l V EJ 48 ) l 2 ( V y 3 B 3 B V

B = - = -

(Dấu () biểu thị chiều VB hướng từ

dưới lên trên, tương ứng độ võng của dầm hướng lên trên).

Vậy độ võng tại gối B do tải trọng phân bố đều q và phản lực VB đồng thời gây ra

là : EJ 6 l V EJ 8 , 4 l q y y y 3 B 4 V B q B

B = + = -

Để hệ ở hình vẽ 7.26b làm việc giống hệ ở hình vẽ 7.26a thì độ võng tại B phải bằng 0 (Vì B là gối tựa). Hay 0 EJ 6 l V EJ 8 , 4 l q y y y 3 B 4 V B q B

B = + = - = (3)

b) q

V B

l l

A

V A V C

C

c) q

l y l

q B

B

A V A

C d)

V B

l l

B y B V

e)

f)

0,625ql

0,375ql

0,07ql 0,125ql

H×nh vÏ 7.26 0,375l

a)

B

q

V B

l l

A

V A V C

C A

V A V C

(107)

Từ (3) suy ra : 1 , 25 ql 8

, 4

l q 6 V B = =

Thay VB = 1,25ql vào phương trình (1) ta được :

ql 375 , 0 2

ql 25 , 1 ql 2 l

2 l V ql 2

V B

2

C =

- = -

=

Thay VB = 1,25ql và VC = 0,375ql vào phương trình (2) ta được :

VA = q. 2l VB VC = 2ql – 1,25ql – 0,375ql = 0,375ql

Vậy : VA = 0,375ql

VB = 1,25ql

VC = 0,375ql

Với các giá trị phản lực tìm được, ta áp dụng phương pháp vẽ nhanh và vẽ được biểu đồ lực cắt (hình vẽ 7.26e), biểu đồ mơ men uốn (hình vẽ 7.26f) của dầm siêu tĩnh.

LÝ THUYẾT :

1. Thế nào là dầm chịu uốn ngang phẳng. Cho ví dụ.

2. Trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn có những thành phần nội lực gì? Nội lực này khác với trong kéo (nén) đúng tâm, cắt và xoắn như thế nào?

3. Trình bày quy ước dấu và quy tắc tính nội lực trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn, cho ví dụ cụ thể.

4. Biểu đồ nội lực trong dầm chịu uốn là gì? Trình bày cách vẽ biểu đồ nội lực bằng cách viết biểu thức Q(z), M(z) cho từng đoạn dầm.

5. Phát biểu và giải thích liên hệ vi phân giữa cường độ của tải trọng phân bố, lực cắt và mơ men uốn.

6. Trình bày cách vẽ nhanh biểu đồ M và Q, cho ví dụ cụ thể.

7. Thế nào là uốn thuần túy phẳng? Trình bày ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm uốn thuần t phẳng.

8. Thế nào là ứng suất pháp, ứng suất tiếp trên mặt cắt của dầm chịu uốn ngang phẳng. Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất tiếp theo chiều cao mặt cắt ngang và viết cơng thức tính ứng suất tiếp lớn nhất cho mặt cắt hình chữ nhật, hình trịn và hình chữ I.

9. Thế nào là ứng suất chính? Trình bày phương pháp xác định mặt chính và ứng suất chính?

10. Trình bày dạng mặt cắt hợp lý của dầm chịu uốn. Hãy so sánh ứng suất pháp lớn nhất và ứng suất tiếp lớn nhất của 3 dầm chịu lực như nhau, có cùng diện tích mặt cắt ngang F, một dầm hình vng, hai dầm hình chữ nhật có h = 1,2b và h = 1,5b.

(108)

12. Thế nào là đường đàn hồi, độ võng, góc xoay? Trình bày cách tính độ võng, góc xoay của dầm giản đơn chịu tải trọng phân bố đều q, có chiều dài l bằng phương pháp tích phân. Trường hợp nào nên áp dụng phương pháp này?

BÀI TẬP :

1. Tính mơ men uốn và lực cắt tại các mặt cắt A, B của các dầm cho trên hình vẽ 7.27. Biết P = 1000daN, M = 2000daNcm, q = 50daN/cm, a = 1m

q

H×nh vÏ 7.27

a a a a a

P M

A B

P

d) P q

a)

a a

M q P

A B

M

q P

b)

a a

A

B

a a a q a a

P M

A B

P

c) P

2. Tính mơ men uốn và lực cắt tại các mặt cắt C, D của các dầm cho trên hình vẽ 7.28. Biết P1 = 2000daN, P2 = 3000daN, P3 = 4000daN, M1 = 5000daNcm,

M2 = 8000daNcm, q = 100daN/cm, a = 2m

q a)

2a a

a a q a a

q

a a a a a a

q P

M 2 M 1

C D

P 3 a b)

P 1

P 1 P 2 P 3

M 2 M

C

D

q

a a a a a a

q P

M 2

M 1 P

a c)

P 1 q

q

C D

H×nh vÏ 7.28

3. Vẽ biểu đồ mô men uốn và lực cắt của các dầm cho trên hình vẽ 7.29. Biết P1 = 1000daN, P2 = 2000daN, P3 = 4000daN, M1 = 5000daNcm, M2 = 10000daNcm,

(109)

M 1

P 2 M P 3

q P 1

A B C D

E

2a a

a a

a)

M 1

P 2 M 2

P 3 q

P 1

A B

C

D

E

2a a

a a

b)

a a a a a a

q P

M 2 M 1

A B

C D E

H G

P 3 F

a c)

P 1

a a a a a a

q P

M 2 M 1

A B C D E G H

P 3 F

a d)

P 1

q

a a a a a a

q P

M 2 M 1

A B C D E G H

P 3 F

a e)

P 1

a a a q a a a

P 2

M 2 M 1

A B C D E G H

P 3 F

a f)

P 1

q q

a a a a a a

q P M 2 M 1

A B C

D E

G P 3

F g)

P 1

a a a q a a a

P 2

M 2 M 1

A B

C D

E G

P 3

F h)

P 1 q q

(110)

4. Kiểm tra độ bền của các dầm cho trên hình vẽ 7.29. Biết [sk] = 21KN/cm 2

, [sn] = 27KN/cm 2 , [t] = 10KN/cm 2 . Kích thước mặt cắt là cm. Mặt cắt ngang dầm

được quy ước như sau :

Bài tập 3a, 3b có mặt cắt ngang dầm là hình 7.30a. Bài tập 3c, 3d có mặt cắt ngang dầm là hình 7.30b. Bài tập 3e, 3f có mặt cắt ngang dầm là hình 7.30c. Bài tập 3g, 3h có mặt cắt ngang dầm thép chữ I số 60

20cm 4

4

20

cm

20cm

40

cm

20cm 4

4

20

cm

4

H×nh vÏ 7.30

a) b) c)

5. Cho dầm siêu tĩnh (hình vẽ 7.31) chịu tác dụng của các tải trọng P = 2000daN, q = 100daN/cm, M = 5000daNcm, khoảng cách a = 2m. Dầm có độ cứng EJx khơng

đổi.

a. Vẽ biểu đồ mơ men uốn và lực cắt của dầm.

b. Chọn số hiệu mặt cắt của dầm chữ I theo điều kiện bền về ứng suất pháp, biết [s] = 2100daN/cm 2

e)

3a

P a H×nh vÏ 7.31

4a

c) q

4a

M

d) q

3a

P a 2a

b) q P

a) P q

(111)

CHƯƠNG 8: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP

1. KHÁI NIỆM CHUNG

Trong các chương trước ta đã nghiên cứu các biến dạng cơ bản : Kéo (nén) đúng tâm, xoắn thuần túy và uốn ngang phẳng. Tuy nhiên trong thực tế có những chi tiết máy hay bộ phận cơng trình chịu tác dụng của nhiều biến dạng cơ bản. Ví dụ : một trục truyền vừa chịu xoắn vừa chịu uốn, một tường chắn vừa chịu nén vừa chịu uốn, ta nói các chi tiết trên chịu lực phức tạp.

Tổng qt nhất, khi thanh chịu lực phức tạp, nội lực trên mặt cắt ngang bất kỳ có thể có 6 thành phần nội lực Nz, Mx, My, Qx, Qy, Mz.

1.2. Phương pháp tính :

Để giải các bài tốn thanh chịu lực phức tạp ta phải sử dụng phương pháp cộng tác dụng, phương pháp này dựa vào nguyên lý độc lập tác dụng của các lực. Theo nguyên lý độc lập tác dụng khi một thanh chịu tác dụng của nhiều lực, ta coi tác dụng của các lực là độc lập lẫn nhau, nghĩa là kết quả tác dụng của một lực khơng ảnh hưởng đến kết quả của các lực khác. Ví dụ : một thanh chịu xoắn đồng thời chịu uốn, khi tính xác định xoắn ta xem trục thanh vẫn khơng bị uốn cong, cịn khi tính uốn ta xem các mặt cắt ngang vẫn khơng bị xoay đi. Sau khi tính tác dụng riêng lẻ của các biến dạng cơ bản một cách độc lập với nhau ta cộng các kết quả lại.

Muốn áp dụng phương pháp cộng tác dụng, thanh phải thoả mãn hai điều kiện sau Vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi, quan hệ giữa ứng suất s và biến dạng elà quan hệ bậc nhất.

Biến dạng và chuyển vị của thanh nhỏ.

Khi tính các thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền của thanh là nhỏ so với các thành phần nội lực khác. Vì vậy khi tính tốn ta bỏ qua khơng tính đến lực cắt.

2. UỐN XIÊN

Thanh chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh nội lực chỉ có Mx và

My (đã bỏ qua Qy và Qx).

Ví dụ :

(112)

y

x O

z

y

x

y

x A

Px

P y P

y

x O

z

Mx

M y

y

x A

Do Mx g©y

y

x A

Do M y g©y

l

l a)

b)

c)

H×nh vÏ 8.1

Phân lực P thành hai thành phần Px và Py nằm trên các trục Ox và Oy.

Px gây uốn phẳng đối với trục trung hồ y (gây ra mơ men uốn My).

Py gây uốn phẳng đối với trục trung hồ x (gây ra mơ men uốn Mx).

Vậy uốn xiên là tổng hợp của hai uốn phẳng đồng thời.

2.2 Ứng suất :

Ta có : Px = P. cosa

Py = P. sina

Với a : là góc hợp bởi đường tác dụng của lực P với trục x.

Các lực P, Px, Py gây ra cho mặt cắt ngang ở cách mặt cắt đặt tải trọng P một đoạn

là z những mơ men uốn như sau : M = P. z

Mx = Py. z = P. z. sina (81)

My = Px. z = P. z. cosa

Từ (81) ta có : Mx = M. sina

(113)

Tại điểm A (x, y) :

Mx gây ra ứng suất pháp : . y

J M '

x x ± =

s (82)

My gây ra ứng suất pháp : x

J M ' '

y y

± =

s (83)

Tổng hợp lại ta có cơng thức tính ứng suất tại điểm A :

x J M y J M "

'

y y x

x ±

± = s + s =

s (84)

Dấu (+) hay dấu () tùy theo điểm tính ứng suất nằm ở vùng kéo hay nén do mơ men uốn đó sinh ra. Ví dụ điểm A trên hìnhvẽ 8.1, đối với Mx điểm A nằm ở vùng

nén, còn đối với My điểm A nằm trong vùng kéo.

Nên : A

y y A x

x

A x

J M y J M

+ -

= s

Với những thanh mặt cắt ngang có hai trục đối xứng (hình chữ nhật, hình chữ I,…) thì điểm B (hình vẽ 8.1) có ứng suất lớn nhất (Mx > 0, My > 0), điểm C có ứng

suất nhỏ nhất (Mx < 0, My < 0). Ta có :

y y x

x y

y x

x max

W M W M x J M y J M

+ =

s (85)

y y x x y

y x

x min

W M W M x

. J M y J M

- - = -

- =

s (86)

Wx, Wy : mơ men chống uốn của mặt cắt đối với trục x và trục y. 2.3. Điều kiện bền và ba bài tốn cơ bản :

2.3.1 Điều kiện bền của thanh:

[ ] [ ] ỵ ý

ỹ s Ê s

s Ê s

n min

k max

(87) Với : [sk], [sn] ứng suất cho phép khi kéo, nén của vật liệu.

