Du lịch miền Tây- Hòn phụ tử - Hà Tiên (Kiên Giang)

TÍNH ỨNG SUẤT TỚI HẠN CỦA THANH NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI... TÍNH TOÁN ỔN ĐỊNH CỦA THANH NÉN THEO QUY PHẠM ..[r]

BỘ GIAO THÔNG VẬN TẢI 

TRƯỜNG CAO ĐẲNG GTVT MIỀN TRUNG  ­­­­­­­­­­­­­ab&ab­­­­­­­­­­­­­ 

Biên soạn :NGUYỄN TRUNG 

SỨC BỀN VẬT LIỆU 

LỜI NĨI ĐẦU 

Sức bền vật liệu là mơn khoa học nghiên cứu cách tính độ bền, độ cứng và độ  ổn định của cấu kiện, từ đó xây dựng các phương pháp và lập các cơng thức chủ yếu  để tính tốn các bộ phận của cơng trình hay chi tiết máy và là nền tảng của nhiều  mơn học kỹ thuật khác như : Cơ học kết cấu, Kết cấu thép, Kết cấu bê tơng cốt thép,  tính tốn cầu, đường,  

Để  phục  vụ  cơng  tác  giảng  dạy  cho  sinh  viên  –  học  sinh  chuyên ngành  xây  dựng cầu đường bộ, Trường Cao đẳng Giao Thông Vận Tải miền Trung chủ trương  biên soạn và in ấn tập tài liệu Sức bền vật liệu. 

Tài liệu này gồm 10 chương, do Nguyễn Trung – Phịng Quản lý khoa học và  Kiểm định chất lượng đào tạo biên soạn, được tập thể cán bộ giáo viên giảng dạy bộ  mơn Cơ học của trường đóng góp ý kiến và chỉnh sửa cho phù hợp với chương trình  mơn  học  như:  Thạc  sỹ  Nguyễn  Đình  Linh,  Nguyễn  Lâm  Hồng,  Nguyễn  Sỹ  Tỵ,  Nguyễn Hồng Tuấn, Hồng Đăng Thái, Bùi Quang Thiên, Nguyễn Thế Giáp  

Tài liệu Sức bền vật liệu phục vụ cơng tác giảng dạy cho sinh viên – học sinh  chun  ngành  xây  dựng  cầu  đường  bộ  của  trường,  ngồi  ra  cịn  là  tài  liệu  tham  khảo cho các cán bộ làm cơng tác khác. 

Tuy đã cố gắng biên soạn, nhưng do trình độ và kiến thức chun mơn có hạn  chắc chắn tập tài liệu này cịn rất nhiều khiếm khuyết. Kính mong bạn đọc đóng góp  ý kiến để lần tái bản cuốn sách sẽ hồn thiện hơn. 

Ý kiến góp ý xin gửi về Phịng Quản lý khoa học và Kiểm định chất lượng đào  tạo – Trường Cao đẳng GTVT Miền Trung. 

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 

1 NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN SỨC BỀN VẬT LIỆU 

1.1. Nhiệm vụ : 

Sức bền vật liệu là mơn khoa học kết hợp giữa lý thuyết và thực nghiệm, trên cơ  sở nghiên cứu khả năng chịu lực của vật liệu xem xét và giải quyết 3 bài tốn cơ bản  đối với một cấu kiện cơng trình hay một chi tiết máy đó là : độ bền, độ cứng và độ  ổn định. 

Mỗi  loại  cơng  trình  hay  một  chi  tiết  máy  cần  được tính  tốn và  thiết  kế  để đảm  bảo đủ độ bền, độ cứng và độ ổn định. 

­ Đủ độ bền : nghĩa là cấu kiện có khả năng tiếp nhận được tất cả các tổ hợp lực  đặt lên nó mà khơng bị phá hỏng trong suốt thời gian tồn tại. 

­ Đủ độ cứng: nghĩa là khi tiếp nhận và truyền tất cả tác động lực thì những thay  đổi  kích  thước hình  học  của  nó  khơng được  vượt q  những  trị  số cho phép  nhằm  đảm bảo việc sử dụng cơng trình một cách bình thường. 

­ Đủ độ ổn định: là khả năng bảo tồn được trạng thái cân bằng ban đầu của kết  cấu cơng trình trong q trình chịu lực. 

Song song với việc cần phải đảm bảo đủ độ bền, độ cứng và độ ổn định khi thiết  kế các cấu kiện cơng trình hay một chi tiết máy cần phải đảm bảo tiết kiệm. Vì vậy  nhiệm vụ của mơn Sức bền vật liệu là tìm ra phương pháp tính tốn đơn giản trong  thực hành nhưng vẫn đảm bảo độ chính xác cần thiết từ đó đề ra được kích thước và  hình dáng hợp lý của cấu kiện, đảm bảo an tồn tiết kiệm. 

1.2. Đối tượng nghiên cứu : 

1.2.1. Vật thể : 

Vật thể được nghiên cứu trong Sức bền vật liệu là vật rắn thực, tức là vật rắn có  xét đến biến dạng của vật thể trong q trình chịu lực. 

Do vật thể bị biến dạng khi chịu lực, nên khi nghiên cứu khơng cho phép dời lực  theo phương tác dụng của nó hoặc thay thế 

các  lực  tác  dụng  bằng  một  hệ  lực  tương  đương, vì như vậy sẽ làm thay đổi tính chất  và kết quả của biến dạng. 

Ví dụ : Hai vật thể A và B (hình vẽ 1.1)  ở mơn Cơ học lý thuyết thì hai vật thể này  ở  trạng  thái  cân  bằng  tĩnh  học  như  nhau,  nhưng ở mơn Sức bền vật liệu thì đó là hai  trường hợp chịu lực khác nhau. 

1.2.2. Phân loại vật thể theo hình dáng : 

Các bộ phận cơng trình có nhiều hình dáng khác nhau, việc phân loại chúng giúp  ta khái qt hố được phương pháp luận và đề ra được những biện pháp nghiên cứu  thích hợp với từng loại

P

P A

P

P B

Kéo tâm Nén tâm

Tùy theo kích thước của vật thể theo 3 phương ta có thể chia thành 3 loại sau :  ­ Hình khối : là những vật có kích thước theo 3 phương tương đương nhau. 

Ví dụ : móng máy, móng cột điện,…(hình 1.2)

H×nh vÏ 1.2 H×nh vÏ 1.3 H×nh vÏ 1.4

­ Hình tấm, vỏ : là những vật có kích thước theo hai phương lớn hơn nhiều so  với phương cịn lại. 

Ví dụ :  sàn nhà  đúc bê tơng,  lớp mặt đường,  mái  nhà  vịm, bình chứa,…  là  những thí dụ lấy sơ đồ tính là tấm, vỏ (hình vẽ 1.3) 

Trong tính tốn người ta có thể mơ hình hố tấm hoặc vỏ bằng mặt trung gian  của chúng. 

­ Hình thanh : là những vật thể có kích thước theo một phương lớn hơn nhiều so  với hai phương cịn lại, kích thước của phương đó gọi là chiều dài của thanh (hình  vẽ 1.4). 

Thanh  là  vật  thể  được  nghiên  cứu  chủ  yếu  trong  Sức  bền  vật  liệu,  trong  tính  tốn người ta có thể mơ hình hố thanh bằng trục của nó. 

+ Trục của thanh là đường thẳng đi qua trọng tâm của các mặt cắt ngang liên  tiếp. Nếu trục thanh là đường thẳng, ta gọi là thanh thẳng. Nếu trục thanh là đường  cong, ta gọi là thanh cong. 

+ Mặt cắt vng góc với trục thanh gọi là mặt cắt ngang. 

Dầm  cầu,  cột  nhà,  thanh  ray,  tà vẹt,  trục động  cơ…  là những thí dụ  lấy sơ đồ  tính là thanh. 

2. CÁC GIẢ THIẾT CƠ BẢN 

Trong thực tế mỗi loại vật liệu đều có những tính chất cơ lý khác nhau. Nếu kể hết  các tính chất của vật liệu khi giải quyết bài tốn sức bền vật liệu thì rất phức tạp và  khó đưa ra một lý thuyết thống nhất cho tất cả các loại vật liệu xây dựng cơ bản. Vì  vậy cần đưa ra các giả thiết về vật liệu, nhằm lược bỏ những tính chất khơng cơ bản  của chúng. Những giả thiết này phù hợp với những tính chất cơ bản của vật liệu. 

2.1. Giả thiết thứ nhất :Vật liệu có tính chất liên tục, đồng nhất và đẳng hướng. 

Tính liên tục : nghĩa là vật liệu chiếm đầy trong khơng gian của vật thể. 

Tính đồng nhất : được hiểu là các điểm khác nhau trong lịng của vật thể có tính  chất cơ học như nhau. 

2.2. Giả thiết thứ hai : biến dạng của vật thể là biến dạng đàn hồi và đàn hồi tuyệt  đối. 

Dưới tác dụng của ngoại lực vật thể có biến dạng, khi bỏ ngoại lực đi thì vật thể sẽ  trở lại hình dáng, kích thước như ban đầu đó là tính chất đàn hồi của vật thể và biến  dạng của vật thể được gọi là biến dạng đàn hồi. 

Trong thực thế khi bỏ ngoại lực đi thì vật thể khơng trở lại hình dáng, kích thước  như ban đầu mà nó cịn có biến dạng dư hay cịn gọi là biến dạng dẻo, tuy nhiên các  thí nghiệm chứng minh rằng khi ngoại lực chưa vượt q một giới hạn xác định thì  biến dạng dư của vật là rất nhỏ có thể bỏ qua và coi vật thể là đàn hồi tuyệt đối. 

Trong sức bền vật liệu nêu lên các phương pháp tính tốn bộ phận cơng trình hay  chi tiết máy dựa trên cơ sở vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi. 

2.3. Giả thiết thứ ba : Biến dạng của vật thể do ngoại lực gây ra là nhỏ so với kích 

thước của chúng. 

Giả thiết này cho phép ta coi điểm đặt của các lực là khơng đổi khi vật thể biến  dạng làm đơn giản hơn trong tính tốn. 

3. NGOẠI LỰC, NỘI LỰC  TRÊN MẶT CẮT NGANG THANH 

3.1. Ngoại lực: 

Ngoại lực là lực tác dụng của mơi trường bên ngồi hay từ vật thể khác lên vật thể  đang xét. 

Ngoại lực gồm : 

­ Lực tác dụng (cịn gọi là tải trọng).  ­ Các liên kết. 

3.1.1. Lực tác dụng : Ngoại lực tác dụng vào một kết cấu có thể là lực thể tích hoặc 

lực mặt. 

­  Lực  thể  tích  :  thơng  thường  là  trọng  lượng  bản  thân  của  kết  cấu.  Trọng  lượng  bản thân có thể tính theo trọng lượng của đơn vị thể tích (N/cm 3 …), đối với thanh có  thể tính theo trọng lượng của đơn vị chiều dài (kN/m, N/cm…), đối với tấm và vỏ có  thể tính theo trọng lượng của đơn vị diện tích (kN/m 2 , MPa…) 

­ Lực mặt : là lực tác dụng vào mặt ngồi của kết cấu. Lực mặt có thể là lực phân  bố trên diện tích (kN/m 2 , MPa…) thường dùng đối với tấm hoặc vỏ. Hoặc có thể là  lực phân bố theo chiều dài (N/cm, kN/m,…) thường dùng đối với thanh. Nếu phạm  vi tác dụng của lực mặt ngồi tương đối bé, coi như lực tập trung với đơn vị là N,  kN,…Trong tính tốn cầu, người ta coi lực tác dụng của bánh xe ơ tơ xuống dầm là  một lực tập trung. 

­ Lực mặt ngồi cũng có thể là ngẫu lực phân bố (Ncm/cm, kNm/m,…) hoặc ngẫu  lực tập trung (Ncm, kNm,…) 

* Lực tập trung : là lực tác dụng tại một điểm trên vật thể (lực, hoặc mơ men).  * Lực phân bố : là lực tác dụng trên một đoạn chiều dài nhất định. 

­ Theo tính chất tác dụng gồm : 

* Tải trọng tĩnh : là tải trọng tác dụng lên vật thể có vị trí khơng thay đổi.  * Tải trọng động : là tải trọng tác dụng lên vật thể có vị trí thay đổi.  Ví dụ : 

­ Xét một dầm giản đơn AB, chịu tác dụng của các lực P, M, q và có chiều dài  như hình vẽ 1.5 :

H×nh vÏ 1.5

q P

M

P M

A B C D E F G

a a a a a a

Lực tác dụng gồm : M, P, q 

3.1.2. Các liên kết : 

Trong thực tế các vật thể có thể bị ràng buộc với nhau hoặc ràng buộc với nền đất  bởi các liên kết. Thơng qua liên kết, các kết cấu tác dụng lực hoặc phản lực vào nhau  hoặc với đất gọi là lực liên kết. 

Hình vẽ 1.6 là sơ đồ tính của một số liên kết quen thuộc và các lực liên kết tương  ứng thường dùng trong sức bền vật liệu

V C V B

B H B

q P

V A A H A

M A

q P E

V E D

H D M D H×nh vÏ 1.6

q P

C

Ngàm A có ba phản lực liên kết : VA, HA, MA 

Gối khớp cố định B có hai phản lực liên kết : VB, HB 

Gối khớp di động C có một phản lực liên kết : VC 

Ngàm trược D có 2 phản lực liên kết : HD, MD 

3.2. Nội lực : 

Giữa các phần tử vật chất của vật thể ln ln có các lực liên kết để giữ cho nó  có hình dáng nhất định. 

3.3. Phương pháp mặt cắt : 

Để làm xuất hiện, biểu diễn và tính được nội lực ta dùng phương pháp mặt cắt với  nội dung như sau : 

Xét vật thể cân bằng đàn hồi dưới tác dụng của hệ lực (P1, P2,…,Pn) hình vẽ 1.7. 

Tưởng tượng dùng mặt cắt p đi qua điểm C chia vật thể làm hai phần (A) và (B). Vì  vật thể cân bằng nên mỗi phần (A) hay (B) cũng tự cân bằng

P 1

P

P 3

Pn

C

p

H×nh vÏ 1.7

(A) (B)

P 1

P 2

H×nh vÏ 1.8

(A) P

Xét sự cân bằng của phần (A). 

Sở dĩ phần (A) cân bằng được là do trên mặt cắt p thuộc phần (A) tồn tại hệ nội  lực  là  những  lực  tương  hỗ do  phần  (B)  tác  dụng  lên phần  (A)  cân  bằng  với những  ngoại  lực  tác  dụng  lên  phần  (A).  Hệ  nội  lực  đó  phân  bố  trên  tồn  bộ  mặt  cắt  của  phần (A) như hình vẽ 1.8. 

3.4. Khái niệm về ứng suất : 

Xung quanh điểm C trên mặt cắt thuộc phần (A) ta lấy một diện tích khá bé DF.  Hợp lực của nội lực trên DF làDP. 

Ta có : P tb

F P

= D D

tb

P : gọi là ứng suất trung bình tại C.  Khi DF ® 0 thì P tb ® P

P : gọi là ứng suất tại C.  Giả sử  n 

r 

là pháp tuyến ngồi của mặt đang xét, ta có thể phân véctơ ứng suất tồn  phần P thành  hai  thành  phần  vng  góc,  với  ký  hiệu  và  tên  gọi  như  sau  :

P= sn + tn

uur uur  Trong đó : 

n

s  : ứng suất pháp trên mặt có pháp tuyến  n r . 

n

t  : ứng suất tiếp trên mặt có pháp tuyến  n r . 

Trị số của ứng suất tồn phần và các ứng suất thành phần liên hệ với nhau P 1

P 2

H×nh vÏ 1.9

(A) C s u

P

t

2

P =  s + t

3.5. Nội lực trên mặt cắt ngang thanh : 

Để  ý  một  thanh  chịu  lực.  Trên  mặt  cắt  ngang  thanh  có  nội  lực,  thu  nội  lực  về  thành  một  véctơ  chính 

ur

Rđặt tại  trọng  tâm  O  của  mặt cắt  và  một  mơmen chính 

ur M

(hình vẽ 1.10)

H×nh vÏ 1.10 (A)

P 1

P 2

z x

Nz

Q y y

Qx

R M

(A) P 1

P 2

z x y

M y Mx

Mz

(A) P 1

P 2

z x y

Tại trọng tâm mặt cắt ta chọn ba trục Oxyz (Oz trùng pháp tuyến ngồi của mặt  cắt) thì 

ur

Rđược phân tích thành ba lực thành phần nằm trên ba trục:  ­ Qx : lực cắt trên trục x. 

­ Qy : lực cắt trên trục y. 

­ Nz : lực dọc trục. 

Mơ men chính 

ur

M được phân tích thành ba véctơ mơ men mang trên ba trục:  ­ Mx : mơ men uốn quanh trục x. 

­ My : mơ men uốn quanh trục y. 

­ Mz : mơ men xoắn. 

Mơ men uốn, mơ men xoắn, lực dọc, lực cắt là hợp lực của nội lực trên tồn bộ  tiết diện và được gọi là các nội lực. 

Ta thiết lập hệ 6 phương trình cân bằng tĩnh học tương ứng và tìm được 6 thành  phần nội lực Qx, Qy, Nz, Mx, My, Mz

=

=

=

=

=

=

= Û + =

= Û + =

= Û + =

= Û + =

= Û + =

= Û + =

å å

å å

å å

å å

å å

å å

ur ur ur

n x ix

i n y iy

i n z iz

i n

x x x i

i n

y y y i

i n

z z z i

i

x Q P

y Q P

z N P

M M M (P )

M M M (P )

M M M (P )

(1.1) 

4. CÁC BIẾN DẠNG CƠ BẢN 

Sáu thành phần nội lực trên mặt cắt ngang thanh, như tên gọi của chúng đã chỉ rõ,  tạo ra những biến dạng cơ bản của thanh. Đó là : 

­ Khi trên mặt cắt ngang chỉ có Nz thì thanh chịu kéo hoặc nén đúng tâm

Thanh chịu kéo tâm Thanh chịu nén tâm Nz

Nz Nz Nz

ưKhitrờnmtctngangchcúMzthỡthanhchuxon

Mz

Mz

Thanh chịu xoắn

­ Khi trên mặt cắt ngang chỉ có Qx hoặc Qy thì thanh chịu cắt Q y

Q y

Qx

Qx

Thanh chịu cắt

ưKhitrờnmtctngangchcúMxvQyhocMyvQxthỡtanúithanhchuun

Mx

Mx

M y M y

Thanh chÞu n

­ Thanh chịu lực phức tạp : Ví dụ thanh vừa chịu xoắn vừa chịu uốn P

T 1

T 3 T 4 Thanh chÞu lùc phøc t¹p T 2

CÂU HỎI ƠN TẬP CHƯƠNG 1  1. Nêu và giải thích nhiệm vụ của Sức bền vật liệu. 

CHƯƠNG 2: KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM THANH THẲNG 

1. KHÁI NIỆM VỀ KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 

1.1. Khái niệm : 

Một thanh thẳng khi chịu tác dụng của ngoại lực có hướng song song và trùng với  trục của thanh, khi đó trên mỗi mặt cắt ngang của nó chỉ tồn tại một thành phần nội  lực duy nhất là lực dọc trục Nz, ta nói thanh chịu kéo hay nén đúng tâm. 

Thanh chịu kéo đúng tâm nếu các lực hướng từ trong ra ngồi

P P

Thanh chịu kéo tâm

Thanh chịu nén đúng tâm nếu các lực hướng vào thanh

P P

Thanh chịu nén tâm

Ví dụ : cột trụ chịu nén đúng tâm bởi trọng lượng bản thân, dây cáp của kết cấu  treo  chịu  kéo đúng  tâm,  những  thanh  của  kết  cấu  dàn  chỉ  chịu  kéo  hoặc  nén  đúng  tâm khi tải trọng chỉ đặt tại mắt dàn,… 

1.2. Nội lực : 

1.2.1. Quy ước dấu : 

Hình  vẽ  2.1  mơ  tả  quy  ước  dấu  của  lực  dọc  trục. 

Nz > 0 khi lực dọc hướng ra ngoài mặt cắt (lực kéo). 

Nz < 0 khi lực dọc hướng vào trong mặt cắt (lực nén). 

1.2.2. Quy tắc tính nội lực : 

Giả thiết ta đã biết những ngoại lực tác dụng lên thanh. Muốn tính nội lực tại mặt  cắt  ngang  nào  đó  của  thanh,  ta  tưởng  tượng  dùng  một  mặt  cắt  vng  góc  với  trục  thanh cắt thanh thành hai phần. 

Xét cân bằng phần có ít ngoại lực tác dụng hơn (xét cân bằng một bên mặt cắt).  Nội lực Nz trên mặt cắt ngang đó được tính bằng cách lấy tổng hình chiếu các lực 

ở một bên mặt cắt (phần đang xét) lên pháp tuyến với mặt cắt

= Û = +

å z å iz å iz iz

1ben 1ben

z N P q l (2­1) 

Trong đó :  Piz: hình chiếu lên trục z những lực tập trung. 

qiz : hình chiếu lên trục z những lực phân bố. 

liz : chiều dài đoạn tải trọng phân bố thứ i theo trục z  1.2.3. Ví dụ :

Nz > Nz <

Xác định nội lực của mặt cắt trong đoạn AB, BC, CD của thanh chịu lực như hình  vẽ 2.2 Biết P1 = 50kN, P2 = 80kN, P3 = 200kN, q = 10kN/m

0

£

z

£

2m

P 1

q P 2 P 3

2

m

4

m

2m

1

2

3

P 1

1

N 1

P 1

q P 2

2

0

£

z

£

4

m

N 2

P 1

q P 2 P 3

3

4

m

0

£

z

£

2m

A B

C D

H×nh vÏ 2.2 N 3

Bài giải : 

­ Phương pháp : Xét đoạn cần tính lực dọc : 

+ Tưởng tượng dùng mặt cắt cắt đoạn đang xét thành hai phần.  + Xét cân bằng phần mặt cắt có ít ngoại lực tác dụng hơn. 

+ Phương trình hình chiếu các lực lên trục thanh (áp dụng cơng thức 2­1).  ­ Đoạn AB : 0 £ z1£2m

Sz = 0 Þ P1 + N1 = 0

Þ N1 = ­ P1 = ­ 50 kN (lực nén). 

­ Đoạn BC : 0 £z2£4m

Sz = 0 Þ P1 + P2 + q. z2 + N2 = 0

Þ N2 = ­ P1 ­ P2 ­ q.z2 

Khi z2 = 0 (tại điểm B) ÞN2 = ­ 50 ­ 80 – 10x0 = ­ 130 kN (lực nén) 

Khi z2 = 4m (tại điểm C) Þ N2 = ­ 50 ­ 80 ­ 10x4 = ­ 170 kN (lực nén) 

­ Đoạn CD : 0 £ z3£2m

Sz = 0 Þ P1 + P2 + q. 4 ­ P3 + q. z3 + N3 = 0

Þ N3 = ­ P1 ­ P2 – q. 4 + P3 ­ q. z3 

Khi z3 = 2m (tại điểm D) Þ N3 = ­50 ­80 ­10x4 +200 ­ 10x2 = 10kN(lực kéo) 

1.3. Biểu đồ lực dọc trục : 

Biểu đồ lực dọc là đồ thị biểu diễn sự biến đổi nội lực Nz của các mặt cắt ngang 

dọc theo trục thanh. 

1.3.1. Cách vẽ : 

Chọn một đường chuẩn song song với trục thanh. 

Chia thanh thành các đoạn bằng cách lấy điểm đặt lực tập trung, điểm đầu và cuối  của tải trọng phân bố, vị trí thay đổi của diện tích mặt cắt ngang làm ranh giới phân  chia đoạn. 

Xác định lực dọc trên từng đoạn. 

Đặt giá trị lực dọc vng góc với trục thanh.  ­ Nếu thanh nằm ngang : 

+ N > 0 Þ đặt bên trên đường chuẩn.  + N < 0 Þ đặt bên dưới đường chuẩn.  ­ Nếu thanh đặt đứng : 

+ N > 0 Þ đặt bên phải đường chuẩn.  + N < 0 Þ đặt bên trái đường chuẩn. 

1.3.2. Ví dụ 1 : 

Vẽ biểu đồ nội lực của thanh chịu lực trên hình vẽ 2.2.  Biểu đồ nội lực được vẽ trên hình vẽ 2.3

0

£

z

£

2m

P 1

q P 2 P 3

2m

4m

2m

1

2

3

P 1

1

N 1

P 1

q P 2

2

0

£

z

£

4m

N 2

P 1

q P 2 P 3

3

4m

0

£

z

£

2m

A B

C D

H×nh vÏ 2.3 N 3

50

130

170 30

10 N KN

Vẽ biểu  đồ  nội lực  của  thanh  chịu  lực  như  hình  vẽ 2.4  (bỏ qua  trọng  lượng  bản  thân của thanh). 

Bài giải : 

­ Phương pháp : Xét đoạn cần tính lực dọc : 

+ Tưởng tượng dùng mặt cắt cắt đoạn đang xét thành hai phần.  + Xét cân bằng phần mặt cắt có ít ngoại lực tác dụng hơn. 

+ Phương trình hình chiếu các lực lên trục thanh (áp dụng cơng thức 2­1)

4

N 4

10KN 40KN

50KN 30KN

N KN H×nh vÏ 2.4

E

P 1 = 30KN

A 1

N 1

P 1 = 30KN

A

P 2 = 20KN

B 2

N 2

P 1 = 30KN

A

P 2 = 20KN

B

P 3 = 90KN

C 3

N 3

P 1 = 30KN

A

P 2 = 20KN

B

P 3 = 90KN

C

P 4 = 50KN

D

P 1 = 30KN

A

P 2 = 20KN

B

P 3 = 90KN

C

P 4 = 50KN

D

2

3

2

3

20

cm

3

0c

m

4

0c

m

1

0

­ Đoạn AB : 0 £ z1£20cm

Sz = 0 Þ P1 ­ N1 = 0

Þ N1 = P1 = 30 kN (lực kéo). 

­ Đoạn BC : 0 £z2£30cm

Sz = 0 Þ P1 + P2 ­ N2 = 0

Þ N2 = P1 + P2 = 30 + 20 = 50 kN (lực kéo). 

­ Đoạn CD : 0 £ z3£40cm

Sz = 0 Þ P1 + P2 ­ P3 ­ N3 = 0

Þ N2 = P1 + P2 ­ P3 = 30 + 20 ­ 90  = ­ 40 kN (lực nén). 

­ Đoạn DE : 0 £z4£10cm

Sz = 0 Þ P1 + P2 ­ P3 + P4 ­ N3 = 0

Þ N2 = P1 + P2 ­ P3 + P4 = 30 + 20 ­ 90 + 50  = 10 kN (lực kéo). 

Từ các kết quả trên ta vẽ được biểu đồ lực dọc N như hình vẽ 2.4. 

1.3.4. Nhận xét : 

Trên các đoạn thanh khơng có lực tập trung tác dụng, biểu đồ lực dọc song song  với đường chuẩn. 

Trên đoạn thanh có  tải  trọng  phân  bố  đều  tác  dụng,  biểu đồ  lực  dọc  là đường  thẳng xiên. 

2 ỨNG SUẤT, BIẾN DẠNG TRÊN THANH BỊ KÉO NÉN 

2.1 Ứng suất trên mặt cắt ngang trong giới hạn đàn hồi: 

2.1.1. Quan sát biến dạng : 

Xét thanh thẳng chịu kéo đúng tâm bởi hệ lực ngược chiều nhau, hợp lực P của hệ  lực nằm dọc theo trục thanh như hình vẽ 2.5. 

Trước khi cho thanh chịu lực, ta vạch lên mặt ngồi của thanh những đường thẳng  song song với trục thanh biểu diễn các lớp vật liệu nằm dọc trục của thanh ta gọi là  các thớ dọc của thanh. Và vạch những đường thẳng vng góc với trục thanh biểu  diễn các mặt cắt ngang của thanh (hình vẽ 2.5a)

H×nh vÏ 2.5 a)

b)

P P

Sau khi cho thanh chịu lực P tác dụng (hình vẽ 2.5b) quan sát biến dạng ta thấy:  ­ Những đoạn thẳng vng góc với trục thanh di chuyển ra xa, nhưng vẫn thẳng  và vng góc với trục thanh. 

­ Những đường thẳng song song với trục thanh thì dịch lại gần với nhau, nhưng  vẫn thẳng và song song với trục thanh. 

Qua quan sát các thí nghiệm ta có thể đưa ra ba giả thiết trong biến dạng của thanh  chịu kéo (nén) đúng tâm như sau : 

2.1.2. Giả thiết : 

­ Giả thiết 1 : Trục thanh thẳng vẫn thẳng khi thanh bị biến dạng. 

­ Giả thiết 2 : trước và sau biến dạng các mặt cắt ngang vẫn phẳng và vng góc  với trục thanh (giả thiết Bernoulli). 

­  Giả  thiết 3 :  trong q trình  biến dạng các  thớ  dọc  khơng  ép  lên  nhau  và  cũng  không đẩy nhau. 

Nếu  tách  ở  đầu  thanh  ra  một đoạn dz,  thì  các  thớ dọc trục của đoạn đó theo giả thiết 1 và 2, có  độ dãn dài bằng nhau, tức là : ddz = const 

Từ đó ta rút ra phương trình biến dạng là :

ddz

1

2 2'

2 2' Nz

Nz

z

dz

const dz

d

e = =  (2.2) 

Mặt khác ta có quan hệ giữa ứng suất pháp trên mặt cắt ngang và nội lực Nz là :

z z

F

N = s ị  dF (2.3) 

Vì vật liệu làm việc trong giới hạn đàn hồi, đồng thời theo giả thiết 3, ta có quan  hệ  giữa  ứng  suất và biến dạng  (định  luật Hooke  trong  trạng  thái  ứng  suất đường –  xem chương 3)

z z

E s

e =  (2.4) 

Trong đó : E : mơ đuyn đàn hồi của vật liệu (mơ đuyn Young) (bảng tra 2.1) 

Bảng 2.1 : Mơ đuyn đàn hồi E (daN/cm 2 ) của một số vật liệu 

Vật liệu  E 

Thép  (2 ¸2,1).10 6 

Gang (xám, trắng)  (1,15 ¸1,6) .10 6 

Đồng, hợp kim đồng (đồng vàng, đồng đen)  (1 ¸1,3).10 6 

Hợp kim nhơm  0,72.10 6 

Khối xây 

­ Bằng đá vôi.  ­ Bằng gạch. 

0,6.10 6  0,03.10 6 

Bê tông  (0,15 ¸0,23) .10 6 

Gỗ dọc thớ  0,1.10 6 

Cao su  0,00008.10 6 

So sánh (2.2) và (2.4) ta rút ra :

sz = const  (2.5) 

Tức là : trong biến dạng kéo, nén ứng suất pháp  phân bố đều trên mặt cắt ngang. 

So sánh (2.3) và (2.5) ta rút ra cơng thức tính ứng  suất pháp sz

z z

N F

s =  (2.6) 

Từ  các  kết  luận  trên,  ta  vẽ  được  biểu  đồ  phân  bố  ứng  suất  pháp  trên  mặt  cắt  ngang (hình vẽ 2.6) 

2.2. Biến dạng :

Nz

sz =

F Nz

sz

2.2.1. Biến dạng dọc : 

Thay (2.6) vào (2.4) rồi vào (2.2), ta được cơng thức tính biến dạng dọc đoạn dài  dz của thanh bị kéo, nén :

z N dz dz

EF

d =  (2.7) 

Biến dạng dọc của thanh dài lbằng : z

l l

N

l dz dz

EF

D = dò = ò  (2.8) 

Trong  trường  hợp  đặc  biệt,  khi  Nz và  EF có  giá  trị  khơng  đổi  trên  chiều  dài  thì 

biến dạng dọc của thanh bằng : z

N l l

EF

D =  (2.9) 

Tích EF/l gọi là độ cứng chống kéo (nén) của thanh, EF gọi là độ cứng chống kéo  (nén) đơn vị của thanh. 

2.2.2. Biến dạng ngang : 

Khi bị dãn (kéo) dọc, kích thước theo chiều ngang của thanh co lại (hình vẽ 2.7a).  Ngược lại khi bị co (nén) dọc, kích thước theo chiều ngang bị dãn ra (hình vẽ 2.7b).  Gọi e’ là biến dạng ngang, thì giữa ez và e’ có quan hệ khơng đổi phụ thuộc vật liệu. 

Tỷ số giữa ez vàe’ gọi là hệ số Poisson

P P

l Dl/2

Dl/2

l 1

b 1 Db/2

Db/2 b a)

P P

l 1 Dl/2

Dl/2

l

b Db/2

Db/2 b 1 b)

H×nh vÏ 2.7

z ' e m =

e  (2.10) 

Hệ số Poisson có giá trị từ 0 (bấc xốp) đến 0,5 (cao su) xem bảng 2.2 

Bảng 2.2 : Hệ số Poisson m cho một số vật liệu thơng thường 

Vật liệu m  Vật liệu m 

Đồng  0,31 ¸0,34  Thuỷ tinh  0,25 

Đồng đen  0,32 ¸0,35  Đá hộc  0,16 ¸0,34 

Gang  0,23 ¸0,27  Bê tơng  0,16 ¸0,18 

Chì  0,45  Gỗ dán  0,07 

Hợp kim nhơm  0,26 ¸0,36  Cao su  0,5 

Kẽm  0,21  Nến  0,5 

Vàng  0,42  Bấc xốp  0,0 

2.3. Ví dụ : 

Thanh thép trịn gồm hai đoạn có diện tích mặt cắt ngang F1 = 20cm  2 

; F2 = 40cm  2 

chịu tác 

dụng  của  các  lực  dọc  trục  P1 =  30KN;  P2 =  50KN;  P3 =  80KN  (như  hình  vẽ  2.8). 

Hãy tính các yếu tố sau: 

+ Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N. 

+ Tính và vẽ biểu đồ ứng suất trong các đoạn.  + Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh. 

Cho biết E = 20.10 3 KN/cm 2 . Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh

F 1 F

P 1 = 30KN A

B P = 50KN

C P 3 = 80KN

1

1

D

P 1 = 30KN A

1

N 1

P 1 = 30KN A

B P = 50KN

2

N 2

P 1 = 30KN A

B P = 50KN

C P 3 = 80KN 3

N 3

30KN 20KN

50KN

N KN

1,5KN/cm 0,5

s KN/cm

1,5KN/cm

60

cm

40

cm

20

H×nh vÏ 2.8

Bài giải : 

a. Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N :  ­ Đoạn AB : 0 £ z1£20cm

Sz = 0 Þ P1 ­ N1 = 0

Þ N1 = P1 = 30 KN (lực kéo). 

­ Đoạn BC : 0 £ z2£ 40cm

Þ N2 = P1 ­ P2 = 30 ­ 50 = ­ 20 KN (lực nén). 

­ Đoạn CD : 0 £ z3£60cm

Sz = 0 Þ P1 ­ P2 + P3 ­ N3 = 0

Þ N2 = P1 ­ P2 + P3 = 30 ­ 50 + 80  = 60 KN (lực kéo). 

Từ các kết quả trên ta vẽ được biểu đồ lực dọc N như hình vẽ 2.8.  b. Tính ứng suất trong các đoạn : 

­ Đoạn AB :

2

1

1 , KN cm

20 30 F N

= = = s 

­ Đoạn BC :

2

2

2 , KN cm

40 20 F

N

- = - = = s 

­ Đoạn CD :

2

3

3 , KN cm

40 60 F N

= = = s 

Biểu đồ ứng suất được vẽ trên hình vẽ 2.8.  c. Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh : 

* Xét biến dạng dọc tuyệt đối của các đoạn, do Nz và EF có giá trị khơng đổi 

trên chiều dài thì biến dạng dọc của thanh được tính theo cơng thức (2­9).  ­ Đoạn AB :

cm 10 , 20 10 20

20 30 F

E

l N

l 3

1 1

- = =

= D 

­ Đoạn BC :

cm 10 , 40 10 20

40 20 F

E

l N

l 3

2 2

- =

- = =

D 

­ Đoạn CD :

cm 10 , 40 10 20

60 60 F

E

l N

l 3

3 3

- =

= =

D 

* Biến dạng dọc tuyệt đối của toàn thanh : Dl = Dl1 + Dl2 + Dl3 = 1,5.10 

­3 

­ 1,0.10 ­3 + 4,5.10 ­3 = 5.10 ­3 cm  hay Dl = 0,05 mm 

3. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ HỌC VỀ ĐỘ BỀN CỦA VẬT LIỆU 

3.1. Nhận xét chung : 

Để đánh  giá  được độ bền của  thanh hoặc hệ  kết cấu trong  q  trình  chịu  lực  và  trên cơ sở đó đề ra các tiêu chuẩn, điều kiện đảm bảo sự làm việc bình thường, an  tồn của kết cấu. 

Muốn biết rõ tính chất cơ học của vật liệu, ta phải đem vật liệu ra thí nghiệm, để  nghiên cứu những hiện tượng xảy ra trong q trình biến dạng của nó cho tới khi bị  phá hỏng. Thường dùng thí nghiệm kéo và nén. 

Theo biến dạng vật liệu được phân thành hai nhóm : 

­ Vật liệu dịn như : gang, đá, bê tơng, gạch,  là loại vật liệu khi bị phá hoại thì  có biến dạng nhỏ, khơng quan sát được bằng mắt trong điều kiện bình thường. 

­ Vật liệu dẻo như : thép, đồng, nhơm, gỗ,  là loại vật liệu khi bị phá hoại thì  có biến dạng lớn, quan sát được bằng mắt trong điều kiện bình thường. 

Những thí  nghiệm  đặc  trưng,  tương  đối  đơn giản, khả  thi  và  phổ  biến  là  các  thí  nghiệm  kéo,  nén  các  mẫu  vật  liệu  hình  thanh.  Máy  thí  nghiệm  có  thể  là  máy  đa  năng, máy chun dụng kéo, nén. Bộ phận tạo lực có thể là hệ thống cơ học hoặc hệ  thống thủy lực. Trên máy có thiết bị tự động ghi lại được đồ thị quan hệ giữa lực kéo  P và biến dạng dài của thanh. Những máy thí nghiệm thế hệ mới cịn được trang bị  máy vi tính có khả năng điều khiển  tự động q trình thí nghiệm, từ việc cho máy  vận hành đến việc thu nhận, xử lý kết quả, vẽ đồ thị của cả q trình hoặc chỉ của  một giai đoạn thí nghiệm. Hầu hết trong các máy thí nghiệm, trục của thanh mẫu và  lực tác dụng đều theo phương thẳng đứng. 

3.2. Thí nghiệm kéo vật liệu dẻo : 

3.2.1. Mẫu thử : 

Thơng  thường,  ta  hay  dùng  mẫu  thép  ít  cácbon được chế tạo bằng thép mềm CT38  (thép non). Thanh thép có hình trụ trịn, tiết  diện có đường kính ban đầu d0 = 20mm, với 

chiều dài ban đầu l0 được quy định chung là 

l0 = 10d0 cho mẫu dài, l0 = 5d0 cho mẫu ngắn. Hình dạng một mẫu thép dài như hình 

vẽ 2.9. Kích thước mẫu, độ bóng bề mặt,  lấy theo quy định của TCVN. 

3.2.2. Trình tự thí nghiệm và biểu đồ s ­e : 

Trình tự thí nghiệm : 

­  Lắp  mẫu  trên  máy  kéo,  tăng  lực  kéo  từ  0  cho đến khi đứt mẫu. 

­  Trị  số  lực  kéo  đọc  được  trên  đồng  hồ  đo  lực gắn trên máy. 

­  Máy  sẽ  tự  động  vẽ  biểu  đồ  quan  hệ  giữa  lực kéo P và biến dạng dài tuyệt đối Dl. 

Biểu đồ s­ e :

l 0 = 200mm 340mm 390mm H×nh vÏ 2.9

220mm

d 0 = 20 35

e Dl/l 0 s P/F 0

O H×nh vÏ 2.10

stl sch s®h sb

A B C C'

M

D

E

­ Xem ứng suất pháp phân bố đều trên mặt cắt ngang, ta có :

0

F P

= s 

F0 – diện tích ban đầu mẫu thử 

­ Mặt khác :

0

l l D = e 

­ Ta vẽ được biểu đồ s­ e (hình vẽ 2.10) 

Trên biểu đồ s­ e ta thấy : quy trình làm việc của thép gồm ba giai đoạn 

­ Giai đoạn tỷ lệ : ứng suất và biến dạng có quan hệ bậc nhất. Biểu diễn bằng  đoạn OA trên đồ thị. Biến dạng của thanh trong giai đoạn này nói chung rất nhỏ

0 tl tl

F P =

s  gọi là giới hạn tỷ lệ. 

Đối  với  thép  CT  38  stl =  2100  daN/cm  2 

.  Độ  dốc  của  đường  thẳng  OA  bằng giá trị của mơ đuyn đàn hồi của vật liệu. Trong giai đoạn tỷ lệ, vật liệu có tính  đàn hồi, tức là sau khi bỏ hết lực kéo, mẫu thử hồn tồn trở lại chiều dài cũ. 