2.3.2 Ba bài tốn cơ bản :

2.3.2.1. Kiểm tra bền :

Xác định mặt cắt nguy hiểm, mặt cắt có Mx = Mmax, My = Mmax.

Tính smax , smin.

Kiểm tra điều kiện bền (87). 2.3.2.2. Chọn kích thước mặt cắt :

Cần xác định hai đại lượng chưa biết Wx, Wy.

(114)

[ ] s £ + = s

y y x x max

W M W M

ta biến đổi thành :

[ ] s £ ÷ ÷ ø ç

ç è æ

+ y y x x x

M W W M W

1

Đặt :

y x

W W k =

Ta có : ( x + y ) £ [ ] s

x

M k M W

1

Suy ra :

[ ] s + ³ x y

x

M k M

W (88)

Với mặt cắt hình chữ nhật :

b h

k = và thường lấy k = 1,5 ¸2,0. Với mặt cắt hình chữ I : k = 8 ¸ 10

Với mặt cắt hình chữ C : k = 6 ¸ 8.

Khi đã biết k thì ta chọn được mặt cắt ngang của dầm. 2.2.2.3. Xác định tải trọng cho phép :

Tùy trường hợp cụ thể để thiết lập cơng thức và tìm tải trọng cho phép. 2.4. Các ví dụ minh hoạ :

2.4.1. Ví dụ 1 :

Thanh gỗ có mặt cắt ngang hình chữ nhật có b = 14cm, h = 22cm chịu tác dụng của hai lực P (hình vẽ 8.2). Xác định trị số cho phép của lực P, biết ứng suất cho phép của gỗ là [s] = 1,2KN/cm 2 . Chiều dài thanh gỗ l = 300cm.

Bài giải :

Dưới tác dụng của các lực đã cho, mặt cắt tại ngàm là mặt cắt nguy hiểm. Phân tích lực P theo trục x và y ta có giá trị mơ men uốn lớn nhất :

a =

a +

a

= P . sin 450 P . sin

2 300 3 sin P 2

l 3 sin 2

l P sin l P M x

a =

a -

a

= P . cos 150 . P . cos 2

300 cos

. P 2

l cos 2

l P cos l P M y

Trong đó : 1 , 5714 57 , 53 0 7

11

tga = = Þ a =

Þ sina = 0,8437 ; cosa = 0,5369

Ta có : 3

2 2

x cm

3 3388 6

22 x 14 6

bh

(115)

3 2

2

y cm

3 2156 6

14 x 22 6

hb

W = = =

a

y

x O

z

y

x

y

x

l

l P

P

y

x O

P

a

P

H×nh vÏ 8.2

Từ điều kiện bền : s = + £ [ ] s

y y x x max

W M W M

Hay : 1 , 2

3 2156

cos P 150 3

3388 sin P 450

£ a +

a

KN 677 , 2 2156

5369 , 0 x 150 x 3 3388

8437 , 0 x 450 x 3

2 , 1

P =

+ £

Þ

Vậy : [P] = 2,677KN.

2.4.2. Ví dụ 2 :

Thanh chịu tác dụng của các lực (hình vẽ 8.3). Biết P1 = 16KN, P2 = 12KN, chiều

dài thanh l = 140cm, ứng suất cho phép [s] = 12KN/cm 2 . Xác định kích thước mặt cắt ngang thanh nếu biết b = 0,6. h

Bài giải :

Căn cứ vào tải trọng đã cho ta vẽ được biểu đồ Mx và My hình vẽ 8.3

Qua biểu đồ ta thấy :

Đoạn thanh BC chịu uốn ngang phẳng. Đoạn thanh AB chịu uốn xiên.

(116)

cm KN 1120 140

x 16 x 2 1 2

l P

M y = 1 = =

y C

z y

x

y

l

l P 1

H×nh vÏ 8.3 x

x

P 2 P 2 .l

P 1 2 l A

B I

Điểm I tại ngàm là điểm có ứng suất lớn nhất. Để xác định kích thước mặt cắt ta áp dụng cơng thức :

[ ] s + ³ x y x

M k M W

Với

6 10 h 6 , 0

h b h

k= = =

3

x 295 , 555 cm

12

1120 6 10 1680

W =

+ ³

Þ

Mặt khác ta có :

10 h 6

h h 6 , 0 6 bh W

3 2 2

x = = =

Suy ra : 295 , 555 h 295 , 555 . 10 14 , 35 cm 10

h 3 3

= ³

Þ ³

(117)

3. UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (HOẶC NÉN)

Thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh nội lực có Mx và Nz hoặc My và Nz hoặc Mx, My và

Nz. Ví dụ cột điện như hình vẽ 8.4, trọng lượng bản thân P và thành

phần thẳng đứng của lực F (lực căng dây điện) làm cho cột chịu nén, còn thành phần nằm ngang của lực F làm cho cột chịu uốn. Nếu thành phần nằm ngang của lực F khơng nằm trong mặt phẳng qn tính chính trung tâm thì Mx ¹ 0 và My ¹ 0, nếu F nằm trong

mặt phẳng quán tính chính trung tâm thì hoặc Mx = 0 và My ¹ 0

(hoặc Mx¹0 và My = 0).

3.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang :

Do đã bỏ qua lực cắt nên trên mặt cắt ngang thanh chỉ có ứng suất pháp slà do :

Ứng suất pháp do lực dọc gây ra :

F N z

N =

s

Ứng suất pháp do mô men Mx gây ra : y

J M

x x ) x (

M =

s

Ứng suất pháp do mô men My gây ra : . x

J M

y y )

y (

M =

s

Vậy ứng suất pháp trên mặt cắt ngang thanh là : x

. J M y J M F N

y y x

x z

+ +

=

s (89)

Trong đó :

Dấu của Nz, Mx, My lấy như quy ước ở các chương trước.

x, y : toạ độ điểm tính ứng suất.

Để tránh nhầm lẫn trong kỹ thuật ta có thể dùng cơng thức sau để tính ứng suất : x

. J M y J M F

N

y y x

x z

± ±

± =

s (810)

Trong đó :

Nz : lấy dấu (+) khi là lực kéo, lấy dấu () khi là lực nén.

Mx, My : lấy dấu (+) hay () theo quy ước.

x, y : lấy dấu (+) hay () tùy theo điểm tính ứng suất ở vùng kéo hay nén.

Nếu mặt cắt ngang thanh có 2 trục đối xứng có thể tính ứng suất lớn nhất và nhỏ nhất cho riêng từng trường hợp :

F

P

(118)

Uốn đồng thời kéo :

y y x

x z

min max

W M W

M F

N

± ±

=

s (811)

Uốn đồng thời nén :

y y x

x z

min max

W M W

M F

N

± ±

- =

s (812)

3.3. Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản :

3.3.1. Điều kiện bền:

Tương tự như trong uốn xiên, điều kiện bền của thanh chịu uốn đồng thời kéo (nén) là :

[ ] [ ] ỵ ý

ỹ s Ê s

s Ê s

n min

k max

(813) Với : [sk], [sn] ứng suất cho phép khi kéo, nén của vật liệu.

Nếu vật liệu thanh có [sk] = [sn] thì chỉ cần kiểm tra theo smax hoặc smin tùy theo

ứng suất nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn. Từ điều kiện bền (813) ta có 3 bài tốn cơ bản :

3.3.2. Ba bài tốn cơ bản:

3.3.2.1 Bài tốn kiểm tra bền :

Xác định mặt cắt nguy hiểm, mặt cắt có Mx = Mmax, My = Mmax, Nz = Nmax

Tính smax , smin.

Kiểm tra điều kiện bền (813). 3.3.2.2. Chọn kích thước mặt cắt :

Khi chọn kích thước mặt cắt ngang, khó khăn gặp phải là cả F, Wx, Wy đều chưa

biết, vì vậy thường giải quyết bài tốn này như sau : Bỏ qua

F N z

để chọn kích thước mặt cắt ngang như uốn xiên. Điều chỉnh lại kích thước tùy theo giá trị của

F N z

. Kiểm tra bền theo điều kiện (813)

3.3.2.3. Xác định tải trọng cho phép :

Khơng nêu được phương pháp chung để giải bài tốn này. Tùy từng trường hợp cụ thể, theo điều kiện bền (813) sẽ thiết lập cơng thức để tính tải trọng cho phép.

3.3.3. Ví dụ :

Chọn số hiệu thép chữ I cho dầm AB chịu tác dụng của các tải trọng P= 2000daN, q = 200daN/m như hình vẽ 8.5 (Tải trọng nằm trong mặt phẳng zAy), ứng suất cho phép [s] = 2100daN/cm 2 .

(119)

Phân lực P thành 2 thành phần : Pz = P. cos30

0

= 1732,051daN Py = P. sin30

0

= 1000daN P

A B

q

2m 2m

30°

H×nh vÏ 8.5

1200 100

M daNm

N daN 1732,051

a)

b)

c)

z y

x y C

Pz : gây ra nén trong đoạn thanh CB, biểu đồ lực dọc vẽ trên hình 8.5c.

Py và q gây ra uốn, biểu đồ mơ men uốn Mx vẽ trên hình 8.5b.

Trước hết ta dựa vào Mx max = 1200daNm để sơ bộ chọn số hiệu thép chữ I.

Từ cơng thức (812) bỏ qua Nz ta có : 3 2

max x

x 57 , 143 cm

2100 10 x 1200 ]

[ M

W = =

s ³

Tra bảng 3 (thép cán định hình chữ I) ta được : I số 14 có Wx = 81,7cm

3

; F = 17,4cm 2 Kiểm tra lại theo điều kiện bền (813) :

2 2

x x z

max

cm daN 245 , 1369 7

, 81

10 x 1200 4

, 17

051 , 1732 W

M F

N

= +

- = +

- = s

2 2

x x z

min

cm daN 331 , 1568 7

, 81

10 x 1200 4

, 17

051 , 1732 W

M F

N

- = -

- = s

So sánh ta thấy min 2 [ ] 2

cm daN 2100 cm

daN 331 ,

1568 < s = =

s

Kết luận : Chọn thép chữ I số 14 là đạt yêu cầu chịu lực. 3.4. Nén lệch tâm :

3.4.1. Khái niêm :

(120)

3.4.2 Ứng suất :

Nếu ta dời lực P có toạ độ (xk, yk) về trọng tâm mặt cắt

ngang ta được một thành phần lực dọc Nz = P và một mơ

men uốn Mu = Nz.e

Nếu ta phân tích Mu thành hai thành phần mơ men đối

với hai trục Ox và Oy, ta có : Mx = Nz. yk

My = Nz. xk

Khoảng cách điểm từ tâm O của mặt cắt đến điểm đặt lực K gọi là độ lệch tâm, ký hiệu là e. Thay tất cả các giá trị trên vào cơng thức (89) ta được: ÷ ÷ ÷ ÷ ø ỗ ỗ ỗ ỗ ố ổ + + = + + = s Þ F J x x F J y y 1 F N x J x N y J y N F N y k x k z y k z x k z z Mặt khác : F J i F J

i 2 x x

x

x = Þ =

F J i F J

i y = y ị 2y= y

Vy: ữ ữ ứ ỗ ç è æ + + =

s 2

y k 2 x k z i x x i y y 1 F N (814) Trong đó : x ; y toạ độ diểm cần tính ứng suất.

xk ; yk toạ độ diểm đặt lực P.

ix ; iy bán kính qn tính của mặt cắt ngang đối với trục x, y

Để tránh nhầm lẫn có thể dùng cơng thức sau để tính ứng suất : ÷ ÷ ø ỗ ỗ ố ổ - =

s 2

y k 2 x k z i x x i y y 1 F N (815) Khi mặt cắt ngang có hai trục đối xứng thì : y y x x z min max W M W M F N ± ± - =

s (816)

3.4.3. Trục trung hồ :

Trên trục trung hồ ứng suất pháp bằng khơng

H×nh vÏ 8.6

x y

(121)

Từ công thức (814) suy ra : 1 2 0 0 2

0

= +

+

y k x

k

i x x i

y y

(817) Với : xo ; yo toạ độ điểm nằm trên trục trung hoà.

t:

ù ù ỵ ù ù ý ỹ

- =

k y k x

x i a

y i b

(818)

Phương trình trục trung hồ là b y a x 0 0

=

+ (819)

Từ phương trình trục trung hồ ta thấy:

Vì a và b ln ngược dấu với xk, yk nên trục trung hồ khơng đi qua góc phần

tư chứa điểm đặt lực (khi x0 = 0 thì y0 = b, khi y0 = 0 thì x0 = a, hai điểm này ở khác

phía của xk, yk). Nếu điểm đặt lực nằm trên một trục nào đó thì trục trung hồ song

song với trục kia (nếu điểm đặt lực nằm trên trục x thì yk = 0, b = ¥, phương trình

trục trung hồ trở thành x0 = a, đó là phương trình đường thẳng song song với trục y)

Vị trí trục trung hồ phụ thuộc vào điểm đặt lực (xk ; yk) mà khơng phụ thuộc

vào trị số của lực (vì trong 2 cơng thức 817 và 818 hồn tồn khơng có Nz).

Khi điểm đặt của tải trọng di chuyển trên một đường thẳng khơng qua gốc toạ độ thì đường trung hồ tương ứng sẽ quay quanh một điểm cố định nào đó.

Nếu điểm đặt tải trọng di chuyển trên đường thẳng qua gốc toạ độ thì trục trung hồ dịch chuyển song song với chính nó. Điểm đặt đến gần gốc toạ độ thì trục trung hồ dịch ra xa gốc toạ độ và ngược lại.

3.4.4. Lõi mặt cắt :

3.4.4.1. Định nghĩa: Lõi mặt cắt là khu vực giới hạn được vị trí của điểm đặt lực P để tại đó chỉ phát sinh ứng suất nén.

3.4.4.2.Cách vẽ :

Cho trục trung hoà tiếp xúc với chu vi mặt cắt sao cho toàn bộ mặt cắt nằm ở một bên của đường trung hồ, cắt trục x tại a , trục y tại b.

Thay a, b vào (818) tìm được xk ; yk đó là một điểm biên của lõi mặt cắt.

Lập trình tự trên nhiều lần ta được các điểm nằm trên biên của lõi, nối các điểm biên lại ta được lõi mặt cắt.

3.4.4.2.1. Lõi mặt cắt hình trịn :

Cho trục trung hồ tiếp xúc với chu vi mặt cắt hình trịn tại A (hình vẽ 8.7)

Ta có : a =¥ (do x = 0)

x A

tmax

t=

t= H×nh vÏ 8.7

M

d

y

d

(122)

2 d b = -

Hình trịn có :

4 d i i x = y =

Thay a, b, ix, iy vào (818) suy ra :

k

y 16 d d

- =

- ;

k

x 16

d - = ¥ Rút ra : xk = 0

8 d d 16

d y

2

k = =

Vậy M(0, d/8) là một điểm trên biên của lõi mặt cắt.

Do tính chất đối xứng suy ra lõi mặt cắt là hình trịn tâm O có bán kính d/8. 3.4.4.2.2. Lõi mặt cắt hình chữ nhật :

* Cho trục trung hồ tiếp xúc với cạnh AB hình vẽ 8.8, ta có : a = ¥

2 h b = -

Thay a, b vào cơng thức (818) ta có :

k y

x i - = ¥

k x

y i h

- = -

Với hình chữ nhật ta có :

ï ï ỵ ï ï í ì

= =

12 b F J i

12 h F J i

y y

x x

Nên :

k

y 12

h h

=

6 h y k = Þ

k

x 12

b - =

Ơ ịxk = 0

Điểm M(0 , h/6) là một điểm biên của lõi.

Do tính chất đối xứng, suy ra N(0, h/6) cũng là một điểm biên của lõi. * Cho trục trung hồ trùng với cạnh BC khi đó :

x

H×nh vÏ 8.8 y

h

b

h h

A B

C D

E N

(123)

a = b/2 b = ¥

Tương tự trên ta có điểm E (b/6, 0) là một điểm biên của lõi. Điểm F( b/6, 0) cũng là một điểm biên của lõi.

Vậy hình thoi NFME là lõi cũa mặt cắt hình chữ nhật.

3.5. Ví dụ :

Cột bằng gạch có mặt cắt ngang hình chữ nhật cạch là 70cm và 50cm, chiều cao cột 300cm. Trọng lượng riêng của gạch là 16KN/m 3 , cột chịu tác dụng của tải trọng P = 120KN đặt ở mặt cắt đỉnh cột với toạ độ điểm đặt lực xk = 15cm, yk = 0 (hình vẽ 8.9).

Kiểm tra độ bền của cột, biết : [sn] = 100N/cm 2

, [sk] = 10N/cm 2

. Vẽ biểu đồ ứng suất ở mặt cắt nguy hiểm.

Khi yk = 0, xác định xk để trên mặt cắt nguy hiểm chỉ có ứng suất

nén.

Bài giải :

* Kiểm tra độ bền của cột :

+ Cột gạch vừa chịu nén đúng tâm do trọng lượng bản thân G, vừa chịu nén lệch tâm do lực P gây ra.

+ Trọng lượng của cột gạch : G = 0,7x0,5x3x16 = 16,8KN

+ Mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt chân cột, ở đó có : Lực dọc : N = G P = 16,8 120 = 136,8KN

Mơ men uốn đối với trục x, y do lực P đặt lệch tâm gây ra Mx = P. yk = 0

My = P. xk = 120x15 = 1800KNcm

+ Diện tích mặt cắt ngang của cột gạch : F = 70x50 = 3500cm 2

+ Mô men chống uốn đối với trục y là :

3

2

y 40833 cm

6 70 50

b h

W = = =

+ Trên cạnh CD của mặt cắt nguy hiểm sẽ phát sinh ứng suất smax

2

3

y y z max

cm N 996 , 40833

10 1800 3500

10 , 136 W

M F N

= +

- = + - = s

+ Trên cạnh BA của mặt cắt nguy hiểm sẽ phát sinh ứng suất smin

G P

A B C

D

x O

y

smax

smin

s = H×nh vÏ 8.9

(124)

2

3

y y z

cm N 168 , 83 40833

10 1800 3500

10 , 136 W

M F N

- = -

- = - - = s

Vậy : smax = 4,996N/cm 2

< [sk] = 10N/cm

½smin½ = 83,168N/cm 2

< [sn] = 100N/cm 2

Thanh đảm bảo điều kiện bền. * Biểu đồ ứng suất :

+ Ta thấy : sA = sB = smin

sC = sD = smax

+ Các điểm nằm trên đường song song trục y có ứng suất bằng nhau. + Biểu đồ ứng suất trên đường song song trục x như hình vẽ.

+ Trục trung hồ song song trục y tương ứng với điểm có s = 0. * Xác định xk để trên mặt cắt nguy hiểm chỉ có ứng suất nén.

+ Nếu bỏ qua trọng lượng bản thân của cột, cột chỉ chịu lực P tác dụng, để trên mặt cắt chỉ có ứng suất nén cần đặt lực P trong phạm vi lõi mặt cắt.

+ Do cịn trọng lượng bản thân G của cột nên xác định xk theo điều kiện

sC = sD = 0

cm , 13 10 120

40833

3500 10 , 136 x

0 40833

x 10 120 3500

10 , 136

3

k

k 3

c

= =

Þ

= +

- = s

Khi yk = 0 thì 13,3cm £ xk£ 13,3cm, trên tồn mặt cắt nguy hiểm chỉ có ứng

suất nén.

4. UỐN ĐỒNG THỜI XOẮN

Thanh chịu uốn đồng thời xoắn khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh có Mx, My

và Mz trong đó có thể có một thành phần mơ men uốn bằng khơng.

Ta thường gặp uốn đồng thời xoắn trong các chi tiết máy, trong cầu dầm tiết diện hình hộp

4.2. Uốn đồng thời xoắn thanh có mặt cắt ngang trịn :

Khi mặt cắt trịn khơng có uốn xiên, ta ký hiệu mơ men uốn Mu. Mơ men uốn Mu

sinh ra ứng suất pháp còn Mz sinh ra ứng suất tiếp, hai ứng suất này khơng cùng

phương nên khơng thể thành lập cơng thức tính ứng suất như trong uốn xiên hay uốn đồng thời kéo hoặc nén.

Ứng suất pháp do mơ men uốn Mu sinh ra trên mặt cắt ngang hình trịn có giá trị

(125)

x u min

max

W M ± =

s (1)

Ứng suất tiếp do mơ men xoắn sinh ra có giá trị lớn nhất ở những điểm nằm trên chu vi mặt cắt.

x z 0

z max

W 2

M W

M = =

t (2)

Tại điểm có

min max

s tmax phân tố trạng thái ứng suất phẳng, cần phải kiểm tra

điều kiện bền. Từ smax và tmax (viết gọn là s và t) ta tính được các ứng suất chính s1

và s3, thay các giá trị ứng suất này vào công thức (429) và (430) ta được công thức

kiểm tra bền như sau :

Theo lý thuyết bền ứng suất tiếp cực đại (lý thuyết bền thứ ba) :

[ ] s £ t + s =

s td 3 2 4 2 (820)

Thay svà t ở công thức (1) và (2) vào công thức (820) ta được:

[ ] s £ + =

s 2 u 2 z

x 3

td M M

W 1

(821) Theo lý thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (lý thuyết bền thứ tư):

[ ] s £ t + s =

s td 4 2 3 2 (822)

Thay svà t ở công thức (1) và (2) vào công thức (822) ta được:

[ ] s £ +

=

s 2 z

2 u x 4

td M

4 3 M W

1

(823)

4.3. Ví dụ :

Tính đường kính một trục thép có gắn một bánh truyền động dây đai ở giữa. Bánh được truyền động với dây đai theo phương nằm ngang với sức căng các nhánh đai là T1 = 400daN, T2 = 200daN (hình

vẽ 8.10). Trục và bánh đai có trọng

lượng Q = 400daN, trục truyền cơng suất W = 20 mã lực với số vịng quay n = 160 vịng/phút, chiều dài trục l = 2m, vận tốc góc w = 71620W/n. Ứng suất cho phép của vật liệu làm trục [s] = 600daN/cm 2 .

Bài giải :

Cơng thức tính mơ men xoắn theo cơng suất và vận tốc góc. daNcm

8953 160

20 x 71620 n

W

M z =w = =

T 1

T 2 d

H×nh vÏ 8.10 Q

l

(126)

Lực nằm ngang tác dụng lên trục là : S = T1 + T2 = 400 + 200 = 600daN

Hợp của lực nằm ngang và lực đứng ở giữa trục là : daN 11 , 721 400

600 Q

S

F = + 2 = 2 + 2 =

Mô men uốn do lực F sinh ra ở mặt cắt giữa dầm (mặt cắt nguy hiểm nhất): daNcm

36056 4

200 x 44 , 721 4

l F

M u = = =

Theo lý thuyết bền thứ ba ta có :

[ ] s £ + =

s 2 u 2 z

x 3

td M M

W 1

Hay

[ ]

3 2

2 2

z 2 u

x 61 , 92 cm

600 8953 36056

M M

W = + =

s + ³

Mặt khác : 3

3

cm 92 , 61 32

d

³ p

Suy ra : d ³8,576cm Chọn d = 8,6cm

LÝ THUYẾT :

1. Thế nào là thanh chịu lực phức tạp? Trong điều kiện nào thì có thể dùng phương pháp cơng tác dụng để tính tốn thanh chịu lực phức tạp?