­  Giai đoạn  chảy dẻo : khi  kéo đến  điểm  C,  ứng  suất  không  tăng  (do  lực  kéo  không tăng) nhưng biến dạng vẫn tăng. Biểu diễn bằng đoạn nằm ngang CC’ trên đồ  thị. Ứng suất trong giai đoạn này gọi là giới hạn chảy. Độ dài của thềm chảy cũng  khác nhau đối với từng loại vật liệu nhưng thường lớn hơn biến dạng trong giai đoạn  tỷ lệ

0 ch ch

F P = s 

Đối với thép CT 38 thì sch = 2400 daN/cm 2 

­ Giai đoạn tái bền : hết giai đoạn chảy, vật liệu khơi phục độ bền, khi đó ứng  suất  tăng  thì  biến  dạng  tăng  nhưng  theo  quan  hệ  đường  cong.  Cuối  giai  đoạn  này  trên mẫu thử hình thành một chỗ thắt và mẫu sẽ đứt tại E trên biểu đồ. Ứng suất lớn  nhất (tại điểm D) gọi là giới hạn bền

0 b b

F P

= s 

Đối với thép CT38 thì sb = 3800 daN/cm  2 

. Số 38 trong thép CT38 có nguồn  gốc từ giá trị này. 

­  Cũng  từ  sau  điểm  B,  người  ta  quan  sát  thấy  trên  mặt  mẫu  thử  hình  thành  những vết gợn xiên góc 45 0 với trục mẫu. Đó là vết do sự trượt mạng tinh thể thép  sinh ra, được gọi là đường Luder – Trernov. 

Dạng vạch gợn sóng      Dạng lõm đồng tiền  Dạng vẩy bề mặt  3.3. Thí nghiệm vật liệu dịn : 

3.3.1. Mẫu thí nghiệm : 

Khi  nén  vật  liệu  dịn  các  mẫu  thí  nghiệm  thường  là  hình  lập  phương  hay  hình trụ (có h ³2.d) 

3.3.2. Biểu đồ s ­e : 

+  Khi  nén vật  liệu dịn  khơng  có  giai  đoạn tỷ lệ và giai đoạn chảy dẻo. 

+  Biểu  đồ s  ­ e  là  đường  cong  OD  như  hình  vẽ  2.11,  khi  ứng  suất  cịn  rất  nhỏ. 

+ Vật liệu dịn có ứng suất khi phá hoại sb lớn hơn sb kéo

NÐn mÉu thÐp CT38

Nén mẫu bê tông

3.4.Nhnxột:

Vtliudokhiphỏtsinhbindngnhiumihng,vtliudũnbindngớtó hng.

Vật liệu dẻo chịu kéo và nén như nhau, vật liệu dòn chịu nén tốt hơn chịu kéo rất  nhiều. 

4. THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI TRONG KÉO VÀ NÉN d

h

e Dl/l 0

s P/F 0

stl D

4.1. Khái niệm : 

Giả sử có một thanh bị kéo hay nén trong giới hạn đàn hồi. Thanh bị biến dạng, do  đó lực đặt vào thanh tạo ra một cơng, thanh tích luỹ một năng lượng gọi là thế năng  biến dạng đàn hồi. Nhờ thế năng này mà khi bỏ lực, vật thể trở về hình dạng và kích  thước ban đầu. 

4.2. Cơng thức tính : 

Xét một thanh bị kéo bởi lực P và có biến dạng Dl. Trong q trình tăng lực từ 0  đến P, lực kéo tạo ra cơng A nó tích luỹ vào thanh dưới dạng thế năng U, ta có : 

U = A  (2.11) 

Trong quá trình kéo đến giá trị P1 tương ứng với biến dạng Dl1, nếu ta tăng thêm 

dP1 thì biến dạng tăng thêm dDl1 

(hình  vẽ  2.12).  Khi  đó  P1 tạo  ra 

cơng ngun tố :  dA = P1. dDl1 

Trên  đồ  thị,  cơng  ngun  tố  dA biểu thị bằng ngun tố diện  tích  dW.  Do  đó  cơng  tồn  bộ  tương  ứng  với  lực  P  và  biến  dạng Dl được biểu thị bằng diện  tích W  của  tam  giác  OAB  giới  hạn bởi các đường thẳng OA và  trục hồnh, được tính :

1

A U P l

2

= = D  (2.12) 

Thay Dl bằng giá trị của nó ở (2.9) ta được :

z N l U

2.E.F

=  (2.13) 

Suy rộng cơng thức này cho trường hợp thanh có nhiều đoạn độ cứng và nội lực  khơng đổi

2 n

zi i i i

N l

U

2 = E.F

= å  (2.14) 

4.3. Ví dụ : 

Tĩnh  chuyển  vị  thẳng  đứng  tại  đầu  A  của  hệ  thanh  ABC  bằng cách áp dụng quan hệ về năng lượng (hình vẽ 2.13) 

Nội lực trong các thanh AB và AC bằng : P

P 1 + dP 1

O

Dl dDl

P 1 P + dP

P

Dl A

B dW W

H×nh vÏ 2.12

l

D

l

d

D

l

a

a

a/cos

a

EF

EF

P A B

zAB

zAC P N

tg P N

sin =

a = -

a 

Thế năng biến dạng đàn hồi của hệ thanh

zAC

2

zAB

2

N a

N a cos P a 1

U x

2EF 2EF 2EF tg cos

ổ

a

= + = ỗ + ÷

aè a ø 

ĐặtD là chuyển vị thẳng đứng do lực P thì cơng của ngoại lực bằng : P

A

D = 

Vì A = U nên ta có :

2

P.a 1

x

EF tg cos

ổ

D = ỗ + ÷

aè a ø 

5. KHÁI NIỆM VỀ SỰ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT  Trong biến dạng kéo, nén cũng như trong các biến  dạng khác, khi mặt cắt ngang thanh có sự thay đổi đột  ngột  về  hình  dạng  và  kích  thước  thì  tại  đó  ứng  suất  phân bố khơng bình thường nữa. Tại lân cận chỗ thay  đổi,  ứng  suất  lớn  vọt  lên  rồi  giảm  đi  nhanh  chóng.  Hình vẽ 2.14 là ví dụ minh hoạ. Hiện tượng nói trên  gọi là sự tập trung ứng suất. Ứng suất lớn nhất ở chỗ  thay  đổi  đột  ngột  mặt  cắt  gọi  là  ứng  suất  tập  trung  (stt) hay còn gọi là ứng suất cục bộ. Độ lớn của ứng 

suất  tập  trung  phụ  thuộc  hình  dạng  chỗ  thay đổi  mặt  cắt và đặc biệt phụ thuộc bán kính lượn chỗ thay đổi  đổi : bán kính lượn càng bé, ứng suất tập trung càng  lớn.  Tỉ  số  giữa  ứng  suất  tập  trung  và  ứng  suất  trung  bình (danh nghĩa) gọi là hệ số tập trung ứng suất

max tt

tb s a =

s  (2.15) 

6. TÍNH THANH KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 

6.1. Khái niệm về ứng suất cho phép và hệ số an tồn : 

Khi tính thanh bằng vật liệu dẻo nếu ứng suất đạt đến giai đoạn chảy dẻo (sch) ta 

xem thanh ở trạng thái nguy hiểm, tuy thanh chưa bị phá hỏng nhưng biến dạng đã  khá lớn

smax smax

Đối  với  thanh bằng  vật  liệu dòn  nếu  ứng suất đạt  đến  giai đoạn bền  (sb) ta  xem 

thanh ở trạng thái nguy hiểm, vì q giới hạn này thanh sẽ bị phá hỏng. 

Ứng suất ở trạng thái nguy hiểm ký hiệu s0 tại đó xem như vật liệu bị phá hoại. 

­ Đối với vật liệu dẻo :s0 = sch 

­ Đối với vật liệu dịn : s0 = sb 

Do tình trạng vật liệu khơng hồn tồn đồng nhất. Khi tính tốn để đảm bảo cho  cấu kiện làm việc được an tồn ta phải đưa thêm vào hệ số an tồn, ký hiệu n và lớn  hơn 1. 

­ Đối với vật liệu dòn :[ ] n

b

s = s  ­ Đối với vật liệu dẻo : [ ]

n

ch

s =

s  (2.16) 

Trong đó :  [s] : ứng suất cho phép.  n : hệ số an tồn, n > 1 

6.1.1. Định nghĩa ứng suất cho phép : 

Ứng suất cho phép là tỷ số giữa ứng suất nguy hiểm và hệ số an tồn. 

6.1.2. Chọn hệ số an tồn :dựa vào những căn cứ chính như sau : 

­ Tính đồng nhất và chất lượng của vật liệu chế tạo thanh. 

­ Sự sai lệch giữa tải trọng thực tế với tải trọng đưa vào phép tính. 

­  Độ chính  xác chế tạo các  chi  tiết  hay bộ  phận  cơng  trình, độ  chính  xác  khi  thí  nghiệm xác định các giới hạn về độ bền của vật liệu. 

­ Sự gần đúng trong tính tốn do đưa vào những giả thiết. 

­ Tầm quan trọng, u cầu sử dụng (tạm thời hay vĩnh cửu) của cơng trình,… 

6.1.3 Ứng suất cho phép của một số vật liệu thơng thường ở bảng sau : 

[s] MN/m 2  Vật liệu 

Kéo  Nén 

Thép xây dựng số 3 (CT3)  160 

Thép xây dựng số 5 (CT5)  140 

Đồng  30 ¸120 

Nhơm  30 ¸ 80 

Đuyara  80 ¸150 

Gang xám  28 ¸ 80  120 ¸ 150 

Thanh chịu kéo, nén đúng tâm cần phải đảm bảo điều kiện bền :

[ ] s £ = s 

F  N 

(2.17)  Từ điều kiện bền ta suy ra ba bài toán cơ bản như sau : 

6.2.2. Ba bài toán cơ bản: 

6.2.2.1. Kiểm tra bền : 

Giả sử đã biết [s], vật liệu, kích thước các thanh cũng như tải trọng tác dụng.  Để kiểm tra bền, cần xác định nội lực (N). 

Ứng suất lớn nhất xuất hiện trong kết cấu thoả mãn :

[ ] s £ =

s

F N max

max (2.18) 

Nmax : nội lực lớn nhất tại mặt cắt nguy hiểm nhất. 

*  Chú  ý  :  smax >  [s] 

[ ]

[ ] %

max <

s s - s =

D  kết  cấu  vẫn  đảm  bảo  điều 

kiện  bền. 

6.2.2.2. Chọn kích thước mặt cắt : 

Xác định diện tích mặt cắt ngang cần thiết.  Từ (2.18) Þ [ ]

s ³ N max

F (a) 

Mặt khác ta có : 

­ Nếu thanh tiết diện vng thì F = a. a = a 2  (b)  Từ (a) và (b) ta suy ra a. 

­ Nếu thanh có tiết diện trịn có đường kính d thì

4 d F

2

p

=  (c) 

Từ (a) và (c) ta suy ra d. 

6.2.2.3. Xác định tải trọng cho phép :  Từ (2.18) suy ra : Nmax£F. [s] 

Từ Nmax ta xác định được tải trọng  cho phép. 

6.2.3. Ví dụ: 

Kết  cấu  gồm  hai  thanh  AB  và  AC  treo  vật nặng P  như  hình  vẽ  2.15. Thanh  AB  làm bằng thép có đường kính d1, ứng suất cho phép [s]AB = 16 KN/cm 

2 

. Thanh AC  làm bằng đồng có đường kính d2, ứng suất cho phép [s]AC = 15 KN/cm 

2 

. Xem thanh  AC khơng mất ổn định. 

+ Tính [P]. 

+ Xác định d1, d2 khi biết P = 60 KN. 

+ Xác định hệ số an toàn thanh AC khi biếtsch = 24 KN/cm  2 

, P = 50 KN

P

a

d

a A

B

C

P

a

a=2m b=6m

A x C

y

N AC

N AB h

H×nh vÏ 2.14 Hình vẽ 2.15 

Bài giải : 

a. Kiểm tra độ bền của các thanh, biết P = 50 KN, d1 = 2cm, d2 = 4cm  Công thức kiểm tra :s= £ [ ] s

F N

* Xác định nội lực trong các thanh : 

+ Thanh AB : viết phương trình Mơ men đối với điểm C Smc = 0 Þ NAB. h ­ P.b = 0

h b P N AB = Þ 

Ta có : , 75

6

6 b a

c

tg =

+ = + = a 

Suy ra : a = 36,87 0 vậy Sina = 0,6 ; Cosa = 0,8 

Mặt khác : h ( a b ) sin ( ) , , m b

a h

Sin Þ = + a = + =

+ = a 

Vậy 62 , KN

8 ,

6 50

N AB =  = (lực kéo) 

+ Thanh AC : Tách và xét cân bằng nút A Sx = 0 Þ NAC + NAB.cosa = 0

Þ NAC = ­ NAB.cosa = ­ 62,5. 0,8 = ­ 50KN (lực nén) 

* Kiểm tra độ bền :  ­ Thanh AB : 

+ Diện tích tiết diện ngang :

2

1

AB , 14 cm

4

d

+ Ứng suất lớn nhất xuất hiện trong thanh AB :

2 AB

AB max AB

cm KN , 19 14 ,

5 , 62 F

N

= =

= s 

+ Ứng suất cho phép [s]AB = 16 KN/cm 2 

+ So sánh ta thấy sAB  max 

> [s]AB 

Vậy thanh AB khơng đảm bảo điều kiện  bền.  ­ Thanh AC : 

+ Diện tích tiết diện ngang :

2

2

AC 12 , 56 cm

4

d

F = p = p = + Ứng suất lớn nhất xuất hiện trong thanh AC :

2 AC

AC max

AC

cm KN 98 , 56 , 12

50 F

N

= =

= s 

+ Ứng suất cho phép [s]AC = 15 KN/cm  2 

+ So sánh ta thấy sAC  max 

< [s]AC 

Vậy thanh AC đảm bảo điều kiện  bền.  b. Tính [P] : 

Từ cơng thức kiểm tra độ bền s= £ [ ] s F N Ta suy ra : N £ F. [s] 

­ Thanh AB : 

+ Ta có : NAB£FAB. [s]AB = 3,14. 16 = 50,24 KN 

+ Mặt khác : , 25 P

,

6 P h

b P

N AB =  = = + Suy ra : 1,25.P £50,24

KN 192 , 40 25 ,

24 , 50 P £ =

Þ  (1) 

­ Thanh AC : 

+ Ta có : NAC£FAC. [s]AC = 12,56. 15 = 188,4 KN 

+ Mặt khác : NAC = ­ NAB. cosa = ­1,25P. 0,8 = ­ P 

Từ công thức kiểm tra độ bền s= £ [ ] s F N

Ta suy ra : [ ] s ³ N F ­ Thanh AB : 

+ Lực dọc : 75 KN

8 ,

6 60 h

b P

N AB =  = =

Suy ra

[ ]

2 AB

AB

AB , 6875 cm

16 75 N

F = =

s ³  + Mặt khác :

4 d F

2 AB

p =  Suy ra

p = AB

F d

Hay d  2 , 443 cm 

14  ,  3 

6875  ,  4    4 

1 ³  =

+ Chọn d1 = 2,5 cm. 

­ Thanh AC : 

+ Lực dọc : NAC = ­ NAB. cosa = ­75. 0,8 = ­ 60KN 

Suy ra [ ]

AC AC

AC cm

15 60 N

F = =

s ³ 

+ Mặt khác :

4 d F

2 AC

p

=  Suy ra

p = AC

F d

Hay , 257 cm

14 ,

4

d ³  =

+ Chọn d2 = 2,3 cm. 

d. Hệ số an tồn thanh AC : 

Cơng thức xác định hệ số an tồn : , 03 98 ,

24 n

AC ch

AC = =

s s = 

6.3. Trường hợp có xét đến trọng lượng bản thân thanh : 

6.3.1. Thanh có mặt cắt khơng đổi : 

Cho thanh như hình vẽ 2.16 có diện tích mặt cắt ngang khơng đổi, chiều dài thanh  l, thanh có trọng lượng riêng g. 

Sz = 0 Þ N ­ P ­ G = 0

Þ N = P + G = P + F g. z  Khi z = 0 ÞN = P (tại A) 

Khi z = lÞ N = P + F.g. l (tại B)  + Ứng suất tại các mặt cắt :

F P

A =

s

l F P

B = + g

s  + Biểu đồ ứng suất như hình vẽ

P A

1

G

l

P A

1

G N

z z

s A s B

Hình vẽ 2.13 6.3.2.Thanhcúmtctngangthayi:

ù ù ỵ ù ù ý ü g + = s

g + = s

2 1 2

1 1

F F l F

P l F P

chọn F1, F2 sao cho s1 = s2 = [s] từ đó suy ra F1, F2 

7. BÀI TỐN SIÊU TĨNH VỀ KÉO, NÉN 

7.1. Khái niệm : 

Bài  tốn  siêu  tĩnh  của  thanh  và  hệ  thanh  là  bài  toán  mà  việc  giải  ra  các  nội  lực  khơng thể thực hiện chỉ bằng các phương trình 

tĩnh  học,  vì  số  ẩn  số  nhiều  hơn  số  phương  trình  tĩnh  học  có  thể  lập  được.  Để  bổ  sung  những  phương  trình  cần  thiết,  người  ta  phải  lập  thêm  những  phương  trình  hình  học  và  những phương trình vật lý. 

Phương  trình  hình  học  ở  đây  là  những  phương  trình  tương  thích  biến  dạng.  Cịn  những phương  trình  vật  lý  (ví  dụ các  phương  trình xuất phát từ định luật Hooke đối với vật 

Hình vẽ 2.16

a a

A

B C D

P a a

A

N AB N AC N AD

H×nh vÏ 2.17 A'

D

l AC

Dl AD D

l

liệu đàn hồi tuyến tính) nhằm biểu thị quan hệ giữa biến dạng và nội lực.  7.2. Bài tập áp dụng : 

7.2.1. Ví dụ 1 : 

Cho hệ chịu lực như hình vẽ 2.17, hãy xác định nội lực trong các thanh, biết :  ­ Diện tích mặt cắt ngang các thanh là F. 

­ Các thanh làm cùng loại vật liệu.  Bài giải : 

Tưởng  tượng  dùng  mặt  cắt  1­1  cắt  qua  ba  thanh  AB,  AC,  AD.  Xét  cân  bằng  phần bên dưới mặt cắt 1­1. 

Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên trục x : Sx = 0 Û NAD. sina ­ NAB. sina = 0

Û NAD = NAB  (1) 

Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên trục y :

Sy = 0 Û NAD. cosa + NAB. cosa + NAC – P = 0  (2) 

Thay (1) vào (2) ta được : 

2 NAD. cosa +  NAC = P  (3) 

Thiết  lập  phương  trình  biến  dạng  hình  học  của  hệ  :  Dưới  tác  dụng  của  lực  P  điểm A sẽ di chuyển xuống điểm A’ (vì hệ đã cho đối xứng nên A và A’ cùng nằm  trên đường thẳng đứng) 

Ta có : AC

AC

N l l AA '

EF

D = =  (4)

AD AD

N l l AA '.cos

EF.cos

D = a =

a  (5) 

Từ (4) và (5) ta suy ra : AD

AC

N N

cos =

a  (6) 

Thay (6) và (3) ta được :  2 NAD. cos 

3

a +  NAD = P. cos 

a a

Þ = =

+ a

2

AD AB

P.cos

N N

1 cos (7) 

Thay (7) vào (6) ta có : =

+ a

AC

P N

1 2cos

Cho hệ thanh treo như hình vẽ 2.18. Thanh  AB tuyệt đối cứng, độ cứng của các  thanh CD và EF như hình vẽ. Hệ thanh chịu tác dụng của các tải trọng P = 50KN,  M = 100KNm, q = 20KN/m. Hãy xác định nội lực trong các thanh treo

M P

2m 2m 4m

q

A B

E

D

C EF

2EF

3m

6m

H×nh vÏ 2.18 Bài giải : 

Tưởng  tượng  dùng  mặt cắt  1­1  cắt  qua  hai  thanh  CD,  BE. Xét cân bằng phần  bên dưới mặt cắt 1­1

q

A C B

N CD N BE

B' C'

M P

2m 2m 4m

Lấy mô men tất cả các lực đối với gối A :

SmA = 0 Û NCD. 4 + NBE. 8 + M – P. 2 – q. 4. 6 = 0

Û NCD. 4 + NBE. 8 = 50x2 + 20x4x6 – 100 = 480

Û NCD + NBE. 2 = 120  (1) 

Mặt  khác,  dưới  tác  dụng  của  các  tải  trọng  thì  hệ  sẽ  bị  biến  dạng,  lúc  đó  các  thanh treo sẽ bị dãn xuống. Điểm C sẽ dịch chuyển xuống đến vị trí C’ và điểm B sẽ  dịch xuống đến vị trí B’ (hình vẽ) 

Do thanh AB tuyệt đối cứng (khơng có biến dạng), nên theo quan hệ hình học ta  có :

=BB ' CC '

2 Hay D =D BE

CD

l l

2 (2) 

P 3 = 80KN

60

cm

30

60

cm

3

0

F 1 F

P 1 = 30KN

P 2 = 20KN

Mà D = CD CD

CD

N l l

EF ; D =

BE BE BE

N l l

2EF (3) 

Thay (3) vào (2) ta được : =

CD CD BE BE

N l N l x

EF 2EF

ÛN CD =1 x N BE

EF 2EF

Û = BE

CD

N N

2 (4) 

Thay (4) vào (1) ta có :  0,5. NBE + 2. NBE = 120

Û NBE = 48KN 

Thay NBE = 48KN vào (4) ta được : 

NCD = 24KN 

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 2 

LÝ THUYẾT : 

1.  Thế  nào  là  thanh  chịu  kéo  nén  đúng  tâm?  Lực  dọc  là  gì?  Cách  tính  lực  dọc?  Cách vẽ biểu đồ lực dọc. 

2.  Nêu trình  tự  thiết  lập  cơng  thức tính  ứng  suất pháp trong  thanh  chịu  kéo,  nén  đúng tâm? Nêu phạm vi áp dụng của cơng thức đó? Thế nào là hiện tượng tập trung  ứng suất? 

3.  Nêu  các  định  nghĩa  biến  dạng  dọc  và  biến  dạng  ngang  tuyệt  đối,  tương  đối?  Trình bày mối liên hệ giữa biến dạng dọc và biến dạng ngang? 

4. Viết và giải thích cơng thức tính biến dạng dọc tuyệt đối? Nêu rõ phạm vi áp  dụng của cơng thức? 

5. Trình bày các giai đoạn làm việc của mẫu thí nghiệm bằng thép khi chịu kéo?  Nêu  sự  khác  nhau  giữa  vật  liệu  dẻo  và  vật  liệu  dòn  khi  chịu 

kéo?

6.  Thế  nào  là  ứng  suất  cho  phép?  Hệ  số  an  toàn  phụ  thuộc  vào những yếu tố nào? Nêu ý nghĩa của hệ số an tồn? 

7. Điều kiện bền và ba bài tốn cơ bản?  BÀI TẬP : 

1. Thanh thép trịn gồm hai đoạn có diện tích mặt cắt ngang  F1 =  15cm 

2 

;  F2 =  30cm  2 

chịu  tác  dụng  của  các  lực  dọc  trục  P1 = 30KN;  P2 = 20KN; P3 = 80KN (như hình vẽ). Hãy : 

+ Tính và vẽ biểu đồ ứng suất trong các đoạn.  + Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh. 

Cho  biết  E  =  20.10 3 KN/cm 2 .  Bỏ  qua  trọng  lượng  bản  thân của thanh. 

2. Thanh thép trịn gồm ba đoạn có diện tích mặt cắt ngang  F1 = 30cm 2 ; F2 = 15cm 2 ;  F3 = 25cm 2 chịu tác dụng của các 

lực dọc trục P1 = 40KN ; P2 = 10KN ; P3 = 70KN ; P4 = 60KN 

(như hình vẽ). Hãy : 

+ Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N. 

+ Tính và vẽ biểu đồ ứng suất trong các đoạn.  + Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh. 

Cho  biết  E  =  21.10 3 KN/cm 2 .  Bỏ  qua  trọng  lượng  bản  thân của thanh. 

3. Kết cấu gồm hai thanh  AB và  AC treo vật nặng P hình vẽ 3. Thanh AB bằng  thép trịn có đường kính d, ứng suất cho phép [s]AB = 14 KN/cm 

2 

. Thanh AC bằng  đồng có mặt cắt hình vng cạnh là a, ứng suất cho phép [s]AC = 1,8KN/cm 

2 

. Xem  thanh AC khơng mất ổn định. Hãy tính : 

+ Kích thước của các thanh khi biết P = 50 KN,a = 30 0  + Tính [P] khi biết d = 3cm, a = 10cm, a = 30 0

P

a

d

a A

B

C A

B C

d

a

P

30° 30° a

8m

2

4m d

A B D

C P

Hình vẽ 3  Hình vẽ 4  Hình vẽ 5 

4. Cho kết cấu chịu lực P = 100KN như hình vẽ 4. Thanh AB làm bằng thép có  [s]AB =  14  KN/cm 2 ,  có  mặt  cắt  hình  vng  cạnh  là  a  =  5cm;  thanh  AC  làm  bằng 

đồng có [s]AC=16KN/cm  2 

, có đường kính d = 4cm. Hãy kiểm tra khả năng chịu lực  của kết cấu. 

5. Thanh AB tuyệt đối cứng, được nối khớp với đất và giữ thăng bằng nhờ thanh  CD (như hình vẽ 5) có mặt cắt ngang hình trịn đường kính d = 4cm, ứng suất cho  phép [s]CD = 15 KN/cm 

2 

. Hãy xác định giá trị lực P cho phép. 

6.  Thanh  thép  tròn  gồm  hai  đoạn  có  diện  tích  mặt  cắt  ngang  F1 =  20cm  2 

;  F2 = 

40cm 2 chịu tác dụng của các lực dọc trục P1 = 80KN; P2 = 100KN; P3 = 50KN,  q =

P 1 = 40KN P 2 = 10KN P 4 = 60KN

60

cm

3

0

20

60

cm

P 3 = 70KN

F 1 F 2

10KN/m (như hình vẽ 6). Hãy tính:  + Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N. 

+  Tính  và  vẽ  biểu  đồ  ứng  suất  trong  các  đoạn. 

+ Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh.  Cho  biết  E  = 25.10 3 KN/cm 2 .  Bỏ qua  trọng  lượng bản thân của thanh. 

7. Thanh thép trịn có diện tích mặt cắt ngang  F = 40cm 2 chịu tác dụng của các lực dọc trục P1 

= 50KN; P2 = 120KN; P3 = 80KN, q = 10KN/m 

(như hình vẽ 7). Hãy tính các yếu tố sau:  + Tính và vẽ biểu đồ lực dọc N. 

+ Tính và vẽ biểu đồ ứng suất trong các đoạn.  + Tính biến dạng dọc tuyệt đối của thanh. 

Cho biết E = 24.10 3 KN/cm 2 . Bỏ qua trọng lượng bản thân của thanh. 

8. Cho hệ chịu lực như hình vẽ 8, hãy xác định nội lực trong các thanh, biết : tải  trọng tác dụng P = 100KN 

­ Diện tích mặt cắt ngang các thanh là F = 10cm 2 . 

­ Các thanh làm cùng loại vật liệu có E = 20.10 3 KN/cm 2

3m

H×nh vÏ

a a

A

B C D

H×nh vÏ P

M P

2m 2m 4m

q

A B

E

D C

2EF

EF

3m

9. Cho hệ  thanh  treo như  hình vẽ  9.  Thanh  AB  tuyệt  đối  cứng, độ cứng  của  các  thanh CD và EF như hình vẽ. Hệ thanh chịu tác dụng của các tải trọng P = 100KN,  M = 200KNm, q = 50KN/m. Hãy xác định nội lực trong các thanh treo. 

10.  Cho  hệ  thanh  treo  như  hình  vẽ  10,  các  thanh  AB  và  CD  tuyệt  đối  cứng.  Hệ  chịu tác dụng của các tải trọng P = 200KN, q = 100KN/m, M = 400KNm. Hãy xác  định kích thước các thanh treo BG, CE, DF biết tiết diện thanh như hình vẽ, ứng suất  cho phép của các thanh : [s]=20KN/cm 2 ; E = 20.10 3 KN/cm 2

P 1 q

P 2 P 3

3m

6m

3m

A B C D

P 1 2q

P 2 P 3

3m

3m

A B C D

3m

3m q

d

H×nh vÏ 10 M

P

2m 2m 4m

q

C D

F

B G E

A

4m

4m

6m

3EF 2EF

EF d

a

11.  Cho  hệ  thanh  treo  như  hình  vẽ  11,  các  thanh  AB  và  CD  tuyệt  đối  cứng.  Hệ  chịu tác  dụng  của  các  tải trọng P  = 100KN, q  =  50KN/m,  M  = 200KNm. Hãy xác  định nội lực trong các thanh treo

M

q

H×nh vÏ 11 P

A B

C

D E

F

M

q

P

A B

C

D E

F

2m 2m

2m

3m

3

m

G

30°30°

2m 2m 2m 2m

4m

A C

D E

B F

4m 2m

3m

6m

P

12. Một thanh có mặt cắt thay đổi bậc, bị ngàm cứng ở hai đầu. Hệ chịu tác dụng  của  các  tải  trọng  P  =  200KN,  q  =  50KN/m.  Mô  đun  đàn  hồi  của  vật  liệu  là  E  =  20.10 3 KN/cm 2 . Diện tích mặt cắt của các đoạn thanh F1 = 60cm 

2 

, F2 =  40cm  2 

, F3 = 

20cm 2 . Hãy tính phản lực ở các ngàm và vẽ biểu đồ nội lực của thanh

F F

2 F 3

2m 2m

2m

P 1 P 2

H×nh vÏ 12 H×nh vÏ 13

P

F

F

F

q

2m 2m 2m

13. Một thanh có mặt cắt thay đổi bậc, bị ngàm cứng ở hai đầu. Hệ chịu tác dụng  của  các  tải  trọng  P1 =  200KN,  P2 =  400KN.  Mô  đun  đàn  hồi  của  vật  liệu  là  E  = 

25.10 3 KN/cm 2 . Diện tích mặt cắt của các đoạn thanh F1 = 90cm  2 

, F2 =  60cm  2 

, F3 = 

CHƯƠNG 3: CẮT ­ TÍNH TỐN MỐI NỐI ĐINH TÁN. 

1. CẮT 

1.1. Hiện tượng cắt và nội lực khi cắt : 

Xét một thanh thẳng chịu tác dụng của hai lực P song song, ngược chiều, cùng trị  số, đặt ở hai mặt cắt rất gần nhau ab và a’b’ và vng góc với trục thanh (hình  vẽ  3.1a). 

Dưới tác dụng của lực P hình dạng thanh thay đổi từ  hình  chữ  nhật  sang  hình  bình  hành.  Hiện  tượng  thay  đổi ở trên đó là sự cắt của thanh (hình vẽ 3.1b, c). 

Gọi Q là hợp lực của các ứng suất tiếp. Q gọi là nội  lực cắt, có : 

­ Phương : cùng phương lực P  ­ Chiều : ngược chiều lực P.  ­ Điểm đặt : tại trọng tâm mặt cắt.  ­ Trị số : Q = P. 

Vậy thanh chịu cắt khi trên mặt cắt ngang chỉ có lực  cắt. 

1.2 Ứng suất và biến dạng cắt : 

Trên  hai  mặt  cắt ab  và  a’b’ xuất  hiện  ứng suất  tiếp  phân bố đều t (hình vẽ 3.1d)

[ ]C C

F Q

t £ =

t  (3­1) 

Trong đó :  Q : lực cắt. 

FC : diện tích mặt cắt ngang thanh

t : ứng suất tiếp cịn gọi là ứng suất cắt.  [tC] : ứng suất tiếp cho phép. 

Ta có :DS = ca’ = db’ gọi là biến dạng trượt tuyệt đối.  Biến dạng trượt biểu thị bằng gócg, do g rất nhỏ nên :

ca ' ca tg g = =

g  ; g ­ độ trượt tương đối. 

1.3. Định luật Hooke khi cắt : 

Đối với hiện tượng cắt, nếu ứng suất cắt khơng vượt q một giới hạn nào đó thì  ta có định luật Hook về cắt. Ứng suất cắt tỷ lệ với độ trượt tương đối g

Khi ch­a có lực tác dụng

Khi chịu lực tác dụng a)

b)

P

P

Tách mặt phẳng để quan sát

c) P

P a b

a' b'

a

b

a'

b'

t

t

D

S

d)

H×nh vÏ 3.1 c

t = G g 

Với : G ­ mođun đàn hồi của vật liệu khi cắt hay trượt

) (

E G

m +

=  (3­2) 

* Trị số trung bình của moduyn đàn hồi G (MN/m 2 ) của một số vật liệu. 

Vật liệu  G  Vật liệu  G 

Thép  8,1.10 4  Nhôm  2,6.10 4 

Gang  4,5.10 4  Gỗ  0,055.10 4 

Đồng  (4 ¸ 4,9) .10 4 

1.4. Điều kiện bền khi cắt : 

Từ điều kiện bền khi cắt : [ ]C C

F Q

t £ = t  Ta có ba bài tốn cơ bản sau : 

+ Kiểm tra bền : [ ]C C

F Q

t £ = t  + Chọn tiết diện :

[ ]C C

Q F

t ³ 

+ Xác định tải trọng cho phép :  Q £ FC. [tC]. 

2. TÍNH MỐI NỐI ĐINH TÁN 

Có rất nhiều mối nối đinh tán trong cơng trình hay chi tiết máy.  Ưu điểm của mối nối đinh tán : chắc chắn và có độ tin cậy cao.  Có  hai  hình  thức  chịu  lực  trong  mối 

nối đinh tán : cắt và ép mặt. 

2.1. Tính mối nối đinh tán về cắt : 

Xét mối nối đinh tán như hình vẽ 3.2  + Trên hình vẽ 3.2a ta thấy đinh chịu  cắt ở mặt cắt a ­ a, với diện tích chịu cắt  mỗi  đinh  là:

4 d F

2 C

p

=  (d  :  đường  kính  đinh tán). 

Trong  trường  hợp  này  số  mặt  cắt  trên mỗi đinh m = 1. 

+ Trên hình vẽ 3.2b ta thấy đinh chịu

a

a

P t P

2 t

a a

P t P

2 t

t

b b

a)

b)

F C c)

cắt ở hai mặt cắt a ­ a và b ­ b nên số mặt cắt trên mỗi đinh m = 2, và

4 d F

2 C

p

=  với 

d: đường kính đinh tán (hình vẽ 3.2c).  + Gọi n là số đinh tán ở một bên mối nối.  + Gọi m là số mặt cắt trên mỗi đinh. 

+ Diện tích chịu cắt tổng cộng của các đinh là :

4 d n m

2

p 

+ Giả thiết lực cắt phân bố đều cho các đinh, Q = P.  + Ứng suất tiếp xuất hiện trên mỗi đinh :

2

d n m

Q 4

d n m

Q

p = p = t 

+ Công thức kiểm tra điều kiện bền về cắt của mỗi đinh :

[ ]C

4 d n m

Q

t £ p =

t  (3­3) 

* Ba bài tốn cơ bản về cắt : 

­ Kiểm tra bền : áp dụng cơng thức (3­1). 

­ Tính số đinh tán hoặc đường kính đinh tán cần thiết :  Từ (3­1) ta suy ra : 

Số lượng đinh tán cần thiết :

[ ]C   

2 

.  d  .  .  m 

Q  .  4  n

t p

³  (3­4) 

Đường kính đinh tán cần thiết :

[ ]C

n m

Q d

t p

³  (3­5) 

­ Tính lực cắt cho phép : 

Từ (3­3) ta suy ra : [ ]C

d n m

Q £  p t (3­6) 

2.2. Tính đinh tán chịu ép mặt : 

+  Áp  lực  Q  do  thành  lỗ  ép  vào  thân  đinh  tán  có  thể  làm  cho  đinh tán bị ép mặt (dập). 

+ Giả thiết ứng suất phân bố đều trên mặt cắt dọc trục đinh tán,  lấy bằng sem :

em em

F n

Q =

s  (3­7) d

t

Với : 

Fem = St. d ­ diện tích hình chữ nhật có một cạnh bằng đường kính đinh, cịn 

một cạnh bằng chiều dày t của tấm truyền lực ép vào thân đinh St ­ chính là giá trị nhỏ hơn trong hai giá trị t2 và (t1 + t3) 

+ Điều kiện bền khi dập : (ép mặt)

[ ] em em

t d n

Q

s £ =

s

å  (3­8) 

* Ta có ba bài tốn cơ bản về ép mặt :  ­ Kiểm tra bền : theo cơng thức (3­8). 

­ Tính đường kính đinh tán hoặc số đinh tán :  Từ (3­8) suy ra : 

Đường kính đinh tán : [ ]

em

t n

Q d

å s

³  (3­9) 

Số đinh tán cần thiết : [ ]

em

t d

Q n

å s

³  (3­10) 

­ Tính lực cắt cho phép : 

Từ (3­8) suy ra : Q £ n. d St. [s]em  (3­11) 

2.3. Ví dụ : 

Tính số đinh cần thiết cho mối nối đinh tán  như hình vẽ 3.3, kiểm tra độ bền kéo của tấm  thép. Biết : đường  kính  đinh  tán  d  =  20mm,  lực kéo P = 160KN, ứng suất cho phép về cắt  [t]c =  14KN/cm 2 ,  ứng  suất  cho  phép  về  ép 

mặt [s]em = 26KN/cm  2 

, ứng suất cho phép về  kéo của tấm thép [s] = 28KN/cm 2 , t = 1cm,  b = 8cm. 

Bài giải : 

­ Tính số đinh tán cần thiết ở mối nối :  + Theo điều kiện bền về cắt :

[ ]

638 , 14

2

160

4 d m

Q

n 2

C

2 =

p = t p

³  đinh 

Số đinh cần thiết về cắt, n = 4 đinh.  + Theo điều kiện bền về ép mặt : 

[ ] 26 , 077 160

t d

Q n

cm

= =

s ³

å  đinh 

Số đinh cần thiết về ép mặt, n = 4  Vậy từ hai điều kiện trên chọn n = 4 đinh.  ­ Kiểm tra độ bền kéo của tấm thép : 

+ Lỗ đục trên tấm thép thường có đường kính lớn hơn đường kính đinh, ta lấy  d’=2,1cm  (d’ là đường kính lỗ đinh). 

+ Trên mặt cắt ngang tấm thép chỉ có một lỗ đinh nên :

( )

cm KN 119 , 27 ) , (

160 '

d b t

Q

= - = - = s 

+ Mặt khác : [s] = 28KN/cm 2 

+ So sánh ta thấy : s< [s] vậy đinh tán đảm bảo khả năng chịu lực. 

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 3 

LÝ THUYẾT : 

1. Thế nào là thanh chịu cắt? Nội lực, ứng suất, biến dạng cắt? Định luật Hooke về  cắt? 

2. Phân tích sự làm việc của đinh và tấm nối trong mối nối băng đinh tán. Trình  bày cách tính đường kính và cách chọn số đinh tán theo các điều kiện bền của đinh. 

BÀI TẬP : 

Cho  mối  nối  đinh  tán  như  hình  vẽ  3.4,  chịu  lực  kéo  P  =  100KN,  chiều dày tấm thép t = 12mm. Tính  số  đinh  cần  thiết  và  kiểm  tra  độ  bền  của  tấm  chính.  Biết  :  d  =  22mm ; [tc] = 10KN/cm 

2 

; [s]k = 16KN/cm  2 

. 

CHƯƠNG 4: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ LÝ THUYẾT BỀN. 

1. KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT. 

1.1. Trạng thái ứng suất : 

Trong chương 2 khi nghiên cứu ứng suất của thanh bị kéo hoặc nén đúng tâm, ta  thấy giá trị ứng suất pháp và ứng suất tiếp khơng chỉ phụ thuộc vào điểm đang xét  mà cịn phụ thuộc vào phương mặt cắt đi qua điểm đó. Như vậy tại một điểm của vật  thể biến dạng có một tập hợp vơ hạn những giá trị ứng  suất pháp và ứng suất tiếp.  Tập hợp này gọi là trạng thái ứng suất. 

Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả những ứng suất trên mọi mặt cắt  đi qua điểm đó. Trạng thái ứng suất cho phép ta có thể so sánh sự chịu lực ở điểm  này với điểm khác của vật thể. Nghiên cứu trạng thái ứng suất là tìm quy luật biến  đổi  của  ứng  suất  trên  các  mặt  cắt  đi  qua  điểm  đang  xét  và  tìm  các  đặc  trưng  của  chúng. 