2 Thế nào là thanh chịu uốn xiên? Cho ví dụ?

3. Viết và giải thích cơng thức tính ứng suất pháp tại điểm bất kỳ, ứng suất pháp lớn nhất và nhỏ nhất trên mặt cắt ngang thanh khi mặt cắt có hai trục đối xứng.

4. Cách kiểm tra bền của thanh chịu uốn xiên? Nêu cách chọn kích thước mặt cắt ngang của thanh chịu uốn xiên?

5. Thế nào là thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời? Cho ví dụ?

6. Cách giải bài tốn chọn mặt cắt của thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời? 7. Thế nào là thanh chịu nén lệch tâm? Viết cơng thức tính ứng suất pháp trong nén lệch tâm?

8. Lõi mặt cắt là gì? Cách xác định lõi mặt cắt?

9. Thế nào là thanh chịu uốn đồng thời xoắn? Cho ví dụ? Trình bày cách kiểm tra bền của thanh?

(127)

1. Kiểm tra độ bền của dầm giản đơn, chiều dài l = 2m, dầm đặt trên mặt phẳng nghiêng với mặt nằm ngang góc a = 30 0 (hình vẽ 8.11), tải trọng tác

dụng ở giữa mặt cắt dầm P = 50KN. Biết dầm là thép chữ I số 24a và có ứng suất cho phép [s] = 2100daN/cm 2 .

2. Xác định bề rộng b của mặt cắt ngang thanh (hình vẽ 8.12) nếu [s] = 2100daN/cm 2 .

a. Biết chiều cao mặt cắt ngang h = 20cm.

b. Biết h = 2b.

3. Xác định tải trọng lớn nhất q của một dầm cơng son chịu tải trọng phân bố đều q trên một nửa chiều dài dầm (hình vẽ 8.13). Biết [s] = 2100daN/cm 2 .

4. Xác định kích thước mặt cắt ngang tại mặt cắt nguy hiểm (hình vẽ 8.14) biết [s] = 2100daN/cm 2 , P = 3000daN, a = 2m, h = 5b/3.

5. Tường chắn đất bằng bê tơng có chiều cao h = 8m, dày b = 1,5m. Trọng lượng riêng của bê tơng g = 21KN/m 3 ,

áp lực của đất lên 1 m chiều dài tường là P = 80KN đặt ở 1/3 chiều cao tường kể từ mặt đất trở lên (hình vẽ 8.15).

Xác định smax , smin ở mặt cắt ngang chân tường (mặt cắt A – B).

Muốn smax = 0 thì chiều dày b của tường bằng bao nhiêu?

x O

z

H×nh vÏ 8.16 P

P

A B

P h

h

1,2m

1m

H×nh vÏ 8.15 y

P l

2

l

x

y 30° P

H×nh vÏ 8.11

h x

y q 45°

2m 2m

H×nh vÏ 8.12 q = 50KN/m

b

2m 2m

H×nh vÏ 8.13 q

x y q 80°

I sè 20a

H×nh vÏ 8.14

P P

a 2a

b

h x

y 30°

(128)

6. Thanh dài 3m, mặt cắt ngang là hình chữ nhật cạnh đứng 18cm, cạnh nằm ngang 8cm, thanh chịu tác dụng của lực dọc P1 = 50KN và lực ngang P2 = 20KN (hình vẽ 8.16).

Vẽ biểu đồ lực dọc và mơ men uốn của thanh. Tính smax , smin ở mặt cắt nguy hiểm nhất.

Vẽ biểu đồ ứng suất cho mặt cắt nguy hiểm.

7. Cột chịu lực nén P = 500KN đặt lệch tâm trên trục x với xk = 2a = 24cm. Ở giữa cột kht rỗng một hình trụ trịn có

đường kính đáy là 2a. Mặt cắt ngang cột hình chữ nhật có các cạnh là 4a và 6a (hình vẽ 8.17).

Tính ứng suất ở các điểm A, B, C, D của mặt cắt chân cột.

Vẽ biểu đồ ứng suất của mặt cắt chân cột.

Với xk bằng bao nhiêu thì ở chân cột chỉ có ứng suất nén.

CHƯƠNG 9: ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM

1. KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN

Xét một thanh thẳng dài và mảnh một đầu ngàm, một đầu tự do chịu tác dụng của lực nén đúng tâm P (hình vẽ 9.1a). Lực P có giá trị tăng dần bắt đầu từ 0… Trạng thái ban đầu của thanh là dạng thẳng, thanh chịu nén đúng tâm

P

l

P

l

P

l

R R

P P P

a) b) c)

Thanh ổn định Thanh ổn định

H×nh vÏ 9.1

P =P th P >P th

P < P th

Thanh ë trạng thái cân tới hạn

P

B C D

A

x y

K

4a

6a 2a a

(129)

Gây cho thanh một nhiễu động chẳng hạn bằng một lực ngang R đủ nhỏ để đưa thanh ra khỏi vị trí cân bằng, thanh bị cong đi. Nếu bỏ lực R đi thì có thể xảy ra các khả năng sau :

Khi lực P cịn nhỏ hơn một giá trị giới hạn xác định nào đó thì thanh trở về dạng thẳng ban đầu. Ta nói thanh ở trạng thái cân bằng ổn định (hình vẽ 9.1a).

Khi P tăng đến một giá trị nhất định thì thanh khơng trở về dạng thẳng ban đầu được nữa hình vẽ 9.1b. Trạng thái cân bằng này được gọi là trạng thái tới hạn của thanh. Trị số lực P ứng với trạng thái tới hạn được gọi là lực tới hạn, ký hiệu Pth.

Khi P lớn hơn Pth thì thanh khơng trở về trạng thái ban đầu mà tiếp tục bị cong

thêm là trạngthái mất ổn định hình vẽ 9.1c. Vậy khi bị mất ổn định, thanh khơng giữ được dạng cân bằng ban đầu.

Vậy : ổn định của kết cấu là khả năng duy trì, bảo tồn được dạng cân bằng ban đầu dưới tác dụng của tải trọng.

Biến dạng của thanh có kèm theo sự uốn cong của trục thanh dưới tác dụng của lực nén dọc trục được gọi là hiện tượng uốn dọc. Sự xuất hiện của uốn dọc, gây nguy hiểm cho khả năng làm việc của kết cấu. Vì vậy khi tính tốn cần cho lực nén đúng tâm P đặt vào thanh phải thoả mãn điều kiện : P £Pth.

2. LỰC TỚI HẠN VÀ ỨNG SUẤT TỚI HẠN KHI THANH LÀM VIỆC TRONG GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

2.1. Lực tới hạn Euler :

Nhà bác học Euler đã làm bài toán xác định lực tới hạn của thanh thẳng hai đầu khớp, có hình dạng và kích thước mặt cắt ngang khơng đổi, chịu nén đúng tâm dưới tác dụng của lực P tại gối di động (hình vẽ 9.2).

Do các thanh có hai đầu liên kết khác nhau nên cơng thức tính lực tới hạn Euler một cách tổng quát như sau :

( ) 2 min 2

th

l

J E P

m p

= (91)

Trong đó :

E : mơ đun đàn hồi khi kéo, nén của vật liệu.

Jmin : mơ men quán tính chính trung tâm nhỏ nhất của mặt cắt

ngang thanh.

l : chiều dài thanh đang xét

m : hệ số xét tới liên kết ở hai đầu thanh, xác định theo bảng sau :

P

l

(130)

P S¬

đồ

Thanh hai đầu liên kết khớp

Thanh đầu ngàm

đầu tự

Thanh đầu ngàm

đầu khớp

Thanh hai đầu liên kết ngàm

Thanh đầu ngàm đầu

ngm trt Liên kết hai đầu

l

P

l

P P

l

P

l

P

l

m 1 2 0,7 0,5 1

2.2 Ứng suất tới hạn:

Khi P = Pth thì thanh vẫn cịn thẳng, nên thanh vẫn chịu nén thuần túy.

Ứng suất tới hạn trước khi thanh bị mất ổn định, được xác định theo cơng thức :

( ) ( ) 2 2 min 2

2 min 2

th th

l

i E F

. l

J E F

P

m p = m

p = =

s (92)

Trong đó :

F J i min = min

F J i 2 min = min Þ

imin : bán kính qn tính nhỏ nhất của mặt cắt ngang.

Đặt :

min max

i l m =

l : gọi là độ mảnh lớn nhất của thanh.

Từ (82) suy ra : 2

max 2 th

E .

l p =

s (93)

2.3. Phạm vi sử dụng cơng thức Euler :

Trên cơ sở vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi :

Ta có : 2 tl

max 2 th

E

s £ l p =

s (94)

Hay:

tl max

E s p ³

(131)

Đặt :

tl 0

E s p =

l : gọi là độ mảnh giới hạn. (96)

Điều kiện áp dụng của công thức Euler :

lmax³ l0 (97)

Ví dụ : Thép CT3 l0 = 100

Gỗ thơng l0 = 75

Gang thường l0 = 80

Thanh có l ³ l0 thanh có độ mảnh lớn.

Thanh có l1£ l < l0thanh có độ mảnh vừa.

Thanh có l < l1 thanh có độ mảnh bé (khơng phải kiểm tra ổn định).

Thường l1 = 40.

2.4. Ví dụ :

Tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn của cột bằng thép CT3 có mơ đun đàn hồi

E = 2,1.10 4 KN/cm 2 , mặt cắt ngang hình chữ I số 22a. Cột có liên kết khớp ở hai đầu, biết chiều dài thanh l = 3m.

Bài giải :

Thép chữ I số 22a tra bảng phụ lục ta có : F = 32,8cm 2 ; imin = iy = 2,5cm

Vì thanh hai đầu liên kết khớp nên m = 1. Độ mảnh lớn nhất của thanh :

120 5

, 2

300 x 1 i

l

min

max = =

m = l

Thép CT3 có độ mảnh giới hạnl0 = 100.

Do lmax = 120 > l0 = 100 nên áp dụng cơng thức Euler để tính :

Ứng suất tới hạn :

2 2

4 2

2 max 2 th

cm KN 393 , 14 120

10 x 1 , 2 x E

= p

= l p = s

Lực tới hạn :

Pth = sth. F = 14,393. 32,8 = 472,09 KN.

3. TÍNH ỨNG SUẤT TỚI HẠN CỦA THANH NGỒI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI

3.1. Cơng thức tính:

Khi độ mảnh của thanh nhỏ hơn độ mảnh giới hạn (l < l0) không thể áp dụng

(132)

Cơng thức Iaxinsky là cơng thức thực nghiệm được dùng khá phổ biến đối với các thanh có độ mảnh vừa (l1 <l <l0) ứng suất tới hạn được tính :

sth = a b.l (98)

và : Pth = sth. F

Trong đó : a, b hằng số phụ thuộc vật liệu của thanh.

Ví dụ :

Thép CT3 có : a = 3360kg/cm 2

; b = 14,7kg/cm 2 . Gỗ a = 293kg/cm 2 ; b = 1,94kg/cm 2 . Với thanh có độ mảnh bé (l £ l1) thì :

sth = s0

s0 = sch : nếu vật liệu dẻo

s0 = sb : nếu vật liệu dịn.

3.2 Ví dụ :

Tính lực tới hạn, ứng suất tới hạn ở ví dụ trước nếu chiều dài l = 2,25m. Bài giải :

Độ mảnh lớn nhất của thanh :

90 5

, 2

225 x 1 i

l

min

max = =

m = l

Do lmax = 90 < l0 = 100 vì thế cần tính ứng suất tới hạn theo cơng thức Iaxinsky

sth = a b.l = 3360 14,7. 90 = 2040 kg/cm 2

. và : Pth = sth. F = 2040. 32,8 = 66912kg = 669,12KN

So sánh với kết quả ở ví dụ trước ta thấy : Khi l = 3m thì lmax = 120 ; Pth = 472,09 KN

Khi l = 2,25m thì lmax = 90 ; Pth = 669,12KN

Nghĩa là khi l giảm thìl giảm và lực tới hạn tăng một cách đáng kể.

4. TÍNH TỐN ỔN ĐỊNH CỦA THANH NÉN THEO QUY PHẠM

4.1. Điều kiện ổn định :

Điều kiện bền của thanh chịu nén đúng tâm :

[ ] n

F P

s £ =

s (99)

(133)

[ ]n F

P s £ =

s (910)

Trong đó :

[s]ođ : ứng suất cho phép về ổn định

[ ]

od th od

k s =

s (911)

Với : kơđ : hệ số an tồn về ổn định; kơđ = 2 ¸4 đối với thép.

Để thuận lợi cho tính tốn, ta lập :

[ ] [ ]n 1

od

< s s =

j : gọi là hệ số giảm ứng suất cho phép. Vậy : [ ] n

F P

s j £ =

s (912)

Hay : [ ]n F

N

s j £ =

s (913)

Với j được tra theo bảng

Bảng tính hệ số j phụ thuộc vào độ mãnh l và loại vật liệu

Trị số j đối với

Độ mảnhl Thép số 4, 3, 2 Thép số 5 Gang Gỗ

0 1,00 1,00 1,00 1,00

10 0,99 0,98 0,97 0,99

20 0,96 0,95 0,91 0,97

30 0,94 0,92 0,81 0,93

40 0,92 0,89 0,69 0,87

50 0,89 0,86 0,57 0,80

60 0,86 0,82 0,44 0,71

70 0,81 0,76 0,34 0,60

80 0,75 0,70 0,26 0,48

90 0,69 0,62 0,20 0,38

100 0,60 0,51 0,16 0,31

110 0,52 0,43 0,25

120 0,45 0,36 0,22

130 0,40 0,33 0,18

(134)

150 0,32 0,26 0,14

160 0,29 0,24 0,12

170 0,26 0,21 0,11

180 0,23 0,19 0,10

190 0,21 0,17 0,09

200 0,19 0,16 0,08

4.2. Ba bài tốn cơ bản :

4.2.1. Kiểm tra ổn định :

Tính độ mảnh l.

Dựa vào l, tra bảng ở trên để tìm hệ số giảm ứng suất cho phép j. Nếu Fng = Ftt thì kiểm tra điều kiện ổn định

[ ]n

ng F

N

s j £ =

s (914)

Nếu Fng > Ftt thì kiểm tra cả điều kiện ổn định và điều kiện bền.

Điều kiện ổn định : [ ]n ng

. F

N

s j £ = s

Điều kiện bền : [ ]n

tt

. F

N s £ =

s (915)

Với : Fng : diện tích ngun của mặt cắt ngang khơng trừ các lỗ khoan,

Ftt : diện tích thực tế của mặt cắt ngang đã trừ các lỗ khoan,

4.2.2. Xác định tải trọng cho phép :

Nếu Fng = Fth ; từ (914) Þ N = P £ j. [s]n. Fng

Nếu Fng > Ftt thì : từ (914) Þ N1 = P £ j. [s]n. Fng

từ (915) Þ N2 = P £ [s]n. Ftt

Chọn N = min {N1 ; N2}

4.2.3. Xác định kích thước mặt cắt :

[ ]n

ng

. N F

s j

³ (916)

Vì : Fng, j chưa biết nên tính theo phương pháp đúng dần.

+ Chọn j1

+ Thay j1 vào (916) tính Fng, chọn kích thước mặt cắt ngang.

(135)

Nếu j1» j2 thì ngừng q trình tính tốn, ta chọn j = j1.

Nếu j1¹ j2 thì ta có thể lấy

2

2 + j

j = j

4.3. Các ví dụ minh hoạ :

4.3.1. Ví dụ 1 :

Chọn số hiệu thép chữ I cho thanh dài l = 2m có liên kết khớp ở hai đầu thanh trong cả hai mặt phẳng của trục x và y. Biết lực nén P = 230KN, vật liệu thanh là thép CT2 có [s]n = 14KN/cm

2

. Bài giải :

+ Giả định j = 0,5. Ta có :

[ ]

2 n

ng 32 , 857 cm

14 x 5 , 0

230

N

F = =

s j ³

Tra bảng thép chữ I, chọn I số 22a có : F = 32,8cm 2 ; imin = iy = 2,5cm

Độ mảnh lớn nhất của thanh, do thanh hai đầu liên kết khớp nên m = 1

80 5

, 2

200 x 1 i

l

min

max = =

m = l

Tra bảng ở trên ta có : j = 0,75 > j= 0,5. Nên tính lại.

+ Giả định , 625

2 75 , ,

2

= + = j + j = j Ta có :

[ ]

2 n

ng 26 , 3 cm

14 x 625 , 0

230 .

N

F = =

s j ³

Tra bảng thép chữ I, chọn I số 20 có : F = 26,8cm 2 ; imin = iy = 2,07cm

Độ mảnh lớn nhất của thanh, do thanh hai đầu liên kết khớp nên m = 1

62 , 96 07 , 2

200 x 1 i

l

min

max = =

m = l

Tra bảng ở trên ta có cách tính j như sau : Vớil = 90 j = 0,69

Với l = 96,62 j = x Vớil = 100 j = 0,6

Suy ra : x ( 96 , 62 90 ) 0 , 63 90

100 6 , 0 69 , 0 69 , 0

x - =

- - -

=

(136)

4.3.2. Ví dụ 2 :

Xác định lực nén cho phép của cột gỗ cao l = 2m. Mặt cắt ngang hình chữ nhật cạnh 10cm và 20cm. Trên thanh có kht một lỗ trịn đường kính d = 4cm xun suốt chiều rộng thanh (hình vẽ 9.3). Biết E = 10 5 kg/cm 2 , [s]n = 100kg/cm

2

. Bài giải :

Diện tích nguyên của mặt cắt ngang thanh : Fng = 10x20 = 200cm

2

.

Diện tích thực tế của mặt cắt ngang thanh tại chỗ khoét : Ftt = 10x(20 4) = 160cm

2

Thanh tiết diện hình chữ nhật nên bán kính qn tính nhỏ nhất imin = 0,289. b = 0,289x10 = 2,89cm

Do Fng > Ftt nên cần xác định lực nén theo hai điều kiện :

Theo điều kiện ổn định : Ta có : P £ j. [s]n. Fng

* Độ mảnh lớn nhất của thanh được xác định :

min max

i l m = l

Do thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do nên m = 1

408 , 138 89

, 2

200 x 2 i

l

min

max = =

m = l

* Hệ số giảm ứng suất cho phép j (tra bảng ở trên)

Vớil = 130 j = 0,18

Với l = 138,408 j = x

Vớil = 140 j = 0,16

Suy ra : x ( 138 , 408 130 ) 0 , 163 130

140

16 , 0 18 , 0 18 , 0

x - =

- - -

=

Vậy j= 0,163

* Lực cho phép theo điều kiện ổn định : P £ 0,163x100x200 = 3260kg

Theo điều kiện bền :

P £ [s]n. Ftt = 100x160 = 16000kg

Vậy lực nén cho phép của cột gỗ :

[P] = min{3260; 16000} = 3260kg = 32,6KN

P

x y

l =

2m

20cm

10

(137)

5. MẶT CẮT HỢP LÝ CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM

Mặt cắt hợp lý là mặt cắt vừa đảm bảo an tồn, vừa tiết kiệm được vật liệu. Vì vậy mặt cắt có dạng hình vng, hình trịn, hình đa giác đều là mặt cắt hợp lý.

Để các mơ men qn tính chính càng lớn thì càng tốt, nên người ta thường làm các mặt cắt rộng như : hình vng rỗng, hình vành khăn, hoặc ghép từ thép góc, thép chữ I, chữ C, tuy nhiên để đảm bảo an tồn cịn phải tính tốn đến ổn định cục bộ và các điều kiện khác.

LÝ THUYẾT :

1. Mơ tả hiện tượng mất ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm, từ đó nêu lên định nghĩa lực tới hạn.

2. Lực tới hạn là gì? ứng suất tới hạn là gì? Phạm vi sử dụng cơng thức Ơle. 3. Điều kiện ổn định của thanh chịu nén và ba bài tốn cơ bản.

4. Vì sao khi chọn mặt cắt của thanh chịu nén theo điều kiện ổn định phải dùng phương pháp đúng dần? Trình bày nội dung của phương pháp đúng dần.

BÀI TẬP :

Cho kết cấu thanh làm bằng thép có chiều dài l, chịu tác dụng của lực P, liên kết ở hai đầu thanh theo hai phương x và y hình vẽ 9.4.

Chọn số hiệu của thanh nếu biết : thanh làm bằng thép chữ I vật liệu thanh là thép CT3, l = 4m, P = 500KN, [s]n = 20KN/cm

2

.

Tính lực tới hạn của thanh nếu biết : l = 3,5m; thanh làm bằng thép chữ I số 24a có mơ đun đàn hồi E = 2,1.10 6 KN/cm 2

Kiểm tra ổn định của thanh nếu l = 3m, P = 400KN, mặt cắt ngang thanh hình vành khăn có đường kính ngồi D = 20cm, đường kính trong d = 16cm, bằng thép CT5 có [s]n=30KN/cm 2

P

l

P

l

P

l

P

l

a) b) c) d)

(138)

CHƯƠNG 10: TẢI TRỌNG ĐỘNG

1. KHÁI NIỆM

Trong các chương trước ta đã nghiên cứu cách tính các thanh dưới tác dụng của tải trọng tĩnh. Các tải trọng này có giá trị tăng dần và liên tục từ khơng đến trị số cuối cùng của nó rồi giữ khơng đổi theo thời gian, nên gây ra lực qn tính khơng đáng kể, có thể bỏ qua trong tính tốn.

Trong thực tế ta thường gặp các bộ phận cơng trình hay chi tiết máy chịu tác dụng của các tải trọng động, đó là những tải trọng biến đổi theo thời gian, tải trọng va chạm, chúng gây ra lực qn tính đáng kể trong vật thể. Ví dụ, một vật nặng được kéo lên có gia tốc bởi dây cáp, khi đó lúc tính dây cáp khơng những phải kể đến trọng lượng của vật nặng mà cịn phải kế đến lực qn tính của vật, trong trường hợp này dây cáp chịu tác dụng của tải trọng động, dễ dàng thấy rầng dây nguy hiểm hơn so với trường hợp nó treo vật nặng đó đứng yên. Tác dụng của quả búa rơi xuống đầu cọc khi đóng cọc, là ví dụ về tải trọng động gây ra do va chạm.

Dưới tác dụng của tải trọng động ứng suất, biến dạng, chuyển vị, thay đổi theo thời gian. Ở cùng thời điểm xét, nếu ký hiệu Sđ là kết quả tác dụng của tải trọng

động, St là kết quả tác dụng của chính tải trọng ấy, ta có mối liên hệ :

Sđ = St. kđ (101)

Trong đó : kđ : hệ số động.

Qua cơng thức (101), ta thấy St đã được nghiên cứu ở các chương trước, do vậy

nghiên cứu tải trọng động thực chất là thành lập các hệ số động (kđ) cho từng loại tải

trọng động thường gặp.

2. TÍNH THANH CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỨNG CĨ GIA TỐC

Giả sử vật nặng P (hình vẽ 10.1a) được kéo lên theo phương thẳng đứng với gia tốc khơng đổi a bởi một dây cáp có trọng lượng riêng g với diện tích mặt cắt ngang F.

Gọi Nd lực dọc trong dây ở mặt cắt cách vật một

khoảng là z (hình vẽ 10.1b). Theo nguyên lý D'Alambert (Đalămbe) các lực thực sự tác dụng lên phần đang xét là

Trọng lượng vật nặng P. Trọng lượng đoạn dâyg.Fz.