1.2. Mặt chính, phương chính, ứng suất chính : 

Ta  sẽ  chứng  minh  rằng  tại  một  điểm  bao  giờ  cũng  có  thể  tìm  được  ba  phương  vng  góc  với  nhau,  trên  mặt  vng  góc  với  các  phương  ấy  ứng  suất  tiếp  bằng  khơng. Những phương ấy  gọi  là phương chính. Những mặt  vng  góc  với phương  chính  là  những  mặt  chính.  Những  ứng  suất  pháp  trên  mặt  chính  gọi  là  ứng  suất  chính. 

1.3. Phân tố chính, phân loại trạng thái ứng suất : 

Tại  một  điểm  của  vật  thể  ta  ln  tìm  được  ba  mặt  chính  và  ba  mặt  chính  này  tương hỗ vng góc với nhau. Ba phương chính lập thành hệ trục tạo độ Descartes  gọi là hệ toạ độ chính tại điểm đang xét. Phân tố hình hộp lấy tại điểm đang xét có  các mặt chính được gọi là phân tố chính

sx sx

sy

sy

z

x y

sz sz

ứng suất phương

sx

sx

sx

sx

sy

sy

sx

sx

sy

sy sz

a)

b) c)

H×nh vÏ 4.1

Các ứng suất chính ký hiệu s1, s2, s3 theo quy ước s1³ s2³ s3 

Tùy theo số lượng ứng suất chính, ta phân ra ba loại trạng thái ứng suất : 

­ Trạng thái ứng suất khơng gian (hay khối) (hình vẽ 4.1b) nếu cả ba ứng suất  chính đều khác khơng. 

­ Trạng thái ứng suất phẳng (hình vẽ 4.1c) nếu có một trong ba ứng suất chính  bằng khơng. 

­  Trạng  thái  ứng  suất  đường  (hình  vẽ  4.1d)  nếu  có  hai  ứng  suất  chính  bằng  khơng. Như vậy thanh bị kéo hay nén ở trạng thái ứng suất đường. 

­ Ký hiệu ứng suất pháp bằng chữ svới chỉ số cùng chữ với phương của nó.  ­ Ký hiệu ứng suất tiếp bằng chữ t với hai chỉ số : chỉ số thứ nhất chỉ mặt chứa  ứng suất tiếp (trục vng góc với mặt cắt), chỉ số thứ hai chỉ phương của nó. 

Hình vẽ 4.2 là thí dụ minh hoạ cách ký hiệu các ứng suất của một phân tố trong  trạng thái ứng suất phẳng, với quy ước chiều trên hình vẽ là chiều dương. Ký hiệu  này thuận lợi cho việc tính các bài tốn kỹ thuật ở trạng thái ứng suất phẳng

txy

sx sx

txy sy

tyx

tyx sy z

x y

txy

sx sx

txy sy

tyx

tyx sy

x y

H×nh vÏ 4.2

2. TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG. 

2.1. Trạng thái ứng suất phẳng tổng quát: 

Xét phân  tố  hình  lập  phương  bất  kỳ.  Giả  thiết  mặt  vng  góc  với  trục z  là  mặt  chính có ứng suất pháp bằng khơng (tzx = tzy = sz = 0). Những mặt cịn lại là bất kỳ 

có ứng suất pháp sx , sy và ứng suất tiếp txy và tyx trạng thái ứng suất như thế gọi là 

trạng thái ứng suất phẳng tổng quát và được biểu diễn trên hình 4.2. 

2.2 Ứng suất trên mặt cắt nghiêng : 

Để xác định  ứng  suất  pháp  và  ứng  suất  tiếp  trên  một mặt  bất  kỳ  xiên  góc a  với  trục x (góc a > 0 khi quay từ trục x đến trục x’ ngược chiều kim đồng hồ và ngược  lại), ta tách từ phân tố hình lập phương ra một hình lăng trụ tam giác (hình vẽ 4.3)

tyx sy

y

x o

sx'

tx'y' a

x' y'

H×nh vÏ 4.3

dF

dF y dFx

dx

d

y

dz

txy

sx sx

txy

sy tyx

tyx sy

z

x y

txy sx

sx'

tx'y' tyx sy

y

x y'

x'

a

a

o

a

txy

sx

Trên mặt có pháp tuyến là trục y, diện tích dFy, có các ứng suất sy và tyx 

Trên mặt có pháp tuyến là trục x’, diện tích dF, có các ứng suất sx’ và tx’y’ 

Xét sự cân bằng của phân tố lăng trụ tam giác bằng cách :  ­ Chiếu các lực tác dụng lên trục x’ ta được :

Sx’ = 0

Û sx’. dF ­ sx. cosa. dFx + txy. sina. dFx ­sy. sina. dFy + tyx. cosa. dFy = 0 

­ Chiếu các lực tác dụng lên trục y’ ta được : Sy’ = 0

Û tx’y’. dF ­ sx. sina. dFx ­ txy. cosa. dFx + sy. cosa. dFy + tyx. sina. dFy = 0 

­ Lấy mô men tất cả các lực đối với điểm O ta được : Smo = 0 Û xy x yx y

dx dy

.dF dF

2

t - t = 

Thay các giá trị sau:  dFx = dF. cosa = dy. dz 

dFy = dF. sina = dx. dz 

Vào phương trình thứ 3 ta được :

xy yx

dx dy

.dy.dz .dx.dz

2

t - t =

Þ txy = tyx  (4­1) 

Sử dụng các quan hệ lượng giác : 

2sina. cosa = sin2a  cos 2a­ sin 2a = cos2a

( )

2

cos cos

2

a = + a sin2 ( 1 cos )

a = - a 

Ta rút ra được :

x y x y

x ' cos xy sin2

2

s + s s - s

s = + a - t a  (4­2)

x y

x ' y ' sin2 xy cos2

2 s - s

t = a + t a  (4­3) 

Kết  quả  (4­1)  được  phát  biểu  thành  một  định  luật  gọi  là  định  luật  đối  ứng  của  ứng suất tiếp. 

Nếu trên hai mặt vng góc với nhau có ứng suất tiếp thì các thành phần vng  góc  với  giao  tuyến  của  hai mặt  bằng  nhau  và  ngược  dấu  (sự  ngược  dấu  ở  đây  có  nghĩa là hai ứng suất tiếp hoặc cùng hướng vào hoặc cùng tách xa cạnh nhị diện, đã  được thể hiện trên hình vẽ 4.2) 

Ứng  suất  pháp  trên  mặt  có  pháp  tuyến  y’  vng  góc  với  mặt  có  pháp  tuyến  x’  cũng được tính theo cơng thức (4­2), (4­3) nếu thay giá trị a bằng giá trị a + 90 0

x y x y 0

y ' cos2( 90 ) xy sin2( 90 )

2

s + s s - s

s = + a + - t a +

x y x y

xy

.cos sin2

2

s + s s - s

= - a + t a  (4­4)

x y 0

y ' x ' sin 2( 90 ) xy cos2( 90 )

2 s - s

t = a + + t a +

x y

xy

.sin cos 2

s - s

= - a - t a  (4­5) 

Lấy (4­2) cộng (4­4) ta được :

sx + sy = sx’ + sy’  (4­6) 

Như  vậy,  tại  một  điểm,  tổng  ứng  suất  pháp  trên  hai  mặt  vng  góc  với  nhau  là  một hằng số, gọi là bất biến của trạng thái ứng suất. 

2.4 Ứng suất chính, mặt chính và phương chính : 

Trong những mặt có ứng suất biến đổi theo (4­2) và (4­3), ta để ý mặt trên đó ứng  suất tiếp bằng khơng, đó là những mặt chính. Phương của mặt chính gọi là phương  chính. Giả sử phương chính tạo với trục x một góc ao, theo định nghĩa ứng suất tiếp 

trên mặt này bằng khơng. Từ cơng thức (4­3) ta tính được phương chính : 

Do tx ' y ' =  nên0 x y sin2 o xy.cos o

2 s - s

a + t a = 

Hay o xy

x y

2 tg2 a = - t

s - s  (4­7) 

Đặt o xy

x y

2

tg2a = - t =tg2 b s - s 

2ao = 2b ±kp

ao = b ± k

2 p 

(4­8)  Ta thấy hai phương chính tìm được vng góc với  nhau, do đó hai mặt chính cũng vng góc với nhau  và  cùng  vng  góc  với  mặt  chính  đã  biết  (hình  vẽ  4.4)

Thay  (4­8)  vào  công  thức  của  ứng  suất  pháp,  sau  khi  biến  đổi,  và  sử  dụng  các  quan hệ lượng giác :

o 2

o

1 cos

1 tg a = ±

+ a

o

o 2

o

tg2 sin2

1 tg a a = ±

+ a 

(4­9) tyx sy

txy sx

txy sx

tyx sy

1

4

a o a

o + 90 o

smin

smin

smax

smax

Ta có giá trị của hai ứng suất chính, đồng thời là ứng suất cực trị :

x y 2

max x y xy

min

1

( )

2

s + s

s = ± s - s + t  (4­10) 

Phần  căn  thức  mang dấu  (+)  khi  tính smax và  mang 

dấu (­) khi tính smin 

2.5 Ứng suất tiếp cực trị : 

Cho d x ' y '

dx t

=  ta  xác  định  a1  là  góc  của 

phương mặt cắt có ứng suất tiếp cực trị :  Hay x y 2.cos 1 xy.2.sin 1

2 s - s

- a + t a =

x y

1

xy

tg2

2 s - s Þ a =

t  (4­11) 

Vì tg2a1. tg2ao = ­1 (lấy (4­7) nhân (4­11)) do đó phương (2ao) và phương (2a1) 

vng góc với nhau, tức là phương của mặt có ứng suất tiếp cực trị và phương chính  tạo với nhau một góc 45 o (hình vẽ 4.5). Tính cos2a1 , sin2a1 theo tg2a1 bằng cách 

sử dụng công thức (4­9) rồi thay vào (4­3) ta được giá trị của ứng suất tiếp cực trị :

2

max x y xy

min

1

( )

2

t = ± s - s + t  (4­12) 

Tính theo các ứng suất chính, ta có :

max

max

min

s - s

t = ±  (4­13) 

2.6. Ví dụ : 

Tìm giá trị của ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên các mặt cắt xiên của các phân  tố vẽ ở hình vẽ. Các ứng suất đã cho trước tính bằng KN/cm 2 

7

60°

10

60° H×nh vÏ 4.5a

a) b)

Bài giải : 

a. Xét trường hợp ở hình vẽ a :  Theo quy ước dấu ở §1 ta có :

sx = 7KN/cm 

sy = 2KN/cm 

txy = 5KN/cm 

a  =  30 o  (quay  ngược  KĐH)

H×nh vÏ 4.5

sx

sx

sy

sy

tmax

tmax

tmin

tmin

smin

smin smax

smax

Áp dụng cơng thức (4­2) ta có :

x y x y

x ' cos xy sin2

2

s + s s - s

s = + a - t a

o o

7

.cos 2.30 5.sin 2.30

2

+ -

= + - 

= 1,42KN/cm 2 

Áp dụng cơng thức (4­3) ta có :

x y

x ' y ' sin2 xy cos

2 s - s

t = a + t a

o o

7

.sin2.30 5.cos 2.30

-

= +  = 4,665KN/cm 2 

b. Xét trường hợp ở hình vẽ b :  Theo quy ước dấu ở §1 ta có :

sx = ­10KN/cm 

sy = ­ 4KN/cm 

txy = ­7KN/cm 2a = ­30 o (quay cùng KĐH) 

Áp dụng cơng thức (4­2) ta có :

x y x y

x ' cos xy sin2

2

s + s s - s

s = + a - t a

o o

10 10

.cos 2.( 30 ) 5.sin 2.( 30 )

2

- - - +

= + - - - 

= ­ 4,17KN/cm 2 

Áp dụng cơng thức (4­3) ta có :

x y

x ' y ' sin2 xy cos

2 s - s

t = a + t a

o o

10

.sin2.( 30 ) 5.cos 2.( 30 )

- +

= - + -  = 5,098KN/cm 2 

3. VÒNG TRÒN MOHR TRONG TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG. 

3.1. Phương trình vịng trịn Mohr: 

Từ phương trình (4­2) ta có thể viết lại dưới dạng :

x y x y

x ' cos xy sin2

2

s + s s - s

s - = a - t a 

Từ phương trình (4­3) ta có :

x y

x ' y ' sin2 xy cos2

2 s - s

t = a + t a

2

7 60°

x'

x y

30°

60° 4

10 7

x

x' 30°

Bình phương hai vế của các quan hệ trên rồi cộng vế với vế, ta được :

2

x y x y

x ' x ' y ' xy

2

s + s s - s

ỉ ỉ

s - + t = + t

ỗ ữ ỗ ữ

è ø è ø 

(4­14)  Nếu lấy một hệ trục mà hồnh độ là svà tung độ là t thì (4­14) chứng tỏ ứng suất  pháp và ứng suất tiếp tương ứng với hệ trục x’, y’ là toạ độ của các điểm trên một  đường trịn có tâm nằm trên trục hồnh cách gốc toạ độ là x y

2 s + s 

và bán kính bằng

2

x y xy

1

R ( )

2

= s - s + t 

Đường  tròn  này  được  gọi  là  vòng  tròn  ứng suất Mohr. 

3.2. Cách dựng vòng tròn Mohr : 

Trước  hết  ta  lập  hệ  trục  toạ  độ  vng  góc svà t. Trên trục hồnh s  lấy hai điểm  A, B có hồnh độ sx và sy (hình vẽ 4.6, giả 

thiết sx > sy), lấy trung điểm AB chính là 

tâm I của vịng trịn. Dựng điểm D (sy, txy) 

gọi  là  cực, ID= IB2+ BD là  bán  kính  R  của vịng trịn. Với tâm I và bán kính R ta  dựng được vịng trịn Mohr. 

Với : OI x y

2 s + s =

2 2

x y xy

1

R IB BD ( )

2

= + = s - s + t  (4­15) 

3.3. Tìm ứng suất trên mặt cắt ngang bất kỳ : 

Mỗi điểm trên vịng trịn Mohr đặc trưng cho một mặt cắt nghiêng, hồnh độ là trị  số của ứng suất pháp, tung độ là trị số của ứng suất tiếp. Nếu từ cực D ta vẽ tia Dx’  tạo với DP một góc a bất kỳ, tia này cắt vịng trịn Mohr tại điểm N (hình vẽ 4.7) toạ  độ điểm N là OL và LN : 

OL = OI + IL = x y R.cos( )

s + s

+ b + a

x y

R.cos cos R.sin sin2

s + s

= + b a - b a

x y IA AP

R .cos2 R .sin2

2 IP IP

s + s

= + a - a 

OL x y x y cos xy .sin2

2

s + s s - s

= + a - t a  (4­16)

s

B A

D(sy ,txy )

I O

sy

(sx+sy )/2

sx

t

LN = R. sin(b + 2.a) = R.cosb.sin2a+ R.sinb.cos2a

x y

xy

.sin cos 2

s - s

= a + t a  (4­17) 

So sánh (4­16), (4­17) và (4­2), (4­3) chứng tỏ toạ độ điểm N bằng giá trị các ứng  suất trên mặt có pháp tuyến là x’

s

B A

D

I O

sy

(sx+sy )/2

sx

t

H×nh vÏ 4.7

P

sx'

tx'y'

N

L

a

2a

b

E

3.4 Ứng suất chính, cực trị của ứng suất : 

Điểm M1, M2 là những điểm có tung độ bằng khơng, đặc trưng cho các mặt chính. 

Các  điểm  này có  hồnh  độ cực  trị  nên  cũng  đặc  trưng  cho  phương  chính,  các  ứng  suất trên phương chính là ứng suất chính smax và smin: 

Đối với ứng suất chính smax (theo hình vẽ 4.8) ta có :

x y 2

max x y xy

1

OM OI R ( )

2

s + s

s = = + = + s - s + t  (4­18)

xy o,max

2 y max

BD BD

tg

BM OM OB

t

a = = =

- s - s  (4­19) 

Đối với ứng suất chính smin (theo hình vẽ 4.8) ta có :

x y 2

min x y xy

1

OM OI R ( )

2

s + s

s = = - = - s - s + t  (4­20)

xy o,min

1 y

BD BD

tg

BM OB OM

t

a = = =

txy

s3 s1

P

s

O

t

D

E

s1

s3

I

a2

a1

H×nh vÏ 4.8

s

B A

O

smin

smax

M 1 M 2

M 3

M 4

t

D P

E

tmax

smax

tmin smin

I ao,max

ao,min 2ao

tm

ax

tm

in

ao

4

5°

45°

H×nh vÏ 4.8

3.5. Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt : 

Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt là trạng thái ứng suất phẳng  có một ứng suất pháp, chẳng hạn sy bằng khơng. Vịng trịn Mohr 

của trạng thái ứng suất này được vẽ trên hình 4.9.  Trị số các ứng suất cực trị, theo (4­10) là :

2

max xy

min

1

4 2

s

s = ± s + t 

Do đó các ứng suất chính sẽ là :

2

1 xy

2

2

3 xy

1

4

2

1

4

2 s

s = + s + t > s =

s

s = - s + t < 

(4­22) 

Ứng suất tiếp cực trị, theo (4­12) ta có :

2

1

max xy

1

4

2

s - s

t = = s + t

xy

1 xy

3

tg tg

t a = -

s t a = -

s 

(4­23)

s

txy

s txy

txy txy

3.6. Trạng thái ứng suất trượt thuần túy : 

Trạng  thái ứng  suất  trượt  thuần  túy là  trạng  thái  ứng  suất phẳng  có  hai  ứng  suất  pháp đều bằng khơng. Vịng trịn Mohr của trạng thái ứng suất này được vẽ trên hình  vẽ 4.10. 

Trị số các ứng suất cực trị, theo (4­10) là :

max

s = ± t  (4­24)  Do đó các ứng suất chính sẽ là :

1

0 s = t s = s = - t 

(4­25) 

Phương chính lập với trục hồnh các góc 45 o  Ứng suất tiếp cực trị :

1

max

2 s - s

t = = t  (4­26) 

3.7. Ví dụ : 

Tìm  ứng suất chính và phương chính của phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng vẽ  trên  hình  4.10a  bằng  phương  pháp  giải  tích  và  phương  pháp  vịng  trịn  Mohr.  Các  ứng suất đã cho trước tính bằng KN/cm 2 . 

Bài giải : 

Theo phương pháp giải tích :  Theo quy ước dấu ở §1 ta có :

sx = 20KN/cm 

sy = 10KN/cm 

txy = 5KN/cm  2 

* Xác định ứng suất chính : áp dụng cơng thức (4­10) ta có :

x y 2

max x y xy

min

1

( )

2

s + s

s = ± s - s + t 

Thay các giá trị trên vào, tính được : smax = 22,071KN/cm 

2

smin = 7,929KN/cm 2 

* Xác định phương chính, áp dụng cơng thức (4­7) ta có :

xy

x y

2 2x5

tg2

20 10 t

a = - = - = -

s - s - 

Ta được :  2a = ­ 45 o a1 = ­ 22,5 

o

s t

O

s1 s3

txy

txy txy txy

txy

txy

a2 = a1 + 90  o 

= ­ 22,5 o + 90 o = 67,5 o

10

20

5 10 20 s

O

smin = 7,929KN/cm

smax = 22,071KN/cm

M 1 M 2

M 3

M 4 t

D P

tmax

smax

tmin smin

I a1

a2

tma

x

tmin

H×nh vÏ 4.10

* Xác định ứng suất tiếp lớn nhất , áp dụng cơng thức (4­12) ta có:

2

max x y xy

min

1

( )

2

t = ± s - s + t 

Thay các giá trị trên vào, tính được : tmax = 7,071KN/cm 

2

tmin = ­ 7,071KN/cm  2 

Theo phương pháp vịng trịn Mohr : (Xem hình vẽ 4.10a) 

4. QUAN HỆ ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG. ĐỊNH LUẬT HOOKE. 

4.1. Trạng thái ứng suất đường : 

Thí  nghiệm  kéo  thanh  trong  giai  đoạn  đàn  hồi,  ta  có  trạng  thái  ứng  suất  đường  (hình vẽ 4.11). Giữa biến dạng dọc và ứng suất có mối quan hệ : 

Biến dạng dài theo phương của ứng suất pháp : x

E s

e =  (4­27) 

Theo phương vng góc với phương kéo, có biến dạng co ngắn lại e’

x x

'

E s

e = -me = -m  (4­28)

m  : Hệ số Poisson xem bảng 2.2 trang 15 

4.2. Trạng thái ứng suất trượt thuần tuý : 

Bằng  thí  nghiệm,  người  ta  tìm  được  quan  hệ  bậc  nhất  giữa góc trượt g với ứng suất tiếp (hình vẽ 4.12)

G t

g =  (4­29) 

Với : G E

2(1 ) =

+ m  : gọi là môđuyn đàn hồi trượt. 

4.3. Trạng thái ứng suất tổng quát : 

Nếu phân tố bị  kéo theo  cả ba phương (hình  vẽ 4.13)  và nếu  giả thiết biến dạng bé để có thể sử dụng phương pháp cộng tác  dụng, vật liệu đẳng hướng tức là tính chất tại một điểm theo các  phương đều giống nhau, thì biến dạng dài theo một phương (ví  dụ theo phương x) gồm ba thành phần, mỗi một thành phần do  một ứng suất pháp tạo ra :

x x xs x ys x z s

e = e + e + e  (4­30) 

Trong đó :

exsx – Biến dạng dài theo phương x do sx gây ra : theo (4­27) ta có : x x x

E s

s e =

exsy – Biến dạng dài theo phương x do sy gây ra : theo (4­28) ta có : x x x

E s

s e = 

5. LÝ THUYẾT BỀN CỔ ĐIỂN. 

5.1.  Lý  thuyết  biến  dạng  dài  lớn  nhất  (lý  thuyết  bền  thứ  hai  hay  tiêu  chí 

Mariotte) 

Nguyên nhân phá hủy vật liệu là do biến dạng đường lớn nhất, đối với trạng thái  ứng suất đường trong trạng thái giới hạn :

j(R) = enh =

R

E (4­27) 

Ta có cơng thức kiểm tra độ bền của lý thuyết bền thứ hai :

stđ2 = s1 ­ m(s2 + s3) £ [R]  (4­28) 

Lý  thuyết bền  này  phù hợp  nhiều  với  vật  liệu  dòn. Vết nứt  tách  ra  theo phương  dọc của một cái cột bê tơng bị nén là hình ảnh của sự phá hủy do biến dạng dãn dài  theo phương ngang. 

5.2. Lý thuyết ứng suất tiếp lớn nhất (lý thuyết bền thứ ba hay tiêu chí Tresca ­ 

Saint Venant) 

Theo lý thuyết bền này, ngun nhân phá hủy vật liệu là do ứng suất tiếp lớn nhất.  Khi đó ta có :

e

' 2

l e2 'x

sx

sx

b

e

' 2

e'x

2

txy

­ Ở trạng thái ứng suất khối thì : 

2 

3  1  max

s - s = t  ­ Ở trạng thái ứng suất đơn : [ ]

2  R 

max =

t 

So sánh hai quan hệ trên ta rút ra công thức kiểm tra độ bền theo lý thuyết bền thứ  ba :

[ ]R  

3  1  3 

tđ = s - s £

s  (4­29) 

Kinh nghiệm thực tế cho thấy lý thuyết bền thứ ba phù hợp với vật liệu dẻo. 

5.3. Lý thuyết thế năng biến đổi hình dạng lớn nhất (lý thuyết bền thứ tư hay 

tiêu chí Huber – Von Misès) 

Theo lý thuyết này khi thế năng biến đổi hình dạng trong trạng thái ứng suất phức  tạp  đạt  đến  thế  năng  biến  đổi  hình  dạng  gây  ra  sự  chảy  trong  trạng  thái  ứng  suất  đường thì vật liệu xem như bị phá hỏng. 

Cơng thức kiểm tra điều kiện bền là :

[ ]R  

1  3  3  2  2  1  2  3  2  2  2  1  4 

tđ = s + s + s - s s - s s - s s £

s  (4­30) 

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 4 

LÝ THUYẾT : 

1. Trạng thái ứng suất của một điểm là gì? Thế nào là trạng thái ứng suất phẳng?  Trạng thái ứng suất đường. 

2. Nêu định nghĩa của ứng suất chính, mặt chính, phương chính. Nếu một phân tố  có  các  ứng  suất  chính  là  1800daN/cm2  ;  ­ 200daN/cm2 ; 540daN/cm 2 thì  ứng  suất  nào làs1 ; s2 ; s3 

3. Chứng  minh cơng thức  tính sx’ và tx’y’ của  mặt  có pháp  tuyến  lệch  với  trục x 

một góca trong trạng thái ứng suất phẳng. 

4. Viết và giải thích cơng thức tính ứng suất chính, phương chính trong trạng thái  ứng suất phẳng. Vì sao nói hai ứng suất chính đó là smax và smin? 

5. Viết và giải thích cơng thức tính ứng suất tiếp cực trị và phương của mặt phẳng  có các ứng suất ấy. 

6.  Trình  bày  cách  vẽ  vịng  trịn  Mohr  trong  trạng  thái  ứng  suất  phẳng  và  dùng  vòng tròn Mohr để xác định ứng suất sx’ và tx’y’ các ứng suất chính, phương chính, 

các ứng suất tiếp cực trị và phương của mặt phẳng chứa nó. 

7. Lý thuyết bền là gì? Vì sao cần phải nêu ra các lý thuyết bền. 

BÀI TẬP : 

1. Trạng  thái  ứng  suất  phẳng có sx = 400daN/cm  2 

; sy =  600daN/cm  2 

và txy =  ­ 

300daN/cm 2 . Yêu cầu : 

­ Tính sx’ và tx’y’ biết trục x’ hợp với trục x một góc a = 30  0 

.  ­ Tính các ứng suất chính và phương chính, sau đó vẽ các  ứng suất chính và phương chính ấy vào phân tố. 

2.  Cho  phân  tố  trên  hình  vẽ  4.11  có smax =  400daN/cm 2 ;

smin = ­ 80daN/cm  2 

. Tính ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên  các mặt O1, O2, O3. 

3. Bằng vịng trịn Mohr xác định ứng suất chính và phương  chính  của  trạng  thái  ứng  suất có sx = 600daN/cm 

2 

; sy =  0  ;

txy = 300daN/cm  2 

4. Tìm ứng suất pháp và ứng suất tiếp của mặt cắt xiên của các phân tố trên hình  vẽ 4.12. Đơn vị các ứng suất trên là daN/cm 2 

1000 600 60°

600 1000

600 60°

600

45

° 60°

500 500 300

300

a b c d

H×nh vÏ 4.12

5. Xác định ứng suất chính của các phân tố trên hình vẽ 4.12a, b.  6. Xác định tmax ;tmin của các phân tố trên hình vẽ 4.12c, d. 

CHƯƠNG 5: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA HÌNH PHẲNG 

1 MƠ MEN TĨNH VÀ TRỌNG TÂM CỦA HÌNH PHẲNG 

1.1. Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với một trục : 

Xét  một  hình  phẳng  có  diện  tích  F,  một  mặt  phẳng  xOy  nằm  chung  hình  phẳng  như hình vẽ 5.1. 

Xét phân tố diện tích dF toạ độ (x, y). Mơ men tĩnh của dF đối  với các trục Ox, Oy là : 

dSx = y. dF 

dSy = x. dF 

Vậy  mơ  men tĩnh  của  hình  học  phẳng  có  diện  tích  F  đối  với  trục x, y là :

ò

=

F

x y dF

S (cm 3 

, m 3 , )

ò

=

F

y x dF

S

Nếu hình phẳng phức tạp, ta chia thành nhiều hình đơn giản thì :

x y

O

H×nh vÏ 5.1 y

x

r F

dF

30 o 30

o

15

o

H×nh vÏ 4.11

smax

smin

2

3

Sx = Syi. Fi 

Sy = Sxi. Fi 

Trong đó : 

Fi : diện tích hình phẳng thứ i. 

xi ; yi : toạ độ trọng tâm của hình phẳng thứ i (Fi) 

1.2. Trọng tâm của hình phẳng : 

Khi đã có mơ men tĩnh của hình phẳng, ta có thể xác định toạ độ trọng tâm C (xc, 

yc) của hình phẳng:

n

1

n n

2 1 i

ci i y

c

F F F

x F x F x F F

x F F

S x

+ + +

+ + +

= =

=

å å

n

1

n n

2 1 i

ci i x

c

F F F

y F y F y F F

y F F

S y

+ + +

+ + +

= =

=

å

å 

Trong đó :  xci ; yci : toạ độ trọng tâm hình phẳng thứ i. 

Fi : diện tích hình phẳng thứ i. 

Nếu hình phẳng có trục đối xứng hay trọng tâm đối xứng thì trọng tâm hình phẳng  sẽ nằm trên trục hay tâm đối xứng đó. 

Mơ  men  tĩnh  của  hình  phẳng  đối  với  trục  nào đó  bằng  khơng  thì  trọng  tâm  của  hình phẳng sẽ nằm trên trục đó, nên trục này được gọi là trục trung tâm. 

Một hình phẳng có thể có nhiều trục trung tâm, giao của hai trục trung tâm chính  là trọng tâm của hình phẳng. 

1.3. Ví dụ : 

Cho hình phẳng có kích thước như hình vẽ 5.2. Hãy xác định :  ­ Trọng tâm C của hình và hệ trục chính trung tâm của nó.  ­ Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với các trục x, y. 

Bài  giải  :  Chọn  hệ  trục  toạ  độ  xOy  như  hình 

vẽ. 

a. Xác định trọng tâm hình phẳng : 

Hình phẳng đã cho có trục y là trục đối xứng  nên trọng tâm C nằm trên trục y (trục y gọi là  trục trung tâm). Để xác định trọng tâm chỉ cần  tính yc vì xc = O 

Chia hình phẳng ra làm hai hình : 

­ Hình chữ nhật ABDE ký hiệu I ta có :  FI = 70x120 = 8400cm 

2 

(5­1)

12

0c

m

40

30

15

20 20

x y

O A

B D

E F

G H I

X C

cm  60  2 

120  y I =  =

­ Hình khuyết FGHI ký hiệu II ta có.  FII = 30x40 = 1200cm 

2  cm  85  2  40  )  15  40  120  ( 

y II =  - - + =

Vậy :  F  = FI ­ FII = 8400 – 1200 

= 7200cm 2 

Gọi C (xc ; yc) là trọng tâm của hình phẳng Do xc = 0 nên ta chỉ tính yc 

cm  833  ,  55  7200  85  x  1200  60  x  8400  F  y    F  y    F  F  S 

y C =  x = I  I - II  II = - =

Vậy trọng tâm của hình phẳng đã cho là C (0 ; 55,833cm)  Qua C vẽ CX vng góc Cy ta có XCy là hệ trục chính trung tâm. 

b. Tính mơ men tĩnh đối với các trục : 

Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với trục x : 

Sx = FI. yI – FII. yII = 8400x60 – 1200x85 = 402000cm 3 

Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với trục y :  Sy = Sy 

tr  + Sy  ph  Mà :  3  tr  II  tr  II  tr  I  tr  I  tr 

y  69000 cm 

2  2  30  x  2  30  x  40  2  2  70  x  2  70  x  120  y    F  x    F 

S = -

÷ ÷ ÷ ÷ ứ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ổ - ữ ứ ỗ ố ổ - ữ ữ ữ ữ ứ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ổ - ữ ứ ỗ ố ổ = - = ph II  ph  II  ph I  ph  I  ph

y  69000 cm 

2  2  30  x  2  30  x  40  2  2  70  x  2  70  x  120  y    F  x    F  S = ÷ ÷ ÷ ÷ ứ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ổ ữ ứ ỗ ố ổ - ữ ữ ữ ữ ứ ỗ ỗ ỗ ỗ ố ổ ữ ứ ç è æ = - = 

Vậy : Sy = Sy  tr 

+ Sy  ph 

= 0cm 3 

Kết  luận  :  Sy =  0  nên  trọng  tâm  hình  phẳng  nằm  trên  trục  y  và  trục  y  là  trục 

ò =

F x y dF

J (cm 4 , m 4 , )

ò

=

F

y x dF

J

2.1.2. Mơ men qn tính cực: 

Mơ men qn tính cực của hình phẳng có diện tích F đối với gốc toạ độ O là biểu  thức tích phân sau

y x F

2

0 dF J J

J = ò r = + (5­3) 

Trong đó :

r : khoảng cách từ dF đến gốc toạ độ O. 

2.1.3. Mơ men qn tính ly tâm : 

Mơ men qn tính ly tâm của hình phẳng có diện tích F đối với hệ trục xOy là  biểu thức tích phân sau

ò

=

F xy x y dF

J (5­4) 

2.1.4. Nhận xét : 

Mơ men qn tính Jx ; Jy ; J0 ln dương, vì biểu thức dưới dấu tích phân là đại 

lượng dương, cịn Jxy có thể dương, âm hoặc bằng 0. 

Hệ có một trục là trục đối xứng hoặc cả hai trục đều đối xứng, thì mơ men qn  tính ly tâm của hình phẳng đối với hệ trục đó bằng 0. 

2.2. Các hệ trục toạ độ : 

2.2.1. Hệ trục trung tâm : là hệ trục có gốc toạ 

độ nằm ở trọng tâm của hình phẳng. 

Hệ trục xOy là hệ trung tâm thì cả hai trục Ox,  Oy đều là trục trung tâm và : 

Sx = Sy = 0. 

Một  hình  phẳng  có  nhiều  hệ  trục  trung  tâm 

(hình vẽ 5.3). Ở hình vẽ 5.3, các hệ xOy, x1Oy1 đều là hệ trục trung tâm. 

2.2.2. Hệ trục qn tính chính : 

Nếu mơ men qn tính ly tâm của một hình phẳng đối với một hệ trục xOy nào đó  bằng khơng (Jxy = 0) thì hệ trục này gọi là hệ trục qn tính chính, hay gọi tắt là hệ 

trục chính. 

Ở hình vẽ 5.3 các hệ xO1y2, x2O1y là những hệ trục chính. 

2.2.3. Hệ trục qn tính chính trung tâm : 

Hệ  trục chính có  gốc  toạ  độ trùng  với  trọng tâm  của  hình phẳng  được  gọi  là  hệ  trục quán tính chính trung tâm, gọi tắt là hệ trục chính trung tâm. 

(5­2)

y

x y

O 1 O

y 1

x 1

y

x x 2 O 1

O y 1

x 1

x y

y

dy

h

h

h

b O

H×nh vÏ 5.4 Đối với hệ trục chính trung tâm có Sx = Sy = 0 và Jxy = 0 

Ở hình vẽ 5.3 hệ xOy là hệ trục chính trung tâm. 

Mơ  men  qn  tính  của  hình  phẳng  đối  với  các  trục  của  hệ  trục  chính  trung  tâm  được gọi là mơmen qn tính chính trung tâm.  Hình phẳng có nhiều hệ trục chính trung tâm như : hình trịn, hình vành khăn, hình  vng,  Nhiều hình phẳng chỉ có một hệ trục chính trung tâm như : hình chữ nhật,  các hình ở hình vẽ 5.3  2.3. Mơ men qn tính của một số hình phẳng :  2.3.1. Hình chữ nhật :  ­ Xét phân tố diện tích dF = b.dy như hình vẽ 5.4  Ta có :  12  bh  dy    y  b  dy    b    y  dF    y  J  3  2  h  2  h  2  2  h  2  h  2  F  2 

x = ò = ò = ò =

- -  Vậy  12  bh  J  3  x = 

Tương tự  12  h  b  J  3  y = 

­ Với mặt cắt hình vng do h = b = a nên  12  a  J  J  4  y 

x =  = (5­6) 

2.3.2. Hình tam giác : 

­ Tính Jx với trục x song song với đáy b và đi qua trọng tâm C của tam giác. 

­ Xét phân tố diện tích dF như hình vẽ 5.5  dF = by. dy 

Tacú: ữ ứ ỗ ố ổ - = Þ - -

=  y 

3  h  2  h  b  b  h  3  h  y  h  b  b  y  y  dy    y  3  h  2  h  b   y  dF    y  J  3  h  2  3  h  2  F  2 

x ò ò

- ữ ứ ỗ ố ổ - = =  36  h    b  J  3  x = Þ  Vậy  36  h    b  J  3 

x =  ; 

12  bh  J 

3 

y =  (5­7) 

2.3.3. Hình trịn : 

Do h > b nên Jx > Jy  (5­5)

x

b

h

h

by y

dy

C

­ Lấy phân tố diện tích dF = 2.p.r.dr là một hình vành khăn bán kính trong r, bán  kính ngồi r + dr như hình vẽ 5.6

ị

ị r = r p r r = 

R 

0  2  F 

2 

0   dF   2 . . . d  J 

2  R  d 

2  J 

4  R 

0  3 

p = r r p = ò 

Thay 

2  d 

R =  ta có  4 

4 

0  0 , 1 . d 

32  d  J = p » Do Jx = Jy và J0 = Jx + Jy nên : 

4  4 

y 

x  0 , 05 . d 

64  d  J 

J =  = p » (4­8) 

2.3.4. Hình vành khăn : 

Tương tự hình trịn ta có :

( ) ( 4 ) 4 ( 4 ) 

4  4 

4 

0  1  0 , 1 . D  1 

32  D  d 

D  32 

J = p - = p - a » - a (5­9) 

Với :  D ­ đường kính ngồi của hình vành khăn.  d ­ đường kính trong của hình vành khăn. 

D  d = a

Þ ( 4 ) 4 ( 4 ) 

4  y 

x  1  0 , 05 . D  1 

64  D  J 

J =  = p - a » - a (5­10) 

2.3.5. Nửa hình trịn : 

Khoảng  cách  từ  trọng  tâm  C  đến  tâm O  của  đường trịn là y = 0,2122d (hình vẽ 5.7) 

Nên  Jx = 0,00686.d  4 

128  d  8 

R  d 

025  ,  0  J  J 

4  4 

4  1 

x  y

p = p = »

= 

2.4. Mơ men qn tính đối với trục song song: 

Giả sử đã biết mơ men tĩnh và mơ men qn tính của diện tích F đối với các trục  của hệ xOy. 

Cần tính mơ men qn tính của diện tích ấy đối với các trục của hệ XO’Y có O’X  song song Ox và O’Y song song Oy. 

Gọi (a, b) là toạ độ của O trong hệ XO’Y (hình vẽ 5.8)

x y

O

d

r

dr

H×nh vÏ 5.6

x y

O d H×nh vÏ 5.7

X C

0

,21

2

Ta có : ỵ í ì + = + = b y Y a x X ò ò ò ò ò = + = + + =  F  2  F  F  2  F  2  F  2 

X  Y dF  ( y  b ) dF  y dF  2 b  ydF  b  dF  J  F    b  S    b  2  J 

J X = x + x + 2  Þ 

Tương tự : Þ JY = Jy + 2a.Sy + a  2 

.F  Vậy : 

JX = Jx + 2b. Sx + b  2 

. F  JY = Jy + 2a.Sy + a 

2 

.F 

JXY = Jxy + a.Sx + b. Sy + a. b. F 

Nếu xOy là hệ trục trung tâm thì :  Sx = 0 ; Sy = 0, khi đó : 

JX = Jx + b  2 

. F  JY = Jy + a 

2 

.F  (5­11)  (4­11) 

JXY = Jxy + a. b. F 

2.5.  Mô men chống uốn của mặt cắt : 

Mô men chống uốn của các mặt cắt đối với trục x, y được định nghĩa như sau  max  x  x  y  J 

W =  và 

max  y  y 

x  J 

W =  (5­12) 

Với : xmax, ymax : khoảng cách từ những điểm xa nhất ở về hai phía của mặt cắt 

đối với trục x và y. 

­ Đối với hình chữ nhật ta có : 

2  h  y max =  ; 

2  b  x max = 

Nên :  6  h    b  2  h  12  h    b  y  J  W  2  3  max  x 

x =  = = ; 

6  b    h  2  b  12  b    h  x  J  W  2  3  max  y 

y =  = = (5­13) 

­ Đối với hình trịn ta có : 

2  d  x 

y max =  max =

Nên :  32  d    2  d  64  d    y  J  W  W  3  4  max  x  y  x p = p = =

=  (5­14) 

Trọng tâm và diện tích của một số hình xem ở bảng tra 1 phụ lục.  2.6. Ví dụ : X Y O' x y

O F

dF x y a b X Y

Cho hình phẳng có kích thước như hình vẽ 5.2. Hãy xác định :  ­ Trọng tâm C của hình và hệ trục chính trung tâm của nó.  ­ Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với các trục x, y. 

­ Mơ men qn tính chính trung tâm. 

Bài giải : 

Ở ví dụ §1.3 ta đã xác định toạ độ trọng tâm  của hình phẳng là C 

Với :  xC = 0 

yC = 55,833cm 

Qua C vẽ CX vng góc Cy ta có XCy là hệ  trục chính trung tâm. 