Đặt thêm vào hệ :

Lực qn tính của vật ngược chiều với gia tốc a và có trị số : a

g P F 1qt =

l

v a

P

z

P N đ

g.F

Hình vẽ 10.1 a)

(139)

Lực quán tính của đoạn dây : a g

F F 2qt = g z

Tổng hai lực qn tính đó là : a

g F P F qt + g z

=

Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên trục z ta có : Nđ – P g.Fz – F

qt

= 0

Û Nd = P + g.Fz + F qt = P + g.Fz + a

g F P + g z

( ) ữ ữ

ứ ỗ ỗ ố æ

+ g

+ = Û

g a 1 F P

N d z (1)

Nếu a = 0 tức là ở trạng thái tĩnh ta có :

Nd = P + g.Fz (2)

Thay (1) và (2) vào cơng thức (101) rút ra : g

a 1 k đ = +

Û (102)

Nếu gọi st là ngsuttnhtimtctangxột,ngsutngtiú:

ữ ữ ứ ỗ

ỗ ố æ

+ s = s

g a 1

t đ

Trong đó : z

F P F

F

P z

t = + g

g + =

s (Fz = F.z)

Nếu bỏ qua trọng lượng của dây cáp thì :

F P

t=

s Khi z = l,st đạt giá trị lớn nhất : l

F P

max

t = + g

s và điều kiện bền của dây là :

sđmax = kđ smax£[s] (103)

Ta nhận thấy rằng khi kéo vật lên nhanh dần đều và thả xuống chậm dần đều 1

g a 1

k đ = + > , cịn khi kéo vật lên chậm dần đều và thả vật xuống nhanh dần đều thì

1 g a 1

k đ = + <

3. VA CHẠM THẲNG ĐỨNG

(140)

cầu, Do tác dụng của va chạm mà nội lực, ứng suất, của hệ đàn hồi thay đổi đột ngột.

Để tính tác dụng của va chạm người ta cịn giả thiết rằng sau khi va chạm vật gây va chạm và vật va chạm gắn liền với nhau và chuyển động cùng vận tốc.

3.2. Cơng thức tính :

Khi tính tác dụng của va chạm để áp dụng công thức (101), trước tiên cần xác định hệ số động. Xét hệ đàn hồi một bậc tự do là một lị xo đặt nghiêng với phương thẳng đứng một góc a (hình vẽ 10.2). Hệ bị một khối m đang chuyển động với vận tốc v theo phương của lò xo va chạm vào. Sau khi va chạm, điểm va chạm có chuyển độngDd.

Cơng của ngoại lực P = mg bao gồm : Động năng : mv 2

2 1

Độ giảm thế năng : P. cosa Dd

Giả sử khơng có mất mát năng lượng thì tổng cơng

ở trên tích luỹ trong hệ đàn hồi dưới dạng thế năng biến dạng đàn hồi U. Theo cơng thức (212) A U P l

2

= = D ta có

d d .

P 2 1 U= D

Do đó : d d d

2

. P 2 1

cos P mv 2

D =

D a

+ (1)

Từ công thức (101) suy ra : Pd = kđ. P = kđ.mg ; Dd = kđ Dt. Thay Pd,Dd vào (1) t

đ đ

t đ 2

. k mg k 2 1 k cos mg mv

2

D =

D a +

0 g

v k cos 2 k

t 2 đ 2

đ =

D - a -

Û (2)

Phương trình (2) là phương trình để xác định hệ số kđ. Giải phương trình này và

lấy nghiệm dương ta có :

t 2 2

đ

. g

v cos

cos k

D + a +

a

= (104)

Trong đó :

v : vận tốc vật va chạm ngay trước lúc va chạm

P = mg a

(141)

Dt : chuyển vị tĩnh tại điểm va chạm theo phương tác dụng của lực va chạm

đặt tĩnh tại đó sinh ra. Trường hợp trên hình vẽ 10.2 :

c cos P

t

a =

D với c là độ cứng

của lị xo (lực làm cho lị xo co hoặc dãn một đơn vị chiều dài)

a : góc nghiêng của lị xo và vận tốc vật gây va chạm với phương thẳng đứng Nếu tại điểm va chạm trên hệ đàn hồi có đặt sẵn một trọng lượng Q, ví dụ trọng lượng thu gọn của hệ về điểm va chạm thì cơng thức tính hệ số động là :

ữ ứ ỗ

ố ổ

+ D + a +

a =

P Q 1 g

v cos

cos k

t 2 2

đ (105)

Các trường hợp đặt biệt :

Khi phương va chạm là thẳng đứng (hình vẽ 10.3), a=0,cosa=1cụngthctớnhhsngcú dng:

ữ ứ ỗ

ố ổ

+ D + + =

P Q 1 g

v 1

1 k

t 2

đ (106)

Nếu vật gây ra va chạm rơi tự do từ độ cao h thì v 2 = 2gh và :

÷ ø ç

è æ

+ D + + =

P Q 1

h 2 1

1 k

t

đ (107)

Khi phương va chạm nằm ngang (hình vẽ 10.4) a = 90 0 , cosa=0cụngthctớnhhsngcúdng:

ữ ứ ỗ

ố ổ

+ D =

P Q 1 g

v k

t

đ (108)

3.3. Ví dụ :

3.3.1. Ví dụ 1 :

Vật nặng có trọng lượng P = 400daN rơi tự do từ độ cao h xuống giữa dầm giản đơn khẩu độ l = 2m. Dầm làm bằng thép chữ I số 20a. Khi va chạm độ võng ở mặt cắt giữa dầm đo được 0,25cm (hình vẽ 10.5).

Xác định chiều cao rơi của vật khi có kể và khơng kể trọng lượng bản thân dầm.

Kiểm tra độ bền của dầm khi có kể trọng lượng bản thân dầm

h

P Q H×nh vÏ 10.3

P Q v

H×nh vÏ 10.4 P

l

2 l

h

(142)

Biết [s] = 2100daN/cm 2 ; E = 2,1.10 6 daN/cm 2

Bài giải :

* Xác định chiều cao rơi h:

Thép chữ I số 20a tra bảng 3 ta có: Jx = 2030cm 4

; Wx = 203cm 3

; q = 22,7daN/m

Độ võng tĩnh (Khi vật nặng P đặt tĩnh tại giữa nhịp của dầm, xem lại Chương 7§5.3 hình vẽ 7.25) ta có :

cm 0156 , 0 2030 x 10 x 1 , 2 x 48 200 x 400 EJ 48 l P y 6 3 x 3 max

t = = = =

D Hệ số động : 026 , 16 0156 , 0 25 , 0 k t d đ = = D D = Tính chiều cao h khi khơng kể trọng lượng bản thân dầm : 0156 , 0 h 2 1 1 026 , 16 h 2 1 1 k t đ + + = Û D + + = Û h = 1,753cm Tính chiều cao h khi có kể trọng lượng bản thân dầm : daN 7 , 22 2 x 7 , 22 x 2 1 ql 2 1

Q= = =

÷ ø ỗ ố ổ + + + = ữ ứ ỗ ố ổ + D + + = 400 7 , 22 1 0156 , 0 h 2 1 1 026 , 16 P Q 1 h 2 1 1 k t đ

Û h = 1,853cm

(143)

2 x

x x t

cm daN 522 , 98 203 x 4

200 x 400 W

. 4

l P W

M

= =

s

Ứng suất động :

sđ = kđ st = 16,026x98,522 = 1578,916 daN/cm 2

Ứng suất tổng cộng :

s= sbt + sđ = 5,591 + 1578,916 = 1584,507 daN/cm 2

Mặt khác [s] = 2100daN/cm 2 So sánh ta thấy s < [s], vậy dầm đã cho đảm bảo điều kiện bền.

3.3.2. Ví dụ 2 :

Dầm mút thừa bằng thép chữ I số 22a (hình vẽ 10.6). Một vật có trọng lượng P = 200daN rơi tự do từ độ cao h = 8cm xuống đầu tự do của dầm. Bỏ qua trọng lượng bản thân dầm, tính ứng suất pháp lớn nhất trên dầm cho hai trường hợp.

Ở đầu tự do khơng có lị xo.

Ở đầu tự do có đặt một lị xo độ cứng c = 100daN/cm. Trọng lượng bản thân của lị xo và bộ phận giữ nó là Q = 200daN.

Biết E = 2,1.10 6 daN/cm 2

Bài giải :

Thép chữ I số 22a tra bảng 3 ta có: Jx = 2790cm 4 ; Wx = 254cm 3

* Trường hợp ở đầu tự do của dầm khơng có lị xo:

Mmax = P.l1 = 200x300 = 60000daNcm

Ứng suất tĩnh do trọng lượng P sinh ra :

2 x

max t

cm daN 221 , 236 254

60000 W

M

= =

= s

Độ võng tĩnh tại đầu tự do do P sinh ra:

cm 819 , 0 ) 300 500 ( x 2790 x 10 x 1 , 2 x 3

300 x 200 )

l l ( EJ 3

l P

6 2 1

x 2 1

t = + = + =

D

Hệ số động :

532 , 5 819 , 0

8 x 2 1 1 h 2 1 1 k

t

đ = + + =

D + + =

Ứng suất do va chạm : sđ = kđ st = 5,532x236,221 = 1306,696daN/cm

P

l = 5m

H×nh vÏ 10.6

l 1 = 3m

(144)

* Trường hợp ở đầu tự do của dầm có lị xo: Độ võng tĩnh tại đầu tự do do P sinh ra:

cm 819 , 2 100 200 819

, 0 c P ) l l ( EJ 3

l P

1 x 2 1

t = + + = + =

D

Hệ số động :

959 , 2 200 200 1 x 819 , 2

8 x 2 1

1 P Q 1

h 2 1

1 k

t

=

ữ ứ ỗ

è ỉ

+ +

+ = ÷ ø ỗ

ố ổ

+ D + + =

Ứng suất động do lực P sinh ra :

sđ = kđ st = 2,959x236,221 = 698,998daN/cm 2

Ứng suất do trọng lị xo và bộ phận giữ nó sinh ra:

2 x

1 x

x lx

cm daN 221 , 236 254

300 x 200 W

l P W M

= =

s

Ứng suất tổng cộng :

s= sđ + slx = 698,998 + 236,221 = 935,219daN/cm 2

LÝ THUYẾT :

1. Phân biệt tác dụng tĩnh và tác dụng động của tải trọng? Cho ví dụ? Cơng thức tổng qt để tính tác dụng động của tải trọng theo tác dụng tĩnh của nó.

2. Thành lập cơng thức tính hệ số động cho thanh chuyển động thẳng đứng với gia tốc khơng đổi. Khi nào hệ số động nhỏ hơn 1.

3. Va chạm là gì? Viết và giải thích cơng thức tính hệ số động cho trường hợp va chạm đứng và va chạm ngang.

4. Vì sao khi đặt lị xo ở vị trí va chạm của tải trọng lại làm giảm đáng kể hệ số động khi va chạm?

BÀI TẬP :

1. Xác định đường kính cần thiết d của dây cáp dùng để kéo vật nặng Q = 5000daN đi lên nhanh dần với gia tốc khơng đổi a = 3m/s 2 . Biết ứng suất cho phép của dây cáp là [s] = 800daN/cm 2 , bỏ qua trọng lượng bản thân dây cáp.

2. So sánh ứng suất xuất hiện trên mặt cắt ngang của thanh thép trịn đường kính d = 4cm khi vật có trọng lượng Q = 50KN đặt tĩnh lên đầu thanh và khi trọng lượng Q rơi tự do từ độ cao h = 40cm lên đầu thanh (hình vẽ 10.7).

3. Vật nặng P = 100daN rơi dọc theo thanh thép xuống đĩa cứng B và

h

l =

60

cm

(145)

gây ra va chạm kéo đối với thanh AB (hình vẽ 10.8). Xác định độ cao rơi cho phép của vật nặng với điều kiện ứng suất kéo trong thanh không được vượt quá 2100daN/cm 2 . Biết mô đun đàn hồi khi kéo E = 2.10 6 daN/cm 2 .

4. Xác định ứng suất pháp lớn nhất và độ võng lớn nhất của dầm (hình vẽ 10.9) khi va chạm. Biết I số 12, P = 100daN; E = 2.10 6 daN/cm 2 , h = 10cm. Bỏ qua trọng lượng dầm.

5. Xác định chuyển vị ngang động của điểm B (hình vẽc 10.10). Biết các thanh có mơ đun đàn hồi E, mơ men qn tính J. Bỏ qua biến dạng nén của đoạn AC

P l

2 = 2m

l

h

x y H×nh vÏ 10.9

a a

a

v P

H×nh vÏ 10.10

h

d = 3cm

A

B

l =

m

(146)

MỘT SỐ BẢNG TRA PHỤ LỤC

Bảng 1 : Trọng tâm và diện tích của một số hình

Tên hình Hình x y Diện tích

Tam giác

3 h

2 bh

4 1

hình trịn

p

3 r

p

3 r

2 r p

Bán nguyệt

p

3 r

2 r p

2 1

parabol

8 a

5 h

3 ah

Parabol

5 h

3 ah

Giới hạn

bởi parabol 4

a

10 h

3 ah

Quạt

a a sin r

(147)

Bảng 2 : Lực cắt phản lực gối tựa mô men uốn và độ võng của dầm một

nhịp.

Sơ đồ

Lực cắt và phản lực gối tựa (A

và Q)

Mô men uốn (Mx)

Độ võng (fx)

1 2 3 4

Dầm công xôn

B = P Qx = P

Mx = Px

MB = P.l EJ

l P f

3 A =

B = q.l Qx = q.x

2 x q M

2

x =-

2 l q M

2

B =-

EJ

l q f

4

A =

2 l q

B=

2 x q

Q x

x =-

l x q q x =

l

x q M

3

x =-

6 l q M

2

B =-

EJ 30

l q f

4 A =

Dầm trên hai gối tựa

2 P B A = =

2 P Q x = ±

Khi

2 l x £

Thì

2 x P M x = Khi

2 l x ³

Thì

2 ) x l ( P M x

- =

EJ l P f

48 3 max =

(148)

1 2 3

2 Pb A = ;

2 Pa B=

Khi x£a,

l Pb Q x =

Khi x³a,

l Pa Q x =

Khi x £a,

x l Pb M x = Khi x ³a ;

( )l x l Pa

M x = -

l Pab M max =

3 max ab a EJ Pb

f ú

û ù ê ë é + =

tại (a b )

a x = +

A = B = P Khi x < a ; Q = P

Khi a < x < a + b

Q = 0

Khi x < a; Mx = P.x

Khi a < x< a+b Mx = Mmax= Pa

) a l ( EJ 24 Pa

f max = -

2 l q B A = =

ữ ứ ỗ ố ổ - = l x l ql Q x

( )l x qx

M x = -

8 ql M

2

max =

EJ 384 ql f

max =

) a l ( l qb B l b q A + = = Khi x < a ; l b q Q x =

Khi x > a ) a x ( q l b q Q

x = - -

Khi x < a x A x l b q M x = =

Khi x > a ú ú û ù ê ê ë é ữ ứ ỗ ố ổ - - - = x b a x l x A M 2 2 max l a l ql

M ữ ữ

ứ ỗ ỗ ố æ - = a l b x + =

fmax = 0,0026 EJ ql

tại a = 0,5471

x <

(149)

1 2 3 4 l q B A = =

÷ ÷ ứ ỗ ỗ ố ổ - = 2 x l x 4 ql Q ÷ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - = 2 x l x 4 qlx Q 12 ql M

max =

EJ 120

ql f

4 max =

Dầm trên hai gối tựa có hai cơng xơn đối xứng Trên công xôn

Qx = P

ở nhịp Qx = 0

A = B = P

Trên công xôn Mx = P(a + x)

ở nhịp

Mx = P.a

EJ Pal f

2 max = -

Trên công xôn Qx = q(a x)

nhp ữ ứ ỗ ố ổ + = = ữ ứ ỗ ố ổ - = l a q B A l x q Q x

Trên công xôn ( ) x a q M x - - = ở nhịp ( ) ữ ữ ứ ỗ ỗ è æ - = - - - = 2 max 2 x a l q M x lx a q

M ú û

ù ê

ë é

-

= 2

2

max l a

(150)

Sức bền vật liệu 149

Bảng 3 : Thép cán định hình chữ I (theo ΓOCT – 8239 – 56)

Ký hiệu : h – chiều cao thép chữ I b – bề rộng cánh

d – bề dày bụng

t – bề dày trung bình của cánh R – bán kính góc uốn trịn trong r – bán kính góc uốn trịn ở mép F – diện tích tiết diện

J – mơ men qn tính W – mơ men chống uốn ix,y – bán kính qn tính

S – mơ men tĩnh của nửa tiết diện Jxn mơ men qn tính khi xoắn

Kích thước mm

Các trị số đối với trục

x x y y

Số hiệu

Trọng lượng 1m dài (kg)

h b d t R r

Diện tích

tiết diện F

(cm 2 ) Jx (cm 4 )

Wx (cm 3 )

ix (cm)

Sx (cm 3 )

Jy (cm 4 )

Wy (cm 3 )

iy (cm)

Sy (cm 3 ) (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) 10

12 14 16 18 18a

9,46 11,5 13,7 15,0 18,4 19,9

100 120 140 160 180 180

55 64 73 81 90 100

4,5 4,8 4,9 5,0 5,1 5,1

7,2 7,3 7,5 7,8 8,1 8,3

7,0 7,5 8,0 8,5 9,0 9,0

2,5 3,0 3,0 3,5 3,5 3,5

12 14,7 17,4 20,2 23,4 25,4

198 350 572 873 1290 1430

39,7 58,4 81,7 109 143 159

4,06 4,88 5,73 6,57 7,42 8,51

23 33,7 46,8 62,3 81,4 89,8

17,9 27,9 41,9 58,6 82,6 114

6,49 8,72 11,5 14,5 18,4 22,8

1,22 1,38 1,55 1,7 1,88 2,12

(151)

Sức bền vật liệu 150 Bảng tra 3 tiếp theo

(152)

Bảng 4 : Thép cán định hình chữ [ có góc nghiêng ở mép (theo ΓOCT – 8239 – 56)

Ký hiệu : h – chiều cao thép chữ [ b – bề rộng cánh

S – mơ men tĩnh của nửa tiết diện

z0 – khoảng cách từ trục y – y đến mặt ngồi bụng

Kích thước mm

x x y y

Số hiệu

h b d t R r

Diện tích

tiết diện F

(cm 2 ) Jx (cm 4 )

Wx (cm 3 )

ix (cm)

Sx (cm 3 )

Jy (cm 4 )

Wy (cm 3 )

iy (cm)

z0 (cm)

Jxn (cm 4 )

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) 5

6,5 8 10 12

4,84 5,90 7,05 8,59 10,4

50 65 80 100 120

32 36 40 46 52

4,4 4,4 4,5 4,5 4,8

7,0 7,2 7,4 7,6 7,8

6,0 6,5 6,5 7,0 7,5

2,5 2,5 2,5 3,0 3,0

6,16 7,51 8,98 10,9 13,3

22,8 48,6 89,4 174 304

9,1 15 22,4 34,8 50,6

1,92 2,54 3,16 3,99 4,78

5,59 9,00 13,3 20,4 29,6

5,61 8,70 12,8 20,4 31,2

2,75 3,68 4,75 6,46 8,52

0,954 1,08 1,19 1,37 1,53

1,16 1,24 1,31 1,44 1,54

(153)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)

(154)

Bảng 5 : Thép cán định hình chữ [ các biên cánh song song (theo ΓOCT – 8239 – 56)

Ký hiệu : h – chiều cao thép chữ [ b – bề rộng cánh

S – mơ men tĩnh của nửa tiết diện

z0 – khoảng cách từ trục y – y đến mặt ngồi bụng

Kích thước mm

x x y y

Số hiệ u

h b d t R r

Diện tích

tiết diện F

(cm 2 ) Jx (cm 4 )

Wx (cm 3 )

ix (cm)

Sx (cm 3 )

Jy (cm 4 )

Wy (cm 3 )

iy (cm)

z0 (cm)

Jxn (cm 4 )

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) 5

6,5 8 10 12

4,84 5,90 7,05 8,59 10,4

50 65 80 100 120

32 32 40 46 52

4,4 4,4 4,5 4,5 4,8

7,0 7,2 7,4 7,6 7,8

6,0 6,0 6,5 7,0 7,5

3,5 3,5 3,5 4,0 4,5

6,16 6,51 8,98 10,9 13,3

22,8 48,8 89,8 175 305

9,17 15 22,5 34,9 50,8

1,92 2,55 3,16 3,99 4,79

5,61 9,02 13,3 20,5 29,7

5,95 9,35 13,9 22,6 34,9

2,99 4,06 5,31 7,37 9,84

0,983 1,12 1,24 1,44 1,62

1,21 1,29 1,38 1,53 1,66

(155)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18)

(156)

Bảng 6 : Thép cán đều cạnh (theo ΓOCT – 8239 – 56)

Ký hiệu : b – bề rộng cánh d – bề dày cánh R – bán kính góc uốn trịn bên trong r – bán kính góc uốn trịn ở mép F – diện tích tiết diện J – mơ men qn tính ix,y – bán kính qn tính

z0 – khoảng cách tính từ trọng tâm.

Kích thước , mm Trị số đối với các trục

Bán kính qn tính iy1(cm) đối với hai thép góc khid(mm)

bằng x x x0 – x0 y0 – y0 x1 – x1

Số hiệu

b d R r

Diện tích

tiết diện

F (cm 2 )

Trọng lượng 1m dài

(kg) J x (cm 4 )

i x (cm)

J x0 (cm 4 )

i x0 (cm)

J y0 (cm 4 )

i y0 (cm 4 )

J x1 (cm 4 )

z 0 (cm)

8mm 10mm 12mm 14mm (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19)

(157)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) 5,6 56 4

5 6 2

(158)

(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19)

10 100 6,5 7 8 10 12 14 16 12 4 12,8 13,8 15,6 19,2 22,8 26,3 29,7 10,1 10,8 12,2 15,1 17,9 20,6 23,3 122 131 147 179 209 237 264 3,09 3,08 3,07 3,05 3,03 3,00 2,98 193 207 233 284 331 375 416 3,88 3,88 3,87 3,84 3,81 3,78 3,74 50,1 54,2 60,9 74,1 86,9 99,3 112 1,99 1,98 1,98 1,96 1,95 1,94 1,94 214 231 265 333 402 472 542 2,68 2,71 2,75 2,83 2,91 2,99 3,06 4,38 4,4 4,44 4,43 4,45 4,47 4,52 4,56 4,60 4,64 4,50 4,52 4,54 4,59 4,64 4,68 4,72 4,58 4,60 4,62 4,67 4,71 4,75 4,79

11 110 7

8 12 4

(159)

Sức bền vật liệu 158 Bảng tra 6 tiếp theo 16 160 10 11 12 14 16 18 20 16 5,3 31,4 34,4 37,4 43,3 49,1 54,8 60,4 24,7 27,0 29,4 34,0 38,5 43,0 47,4 744 844 913 1046 1175 1299 1419 4,96 4,95 4,94 4,92 4,98 4,87 4,85 1229 1341 1450 1662 1866 2061 2248 6,25 6,24 6,23 6,20 6,17 6,13 6,10 319 348 376 431 485 537 589 3,19 3,18 3,17 3,16 3,14 3,13 3,12 1356 1494 1633 1911 2191 2472 2756 4,30 4,35 4,39 4,47 4,55 4,63 4,70 6,84 6,88 6,91 6,93 6,95 6,99 7,03 7,07 7,11 6,97 7,00 7,02 7,06 7,10 7,15 7,18 7,05 7,07 7,09 7,13 7,17 7,22 7,25 18 180 11

12 16 5,3

38,8 42,2 30,5 33,1 1216 1217 5,60 5,59 1933 2090 7,06 7,04 500 540 3,59 3,58 2128 2324 4,85 4,89 7,67 7,69 7,74 7,76 7,81 7,83 7,88 7,90 20 200 12 13 14 16 20 25 30 18 6 47,1 50,9 54,6 62,0 76,5 94,3 111,5 37,0 39,9 42,8 48,7 60,1 74,0 87,6 1823 1961 2097 2363 2871 3466 4020 6,22 6,21 6,20 6,17 6,12 6,08 6,00 2896 3116 3333 3755 4560 5494 6351 7,84 7,83 7,81 7,78 7,72 7,63 7,55 749 805 861 970 1182 1438 1688 3,99 3,98 3,97 3,96 3,93 3,91 3,89 3182 3452 3722 4264 5355 6733 8130 5,37 5,42 5,46 5,54 5,70 5,89 6,07 8,48 8,50 8,52 8,56 8,65 8,74 8,83 8,55 8,58 8,60 8,64 8,72 8,81 8,90 8,62 8,64 8,67 8,70 8,79 8,88 8,97 8,69 8,71 8,73 8,77 8,86 8,95 9,05 22 220 14

16 21 7

(160)

Bảng 7 : Thép cán không đều cạnh (theo ΓOCT – 8239 – 56)

Ký hiệu : B – bề rộng cánh lớn b – bề rộng cánh nhỏ d – bề dày cánh R – bán kính góc uốn trịn bên trong r – bán kính góc uốn trịn ở mép F – diện tích tiết diện J – mơ men qn tính ix,y – bán kính qn tính

x0 , y0 – khoảng cách tính từ trọng tâm.