Tính mơ men qn tính chính trung tâm 

­ Mơ men qn tính chính đối với trục X:  JX = JX 

I 

­ JX  II 

Để tính JX ta áp dụng cơng thức (5­11) 

Với  y  x ( 120 x 70 ) 

2  120  12  120  x  70  F    b  J  J  2  C  3  I  2  I  I x I X ữ ứ ỗ ố ổ - + = + =  4  2  3  I 

X  55 , 833  x ( 120 x 70 )  10225856 , 67 cm 

2  120  12  120  x  70

J ữ =

ứ ỗ è æ - + =  )  40  x  30  (  x  y  2  40  )  15  45  120  (  12  40  x  30  F    b  J  J  2  C  3  II  2  II  II  x  II  X ÷ ø ỗ ố ổ - + - - + = + =  4  2  3  II 

X  55 , 833  x ( 30 x 40 )  860852 , 67 cm 

2  40  )  15  45  120  (  12  40  x  30 

J ÷ =

ø ç è æ - + - - + = 

Vậy : JX = JX  I 

­ JX  II 

= 10225856,67 ­ 860852,67 = 9365004cm 4 

­ Mơ men qn tính chính đối với trục Y (chính là trục y) vì trục y là trục đối  xứng nên ta áp dụng công thức (5­5)  4  3  3  II  Y  I  Y 

Y  3340000 cm 

12  30  x  40  12  70  x  120  J  J 

J =  - = - =

3. BÁN KÍNH QN TÍNH 

3.1. Định nghĩa : 

Bán kính qn tính của diện tích F đối với trục x và y ký hiệu là ix và iy 

Các bán kính qn tính được định nghĩa bởi cơng thức sau : 12 0c m 40 30 15

20 20

x y

O A

B D

E F

G H I

X C

F  J 

i x =  x  và 

F  J 

i y =  y  (5­15) 

Trong đó : 

ix ; iy : bán kính qn tính của diện tích F đối với trục x, y. 

Jx ; Jy : mơ men qn tính của diện tích F đối với trục x, y. 

F : diện tích hình phẳng. 

3.2. Bán kính qn tính một số hình : 

3.2.1. Hình chữ nhật : có bề rộng b và chiều cao h : 

h  289  ,  0  12  h  bh 

12  bh  F 

J  i 

3 

x 

x =  = = » (5­16) 

Tương tự ta có :  ix = 0,289.h 

iy = 0,289.b 

3.2.2. Hình trịn : có đường kính d. 

d    25  ,  0  4  d  4 

d    64 

d    F 

J  i 

i  2 

4 

x  y 

x = =

p p = =

=  (5­17) 

Vậy ix = iy = 0,25.d 

3.3. Ví dụ : 

Cho hình phẳng có kích thước như hình vẽ 5.2. Hãy xác định :  ­ Trọng tâm C của hình và hệ trục chính trung tâm của nó.  ­ Mơ men tĩnh của hình phẳng đối với các trục x, y. 

­ Mơ men qn tính chính trung tâm. 

­ Tính bán kính qn tính đối với các trục của hệ trục chính trung tâm. 

Bài giải : 

Ở §2.6 ta đã tính được :  JX = 9365004cm 

4 

JY = 3340000cm  4 

F = FI ­ FII = 8400 – 1200 = 7200cm  2 

­ Bán kính quán tính đối với trục x :  cm  065  ,  36  7200 

9365004  F 

J 

i x =  x  = =

­ Bán kính quán tính đối với trục y :

12

0cm

40

30

15

20 20

x y

O A

B D

E F

G

H I

X C

cm  538  ,  21  7200 

3340000  F 

J 

i y =  y  = =

CÂU HỎI ƠN TẬP CHƯƠNG 5 

LÝ THUYẾT : 

1. Nêu định nghĩa về mơ men tĩnh, mơmen qn tính của hình phẳng. 

2. Thế nào là hệ trục trung tâm, hệ trục chính, hệ trục chính trung tâm? Vì sao nói  với mặt cắt hình trịn thì mọi hệ trục trung tâm đều là hệ trục chính trung tâm? Hãy  chỉ ra hai hệ trục chính trung tâm của hình vng? 

3. Chứng minh cơng thức chuyển trục song song của mơ men qn tính? 

4. Bán kính qn tính của hình phẳng đối với một trục là gì? Thiết lập cơng thức  tính bán kính qn tính của hình chữ nhật, hình vng? 

BÀI TẬP : 

Cho các hình phẳng như hình vẽ. u cầu : 

+ Xác định trọng tâm C của hình và hệ trục chính trung tâm của nó.  + Tính mơ men tĩnh của hình phẳng đối với các trục x, y. 

+ Tính mơ men qn tính chính trung tâm. 

+ Tính bán kính qn tính đối với các trục của hệ trục chính trung tâm.  Kích thước cho trên bản vẽ tính bằng cm :

100cm

40

20

160

cm 20 20

12

0c

m

80 20

200cm

20

20

30

40

12

0c

m

40

40cm

50

cm

100cm

6

20

20

50cm

10

1

0

10

0

cm

30cm

1

50

cm

40cm 80cm

40

cm

40

cm

2

0

120

cm

40

30

15

20 20

120

cm

40

20 20

40

10

120

cm

60

cm

80cm

40cm

CHƯƠNG 6: XOẮN THUẦN TÚY 

1. KHÁI NIỆM 

Thanh  chịu  xoắn  thuần  túy  khi  trên  mọi  mặt  cắt  ngang  của  thanh  nội  lực  chỉ  có  một  thành phần mơ men xoắn Mz. 

Thanh chịu xoắn thường được gọi là trục. 

Ta gặp thanh chịu xoắn trong các trục truyền động (như hình vẽ 6.1). 

Các thanh chịu xoắn thuần túy chịu ngoại lực là các ngẫu lực tập trung hay phân  bố. Các ngoại lực này cân bằng với nhau. 

Các  mô  men  xoắn  ngoại  lực  đều  phải  nằm  trong  mặt  phẳng  vng  góc  với  trục  của thanh. 

2. NỘI LỰC – BIỂU ĐỒ NỘI LỰC 

2.1. Nội lực : 

2.1.1. Quy ước dấu : 

Dấu của mơ men xoắn được quy ước trên hình vẽ 6.2. Mz > 0 khi đứng theo chiều 

pháp tuyến ngồi nhìn vào mặt cắt thấy Mz quay thuận chiều kim đồng hồ.    Mz < 0 

khi ngược lại

z z

Mz

Mz Mz > H×nh vÏ 6.2 Mz <

2.1.2. Quy tắc tính nội lực : 

Xét thanh chịu xoắn như hình vẽ 6.3: 

Trình tự tính nội lực tại mặt cắt bất kỳ 3­3 như sau : 

­  Tưởng  tượng  dùng  một  mặt  cắt  3­3  cắt  qua  vị  trí  cần  tìm  Mz,  xét  cân  bằng 

phần bên trái mặt cắt 3­3 (giữ lại phần đơn giản để xét) T 2 T 1

m

a b c

M 1 M 2

1

1

H×nh vÏ 6.3

­ Để cân bằng với mơ men ngoại lực, tại mặt cắt 3­3 ta đặt một mơ men xoắn  nội lực Mz, có chiều theo quy ước dấu (hình vẽ 6.4)

m

a b z

M 1

3 H×nh vÏ 6.4

Mz

z

­ Viết phương trình mơ men xoắn đối với trục z :  0 

mdz  M 

M  0  M 

a 

0  1  z 

z = Û - - =

å ò 

Hay : M  M  mdz  M 1  m . a 

a 

0  1 

z = + ò  = + (6­1) 

2.2. Biểu đồ nội lực : 

Mô  men  xoắn  nội  lực  của  các  mặt  cắt  khác  nhau  là  khác  nhau,  để  thấy  được  sự  biến thiên của mơ men Mz ta vẽ biểu đồ nội lực, đó là đồ thị biểu thị mơ men xoắn 

nội lực của tất cả các mặt cắt ngang thanh. 

Để vẽ biểu đồ nội lực ta chọn đường chuẩn song song trục thanh, Mz biểu thị bằng 

đường vng góc với đường chuẩn.  Cách vẽ : 

­ Chia thanh thành các đoạn bằng cách lấy điểm đặt các mơ men tập trung, điểm  đầu điểm cuối của ngẫu lực phân bố (m) làm ranh giới phân chia đoạn. 

­ Trên mỗi đoạn viết một biểu thức xác định Mz theo z, căn cứ vào biểu thức đó 

ta vẽ được biểu đồ mơ men xoắn cho từng đoạn.  ­ Mz > 0 đặt phía trên đường chuẩn và ngược lại. 

­ Nếu Mz = 0 biểu đồ trùng với đường chuẩn, Mz = const biểu đồ song song với 

đường chuẩn, Mz là bậc nhất (khi m = const) biểu đồ là đường thẳng xiên, Mz là bậc 

2.3. Ví dụ : 

Tính  và  vẽ  biểu  đồ  mơ  men  xoắn  của  thanh trên hình  vẽ 6.5.  Biết M1 = 8000daNcm 

M2  =  5000daNcm; 

m = 10daN/cm. 

Bài giải : 

­ Tưởng tượng dùng một mặt cắt 1­1 cắt qua đoạn AB, xét cân bằng phần bên trái  mặt cắt 1­1. 

­ Để cân bằng với mơ men ngoại lực, tại mặt cắt 1­1 ta đặt một mơ men xoắn nội  lực Mz, có chiều theo quy ước dấu (hình vẽ 6.6)

a)

b)

c)

d)

A B C D

m

z

1

1 A

m

3m

2

2

A B

M 2

3

D

3000 3000

5000 m

3m 3m 2m

M M

1

1

H×nh vÏ 6.6

Đoạn AB (hình vẽ 6.6a):

ị

= 

3 

0 

z  mdz 

M

Tại z = 0 (vị trí A) thì Mz = 0 

Tại z = 3m (vị trí B) thì M  mdz  m . 3  10 x 300  3000 daNcm 

3 

0 

z = ò  = = =

Đoạn BC (hình vẽ 6.6b):

3m 3m 2m

M 1 M 2

daNcm  3000 

300  x  10  3    m 

M z =  = =

Đoạn CD (hình vẽ 6.6c):  Mz = ­ M2 = ­ 5000daNcm 

Căn cứ vào các giá trị đã tính ta vẽ được biểu đồ mơ men xoắn nội lực như trên  hình 6.6d. 

2.4. Nhận xét : 

­ Tại vị trí có mơ men tập tập biểu đồ có bước nhảy đúng bằng giá trị mơ men, nếu  đi từ trái sang phải gặp mơ men quay thuận chiều kim đồng hồ thì biểu đồ nhảy về  phía âm, ngược chiều kim đồng hồ thì biểu đồ nhảy về phía dương. Nếu đi từ phải  sang trái thì ngược lại. 

­ Đoạn khơng có mơ men phân bố biểu đồ là đường thẳng song song đường chuẩn  ­ Đoạn có mơ men phân bố đều, biểu đồ là đường thẳng xiên có hướng xiên giống  bước nhảy mơ men tập trung. 

­ Từ đó ta có thể vẽ nhanh biểu đồ Mz mà khơng cần viết biểu thức. 

3 ỨNG SUẤT TRÊN TRỤC TRỊN CHỊU XOẮN 

3.1 Ứng suất trên mặt cắt ngang : 

3.1.1. Quan sát biến dạng : 

Trước  khi  thanh  chịu  lực xoắn,  ta  kẻ  trên  bề  mặt  thanh  những  đường  dọc  song  song  trục  thanh  và  những  đường  trịn  vng  góc  với trục thanh (hình vẽ 6.7a). 

Sau khi chịu xoắn (hình vẽ 6.7b) ta thấy :  ­ Trục thanh vẫn thẳng. 

­  Các  đường  trịn  vẫn  nằm  trên  những  mặt phẳng vng góc với trục thanh. 

­ Các đường dọc (đường sinh) trở thành đường xoắn ốc. 

3.1.2. Giả thiết : 

Sau khi biến dạng trục thanh vẫn thẳng.  Mặt cắt ngang sau khi biến dạng vẫn phẳng. 

Bán kính của mặt cắt ngang trước và sau biến dạng vẫn thẳng và khơng thay đổi. 

3.1.3. Cơng thức tính ứng suất tiếp trên mặt cắt : 

Cơng thức tính ứng suất tiếp tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt : r

= t r   

J  M 

0  z 

(6­2)  Trong đó :

z a)

z

b) Mz

Mz : mơ men xoắn nội lực tại mặt cắt ngang chứa điểm tính ứng suất. 

J0 : mơ men qn tính cực của mặt cắt ngang

r : khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến tâm. 

3.1.4. Quy luật phân bố của ứng suất tiếp : 

Tâm mặt cắt (r = 0) nên ứng suất tiếp bằng khơng.  Ở chu vi mặt cắt r = R, ứng suất tiếp lớn nhất : 

0  z  0 

z  0 

z  max 

W  M  R  J  M  R    J  M

= = =

t  (6­3) 

Đặt 

R  J 

W 0 =  0  : mơ men chống xoắn của mặt cắt. 

Mặt cắt hình trịn : 

16  d    R  J  W  2 

d  R 

32  d   

J  3 

0  0  4 

0 p

= = Þ ù ù ỵ ù ù ý ỹ

= p = 

(6­4) 

Mặt cắt hình vành khăn, đường kính ngồi D, đường kính trong d :

( )

( 4 ) 

3  0 

4  4 

0 

1  16 

D    W  2 

D  R 

D  d 

1  32 

D    J

a - p

= Þ

ù ù ù

ỵ ù ù ù

ý ü

= = a

a - p

= 

(6­5) 

3.2. Ví dụ : 

Tính ứng suất tiếp ở đầu A và ở điểm B  trên  chu  vi  của  hai  mặt  cắt  ngang  1­1  và  2­2 (hình vẽ 6.8). Biết M1 = 5.10 

5 

daNcm ;  M2  =  10.10 

5 

daNcm,  đường  kính  trục  d = 20cm. 

Bài giải : 

a. Vẽ biểu đồ Mz : 

Áp  dụng  phương  pháp  vẽ  nhanh  (hình vẽ 6.8b). 

b. Tính ứng suất tiếp : 

­ Tại mặt cắt 1­1 

4  4 

4 

0  15707 , 963 cm 

32  20    32 

d   

J = p = p =

M 1

M 2

1

2

A

B

H×nh vÏ 6.8 5.10

3  3 

3  0 

0  1570 , 796 cm 

16  20    16  d    R  J 

W =  = p = p =

2  5 

A  0 

z 

A  x 8  254 , 648 daN cm 

963  ,  15707  10  x  5    J  M = = r = t  2  5  0  z  max  B  cm  daN  31  ,  318  796  ,  1570  10  x  5  W  M = = = t = t  ­ Tại mặt cắt 2­2  2  5  A  0  z  A  cm  daN  648  ,  254  8  x  963  ,  15707  10  x  5    J  M - = - = r = t  2  5  0  z  max  B  cm  daN  31  ,  318  796  ,  1570  10  x  5  W  M - = - = = t = t  4. BIẾN DẠNG CỦA TRỤC TRỊN CHỊU XOẮN  4.1. Cơng thức tính :  Từ cơng thức : dz  GJ  M  d  0  z =

j  (6­6) 

Nếu hồnh độ của mặt cắt đầu và cuối đoạn là a và b thì : ị = j  b  a  0  z  dz  GJ  M  Trường hợp đặc biệt khi  0  z  GJ  M  là hằng số thì :  )  a  b  (  GJ  M  dz  GJ  M  0  z  b  a  0  z - = = j ị 

Nếu biết b – a = l thì :  0  z  GJ  l    M =

j  (6­7)

j  :  góc  xoắn  trên  tồn bộ  chiều dài  l  của đoạn  thanh. Góc xoắn  trên một đơn  vị  chiều dài thanh gọi là góc xoắn tương đối, ký hiệu là q. 

0  z  GJ  M  l = j =

q  (6­8) 

GJ0 càng lớn thì góc xoắn của thanh càng nhỏ. GJ0 được gọi là độ cứng chống 

Tính góc xoắn j của thanh AC và góc  xoắn  tương  đối  trên  đoạn  BC  của  trục  chịu  xoắn  như  hình  vẽ.  Biết  trục  có  đường  kính  khơng  đổi  d  =  20cm,  chiều 

dài các đoạn AB = 50cm, BC = 60cm, mơđun đàn hồi trượt G = 8.10 5 daN/cm 2 .  Bìài giải : 

a. Tính góc xoắn của thanh AC : 

Căn cứ vào biểu đồ Mz đã vẽ ở ví dụ §3.2 ta thấy cần phải tính góc xoắn của hai 

đoạn jAB và jBC. 

rad  00199  ,  0  963  ,  15707  x  10  x  8 

50  x  10  x  5  GJ 

l    M 

5  5  AB 

0  AB  AB  z 

AB = = =

j 

rad  00239  ,  0  963  ,  15707  x  10  x  8 

60  x  10  x  5  GJ 

l    M 

5  5  BC 

0  BC  BC  z 

BC = -

- = =

j 

Vậy góc xoắn của thanh AC là :

j = jAB + jBC = 0,00199 – 0,00239 = ­ 0,0004rad 

b. Tính góc xoắn tương đối của đoạn BC là : 

m  rad  10  x  983  ,  3  cm  rad  10  x  983  ,  3  60 

00239  ,  0  l 

3  5 

BC  BC  BC

- -

= =

- = j = q 

5. TÍNH TỐN TRỤC TRỊN CHỊU XOẮN 

Để đảm bảo điều kiện làm việc bình thường, thanh chịu xoắn cần thoả mãn trước  hết là điều kiện bền và điều kiện cứng. 

5.1. Điều kiện bền : 

Cơng thức kiểm tra điều kiện bền :

[ ] t £ = t 

0  z  max 

W  M 

(6­9) 

Để kiểm tra điều kiện bền cần phải xác định được mặt cắt nguy hiểm của thanh,  đó là mặt cắt mà tỷ số 

0  z  W  M 

có giá trị tuyệt đối lớn nhất.  Tính tmax tại mặt cắt nguy hiểm theo cơng thức : 

0  z  max 

W  M

= t  Sau đó so sánh tmax và [t] để rút ra kết luận. 

5.2. Điều kiện cứng : 

Công thức kiểm tra điều kiện cứng :

qmax£ [q]  (6­10)

M 1

M 2

Để kiểm tra điều kiện cứng ta tính góc xoắn tương đối lớn nhất trên tồn thanh để  so sánh với góc xoắn tương đối cho phép. 

Từ  điều  kiện  bền và  điều  kiện cứng ta  cũng  có 3 bài  tốn  cơ bản  như  trong  kéo  nén đúng tâm. 

5.3. Ví dụ : 

Trục chịu xoắn bởi các ngẫu lực M1 = 5000daNcm, M2 = 8000daNcm. Đoạn AB 

tiết  diện  trịn  đặc,  đường  kính  D,  đoạn  BC  tiết  diện  hình  vành  khăn  đường  kính  ngồi là D, đường kính trong là d và d/D = 0,8. Chiều dài đoạn AB = 2m, chiều dài  đoạn BC = 3m. Tính đường kính D của 

trục  nếu  biết  [t]  =  2100daN/cm 2  ;  [q] = 1 độ/m, G = 8.10 5 daN/cm 2 . 

Bài giải : 

Căn  cứ  vào  mô  men  ngoại  lực  đã  cho,  ta  vẽ  được  biểu  đồ  mơ  men  xoắn  như hình vẽ 6.9b. 

a. Theo điều kiện bền : 

Từ công thức (6­9) ta suy ra :

[ ] t ³  z  0 

M  W  ­ Đoạn AB : 

16  D    W 

3 

p =

[ ]  21 

50  2100  5000  M z

= =

t 

Hay :  2 , 297 cm 

21  16  x  50  D 

21  50  16 

D   

3 

= p ³

Þ ³ p 

(1)  ­ Đoạn BC :

ú ú û ù ê

ê ë é

÷ ứ ỗ ố ổ - p

=

4  3 

0 

D  d  1  16 

D    W

[ ]  21 

130  2100 

13000  M z

= =

t 

Hay:  3 , 766 cm 

)  8  ,  0  1  (  21 

16  x  130  D 

21  130  )  8  ,  0  1  (  16 

D   

3 

4  4 

3

= -

p ³ Þ ³

- p 

(2) 

b. Theo điều kiện cứng : 

Từ công thức (6­8) và (6­10) ta suy ra :

[ ] q ³ 

G  M  J 0  z 

Theo đề bài : [q] = 1 độ/m = ( rad cm )  18000 

100  1    180

p = p

2m 13000

5000 b)

H×nh vÏ 6.9

M 1 M 2

A B

C

­ Đoạn AB : 

32  D    J 

4 

p =

[ ] q  = p = p

5  ,  112  18000  x  10  x  8 

5000  G 

M 

5  z 

Hay:  112 , 5  D  32 x 112 , 5  4 , 37 cm  32 

D   

4 

2 

= p

³ Þ p ³ p 

(3)  ­ Đoạn BC :

ú ú û ù

ờ ộ

ữ ứ ỗ è æ - p

= 

4  4 

0 

D  d  1  32 

D    J

[ ] q  = p = p

5  ,  292  18000 

x  10  x  8 

13000  G 

M 

5  z 

Hay: ( )  6 , 33 cm 

)  8  ,  0  1  ( 

5  ,  292  x  32  D 

5  ,  292  8 

,  0  1  32 

D   

4 

4  2 

4 

= -

p ³ Þ p ³ -

p 

(4)  Từ (1), (2), (3), (4) ta chọn D = 6,5cm. 

6. BÀI TỐN XOẮN SIÊU TĨNH 

6.1. Khái niệm : 

Trong xoắn cũng như trong kéo (nén) đúng tâm ta gặp hệ siêu tĩnh, khi đó khơng  thể  dùng  phương  trình  cân  bằng  tĩnh  học  để  để  xác  định  phản  lực  và  tính  nội  lực  trong tất cả các bộ phận của hệ. Để giải 

bài  tốn  siêu  tĩnh,  ngồi  các  phương  trình  cân  bằng  tĩnh  học  cịn  viết  thêm  phương trình biến dạng. Với các phương  trình  trên,  ta  có  thể  giải  ra  được  các  ẩn  của bài tốn. Sau đây là một ví dụ minh  hoạ. 

6.2. Bài tập áp dụng : 

Vẽ biểu  đồ  mơ men  xoắn  nội  lực  của  trục  thanh  (hình  vẽ  6.10).  Biết  M1 = 500daNcm, M2 = 1200daNcm. 

Bài giải : 

Thay ngàm A và D bằng các phản lực  MA, MD (chưa biết), giả sử có chiều như 

hình vẽ 6.10b. 

Phương trình cân bằng tĩnh học : SM = 0 Û MA – M1 + M2 – MD = 0

390

810

M 1 M 2

C B

A

a = 3m b = 5m

D

c = 2m

M 1 M 2

C B

A D

M A M D

b) a)

c) 110 M

Þ MD = MA – M1 + M2 = MA – 500 + 1200 = MA + 700  (1) 

Phương trình biến dạng biểu thị góc xoay ở D so với A, tức là jAD, vì hai đầu A 

và D ngàm cứng nên jAD = 0. 

Ta có :  0 

GJ  c    M  GJ 

b  ).  M  M  (  GJ 

a    M 

0  D  0 

1  A  0 

A  CD 

BC  AB 

AD + =

- +

= j + j + j = j 

Hay : MA. (a + b) – M1. b + MD. c = 0  (2) 

Thay (1) vào (2) ta được : 

MA (300 + 500) – 500x500 + (MA + 700). 200 = 0

Þ MA = 110daNcm 

Thay MA vào (1) ta tìm được MD = 110 + 700 = 810daNcm. 

CÂU HỎI ƠN TẬP CHƯƠNG 6 

LÝ THUYẾT : 

1. Thế nào là thanh chịu xoắn thuần túy, cho ví dụ. 

2. Viết và giải thích quy ước dấu, quy tắc tính mơ men nội lực.  3. Trình bày cách vẽ biểu đồ Mz, cho ví dụ. 

4. Mơ men chống xoắn của mặt cắt là gì? Viết cơng thức tính mơ men chống xoắn  của mặt cắt ngang trịn đặc và mặt cắt ngang hình vành khăn. 

5. Viết và giải thích các điều kiện bền, điều kiện cứng của thanh chịu xoắn. Thanh  chịu xoắn khơng đảm bảo điều kiện cứng thì xảy ra hiện tượng gì? 

6. Trình bày cách giải bài tốn siêu tĩnh, cho ví dụ. 

BÀI TẬP : 

1. Vẽ biểu đồ mơ men xoắn nội lực của các thanh chịu xoắn

200daN/cm

2m 2m 1m

5000daNcm 9000daNcm

0,5m

100daN/cm

2m 1m

4500daNcm

1m a)

b)

9000daNcm

2m

M

M

1

2

A 11

B

3.  Trục  trịn  đặc  có  đường  kính  thay  đổi,  đoạn  AB  có  dAB =  6cm,  đoạn  BC  có 

dBC  =  4cm  chịu  tác  dụng  của  các  ngẫu  lực  M1 =  7500daNcm,  M2=4500daNcm, 

G = 8.10 5 daN/cm 2 (hình vẽ). Tính ứng suất tiếp lớn nhất phát sinh trên trục và tính  góc xoắn của trục

M 1 M 2

C B

A

2,5m 4,2m

4.  Trục  chịu  xoắn  bởi  các  ngẫu  lực  M1 =  7500daNcm,  M2 = 3400daNcm.  Đoạn 

AB tiết diện trịn đặc, đường kính D, đoạn BC tiết diện hình vành khăn đường kính  ngồi là D, đường kính trong là d và d/D = 0,6. Chiều dài đoạn AB = 3m, chiều dài  đoạn  BC  =  4,2m.  Tính  đường  kính  D  của  trục  nếu  biết  [t]  =  2400daN/cm 2  ;  [q] = 6độ/m, G = 8.10 5 daN/cm 2

M 1 M 2

B

A C

5. Trục AC đặc có đường kính d = 10cm bị ngàm ở hai đầu. Trên trục có ngẫu lực  tác dụng M = 800KNcm. Xác đinh ứng xuất tiếp lớn nhất trên trục và góc xoắn jAB 

của trục

M B A

a = 3m

CHƯƠNG 7: UỐN NGANG PHẲNG 

1. KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 

Ở chương I ta đã biết trong trường hợp tổng qt trên mặt cắt ngang có sáu thành  phần nội lực : lực dọc Nz, mơ men uốn Mx, My, lực cắt Qx, Qy và mơ men xoắn Mz. 

Khi trên mặt cắt ngang nội lực chỉ có Mx và Qy (hoặc My và Qx) ta có thanh chịu uốn 

ngang phẳng. Ví dụ thanh trên hình vẽ 7.1a trên mọi mặt cắt ngang nội lực chỉ có Mx 

và Qy hoặc thanh trên hình vẽ 7.1b nội lực chỉ có My và Qx, các thanh này chịu uốn 

ngang phẳng

y

x z

P m

m O

q

Mặt phẳng tải trọng

Đường tải trọng a)

P q

x y

z m

m b)

Mặt phẳng tải trọng

Hình vẽ 7.1 Đường tải trọng

O

Dưới tác dụng của ngoại lực trục thanh bị uốn cong trong mặt phẳng yOz (hình vẽ  7.1a) hoặc mặt phẳng xOz (hình vẽ 7.1b). 

Ngoại lực gây ra uốn có thể là ngẫu lực M, lực tập trung P, lực phân bố q. Các lực  này nằm trong mặt phẳng chứa trục dầm, mặt phẳng đó gọi là mặt phẳng tải trọng  (mặt  phẳng  yOz  trên  hình  vẽ  7.1a)  hoặc  mặt  phẳng  xOz  trên  hình  vẽ  7.1b).  Giao  tuyến giữa mặt phẳng tải trọng và mặt cắt ngang gọi là đường tải trọng. Với mặt cắt  ngang đầu dầm đường tải trọng là Oy (hình vẽ 7.1a), Ox (hình vẽ 7.1b). 

Trong  thực  tế  ta  thường  gặpnhững thanh chịu  uốn  mà mặt  cắt  ngang  thanh  có ít  nhất một trục đối xứng, đồng thời mặt phẳng tải trọng trùng với mặt phẳng đối xứng  của  thanh.  Trong  chương  này  ta  giới  hạn  chỉ  xét  những  thanh  như  vậy.  Người  ta  thường gọi thanh chịu uốn ngang phẳng là dầm. Ta gặp các dầm trong nhiều kết cấu  như : dầm cầu, trục bánh tàu hoả, xà nhà,… 

2. NỘI LỰC VÀ BIỂU ĐỒ NỘI LỰC 

2.1. Quy ước dấu : 

Dấu  của  lực  cắt được  quy  ước  giống  như  dấu  của  ứng  suất tiếp  (chương  4§1.3) 

cmtvộctcựngchiuvilcctthỡlcctcúdudng(hỡnhv7.2a,b), ngclilcctcúduõm(hỡnhv7.2c,d)

Xét phần bên trái Xét phần bên ph¶i

a) b)

c) d)

z

Q y m

m Q y

z

Q y m

m Q y

Q y >

z Q y

m m Q y

z

Q y

m m

Q y Q y <

Q y >

Q y < m - m mặt cắt xÐt

H×nh vÏ 7.2

Mơ men uốn có dấu dương khi mơ men uốn có khuynh hướng làm thớ dưới chịu  kéo (hình vẽ 7.3a, b), dấu âm khi ngược lại tức là thớ trên chịu kéo (hình vẽ 7.3c, d)

XÐt phần bên trái Xét phần bên phải

a) b)

c) d)

z Mx

m

m Mx >

m - m mặt cắt ®ang xÐt H×nh vÏ 7.3

Mx

z Mx

m

m Mx >

Mx

z Mx

m m

Mx < Mx

z

Mx

m m

Mx <

Mx

2.2. Cơng thức tính nội lực : 

Dưới  tác dụng của ngoại lực,  trên mặt  cắt  ngang  dầm  tồn  tại mơ  men uốn  M  và  lực cắt Q. Ta xét trường hợp dầm bị uốn trong mặt phẳng yOz thì trên mặt cắt ngang  nội lực là Mx và Qy. Trường hợp dầm bị uốn trong mặt phẳng xOz thì trên mặt cắt 

ngang nội lực là My và Qx, cách tính tốn hồn tồn tương tự như trên. 

2.2.1. Cơng thức tính lực cắt Qy : 

Lực cắt ở mặt cắt bất kỳ nào đó bằng tổng đại số hình chiếu của các ngoại lực lên  phương vng góc với trục thanh tại mặt cắt đang xét. 

Tưởng tượng dùng một mặt cắt, cắt dầm thành hai phần. 

Thay phần dầm bị cắt bằng nội lực Qy có chiều dương. 

Phương trình hình chiếu tất cả các lực ở một bên mặt cắt lên phương vng góc  với trục dầm (trục y), ta được :

å

å +

= 

bên  1 

i  i  bên 

1  i 

y  P  q . z 

Q  (7­1) 

Trong đó : 

Pi : tải trọng tập trung thứ i ở phần dầm đang xét. 

qi : tải trọng phân bố đều thứ i ở phần dầm đang xét. 

zi : chiều dài phân bố tải trọng tương ứng với qi. 

Ví dụ :xét cân bằng một đoạn dầm như hình vẽ 7.4. Tính lực cắt tại mặt cắt C

A

V A

1

Q y

y

x O

q M

C P

c c c c

Hình vẽ 7.4 Sy = 0 Û ­ Qy + VA – P – q. c = 0

Û Qy = VA – P – q. c 

2.2.2. Cơng thức tính mơ men uốn Mx : 

Mơ men ở mặt cắt nào đó bằng tổng đại số mơ men uốn của các ngoại lực lấy đối  với trọng tâm mặt cắt đang xét. 

Tưởng tượng dùng một mặt cắt, cắt dầm thành hai phần. 

Xét cân bằng một trong hai phần dầm vừa bị cắt (ưu tiên xét cân bằng phần dầm  bị cắt có ít lực hơn, vì tính tốn đơn giản hơn). 

Thay phần dầm bị cắt bằng nội lực Mx có chiều dương. 

Phương trình mơmen tất cả các lực ở một bên mặt cắt đối với trọng tâm mặt cắt  đang xét, ta được :

å å

ồ ữ +

ứ ỗ

ố æ

+ +

= 

bên  1 

i  bên 

1 

i  i  i  i  bên 

1 

i  i 

x  b  M 

2  z    z    q  a 

.  P 

M  (7­2) 

Trong đó : 

Pi : tải trọng tập trung thứ i ở phần dầm đang xét. 

qi : tải trọng phân bố đều thứ i ở phần dầm đang xét. 

zi : chiều dài phân bố tải trọng tương ứng với qi. 

bi : khoảng cách từ trọng tâm tải trọng phân bố đều thứ i đến trọng tâm mặt 

cắt đang xét. 

Ví dụ : xét cân bằng một đoạn dầm như hình vẽ 7.5. Tính lực mơ me uốn mặt  cắt C

a 2 H×nh vÏ 6.5 A

V A

1 Mx

a 1 z 1

b 1 q M C P Hình vẽ 7.5  0  a    P  b  2  z    z    q  a    V  M  M  0 

M 1 1  x  A  2  1  1  1 ÷ - 1= ứ ỗ ố ổ + - + + - Û = å -  1  1  1  1  2  A 

x  b  P . a 

2  z    z    q  a    V  M 

M ÷ -

ứ ỗ ố ổ + - + = Û 

2.2.3. Ví dụ: 

Xác định  mơ men  uốn  và  lực cắt  tại  mặt cắt  C  nằm  giữa  đoạn  EF và  mặt cắt  D  nằm giữa đoạn FB của dầm hình vẽ 7.6a. Biết : P1 = 8KN, P2 = 12KN, M = 16KNm, 

q = 4KN/m và a = 2m. 

Bài giải : 

* Xác định phản lực: 

Phản lực tại gối B : Lấy mơ men tất cả các lực đối với gối A :

( )  2 a  V . 4 a  0 

2  a  a  2  a  a  2  q  M  a    P  a    P  0 

M A 1  2  ÷ + B  =

ứ ỗ ố ổ + + + - + - Û = å ( )  a  4  qa  5  ,  10  M  a  P  P  a  4  a  5  ,  3    aq  3  M  a    P  a    P  V  2  1  2  1  2  B + - - = + - - = Û 

Thay số : ( )  20 KN 

2    4  2  x  4  x  5  ,  10  16  2  x  8  12  V  2  B = + - - =  Phản lực tại gối A : Lấy mô men tất cả các lực đối với gối B :  0  a  4    V  2  a    a    q  a    a  2    q  M  a  3    P  a  5    P  0 

M B = Û - 1  - 2  - - + + A  =

å  a  4  qa  5  ,  1  M  a  5    P  a  3    P  V  2  1  2  A + + + = Û 

Thay số :  24 KN 

VB = 20 KN

P 2

V B B E

C

F D

1

1

2

2

a a a 2a a

a)

M P 1

A V A

P 2

E C

1

a a a

b)

Q C y M C x

q

V B B D

2

2

a a

Q D y M D x

c)

H×nh vÏ 6.6 A

V A

q M

P 1

* Xác định mô men uốn và lực cắt tại mặt cắt C : 

Tưởng tượng  dùng mặt  cắt 1  ­ 1  cắt dầm tại  C, xét  cân bằng phần dầm bên  trái như hình vẽ 7.6b : 

Thay thế phần bị cắt bằng lực cắt Qy và mơ men uốn Mx có chiều dương. 

Phương trình hình chiếu các lực lên trục y Sy = 0 Û QC + P1 + P2 ­ VA = 0

Û QC = VA ­ P1 ­ P2 = 24 ­ 8 ­ 12 = 4 KN 

Lấy mơ men các lực đối với trọng tâm mặt cắt C

SMC = 0 Û MC + P1. 2,5a ­ VA. 1,5a + M + P2. 0,5a = 0

Û MC = 1,5a. VA ­ P1. 2,5a ­ M ­ P2. 0,5a 

= 1,5x2x24 – 8x2,5x2 ­ 16 – 12x0,5x2 = 4KNm  Vậy : QC = 4KN 

MC = 4KNm 

* Xác định mô men uốn và lực cắt tại mặt cắt D : 

Tưởng tượng  dùng mặt cắt 2  ­ 2  cắt dầm  tại  D, xét cân bằng phần dầm bên  phải như hình vẽ 7.6c : 

Thay thế phần bị cắt bằng lực cắt Qy và mơ men uốn Mx có chiều dương. 

Phương trình hình chiếu các lực lên trục y Sy = 0 Û QD + VB ­ 2qa = 0

Û QD = 2qa ­ VB = 2x 4x2 ­ 20 = ­ 4 KN 

Lấy mô men các lực đối với trọng tâm mặt cắt SMD = 0 Û MD + 2qa.a ­ VB. a = 0

Û MD = VB. a ­ 2qa  2 

= 20x2 – 2x4x2 2 = 8KNm  Vậy : QD = ­ 4KN 

MD = 8KNm  2.3. Biểu đồ nội lực : 

2.3.1. Khái  niệm  :  Các  mặt  cắt  khác  nhau  có  nội  lực  khác  nhau,  để  thấy  được  sự 

phân bố nội lực trên các mặt cắt ngang dọc theo trục dầm ta vẽ các biểu đồ nội lực, ở  đây biểu đồ lực cắt Qy viết tắt là Q, biểu đồ mơ men uốn Mx viết tắt là M. 

2.3.2. Trình tự vẽ biểu đồ nội lực : 

Xác định phản lực (nếu cần). 

Chia  dầm  thành  nhiều  đoạn,  sao  cho  trên  mỗi  đoạn  nội  lực  biến  thiên  liên  tục  (khơng có sự thay đổi đột ngột). Lấy điểm đặt của ngẫu lực, lực tập trung, điểm đầu  và điểm cuối của tải trọng phân bố làm ranh giới phân chia đoạn. 

Trên mỗi đoạn viết biểu thức của lực cắt và mơ men uốn : Q(z), M(z) bằng cách  xác định Q và M cho mặt cắt bất kỳ có hồnh độ z trong từng đoạn. 

Dựa vào biểu thức Q(z), M(z) đã lập để vẽ biểu đồ nội lực trên từng đoạn dầm, hệ  toạ độ được chọn có trục z song song với trục dầm, trục Q và M vng góc với trục  dầm. 

Quy ước : 

­ Q > 0 đặt phía trên trục z và ngược lại.  ­ M > 0 đặt phía dưới trục z và ngược lại.  Trên biểu đồ M và Q có ghi dấu của nội lực. 

2.3.3 Ví dụ : 

Vẽ biểu đồ nội lực của dầm như hình vẽ 7.7a. Biết : P1 = 8 KN, P2 = 12KN, M = 

16 KNm, q = 4KN/m, a = 2m. 

Bài giải : 

* Xác định phản lực : 

Tương tự ví dụ trước ta có : VA = 24KN, VB = 20 KN 

* Vẽ biểu đồ lực cắt Q : 

Đoạn CA : Tưởng tượng dùng mặt cắt 1  ­ 1 cắt qua đoạn CA, xét cân bằng  phần bên trái (hình vẽ 7.7b). Thay thế phần bỏ đi bằng lực cắt Q1. Phương trình hình 

q M

P 1

A V A

P 2

V B B E

C D F

3

3

4

4

a a a 2a a

a)

M P 1

A V A

P 2 E

C

3

a a

z 3 d)

Q y M x

q

V B B D

4

4

z 4 a Q y

M x

2

2

1

5

5 P 1

C z 1 b)

1

Q y M x

P 1

A V A C

a z 2 c)

2

2

F z 5

5 Q y M x

e)

f)

0£ z 1 £ a a£z 4 £3a

a£ z 2 £ 2a

2a£ z 3 £ 3a

0£ z 5 £ a

16KN

8KN

4KN 8KN

12KN Q g)

16KNm

8KNm

8KNm

18KNm

M h)

16KNm H×nh vÏ 7.7 Q y

M x

Sy = 0 Þ Q1 + P1 = 0

Þ Q1 = ­ P1 = ­ 8KN

Þ QC = QA  tr 

= ­ 8KN 

Sy = 0 Þ Q2 + P1 ­ VA = 0

Þ Q2 = VA ­ P1 = 24 ­ 8 = 16KN

Þ QA  ph 

= QD  tr 

= 16KN 

Đoạn DE : Tưởng tượng dùng mặt cắt 3 ­ 3 cắt đoạn DE, xét cân bằng phần  bên trái (hình vẽ 7.7d). Phương trình hình chiếu các lực lên trục y

Sy = 0 Þ Q3 + P1 + P2 ­ VA = 0

Þ Q3 = VA ­ P1 ­ P2 = 24 ­ 8 ­12 = 4KN

Þ QD  ph 

= QE  tr 

= 4KN 

Đoạn FB : Tưởng tượng dùng mặt cắt 5 ­ 5 cắt đoạn FB, xét cân bằng phần  bên phải (hình vẽ 7.7f). Phương trình hình chiếu các lực lên trục y

Sy = 0 Þ Q5 ­ q. z5 = 0   (với 0 £ z5£a)

Þ Q5 = q. z5 

Với :  z5 = 0  (tại F) Þ QF = 0 KN 

z5 = a  (tại B  phải 

) Þ QB  ph 

= q. a = 4x2 = 8 KN 

Đoạn BE : Tưởng tượng dùng mặt cắt 4 ­ 4 cắt đoạn BE, xét cân bằng phần  bên phải (hình vẽ 7.7e). Phương trình hình chiếu các lực lên trục y

Sy = 0 Þ Q4 ­ q. z4 + VB = 0   (với a £ z4 £ 3a)

Þ Q4 = q. z4 ­ VB 

Với :  z4 = a  (tại B  trái 

) ÞQB  tr 

= q.a ­ VB = 4x2 ­ 20 = ­ 12 KN 

z4 = 3a (tại E  phải 

) Þ QE  ph 

= q. 3a ­ VB = 4x3x2 ­ 20 = 4 KN 

Từ các giá trị Q tính được, ta vẽ biểu đồ lực cắt như hình vẽ 7.7g.  * Vẽ biểu đồ mơ men uốn M : 

Đoạn CA : Tưởng tượng dùng mặt cắt 1  ­ 1 cắt qua đoạn CA, xét cân bằng  phần bên trái (hình vẽ 7.7b). Thay thế phần bỏ đi bằng mơmen uốn M1. Lấy mơmen 

tất cả các lực đối với trọng tâm mặt cắt 1 ­ 1. (với 0 £ z1£a)

SM1 = 0 Þ M1 + P1. z1 = 0

Þ M1 = ­ P1. z1 

Với :  z1 = 0  (tại C) Þ MC = 0 

z1 = a  (tại A trái ) Þ MA tr = ­ 8x2 = ­ 16KNm 

Tương tự như phần trên ta có :  Đoạn AD : (với a £ z2£ 2a)

SM2 = 0 Þ M2 + P1. z2 ­ VA(z2 ­ a) = 0

Þ M2 = ­ P1. z2 + VA(z2 ­ a) 

Với :  z2 = a  (tại A  phải 

) Þ MA  ph 

z2 = 2a (tại D  trái 

) Þ MD  tr 

= ­ 8x2x2 + 24x(2x2 ­ 2) = 16KNm  Đoạn DE : (với 2a £ z3£3a)

SM3 = 0 Þ M3 + P1. z3 ­ VA(z3 ­ a) + P2(z3 ­ 2a) + M = 0

Þ M2 = ­ P1. z3 + VA(z3 ­ a) ­ P2(z3 ­ 2a) ­ M 

Với :  z3 = 2a (tại D  phải 

)

Þ MD ph = ­ 8x2x2 + 24x(2x2 ­ 2) – 12x(2x2 – 2x2) ­ 16 = 0KNm 

z3 = 3a (tại E  trái 

) Þ ME 

tr 

= ­ 8x3x2 + 24x(3x2 ­ 2) – 12x(3x2 – 2x2) ­ 16 = 8KNm  Đoạn FB : (với 0 £z5£a) 

0  2  z    z    q  M  0 

M 5 = Þ 5 + 5  5 =

å 

2  z    q  M 

2  5  = -

Þ 

Với :  z5 = 0  (tại F) Þ MF = 0 

z5 = a  (Tại B  phải 

)  8 KNm 

2  2  x  4  M 

2  ph

B = - = -

Þ 

Trong đoạn FB có tải trọng phân bố đều nên biểu đồ M là đường cong bậc 

hai và có điểm  treo :  2 KNm 

8  2  x  4  8 

a   

q  2  =

=  (7­3) 

Đoạn BE : (với a £z4£3a) 

0  )  a  z  (  V  2  z    z    q  M  0 

M  4  B  4 

4  4 

4 = Þ + - - =

å 

2  z    q  )  a  z  (  V  M 

2  4  4 

B 

4 = - -

Þ  Với :  z4 = a  (tại B 

trái 

)  8 KNm 

2  2  x  4  )  2  2  (  x  20  M 

2  tr 

B = - - = -

Þ  z4 = 3a (tại E 

phải 

)  8 KNm 

2  )  2  x  3  (  x  4  )  2  2  x  3  (  x  20  M 

2  ph

E = - - =

Þ 

Trong đoạn BE có tải trọng phân bố đều nên biểu đồ M là đường cong bậc 

hai và có điểm  treo :  18 KNm 

8  )  2  x  3  (  x  4  8 

)  a  3  ( 

q  2 

= = 

Từ các giá trị M tính được, ta vẽ biểu đồ M như hình vẽ 7.7h. 

Tại vị trí có đặt lực tập trung, biểu đồ lực cắt có bước nhảy đúng bằng trị số của  lực tập trung. Nếu đi từ trái sang phải thì hướng của bước nhảy trùng với hướng của  lực tập trung, nếu đi từ phải sang trái thì ngược lại. 

Tại vị trí có mơ men tập trung, biểu đồ mơ men có bước nhảy đúng bằng trị số  của mơ men tập trung. Nếu đi từ trái sang phải gặp mơ men quay thuận chiều kim  đồng hồ thì bước nhảy hướng xuống, ngược chiều kim đồng hồ thì bước nhảy hướng  lên. Nếu đi từ phải sang trái thì ngược lại. 

Trên đoạn dầm  khơng có lực phân bố, biểu đồ lực cắt song song đường chuẩn,  biểu đồ mơ men là đường thẳng xiên. Nếu biểu đồ lực cắt trùng với đường chuẩn thì  biểu đồ mơ men song song với đường chuẩn. 

Trên  đoạn  dầm  có  lực  phân  bố  đều,  biểu  đồ  lực  cắt  là  đường  thẳng  xiên,  cịn  biểu đồ mơ men là đường cong bậc hai. 

2.4. Liên hệ giữa cường độ tải trọng phân bố, lực cắt và mơ men uốn : 

Giả sử dầm AB chịu tác dụng của các ngoại lực như hình vẽ 7.8a :  Ta  quy  ước  tải  trọng  phân  bố  là  dương 

khi hướng từ dưới lên trên và ngược lại.  Xét  phân  tố  có  bề  rộng  dz  như  hình  vẽ  7.8b. 

Phương trình cân bằng của phân tố : SY = Q ­ (Q + dQ) + q(z). d(z) = 0 

hay :  q ( z )  dz 

dQ

=  (7­4) 

0  dM  M  2  dz  )  dQ  Q  (  2  dz  Q  M 

M 0 = - - - + + + =

å 

Q  dz  dM

=

Þ  (7­5) 

Vậy  q ( z ) 

dz  dQ  dz 

M  d 

2 

=

=  (7­6) 

2.4.1. Định lý : 

Đạo hàm cấp một của lực cắt bằng cường độ tải trọng phân bố (7­4).  Đạo hàm cấp một của mơ men uốn bằng lực cắt (7­5). 

Đạo hàm cấp hai của mơ men uốn bằng cường độ tải trọng phân bố (7­6). 

2.4.2. Kết luận : 

Trên đoạn dầm, nếu tải trọng phân bố có bậc n, thì lực cắt có bậc n + 1, mơ men  uốn có bậc n + 2. Nếu q = 0 thì : 

­  Trên  đoạn  dầm  đang  xét  nếu  có  ngoại  lực  tác  dụng  thì  Q  song  song  đường  chuẩn (Q = const), M là hàm bậc nhất

A z B

z+dz

q(z) a)

x O

q(z) y

Q M

Q+dQ M+dM

dz b)

­ Trên đoạn dầm đang xét nếu khơng có ngoại lực tác dụng thì Q trùng đường  chuẩn (Q = 0), M song song đường chuẩn (M = const). 

Trên đoạn dầm có lực phân bố đều thì Q là hàm bậc nhất, M là hàm bậc hai. Tại vị  trí Q = 0 và đổi dấu thì M đạt cực trị. 

Ta có :  Qph = Qtr + Fq  (7­7) 

Mph = Mtr + FQ  (7­8) 

Trong đó : 

Qph : lực cắt ở mặt cắt bên phải (đầu bên phải của đoạn đang xét). 

Qtr : lực cắt ở mặt cắt bên trái (đầu bên trái của đoạn đang xét). 

Fq : diện tích của tải trọng phân bố (tại đoạn đang xét). 

Mph : mơ men uốn ở mặt cắt bên phải (đầu bên phải của đoạn đang xét). 

Mtr : mơ men uốn ở mặt cắt bên trái (đầu bên trái của đoạn đang xét). 

FQ : diện tích biểu đồ lực cắt (tại đoạn đang xét). 

2.4.3. Phương pháp vẽ nhanh biểu đồ nội lực : 

2.4.3.1. Phương pháp vẽ nhanh biểu đồ lực cắt :  Tính phản lực (nếu cần thiết). 

Vẽ biểu đồ lực cắt : bắt đầu vẽ từ đường chuẩn theo hướng từ trái sang phải. 

­ Tại mặt cắt có lực tập trung, biểu đồ Q có bước nhảy, giá trị bước nhảy bằng  trị số và cùng chiều với lực tập trung. 

Ví dụ : Tại mặt cắt A có lực tập trung P :  QA 

ph 

= QA 

tr 

±P(7­9) 

P mang dấu (+) khi hướng từ dưới lên trên.  P mang dấu (­) khi hướng từ trên xuống dưới. 

­ Tại mặt cắt có mơ men tập trung, biểu đồ Q khơng có gì thay đổi. 

­  Đoạn  dầm  đang  xét  khơng  có  tải  trọng  phân  bố  (q =  0)  thì  xảy  ra  1  trong 2  trường hợp sau: 

* Nếu trên đoạn dầm đang xét khơng có lực tập trung thì biểu đồ Q trùng với  đường chuẩn (trên đoạn dầm này lực cắt Q = 0). 

* Nếu trên đoạn dầm đang xét có lực tập trung thì biểu đồ Q song song với  đường chuẩn (giá trị của lực cắt Q = trị số của lực tập trung). 

­ Trên đoạn dầm đang xét có tải trọng phân bố đều (q = const) thì biểu đồ Q là  đường thẳng xiên, vớiQph = Qtr + Fq 

Trong đó :Fq = q. a (7­10) 

a ­ chiều dài phân bố của tải trọng trên đoạn dầm đang xét.  q ­ tải trọng phân bố đều ở trên đoạn dầm đang xét. 

q mang dấu (­) khi có chiều hướng từ trên xuống dưới. 

­  Đoạn  dầm  đang  xét  có  tải  trọng  phân  bố  khơng  đều  thì  biểu  đồ  Q  là  đường  cong. 

2.4.3.2. Phương pháp vẽ nhanh biểu đồ mơ men uốn : 

Biểu đồ mơ men uốn được vẽ bằng cách dựa vào biểu đồ lực cắt. 

Vẽ biểu đồ mơ men uốn : bắt đầu vẽ từ đường chuẩn theo hướng từ trái sang phải.  ­ Tại mặt cắt có lực tập trung, biểu đồ M bị gãy khúc. 

­ Tại mặt cắt có mơ men tập trung, biểu đồ M có bước nhảy, giá trị bước nhảy  bằng trị số của mơ men tập trung. Nếu mơ men tập trung quay thuận chiều kim đồng  hồ thì biểu đồ M nhảy xuống, ngược chiều kim đồng hồ thì biểu đồ M nhảy lên. 

Ví dụ : Tại mặt cắt A có Mơ men tập trung M : 

MA 

ph 

= MA 

tr 

± M (7­11) 

M mang dấu (+) khi quay cùng chiều kim đồng hồ.  M mang dấu (­) khi quay ngược chiều kim đồng hồ.  ­ Đoạn dầm đang xét khơng có tải trọng phân bố (q = 0) : 

*  Nếu  trên  đoạn  dầm đang  xét khơng có  lực  tập  trung  (biểu  đồ  Q  = 0  hoặc  trùng với đường chuẩn) thì biểu đồ M song song với đường chuẩn (M = hằng số). 

*  Nếu  trên  đoạn  dầm  đang  xét  có  lực  tập  trung  (biểu  đồ  Q  song  song  với  đường chuẩn) thì biểu đồ M là đường thẳng xiên, với : 

Mph = Mtr + FQ 

Trong đó : FQ ­ diện tích biểu đồ lực cắt ở đoạn dầm đang xét. 

­ Đoạn dầm có tải trọng phân bố đều q, biểu đồ M là đường cong bậc hai :  * Lồi xuống phía dưới khi tải trọng q hướng từ trên xuống dưới. 

* Lồi lên phía trên khi tải trọng q hướng từ dưới lên trên. 

Tại vị trí có giá trị Q = 0 thì M đạt cực trị. Để vẽ biểu đồ M ta cần tính thêm  điểm treo 

8  l  .  q  2 

với l : là chiều dài đoạn dầm có tải trọng phân bố đang xét. 

­ Đoạn dầm có tải trọng phân bố khơng đều, biểu đồ M là đường cong cao hơn  biểu đồ Q một bậc. 

2.5. Ví dụ minh hoạ : 

2.5.1. Ví dụ 1 : 

q M 1

P

A V A

P

V B B E

C D I

a a a 2a a

a) M

2

a F

9KN

8KN

1KN

16KN Q b)

16KNm

4KNm M

c) 2KNm

12KNm

30KNm 32KNm J

4KNm 32,125KNm

x = 4

H×nh vÏ 7.9

Bài giải : 

* Xác định phản lực : 

Phản lực tại gối B : Lấy mô men tất cả các lực đối với gối A : SMA = 0 Û P. a ­ M1­ P.2a ­ q. 2a. 4a + VB. 5a + M2 = 0

Û 

a    5 

M  a    q    8  a    p  M 

V  2 

2  1 

B

- +

+

=  15 KN 

2  x  5 

4  2  x  4  x  8  2  x  8 

10 

= - +

+ = 

Phản lực tại gối A : Lấy mô men tất cả các lực đối với gối B : SMB = 0 Û ­ P. 6a + VA. 5a + M1 ­ P. 3a ­ q. 2a. a ­ M2 = 0

Û 

a  5 

M  qa  2  M  Pa    9 

V  2 

2  1 

A

+ +

- = 

KN  17  2 

x  5 

4  2  x  4  x  2  10  2  x  8  x  9  V 

2 

A =

+ +

- =

Û 

* Vẽ biểu đồ Q áp dụng phương pháp vẽ nhanh ta có :  Đoạn CA : Qc =  ­ P   =  ­ 8KN 

QA  tr 

= Qc + Fq = ­ 8 + 0 = ­ 8KN 

Đoạn AD :Q A  ph 

= QA  tr 

QD  tr 

= QA  ph 

+ Fq = 9 + 0  = 9KN 

Đoạn DE :Q D  ph 

= QD  tr 

= 9 KN  QE 

tr 

= QD  ph 

+ Fq = 9 + 0 = 9KN 

Đoạn EF :  Q E ph = QE tr ­ P  = 9 ­ 8 = 1KN 

QF tr = QE ph + Fq = 1 + 0 = 1KN 

Đoan FB :  Q F ph = QF tr = 1KN 

QB  tr 

= QF  ph 

+ Fq = QF  ph 

­ q. 2a = 1 – 4x2x2 = ­15KN  Đoạn BI :  Q B 

ph 

= QB  tr 

+ VB = ­15 + 15 = 0KN 

QI = QB  ph 

+ Fq = 0 + 0 =  0KN 

Từ các giá trị Q ta vẽ được biểu đồ lực cắt như hình vẽ 7.9b :  * Vẽ biểu đồ mơ men uốn M : 

Đoạn CA : MC = 0KN.m 

MA  tr 

= MC  + FQ  =  0 – 8x2  = ­ 16KNm 

Đoan AD :MA  ph 

= MA  tr 

= ­ 16KNm  MD 

tr 

= MA  ph 

+ FQ = ­16 + 9x2  = 2KNm 

Đoan DE :MD  ph 

= MD  tr 

+ M1 = 2 + 10 = 12KNm 

ME tr = MD ph + FQ = 12 + 9x2 = 30KNm 

Đoan EF :  ME ph  = ME tr = 30KNm 

MF  tr 

= ME  ph 

+ FQ = 30 + 1x2  = 32KNm 

Đoan FB :  MF  ph 

= MF  tr 

= 32KNm  MB 

tr 

= MF  ph 

+ FQ 

Trong đoạn này có tải trọng phân bố đều, tương ứng trên biểu đồ lực cắt Q  có giá trị bằng 0 tại J, nên mơ men uốn đạt giá trị cực trị tại J. 

Tính MJ : Ta có :  0 , 25 m 

4  1  x  x  4 

x  15 

1

= = Þ - = 

KNm  125  ,  32  2  1  x  1  x  4  1  32  F  M  M 

M J =  max = phF  + Q = + =

KNm  4  15  x  4  15  x  2  1  125 

,  32  F  M 

M tr B J  Q ữ = ứ ỗ

ố ổ

- + =

+ = 

Trong đoạn FB có tải trọng phân bố đều nên biểu đồ M là đường cong bậc  hai và có điểm  treo : ( )  4 KNm 

8  16  x  4  8 

a  2    q 

= = 

Đoan BI :  MB  ph 

= MB  tr 

= 4KNm  MI = MB 

ph 

+ FQ = 4 + 0 = 4KNm 

2.5.2. Ví dụ 2: 

Vẽ biểu đồ mơ men uốn và lực cắt cho dầm như hình vẽ 7.10a. Biết : P1 = 9KN ; 

P2 = 6KN ; M1 = 8KNm ; M2 = 6KNm ; q= 3KN/m ; a = 3m

M 1

P 2 M P 1

q

P 1

A B

C

D

E I

2a a

a a

6KN

3KN 15KN

6KN

Q 1m

M 15KNm

7KNm 61KNm

43KNm

24KNm

6KNm a)

b)

c)

H×nh vÏ 7.10 5,5KNm

13,5KNm

Bài giải : 

* Vẽ biểu đồ lực cắt Q :  Đoạn DE :QE  = P2 = 6KN 

QD  ph 

= QE ­ Fq = 6 ­ 0 = 6KN 

Đoạn CD :QD  tr 

=  QD  ph 

­ P1 = 6 ­ 9 = ­ 3KN 

QC ph = QD tr ­ Fq =  ­ 3 ­ 0 = ­ 3KN 

Đoạn BC : QC  tr 

=  QC  ph 

= ­ 3KN  QB 

ph 

= QC  tr 

­ Fq = ­ 3 ­ (­ 3x2x3) = 15KN 

Đoạn AB :  QB  tr 

=  QB  ph 

­ P1 = 15 ­ 9 = 6KN 

QA = QB  tr 

­ Fq =  6 ­ 0  = 6KN 

Từ các giá trị Q ta vẽ được biểu đồ lực cắt như hình vẽ 7.10b :  * Vẽ biểu đồ mơ men uốn : 

Đoạn DE :ME = ­ M2 = ­ 6KNm 

MD  ph 

= ME ­ FQ = ­ 6 – 6x3 = ­ 24KNm 

Đoạn CD :  MD  tr 

= MD  ph 

MC  ph 

= MD  tr 

­ FQ = ­ 24 ­ (­ 3x3) = ­ 15KNm 

Đoạn BC : MC  tr 

= MC  ph 

+ M1 = ­ 15 + 8 = ­7 KNm 

MB  ph 

= MC  tr 

­ FQ 

Trong đoạn này có tải trọng phân bố đều, tương ứng trên biểu đồ lực cắt Q  có giá trị bằng 0 tại I, nên mơ men uốn đạt giá trị cực trị tại I. 

Ta có : MI = MC  tr 

­ FQ 

Với :  x  1 m 

x  6 

x  15 

3

= Þ - =

( )3 .  1  5 , 5 KNm  2 

1  7 

M I ú = -

û ù ê

ë é

- - - = Þ  Nên MB 

ph 

= MI ­ FQ = ­ 5,5 ­ (15x5x1/2) = ­ 43KNm 

Trong  đoạn  FB  có  tải  trọng phân bố đều nên biểu đồ M  là đường cong  bậc hai và có điểm  treo : ( )  13 , 5 KNm 

8  )  3  x  2  (  x  3  8 

a  2   

q  2 

= = 

Đoạn AB :  M tr B = MB  ph 

= ­ 43KNm  MA = MB 

tr 

­ FQ = ­ 43 ­ 63 = ­ 61KNm 

Từ các giá trị M ta vẽ được biểu đồ mơ men như hình vẽ 7.10c : 

3.  ỨNG  SUẤT  TRÊN  MẶT  CẮT  NGANG  CỦA  DẦM  CHỊU  UỐN  THUẦN  TÚY  PHẲNG 

3.1. Khái niệm về uốn thuần túy phẳng : 

Đoạn dầm được gọi là chịu uốn thuần tuý phẳng khi trên mọi mặt cắt ngang của  dầm  lực  cắt  bằng  không  (Q  =  0  :  trùng 

với  đường  chuẩn)  cịn  mơ  men  uốn  là  một  hằng  số  (song  song  với  đường  chuẩn). 

Trong  thí  nghiệm  để  có  uốn  thuần  túy  phẳng người ta xét dầm có 2 gối khớp ở 2  đầu  chịu  tác  dụng  của  2  lực  bằng  nhau  đặt cách đều gối (hình vẽ 7.11a). 

Khi  đó  đoạn  dầm  CD  (nằm  trong  khoảng  hai  lực  P)  sẽ  chịu  uốn  thuần  túy 

phẳng vì ở đó Q = 0 cịn M = Pa = const (hình vẽ 7.11b, c). 

3.2 Ứng suất trên mặt cắt ngang của dầm uốn thuần t phẳng : 

3.2.1. Quan sát biến dạng : 

Xét đoạn dầm thẳng chịu uốn thuần tuý phẳng như hình vẽ 7.12

B

P P

C D

P

P Q

Pa a)

b)

c) M

H×nh vÏ 7.11

Trước  khi  cho  nó  chịu  uốn,  ta  kẻ  lên  mặt  ngoài  của  dầm  những  đường  song  song  với  trục  dầm  tượng trưng  cho thớ dọc  và  những  đường vng góc với trục thanh tượng trưng  cho các mặt cắt ngang. Những đường này tạo  thành ơ lưới hình chữ nhật. 

Sau  khi  cho  mô  men  uốn  Mx tác  dụng,  ta 

thấy : 

­ Những đường thẳng trước song song với trục dầm, sau biến dạng bị uốn cong  nhưng vẫn song song với trục dầm, vì trục dầm cũng bị uốn cong. Các đường phía  trên co lại, các đường phía dưới dãn ra nhưng vẫn cách đều nhau. 

­ Các đường thẳng vng góc với trục dầm, sau biến dạng vẫn thẳng và vng  góc với trục dầm. 

3.2.2. Các giả thiết : Trên cơ sở quan sát biến dạng người ta đề ra các giả thiết sau : 

­ Giả thiết tiết diện phẳng : mặt cắt ngang dầm trước phẳng và vng góc với trục  dầm, sau biến dạng vẫn phẳng và vng góc với trục dầm (giả thiết Bernoulli). 

­ Trong q trình biến dạng các thớ dọc trục khơng ép lên nhau cũng khơng đẩy  nhau. 

3.2.3. Lớp trung hồ, trục trung hồ : 

Quan sát dầm đã biến dạng ta thấy : các thớ ở phía  trên trục dầm bị co ngắn lại và các thớ phía dưới bị  dãn  dài  ra,  như  vậy  đi  từ  những  lớp  bị  co  lại  đến  những lớp bị dãn ra có một lớp khơng bị biến dạng,  lớp  đó  được  gọi  là  lớp  trung  hồ  (lớp  này  có  chiều  dài khơng đổi) hình vẽ 7.13. 

Giao tuyến của mặt cắt ngang với lớp trung hồ gọi là trục trung hồ hay đường  trung hồ, hình vẽ 7.13. 

Nếu  coi  trong  q  trình  biến  dạng  mặt  cắt  ngang  khơng  thay  đổi  hình  dáng  thì  đường trung hồ là một đường thẳng và có thể coi biến dạng của dầm chịu uốn thuần  túy phẳng chính là sự quay của mặt cắt ngang xung quanh đường trung hồ. 

Đường trung hồ chia mặt cắt ngang thành hai miền : Kéo và nén. 

3.2.4. Cơng thức tính ứng suất : 

Dựa vào giả thiết tiết diện ngang phẳng, ta kết luận trên mặt cắt ngang dầm chịu  uốn thuần t nên chỉ có ứng suất pháp, khơng có ứng suất tiếp. 

Cơng thức tính ứng suất pháp : y

J M

x x

= s 

Tổng quát ta có : y J M

x x

± =

s  (7­12)

a)

Mx Mx

b)

H×nh vÏ 7.12

Líp trung hoµ

slấy dấu (+) nếu điểm cần tính ứng suất nằm trong miền chịu kéo của tiết diện slấy dấu (­) nếu điểm cần tính ứng suất nằm trong miền chịu nén của tiết diện.  Với :  Mx : mơ men uốn tại mặt cắt ngang đang xét. 

Jx : mơ men qn tính chính trung tâm. 

y : khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến trục trung hồ. 

Phát biểu : ứng suất pháp ở một điểm bất kỳ trên mặt cắt của dầm chịu uốn thuần 

t phẳng tỷ lệ thuận với mơ men uốn và khoảng cách từ điểm đó đến trục trung hồ  và tỷ lệ nghịch với mơ men qn tính của mặt cắt đối với trục trung hồ. 

3.2.5. Biểu đồ ứng suất pháp, ứng suất pháp lớn nhất : Theo cơng thức (7­12) 

­ Ứng suất pháp phân bố theo phương trục x vì trên một mặt cắt những điểm có y  bằng nhau thì có s bằng nhau. 

­ Ứng suất pháp phân bố theo quy luật đường thẳng (bậc nhất) theo phương trục y.  Căn cứ vào đó ta vẽ được biểu đồ phân 

bố  ứng  suất  pháp  theo  phương  trục  y  (hình vẽ 7.14). 

­ Ứng suất kéo và nén có giá trị tuyệt  đối  lớn  nhất  ở  trên  đường  biên  cách  xa  trục trung hoà yk và yn. 

Ký hiệu yk và yn là toạ độ tương ứng 

của  mép  tiết  diện  chịu  kéo  và  mép  tiết  diện chịu nén, thì trị số lớn nhất của ứng  suất pháp bằng : 

n  x  x  n 

x  x  min 

k  x  x  k 

x  x  max 

W  M  y 

.  J  M 

W  M  y 

.  J  M

= =

s

= =

s 

(7­13) 

Wx  k 

; Wx  n 

: mô men chống uốn tương ứng với yk; yn. 

k  x  k  x 

y  J 

W =  với yk = ymax > 0 

n  x  n  x 

y  J 

W =  với yn = ymin < 0 

Với mặt cắt có trục x là trục đối xứng : y =k   y n  nên : 

x  x  min 

max 

W  M = s =

s  (7­15) 

3.3. Mơ men chống uốn của những mặt cắt ngang thường gặp : 

3.3.1. Mặt cắt hình chữ nhật : 

(7­14)

a) b) c)

x O

y

yn

y k

b

h s=

smin

smax

yn

y k

s=

smin smax

Mx > Mx <

6  bh  2  h  12  bh  y  J  W  2  h  y  12  bh  J  2  3  max  x  x  max  3  x = = = ị ù ù ỵ ù ù ý ỹ = =  Vậy : ï ï ỵ ï ï í ì = =  6  h  b  W  6  bh  W  2  y  2  x  (7­16)  Mặt cắt hình vng có b = h = a  6  a  W  W  3  y 

x = =

Þ  3.3.2. Mặt cắt hình trịn :  3  3  4  y  x  max  4  y  x  d    1  ,  0  32  d    2  d  64  d    W  W  2  d  y  64  d    J  J ằ p = p = = ị ù ù ỵ ï ï ý ü = p = =  3.3.3. Mặt cắt hình vành khăn : ( )

( 4 ) 3 ( 4 ) 

3  y  x  max  4  4  y  x  1  D    1  ,  0  1  32  D    W  W  D  d  2  D  y  1  64  D    J  J a - » a - p = = ị ù ù ù ỵ ù ù ù ý ỹ = a = a - p = = 

* Những mặt cắt ngang là thép chữ I, C, L,  mô men chống uốn Wx, Wy tra phụ 

lục 2, 3, 4, 5, 6 trong tài liệu. 

4 ỨNG SUẤT TRONG DẦM UỐN NGANG PHẲNG 

4.1 Ứng suất pháp : 

Trên mặt cắt ngang của dầm uốn ngang phẳng, nội lực ngồi mơ men uốn Mx, cịn 

có lực cắt Qy. Vì vậy, ngồi ứng suất pháp do  Mơ men uốn Mx gây ra, cịn có  ứng 

suất  tiếp  do  lực  cắt  Qy gây  ra.  Do  chịu  ảnh  hưởng  của  ứng  suất  tiếp,  nên  mặt  cắt 

y J M

x x

= s 

4.2 Ứng suất tiếp : 

Người ta chứng minh được cơng thức tính ứng suất tiếp ở điểm bất kỳ trên mặt cắt  ngang của dầm như sau : 

b    J 

S    Q 

x  c  x  y

=

t  (7­17) 

Trong đó : 

Qy : lực cắt tại mặt cắt chứa điểm tính ứng suất. 

Jx : mơ men qn tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hồ. 

b : bề rộng mặt cắt tại điểm tính ứng suất.  Sx 

c 

: mơ men tĩnh của phần diện tích bị cắt (diện tích giới hạn bởi đường song  song  với  trục trung  hồ  đi qua điểm  tính  ứng  suất  đến  mép  trên  hay  mép dưới  tiết  diện) đối với trục trung hồ. 

Ứng suất tiếp t cùng phương, ngược chiều với lực cắt Q 

Phát biểu : trị số ứng suất tiếp t tại một điểm bất kỳ trên mặt cắt của dầm tỷ lệ  thuận với lực cắt và Mơ men tĩnh của phần diện tích bị cắt đối với trục trung hồ và  tỷ lệ nghịch với Mơ men qn tính của mặt cắt và chiều rộng của mặt cắt tại điểm  đang xét. 

4.3. Sự phân bố ứng suất tiếp trên 1 số mặt cắt ngang thường gặp : 

4.3.1. Mặt cắt hình chữ nhật : 

Giả sử mặt cắt ngang dầm chịu uốn ngang phẳng là hình chữ nhật có bề rộng b,  chiều cao h. Ta đi tìm quy luật phân bố của ứng suất tiếp do lực cắt Q gây ra. 

Cần tính ứng suất tại một điểm A(x, y) trên mặt cắt (hình vẽ 7.15).  Ta có : 

12  bh  J 

3  x =

÷ ø ỗ

ố ổ

- +

= y 

2  h  2  1  y  y c 

c  c  c 

x  F . y 

S =

ú û ù ê

ë é

÷ ø ç

è ỉ

- +

÷ ø ỗ

ố ổ

- =

ị y 

2  h  2  1  y  y  2  h  b Scx

ữ ữ ứ ỗ

ỗ è ỉ

- =

Þ  2 

2  c 

x  y 

4  h  2  b  S

x O

y

b

h

A C

yc h

h y

tmax

t=

Vậy : ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - = ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - = ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - =

t  2 

2  x  y  2  2  3  y  3  2  2  y  y  4  h  J    2  Q  y  4  h  bh  Q    6  12  bh  y  4  h  2  b   b  Q  (7­18) 

Ta thấy t ® tmax khi y ® 0, khi đó : 

F  Q   2  3  h    b  Q   2  3  4  h    bh  Q   

6  2  y  y 

3  y 

max = = =

t  (7­19) 

Khi 

2  h 

y ± =  t = 0 

4.3.2. Mặt cắt hình trịn : 

Cơng thức tính ứng suất tiếp của điểm bất kỳ có khoảng cách y đến trục trung hồ  ở mặt cắt ngang hình trịn (hình vẽ 7.16)

( 2  2 ) 

x  y  2  2  x  y  y  R  J  3  Q  y  4  d  J  3  Q - = ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - =

t  (7­20) 

+ Khi  R  0 

2  d 

y=  = ® t = + Khi y = 0  F  Q   3  4  4  d    Q    3  4  64  d    d    Q  12  1  y  2  y  4  2  y  max = p = p = t

®  (7­21) 

với  4  d    F  p =  4.3.3. Mặt cắt ngang hình chữ I : 

Xét  dầm  chịu  uốn  ngang  phẳng  có  mặt  cắt  ngang hình chữ I (hình vẽ 7.17) 

Tiết diện chữ I bao gồm, chiều dày thân chữ I  là d và chiều rộng bản cánh là b. 

Lấy  điểm  A  bất  kỳ  trên  bản  bụng  chữ  I  thì  A(x,y), ta có : 

2  x 

x  c 

x   y 

2  d  S  2  y   y    d  S 

S =  - = - (7­22) 

Với:  Sx : mơ men tĩnh nửa diện tích mặt cắt chữ I đối với trục trung hồ x. 

d : chiều dày thân chữ I. 

y : khoảng cách từ điểm tính ứng suất tới trục trung hồ. 

Cơng  thức  tính  ứng  suất  tiếp  tại  điểm  A  cách  trục  trung  hoà  x  một  khoảng  là  y  được tính như sau :

x A

tmax

t=

t= H×nh vÏ 7.16

y d x O y d h t A tmax tA tA

H×nh vÏ 7.17 b

ữ ứ ỗ

ố ổ

- =

t  x  2 

x  y 

y   y 

2  d  S  d    J 

Q 

(7­23)  Trong đó : 

Jx : mơ men qn tính của mặt cắt. 

Khi y = 0 (tại những điểm nằm trên trục trung hồ) thì có ứng suất tiếp đạt giá trị  lớn nhất tmax 

x  x  y  y 

max 

J    d 

S    Q =

t  (7­24) 

Đối với điểm C tiếp giáp giữa lịng và cánh của chữ I, nhưng thuộc phần lịng thì 

ta có  t 

2  h 

y c =  - nên ta suy ra : 

x 

2  x 

y  y 

c 

J    d 

t  2  h  2  d  S  Q  t  2 

h ÷

ữ ứ ỗ

ỗ ố ổ

ỳ û ù ê ë é

- -

= ữ ứ ỗ ố ổ

- t =

t  (7­25) 

Trong đó : 

h : chiều cao mặt cắt. 

t : chiều dày bản cánh chữ I. 

Tại điểm trên cánh của mặt cắt ở cách trục y một đoạn x có ứng suất tiếp :  x 

.  J    2 

)  t  h  (  Q 

x  y  x

- =

t  (7­26) 

Với : x : khoảng cách từ điểm tính ứng suất đến trục y.  4.4 Ứng suất chính : 

4.4.1. Khái niệm : 

Một  phân  tố  trong  dầm  uốn  ngang  phẳng,  trên  mặt  bên  có cả ứng suất pháp svà ứng suất tiếp t hình vẽ 7.18. 

Người  ta chứng minh  rằng  ở một điểm bất  kỳ  trong vật  thể  bao  giờ  cũng  có  thể  tách  ra  một  phân  tố  sao  cho  trên  các mặt của nó chỉ có ứng suất pháp s, ứng suất tiếp t = 0.  Phân tố đó  gọi  là phân  tố chính,  các  mặt bên  của  phân  tố  chính gọi là các mặt chính, ứng suất pháp trên các mặt này  gọi là ứng suất chính. 

4.4.2. Xác định mặt chính và ứng suất chính : 

Dựa vào cơng thức :  y 

.  J  M 

x  x

= s

t

s t

s

t s

t

b    J 

S    Q 

x  c  x  y

= t 

Nếu mặt chính nghiêng góc a so với mặt cắt ngang.  2 

k  2  tg 

2  2 

tg = b Þ a = b + p s

t - =

a  với k = 0, 1, 2,  

Khi k = 0 

2 

1

b = a Þ 

Khi k = 1 

2  2 

2

p + b = a Þ 

Vậy hai mặt chính ln ln vng góc với nhau.  Ứng suất trên các mặt chính được xác định : 

2  2  max 

2  ữ ứ + t

ử ỗ ố ổ s + s =

s  ứng suất chính kéo. 

2  2  min 

2 ữ ứ + t

ử ỗ è ỉ s - s =

s  ứng suất chính nén

smax và smin trái  dấu  nhau  nên  phân  tố  tồn  tại  một  phương  chính  kéo  và  một 

phương chính nén. 

4.5. Dạng mặt cắt hợp lý của dầm : 

Trên biểu đồ ứng suất ta thấy, các điểm càng xa trục trung hồ có ứng suất càng  lớn, chứng tỏ vật liệu càng xa trục trung hồ làm việc càng nhiều. 

Ở dầm chịu uốn người ta đưa vật liệu ra xa lớp trung hồ để tăng khả năng chịu  lực và ít tốn vật liệu. Xét hai trường hợp sau : 

­ Đối với dầm làm bằng vật liệu dẻo có [sk] = [sn], mặt cắt hợp lý khi có trục 

trung hồ là trục đối xứng, đưa vật liệu ra càng xa trục trung hồ càng tốt, khi đó :  [sk] = smax, [sn] = smin. Do vậy người ta làm mặt cắt ngang hình chữ nhật (h > b) 

cho vật liệu gỗ, mặt cắt chữ I, C, C ghép cho vật liệu thép ,  (hình vẽ 7­19)

x O

y

yn

y k b

h

s=

smin

smax

H×nh vÏ 7.19 x O y

O y

x O

y

­ Đối với dầm làm bằng vật liệu dịn có [sn] > [sk], dạng mặt cắt hợp lý là mặt 

smax < ½smin½và smax = [sk]; smin = [sn]. Nên dùng mặt cắt chữ T hay chữ I khơng 

đều cánh (hình vẽ 7.20)

H×nh vÏ 7.20 x O y

x O y

s=

smin

smax

4.6. Tính độ bền dầm chịu uốn ngang phẳng : 

Có ba bài tốn cơ bản : 

4.6.1. Bài tốn kiểm tra bền : 

­ Ứng suất pháp : điều kiện kiểm tra :

[ ]k   

k  x  max  max 

W  M

s £ =

s

[ ]n   

n  x  max  min 

W  M

s £ =

s 

[sk] ; [sn] ­ ứng suất cho phép của vật liệu về kéo và nén. 

Nếu trục trung hoà là trục đối xứng, chỉ kiểm tra một điều kiện.  ­ Ứng suất tiếp : điều kiện kiểm tra

tmax£ [t]  (7­29) 

­ Kiểm tra theo lý thuyết bền về thế năng biến đổi hình dạng : 

Tính :  2 

2  max 

1 

2  ÷ ø + t

ử ỗ ố ổ s + s = s = s s2 = 0 

2  2  min 

3 

2 

2 ữ ứ + t ỗ ố æ s - s = s = s

[ ] s £ s s - s s - s s - s + s + s =

s td  1 2  2 2  3 2  1  2  2  3  3  1  (7­30) 

4.6.2. Bài tốn chọn tiết diện : 

Người ta chọn kích thước mặt cắt ngang theo ba điều kiện bền ở trên, sau đó lấy  kích thước lớn nhất. 

Thường  chọn  kích  thước  theo  điều  kiện  bền  về  ứng  suất  pháp,  sau  đó  kiểm  tra  theo hai điều kiện bền cịn lại. 

4.6.3.  Bài  tốn  tính  tải  trọng  cho  phép  :  Thực  hiện  tương  tự  bài  tốn  chọn  tiết  diện. 

4.7. Các ví dụ minh hoạ : 

4.7.1. Ví dụ 1 : 

Kiểm  tra độ bền về  ứng suất pháp và  ứng suất tiếp  của  dầm  như  hình  vẽ  7.21a.  Biết mặt cắt ngang dầm là hình chữ T, tải trọng tác dụng trên dầm gồm : P = 24KN,  M  =  10KNm,  q  =  4KN/m,  ứng  suất  cho  phép  gồm  :  [sk]  =  12KN/cm 

2 

,  [sn]=16KN/cm 

2 

, [t] = 8KN/cm 2 . Kích thước mặt cắt ngang là cm

A

V A V B

B

M P

q

1m 1m 1m

C D

18KN

10KN 6KN

Q

10KNm 8KNm

0,5KNm

M a)

b)

c)

H×nh vÏ 7.21

10cm 2

2

1

0cm

x C y

4

yc

=

8

cm

x O

Bài giải : 

Căn cứ vào kích thước và tải trọng đã cho, ta tính được các phản lực :  VA = 10KN ; VB = 18KN. 

Vẽ biểu đồ lực cắt (như hình vẽ 7.21b) và mơ men uốn (như hình vẽ 7.21c).  Trên mặt cắt ngang dầm đã cho để xác định vị trí trục trung hồ, trước tiên cần  xác định trọng tâm C. 

­ Chọn hệ trục toạ độ xOy như hình vẽ, gọi trọng tâm mặt cắt ngang dầm là C  có toạ độ (xc; yc) 

­ Mặt cắt ngang dầm đã cho có trục y là trục đối xứng, để tính trọng tâm mặt  cắt ngang dầm ta chỉ cần tính yc vì xc = 0. 