Kích thước (mm) Trị số đối với các trục Bán kính quán tính khid, mm x x y y x1 – x1 y1 – y1 u u ix2 , cm iy2 , cm

Số

hiệu B b d R r Diệ n tích tiết diện cm 2 Trọng lượng 1m , kg Jx’ (cm 4 ) ix’ (cm) Jy’ (cm 4 ) iy’ (cm) Jx1 (cm 4 ) y0’ (cm) Jy1 (cm 4 ) x0’ (cm) Ju min (cm 4 ) iu min (cm) 10 mm 12 mm 14 mm 10 mm 12 mm 14 mm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 5,6/

3,6 56 36 4

5 6 2

3,58 4,11 2,81 3,46 11,4 13,8 1,78 1,77 3,70 4,48 1,02 1,01 23,2 29,2 1,82 1,86 6,25 7,91 0,84 0,88 2,19 2,66 0,78 0,78 2,93 2,95 3,01 3,03 3,09 3,11 1,68 1,71 1,76 1,79 1,84 1,78

(161)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 7/4,5 70 45 5 7,5 2,5 5,59 4,39 27,8 2,23 9,05 1,27 56,7 2,28 15,2 1,05 5,34 0,98 3,56 3,64 3,72 2,01 2,08 2,16

7,5/5 75 50 5 6 8 8 2,7 6,11 7,25 9,47 4,79 5,69 7,43 34,8 40,9 52,4 2,39 2,38 2,35 12,5 14,6 18,5 1,43 1,42 1,40 69,8 83,9 112 2,39 2,44 2,52 20,8 25,2 34,2 1,17 1,21 1,29 7,24 8,48 10,9 1,09 1,08 1,07 3,75 3,78 3,83 3,83 3,86 3,91 3,90 3,94 3,98 2,20 2,22 2,27 2,28 2,30 2,35 2,35 2,38 2,43 8/5 80 50 5

6 8 2,7 6,36 7,55 4,99 5,92 41,6 49,0 2,56 2,55 12,7 14,8 1,41 1,40 84,6 102 2,60 2,90 20,8 25,2 1,13 1,17 7,58 8,88 1,09 1,08 1,02 1,05 4,10 4,13 4,17 4,21 2,16 2,18 2,23 2,33 2,30 2,33

9/5,6 90 56 5,5 6 8 9 3 7,86 8,54 11,18 6,17 6,70 8,77 65,3 70,6 90,9 2,88 2,88 2,85 19,7 21,2 27,1 1,58 1,58 1,56 132 145 194 2,92 2,95 3,04 32,2 35,2 47,8 1,26 1,28 1,36 11,8 12,7 16,3 1,22 1,22 1,21 4,47 4,79 4,55 4,55 4,57 4,62 4,62 4,65 4,70 2,37 2,38 2,43 2,44 2,45 2,50 2,51 2,53 2,58 10/

6,3 100 63 6 7 8 10 10 3,3 9,59 11,1 12,6 15,5 7,53 8,70 9,87 12,1 98,3 113 127 154 3,20 3,19 3,18 3,15 30,6 35,0 39,2 47,1 1,79 1,78 1,77 1,75 198 232 266 333 3,23 3,28 3,32 3,40 49,9 58,7 67,6 85,8 1,42 1,46 1,50 1,58 18,2 20,8 23,4 28,3 1,38 1,37 1,36 1,35 4,92 4,95 4,97 5,01 4,99 5,02 5,04 5,09 5,07 5,10 5,12 5,17 2,62 2,64 2,67 2,71 2,70 2,72 2,74 2,79 2,77 2,78 2,82 2,87 11/7 110 70 6,5

8 10 3,3 11,4 13,9 8,98 10,9 142 172 3,53 3,54 45,6 54,6 2,00 1,98 286 353 3,55 3,61 74,3 92,3 1,58 1,64 26,9 32,3 1,53 1,52 5,38 5,41 5,45 5,49 5,53 5,55 2,89 2,92 2,97 2,99 3,04 3,06 12,5/

8 125 80 7 8 10 12 11 3,7 14,1 16,0 19,7 23,4 11,0 12,5 15,5 18,3 227 256 312 365 4,01 4,00 3,98 3,95 73,7 83,0 100 117 2,29 2,28 2,26 2,24 452 518 649 784 4,01 4,05 4,14 4,22 119 137 173 310 1,80 1,84 1,92 2,00 43,4 48,8 59,3 69,5 1,76 1,75 1,74 1,72 6,04 6,06 6,11 6,15 6,11 6,13 6,19 6,23 6,18 6,21 6,27 6,30 3,24 3,27 3,31 3,35 3,31 3,34 3,38 3,43 3,39 3,41 3,46 3,50 14/9 140 90 8

10 12 4

18,0 22,2 14,1 17,54 364 444 4,49 4,47 120 146 2,58 2,56 727 911 4,49 4,58 194 245 2,03 2,12 70,3 85,5 1,98 1,96 6,72 6,77 6,79 6,84 6,86 6,92 3,61 3,67 3,69 3,74 3,76 3,80 16/

(162)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 18/ 11 18 0 11 0 10

(163)

TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi

Sức bền vật liệu, Trường Đại học GTVT Hà Nội – 2000 2. Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi

Sức bền vật liệu, Trường Đại học GTVT Hà Nội – 2002 3. Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi

Sức bền vật liệu, Trường Đại học GTVT Hà Nội – 2007

4. Nguyễn Xuân Lựu, Phạm Văn Dịch, Đào Lưu, Trịnh Xuân Sơn, Vũ Văn Thành, Đỗ Minh Thu, Nguyễn Cẩm Thúy.

Bài tập Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản GTVT, Hà Nội – 2000. 5. Nguyễn Quang Anh, Nguyễn Văn Nhậm, Chu Đình Tự.

Sức bền vật liệu (Dùng cho đào tạo kỹ sư thực hành), Trường Trung học GT khu vực I, Hà Nội – 1993.

6. Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng

Sức bền vật liệu tập I + II, Nhà xuất bản giáo dục 2001. 7. Trần Đức Trung, Nguyễn Việt Hùng

Bài tập Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản xây dựng, Hà Nội – 2002. 8. ThS Tạ Thanh Vân, ThS Phạm Quốc Hồn, Vũ Thanh Thủy.

Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản xây dựng, Hà Nội – 2004. 9. Nguyễn Quang Anh, Nguyễn Văn Nhậm, Chu Đình Tự.

(164)

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 2

1 NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN SỨC BỀN VẬT LIỆU 2

2 CÁC GIẢ THIẾT CƠ BẢN 3

3 NGOẠI LỰC, NỘI LỰC TRÊN MẶT CẮT NGANG THANH 4

4 CÁC BIẾN DẠNG CƠ BẢN 8

CHƯƠNG 2: KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM THANH THẲNG 9

1 KHÁI NIỆM VỀ KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 9

2 ỨNG SUẤT, BIẾN DẠNG TRÊN THANH BỊ KÉO NÉN 13

3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ HỌC VỀ ĐỘ BỀN CỦA VẬT LIỆU 18

4 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI TRONG KÉO VÀ NÉN 20

5 KHÁI NIỆM VỀ SỰ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT 22

6 TÍNH THANH KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 22

7 BÀI TOÁN SIÊU TĨNH VỀ KÉO, NÉN 28

CHƯƠNG 3: CẮT TÍNH TỐN MỐI NỐI ĐINH TÁN 35

1 CẮT 35

2 TÍNH MỐI NỐI ĐINH TÁN 36

CHƯƠNG 4: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ LÝ THUYẾT BỀN 39

1 KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT .39

2 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG .41

3 VÒNG TRÒN MOHR TRONG TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG. 45

4 QUAN HỆ ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG ĐỊNH LUẬT HOOKE .50

5 LÝ THUYẾT BỀN CỔ ĐIỂN .51

CHƯƠNG 5: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA HÌNH PHẲNG 53

1 MƠ MEN TĨNH VÀ TRỌNG TÂM CỦA HÌNH PHẲNG 53

2 MƠ MEN QN TÍNH VÀ TRỌNG TÂM CỦA HÌNH PHẲNG 55

3 BÁN KÍNH QN TÍNH 60

CHƯƠNG 6: XOẮN THUẦN TÚY 63

1 KHÁI NIỆM 63

2 NỘI LỰC – BIỂU ĐỒ NỘI LỰC 63

3 ỨNG SUẤT TRÊN TRỤC TRÒN CHỊU XOẮN 66

4 BIẾN DẠNG CỦA TRỤC TRÒN CHỊU XOẮN 68

(165)

6 BÀI TOÁN XOẮN SIÊU TĨNH 71

CHƯƠNG 7: UỐN NGANG PHẲNG 74

1 KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 74

2 NỘI LỰC VÀ BIỂU ĐỒ NỘI LỰC 74

3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG 89

4 ỨNG SUẤT TRONG DẦM UỐN NGANG PHẲNG 92

5 CHUYỂN VỊ CỦA DẦM 102

6 BÀI TOÁN UỐN SIÊU TĨNH 104

CHƯƠNG 8: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 110

1 KHÁI NIỆM CHUNG 110

2 UỐN XIÊN 110

3 UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (HOẶC NÉN) 116

4 UỐN ĐỒNG THỜI XOẮN 123

CHƯƠNG 9: ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 127

1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN 127

2 LỰC TỚI HẠN VÀ ỨNG SUẤT TỚI HẠN KHI THANH LÀM VIỆC TRONG GIỚI HẠN ĐÀN HỒI 128

3 TÍNH ỨNG SUẤT TỚI HẠN CỦA THANH NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI 130

4 TÍNH TỐN ỔN ĐỊNH CỦA THANH NÉN THEO QUY PHẠM 131

5 MẶT CẮT HỢP LÝ CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 136

CHƯƠNG 10: TẢI TRỌNG ĐỘNG 137

1 KHÁI NIỆM 137

2 TÍNH THANH CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỨNG CÓ GIA TỐC 137

3 VA CHẠM THẲNG ĐỨNG 138

MỘT SỐ BẢNG TRA PHỤ LỤC 145

TÀI LIỆU THAM KHẢO 162

Định dạng
Số trang	165
Dung lượng	2,66 MB