­ Chia mặt cắt ngang dầm đã cho làm hai hình :  * Phần bản cánh ký hiệu là hình I : 

FI = 10x2 = 20cm  2 

cm  11  2  2  10  y I =  + =

FII = 10x2 = 20cm  2  cm  5  2  10  y I =  =

­ Tính toạ độ trọng tâm yc của mặt cắt ngang dầm đã cho : 

cm  8  20  20  5  x  20  11  x  20  F  F  y    F  y    F  F  S  y  II  I  II  II  I  I  x  c = + + = + + = =  ­ Trục trung hồ là trục X đi qua trọng tâm C(0; 8cm) và vng góc với trục  đối xứng Cy.  + Mơ men qn tính của mặt cắt ngang đối với trục trung hồ X.  2  T  T  T  2  c  c  c 

x  J  F . y  J  F . y 

J =  + + +

4  2 

3  2 

3 

x  2  536 cm 

2  10  x  2  x  10  12  10  x  2  2  2  4  x  2  x  10  12  2  x  10 

J ữ =

ứ ỗ ố ổ - + + ữ ứ ỗ ố ổ - + =  Kiểm tra độ bền về ứng suất pháp :  Do mặt cắt ngang của dầm khơng đối xứng qua trục trung hồ, vật liệu  làm  dầm có  [sk] = 12KN/cm 

2

¹ [sn] = 16KN/cm  2 

, nên cần phải kiểm tra dầm ở hai mặt  cắt có Mx = ­ 10KNm và Mx = 8KNm. 

­ Mặt cắt Mx = ­ 10KNm, ở mặt cắt này các thớ phía trên trục trung hồ chịu 

kéo, các thớ phía dưới trục trung hồ chịu nén : yk = 4cm, yn = 8cm. 

2  2  n  max  x  max  n  max  max  n  min  cm  KN  925  ,  14  8  x  536  10  x  10  y  J  M  W  M - = - = = = s

[ ]n    2 

2  n  min  cm  KN  16  cm  KN  925  , 

14 < s = =

s

Þ Þ Đạt yêu cầu 

2  2  k  max  x  max  k  max  max  k  max  cm  KN  463  ,  7  4  x  536  10  x  10  y  J  M  W  M - = - = = = s

[ ]k    2 

2  k  max  cm  KN  12  cm  KN  463  , 

7 < s = =

s

Þ Þ Đạt yêu cầu 

­  Mặt  cắt  Mx =  8KNm,  ở  mặt  cắt  này  các  thớ  phía  trên  trục  trung  hồ  chịu 

nén, các thớ phía dưới trục trung hồ chịu kéo : yn = 4cm, yk = 8cm.  2  2  n  max  x  max  n  max  max  n  min  cm  KN  97  ,  5  4  x  536  10  x  8  y  J  M  W  M = = = = s

[ ]n    2 

2  n  min  cm  KN  16  cm  KN  97  , 

5 < s = =

s

Þ Þ Đạt yêu cầu 

[ ]k    2 

2  k 

max 

cm  KN  12  cm 

KN  94  , 

11 < s = =

s

Þ Þ Đạt u cầu. 

Kết luận : Dầm đã cho đảm bảo điều kiện bền về kéo.  Kiểm tra độ bền về ứng suất tiếp : 

Mặt cắt ngang C là mặt cắt nguy hiểm nhất vì có Qmax = ­ 18KN. 

Ta có :  c x  x  c  64 cm 3  2 

8  x  8  x  2  2  y   F 

S =  = =

Tại trục trung hồ có b = 2cm

[ ]  2 

max 

2  x 

x  max  max 

cm  KN  8 

cm  KN  075  ,  1  2  x  536 

64  x  18  b 

.  J 

S    Q

= t < t Þ

= =

= t 

Vậy dầm đã cho đảm bảo khả năng chịu lực. 

4.7.2. Ví dụ 2 : 

Cho  dầm  có  mặt  cắt  ngang  hình  chữ  I  chịu  tác  dụng  của  tải  trọng  như  hình  vẽ  7.22a.  Chọn  số  hiệu  mặt  cắt  dầm  chữ  I,  nếu  biết  :  q1 =  4KN/m,  q2 =  10KN/m, 

P = 8KN với ứng suất cho phép [s] = 16KN/cm 2 ,  [t] = 10KN/cm 2

A

V A V B

B

P q 1

q 2

P

1 4m 1

44KN 40KN

32KN 28KN

44KN 40KN

32KN 28KN

Q a)

b)

M

c) 42KNm 72KNm 72KNm 42KNm

28KNm

H×nh vÏ 7.22

x O y

d

h

t

A

b

y A h

Bài giải : 

Vẽ biểu đồ nội lực : 

Ta vẽ được biểu đồ mơ men uốn (hình vẽ 7.22c) và lực cắt (hình vẽ 7.22b)  Kiểm tra bền : 

Chọn số hiệu mặt cắt theo điều kiện bền về ứng suất pháp : [ ] s

£ = s  x  max  max  W  M  Rút ra : [ ]  3  2  max 

x  625 cm 

16  10  x  100  M 

W = =

s ³ 

Chọn thép I số 36 tra bảng ta có :  Wx = 743cm 

3 

; Jx = 13380cm  4 

; Sx = 423cm  3 

; h = 36cm ; b = 14,5cm;  t = 1,23cm ; d = 0,75cm. 

Kiểm tra theo điều kiện bền về ứng suất tiếp :

[ ]  2 

max  2  x  x  max  max  cm  KN  10  cm  KN  855  ,  1  75  ,  0  x  13380  423  x  44  d    J  S    Q = t < t Þ = = = t  Kiểm tra phân tố ở trạng thái ứng suất phẳng :  Kiểm tra tại mặt cắt C có M và Q cùng lớn.  ­ Ứng suất pháp của điểm C thuộc thân tại chỗ tiếp giáp với cánh dầm của  mặt cắt sát bên phải gối A có Qy = 40KN, Mx = 42KNm 

d    J  S    Q  cm  KN  264  ,  5  23  ,  1  2  36  x  13380  10  x  42  t  2  h  J  M  y    J  M  x  c  x  c  2  2  x  x  c = t = ÷ ø ỗ ố ổ - = ữ ứ ỗ è ỉ - = = s  Trong đó : ÷ ø ç è ỉ - ÷ ø ç è ỉ - - = -

=  t 

2  h  2  1    t  2  h  d  S  2  y   y    d  S 

S c x  x  A  A  x 

3  2 

c 

x  1 , 23  317 , 538 cm 

2  36  x  2  75  ,  0  423 

S ữ =

ứ ỗ ố ổ - - = 

Suy ra :  c  2 

cm  KN  266  ,  1  75  ,  0  x  13380  538  ,  317  x  40 = = t  ­ Tính các ứng suất chính tại C :  2  2  2  2  c  2  c  c  1  cm  KN  553  ,  5  266  ,  1  2  264  ,  5  2  264  ,  5  2 

2 ÷ ø + =

2  2 

2  2 

c  2  c  c 

3 

cm  KN  289  ,  0  266  ,  1  2 

264  ,  5  2 

264  ,  5  2 

2 ÷ ø + = -

ử ỗ

ố ổ - =

t + ữ ứ ỗ ố ổ s - s = s 

Theo lý thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng, cơng thức (7­30) ta có : 

1  3  3  2  2  1  2  3  2  2  2  1 

td = s + s + s - s s - s s - s s

s

( ) 2  ( )  2 

2  td 

cm  KN  703  ,  5  289  ,  0    553  ,  5  289  ,  0  553 

, 

5 + - - - =

= s 

Ta thấy : td  [ ]k    2 

cm  KN  16 = s < s 

Vậy thép chữ I số 36 đảm bảo yêu cầu độ bền. 

5. CHUYỂN VỊ CỦA DẦM 

5.1. Khái niệm, phương trình vi phân của đường đàn hồi : 

Cho dầm chịu uốn dưới tác dụng của lực tập trung P như hình vẽ 7.23.  Khi chịu lực P, dầm bị biến dạng, trục dầm bị 

uốn cong. Đường cong của trục dầm sau khi bị  uốn cong được gọi là đường đàn hồi. 

Nếu ta xét một điểm A (cách gốc toạ độ một  đoạn là z) trên trục dầm bị uốn ngang phẳng, ta  nhận  thấy  sau  khi  trục  bị  biến  dạng  điểm  A  chuyển  vị  đến  điểm  A’.  Chuyển  vị  AA’  gồm  hai thành phần : chuyển vị dọc trục z là w(z) và  chuyển vị vng góc với trục z là y(z). 

Trong thực tế chuyển vị dọc trục w(z) thường 

rất  bé  so  với  chuyển  vị dọc  trục  y(z) nên  người  ta  thường  bỏ qua. Nên  ta  coi  AA’  cùng nằm trên đường thẳng vng góc với trục dầm. 

Chuyển vị AA’ = y(z) được gọi là độ võng của dầm tại A. 

Khi  trục  dầm  chuyển  vị,  mặt  cắt  ngang  tại  A  ln  ln  vng  góc  với  trục,  bị  quay đi một  góc,  gọi  là  góc quay của mặt  cắt,  ký  hiệu  j. Góc quay  của  mặt cắt  cũng là góc tạo bởi tiếp tuyến của đường đàn hồi với trục z. 

Ta  thấy  tập  hợp  của  độ  võng  trên  tồn  dầm  chính  là  đường  đàn  hồi  có  phương  trình y = y(z). 

Vì góc quay bé, ta có thể coi cung bằng tang và do đó : j »tgj = y’(z). 

Vậy đạo hàm bậc nhất của đường cong đàn hồi là góc xoay của mặt cắt dầm.  5.2.  Xác  định  đường  đàn  hồi  bằng  phương 

pháp tích phân : 

Giả  sử  cần  viết  phương  trình  góc  xoay  và  độ  võng  của  dầm  giản  đơn  AB  có  chiều  dài  l

Đường đàn hồi

P A

A'

j j

w(z)

j

j

y(z

)

H×nh vÏ 7.23

A B

chịu tác dụng của tải trọng phân bố đều q. Biết dầm có độ cứng EJx = const (hình vẽ  7.24). 

­ Ở mặt cắt có hồnh độ z : 

2 

x   z 

2  q  z  2  l    q 

M =  - (7­31) 

­ Mặt khác ta có phương trình vi phân gần đúng của đường đàn hồi như sau :  x  x  EJ  M  '  ' 

y = - (7­32) 

y” :  đạo hàm bậc hai của y theo z. 

­ Tích phân hai vế của phương trình (7­32) ta được góc xoay j= y’(z)  C  dz  EJ  M  )  z  (  '  y  x  x + - = =

j ị  (7­33) 

Thay Mx từ (7­31) vào cơng thức (7­33) ta được : 

C  3  z  z  2  l  EJ  2  q  C  dz  z  2  q  z  2  ql  EJ 

1  2  3 

x  2  x + ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - - = + ữ ứ ỗ ố ổ - - =

j ị  (7­34) 

Với : C là hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên.  ­ Để có phương trình của đường đàn hồi ta lấy tích phân hai vế của (7­33)  D  Cdz  dzdz  EJ  M  D  dz  C  dz  EJ  M  )  z  (  y  x  x  x 

x + = - + +

ú û ù ê ë é + -

= ò ò  ò ò ò (7­35) 

Hay y( z ) = ị y ' ( z ) dz + D = ị j dz + D  (7­36)  Thay (7­34) vào cơng thức (7­36) ta được :  D  Cz  12  z  z  6  l  EJ  2  q  D  z  Cd  dz  3  z  z  2  l  EJ  2  q  y  4  3  x  3  2  x + + ÷ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - - = + + ữ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - -

= ị  ị (7­37) 

Với : D là hằng số tích phân xác định từ điều kiện biên. 

­ Điều kiện biên : z = 0 Þ y = 0 ; z = l Þ y = 0 Thay vào (7­37) ta có :  z = 0 ; y = 0 Þ D = 0 

z = l ; y = 0 Þ 

x  3  4 

3 

x  24 EJ 

ql  C  0  Cl  12  l  l 6  l  EJ  2  q 

y ÷ ÷ + = Û =

ứ ỗ ỗ ố ổ - - = ưThayCvDvocụngthc(7ư34)v(7ư37)tacú:

( 3  2  3 ) 

x  x  3  3  2  x  z  4  z    l  6  l  EJ  24  q  EJ  24  ql  3  z  z  2  l  EJ  2  q + - = + ÷ ÷ ø ỗ ỗ ố ổ - - = j

( 3  3  4 ) 

x  x  3  4  3  x  z  lz  2  z  l  EJ  24  q  z  EJ  24  ql  12  z  z  6  l  EJ  2  q 

y ÷ ÷ + = - +

+ Tại z = 0 thì : 

x  3  max 

EJ  24 

ql = j 

+ Tại z = l thì : ( ) 

x  3  3 

2  3 

x  max 

EJ  24 

ql  l 

4  l    l  6  l  EJ  24 

q

- = + -

= j 

+ Tại  2 

l  z =  thì 

x  4  4 

3  3 

x  max 

EJ  384 

ql  5  2 

l  2 

l  l  2  2 

l    l  EJ  24 

q 

y =

ữ ữ ứ ỗ

ỗ ố ổ

ữ ứ ỗ ố ổ + ữ ứ ç è ỉ - = 

5.3. Độ võng và góc xoay của một số dầm : 

Bảng dưới đây giới thiệu độ võng lớn nhất và góc xoay lớn nhất của một vài dạng  dầm và tải trọng thường gặp (hình vẽ 7.25)

Công xon lực P l

l q

l

M

ymax

P.l

3.E.Jx

q.l

8.E.Jx

M.l

2.E.Jx

jmax

P.l

2.E.Jx

q.l

6.E.Jx

M.l E.Jx

Dầm lực P l

l q

l M

ymax

P.l

48.E.Jx

5.q.l

384.E.Jx

M.l E.Jx

jmax

P.l

16.E.Jx

q.l

24.E.Jx

M.l

3.E.Jx

l

A B

0,0642 t¹i z=0,4221

jA = -M.l

6.E.Jx

jB = H×nh vÏ 7.25

Độ võng của dầm một nhịp xem bảng tra số 2 ở phụ lục. 

6 BÀI TOÁN UỐN SIÊU TĨNH 

6.1. Khái niệm: 

Tương tự như trong các biến dạng kéo (nén) hoặc xoắn ở đây ta cũng gặp bài tốn  siêu tĩnh, đó là những bài tốn mà nếu chỉ dùng các phương trình cân bằng tĩnh học  khơng thể tìm được phản lực và nội lực trong tất cả các bộ phận của hệ. 

Để  giải  bài  tốn  siêu  tĩnh  ta  phải  lập  thêm  các phương  trình  biến  dạng.  Giải  hệ  gồm các phương trình cân bằng tĩnh học và các phương trình biến dạng bổ sung ta sẽ  tìm được những phản lực liên kết. 

Trên  cơ  sở  nguyên  tắc  tổng  quát  nói  trên,  người  ta đã  đề  ra  nhiều phương pháp  khác nhau để giải quyết những bài tốn cụ thể trong thực tế kỹ thuật. 

6.2. Bài tập áp dụng : 

Bài giải : 

Dầm chỉ chịu tác dụng của tải trọng thẳng đứng nên tại các gối A, B, C chỉ xuất  hiện các thành phần phản lực thẳng đứng  là 

VA, VB, VC. 

Lấy mô men tất cả các lực đối với gối A  0  2  l  2    l  2    q  l  2    V  l    V  0 

M A = Û B  + C  - =

å

Û VB. l + VC. 2l – q. 2l  2 

= 0       (1)  Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên  trục y :

Sy = 0 Û VA + VB + VC – q. 2l = 0   (2) 

Do  vậy  cần  viết  phương  trình  biến  dạng  bổ  sung.  Để  viết  phương  trình  biến  dạng  ta  tưởng  tượng  bỏ  gối  B  và  thay  tác  dụng  của  nó  bằng  phản  lực  VB  chưa  biết  (hình  vẽ 

7.26b). 

Tính  độ  võng  của  dầm  tại  điểm  B  do  tải  trọng phân bố đều q sinh ra  (hình vẽ 7.26c):  Tra bảng 7.25 ta có :  EJ  8  ,  4  l    q  EJ  )  l  2  (  q    384  5  y  4  4  q 

B =  =

Tính  độ  võng  của  dầm  tại  điểm  B  do  tải  trọng tập trung VB sinh ra  (hình vẽ 7.26d): 

Tra bảng 7.25 ta có :  EJ  6  l    V  EJ  48  )  l  2  (  V  y  3  B  3  B  V 

B = - = -

(Dấu  (­)  biểu  thị  chiều  VB  hướng  từ 

dưới lên trên, tương ứng độ võng của dầm hướng lên trên). 

Vậy độ võng tại gối B do tải trọng phân bố đều q và phản lực VB đồng thời gây ra 

là :  EJ  6  l    V  EJ  8  ,  4  l    q  y  y  y  3  B  4  V  B  q  B 

B =  + = -

Để hệ ở hình vẽ 7.26b làm việc giống hệ ở hình vẽ 7.26a thì độ võng tại B phải  bằng 0 (Vì B là gối tựa).  Hay  0  EJ  6  l    V  EJ  8  ,  4  l    q  y  y  y  3  B  4  V  B  q  B 

B =  + = - = (3)

b) q

V B

l l

A

V A V C

C

c) q

l y l

q B

B

B

A V A

C d)

V B

l l

B y B V

e)

f)

0,625ql

0,375ql

0,07ql 0,125ql

H×nh vÏ 7.26 0,375l

a)

B

q

V B

l l

A

V A V C

C A

V A V C

Từ (3) suy ra :  1 , 25 ql  8 

,  4 

l    q    6  V B =  =

Thay VB = 1,25ql vào phương trình (1) ta được : 

ql  375  ,  0  2 

ql  25  ,  1  ql  2  l 

2  l    V  ql  2 

V  B 

2 

C =

- = -

= 

Thay VB = 1,25ql và VC = 0,375ql vào phương trình (2) ta được : 

VA = q. 2l ­ VB ­ VC = 2ql – 1,25ql – 0,375ql = 0,375ql 

Vậy :  VA = 0,375ql 

VB = 1,25ql 

VC = 0,375ql 

Với các giá trị phản lực tìm được, ta áp dụng phương pháp vẽ nhanh và vẽ được biểu  đồ lực cắt (hình vẽ 7.26e), biểu đồ mơ men uốn (hình vẽ 7.26f) của dầm siêu tĩnh. 

CÂU HỎI ƠN TẬP CHƯƠNG 7 

LÝ THUYẾT : 

1. Thế nào là dầm chịu uốn ngang phẳng. Cho ví dụ. 

2. Trên mặt cắt ngang của dầm chịu uốn có những thành phần nội lực gì? Nội lực  này khác với trong kéo (nén) đúng tâm, cắt và xoắn như thế nào? 

3. Trình bày quy ước dấu và quy tắc tính nội lực trên mặt cắt ngang của dầm chịu  uốn, cho ví dụ cụ thể. 

4. Biểu đồ  nội  lực  trong dầm  chịu  uốn  là gì?  Trình  bày  cách  vẽ  biểu đồ  nội  lực  bằng cách viết biểu thức Q(z), M(z) cho từng đoạn dầm. 

5. Phát biểu và giải thích liên hệ vi phân giữa cường độ của tải trọng phân bố, lực  cắt và mơ men uốn. 

6. Trình bày cách vẽ nhanh biểu đồ M và Q, cho ví dụ cụ thể. 

7.  Thế  nào  là  uốn  thuần  túy  phẳng?  Trình  bày  ứng  suất  trên  mặt  cắt  ngang  của  dầm uốn thuần t phẳng. 

8. Thế nào là ứng suất pháp, ứng suất tiếp trên mặt cắt của dầm chịu uốn ngang  phẳng. Vẽ biểu đồ phân bố ứng suất tiếp theo chiều cao mặt cắt ngang và viết cơng  thức tính ứng suất tiếp lớn nhất cho mặt cắt hình chữ nhật, hình trịn và hình chữ I. 

9. Thế nào là ứng suất chính? Trình bày phương pháp xác định mặt chính và ứng  suất chính? 

10. Trình bày dạng mặt cắt hợp lý của dầm chịu uốn. Hãy so sánh ứng suất pháp  lớn nhất và ứng  suất tiếp lớn nhất của 3 dầm chịu lực như nhau, có cùng diện tích  mặt  cắt  ngang  F,  một dầm  hình  vng,  hai dầm  hình  chữ  nhật  có  h  = 1,2b  và h  =  1,5b. 

12. Thế nào là đường đàn hồi, độ võng, góc xoay? Trình bày cách tính độ võng,  góc xoay của dầm giản đơn chịu tải trọng phân bố đều q, có chiều dài l bằng phương  pháp tích phân. Trường hợp nào nên áp dụng phương pháp này? 

BÀI TẬP : 

1. Tính mơ men uốn và lực cắt tại các mặt cắt A, B của các dầm cho trên hình vẽ  7.27. Biết P = 1000daN, M = 2000daNcm, q = 50daN/cm, a = 1m

q

H×nh vÏ 7.27

a a a a a

P M

A B

P

d) P q

a)

a a

a a

M q P

A B

M

q P

b)

a a

a a

A

B

a a a q a a

P M

A B

P

c) P

2. Tính mơ men uốn và lực cắt tại các mặt cắt C, D của các dầm cho trên hình vẽ  7.28.  Biết  P1  =  2000daN,  P2  =  3000daN,  P3  =  4000daN,  M1  =  5000daNcm, 

M2 = 8000daNcm, q = 100daN/cm, a = 2m

q a)

2a a

a a q a a

q

a a a a a a

q P

M 2 M 1

C D

P 3 a b)

P 1

P 1 P 2 P 3

M 2 M

C

D

q

a a a a a a

q P

M 2

M 1 P

a c)

P 1 q

q

C D

H×nh vÏ 7.28

3.  Vẽ  biểu  đồ  mô  men  uốn  và  lực  cắt  của  các  dầm  cho  trên  hình  vẽ  7.29.  Biết  P1 = 1000daN, P2 = 2000daN, P3 = 4000daN, M1 = 5000daNcm, M2 = 10000daNcm, 

M 1

P 2 M P 3

q P 1

A B C D

E

2a a

a a

a)

M 1

P 2 M 2

P 3 q

P 1

A B

C

D

E

2a a

a a

b)

a a a a a a

q P

M 2 M 1

A B

C D E

H G

P 3 F

a c)

P 1

a a a a a a

q P

M 2 M 1

A B C D E G H

P 3 F

a d)

P 1

q

a a a a a a

q P

M 2 M 1

A B C D E G H

P 3 F

a e)

P 1

a a a q a a a

P 2

M 2 M 1

A B C D E G H

P 3 F

a f)

P 1

q q

a a a a a a

q P M 2 M 1

A B C

D E

G P 3

F g)

P 1

a a a q a a a

P 2

M 2 M 1

A B

C D

E G

P 3

F h)

P 1 q q

4.  Kiểm  tra  độ  bền  của  các  dầm  cho  trên  hình  vẽ  7.29.  Biết  [sk]  =  21KN/cm  2 

,  [sn]  =  27KN/cm 2 ,  [t]  = 10KN/cm 2 . Kích thước  mặt  cắt là  cm. Mặt  cắt ngang  dầm 

được quy ước như sau : 

­ Bài tập 3a, 3b có mặt cắt ngang dầm là hình 7.30a.  ­ Bài tập 3c, 3d có mặt cắt ngang dầm là hình 7.30b.  ­ Bài tập 3e, 3f có mặt cắt ngang dầm là hình 7.30c.  ­ Bài tập 3g, 3h có mặt cắt ngang dầm thép chữ I số 60

20cm 4

4

20

cm

20cm

40

cm

20cm 4

4

20

cm

4

H×nh vÏ 7.30

a) b) c)

5. Cho dầm siêu tĩnh (hình vẽ 7.31) chịu tác dụng của các tải trọng P = 2000daN,  q = 100daN/cm, M = 5000daNcm, khoảng cách a = 2m. Dầm có độ cứng EJx khơng 

đổi. 

a. Vẽ biểu đồ mơ men uốn và lực cắt của dầm. 

b. Chọn số hiệu mặt cắt của dầm chữ I theo điều kiện bền về ứng suất pháp, biết  [s] = 2100daN/cm 2 

e)

3a

P a H×nh vÏ 7.31

4a

c) q

4a

M

d) q

3a

P a 2a

b) q P

a) P q

CHƯƠNG 8: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 

1. KHÁI NIỆM CHUNG 

1.1. Khái niệm : 

Trong các chương trước ta đã nghiên cứu các biến dạng cơ bản : Kéo (nén) đúng  tâm, xoắn thuần túy và uốn ngang phẳng. Tuy nhiên trong thực tế có những chi tiết  máy hay bộ phận cơng trình chịu tác dụng của nhiều biến dạng cơ bản. Ví dụ : một  trục  truyền  vừa  chịu  xoắn  vừa  chịu  uốn,  một  tường  chắn  vừa  chịu  nén  vừa  chịu  uốn,  ta nói các chi tiết trên chịu lực phức tạp. 

Tổng qt nhất, khi thanh chịu lực phức tạp, nội lực trên mặt cắt ngang bất kỳ có  thể có 6 thành phần nội lực Nz, Mx, My, Qx, Qy, Mz. 

1.2. Phương pháp tính : 

Để  giải  các bài tốn  thanh  chịu  lực phức  tạp  ta phải  sử dụng phương pháp  cộng  tác dụng,  phương pháp này dựa  vào nguyên  lý  độc  lập tác dụng  của  các  lực.  Theo  nguyên  lý  độc  lập  tác  dụng  khi  một  thanh  chịu  tác  dụng  của  nhiều  lực,  ta  coi  tác  dụng của các lực là độc lập lẫn nhau, nghĩa là kết quả tác dụng của một lực khơng  ảnh hưởng đến kết quả của các lực khác. Ví dụ : một thanh chịu xoắn đồng thời chịu  uốn, khi tính xác định xoắn ta xem trục thanh vẫn khơng bị uốn cong, cịn khi tính  uốn ta xem các mặt cắt ngang vẫn khơng bị xoay đi. Sau khi tính tác dụng riêng lẻ  của các biến dạng cơ bản một cách độc lập với nhau ta cộng các kết quả lại. 

Muốn áp dụng phương pháp cộng tác dụng, thanh phải thoả mãn hai điều kiện sau  ­  Vật  liệu  làm  việc  trong  giai  đoạn  đàn  hồi,  quan  hệ  giữa  ứng  suất s  và  biến  dạng elà quan hệ bậc nhất. 

­ Biến dạng và chuyển vị của thanh nhỏ. 

Khi tính các thanh chịu lực phức tạp, ảnh hưởng của lực cắt đến độ bền của thanh  là nhỏ so với các thành phần nội lực khác. Vì vậy khi tính tốn ta bỏ qua khơng tính  đến lực cắt. 

2. UỐN XIÊN 

2.1. Khái niệm : 

Thanh chịu uốn xiên khi  trên mọi mặt cắt ngang của thanh nội lực chỉ có Mx và 

My (đã bỏ qua Qy và Qx). 

Ví dụ : 

y

x O

z

y

x

y

x A

Px

P y P

y

x O

z

Mx

M y

y

x A

Do Mx g©y

y

x A

Do M y g©y

l

l a)

b)

c)

H×nh vÏ 8.1

Phân lực P thành hai thành phần Px và Py nằm trên các trục Ox và Oy. 

­ Px gây uốn phẳng đối với trục trung hồ y (gây ra mơ men uốn My). 

­ Py gây uốn phẳng đối với trục trung hồ x (gây ra mơ men uốn Mx). 

Vậy uốn xiên là tổng hợp của hai uốn phẳng đồng thời. 

2.2 Ứng suất : 

Ta có :  Px = P. cosa 

Py = P. sina 

Với a : là góc hợp bởi đường tác dụng của lực P với trục x. 

Các lực P, Px, Py gây ra cho mặt cắt ngang ở cách mặt cắt đặt tải trọng P một đoạn 

là z những mơ men uốn như sau :  M = P. z 

Mx = Py. z = P. z. sina  (8­1) 

My = Px. z = P. z. cosa 

Từ (8­1) ta có :  Mx = M. sina 

Tại điểm A (x, y) : 

­ Mx gây ra ứng suất pháp :  . y 

J  M  ' 

x  x ± =

s  (8­2) 

­ My gây ra ứng suất pháp :  x 

J  M  '  ' 

y  y

± =

s  (8­3) 

Tổng hợp lại ta có cơng thức tính ứng suất tại điểm A : 

x    J  M  y    J  M  " 

' 

y  y  x 

x ±

± = s + s =

s  (8­4) 

Dấu (+) hay dấu (­) tùy theo điểm tính ứng suất nằm ở vùng kéo hay nén do mơ  men uốn đó sinh ra. Ví dụ điểm A trên hìnhvẽ 8.1, đối với Mx điểm A nằm ở vùng 

nén, còn đối với My điểm A nằm trong vùng kéo. 

Nên :  A 

y  y  A  x 

x 

A   x 

J  M  y    J  M

+ -

= s 

Với  những  thanh  mặt  cắt  ngang  có  hai  trục  đối  xứng  (hình  chữ  nhật,  hình  chữ  I,…) thì điểm B (hình vẽ 8.1) có ứng suất lớn nhất (Mx > 0, My > 0), điểm C có ứng 

suất nhỏ nhất (Mx < 0, My < 0). Ta có : 

y  y  x 

x  y 

y  x 

x  max 

W  M  W  M  x    J  M  y    J  M

+ =

+ =

s  (8­5) 

y  y  x  x  y 

y  x 

x  min 

W  M  W  M  x 

.  J  M  y    J  M

- - = -

- =

s  (8­6) 

Wx, Wy : mơ men chống uốn của mặt cắt đối với trục x và trục y.  2.3. Điều kiện bền và ba bài tốn cơ bản : 

2.3.1 Điều kiện bền của thanh:

[ ] [ ] ỵ ý

ỹ s Ê s

s Ê s 

n  min 

k  max 

(8­7)  Với : [sk], [sn] ­ ứng suất cho phép khi kéo, nén của vật liệu. 

2.3.2 Ba bài tốn cơ bản : 

2.3.2.1. Kiểm tra bền : 

Xác định mặt cắt nguy hiểm, mặt cắt có Mx = Mmax, My = Mmax. 

Tính smax , smin. 

Kiểm tra điều kiện bền (8­7).  2.3.2.2. Chọn kích thước mặt cắt : 

Cần xác định hai đại lượng chưa biết Wx, Wy. 

[ ] s £ + = s 

y  y  x  x  max 

W  M  W  M 

ta biến đổi thành :

[ ] s £ ÷ ÷ ø ç

ç è æ

+  y  y  x  x  x 

M    W  W  M  W 

1 

Đặt : 

y  x 

W  W  k = 

Ta có : ( x +  y ) £ [ ] s

x 

M    k  M  W 

1 

Suy ra :

[ ] s + ³  x  y 

x 

M    k  M 

W  (8­8) 

­ Với mặt cắt hình chữ nhật : 

b  h 

k =  và thường lấy k = 1,5 ¸2,0.  ­ Với mặt cắt hình chữ I :  k = 8 ¸ 10 

­ Với mặt cắt hình chữ C :  k = 6 ¸ 8. 

Khi đã biết k thì ta chọn được mặt cắt ngang của dầm.  2.2.2.3. Xác định tải trọng cho phép : 

Tùy trường hợp cụ thể để thiết lập cơng thức và tìm tải trọng cho phép.  2.4. Các ví dụ minh hoạ : 

2.4.1. Ví dụ 1 : 

Thanh gỗ có mặt cắt ngang hình chữ nhật  có b = 14cm, h = 22cm chịu tác dụng  của  hai  lực P  (hình  vẽ  8.2). Xác định  trị  số cho phép  của  lực  P, biết  ứng suất  cho  phép của gỗ là [s] = 1,2KN/cm 2 . Chiều dài thanh gỗ l = 300cm. 

Bài giải : 

­  Dưới  tác  dụng  của  các  lực  đã  cho,  mặt  cắt  tại  ngàm  là  mặt  cắt  nguy  hiểm.  Phân tích lực P theo trục x và y ta có giá trị mơ men uốn lớn nhất :

a =

a =

a =

a +

a

=   P . sin  450 P . sin 

2  300    3  sin    P  2 

l  3  sin  2 

l    P  sin    l    P  M x

a =

a =

a =

a -

a

=   P . cos  150 . P . cos  2 

300  cos 

.  P    2 

l  cos  2 

l    P  cos    l    P  M y 

Trong đó :  1 , 5714  57 , 53 0  7 

11 

tga = = Þ a =

Þ sina = 0,8437 ; cosa = 0,5369 

Ta có :  3 

2  2 

x  cm 

3  3388  6 

22  x  14  6 

bh 

3  2 

2 

y  cm 

3  2156  6 

14  x  22  6 

hb 

W = = =

a

y

x O

z

y

x

y

x

l

l P

P

y

x O

P

a

P

H×nh vÏ 8.2

­ Từ điều kiện bền : s  = + £ [ ] s

y  y  x  x  max 

W  M  W  M 

Hay :  1 , 2 

3  2156 

cos    P  150  3 

3388  sin    P  450

£ a +

a 

KN  677  ,  2  2156 

5369  ,  0  x  150  x  3  3388 

8437  ,  0  x  450  x  3 

2  ,  1 

P =

+ £

Þ 

Vậy : [P] = 2,677KN. 

2.4.2. Ví dụ 2 : 

Thanh chịu tác dụng của các lực (hình vẽ 8.3). Biết P1 = 16KN, P2 = 12KN, chiều 

dài thanh l = 140cm, ứng suất cho phép [s] = 12KN/cm 2 .  Xác định kích thước mặt cắt ngang thanh nếu biết b = 0,6. h 

Bài giải : 

Căn cứ vào tải trọng đã cho ta vẽ được biểu đồ Mx và My hình vẽ 8.3 

Qua biểu đồ ta thấy : 

­ Đoạn thanh BC chịu uốn ngang phẳng.  ­ Đoạn thanh AB chịu uốn xiên. 

cm    KN  1120  140 

x  16  x  2  1  2 

l    P 

M y = 1  = =

y C

z y

x

y

l

l P 1

H×nh vÏ 8.3 x

x

P 2 P 2 .l

P 1 2 l A

B I

Điểm I tại ngàm là điểm có ứng suất lớn nhất. Để xác định kích thước mặt cắt ta  áp dụng cơng thức :

[ ] s + ³  x  y  x 

M    k  M  W 

Với 

6  10  h    6  ,  0 

h  b  h 

k=  = =

3 

x  295 , 555 cm 

12 

1120  6  10  1680 

W =

+ ³

Þ

Mặt khác ta có : 

10  h  6 

h    h    6  ,  0  6  bh  W 

3  2  2 

x =  = =

Suy ra :  295 , 555  h  295 , 555 . 10  14 , 35 cm  10 

h 3 3 

= ³

Þ ³ 

3. UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (HOẶC NÉN) 

3.1. Khái niệm : 

Thanh  chịu  uốn  và  kéo  (nén)  đồng  thời  khi  trên  mọi  mặt  cắt  ngang của thanh nội lực có Mx và Nz hoặc My và Nz hoặc Mx, My và 

Nz. Ví dụ cột điện như hình vẽ 8.4, trọng lượng bản thân P và thành 

phần  thẳng  đứng  của  lực  F  (lực  căng  dây  điện)  làm  cho  cột  chịu  nén,  còn  thành  phần  nằm  ngang  của  lực  F  làm  cho  cột  chịu  uốn.  Nếu thành phần nằm ngang của lực F khơng nằm trong mặt phẳng  qn  tính  chính  trung tâm  thì  Mx ¹ 0  và My ¹  0,  nếu  F  nằm  trong 

mặt  phẳng  quán  tính  chính  trung  tâm  thì  hoặc  Mx =  0  và  My ¹  0 

(hoặc Mx¹0 và My = 0). 

3.2 Ứng suất pháp trên mặt cắt ngang : 

Do  đã  bỏ  qua  lực  cắt  nên  trên  mặt  cắt  ngang  thanh  chỉ  có  ứng  suất pháp slà do : 

­ Ứng suất pháp do lực dọc gây ra : 

F  N z 

N =

s 

­ Ứng suất pháp do mô men Mx gây ra :   y 

J  M 

x  x  )  x  ( 

M =

s 

­ Ứng suất pháp do mô men My gây ra :  . x 

J  M 

y  y  ) 

y  ( 

M =

s 

Vậy ứng suất pháp trên mặt cắt ngang thanh là :  x 

.  J  M  y    J  M  F  N 

y  y  x 

x  z

+ +

=

s  (8­9) 

Trong đó : 

Dấu của Nz, Mx, My lấy như quy ước ở các chương trước. 

x, y : toạ độ điểm tính ứng suất. 

Để tránh nhầm lẫn trong kỹ thuật ta có thể dùng cơng thức sau để tính ứng suất :  x 

.  J  M  y    J  M  F 

N 

y  y  x 

x  z

± ±

± =

s  (8­10) 

Trong đó : 

Nz : lấy dấu (+) khi là lực kéo, lấy dấu (­) khi là lực nén. 

Mx, My : lấy dấu (+) hay (­) theo quy ước. 

x, y : lấy dấu (+) hay (­) tùy theo điểm tính ứng suất ở vùng kéo hay nén. 

Nếu mặt cắt ngang thanh có 2 trục đối xứng có thể tính ứng suất lớn nhất và nhỏ  nhất cho riêng từng trường hợp :

F

P

­ Uốn đồng thời kéo : 

y  y  x 

x  z 

min  max 

W  M  W 

M  F 

N

± ±

=

s  (8­11) 

­ Uốn đồng thời nén : 

y  y  x 

x  z 

min  max 

W  M  W 

M  F 

N

± ±

- =

s  (8­12) 

3.3. Điều kiện bền và ba bài toán cơ bản : 

3.3.1. Điều kiện bền: 

Tương  tự  như  trong  uốn  xiên,  điều  kiện  bền  của  thanh  chịu  uốn  đồng  thời  kéo  (nén) là :

[ ] [ ] ỵ ý

ỹ s Ê s

s Ê s 

n  min 

k  max 

(8­13)  Với : [sk], [sn] ­ ứng suất cho phép khi kéo, nén của vật liệu. 

Nếu vật liệu thanh có [sk] = [sn] thì chỉ cần kiểm tra theo smax hoặc smin tùy theo 

ứng suất nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn. Từ điều kiện bền (8­13) ta có 3 bài tốn cơ  bản : 

3.3.2. Ba bài tốn cơ bản: 

3.3.2.1 Bài tốn kiểm tra bền : 

Xác định mặt cắt nguy hiểm, mặt cắt có Mx = Mmax, My = Mmax, Nz = Nmax 

Tính smax , smin. 

Kiểm tra điều kiện bền (8­13).  3.3.2.2. Chọn kích thước mặt cắt : 

Khi chọn kích thước mặt cắt ngang, khó khăn gặp phải là cả F, Wx, Wy đều chưa 

biết, vì vậy thường giải quyết bài tốn này như sau :  ­ Bỏ qua 

F  N z 

để chọn kích thước mặt cắt ngang như uốn xiên.  ­ Điều chỉnh lại kích thước tùy theo giá trị của 

F  N z 

.  ­ Kiểm tra bền theo điều kiện (8­13) 

3.3.2.3. Xác định tải trọng cho phép : 

Khơng nêu được phương pháp chung để giải bài tốn này. Tùy từng trường hợp cụ  thể, theo điều kiện bền (8­13) sẽ thiết lập cơng thức để tính tải trọng cho phép. 

3.3.3. Ví dụ : 

Chọn số hiệu thép chữ I cho dầm AB chịu tác dụng của các tải trọng P= 2000daN,  q  = 200daN/m như hình vẽ 8.5 (Tải trọng nằm trong mặt phẳng zAy), ứng suất cho  phép [s] = 2100daN/cm 2 . 

Phân lực P thành 2 thành phần :  Pz = P. cos30 

0 

= 1732,051daN  Py = P. sin30 

0 

= 1000daN P

A B

q

2m 2m

30°

H×nh vÏ 8.5

1200 100

M daNm

N daN 1732,051

a)

b)

c)

z y

x y C

Pz : gây ra nén trong đoạn thanh CB, biểu đồ lực dọc vẽ trên hình 8.5c. 

Py và q gây ra uốn, biểu đồ mơ men uốn Mx vẽ trên hình 8.5b. 

­ Trước hết ta dựa vào Mx max = 1200daNm để sơ bộ chọn số hiệu thép chữ I. 

Từ cơng thức (8­12) bỏ qua Nz ta có :  3  2 

max  x 

x  57 , 143 cm 

2100  10  x  1200  ] 

[  M 

W = =

s ³ 

Tra bảng 3 (thép cán định hình chữ I) ta được :  I số 14 có Wx = 81,7cm 

3 

; F = 17,4cm 2  ­ Kiểm tra lại theo điều kiện bền (8­13) : 

2  2 

x  x  z 

max 

cm  daN  245  ,  1369  7 

,  81 

10  x  1200  4 

,  17 

051  ,  1732  W 

M  F 

N

= +

- = +

- = s 

2  2 

x  x  z 

min 

cm  daN  331  ,  1568  7 

,  81 

10  x  1200  4 

,  17 

051  ,  1732  W 

M  F 

N

- = -

- = -

- = s 

­ So sánh ta thấy min  2  [ ]  2 

cm  daN  2100  cm 

daN  331  , 

1568 < s = =

s 

­ Kết luận : Chọn thép chữ I số 14 là đạt yêu cầu chịu lực.  3.4. Nén lệch tâm : 

3.4.1. Khái niêm : 

3.4.2 Ứng suất : 

Nếu ta dời lực P có toạ độ (xk, yk) về trọng tâm mặt cắt 

ngang ta được một thành phần lực dọc Nz = P và một mơ 

men uốn Mu = Nz.e 

Nếu  ta phân  tích  Mu thành  hai thành phần mơ men đối 

với hai trục Ox và Oy, ta có :  Mx = Nz. yk 

My = Nz. xk 

Khoảng  cách điểm  từ  tâm  O  của  mặt  cắt  đến  điểm đặt  lực K gọi là độ lệch tâm, ký hiệu là e.  Thay tất cả các giá trị trên vào cơng thức (8­9) ta được: ÷ ÷ ÷ ÷ ø ỗ ỗ ỗ ỗ ố ổ + + = + + = s Þ  F  J  x    x  F  J  y    y  1  F  N  x    J  x    N  y  J  y    N  F  N  y  k  x  k  z  y  k  z  x  k  z  z  Mặt khác :  F  J  i  F  J 

i  2 x  x 

x 

x =  Þ =

F  J  i  F  J 

i y =  y  ị 2y= y

Vy: ữ ữ ứ ỗ ç è æ + + =

s  2 

y    k  2  x  k  z  i  x  x  i  y    y  1  F  N  (8­14)  Trong đó :  x ; y ­ toạ độ diểm cần tính ứng suất. 

xk ; yk ­ toạ độ diểm đặt lực P. 

ix ; iy ­ bán kính qn tính của mặt cắt ngang đối với trục x, y 

Để tránh nhầm lẫn có thể dùng cơng thức sau để tính ứng suất : ÷ ÷ ø ỗ ỗ ố ổ - =

s  2 

y  k  2  x  k  z  i  x    x  i  y    y  1  F  N  (8­15)  Khi mặt cắt ngang có hai trục đối xứng thì :  y  y  x  x  z  min  max  W  M  W  M  F  N ± ± - =

s  (8­16) 

3.4.3. Trục trung hồ : 

Trên trục trung hồ ứng suất pháp bằng khơng

H×nh vÏ 8.6

x y

Từ công thức (8­14) suy ra :  1     2  0  0  2 

0

= +

+ 

y  k  x 

k 

i  x  x  i 

y  y 

(8­17)  Với :  xo ; yo ­ toạ độ điểm nằm trên trục trung hoà. 

t:

ù ù ỵ ù ù ý ỹ

- =

- =

k y k x

x i a

y i b

(8­18) 

Phương trình trục trung hồ là b y a x 0 0

=

+  (8­19) 

Từ phương trình trục trung hồ ta thấy: 

­ Vì a và b ln ngược dấu với xk, yk nên trục trung hồ khơng đi qua góc phần 

tư chứa điểm đặt lực (khi x0 = 0 thì y0 = b, khi y0 = 0 thì x0 = a, hai điểm này ở khác 

phía của xk, yk). Nếu điểm đặt lực nằm trên một trục nào đó thì trục trung hồ song 

song với trục kia (nếu điểm đặt lực nằm trên trục x thì yk = 0, b = ¥, phương trình 

trục trung hồ trở thành x0 = a, đó là phương trình đường thẳng song song với trục y) 

­ Vị trí trục trung hồ phụ thuộc vào điểm đặt lực (xk ; yk) mà khơng phụ thuộc 

vào trị số của lực (vì trong 2 cơng thức 8­17 và 8­18 hồn tồn khơng có Nz). 

­ Khi điểm đặt của tải trọng di chuyển trên một đường thẳng khơng qua gốc toạ  độ thì đường trung hồ tương ứng sẽ quay quanh một điểm cố định nào đó. 

­  Nếu  điểm  đặt  tải  trọng  di  chuyển  trên  đường  thẳng  qua  gốc  toạ  độ  thì  trục  trung hồ dịch chuyển song song với chính nó. Điểm đặt đến gần gốc toạ độ thì trục  trung hồ dịch ra xa gốc toạ độ và ngược lại. 

3.4.4. Lõi mặt cắt : 

3.4.4.1. Định nghĩa: Lõi mặt cắt là khu vực giới hạn được vị trí của điểm đặt lực P  để tại đó chỉ phát sinh ứng suất nén. 

3.4.4.2.Cách vẽ : 

­  Cho  trục trung  hoà  tiếp xúc  với  chu  vi mặt  cắt  sao cho  toàn  bộ mặt  cắt  nằm ở  một bên của đường trung hồ, cắt trục x tại a , trục y tại b. 

­ Thay a, b vào (8­18) tìm được xk ; yk đó là một điểm biên của lõi mặt cắt. 

­ Lập trình tự trên nhiều lần ta được các điểm nằm trên biên của lõi, nối các điểm  biên lại ta được lõi mặt cắt. 

3.4.4.2.1. Lõi mặt cắt hình trịn : 

­ Cho trục trung hồ tiếp xúc với chu vi mặt cắt  hình trịn tại A (hình vẽ 8.7) 

Ta có :  a =¥ (do x = 0)

x A

tmax

t=

t= H×nh vÏ 8.7

M

d

y

d

2 d b = -

­ Hình trịn có :

4 d i i x = y =

Thay a, b, ix, iy vào (8­18) suy ra :

k

y 16 d d

- =

-  ;

k

x 16

d - = ¥  Rút ra :  xk = 0

8 d d 16

d y

2

k =  =

Vậy M(0, d/8) là một điểm trên biên của lõi mặt cắt. 

Do tính chất đối xứng suy ra lõi mặt cắt là hình trịn tâm O có bán kính d/8.  3.4.4.2.2. Lõi mặt cắt hình chữ nhật : 

* Cho trục trung hồ tiếp xúc với cạnh AB hình vẽ 8.8, ta có :  a = ¥

2 h b = -

Thay a, b vào cơng thức (8­18) ta có :

k y

x i - = ¥

k x

y i h

- = - 

­ Với hình chữ nhật ta có :

ï ï ỵ ï ï í ì

= =

= =

12 b F J i

12 h F J i

y y

x x

Nên :

k

y 12

h h

=

6 h y k = Þ

k

x 12

b - =

Ơ ịxk = 0

Điểm M(0 , h/6) là một điểm biên của lõi. 

­ Do tính chất đối xứng, suy ra N(0, ­ h/6) cũng là một điểm biên của lõi.  * Cho trục trung hồ trùng với cạnh BC khi đó :

x

H×nh vÏ 8.8 y

h

b

h h

A B

C D

E N

a  = b/2  b = ¥ 

Tương tự trên ta có điểm  E (­b/6, 0) là một điểm biên của lõi.  Điểm  F( b/6, 0) cũng là một điểm biên của lõi. 

Vậy hình thoi NFME là lõi cũa mặt cắt hình chữ nhật. 

3.5. Ví dụ : 

Cột  bằng  gạch  có  mặt  cắt  ngang  hình  chữ  nhật  cạch  là  70cm  và  50cm,  chiều  cao  cột  300cm.  Trọng  lượng  riêng  của  gạch  là  16KN/m 3 , cột chịu tác dụng của tải trọng P = 120KN đặt ở mặt cắt  đỉnh cột với toạ độ điểm đặt lực xk = 15cm,  yk = 0 (hình vẽ 8.9). 

Kiểm tra độ bền của cột, biết : [sn] = 100N/cm  2 

, [sk] = 10N/cm  2 

.  Vẽ biểu đồ ứng suất ở mặt cắt nguy hiểm. 

Khi yk = 0, xác định xk để trên mặt cắt nguy hiểm chỉ có ứng suất 

nén. 

Bài giải : 

* Kiểm tra độ bền của cột : 

+ Cột gạch vừa chịu nén đúng tâm do trọng lượng bản thân G, vừa chịu nén  lệch tâm do lực P gây ra. 

+ Trọng lượng của cột gạch :  G = 0,7x0,5x3x16 = 16,8KN 

+ Mặt cắt nguy hiểm là mặt cắt chân cột, ở đó có :  ­ Lực dọc : N = ­ G ­ P = ­ 16,8 ­ 120 = ­ 136,8KN 

­ Mơ men uốn đối với trục x, y do lực P đặt lệch tâm gây ra  Mx = P. yk = 0 

My = P. xk = 120x15 = 1800KNcm 

+ Diện tích mặt cắt ngang của cột gạch :  F = 70x50 = 3500cm 2 

+ Mô men chống uốn đối với trục y là :

3

2

y 40833 cm

6 70 50

b h

W =  = =

+ Trên cạnh CD của mặt cắt nguy hiểm sẽ phát sinh ứng suất smax

2

3

y y z max

cm N 996 , 40833

10 1800 3500

10 , 136 W

M F N

= +

- = + - = s 

+ Trên cạnh BA của mặt cắt nguy hiểm sẽ phát sinh ứng suất smin

G P

A B C

D

x O

y

smax

smin

s = H×nh vÏ 8.9

2

3

y y z

cm N 168 , 83 40833

10 1800 3500

10 , 136 W

M F N

- = -

- = - - = s 

Vậy : smax = 4,996N/cm  2 

< [sk] = 10N/cm 

½smin½ = 83,168N/cm  2 

< [sn] = 100N/cm  2 

Thanh đảm bảo điều kiện bền.  * Biểu đồ ứng suất : 

+ Ta thấy : sA = sB = smin

sC = sD = smax 

+ Các điểm nằm trên đường song song trục y có ứng suất bằng nhau.  + Biểu đồ ứng suất trên đường song song trục x như hình vẽ. 

+ Trục trung hồ song song trục y tương ứng với điểm có s = 0.  * Xác định xk để trên mặt cắt nguy hiểm chỉ có ứng suất nén. 

+  Nếu  bỏ  qua  trọng  lượng bản  thân của cột,  cột chỉ  chịu  lực P  tác dụng, để  trên mặt cắt chỉ có ứng suất nén cần đặt lực P trong phạm vi lõi mặt cắt. 

+ Do cịn trọng lượng bản thân G của cột nên xác định xk theo điều kiện

sC = sD = 0

cm , 13 10 120

40833

3500 10 , 136 x

0 40833

x 10 120 3500

10 , 136

3

k

k 3

c

= =

Þ

= +

- = s 

Khi yk = 0 thì ­13,3cm £ xk£ 13,3cm, trên tồn mặt cắt nguy hiểm chỉ có ứng 

suất nén. 

4. UỐN ĐỒNG THỜI XOẮN 

4.1. Khái niệm : 

Thanh chịu uốn đồng thời xoắn khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh có Mx, My 

và Mz trong đó có thể có một thành phần mơ men uốn bằng khơng. 

Ta thường gặp uốn đồng thời xoắn trong các chi tiết máy, trong cầu dầm tiết diện  hình hộp  

4.2. Uốn đồng thời xoắn thanh có mặt cắt ngang trịn : 

Khi mặt cắt trịn khơng có uốn xiên, ta ký hiệu mơ men uốn Mu. Mơ men uốn Mu 

sinh  ra  ứng  suất  pháp  còn  Mz sinh  ra  ứng  suất  tiếp,  hai  ứng  suất  này  khơng  cùng 

phương nên khơng thể thành lập cơng thức tính ứng suất như trong uốn xiên hay uốn  đồng thời kéo hoặc nén. 

­ Ứng suất pháp do mơ men uốn Mu sinh ra trên mặt cắt ngang hình trịn có giá trị 

x  u  min 

max 

W  M ± =

s  (1) 

­ Ứng suất tiếp do mơ men xoắn sinh ra có giá trị lớn nhất ở những điểm nằm trên  chu vi mặt cắt. 

x  z  0 

z  max 

W  2 

M  W 

M = =

t  (2) 

­  Tại  điểm  có 

min  max

s  tmax phân  tố  trạng  thái  ứng  suất  phẳng,  cần  phải  kiểm  tra 

điều kiện bền. Từ smax và tmax (viết gọn là s và t) ta tính được các ứng suất chính s1 

và s3, thay các giá trị ứng suất này vào công thức (4­29) và (4­30) ta được công thức 

kiểm tra bền như sau : 

Theo lý thuyết bền ứng suất tiếp cực đại (lý thuyết bền thứ ba) :

[ ] s £ t + s =

s td 3  2  4 2  (8­20) 

Thay svà t ở công thức (1) và (2) vào công thức (8­20) ta được:

[ ] s £ + =

s  2 u  2 z 

x  3 

td  M  M 

W  1 

(8­21)  Theo lý thuyết bền thế năng biến đổi hình dạng (lý thuyết bền thứ tư):

[ ] s £ t + s =

s td 4  2  3 2  (8­22) 

Thay svà t ở công thức (1) và (2) vào công thức (8­22) ta được:

[ ] s £ +

=

s  2 z 

2  u  x  4 

td  M 

4  3  M  W 

1 

(8­23) 

4.3. Ví dụ : 

Tính  đường  kính  một  trục  thép  có  gắn  một  bánh  truyền  động  dây  đai ở giữa. Bánh được truyền động  với  dây  đai  theo  phương  nằm  ngang  với  sức  căng  các  nhánh  đai  là T1 = 400daN, T2 = 200daN (hình 

vẽ 8.10). Trục và bánh đai có trọng 

lượng Q = 400daN, trục truyền cơng suất W = 20 mã lực với số vịng quay n = 160  vịng/phút, chiều dài trục l = 2m, vận tốc góc w = 71620W/n. Ứng suất cho phép của  vật liệu làm trục [s] = 600daN/cm 2 . 

Bài giải : 

Cơng thức tính mơ men xoắn theo cơng suất và vận tốc góc.  daNcm 

8953  160 

20  x  71620  n 

W 

M z =w = =

T 1

T 2 d

H×nh vÏ 8.10 Q

l

Lực nằm ngang tác dụng lên trục là :  S = T1 + T2 = 400 + 200 = 600daN 

Hợp của lực nằm ngang và lực đứng ở giữa trục là :  daN  11  ,  721  400 

600  Q 

S 

F =  + 2 = 2 + 2 =

Mô men uốn do lực F sinh ra ở mặt cắt giữa dầm (mặt cắt nguy hiểm nhất):  daNcm 

36056  4 

200  x  44  ,  721  4 

l    F 

M u =  = =

Theo lý thuyết bền thứ ba ta có :

[ ] s £ + =

s  2 u  2 z 

x  3 

td  M  M 

W  1 

Hay

[ ] 

3  2 

2  2 

z  2  u 

x  61 , 92 cm 

600  8953  36056 

M  M 

W = + =

s + ³ 

Mặt khác :  3 

3 

cm  92  ,  61  32 

d 

³ p 

Suy ra : d ³8,576cm  Chọn d = 8,6cm 

CÂU HỎI ÔN TẬP CHƯƠNG 8 

LÝ THUYẾT : 

1.  Thế  nào  là  thanh  chịu  lực  phức  tạp?  Trong  điều  kiện  nào  thì  có  thể  dùng  phương pháp cơng tác dụng để tính tốn thanh chịu lực phức tạp? 

2 Thế nào là thanh chịu uốn xiên? Cho ví dụ? 

3. Viết và giải thích cơng thức tính ứng suất pháp tại điểm bất kỳ, ứng suất pháp  lớn nhất và nhỏ nhất trên mặt cắt ngang thanh khi mặt cắt có hai trục đối xứng. 

4. Cách kiểm tra bền của thanh chịu uốn xiên? Nêu cách chọn kích thước mặt cắt  ngang của thanh chịu uốn xiên? 

5. Thế nào là thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời? Cho ví dụ? 

6. Cách giải bài tốn chọn mặt cắt của thanh chịu uốn và kéo (nén) đồng thời?  7. Thế  nào  là  thanh  chịu  nén  lệch tâm? Viết cơng  thức  tính ứng  suất  pháp  trong  nén lệch tâm? 

8. Lõi mặt cắt là gì? Cách xác định lõi mặt cắt? 

9. Thế nào là thanh chịu uốn đồng thời xoắn? Cho ví dụ? Trình bày cách kiểm tra  bền của thanh? 

1.  Kiểm  tra  độ  bền  của  dầm  giản đơn, chiều dài l = 2m, dầm  đặt  trên mặt phẳng  nghiêng  với  mặt  nằm  ngang  góc a  =  30 0  (hình  vẽ  8.11),  tải  trọng  tác 

dụng ở giữa mặt cắt dầm P = 50KN. Biết dầm là thép chữ I  số 24a và có ứng suất  cho phép [s] = 2100daN/cm 2 . 

2.  Xác  định  bề  rộng  b  của  mặt  cắt ngang thanh (hình vẽ 8.12) nếu  [s] = 2100daN/cm 2 . 

a.  Biết  chiều  cao  mặt  cắt  ngang h = 20cm. 

b. Biết h = 2b. 

3. Xác định tải trọng lớn nhất q của một  dầm cơng son chịu tải trọng phân bố đều q  trên một nửa chiều dài dầm (hình vẽ 8.13).  Biết [s] = 2100daN/cm 2 . 

4. Xác định kích thước mặt cắt ngang  tại  mặt  cắt  nguy  hiểm  (hình  vẽ  8.14)  biết [s] = 2100daN/cm 2 , P = 3000daN,  a = 2m, h = 5b/3. 

5.  Tường  chắn  đất  bằng  bê  tơng  có  chiều cao h = 8m, dày b = 1,5m. Trọng  lượng  riêng  của  bê  tơng g  =  21KN/m 3 , 

áp lực của đất lên 1 m chiều dài tường là P = 80KN đặt ở 1/3 chiều cao tường kể từ  mặt đất trở lên (hình vẽ 8.15). 

­ Xác định smax , smin ở mặt cắt ngang chân tường (mặt cắt A – B). 

­ Muốn smax = 0 thì chiều dày b của tường bằng bao nhiêu?

x O

z

H×nh vÏ 8.16 P

P

A B

P h

h

1,2m

1m

H×nh vÏ 8.15 y

P l

2

l

x

y 30° P

H×nh vÏ 8.11

h x

y q 45°

2m 2m

H×nh vÏ 8.12 q = 50KN/m

b

2m 2m

H×nh vÏ 8.13 q

x y q 80°

I sè 20a

H×nh vÏ 8.14

P P

a 2a

b

h x

y 30°

6. Thanh dài 3m, mặt cắt ngang là hình chữ nhật cạnh đứng  18cm, cạnh nằm ngang 8cm, thanh chịu tác dụng của lực dọc  P1 = 50KN và lực ngang P2 = 20KN (hình vẽ 8.16). 

­ Vẽ biểu đồ lực dọc và mơ men uốn của thanh.  ­ Tính smax , smin ở mặt cắt nguy hiểm nhất. 

­ Vẽ biểu đồ ứng suất cho mặt cắt nguy hiểm. 

7. Cột chịu lực nén P = 500KN đặt lệch tâm trên trục x với  xk = ­ 2a = ­ 24cm. Ở giữa cột kht rỗng một hình trụ trịn có 

đường kính đáy là 2a. Mặt cắt ngang cột hình chữ nhật có các  cạnh là 4a và 6a (hình vẽ 8.17). 

­  Tính  ứng suất  ở  các  điểm A,  B, C, D  của  mặt  cắt chân  cột. 

­ Vẽ biểu đồ ứng suất của mặt cắt chân cột. 

­ Với xk bằng bao nhiêu thì ở chân cột chỉ có ứng suất nén. 

CHƯƠNG 9: ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 

1. KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN 

1.1. Khái niệm : 

Xét một thanh thẳng dài và mảnh một đầu ngàm, một đầu tự do chịu tác dụng của  lực nén đúng tâm P (hình vẽ 9.1a). Lực P có giá trị tăng dần bắt đầu từ 0… Trạng  thái ban đầu của thanh là dạng thẳng, thanh chịu nén đúng tâm

P

l

P

l

P

l

R R

P P P

a) b) c)

Thanh ổn định Thanh ổn định

H×nh vÏ 9.1

P =P th P >P th

P < P th

Thanh ë trạng thái cân tới hạn

P

B C D

A

x y

K

4a

6a 2a a

Gây cho thanh một nhiễu động chẳng hạn bằng một lực ngang R đủ nhỏ để đưa  thanh ra khỏi vị trí cân bằng, thanh bị cong đi. Nếu bỏ lực R đi thì có thể xảy ra các  khả năng sau : 

Khi lực P cịn nhỏ hơn một giá trị giới hạn xác định nào đó thì thanh trở về dạng  thẳng ban đầu. Ta nói thanh ở trạng thái cân bằng ổn định (hình vẽ 9.1a). 

Khi  P  tăng đến một  giá  trị  nhất  định  thì thanh khơng trở  về  dạng  thẳng  ban đầu  được nữa hình vẽ 9.1b. Trạng thái cân bằng này được gọi là trạng thái tới  hạn của  thanh. Trị số lực P ứng với trạng thái tới hạn được gọi là lực tới hạn, ký hiệu Pth. 

Khi  P  lớn  hơn Pth thì  thanh  khơng  trở  về  trạng  thái  ban  đầu  mà  tiếp  tục  bị  cong 

thêm là trạngthái mất ổn định hình vẽ 9.1c. Vậy khi bị mất ổn định, thanh khơng giữ  được dạng cân bằng ban đầu. 

Vậy : ổn định của kết cấu là khả năng duy trì, bảo tồn được dạng cân bằng ban  đầu dưới tác dụng của tải trọng. 

Biến dạng của thanh có kèm theo sự uốn cong của trục thanh dưới tác dụng của  lực  nén  dọc  trục  được  gọi  là  hiện  tượng  uốn  dọc.  Sự  xuất  hiện  của  uốn  dọc,  gây  nguy hiểm cho khả năng làm việc của kết cấu. Vì vậy khi tính tốn cần cho lực nén  đúng tâm P đặt vào thanh phải thoả mãn điều kiện : P £Pth. 

2.  LỰC  TỚI  HẠN  VÀ  ỨNG  SUẤT  TỚI  HẠN  KHI  THANH  LÀM  VIỆC  TRONG  GIỚI HẠN ĐÀN HỒI 

2.1. Lực tới hạn Euler : 

Nhà  bác  học  Euler  đã  làm  bài  toán  xác  định  lực  tới  hạn  của  thanh  thẳng hai đầu khớp, có hình dạng và kích thước mặt cắt ngang khơng  đổi, chịu nén đúng tâm dưới tác dụng của lực P tại gối di động (hình  vẽ 9.2). 

Do các thanh có hai đầu liên kết  khác nhau nên cơng thức  tính lực  tới hạn Euler một cách tổng quát như sau :

( ) 2  min  2 

th 

l   

J    E    P

m p

=  (9­1) 

Trong đó : 

E : mơ đun đàn hồi khi kéo, nén của vật liệu. 

Jmin :  mơ  men quán  tính  chính  trung  tâm  nhỏ  nhất của mặt  cắt 

ngang thanh. 

l : chiều dài thanh đang xét

m : hệ số xét tới liên kết ở hai đầu thanh, xác định theo bảng sau :

P

l

P S¬

đồ

Thanh hai đầu liên kết khớp

Thanh đầu ngàm

đầu tự

Thanh đầu ngàm

đầu khớp

Thanh hai đầu liên kết ngàm

Thanh đầu ngàm đầu

ngm trt Liên kết hai đầu

l

P

l

P P

l

P

l

P

l

m 1 2 0,7 0,5 1

2.2 Ứng suất tới hạn: 

Khi P = Pth thì thanh vẫn cịn thẳng, nên thanh vẫn chịu nén thuần túy. 

Ứng suất tới hạn trước khi thanh bị mất ổn định, được xác định theo cơng thức :

( ) ( ) 2  2  min  2 

2  min  2 

th  th 

l   

i    E    F 

.  l   

J    E    F 

P

m p = m

p = =

s  (9­2) 

Trong đó : 

F  J  i min =  min 

F  J  i 2 min = min  Þ 

imin : bán kính qn tính nhỏ nhất của mặt cắt ngang. 

Đặt : 

min  max 

i  l  m =

l  : gọi là độ mảnh lớn nhất của thanh. 

Từ (8­2) suy ra :  2 

max  2  th 

E  .

l p =

s  (9­3) 

2.3. Phạm vi sử dụng cơng thức Euler : 

Trên cơ sở vật liệu làm việc trong giai đoạn đàn hồi : 

Ta có :  2  tl 

max  2  th 

E 

s £ l p =

s  (9­4) 

Hay: 

tl  max 

E s p ³

Đặt : 

tl  0 

E s p =

l  : gọi là độ mảnh giới hạn.  (9­6) 

Điều kiện áp dụng của công thức Euler :

lmax³ l0  (9­7) 

Ví dụ :  Thép CT3 l0 = 100 

Gỗ thơng l0 = 75 

Gang thường l0 = 80 

Thanh có l ³ l0  thanh có độ mảnh lớn. 

Thanh có l1£ l < l0thanh có độ mảnh vừa. 

Thanh có l < l1  thanh có độ mảnh bé (khơng phải kiểm tra ổn định). 

Thường l1 = 40. 

2.4. Ví dụ : 

Tính  lực  tới  hạn  và  ứng  suất  tới  hạn  của  cột bằng  thép  CT3 có  mơ  đun đàn  hồi 

E = 2,1.10 4 KN/cm 2 , mặt cắt ngang hình chữ I số 22a. Cột có liên kết khớp ở hai đầu,  biết chiều dài thanh l = 3m. 

Bài giải : 

Thép chữ I số 22a tra bảng phụ lục ta có :  F = 32,8cm 2 ; imin = iy = 2,5cm 

Vì thanh hai đầu liên kết khớp nên m = 1.  Độ mảnh lớn nhất của thanh :

120  5 

,  2 

300  x  1  i 

l 

min 

max = =

m = l 

Thép CT3 có độ mảnh giới hạnl0 = 100. 

Do lmax = 120 > l0 = 100 nên áp dụng cơng thức Euler để tính : 

­ Ứng suất tới hạn : 

2  2 

4  2 

2  max  2  th 

cm  KN  393  ,  14  120 

10  x  1  ,  2  x  E 

= p

= l p = s 

­ Lực tới hạn : 

Pth = sth. F = 14,393. 32,8 = 472,09 KN. 

3. TÍNH ỨNG SUẤT TỚI HẠN CỦA THANH NGỒI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI 

3.1. Cơng thức tính: 

Khi  độ  mảnh  của  thanh  nhỏ  hơn  độ  mảnh  giới  hạn  (l  < l0)  không  thể  áp  dụng 

Cơng thức Iaxinsky là cơng thức thực nghiệm được dùng khá phổ biến đối với các  thanh có độ mảnh vừa (l1 <l <l0) ứng suất tới hạn được tính :

sth = a ­ b.l  (9­8) 

và :  Pth = sth. F 

Trong đó : a, b ­ hằng số phụ thuộc vật liệu của thanh. 

Ví dụ : 

Thép CT3 có :  a = 3360kg/cm  2 

;  b = 14,7kg/cm 2 .  Gỗ  a = 293kg/cm 2 ;  b = 1,94kg/cm 2 .  Với thanh có độ mảnh bé (l £ l1) thì :

sth = s0

s0 = sch : nếu vật liệu dẻo

s0 = sb : nếu vật liệu dịn. 

3.2 Ví dụ : 

Tính lực tới hạn, ứng suất tới hạn ở ví dụ trước nếu chiều dài l = 2,25m.  Bài giải : 

Độ mảnh lớn nhất của thanh :

90  5 

,  2 

225  x  1  i 

l 

min 

max = =

m = l 

Do lmax = 90 < l0 = 100 vì thế cần tính ứng suất tới hạn theo cơng thức Iaxinsky

sth = a ­ b.l = 3360 ­ 14,7. 90 = 2040 kg/cm  2 

.  và :  Pth = sth. F = 2040. 32,8 = 66912kg = 669,12KN 

So sánh với kết quả ở ví dụ trước ta thấy :  Khi l = 3m thì lmax = 120 ; Pth = 472,09 KN 

Khi l = 2,25m thì lmax = 90 ; Pth = 669,12KN 

Nghĩa là khi l giảm thìl giảm và lực tới hạn tăng một cách đáng kể. 

4. TÍNH TỐN ỔN ĐỊNH CỦA THANH NÉN THEO QUY PHẠM 

4.1. Điều kiện ổn định : 

Điều kiện bền của thanh chịu nén đúng tâm :

[ ] n 

F  P

s £ =

s  (9­9) 

[ ]n    F 

P s £ =

s  (9­10) 

Trong đó : 

[s]ođ : ứng suất cho phép về ổn định

[ ] 

od  th  od 

k s =

s  (9­11) 

Với :  kơđ : hệ số an tồn về ổn định; kơđ = 2 ¸4 đối với thép. 

Để thuận lợi cho tính tốn, ta lập :

[ ] [ ]n   1 

od

< s s =

j  : gọi là hệ số giảm ứng suất cho phép.  Vậy :  [ ] n 

F  P

s j £ =

s  (9­12) 

Hay :  [ ]n   F 

N

s j £ =

s  (9­13) 

Với j  được tra theo bảng 

Bảng tính hệ số j phụ thuộc vào độ mãnh l và loại vật liệu 

Trị số j đối với 

Độ mảnhl  Thép số 4, 3, 2  Thép số 5  Gang  Gỗ 

0  1,00  1,00  1,00  1,00 

10  0,99  0,98  0,97  0,99 

20  0,96  0,95  0,91  0,97 

30  0,94  0,92  0,81  0,93 

40  0,92  0,89  0,69  0,87 

50  0,89  0,86  0,57  0,80 

60  0,86  0,82  0,44  0,71 

70  0,81  0,76  0,34  0,60 

80  0,75  0,70  0,26  0,48 

90  0,69  0,62  0,20  0,38 

100  0,60  0,51  0,16  0,31 

110  0,52  0,43  0,25 

120  0,45  0,36  0,22 

130  0,40  0,33  0,18 

150  0,32  0,26  0,14 

160  0,29  0,24  0,12 

170  0,26  0,21  0,11 

180  0,23  0,19  0,10 

190  0,21  0,17  0,09 

200  0,19  0,16  0,08 

4.2. Ba bài tốn cơ bản : 

4.2.1. Kiểm tra ổn định : 

Tính độ mảnh l. 

Dựa vào l, tra bảng ở trên để tìm hệ số giảm ứng suất cho phép j.  Nếu Fng = Ftt thì kiểm tra điều kiện ổn định

[ ]n  

ng    F 

N

s j £ =

s  (9­14) 

Nếu Fng > Ftt thì kiểm tra cả điều kiện ổn định và điều kiện bền. 

­ Điều kiện ổn định : [ ]n   ng 

.  F 

N

s j £ = s 

­ Điều kiện bền : [ ]n  

tt 

.  F 

N s £ =

s  (9­15) 

Với :  Fng : diện tích ngun của mặt cắt ngang khơng trừ các lỗ khoan,  

Ftt : diện tích thực tế của mặt cắt ngang đã trừ các lỗ khoan,  

4.2.2. Xác định tải trọng cho phép : 

Nếu Fng = Fth ;  từ (9­14) Þ N = P £ j. [s]n. Fng 

Nếu Fng > Ftt thì :  từ (9­14) Þ N1 = P £ j. [s]n. Fng 

từ (9­15) Þ N2 = P £ [s]n. Ftt 

Chọn N = min {N1 ; N2} 

4.2.3. Xác định kích thước mặt cắt :

[ ]n  

ng 

.  N  F

s j

³  (9­16) 

Vì : Fng, j chưa biết nên tính theo phương pháp đúng dần. 

+ Chọn j1 

+ Thay j1 vào (9­16) tính Fng, chọn kích thước mặt cắt ngang. 

­ Nếu j1» j2 thì ngừng q trình tính tốn, ta chọn j = j1. 

­ Nếu j1¹ j2 thì ta có thể lấy 

2 

2  + j

j = j 

4.3. Các ví dụ minh hoạ : 

4.3.1. Ví dụ 1 : 

Chọn  số  hiệu  thép  chữ  I  cho  thanh  dài  l  =  2m  có liên  kết  khớp  ở  hai  đầu thanh  trong  cả  hai mặt phẳng  của  trục  x  và  y. Biết lực  nén P = 230KN,  vật liệu  thanh  là  thép CT2 có [s]n = 14KN/cm 

2 

.  Bài giải : 

+ Giả định j = 0,5.  Ta có :

[ ] 

2  n 

ng  32 , 857 cm 

14  x  5  ,  0 

230   

N 

F = =

s j ³ 

Tra bảng thép chữ I, chọn I số 22a có : F = 32,8cm 2 ; imin = iy = 2,5cm 

Độ mảnh lớn nhất của thanh, do thanh hai đầu liên kết khớp nên m = 1 

80  5 

,  2 

200  x  1  i 

l 

min 

max = =

m = l 

Tra bảng ở trên ta có : j = 0,75 > j= 0,5. Nên tính lại. 

+ Giả định , 625

2 75 , ,

2

= + = j + j = j  Ta có :

[ ] 

2  n 

ng  26 , 3 cm 

14  x  625  ,  0 

230  . 

N 

F = =

s j ³ 

Tra bảng thép chữ I, chọn I số 20 có : F = 26,8cm 2 ; imin = iy = 2,07cm 

Độ mảnh lớn nhất của thanh, do thanh hai đầu liên kết khớp nên m = 1 

62  ,  96  07  ,  2 

200  x  1  i 

l 

min 

max = =

m = l 

Tra bảng ở trên ta có cách tính j như sau :  Vớil = 90  j = 0,69 

Với l = 96,62  j = x  Vớil = 100  j = 0,6 

Suy ra : x ( 96 , 62  90 )  0 , 63  90 

100  6  ,  0  69  ,  0  69  ,  0 

x - =

- - -

= 

4.3.2. Ví dụ 2 : 

Xác  định  lực nén  cho  phép  của  cột  gỗ cao  l  = 2m.  Mặt  cắt  ngang  hình  chữ nhật  cạnh  10cm  và  20cm.  Trên  thanh  có  kht  một  lỗ  trịn  đường  kính  d  = 4cm  xun  suốt chiều rộng thanh (hình vẽ 9.3). Biết E = 10 5 kg/cm 2 , [s]n = 100kg/cm 

2 

.  Bài giải : 

Diện tích nguyên của mặt cắt ngang thanh :  Fng = 10x20 = 200cm 

2 

. 

Diện tích thực tế của mặt cắt ngang thanh tại chỗ khoét :  Ftt = 10x(20 ­ 4) = 160cm 

2 

Thanh tiết diện hình chữ nhật nên bán kính qn tính nhỏ nhất  imin = 0,289. b = 0,289x10 = 2,89cm 

Do Fng > Ftt nên cần xác định lực nén theo hai điều kiện : 

­ Theo điều kiện ổn định :  Ta có : P £ j. [s]n. Fng 

* Độ mảnh lớn nhất của thanh được xác định : 

min  max 

i  l  m = l 

Do thanh có một đầu ngàm, một đầu tự do nên m = 1 

408  ,  138  89 

,  2 

200  x  2  i 

l 

min 

max = =

m = l 

* Hệ số giảm ứng suất cho phép j (tra bảng ở trên) 

Vớil = 130  j = 0,18 

Với l = 138,408  j = x 

Vớil = 140  j = 0,16 

Suy ra : x ( 138 , 408  130 )  0 , 163  130 

140 

16  ,  0  18  ,  0  18  ,  0 

x - =

- - -

= 

Vậy j= 0,163 

* Lực cho phép theo điều kiện ổn định :  P £ 0,163x100x200 = 3260kg 

­ Theo điều kiện bền : 

P £ [s]n. Ftt = 100x160 = 16000kg 

Vậy lực nén cho phép của cột gỗ : 

[P] = min{3260; 16000} = 3260kg = 32,6KN

P

x y

l =

2m

20cm

10

5. MẶT CẮT HỢP LÝ CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 

Mặt cắt hợp lý là mặt cắt vừa đảm bảo an tồn, vừa tiết kiệm được vật liệu. Vì vậy  mặt cắt có dạng hình vng, hình trịn, hình đa giác đều là mặt cắt hợp lý. 

Để  các  mơ men  qn  tính  chính  càng  lớn  thì  càng tốt, nên  người  ta  thường  làm  các mặt cắt rộng như : hình vng rỗng, hình vành  khăn,  hoặc ghép từ thép góc,  thép chữ I, chữ C,  tuy nhiên để đảm bảo an tồn cịn phải tính tốn đến ổn định cục  bộ và các điều kiện khác. 

CÂU HỎI ƠN TẬP CHƯƠNG 9 

LÝ THUYẾT : 

1. Mơ tả hiện tượng mất ổn định của thanh thẳng chịu nén đúng tâm, từ đó nêu lên  định nghĩa lực tới hạn. 

2. Lực tới hạn là gì? ứng suất tới hạn là gì? Phạm vi sử dụng cơng thức Ơle.  3. Điều kiện ổn định của thanh chịu nén và ba bài tốn cơ bản. 

4. Vì sao khi chọn mặt cắt của thanh chịu nén theo điều kiện ổn định phải dùng  phương pháp đúng dần? Trình bày nội dung của phương pháp đúng dần. 

BÀI TẬP : 

Cho kết cấu thanh làm bằng thép có chiều dài l, chịu tác dụng của lực P, liên kết ở  hai đầu thanh theo hai phương x và y hình vẽ 9.4. 

­  Chọn  số  hiệu  của  thanh  nếu biết  :  thanh  làm  bằng  thép  chữ I  vật  liệu  thanh  là  thép CT3, l = 4m, P = 500KN, [s]n = 20KN/cm 

2 

. 

­ Tính lực tới hạn của thanh nếu biết : l = 3,5m; thanh làm bằng thép chữ I số 24a  có mơ đun đàn hồi E = 2,1.10 6 KN/cm 2 

­ Kiểm tra ổn định của thanh nếu l = 3m, P = 400KN, mặt cắt ngang thanh hình  vành khăn có đường kính ngồi D = 20cm, đường kính trong d = 16cm, bằng thép  CT5 có [s]n=30KN/cm 2 

P

l

P

l

P

l

P

l

a) b) c) d)

CHƯƠNG 10: TẢI TRỌNG ĐỘNG 

1. KHÁI NIỆM 

Trong các chương trước ta đã nghiên cứu cách tính các thanh dưới tác dụng của  tải  trọng tĩnh.  Các  tải trọng  này  có  giá  trị  tăng  dần  và  liên  tục từ khơng đến  trị  số  cuối cùng của nó rồi giữ khơng đổi theo thời gian, nên gây ra lực qn tính khơng  đáng kể, có thể bỏ qua trong tính tốn. 

Trong thực tế ta thường gặp các bộ phận cơng trình hay chi tiết máy chịu tác dụng  của  các  tải  trọng  động,  đó  là  những  tải  trọng  biến  đổi  theo  thời  gian,  tải  trọng  va  chạm, chúng gây ra lực qn tính đáng kể trong vật thể. Ví dụ, một vật nặng được  kéo  lên  có  gia  tốc  bởi  dây  cáp,  khi  đó  lúc  tính  dây  cáp  khơng  những  phải  kể  đến  trọng lượng của vật nặng mà cịn phải kế đến lực qn tính của vật, trong trường hợp  này dây cáp chịu tác dụng của tải trọng động, dễ dàng thấy rầng dây nguy hiểm hơn  so  với  trường  hợp nó  treo  vật  nặng đó đứng  yên.  Tác  dụng  của quả búa rơi xuống  đầu cọc khi đóng cọc, là ví dụ về tải trọng động gây ra do va chạm. 

Dưới tác dụng của tải trọng động ứng suất, biến dạng, chuyển vị, thay đổi theo  thời  gian.  Ở  cùng  thời  điểm  xét,  nếu  ký  hiệu  Sđ là  kết  quả  tác  dụng  của  tải  trọng 

động, St là kết quả tác dụng của chính tải trọng ấy, ta có mối liên hệ : 

Sđ = St. kđ  (10­1) 

Trong đó : kđ : hệ số động. 

Qua cơng thức (10­1), ta thấy St đã được nghiên cứu ở các chương trước, do vậy 

nghiên cứu tải trọng động thực chất là thành lập các hệ số động (kđ) cho từng loại tải 

trọng động thường gặp. 

2. TÍNH THANH CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỨNG CĨ GIA TỐC 

Giả sử vật nặng P (hình vẽ 10.1a) được kéo lên theo phương thẳng đứng với gia  tốc khơng đổi a bởi một dây cáp có trọng lượng riêng g với diện tích mặt cắt ngang  F. 

Gọi  Nd lực  dọc  trong  dây  ở  mặt  cắt  cách  vật  một 

khoảng  là  z  (hình  vẽ  10.1b).  Theo  nguyên  lý  D'Alambert  (Đalămbe)  các  lực  thực  sự  tác  dụng  lên  phần đang xét là 

­ Trọng lượng vật nặng P.  ­ Trọng lượng đoạn dâyg.Fz. 

Đặt thêm vào hệ : 

­  Lực qn tính của vật ngược chiều với gia tốc a  và có trị số :  a 

g  P  F 1qt =

l

v a

P

z

P N đ

g.F

Hình vẽ 10.1 a)

­ Lực quán tính của đoạn dây :  a  g 

F    F 2qt = g z 

Tổng hai lực qn tính đó là :  a 

g  F    P  F qt + g z 

= 

Phương trình hình chiếu tất cả các lực lên trục z ta có :  Nđ – P ­ g.Fz – F 

qt 

= 0

Û Nd = P + g.Fz + F qt = P + g.Fz +  a 

g  F    P + g z

( ) ữ ữ

ứ ỗ ỗ ố æ

+ g

+ = Û 

g  a  1  F    P 

N d  z  (1) 

Nếu a = 0 tức là ở trạng thái tĩnh ta có : 

Nd = P + g.Fz  (2) 

Thay (1) và (2) vào cơng thức (10­1) rút ra :  g 

a  1  k đ = +

Û  (10­2) 

Nếu gọi st là ngsuttnhtimtctangxột,ngsutngtiú:

ữ ữ ứ ỗ

ỗ ố æ

+ s = s 

g  a  1 

t  đ 

Trong đó :   z 

F  P  F 

F   

P  z 

t = + g

g + =

s  (Fz = F.z) 

Nếu bỏ qua trọng lượng của dây cáp thì : 

F  P 

t=

s  Khi z = l,st đạt giá trị lớn nhất :   l 

F  P 

max 

t = + g

s  và điều kiện bền của dây là :

sđmax = kđ smax£[s]  (10­3) 

Ta  nhận  thấy  rằng  khi  kéo  vật  lên  nhanh  dần  đều  và  thả  xuống  chậm  dần  đều  1 

g  a  1 

k đ =  + > , cịn khi kéo vật lên chậm dần đều và thả vật xuống nhanh dần đều thì 

1  g  a  1 

k đ =  + <  

3. VA CHẠM THẲNG ĐỨNG 

3.1. Khái niệm : 

cầu, Do tác dụng của va chạm mà nội lực, ứng suất,  của hệ đàn hồi thay đổi đột  ngột. 

Để tính tác dụng của va chạm người ta cịn giả thiết rằng sau khi va chạm vật gây  va chạm và vật va chạm gắn liền với nhau và chuyển động cùng vận tốc. 

3.2. Cơng thức tính : 

Khi  tính  tác  dụng  của  va  chạm  để  áp  dụng  công  thức  (10­1), trước  tiên  cần  xác  định  hệ  số  động.  Xét  hệ đàn hồi một bậc tự do là một lị xo đặt nghiêng với  phương  thẳng đứng một  góc a  (hình  vẽ  10.2). Hệ bị  một  khối  m  đang  chuyển  động  với  vận  tốc  v  theo  phương  của  lò  xo  va  chạm  vào.  Sau  khi  va  chạm,  điểm va chạm có chuyển độngDd. 

Cơng của ngoại lực P = mg bao gồm :  ­ Động năng :  mv 2 

2  1 

­ Độ giảm thế năng : P. cosa Dd 

Giả sử khơng có mất mát năng lượng thì tổng cơng 

ở trên tích luỹ trong hệ đàn hồi dưới dạng thế năng biến dạng đàn hồi U. Theo cơng  thức (2­12) A U P l

2

= = D  ta có 

d  d . 

P  2  1  U=  D

Do đó :  d  d  d 

2 

.  P  2  1   

cos    P  mv  2 

D =

D a

+  (1) 

Từ công thức (10­1) suy ra : Pd = kđ. P = kđ.mg ; Dd = kđ Dt. Thay Pd,Dd vào (1)  t 

đ  đ 

t  đ  2 

.  k    mg    k  2  1    k    cos    mg  mv 

2 

D =

D a + 

0    g 

v  k    cos  2  k 

t  2  đ  2 

đ =

D - a -

Û  (2) 

Phương trình (2) là phương trình để xác định hệ số kđ. Giải phương trình này và 

lấy nghiệm dương ta có : 

t  2  2 

đ 

.  g 

v  cos 

cos  k

D + a +

a

=  (10­4) 

Trong đó : 

v : vận tốc vật va chạm ngay trước lúc va chạm

P = mg a

Dt : chuyển vị tĩnh tại điểm va chạm theo phương tác dụng của lực va chạm 

đặt tĩnh tại đó sinh ra. Trường hợp trên hình vẽ 10.2 : 

c  cos    P 

t

a =

D  với c là độ cứng 

của lị xo (lực làm cho lị xo co hoặc dãn một đơn vị chiều dài)

a : góc nghiêng của lị xo và vận tốc vật gây va chạm với phương thẳng đứng  Nếu tại điểm va chạm trên hệ đàn hồi có đặt sẵn một trọng lượng Q, ví dụ trọng  lượng thu gọn của hệ về điểm va chạm thì cơng thức tính hệ số động là :

ữ ứ ỗ

ố ổ

+ D + a +

a = 

P  Q  1    g 

v  cos 

cos  k 

t  2  2 

đ  (10­5) 

Các trường hợp đặt biệt : 

­  Khi  phương  va  chạm  là  thẳng  đứng  (hình  vẽ  10.3), a=0,cosa=1cụngthctớnhhsngcú dng:

ữ ứ ỗ

ố ổ

+ D + + = 

P  Q  1    g 

v  1 

1  k 

t  2 

đ  (10­6) 

Nếu vật gây ra va chạm rơi tự do từ độ cao h thì v 2 = 2gh và :

÷ ø ç

è æ

+ D + + = 

P  Q  1 

h  2  1 

1  k 

t 

đ  (10­7) 

­  Khi  phương  va  chạm  nằm  ngang  (hình  vẽ  10.4) a  =  90 0 ,  cosa=0cụngthctớnhhsngcúdng:

ữ ứ ỗ

ố ổ

+ D = 

P  Q  1    g 

v  k 

t 

đ  (10­8) 

3.3. Ví dụ : 

3.3.1. Ví dụ 1 : 

Vật  nặng  có  trọng  lượng  P  =  400daN  rơi  tự  do  từ  độ  cao  h  xuống  giữa  dầm  giản  đơn  khẩu  độ  l  =  2m.  Dầm  làm  bằng  thép  chữ I số 20a. Khi va chạm độ võng ở mặt cắt giữa dầm đo được  0,25cm (hình vẽ 10.5). 

­  Xác  định  chiều  cao  rơi  của  vật  khi có kể và khơng kể trọng lượng bản  thân dầm. 

­  Kiểm  tra  độ bền  của  dầm khi  có  kể trọng lượng bản thân dầm

h

P Q H×nh vÏ 10.3

P Q v

H×nh vÏ 10.4 P

l

2 l

h

Biết [s] = 2100daN/cm 2 ;  E = 2,1.10 6 daN/cm 2 

Bài giải : 

* Xác định chiều cao rơi h: 

Thép  chữ  I  số  20a  tra  bảng  3  ta  có:  Jx  =  2030cm  4 

;  Wx  =  203cm  3 

;  q = 22,7daN/m 

Độ võng tĩnh (Khi vật nặng P đặt tĩnh tại giữa nhịp của dầm, xem lại Chương  7§5.3 hình vẽ 7.25) ta có : 

cm  0156  ,  0  2030  x  10  x  1  ,  2  x  48  200  x  400  EJ  48  l    P  y  6  3  x  3  max 

t = = = =

D  Hệ số động :  026  ,  16  0156  ,  0  25  ,  0  k  t  d  đ = = D D =  Tính chiều cao h khi khơng kể trọng lượng bản thân dầm :  0156  ,  0  h  2  1  1  026  ,  16  h  2  1  1  k  t  đ + + = Û D + + = Û h = 1,753cm  Tính chiều cao h khi có kể trọng lượng bản thân dầm :  daN  7  ,  22  2  x  7  ,  22  x  2  1  ql  2  1 

Q= = =

÷ ø ỗ ố ổ + + + = ữ ứ ỗ ố ổ + D + + = 400  7  ,  22  1  0156  ,  0  h  2  1  1  026  ,  16  P  Q  1  h  2  1  1  k  t  đ

Û h = 1,853cm 

2  x 

x  x  t 

cm  daN  522  ,  98  203  x  4 

200  x  400  W 

.  4 

l    P  W 

M

= =

= =

s 

­ Ứng suất động :

sđ = kđ st = 16,026x98,522 = 1578,916 daN/cm  2 

Ứng suất tổng cộng :

s= sbt + sđ = 5,591 + 1578,916 = 1584,507 daN/cm  2 

Mặt khác [s] = 2100daN/cm 2  So  sánh ta  thấy s <  [s], vậy  dầm đã cho đảm bảo điều kiện bền. 

3.3.2. Ví dụ 2 : 

Dầm mút thừa bằng thép chữ I số  22a (hình vẽ 10.6). Một vật có trọng  lượng  P  =  200daN  rơi  tự  do  từ  độ  cao  h  =  8cm  xuống  đầu  tự  do  của  dầm.  Bỏ  qua  trọng  lượng  bản  thân  dầm,  tính  ứng  suất  pháp  lớn  nhất  trên dầm cho hai trường hợp. 

­ Ở đầu tự do khơng có lị xo. 

­ Ở đầu tự do có đặt một lị xo độ cứng c = 100daN/cm. Trọng lượng bản thân  của lị xo và bộ phận giữ nó là Q = 200daN. 

Biết E = 2,1.10 6 daN/cm 2 

Bài giải : 

Thép chữ I số 22a tra bảng 3 ta có: Jx = 2790cm 4 ; Wx = 254cm 3 

* Trường hợp ở đầu tự do của dầm khơng có lị xo: 

Mmax = P.l1 = 200x300 = 60000daNcm 

Ứng suất tĩnh do trọng lượng P sinh ra : 

2  x 

max  t 

cm  daN  221  ,  236  254 

60000  W 

M

= =

= s 

Độ võng tĩnh tại đầu tự do do P sinh ra: 

cm  819  ,  0  )  300  500  (  x  2790  x  10  x  1  ,  2  x  3 

300  x  200  ) 

l  l  (  EJ  3 

l    P 

6  2  1 

x  2  1 

t = + = + =

D 

Hệ số động : 

532  ,  5  819  ,  0 

8  x  2  1  1  h  2  1  1  k 

t 

đ = + + =

D + + = 

Ứng suất do va chạm : sđ = kđ st = 5,532x236,221 = 1306,696daN/cm 

P

l = 5m

H×nh vÏ 10.6

l 1 = 3m

* Trường hợp ở đầu tự do của dầm có lị xo:  Độ võng tĩnh tại đầu tự do do P sinh ra: 

cm  819  ,  2  100  200  819 

,  0  c  P  )  l  l  (  EJ  3 

l    P 

1  x  2  1 

t = + + = + =

D 

Hệ số động : 

959  ,  2  200  200  1  x  819  ,  2 

8  x  2  1 

1  P  Q  1 

h  2  1 

1  k 

t

=

ữ ứ ỗ

è ỉ

+ +

+ = ÷ ø ỗ

ố ổ

+ D + + = 

Ứng suất động do lực P sinh ra :

sđ = kđ st = 2,959x236,221 = 698,998daN/cm 2 

Ứng suất do trọng lị xo và bộ phận giữ nó sinh ra: 

2  x 

1  x 

x  lx 

cm  daN  221  ,  236  254 

300  x  200  W 

l    P  W  M

= =

= =

s 

Ứng suất tổng cộng :

s= sđ + slx = 698,998 + 236,221 = 935,219daN/cm  2 

CÂU HỎI ƠN TẬP CHƯƠNG 10 

LÝ THUYẾT : 

1. Phân biệt tác dụng tĩnh và tác dụng động của tải trọng? Cho ví dụ? Cơng thức  tổng qt để tính tác dụng động của tải trọng theo tác dụng tĩnh của nó. 

2. Thành lập cơng thức tính hệ số động cho thanh chuyển động thẳng đứng với gia  tốc khơng đổi. Khi nào hệ số động nhỏ hơn 1. 

3. Va chạm là gì? Viết và giải thích cơng thức tính hệ số động cho trường hợp va  chạm đứng và va chạm ngang. 

4. Vì sao khi đặt lị xo  ở vị trí va chạm của tải trọng lại làm giảm đáng kể hệ số  động khi va chạm? 

BÀI TẬP : 

1. Xác định đường kính cần thiết d của dây cáp dùng để kéo vật nặng  Q  =  5000daN đi  lên  nhanh  dần  với  gia  tốc  khơng  đổi  a  =  3m/s 2 .  Biết  ứng suất cho phép của dây cáp là [s] = 800daN/cm 2 , bỏ qua trọng lượng  bản thân dây cáp. 

2. So sánh ứng suất xuất hiện trên mặt cắt ngang của thanh thép trịn  đường kính d = 4cm khi vật có trọng lượng Q = 50KN đặt tĩnh lên đầu  thanh và khi trọng lượng Q rơi tự do từ độ cao h = 40cm lên đầu thanh  (hình vẽ 10.7). 

3. Vật nặng P = 100daN rơi dọc theo thanh thép xuống đĩa cứng B và

h

l =

60

cm

gây ra va chạm kéo đối với thanh AB (hình vẽ 10.8). Xác định độ  cao  rơi  cho  phép  của  vật  nặng  với  điều  kiện  ứng  suất  kéo  trong  thanh  không  được  vượt  quá  2100daN/cm 2 .  Biết  mô  đun  đàn  hồi  khi kéo E = 2.10 6 daN/cm 2 . 

4.  Xác  định  ứng  suất  pháp  lớn  nhất  và  độ  võng  lớn  nhất  của  dầm  (hình  vẽ  10.9)  khi  va  chạm.  Biết  I  số  12,  P  =  100daN;  E = 2.10 6 daN/cm 2 , h = 10cm. Bỏ qua trọng lượng dầm. 

5. Xác định chuyển vị ngang động của điểm B (hình vẽc 10.10).  Biết các thanh có mơ đun đàn hồi E, mơ men qn tính J. Bỏ qua  biến dạng nén của đoạn AC

P l

2 = 2m

l

h

x y H×nh vÏ 10.9

a a

a

v P

H×nh vÏ 10.10

h

d = 3cm

A

B

l =

m

MỘT SỐ BẢNG TRA PHỤ LỤC 

Bảng 1 : Trọng tâm và diện tích của một số hình 

Tên hình  Hình  x  y  Diện tích 

Tam giác

3 h

2 bh

4  1 

hình trịn

p

3 r

p

3 r

2 r p 

Bán nguyệt 

p

3 r

2 r p 

2  1 

parabol

8 a

5 h

3 ah

Parabol 

5 h

3 ah

Giới hạn 

bởi parabol 4

a

10 h

3 ah

Quạt

a a sin r

Bảng 2 : Lực cắt ­ phản lực gối tựa  ­ mô men uốn và độ võng của dầm một 

nhịp. 

Sơ đồ 

Lực cắt và phản  lực gối tựa (A 

và Q) 

Mô men uốn (Mx) 

Độ võng  (fx) 

1  2  3  4 

Dầm công xôn 

B = ­ P  Qx = ­ P 

Mx = ­ Px 

MB = ­ P.l EJ

l P f

3 A = 

B = q.l  Qx = ­ q.x

2 x q M

2

x =-

2 l q M

2

B =-

EJ

l q f

4

A =

2 l q

B=

2 x q

Q x

x =-

l x q q x =

l

x q M

3

x =-

6 l q M

2

B =-

EJ 30

l q f

4 A = 

Dầm trên hai gối tựa

2 P B A = =

2 P Q x = ±

Khi 

2  l  x £ 

Thì

2 x P M x =  Khi 

2  l  x ³ 

Thì

2 ) x l ( P M x

- = 

EJ  l  P  f 

48   3  max = 

1  2  3 

2 Pb A =  ;

2 Pa B= 

Khi x£a,

l Pb Q x = 

Khi x³a,

l Pa Q x = 

Khi x £a,

x l Pb M x =  Khi x ³a ;

( )l x l Pa

M x = -

l Pab M max =

3 max ab a EJ Pb

f ú

û ù ê ë é + = 

tại (a b )

a x =  +

A = B = P  Khi  x  <  a  ;  Q  =  P 

Khi  a  < x <  a +  b 

Q = 0 

Khi x < a;  Mx = P.x 

Khi a < x< a+b  Mx = Mmax= Pa

) a l ( EJ 24 Pa

f max = -

2 l q B A = =

ữ ứ ỗ ố ổ - = l x l ql Q x

( )l x qx

M x = -

8 ql M

2

max =

EJ 384 ql f

max =

) a l ( l qb B l b q A + = =  Khi x < a ; l b q Q x = 

Khi x > a ) a x ( q l b q Q

x =  - -

Khi x < a x A x l b q M x =  =

Khi x > a ú ú û ù ê ê ë é ữ ứ ỗ ố ổ - - - = x b a x l x A M 2 2 max l a l ql

M ữ ữ

ứ ỗ ỗ ố æ - =  a l b x + = 

fmax = 0,0026 EJ ql

tại a = 0,5471 

x <

1  2  3  4 l q B A = =

÷ ÷ ứ ỗ ỗ ố ổ - = 2 x l x 4 ql Q ÷ ữ ứ ỗ ỗ ố ổ - = 2 x l x 4 qlx Q 12 ql M

max =

EJ 120

ql f

4 max = 

Dầm trên hai gối tựa có hai cơng xơn đối xứng  Trên công xôn 

Qx = ­ P 

ở nhịp  Qx = 0 

A = B = P 

Trên công xôn  Mx = ­ P(a + x) 

ở nhịp 

Mx = ­ P.a

EJ Pal f

2 max = -

Trên công xôn  Qx = ­ q(a x)

nhp ữ ứ ỗ ố ổ + = = ữ ứ ỗ ố ổ - = l a q B A l x q Q x

Trên công xôn ( ) x a q M x - - =  ở nhịp ( ) ữ ữ ứ ỗ ỗ è æ - = - - - = 2 max 2 x a l q M x lx a q

M ú û

ù ê

ë é

-

= 2

2

max l a

Sức bền vật liệu ­ 149 

Bảng 3 : Thép cán định hình chữ I (theo ΓOCT – 8239 – 56) 

Ký hiệu :  h – chiều cao thép chữ I  b – bề rộng cánh 

d – bề dày bụng 

t – bề dày trung bình của cánh  R – bán kính góc uốn trịn trong  r – bán kính góc uốn trịn ở mép  F – diện tích tiết diện 

J – mơ men qn tính  W – mơ men chống uốn  ix,y – bán kính qn tính 

S – mơ men tĩnh của nửa tiết diện  Jxn­ mơ men qn tính khi xoắn 

Kích thước mm 

Các trị số đối với trục 

x ­ x  y ­ y 

Số  hiệu 

Trọng  lượng  1m  dài  (kg) 

h  b  d  t  R  r 

Diện  tích 

tiết  diện F 

(cm 2 )  Jx  (cm 4 ) 

Wx  (cm 3 ) 

ix  (cm) 

Sx  (cm 3 ) 

Jy  (cm 4 ) 

Wy  (cm 3 ) 

iy  (cm) 

Sy  (cm 3 )  (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  (15)  (16)  (17)  10

12 14 16 18  18a 

9,46  11,5  13,7  15,0  18,4  19,9 

100  120  140  160  180  180 

55 64 73 81 90  100 

4,5  4,8  4,9  5,0  5,1  5,1 

7,2  7,3  7,5  7,8  8,1  8,3 

7,0  7,5  8,0  8,5  9,0  9,0 

2,5  3,0  3,0  3,5  3,5  3,5 

12  14,7  17,4  20,2  23,4  25,4 

198  350  572  873  1290  1430 

39,7  58,4  81,7  109  143  159 

4,06  4,88  5,73  6,57  7,42  8,51 

23  33,7  46,8  62,3  81,4  89,8 

17,9  27,9  41,9  58,6  82,6  114 

6,49  8,72  11,5  14,5  18,4  22,8 

1,22  1,38  1,55  1,7  1,88  2,12 

Sức bền vật liệu ­ 150  Bảng tra 3 tiếp theo 

Sức bền vật liệu ­ 151 

Bảng 4 : Thép cán định hình chữ [ có góc nghiêng ở mép (theo ΓOCT – 8239 – 56) 

Ký hiệu :  h – chiều cao thép chữ [  b – bề rộng cánh 

d – bề dày bụng 

t – bề dày trung bình của cánh  R – bán kính góc uốn trịn trong  r – bán kính góc uốn trịn ở mép  F – diện tích tiết diện 

J – mơ men qn tính  W – mơ men chống uốn  ix,y – bán kính qn tính 

S – mơ men tĩnh của nửa tiết diện 

z0 – khoảng cách từ trục y – y đến mặt ngồi bụng 

Kích thước mm 

Các trị số đối với trục 

x ­ x  y ­ y 

Số  hiệu 

Trọng  lượng  1m  dài  (kg) 

h  b  d  t  R  r 

Diện  tích 

tiết  diện F 

(cm 2 )  Jx  (cm 4 ) 

Wx  (cm 3 ) 

ix  (cm) 

Sx  (cm 3 ) 

Jy  (cm 4 ) 

Wy  (cm 3 ) 

iy  (cm) 

z0  (cm) 

Jxn  (cm 4 ) 

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  (15)  (16)  (17)  (18)  5 

6,5  8  10 12 

4,84  5,90  7,05  8,59  10,4 

50 65 80  100  120 

32 36 40 46 52 

4,4  4,4  4,5  4,5  4,8 

7,0  7,2  7,4  7,6  7,8 

6,0  6,5  6,5  7,0  7,5 

2,5  2,5  2,5  3,0  3,0 

6,16  7,51  8,98  10,9  13,3 

22,8  48,6  89,4  174  304 

9,1  15  22,4  34,8  50,6 

1,92  2,54  3,16  3,99  4,78 

5,59  9,00  13,3  20,4  29,6 

5,61  8,70  12,8  20,4  31,2 

2,75  3,68  4,75  6,46  8,52 

0,954  1,08  1,19  1,37  1,53 

1,16  1,24  1,31  1,44  1,54 

Sức bền vật liệu ­ 152  Bảng tra 4 tiếp theo 

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  (15)  (16)  (17)  (18) 

Sức bền vật liệu ­ 153 

Bảng 5 : Thép cán định hình chữ [ các biên cánh song song (theo ΓOCT – 8239 – 56) 

Ký hiệu :  h – chiều cao thép chữ [  b – bề rộng cánh 

d – bề dày bụng 

t – bề dày trung bình của cánh  R – bán kính góc uốn trịn trong  r – bán kính góc uốn trịn ở mép  F – diện tích tiết diện 

J – mơ men qn tính  W – mơ men chống uốn  ix,y – bán kính qn tính 

S – mơ men tĩnh của nửa tiết diện 

z0 – khoảng cách từ trục y – y đến mặt ngồi bụng 

Kích thước mm 

Các trị số đối với trục 

x ­ x  y ­ y 

Số  hiệ  u 

Trọng  lượng  1m  dài  (kg) 

h  b  d  t  R  r 

Diện  tích 

tiết  diện F 

(cm 2 )  Jx  (cm 4 ) 

Wx  (cm 3 ) 

ix  (cm) 

Sx  (cm 3 ) 

Jy  (cm 4 ) 

Wy  (cm 3 ) 

iy  (cm) 

z0  (cm) 

Jxn  (cm 4 ) 

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  (15)  (16)  (17)  (18)  5 

6,5  8  10 12 

4,84  5,90  7,05  8,59  10,4 

50 65 80  100  120 

32 32 40 46 52 

4,4  4,4  4,5  4,5  4,8 

7,0  7,2  7,4  7,6  7,8 

6,0  6,0  6,5  7,0  7,5 

3,5  3,5  3,5  4,0  4,5 

6,16  6,51  8,98  10,9  13,3 

22,8  48,8  89,8  175  305 

9,17  15  22,5  34,9  50,8 

1,92  2,55  3,16  3,99  4,79 

5,61  9,02  13,3  20,5  29,7 

5,95  9,35  13,9  22,6  34,9 

2,99  4,06  5,31  7,37  9,84 

0,983  1,12  1,24  1,44  1,62 

1,21  1,29  1,38  1,53  1,66 

Sức bền vật liệu ­ 154  Bảng tra 5 tiếp theo 

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  (15)  (16)  (17)  (18) 

Sức bền vật liệu ­ 155 

Bảng 6 : Thép cán đều cạnh (theo ΓOCT – 8239 – 56) 

Ký hiệu :  b – bề rộng cánh  d – bề dày cánh  R – bán kính góc uốn trịn bên trong  r – bán kính góc uốn trịn ở mép  F – diện tích tiết diện  J – mơ men qn tính  ix,y – bán kính qn tính 

z0 – khoảng cách tính từ trọng tâm. 

Kích thước , mm  Trị số đối với các trục 

Bán kính qn tính iy1(cm) đối  với hai thép góc khid(mm) 

bằng  x ­ x  x0 – x0  y0 – y0  x1 – x1 

Số  hiệu 

b  d  R  r 

Diện  tích 

tiết  diện 

F  (cm 2 ) 

Trọng  lượng  1m  dài 

(kg)  J x  (cm 4 ) 

i x  (cm) 

J x0  (cm 4 ) 

i x0  (cm) 

J y0  (cm 4 ) 

i y0  (cm 4 ) 

J x1  (cm 4 ) 

z 0  (cm) 

8mm  10mm  12mm  14mm  (1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  (15)  (16)  (17)  (18)  (19) 

Sức bền vật liệu ­ 156  Bảng tra 6 tiếp theo 

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  (15)  (16)  (17)  (18)  (19)  5,6  56  4 

5  6  2 

Sức bền vật liệu ­ 157  Bảng tra 6 tiếp theo 

(1)  (2)  (3)  (4)  (5)  (6)  (7)  (8)  (9)  (10)  (11)  (12)  (13)  (14)  (15)  (16)  (17)  (18)  (19) 

10  100  6,5  7  8  10 12 14 16  12  4  12,8  13,8  15,6  19,2  22,8  26,3  29,7  10,1  10,8  12,2  15,1  17,9  20,6  23,3  122  131  147  179  209  237  264  3,09  3,08  3,07  3,05  3,03  3,00  2,98  193  207  233  284  331  375  416  3,88  3,88  3,87  3,84  3,81  3,78  3,74  50,1  54,2  60,9  74,1  86,9  99,3  112  1,99  1,98  1,98  1,96  1,95  1,94  1,94  214  231  265  333  402  472  542  2,68  2,71  2,75  2,83  2,91  2,99  3,06  ­ 4,38  4,4  4,44 ­  ­  ­  4,43  4,45  4,47  4,52  4,56  4,60  4,64  4,50  4,52  4,54  4,59  4,64  4,68  4,72  4,58  4,60  4,62  4,67  4,71  4,75  4,79 

11  110  7 

8  12  4 

Sức bền vật liệu ­ 158  Bảng tra 6 tiếp theo  16  160  10 11 12 14 16 18 20  16  5,3  31,4  34,4  37,4  43,3  49,1  54,8  60,4  24,7  27,0  29,4  34,0  38,5  43,0  47,4  744  844  913  1046  1175  1299  1419  4,96  4,95  4,94  4,92  4,98  4,87  4,85  1229  1341  1450  1662  1866  2061  2248  6,25  6,24  6,23  6,20  6,17  6,13  6,10  319  348  376  431  485  537  589  3,19  3,18  3,17  3,16  3,14  3,13  3,12  1356  1494  1633  1911  2191  2472  2756  4,30  4,35  4,39  4,47  4,55  4,63  4,70  6,84 ­ 6,88 ­  ­  ­  ­  6,91  6,93  6,95  6,99  7,03  7,07  7,11  6,97  7,00  7,02  7,06  7,10  7,15  7,18  7,05  7,07  7,09  7,13  7,17  7,22  7,25  18  180  11

12  16  5,3 

38,8  42,2  30,5  33,1  1216  1217  5,60  5,59  1933  2090  7,06  7,04  500  540  3,59  3,58  2128  2324  4,85  4,89  7,67  7,69  7,74  7,76  7,81  7,83  7,88  7,90  20  200  12 13 14 16 20 25 30  18  6  47,1  50,9  54,6  62,0  76,5  94,3  111,5  37,0  39,9  42,8  48,7  60,1  74,0  87,6  1823  1961  2097  2363  2871  3466  4020  6,22  6,21  6,20  6,17  6,12  6,08  6,00  2896  3116  3333  3755  4560  5494  6351  7,84  7,83  7,81  7,78  7,72  7,63  7,55  749  805  861  970  1182  1438  1688  3,99  3,98  3,97  3,96  3,93  3,91  3,89  3182  3452  3722  4264  5355  6733  8130  5,37  5,42  5,46  5,54  5,70  5,89  6,07  8,48  8,50  8,52  8,56  8,65  8,74  8,83  8,55  8,58  8,60  8,64  8,72  8,81  8,90  8,62  8,64  8,67  8,70  8,79  8,88  8,97  8,69  8,71  8,73  8,77  8,86  8,95  9,05  22  220  14

16  21  7 

Sức bền vật liệu ­ 159 

Bảng 7 : Thép cán không đều cạnh (theo ΓOCT – 8239 – 56) 

Ký hiệu :  B – bề rộng cánh lớn  b – bề rộng cánh nhỏ  d – bề dày cánh  R – bán kính góc uốn trịn bên trong  r – bán kính góc uốn trịn ở mép  F – diện tích tiết diện  J – mơ men qn tính  ix,y – bán kính qn tính 

x0 , y0 – khoảng cách tính từ trọng tâm. 

Kích thước (mm)  Trị số đối với các trục  Bán kính quán tính khid, mm  x ­ x  y ­ y  x1 – x1  y1 – y1  u ­ u  ix2 , cm  iy2 , cm 

Số 

hiệu  B  b  d  R  r  Diệ n tích  tiết  diện  cm 2  Trọng  lượng  1m ,  kg  Jx’  (cm 4  )  ix’  (cm)  Jy’  (cm 4  )  iy’  (cm)  Jx1  (cm 4  )  y0’  (cm)  Jy1  (cm 4  )  x0’  (cm)  Ju min  (cm 4  )  iu min  (cm)  10  mm  12  mm  14  mm  10  mm  12  mm  14  mm  1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  5,6/ 

3,6  56  36  4 

5  6  2 

3,58  4,11  2,81  3,46  11,4  13,8  1,78  1,77  3,70  4,48  1,02  1,01  23,2  29,2  1,82  1,86  6,25  7,91  0,84  0,88  2,19  2,66  0,78  0,78  2,93  2,95  3,01  3,03  3,09  3,11  1,68  1,71  1,76  1,79  1,84  1,78 

Sức bền vật liệu ­ 160  Bảng tra 7 tiếp theo 

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  7/4,5  70  45  5  7,5  2,5  5,59  4,39  27,8  2,23  9,05  1,27  56,7  2,28  15,2  1,05  5,34  0,98  3,56  3,64  3,72  2,01  2,08  2,16 

7,5/5  75  50  5  6  8  8  2,7  6,11  7,25  9,47  4,79  5,69  7,43  34,8  40,9  52,4  2,39  2,38  2,35  12,5  14,6  18,5  1,43  1,42  1,40  69,8  83,9  112  2,39  2,44  2,52  20,8  25,2  34,2  1,17  1,21  1,29  7,24  8,48  10,9  1,09  1,08  1,07  3,75  3,78  3,83  3,83  3,86  3,91  3,90  3,94  3,98  2,20  2,22  2,27  2,28  2,30  2,35  2,35  2,38  2,43  8/5  80  50  5 

6  8  2,7  6,36  7,55  4,99  5,92  41,6  49,0  2,56  2,55  12,7  14,8  1,41  1,40  84,6  102  2,60  2,90  20,8  25,2  1,13  1,17  7,58  8,88  1,09  1,08  1,02  1,05  4,10  4,13  4,17  4,21  2,16  2,18  2,23  2,33  2,30  2,33 

9/5,6  90  56  5,5  6  8  9  3  7,86  8,54  11,18  6,17  6,70  8,77  65,3  70,6  90,9  2,88  2,88  2,85  19,7  21,2  27,1  1,58  1,58  1,56  132  145  194  2,92  2,95  3,04  32,2  35,2  47,8  1,26  1,28  1,36  11,8  12,7  16,3  1,22  1,22  1,21  4,47  4,79  4,55  4,55  4,57  4,62  4,62  4,65  4,70  2,37  2,38  2,43  2,44  2,45  2,50  2,51  2,53  2,58  10/ 

6,3  100  63  6  7  8  10  10  3,3  9,59  11,1  12,6  15,5  7,53  8,70  9,87  12,1  98,3  113  127  154  3,20  3,19  3,18  3,15  30,6  35,0  39,2  47,1  1,79  1,78  1,77  1,75  198  232  266  333  3,23  3,28  3,32  3,40  49,9  58,7  67,6  85,8  1,42  1,46  1,50  1,58  18,2  20,8  23,4  28,3  1,38  1,37  1,36  1,35  4,92  4,95  4,97  5,01  4,99  5,02  5,04  5,09  5,07  5,10  5,12  5,17  2,62  2,64  2,67  2,71  2,70  2,72  2,74  2,79  2,77  2,78  2,82  2,87  11/7  110  70  6,5 

8  10  3,3  11,4  13,9  8,98  10,9  142  172  3,53  3,54  45,6  54,6  2,00  1,98  286  353  3,55  3,61  74,3  92,3  1,58  1,64  26,9  32,3  1,53  1,52  5,38  5,41  5,45  5,49  5,53  5,55  2,89  2,92  2,97  2,99  3,04  3,06  12,5/ 

8  125  80  7  8  10 12  11  3,7  14,1  16,0  19,7  23,4  11,0  12,5  15,5  18,3  227  256  312  365  4,01  4,00  3,98  3,95  73,7  83,0  100  117  2,29  2,28  2,26  2,24  452  518  649  784  4,01  4,05  4,14  4,22  119  137  173  310  1,80  1,84  1,92  2,00  43,4  48,8  59,3  69,5  1,76  1,75  1,74  1,72  6,04  6,06  6,11  6,15  6,11  6,13  6,19  6,23  6,18  6,21  6,27  6,30  3,24  3,27  3,31  3,35  3,31  3,34  3,38  3,43  3,39  3,41  3,46  3,50  14/9  140  90  8 

10  12  4 

18,0  22,2  14,1  17,54  364  444  4,49  4,47  120  146  2,58  2,56  727  911  4,49  4,58  194  245  2,03  2,12  70,3  85,5  1,98  1,96  6,72  6,77  6,79  6,84  6,86  6,92  3,61  3,67  3,69  3,74  3,76  3,80  16/ 

Sức bền vật liệu ­ 161  Bảng tra 7 tiếp theo 

1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21  22  23  24  18/  11  18  0  11  0  10

TÀI LIỆU THAM KHẢO  1. Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi 

Sức bền vật liệu, Trường Đại học GTVT Hà Nội – 2000  2. Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi 

Sức bền vật liệu, Trường Đại học GTVT Hà Nội – 2002  3. Vũ Đình Lai, Nguyễn Xuân Lựu, Bùi Đình Nghi 

Sức bền vật liệu, Trường Đại học GTVT Hà Nội – 2007 

4. Nguyễn Xuân Lựu, Phạm Văn Dịch, Đào Lưu, Trịnh Xuân Sơn, Vũ Văn Thành,  Đỗ Minh Thu, Nguyễn Cẩm Thúy. 

Bài tập Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản GTVT, Hà Nội – 2000.  5. Nguyễn Quang Anh, Nguyễn Văn Nhậm, Chu Đình Tự. 

Sức bền vật liệu (Dùng cho đào tạo kỹ sư thực hành), Trường Trung học GT khu  vực I, Hà Nội – 1993. 

6. Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng 

Sức bền vật liệu tập I + II, Nhà xuất bản giáo dục 2001.  7. Trần Đức Trung, Nguyễn Việt Hùng 

Bài tập Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản xây dựng, Hà Nội – 2002.  8. ThS ­ Tạ Thanh Vân, ThS ­ Phạm Quốc Hồn, Vũ Thanh Thủy. 

Giáo trình Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản xây dựng, Hà Nội – 2004.  9. Nguyễn Quang Anh, Nguyễn Văn Nhậm, Chu Đình Tự. 

MỤC LỤC 

CHƯƠNG 1: MỞ ĐẦU 2 

1 NHIỆM VỤ, ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU CỦA MÔN SỨC BỀN VẬT LIỆU 2 

2 CÁC GIẢ THIẾT CƠ BẢN 3 

3 NGOẠI LỰC, NỘI LỰC  TRÊN MẶT CẮT NGANG THANH 4 

4 CÁC BIẾN DẠNG CƠ BẢN 8 

CHƯƠNG 2: KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM THANH THẲNG 9 

1 KHÁI NIỆM VỀ KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 9 

2 ỨNG SUẤT, BIẾN DẠNG TRÊN THANH BỊ KÉO NÉN 13 

3 MỘT SỐ TÍNH CHẤT CƠ HỌC VỀ ĐỘ BỀN CỦA VẬT LIỆU 18 

4 THẾ NĂNG BIẾN DẠNG ĐÀN HỒI TRONG KÉO VÀ NÉN 20 

5 KHÁI NIỆM VỀ SỰ TẬP TRUNG ỨNG SUẤT 22 

6 TÍNH THANH KÉO, NÉN ĐÚNG TÂM 22 

7 BÀI TOÁN SIÊU TĨNH VỀ KÉO, NÉN 28 

CHƯƠNG 3: CẮT ­ TÍNH TỐN MỐI NỐI ĐINH TÁN 35 

1 CẮT 35 

2 TÍNH MỐI NỐI ĐINH TÁN 36 

CHƯƠNG 4: TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT VÀ LÝ THUYẾT BỀN 39 

1 KHÁI NIỆM VỀ TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT .39 

2 TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG .41 

3 VÒNG TRÒN MOHR TRONG TRẠNG THÁI ỨNG SUẤT PHẲNG.  45 

4 QUAN HỆ ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG ĐỊNH LUẬT HOOKE .50 

5 LÝ THUYẾT BỀN CỔ ĐIỂN .51 

CHƯƠNG 5: ĐẶC TRƯNG HÌNH HỌC CỦA HÌNH PHẲNG 53 

1 MƠ MEN TĨNH VÀ TRỌNG TÂM CỦA HÌNH PHẲNG 53 

2 MƠ MEN QN TÍNH VÀ TRỌNG TÂM CỦA HÌNH PHẲNG 55 

3 BÁN KÍNH QN TÍNH 60 

CHƯƠNG 6: XOẮN THUẦN TÚY 63 

1 KHÁI NIỆM 63 

2 NỘI LỰC – BIỂU ĐỒ NỘI LỰC 63 

3 ỨNG SUẤT TRÊN TRỤC TRÒN CHỊU XOẮN 66 

4 BIẾN DẠNG CỦA TRỤC TRÒN CHỊU XOẮN 68 

6 BÀI TOÁN XOẮN SIÊU TĨNH 71 

CHƯƠNG 7: UỐN NGANG PHẲNG 74 

1 KHÁI NIỆM VÀ ĐỊNH NGHĨA 74 

2 NỘI LỰC VÀ BIỂU ĐỒ NỘI LỰC 74 

3 ỨNG SUẤT TRÊN MẶT CẮT NGANG CỦA DẦM CHỊU UỐN THUẦN TÚY PHẲNG 89 

4 ỨNG SUẤT TRONG DẦM UỐN NGANG PHẲNG 92 

5 CHUYỂN VỊ CỦA DẦM 102 

6 BÀI TOÁN UỐN SIÊU TĨNH 104 

CHƯƠNG 8: THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 110 

1 KHÁI NIỆM CHUNG  110 

2 UỐN XIÊN 110 

3 UỐN ĐỒNG THỜI KÉO (HOẶC NÉN) 116 

4 UỐN ĐỒNG THỜI XOẮN 123 

CHƯƠNG 9: ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 127 

1 KHÁI NIỆM VỀ ỔN ĐỊNH CỦA THANH CHỊU NÉN 127 

2 LỰC TỚI HẠN VÀ ỨNG SUẤT TỚI HẠN KHI THANH LÀM VIỆC TRONG GIỚI HẠN  ĐÀN HỒI 128 

3 TÍNH ỨNG SUẤT TỚI HẠN CỦA THANH NGOÀI GIỚI HẠN ĐÀN HỒI 130 

4 TÍNH TỐN ỔN ĐỊNH CỦA THANH NÉN THEO QUY PHẠM 131 

5 MẶT CẮT HỢP LÝ CỦA THANH CHỊU NÉN ĐÚNG TÂM 136 

CHƯƠNG 10: TẢI TRỌNG ĐỘNG 137 

1 KHÁI NIỆM 137 

2 TÍNH THANH CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỨNG CÓ GIA TỐC 137 

3 VA CHẠM THẲNG ĐỨNG 138 

MỘT SỐ BẢNG TRA PHỤ LỤC 145 

TÀI LIỆU THAM KHẢO 162